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142

4.2. Derivada de Orden Superior.

Sea f una función de dos variables x e y, entonces, en general

Dy f

Dx f

y

también son funciones de dos variables. Si las derivadas parciales de estas

funciones existen, se llaman segunda derivada parcial de f. hay cuatro según las derivadas parciales de una función de dos variables. Se muestran en el cuadro siguiente. Derivada de orden superior: sea z = f (x,y) tenemos: Derivadas parciales primeras f f y . x y

Derivadas parciales segundas

 2 f  2 z   f    z        f x 2 x 2 x  x  x  x 



x x

 f

f 2z   f    z        2 2    fy y  f y  y y  y  y  y 

xx

 f 11

yy

 f

22

Derivada parcial cruzada 2 f 2z   f    z        fx  y  f yx yx y  x  y  x  2 f 2z   f    z           fy x  f xy xy x   y  x  y 

yx

xy

 f 12

 f

21

Definicion 4.2.1: La segunda derivada parcial de f, que se obtiene derivando parcialmente a f con respecto a x y luego derivando parcialmente el resultado con respecto a x. Esta segunda derivada parcial esta definida así:

143

f xx  D x  D x f   lim

f 1  x  x, y   f ( x, y) x

x 0

Definición 4.2.2: La segunda derivada parcial mixta o cruzada de f, se obtiene derivando parcialmente a f con respecto a x y luego se deriva parcialmente el resultado con respecto a y. Esta derivada parcial cruzada se define:

f 1  x , y  y   f ( x, y)

D y  D x f   f 12  lim y  0

y

Las otras dos segundas derivadas parciales se definen de forma análoga

D y  DY f   f 22  lim

f 2  x, y  y   f ( x, y ) y

y 0

D D f   f x

y

 21 lim

f 2  x  x, y   f ( x, y )

x 0

x

Nota: Las definiciones de las derivadas de orden superior son semejantes. Algunas notaciones para una derivada específica.

D122 f  f 122 

D1121

f  f

3 f 3 f  2 xyy xy

 1121

4 f 4 f  2 xxyy  xyx

Ejemplos: 1.-Dada la función f  x, y   x 2 y  4 xy 2  ln xy . Calcular f 1 , f 12 y f 11 .

Solución:

144

1 y xy 1  2 xy  4 y 2  x

f 1  2 xy  4 y 2 

f 11  2 y 

1 x2

f 12  2 x  8 y

Realizando el ejercicio con el software MAPLE V se procede de la siguiente forma: - Etiquetar a la función. - Usando el comando ( diff(la variable de la etiqueta,x,x)) > f:=x^2*y-4*x*y+ln(x*y); f := x 2 y4 x yln( x y )

> diff(f,x,x); 2 y

1 x2

> diff(f,x,y); 2 x4

2.-Dada la función f  x, y , z   x 3  cos  xyz  , encontrar

D132 f  x, y, z  .

Solución:

f 1  3x 2  yz sen  xyz 

f 13   y sen xyz     xy 2 z cos xyz  f 13   y sen  xyz   xy 2 z cos xyz

f 132   sen  xyz     y cos xyz   xz   2 xyz cos xyz  x 2 y 2 z 2 sen xyz

145

f 132   sen xyz  xyz cos xyz  2 xyz cos xyz  x 2 y 2 z 2 sen xyz f132   sen xyz  3xyz cos xyz  x 2 y 2 z 2 sen xyz Ahora con el software MAPLE V se tiene: > g:=x^3+cos(x*y*z); g := x 3cos( x y z )

> diff(g,x,z,y); # el comandó lo realiza directo sin( x y z ) x 2 z 2 y 23 cos( x y z ) x y zsin( x y z )

Teorema 4.2.1 (Derivadas parciales cruzadas) Si f(x, y) tiene derivadas parciales cruzadas en ( x 0 , y 0 ) y estas son continuas en un disco abierto B (  x 0 , y 0  ; y ) entonces

f xy  x0 , y 0   f yx  x0 , y 0  .

La demostración requiere de técnicas que no están desarrolladas todavía. Nota: El teorema se amplia a funciones de n variables

f 112  f 211  f 121 .

f123  f 321  f 213  f 231  f 312  f132

Ejemplo: Sea f(x, y) = 2 x 3  3x 2 y  xy 2 pruebe que Prueba:

f 1  6 x 2  6 xy  y 2

f 12   6 x  2 y

f

2

Sea ( I )

 3x 2  2 xy

f 21  6 x  2 y

Sea ( II )

f 12  f 21 .

146

De I y II se concluye que

f 12  f 21

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Calcula

D11 f , D22 f , D21 f

en las siguientes ecuaciones:

a.- f(x,y) = 4 xy 2  2 x 2 y 2  x 3 y

f 11  6 xy  4 y 2 Resp.

f 22  8 x  4 x 2 f 21  8 y  8 xy  3x 2

b.- f(x,y) = ln (2x + 3y) y  2x  3 y 2 9 Resp. f 22   2x  3 y 2 6 f 21   2x  3 y 2

f 11 

c.- f(x,y) = e 2 x sey f 11 = 4e 2 x seny

147

Resp.

f 22 = - e 2 x seny

f 21 = 2e 2 x cos y 2 2 d.- f(x,y) =  x  y  tg

1

x y

y 2 xy  x x2  y2 y 2 xy  2tg  2 x x  y2

f 11  2tg 1 Resp. f 22

f 21  1  2.- Si f(x,y) = x 3  x 2 y  xy 2  y 3 . Calcular

f 21 y f 11 . Resp.

3.- Si f(x,y) = x 2 cos e y . Calcular

2y2 x2  y2

f 21  2 x  2 y f 11  6 x  2 y

f 121 y f 212 Resp.

f 121  2e y sen e y

f 212   xe y  sen e y  e y cos e y  4.- Si f(x,y,z) = tg 1  xyz  . Calcular

f 113 y f 123 . f 113 

Resp. f 123 

2 xy 3 z 2 ( x 2 y 2 z 2  3)

1  x

2

y2z2



3

1  6x 2 y 2 z 2  x 4 y 4 z 4

1  x

5.- Realice todos los ejercicios anteriores con el software MAPLE V.

2

y2z2



3