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• Marie Kauwela

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ONDAS COMPLEJAS La mayoría de los sonidos que se producen en la naturaleza no siguen las formas de las funciones seno o coseno, sino que están formados por una combinación o superposición de ondas de varias frecuencias y amplitudes. A este tipo de ondas se les llama ondas complejas.

TIPOS DE ONDAS COMPLEJAS  Ondas Complejas Periódicas. Existen ondas complejas periódicas en

cuyas formas de las ondas se pueden obtener repeticiones idénticas, es decir, manteniendo constante las formas, períodos y amplitudes.

 Ondas Complejas no Periódicas. Existen ondas complejas sin repeticiones idénticas. La forma de la onda varía en amplitud y en duración en cada instante de tiempo. No se pueden representar como la suma de ondas senoidales, pero su utilidad es muy valiosa en el análisis acústico del habla.

 Ondas Cuasiperiódicas. Existen ondas complejas en cuyas representaciones gráficas se aprecian secciones que mantienen cierto parecido sin llegar a ser completamente idénticas.

EL TEOREMA DE FOURIER

Toda onda compleja periódica se puede representar como la suma de ondas simples. Es equivalente a decir que podemos construir una onda compleja periódica mediante la suma sucesiva de ondas simples. Esto es lo que se conoce como el Teorema de Fourier.

¿Cómo podría construirse una señal cuadrada a partir de la suma de ondas senoidales?

Para poder construir esta señal compleja es necesario seleccionar señales senoidales simples y sumarlas para lograr esta señal. A continuación se mostrará la técnica a seguir: i. En primer lugar, será necesario encontrar ondas senoidales que posean amplitud, frecuencia y fases adecuadas. SEÑAL 1

SEÑAL 2

SEÑAL 3

SEÑAL 4

En la medida que agregamos más términos (ondas senoidales) nos aproximamos más a la forma de la onda cuadrada. La onda cuadrada es una

onda compleja que se puede describir como la suma de ondas senoidales. (Teorema de Fourier) -

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La primera onda senoidal tiene una frecuencia de 200Hz. y recibe el nombre de primera frecuencia componente o "Frecuencia F0 . La frecuencia fundamental Fundamental", abreviado proporciona el tono característico que percibimos cuando escuchamos el sonido complejo periódico. El resto de las ondas senoidales que hemos sumado sucesivamente para construir la onda cuadrada se denomina armónicos o sobretonos. Los sobretonos por definición sólo pueden ocurrir como múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.

En el caso de la onda cuadrada que hemos analizado en detalle tenemos lo siguiente: - La frecuencia Fundamental F0 . =200 Hz. - Luego los armónicos sólo pueden ocurrir en las frecuencias que son múltiplos enteros de 200 Hz, es decir, 400 Hz, 600 Hz, 800 Hz, 1000 Hz, etc. Sin embargo, la onda cuadrada es un caso especial en la cual los armónicos ocurren en las frecuencias que son múltiplos pares de F0 .

Si observamos cuidadosamente la figura que representa la forma de la onda cuadrada, podemos notar que los armónicos que son múltiplos pares de F0 (2 F0 , 4 F0 , 6 F0 ,...) tienen una amplitud equivalente a cero y, por lo tanto, no contribuyen para nada a la forma de la onda cuadrada. Para construir la onda cuadrada sólo se necesitan los armónicos que son múltiplos impares de F0 , es decir, 3 F0 , 5 F0 , 7 F0 .,...,etc. F0 = 200 Hz. Primer Armónico =3 x 200 = 600 Hz. Segundo Armónico = 5 x 200 = 1000Hz. Frecuencia Fundamental o Primer Armónico F0 = 200 Hz. Segundo Armónico = 2 x F0 (no contribuye a la forma de la onda) Tercer Armónico = 3 x 200 = 600 Hz. Cuarto Armónico = 4 x F0 (no contribuye a la forma de la onda) Quinto Armónico = 5 x 200 = 1000 Hz. Sexto Armónico = 6 x F0 (no contribuye a la forma de la onda) ii.

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Además de tener los armónicos con las frecuencias correctas, se debe tener las amplitudes adecuadas, ya que de lo contrario jamás lograremos construir la onda compleja periódica que buscamos. En el caso de la onda cuadrada la relación de amplitud entre los armónicos que contribuyen en su construcción debe ser la siguiente: El tercer armónico debe tener una amplitud equivalente a 1/3 de la amplitud de la Frecuencia Fundamental.

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El séptimo armónico debe tener una amplitud equivalente a 1/7 de la amplitud de la Frecuencia Fundamental.

La onda cuadrada se puede resumir matemáticamente mediante la siguiente expresión general: sen(200) + 1/3sen(600) + 1/5sen(1000) + 1/7sen(1400) + ... - Los números 200, 600, etc., representan la frecuencia de cada onda senoidal. - Los números 1/3, 1/5, 1/7, etc., representan las relaciones de amplitud. SERIE DE FOURIER

La serie de Fourier de una función periódica f (x) de periodo T, también conocida como señal, definida en un intervalo de longitud T está dada por:

Sumas parciales Para la serie de Fourier de una función f (x) periódica definida en un intervalo de longitud T la k-´esima suma parcial, representada por Sk (x) está dada por:

Condiciones de convergencia Sea f (x) una función periódica definida en un intervalo de longitud T continua, excepto posiblemente en un número finito de puntos donde tiene discontinuidades finitas y que posee derivada continua también excepto en número finito de puntos donde tiene discontinuidades finitas. Entones, la serie de Fourier para f (x) converge a f (x) en todo punto de continuidad y en los puntos de discontinuidad la serie de Fourier converge a

Donde f (x+) representa el límite por la derecha a x y f (x−) representa el límite por la izquierda a x. Forma compacta de la series Fourier La serie de Fourier:

Se puede escribir en la forma compacta:

Donde

Es

más

conveniente

calcular:

SERIES COMPLEJAS DE FOURIER

La serie compleja de Fourier de una función f (x) periódica definida en el intervalo de longitud T está dada por la fórmula:

Donde

Relaci´on entre la forma compacta y la compleja: