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• Victor A.

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ESTRUCTURAS COMPLEJAS: METODO DE HANNEBERG En artículos anteriores, hemos considerado el análisis de armaduras simples y compuestos por los métodos de las articulaciones y los métodos de las secciones. Estos son métodos de análisis muy útiles para armaduras y son aplicables en la mayoría de los casos prácticos. Sin embargo, en el caso de una armadura compleja, generalmente sucede que estos métodos elementales de análisis no son directamente aplicables. En tales casos, por supuesto, siempre podemos proceder con la solución de 2j ecuaciones de equilibrio simultáneas para las j uniones del sistema, pero la voluntad

suele ser muy impracticable. Henneberg desarrolló el primer método viable de análisis para armaduras complejas y, como se lo explicó como un ejemplo específico, consideremos el armazón complejo soportado y cargado como se muestra en la figura 2.56a. Notamos de inmediato que, una vez que se han encontrado las reacciones en A y B, no se puede avanzar más en el análisis ni por el método de las articulaciones ni por los métodos. Sin embargo, observamos que al sustituir la barra AD por una barra BE, obtenemos una armadura simple como se muestra en la figura 2.56b. Un análisis completo de la armadura simple bajo cualquier condición dada de carga se puede hacer por los métodos de las articulaciones. Supongamos, entonces, que este simple entramado, que corresponde al entramado complejo dado, ha sido completamente analizado para dos condiciones particulares de carga, de la siguiente manera: (1) la misma carga que en la armadura compleja dada (Figura 2.56b) y (2) dos fuerzas de unidad iguales y opuestas que actúan entre A y D (figura 2.56c). Deje que Sli denote la fuerza axial en cualquier barra de la armadura simple debido a la carga del primer caso (Fig 2.56b) y sli la fuerza axial correspondiente debido a la carga del segundo caso (Fig 2.56c) En el segundo caso, si tenemos

fuerzas de la magnitud X en vez de fuerzas unitarias, es obvio que la fuerza axial en cualquier barra será simplemente sliX en lugar de sli. Finalmente, por la superposición de estos dos casos, concluimos que para la carga combinada que se muestra en la figura 2.56d, la fuerza axial en cualquier barra o armadura será:

Si = Sli + sliX

(a)

Y que en el caso particular de la barra sustituta BE, para lo cual usaremos el subíndice a, será:

Sa = Sla + slaX

(b)

Ahora, si elegimos X de tal magnitud que S de la ecuación (b) llega a ser cero, la barra sustituta BE queda inactiva y puede eliminarse, y la armadura de la figura 2.56d es idéntica a la armadura dada (figura 2.56d), excepto que el Sce L. Henneberg, "Statik der Starren Systeme" Bergstrasser, Darmstadr, Alemania, 1886.

ARMADURAS PLANAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS

la acción de la barra AD en el resto del sistema es reemplazada por las fuerzas X Por lo tanto, concluimos que ese valor de X que hace que Sa sea igual a cero en la ecuación (b) representa la verdadera fuerza axial en la barra AD. Procediendo de esta manera, será:

Sla + slaX = 0

(c)

A partir del cual:

′

X=

𝑆 − 𝑎 𝑠′𝑎

(d)

con el valor de X de la ecuación(d), la fuerza en cualquier otra barra de la armadura complejo dado se puede encontrar usando la ecuación (a). Se puede usar un procedimiento similar en el análisis de una armadura compleja como la de la Fig. 2.57a, donde, para arribar a una armadura simple, es necesario reemplazar dos barras AH y BG por barras ficticias GC y HD, respectivamente, como se muestra en Fig.2.57b considerando tres condiciones de carga de esta armadura simple como se muestra en (b), (c) y (d), podemos encontrar la fuerza axial correspondiente S, s y s en la barra de la armadura sin dificultad por el método de articulaciones. Denotando, entonces, por X e Y las fuerzas desconocidas en las barras AH y BG, respectivamente, del armazón complejo dado y usando la idea de superposición, encontramos la fuerza axial en cualquier barra del armazón ficticio cargado como se muestra en Fig. .2.57e lo siguiente:

Si = Sli + sliX + s”iY

(e)

Para las barras ficticias GC y HD, denotadas, respectivamente, por los subíndices a y b, tenemos:

Sa = Sla + slaX + s”aY

(f)

Sb = Slb + slbX + s”bY

(f)

Estableciendo estos valores de Sa y Sb iguales a cero, como antes, para realizar por el sistema superpuesto el caso de la armadura complejo dado, obtenemos:

X=

Y=

𝑠𝑏′ 𝑆𝑎′ −𝑠𝑎′ 𝑆𝑏′ 𝑠𝑏′ 𝑠𝑎′′ −𝑠𝑎′ 𝑆𝑏′′

(g)

𝑠𝑏′ 𝑆𝑎′ −𝑠𝑎′ 𝑆𝑏′ 𝑠𝑎′ 𝑠𝑏′′ −𝑠𝑏′ 𝑆𝑎′′

Tan pronto como se hayan encontrado los valores de X e Y a partir de las ecuaciones (g), la fuerza axial en cualquier barra de la armadura compleja se encuentra a partir de la ecuación (e) En el caso de una armadura compleja de forma crítica, encontraremos que el denominador de la expresión (d) o de la expresión (g) se convierte en cero. Esto, por supuesto, indica que el sistema es estáticamente indeterminado.