• Author / Uploaded
• Sandra Catalina Jimenez

• Categories
• Límite (Matemática)
• Secuencia
• Serie (Matemáticas)
• Exponenciación
• Análisis

Citation preview

1

SERIES El objetivo principal de esta temática del syllabus es el de representar funciones analíticas mediante series. Para tal efecto se presentarán teoremas importantes que garantizan la existencia de dichas representaciones, y ejemplos en el manejo de las series complejas. CONVERGENCIA DE SUCESIONES: Una sucesión infinita z1 , z2 , z3 ,.....zn .... de números complejos tiene límite z si, para cada número positivo  , existe un entero positivo n 0 tal que zn  z  

siempre que

n > n0

Geométricamente significa que para valores de n suficientemente grandes, los puntos z n caen en el interior de un entorno de z de radio  dado. El valor del índice n 0 en general depende del  elegido. Como el  escogido es tan pequeño como se quiera, se tiene como consecuencia que la distancia entre los puntos z n y z se hace arbitrariamente más pequeña en la medida que el subíndice n se incrementa. En otras palabras, la mayoría de los elementos de la sucesión tienden a concentrarse o a “apilarse” alrededor del valor límite z (ver figura 1). y Il us tr ac ió nz 7 1

z

z2 Il

Figura 1. Interpretación Il us El límite es único y cuando se nota como:

us tr ac éste ió n 7



zn

Il us tr x Il ac us ió tr n de convergente. ac sucesión Il 7 ió us n tr ac se dice que7 la sucesión converge al ió n 7 lim z  z

Il us tr ac ió geométrica n 7

tr ac ió existe n 7

n 

valor límite z ; y

n

En caso que el límite no exista, la sucesión se dice divergente. Teorema 1. Supóngase que zn  xn  i yn n  1, 2,3,..... y z  x  i y . Entonces lim zn  z n 

si y sólo si

lim xn  x n

y

lim yn  y n 

2

Demostración: ) Si los límites unidimensionales de la parte real e imaginaria de z n existen, entonces por definición de límite de sucesiones reales se tiene que para cada   0 existen enteros positivos n1 y n2 tales que xn  x  yn  y 



siempre que n  n1

2



siempre que n  n2

2

Si n0  max n1 , n2  entonces xn  x 

 2

yn  y 

y



siempre que n  n0

2

Ahora bien, como ( xn  i yn )  ( x  iy)  ( xn  x )  i( yn  y)  xn  x  yn  y   , n  n0 entonces zn  z   siempre que n  n0 y por tanto hemos probado que lim zn  z . n 

En sentido inverso: ) Si lim zn  z entonces para cada   0 , existe un entero positivo n 

n0 tal que ( xn  iyn )  ( x  iy)  

siempre que n  n0 .

Ahora bien, partiendo de la distancia de las componentes real e imaginaria para n  n0 y usando lo anterior se tiene que:

y

xn  x  ( xn  x)  i( yn  y)  ( xn  iyn )  ( x  iy)  

siempre que n  n0

yn  y  ( xn  x)  i( yn  y)  ( xn  iyn )  ( x  iy)  

siempre que n  n0

lo que significa que lim xn  x n

y

lim yn  y , obteniéndose lo que se quería probar. n

Nota: El teorema anterior permite afirmar lim ( xn  iyn )  lim ( xn )  i lim ( yn ) siempre, n

n

n

que los dos limites del lado derecho existan o el del lado izquierdo exista. Ejemplo 1. La sucesión zn 

1  i converge a i ya que n3 y

1 1  lim  3  i   lim 3  lim i  0  i  i n  n n    n n

Figura 2. Convergencia

i

Il

z1

z2

us tr Il Iac Il us lió u tr un s ac s14 t ió t r n r 14 a a c de lacisucesión i ó ó n n 1 1 4 4

al

Il us tr ac ió 1 n 14 Il punto us tr ac ió n 14

x

i

Il us tr ac ió n 14

3

Ejemplo 2. Sea la sucesión compleja zn  2  i

(1)n n2

n  1, 2,3,.......

(1)n  2  i(0)  2 n  n 2

Aplicando el teorema lim zn  lim(2)  i lim n 

n 

El punto de convergencia es el complejo 2  i 0  (2,0)

Figura 3. Para   0.01 , los zn con n  n0  10 quedan dentro del círculo de radio  y centro (2, 0) . Esto es z  (2)    0.01 siempre que n  n0  10 .

4

CONVERGENCIA DE SERIES 

Una serie infinita

z n 1

 z1  z2  z3  ...  zn  ... de números complejos converge a la

n

suma S si la sucesión de sumas parciales N

SN   zn  z1  z2  z3  ...  z N

( N  1, 2,3,...)

n 1



converge a S. En estos casos de convergencia se suele notar

z n 1

n

 S.

Como las sucesiones convergentes tienen límite único, de igual forma las series tienen a lo más una suma S (única). Cuando una serie no converge, se dice que diverge. Teorema 2. Sea zn  xn  iyn

n  1, 2,3,.... y S = X + iY . Entonces 

z n 1



x

si y sólo si

X

n

n 1

n

S



y

y

n 1

n

Y

Demostración: La suma parcial n-ésima

SN  z1  z2  z3  ....  z N  ( x1  iy1 )  ( x2  iy2 )  ( x3  iy3 )  ...  ( xN  iy N )  ( x1  x2  x3  ...  xN )  i ( y1  y2  y3  ...  y N ) 

N

N

n 1

n 1

 xn  i  yn  X N  i YN 

z

Ahora bien, la hipótesis

n 1

n

 S es verdadera si solo si

lim SN  S . Utilizando el

N 

teorema 1 y la expresión de arriba se tiene que N

N

lim SN  lim  xn  i lim  yn  lim X N  i lim YN  S  X + iY

N 

N 

n 1

N 

n 1

N 

N 

lado derecho

lado izquierdo



lim X N   xn  X

N 

Igualando parte real e imaginaria se llega a

n 1 

lim YN   yn  Y

N 

n 1

, lo que se quería probar.

5







n 1

n 1

n 1

 ( xn  i yn )   xn  i  yn , lo que significa que la

El teorema 2 nos permite escribir

serie compleja del lado izquierdo converge si solo si las dos series reales del lado derecho también convergen. Se pueden extender propiedades de las series reales a series complejas que se resumen en los siguientes dos corolarios: Corolario 1. Si una serie de números complejos converge, entonces el término n-ésimo converge a cero cuando n tiende a infinito. 

En símbolos:

Sí

z n 1

n

S

entonces lim zn  0 n 

Como la serie compleja converge entonces las series reales también convergen (teorema2) 

x

n

n 1



X

y

y

n

n 1

Y

Del análisis real sabemos que sí una serie converge, su termino n-ésimo tiende a cero, por lo tanto aplicando este resultado a las dos series anteriores se tiene lim xn  0

y

n

lim yn  0 n

lim zn  lim( xn  iyn )  lim xn  i lim yn  0  i0  0

Así,

n

n

n

n

De la propiedad anterior se infiere que los términos de series convergentes son acotados. 

Es decir cuando la serie

z n 1

zn  M

converge, existe una constante positiva M tal que

n

n  1, 2,3,...

Definición (de serie absolutamente convergente): 

La serie

z n 1

n

se dice absolutamente convergente si la serie 

 n 1

xn 2  yn 2

de números reales



zn   xn 2  yn 2 n 1

, zn  xn  i yn

converge .

Nota: zn  xn 2  yn 2  distancia al origen .Si los puntos están sobre un círculo de radio 1 

entonces

 n 1





n 1

n 1

zn  1  1  1  1  .... diverge, y por tanto  zn No converge absolutamente.

6

(3  4i ) n Ejemplo 3. La serie  n 2 converge absolutamente pues, la serie de los valores n 1 (5 n ) absolutos o módulos de cada zn 



 n 1

n

n n     (3  4i) n 1 3 4 1 3 4 1  9 16  1   i   i          2 n 2 2  2  2  25 25  (5 n ) 5  n 1 n 5 5 n 1 n  5 n 1 n  n 1 n 

resulta ser una p-serie convergente con p = 2 (denominada 2-serie). 

Nota: La p-serie

1

n n 1

p

 1

1 1 1  p  p  ... es convergente si p  1 y es divergente si p 2 3 4

p  1.

Interpretación geométrica del ejemplo 3. 

Las sumas parciales de

 n 1

 (3  4i)n 1 2 son:    2 (5n n 2 ) 6 n 1 n

S1  1  d ( z1 ;0) 1 22 1 S3  1  2 2 1 S4  1  2 2 1 S5  1  2 2 1 S6  1  2 2 S2  1 

Sn  1 

 d ( z1 ;0)  d ( z2 ;0) 1 32 1  2 3 1  2 3 1  2 3



 d ( z1 ;0)  d ( z2 ;0)  d ( z3 ;0) 1  d ( z1 ;0)  d ( z2 ;0)  d ( z3 ;0)  d ( z4 ;0) 42 1 1  2  2  d ( z1 ;0)  d ( z2 ;0)  d ( z3 ;0)  d ( z4 ;0)  d ( z5 ;0) 4 5 1 1 1  2  2  2  d ( z1 ;0)  d ( z2 ;0)  d ( z3 ;0)  d ( z4 ;0)  d ( z5 ;0)  d ( z6 ;0) 4 5 6 

1 1 1  2  ...  2  2 2 3 n

n

 d ( z ;0) n 1

n

donde d ( z1;0)  distancia de z1 al origen d ( z1;0)  d ( z2 ;0)  (distancia de z1 al origen) + (distancia de z2 al origen) n

 d ( z ;0)  (distancia de z n 1

n

1

al origen) + ... + (distancia de zn al origen)

Como la 2-serie es convergente, la sucesión de sus sumas parciales S1 , S2 , S3 , S4 ,....., Sn ,.....

7

es convergente. En otras palabras, la sucesión de las sumas parciales de las distancias al origen de cada uno de los zn tiende a un valor límite S, denominado el valor suma de la serie. Nótese como zn  0 cuando n   . Visto en la recta real cada S n y dado que lim Sn 

2

es el valor límite (Euler 1735, 6 función Zeta de Riemann   2  ), la sucesión de segmentos de longitud finita tiende al n 

segmento limite de longitud irracional

2 . 6

S1 S2

Sn

S

S  1.644934066

Figura 4. Gráfica de la estela de puntos zn en el plano complejo.

8

Nota: La convergencia absoluta de la serie compleja se definió en términos de la convergencia de la serie de real de números reales no negativos zn . El corolario que sigue nos da una condición necesaria entre convergencia absoluta y convergencia. 

z

Corolario 2. Sí la serie

n 1



z

converge entonces la serie

n

n 1

es convergente. Esto es, la

n

convergencia absoluta de una serie de números complejos implica la convergencia de esa serie. Demostración: Asumiendo la hipótesis de la convergencia absoluta y dado que 





xn  xn 2  yn 2

n 1

implica que

yn  xn 2  yn 2

xn   xn 2  yn 2 n 1



y n 1



x

comparación de series,

n 1

n

  xn  yn 2

n

n 1

y

y n 1

n

deben ser convergentes. Ahora bien, como el 

 xn y n 1



n 1

n

son series convergentes,

n 1



n 1

y

 yn  Y . Finalmente y usando el teorema 2, la serie

n 1

z





 xn  X y

convergente, pues

2



enunciado se cumple para series reales entonces es decir

y usando el criterio de



n



z n 1

n

es

 S  X  i Y , que era lo que se quería probar.

A menudo es conveniente definir el resto  N después de N términos cuando se ha probado el hecho de que la suma de una serie es un número dado S. Esto es,  N  S  S N , también escrito en la forma S  S N   N . Como S N  S   N  0

y lim S N  S  lim  N  0 , N 

N 

se puede afirmar que una serie converge a un número S si y sólo si la sucesión de restos tiende a cero. El anterior es un criterio muy usado en el estudio de la series de potencias. Las series de potencias son series de la forma: 

 a (z  z ) n 0

n

0

n

 a0  a1 ( z  z0 )  a2 ( z  z0 ) 2  ...  an ( z  z0 ) n  ...

donde z0 , y los an son constantes complejas, y z es cualquier punto en una región establecida que contenga a z0 . Nótese que la serie de potencias es una suma infinita de potencias enteras no negativas consecutivas en z . En series que involucran la variable z se suele notar el valor suma, suma parcial y resto mediante las funciones S ( z), S N ( z) y  ( z) respectivamente.

9 

Ejemplo 4. Verificar que

z n 0

n



1 1 z

cuando z  1 , utilizando el criterio de los restos.

Utilizando la identidad (pág. 23 sección 8)

1  z  z 2  ...  z n 

1  z n1 1 z

,z 1

las sumas parciales se pueden escribir como N 1

S N ( z )   z n  1  z  z 2  ...  z N 1  n 0

Ahora bien si, S ( z ) 

1 1 z

 N  S ( z)  SN ( z) 

1 z N 1 z

z 1

1 1 zN zN   1 z 1 z 1 z

z 1

N

Así,

N

z zN   1 z 1 z

donde se puede establecer que  N  0 cuando z  1 y por

lo tanto la verificación de la fórmula queda bien establecida. Nótese que si fórmula dada no cumple el criterio.

Nótese como los valores de la serie f ( x, y) y los del valor suma coinciden S ( x, y) .

z  1 la

10

SERIES DE TAYLOR Teorema 3. Supóngase que una función f es analítica en un disco abierto z  z0  R 0 , centrado en z0 y de radio R 0 (ver figura). Entonces, en todo punto z del disco, f ( z ) admite representación en serie de potencias y  n f ( z )   an ( z  z0 ) z  z0  R 0 n 0

donde

f ( n ) ( z0 ) an  n!

n  0,1, 2,3,.....

z R 0

z0

x

Esto es, la serie converge a f ( z ) cuando z esta en el disco abierto z  z0  R 0 . Comentarios previos a la demostración. 

La expansión de f ( z ) es el desarrollo en serie de Taylor en torno al punto z0 . Esta es la conocida serie de Taylor del análisis real adaptada a funciones de variable compleja



La serie puede reescribirse como f '( z0 ) f ''( z0 ) f '''( z0 ) ( z  z0 )  ( z  z0 ) 2  ( z  z0 )3  ... , z  z0  R0 1! 2! 3! (0) donde f ( z0 )  f ( z0 ) y 0!  1 f ( z )  f ( z0 ) 



Cualquier función que sea analítica en un punto z0 debe tener serie de Taylor en el entorno que lo contenga, ya que si f es analítica en z0 , es analítica en alguna vecindad z  z0   ; y tomando   R0 se tienen las condiciones del teorema. Por otro lado, si f es entera, el radio R0 puede elegirse arbitrariamente grande y en este caso la serie igualmente converge a f ( z ) en cada punto z del plano finito, donde la condición es z  z0   .



Cuando se conoce que f es analítica en el interior de un círculo, la convergencia de la serie de Taylor a f ( z ) para cada z interior al círculo esta garantizada y no se requiere de ninguna prueba de convergencia de la serie. En efecto, de acuerdo con el teorema de Taylor la serie converge a f ( z ) dentro del círculo de centro z0 y cuyo radio es la mínima distancia de z0 al punto z1 para el cual f deja de ser analítica. Lo que realmente se deduce es que con esta distancia mínima se obtiene el círculo más grande centrado en z0 donde la serie converge a f ( z ) para todo z interior a él.

11



La prueba del teorema se hará para la serie de Taylor cuando z0  0 , denominada la serie de Maclaurin, la prueba para un z 0 arbitrario se deduce como consecuencia inmediata de lo anterior. La serie de Maclaurin es de la forma: 

f ( z)   n 0

f ( n ) (0) n z n!

, z  R0

Demostración: Sea z  r distancia al origen de un punto z interior al círculo C0 orientado positivamente y denotado como C0 : z  r0 donde r  r0  R 0 . Nótese que C0 es cualquier círculo orientado positivamente contenido en el disco z  R0 , y suficientemente grande como para que el punto z sea interior a él. (ver figura 5)

z r

r0

s

R0

0 C0

Figura 5. Ilustración geométrica Como f es analítica dentro y sobre el círculo C0 y ya que el punto z es interior a C0 , entonces la fórmula integral de Cauchy se aplica en este caso: f ( z) 

1 f ( s)ds  C 2 i 0 s  z

 1 1 1 1 puede expresarse como    , del ejemplo 4 sz s  z s 1   z s   N 1 1 zN   zn  válido para z  1 y reemplazando z por z / s donde 1  z n 0 1 z

Ahora bien, el factor

N 1 n s z zN s   s  z n 0 s n ( s  z ) s N N 1 1 zn zN   s  z n 0 s n 1 ( s  z ) s N



N 1 1 1 1   n 1 z n  z N s  z n 0 s (s  z )s N

12

Multiplicando a ambos lados la última ecuación por f ( s) e integrando a cada lado con respecto a s a lo largo de C0 se obtiene



C0

Multiplicando por

1 a cada lado: 2 i

1

2 i C 0 Utilizando f ( z ) 

N 1 f ( s) f ( s) f ( s) ds    ds  z n  z N   ds n  1 C0 s C 0 (s  z )s N sz n 0

1

N 1 f ( s) 1 f ( s) zN f ( s) n ds   ds  z  ds n 1   C C 0 s sz 2 i 0 (s  z )s N n  0 2 i

2 i C 0

f ( s)ds sz

y

f ( n ) (0) 1 f ( s)  ds  n! 2 i C0 ( s)n 1

n  0,1, 2,3,...

Obtenemos N 1

f ( z)   n 0

f ( n ) (0) n z  N ( z) n!

donde  N ( z ) 

Solo resta probar que lim  N ( z )  0 , en cuyo caso N 

zN f ( s) ds  2 i C 0 ( s  z ) s N 

f ( z)   n 0

f ( n ) (0) n z . n!

Para tal efecto, recordemos que z  r y que C0 tiene radio r0 donde r  r0 . Entonces si s es un punto sobre C0 , s  z  s  z  r0  r .

Si M denota el valor máximo de f ( s) sobre C0 ,

Mr0  r  rN M N ( z)  2 r0    N 2 (r0  r )r0 r0  r  r0  Pero,

r  1 por que z es interior a C0 , por lo tanto r0 N

N

r Mr0  r  Mr0 lim  N ( z )  lim  lim    0   N  N  r  r r r0  r N   r0  0  0 

Así,

N

f ( z)   n 0

 lim  N ( z )  0 N 

f ( n ) (0) n f '(0) f ''(0) 2 f ( n ) (0) n z  f (0)  z z  ...  z  ..., , con z  R0 n! 1! 2! n!

13

Para verificar el teorema cuando el disco de radio R 0 esta centrado en un punto arbitrario

z0 , basta ver, que como f es analítica cuando

z  z 0  R 0 , la función compuesta

f ( z  z 0 ) es analítica cuando ( z  z0 )  z 0  R 0 , donde esta condición es en realidad

z  R 0 . Definiendo g ( z )  f ( z  z0 ) , la analiticidad de g en el disco z  R 0 garantiza la existencia de una representación en serie de Maclaurin (por lo que se demostró arriba): 

g ( n ) (0) n z n!

g ( z)   n 0 

f ( z  z0 )  

es decir,

f (n) ( z 0 )

n 0

n!

z  R0 z  R0

zn

Reemplazando z por z  z0 en la ecuación y condición anterior, se obtiene finalmente la representación o expansión en serie de Taylor de f ( z ) en torno al punto z 0 : 

f (n) ( z 0 )

n 0

n!

f ( z)  

( z  z0 ) n

donde

z  z0  R 0

Ejemplo 5. Como f ( z )  e z es una función entera, ésta tiene representación en serie de Maclaurin para toda z. Ya que f ( n ) ( z)  e z n  0,1, 2,3,... ; y f ( n ) (0)  1 n  0,1, 2,... entonces 



e   an ( z  z0 )  z

n

n 0

n 0



Si z  x  i 0 , entonces e   x

n 0

 f ( n ) (0) 1 n ( z  0)  z n n! n 0 n !

z 

1 n x . En el análisis real la interpretación del concepto de n!

serie es la siguiente: Inicialmente se parte de la sucesión de funciones: 1, x,

1 2 1 3 1 4 1 5 1 x , x, x , x ,..., x n ,... 2 6 24 120 n!

En segundo paso, se construyen las sumas parciales: S1  1

S5  1  x 

S2  1  x 1 2 x 2 1 1 S4  1  x  x 2  x3 2 6 S3  1  x 

1 2 1 3 1 4 x  x  x 2 6 24

1 2 1 3 1 4 1 x  x  x  ...  x n 1 2 6 24 ( n  1)! 1 1 1 4 1 n S n 1  1  x  x 2  x 3  x  ...  x 2 6 24 (n)! Sn  1  x 

14

Y formando la sucesión de sumas parciales tenemos:

1 , 1 x , 1 x  S1

S2

1 2 1 1 1 1 1 4 x ,1  x  x 2  x3 ,1  x  x 2  x3  x ,..... 2 2 6 2 6 24

S3

S4

S4

Usualmente escrita así: S1 , S2 , S3 , S4 , S5 ,..., Sn ,.... Ahora bien, si la sucesión de sumas parciales es convergente: lim Sn  S , y entonces se n 



 1 1 afirma que la serie  x n converge a S y suele expresarse como  x n  e x donde n 0 n ! n 0 n ! x x el valor suma de la serie corresponde a e . Aquí la función e es interpretada como el valor límite de la sucesión de sumas parciales cuando n   , esto es,

S1 , S2 , S3 , S4 , S5 ,..., Sn ,....  e x

En DERIVE se puede ilustrar lo afirmado arriba:

Figura 6. Gráficas de las funciones S20 y S21 tendiendo a e x .

15



1 n z , z   , el lado derecho es obtenido a través del n 0 n ! teorema 3(serie de Taylor) y corresponde a lim Sn . Ahora bien, como el dominio es el

Para la serie compleja e z  

n 

plano complejo, la ecuación anterior establece que para todo disco abierto de radio R alrededor del origen, el valor suma de la serie coincide con el valor de f ( z )  e z para todo z interior al disco. Para comprobar la afirmación anterior y mediante DERIVE se puede ver como los valores de e z  e x cos( y)  i e x sin( y)   e x cos y, e x sin y  coinciden con el valor de la serie para un

n suficientemente grande.

Figura 7. Graficando puntos de e z   e x cos y, e x sin y  .

A continuación la tabla de valores de e z y la serie para N=35 términos para distintos puntos del disco abierto alrededor del origen.

16

Tabla 1. Contrastando el valor de la serie (N=35) y el de la función exponencial compleja en un mismo punto z , comprobándose así la representación de la función mediante serie de Maclaurin para cada z del plano. Comprendida la parte conceptual del teorema 3 para funciones analíticas, se desarrollarán más ejemplos desde el punto de vista algebraico. Hallar la serie de Maclaurin para la función analítica z 2e3z . En este caso basta reemplazar   3n n 1 z , z  z por 3z en la serie e z   z n , z   obteniéndose así: e3 z   n 0 n ! n 0 n ! Ahora multiplicando por z 2 se llega a 

z e  2 3z

n 0

3n n 2  3k 2 z  zk  n! k  2 (k  2)!



 n2

3n 2 zn (n  2)!

, z 

que representa la función analítica como una serie de Taylor(Maclaurin). Ejemplo 6. Encontrar la representación de Maclaurin para la función entera f ( z)  sin z . Por el teorema 3 esta función dada posee serie de Maclaurin. Como sabemos que

sin z 

 eiz  eiz 1 iz iz 1  1 1  1   i n  (i)n  n  e  e    (iz ) n   (iz )n     z 2i 2i 2 i  n 0 n ! n 0 n !  2 i n 0  n ! 

n  par 0 Y como i  (1) i   entonces 2i n  impar n

n n

ya que i 2n1  (1)n i .

(1)n 2 n 1 sin z   z n  0 2n  1! 

, z 

17

Derivando término a término se puede obtener la representación de f ( z )  cos z así:  (1)n 2 n1 (1)n 2 n z  cos z   z n  0 2n  1! n  0 2n ! 

sin z  

, z 

Ejercicio: Compruebe mediante Derive la veracidad de las series complejas sin(z) y cos(z). Ejemplo 7. Encontrar la serie de Maclaurin para f ( z ) 

1 . 1 z

Como f deja de ser analítica en z  1 , consideramos el disco abierto z  1 que corresponde al más grande disco alrededor del origen donde f es analítica. Aplicando el teorema 3 f tiene representación de Maclaurin. Los coeficientes de la serie se obtienen a partir de:

f '( z ) 

1 ; (1  z )2

f ''( z ) 

luego, como f ( n ) (0) 

2 ; (1  z )3

f '''( z ) 

3! n! ; f ( n) ( z)  4 (1  z ) (1  z ) n1

n! f ( n ) (0)  n ! a  1 entonces n (1)n 1 n!

n  0,1, 2,3,... y así :

  1   an ( z  z0 )n   z n  1  z  z 2  z 3  ....  z n  ... 1  z n 0 n 0

Es decir,

 1   zn 1  z n 0

n  0,1, 2,3,..

z 1

, z 1

Nótese que lo que se obtuvo aquí es la serie geométrica donde la razón de la serie es z. Este ejemplo corresponde al ejemplo 4 pero resuelto de una forma más directa. Si reemplazamos z por 1  z se obtiene la representación en serie de Taylor de f ( z )  dentro del disco abierto con centro en z  1 y radio 1:

1 z

z  1  1 así:

 1    (1  z )n   (1)n ( z  1)n z n 0 n 0

, z 1  1

Ejercicio: compruebe que para puntos exteriores al disco

1    (1)n ( z  1)n y para z n 0

puntos interiores la igualdad es válida. Si arriba el reemplazo es z por  z entonces se obtiene:

 1   (1)n z n 1  z n 0

, z 1

18

El siguiente ejemplo permite introducir las series con potencias negativas como es el caso de las Series de Laurent , útiles para la teoría del residuo y calculo de integrales. Ejemplo 8. Expandir la función f ( z ) 

1 2z2 en serie de potencias de z . z3  z5

1  2 z 2 1 (2  2 z 2 )  1 1  1  f ( z)  3 5  3   3  2   2 z z z 1 z z  1 z2  Como f deja de ser analítica en z  0 entonces No existe serie de Maclaurin para esta 1 función. Cambiando z por 1  z 2 en la expansión se obtiene la expansión de z  1   (1)n ( z)2n  1  z 2  z 4  z 6  z8  z10  ... 1  z 2 n 0

, z 1

y así, para la región 0  z  1 ( Disco abierto perforado) se tiene

Figura 8. Disco abierto perforado con centro en z  0 . f ( z) 

1 1 1  2  (1  z 2  z 4  z 6  z 8  z10  ...)   3   z  z 3  z 5  z 7  .... . 3  z z z

Los términos

1 1  z 3 y  z 1 son las potencias negativas de la expansión anterior. 3 z z

A continuación encontrará una deducción que permite comprender el teorema de la serie de expansión de Laurent. Considérese z0 un punto arbitrario del plano complejo y dos círculos concéntricos alrededor de él donde C es el círculo exterior de radio R y C1 es el círculo interior de radio R1 (ver figura 9). Asumiendo que f es analítica dentro del dominio anular (y donde por fuera f puede o no ser analítica) y eligiendo un punto arbitrario z con un pequeño circulo C2 alrededor de él se puede ver que las integrales de contorno que conectan el círculo C2 con C1 y C suman cero (aplicando el teorema de Cauchy–Goursat de la sección 49 para dominios múltiplemente conectados), que conduce a la expresión:

f ( s)

f ( s)

f ( s)

 s  z ds   s  z ds   s  z ds

C

C1

C2

19

y R

C2

R1

C1

z0

C

z

x Figura 9. Situación geométrica en la deducción de la expansión de Laurent.

Como f ( s) es analítica dentro de C2 , 2 i f ( z ) 

f (s)

 s  z ds

C2

entonces la expresión inicial se convierte en: f ( s)

f ( s)

 s  z ds   s  z ds  2 i f ( z)

C

C1

Las expresiones



f ( z) 

1 f ( s) 1 f ( s) ds  ds   2 i C s  z 2 i C 1 z  s

1 1 y escritas como series geométricas toman la siguiente forma: sz zs

1 1 1 1    s  z s  z0  z  z0 s  z0 [1  ( z  z0 ) ( s  z0 )]

, la razón de la serie es

2 n   z  z0  1  z  z0  z  z0  1      ...     ... s  z0  s  z0  s  z 0    s  z0  



z  z0 ( z  z0 ) 2 ( z  z0 ) n 1    ...   ... s  z0 ( s  z0 ) 2 ( s  z0 ) 3 ( s  z0 ) n 1

1 1 1 1    z  s z  z0  s  z0 z  z0 [1  ( s  z0 ) ( z  z0 )]

s  z0 ( s  z0 ) 2 ( s  z0 ) n 1 1     ...  s  z0 ( z  z0 ) 2 ( z  z0 ) 3 ( z  z0 ) n

,

z  z0 1 s  z0

,

z  z0  1  z  z0  R s  z0

, la razón de la serie es

2 n   s  z0  1  s  z0  s  z0  1      ...   ...    s  z0  z  z0  z  z 0  z  z0    

z  z0 s  z0

s  z0 z  z0

,

s  z0 1 z  z0

,

s  z0  1  R1  z  z0 z  z0

20

Reemplazando estas expresiones en la siguiente ecuación se obtiene la serie de Laurent:

f ( z) 

1

f ( s)

1

f ( s)

ds  ds 2 i  s  z 2 i  z  s C

C1

 1  f ( s) 1 f ( s) 1 f ( s)  ds  ( z  z0 )  ds  ...  ( z  z0 ) n  ds  ...  2 n 1    2 i C ( s  z0 ) 2 i C ( s  z0 )  2 i C s  z0   1 1 1 1   f ( s )ds   f ( s )( s  z0 )ds  ...  2  ( z  z0 ) 2 i C1  ( z  z0 ) 2 i C 1 

 1 1 n 1   f ( s )( s  z ) ds  ... 0 ( z  z0 ) n 2 i C1 

, R1  z  z0  R

Equivalente a

 b  bn b2 f ( z )   a0  a1 ( z  z0 )  ...  an ( z  z0 ) n  ....   1   ...   ... 2 n ( z  z0 )  z  z0 ( z  z 0 )  f ( z) 



 a (z  z ) n 0

n

n

0





bn

 (z  z ) n 1

, R1  z  z0  R

n

0

donde,

an 

1

f ( s) ds

2 i  ( s  z )

n  0,1, 2,3,.....

n 1

0

C

bn  ,

1

f ( s) ds

2 i  ( s  z ) C

 n 1

n  1, 2,3,.....

0

Si f ( z ) es analítica en z0 , entonces a1  a2  ...  an  ...  0 y la serie de Laurent se reduce a la serie de Taylor. Sí z0 es una singularidad de f ( z ) , entonces la expansión de Laurent incluye tanto potencias positivas como negativas. Nótese que si reemplazamos n por  n en la segunda serie la expansión de Laurent toma la forma

f ( z) 



 a (z  z ) n 0

donde a n 

n

0

1

n

1





n

f ( s) ds

2 i  ( s  z ) C

0

n 1

b n ( z  z0 ) n

, R1  z  z0  R

1 f ( s) ds , n  0,1, 2,3,... b  n   2 i C ( s  z0 ) n1 ,

, n   1,  2,  3,...

El coeficiente del término ( z  z0 ) 1 , b 1 , es el residuo y así será definido más adelante en la sección de la teoría de residuos.

21

b Sí, cn    n  an

n  1 n0

entonces f ( z ) 



 c (z  z )

n  

n

n

0

, R1  z  z0  R

donde los coeficientes quedan expresados mediante:

cn 

1

f ( s) ds

2 i  ( s  z ) C

n 1

, n  0, 1,  2,...

0

Cualquiera de las dos formas es conocida como la expansión en serie de Laurent. Finalmente, cabe mencionar que si z es usada en lugar de s como variable de integración, las expresiones para los coeficientes an y b n coinciden con los del siguiente teorema: SERIES DE LAURENT Teorema 4. Supóngase que una función

f es analítica en un dominio anular

R1  z  z0  R 2 , centrado en z0 y sea C un contorno cerrado simple orientado positivamente alrededor de z0 y dentro del dominio anular (ver figura). Entonces, en todo punto z del dominio, f ( z ) admite la representación en serie de potencias 

f ( z )   an ( z  z0 ) n  n 0

donde

an  bn 

y

1 2 i



C

1



bn

 (z  z ) n 1

f ( z ) dz ( z  z0 )n1 f ( z ) dz

2 i  ( z  z ) C

n

R1  z  z0  R 2

0

 n 1

R2

z

y C

n  0,1, 2,3,..... z0

n  1, 2,3,.....

R1

x

0

Esto es, la serie denominada de Laurent converge a f ( z ) cuando z esta en el dominio anular R1  z  z0  R 2 . Comentarios: 

Cuando f deja de ser analítica en un punto digamos z 0 , no es posible aplicar el teorema de Taylor en ese punto. Sin embargo, a menudo es posible encontrar una representación en serie para f ( z ) que involucra tanto potencias positivas como negativas de z  z0 .



Si f deja de ser analítica en z0 pero lo es en toda parte del disco z  z0  R2 , el radio R1 puede escogerse arbitrariamente pequeño. En este caso la representación en serie de Laurent de f es válida en el disco perforado 0  z  z0  R2 . De manera similar, si f es analítica en todo punto del plano finito exterior al círculo

22

z  z0  R1 , la condición de validez es R1  z  z0   . Además nótese que si f es analítica en todo el plano finito excepto en z0 , la representación de Laurent es válida en todos los puntos de analiticidad o si se quiere en 0  z  z0   el plano perforado en z 0 . Ejemplo 9. Las expansiones de Laurent suministran un formalismo para la clasificación de las singularidades de una función. Las singularidades aisladas son de tres tipos: 

1 Singularidad Esencial: considérese la función f ( z )  cos   . Usando la expansión z 1 1 1 1 de coseno: cos    1     .... para 0  z   . 2 4 2! z 4! z 6! z 6 z

Nótese que esta serie nunca trunca las potencias inversas de z .Las singularidades esenciales tienen expansiones de Laurent que tienen un número infinito de potencias inversas de ( z  z0 ) . El valor del residuo para esta singularidad esencial en z  0 es b1  0 . 

Singularidad Removible. Considérese la función f ( z )  singularidad en z  0 . Aplicando la expansión para sin z ,

sin z . Esta función tiene z

 sin( z ) 1  z3 z5 z7 z9 z 2 z 4 z5 z8   z      ...   1      ... . para todo z  0 . z z 3! 5! 7! 9! 3! 5! 7! 9!  Nótese que aquí f ( z ) se hace analítica definiéndola mediante la serie y en el proceso se removió la singularidad. El residuo para una singularidad removible siempre es cero ( b1  0 ).



Polo de orden n. Considérese la función

f ( z) 

1 ( z  1)3 ( z  1)

Esta función tiene dos singularidades: una en z  1 y la otra en z  1 . Consideremos sólo el caso de z  1 . Mediante el uso del algebra se puede ver que

f ( z) 

1 1 1 1 1 z 1     donde la razón es 3 3 ( z  1) 2  ( z  1) 2 ( z  1) 1  ( z  1) 2 2

 z  1 ( z  1) 2 ( z  1)3  1 1    1    ... 3  2 ( z  1)  2 4 8  1 1 1 1 f ( z)      ... 0  z 1  2 3 2 2( z  1) 4( z  1) 8( z  1) 16

23

Como la más grande potencia inversa (negativa) es tres, la singularidad en z  1 es un polo 1 de tercer orden; el valor del residuo es b1  . En general un polo de primer orden se 8 denomina polo simple. Ejemplo 10. Encontrar la expansión de Laurent para f ( z ) 

z alrededor del ( z  1)( z  3)

punto z  1. Adecuando el numerador y denominador, f ( z ) se puede reescribir:

1  ( z  1) 1 1  ( z  1)   ( z  1)  2  ( z  1)  2 ( z  1) 1  ( z  1)  2   1 1  ( z  1) 1 z 1    donde la razón es 2 ( z  1) 1  ( z  1) 2 2 2  1  1   z  1 ( z  1)     1 1    ... 2  z 1   2 4 

f ( z) 

 1 1 1   1 ( z  1)   ( z  1) ( z  1) 2           ...  4   8 8   2 ( z  1) 2   4 1 1 3 3 3     ( z  1)  ( z  1) 2  ... , donde 0  z  1  2 2 ( z  1) 4 8 16 por lo tanto, hay un polo simple en z  1 y el valor del residuo es b1  

1 . 2

Un procedimiento similar se hace para la serie de Laurent alrededor de z  3 . 1

Ejemplo 11. Podemos encontrar la serie de Laurent para e z simplemente reemplazando 1 z por en la serie de Maclaurin de e z : z 

ez   n 0

1 z



zn z z 2 z3  1     ... n! 1! 2! 3!

z 

1 1 1 1  1    ... n 2 1! z 2! z 3! z 3 n 0 n ! z

e 

0 z 

Como los coeficientes de las potencias positivas son nulos, éstas no aparecen en la 1 expansión. Nótese también que el coeficiente de es la unidad. De acuerdo con el z teorema de Laurent este coeficiente anterior es el número

24

b1 

1

1

 e z dz donde C es cualquier contorno cerrado simple orientado positivamente

2 i C

alrededor del origen. Ya que b1  1 , entonces la integral 1 z

 e dz  2 i C

El método anterior es de uso común en la evaluación de integrales complejas y será usado ampliamente más adelante como una de las aplicaciones de la teoría del residuo.