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• Eddy Bazán

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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

2007-2008

CAPÍTULO 1 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME: Cuando una partícula describe una trayectoria circular cambiando su posición recorriendo arcos iguales en tiempos iguales o ángulos iguales en tiempos iguales. Periodo (T): es el tiempo empleado en recorrer una vuelta completa. T=

t n

T=

1 f

Unidades seg.

Frecuencia (f): es el número de revoluciones por unidad de tiempo. n 1 Unidades f= f= t T 1 Hertz ; seg.

Velocidad angular (ω): es el ángulo descrito por el radio en la unidad de tiempo. ω=

θ t

ω=

2π T

Unidades rad. 1 o seg. seg.

Velocidad tangencial (V): es un vector constante en magnitud pero cuya dirección está cambiando por ser siempre tangente a la trayectoria circular. 2πr T

V=

V=

2πr f

V=

Aceleración Normal o Centrípeta (ac): es la aceleración que tiene la dirección del radio y está dirigida hacia el centro.

a = aT + a C Como ω = cte.; V = cte. en M.C.U.

a = aT + a C a = aC Entonces aC =

V2 r

aC =

ω2 r

ωr

Unidades m. seg.

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Fuerza Centrípeta (Fc): es la fuerza necesaria para producir un M.C.U.; su dirección es perpendicular a la velocidad y está dirigida hacia el centro de la circunferencia descrita.

ΣF = ΣFT + ΣFC Como ω = cte.; V = cte. en M.C.U.

ΣF = ΣFT + ΣFC ΣF = ΣFC ΣFC = m aC Entonces

FC =

m V2 r

FC =

m ω2 r

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Un cuerpo recorre a razón de 5 vueltas por seg. Un círculo de 3 m. de radio:  ¿Cuál es la velocidad angular?  ¿Cuál es la velocidad del cuerpo?  ¿Cuál es la aceleración centrípeta? Datos f = 5 Hz. r = 3 m. ω= ? V= ? aC = ?

ω = 2πf ω = 2 (3.1416) (5 1/seg.) ω = 31.416 1/seg.

V= V= V=

ωr (31.416 1/seg.) (3 m.) 94.248 m./seg.

aC = ω2 r aC = (31.416 1/seg.)2 (3 m.) aC = 2.96 x 103 m./seg.2

2. Un cuerpo recorre un círculo de radio r con velocidad angular ω, su aceleración centrípeta es: V2 a. ac = ω2/r aC = r b. ac = ωr ω = 2π [(2 π /T) r]2 2 a = T C c. ac = ω r r d. ac = ω/r2 ( ω r)2 aC = r 2 2 ω r aC = r aC = ω2 r

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3. ¿Cuál es la velocidad angular de una rueda de radio 10 m., si un punto de la circunferencia tiene una aceleración centrípeta igual a la aceleración de la gravedad?

aC = r= ω=

Datos ag = 10 m/seg.2 10 m. ?

aC = ω2 r2 ω = √(aC /r) ω=

√[(10 m./seg.2)(10 m.)] √(1 m./seg.2)

ω= ω = 1 rad./seg.

4. Un ciclista que recorre un círculo de radio 20m., tiene una velocidad angular de 0,5rad./seg., ¿cuál es su aceleración centrípeta? Datos ω = 0.5 rad./seg. r = 20 m. aC = ?

aC = ω2 r aC = (0.5 rad./seg.)2 (20 m.) aC = 5 m./seg.2

5. Una esfera hace 5/π revolución por seg., al extremo de una cuerda de 3 m.  ¿Cuál es la velocidad de la esfera? a. 15 m/seg. ω= 2πf b. 30 m/seg. ω = 2 π 5 rev. /seg. c. 31.4 m/seg. π ω = 10 rev./seg. d. 60 m/seg. e. 75 m/seg.



V= ω r V = (10 rev./seg.)(3 m.) V = 30 m./seg.

¿Cuál es su aceleración? a. 30 m/seg. aC = ω2 r m b. 31.4 /seg. aC = (10 rev./seg.)2 (3 m.) aC = 300 m./seg.2 c. 300 m/seg. d. 600 m/seg. e. 900 m/seg.

6. ¿Cuál es la aceleración centrípeta m./h2 del extremo de la aguja de los minutos de un reloj, longitud L en m. V2 2 a = C a. 4 π r r b. 4 π2 / r [(2 π /T) r]2 aC = c. 2 π r 2πr r d. /60 2 2 4π r 1 r aC = e. /2 π T2 r T = 1 h. aC = 4 π2 r r = m. m. aC = h2

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7. Un auto de masa m describe un círculo de radio r, con velocidad angular ω, con velocidad lineal v y con aceleración centrípeta a. Un segundo auto de masa M describe otro círculo concéntrico de radio r’. Los dos hacen una vuelta en el mismo tiempo.  La velocidad angular del segundo auto es: a. ω ω = 2 π /T mω b. /M ω' = 2 π /T Mω c. /m Entonces rω ω = ω’ d. /r’ e. 

/r

La velocidad lineal del segundo auto es: a. v v = ωr mv b. /M ω = v/r (1) Mv Igualamos (1) y (2) c. /m d. e.



r’ ω

rv

v

v’

/r =

/r’

r’ v

/r’ /r

r’v

v' =

/r

v' = ω r ω = v’/r’ (2)

La aceleración centrípeta del segundo auto es: a. a v’2 ma a ’ = C b. /M r c. d. e.

Ma

/m

ra

/r’

aC’ =

R’

r’ a

/r

[(r’v /r)]2

aC’ = aC’ = aC’ =

r'2 v2 r2 r’ r'2 v2 r r r’

a=

v2 r'

r’a

/r

8. Un cuerpo da N vueltas por segundo en un círculo de radio r.  En un segundo el cuerpo recorre un ángulo expresado en radianes de: a. N f = N/seg. 1 b. /N ω = 2πf c. 2 π ω = 2 π N/seg. d. 2 π N ω = 2 π N rad./seg. 2π e. /N

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME 

La velocidad angular es: a. N f = N/seg. 1 b. /N ω = 2πf c. 2 π ω = 2 π N/seg. d. 2 π N ω = 2 π N rad./seg. 2π e. /N



En 1 segundo, el cuerpo recorre una distancia de: a. N S θ = /r b. N r c. 2 π r ω= θ d.

2πN

/r

e. 2 π N r



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t ω = S/r t S= ωrt S = 2 π N rad. (r) (1 seg.) seg. S= 2π Nr

La velocidad del cuerpo es: a. N V = ωr b. N r V = 2π Nr c. 2 π r d.

2πN

/r

e. 2 π N r 

La aceleración centrípeta del cuerpo es: a.

N

/r

b. N2/r c. 4 π2 N2 r d. 4 π2 N2 r2

aC = aC = aC =

ω2 r (2 π N)2 r 4 π2 N2 r

e. 4 π2 N2/r 9. ¿Cuánto vale la aceleración de un punto de la llanta de un volante de 1 m. de diámetro y que gira a 1200 revoluciones por minuto? f= d= ω= aC =

Datos 1200 rev./min. 1 m. ? ?

f = 1200 rev. x 1 min. min. 60 seg. rev. f = 20 /seg. ω = 2πf ω = 2 (3.1416) (20 rev./seg.) ω = 125.66 rev./seg.

aC = ω2 r aC = (125.66 rev./seg.)2(0.5m) aC = 7895.72 m./seg.2

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10. ¿Cuál es la velocidad angular de un disco que gira 13.2 radianes en 6 seg.? ¿Cuál es su periodo? ¿Cuál es su frecuencia?

θ= t= ω= T= f=

Datos 13.2 rad. 6 seg. ? ? ?

ω= θ t ω = 13.2 rad. 6 seg. ω = 2.2 rad./seg.

T=

T=

2π ω 2 (3.1416) 2.2 rad./seg. 2.856 seg.

f= f= f=

T-1 (2.856 seg.)-1 0.35 1/seg.

T=

11. ¿Qué tiempo necesitará el disco anterior (a) para girar un ángulo de 780º, (b) para dar 12 revoluciones?

ω= θ= θ= tA = tB =

Datos 2.2 rad./seg. 780º = 13.6 rad. 12 rev. = 75.4 rad. ? ?

ω= θ tA tA = θ ω tA = 13.6 rad. a 2.2 rad./seg. tA = 6.181 seg.

ω= θ tB tB = θ ω tB = 75.4 rad. v 2.2 rad./seg. tB = 34.272 seg.

12. Una rueda da 120 revoluciones por minuto teniendo un diámetro de 3 m. Calcular su frecuencia, su periodo, su velocidad angular y la velocidad lineal de un punto del borde de la rueda.

f= d= T= ω= V=

Datos 120 rev./min. 3 m. ? ? ?

f = 120 rev. x 1 min. min. 60 seg. f = 2 rev./seg.

T= T= T=

f-1 (2 rev./seg.)-1 0.5 seg.

ω = 2πf ω = 2 (3.1416) (2 rev/seg.) ω = 12.56 rev./seg.

V= V= V=

ωr (12.56 rev./seg.) (1.5 m.) 18.84 m./seg.

13. Un disco de 50 cm. de radio da 400 revoluciones en 5 minutos. Calcular su frecuencia, su periodo, su velocidad angular y la velocidad lineal de los puntos de su periferia.

f= r= T= ω= V=

Datos 80 rev./min. 50 cm. = 0.5 m. ? ? ?

f = 80 rev. x 1 min. min. 60 seg. f = 1.333 rev./seg. ω = 2πf ω = 2 (3.1416) (1.333 rev/seg.) ω = 8.38 rev./seg.

T= T= T=

f-1 (1.333 rev./seg.)-1 0.75 seg.

V= ωr V = (8.38 rev./seg.) (0.5 m.) V = 4.19 m./seg.

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14. Bajo la acción del viento una puerta gira un ángulo de 90º en 5 seg. Calcular su velocidad angular y su velocidad lineal en los puntos del borde si el ancho de la puerta es de 50 cm.

θ= r= t= ω= V=

ω= θ t ω = π/2 rad.

Datos π 90º = /2 rad. 50 cm. = 0.5 m. 5 seg. ? ?

V= ωr V = (0.31416 rad./seg.) (0.5 m.) m. V = 0.15708 /seg.

5 seg. ω = 0.31416 rad./seg.

15. La Luna gira alrededor de la Tierra, efectuando una revolución completa en 27.3 días. Supóngase que la órbita sea circular y que tenga un radio de 385000 km. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración de la Luna hacia la Tierra? Datos r = 385000 km. T = 27.3 días aC = ?

r = 385000 km. x 1000 m. 1 km. r = 3.85 x 108 m. T= T=

27.3 días x 86400 seg. 1 día 6 2.36 x 10 seg.

V= 2πr T V = 2 (3.1416) (3.85 x 108 m.) 2.36 x 106 seg. V = 1025 m./seg.

aC = V2 r aC = (1025 m./seg.)2 3.85 x 108 m. aC = 2.73 x 10-3 m./seg.2 16. Se hace girar horizontalmente un cuerpo de 1 kg. atado al extremo de una cuerda describiendo una circunferencia de 1 m. de radio a una velocidad de 3 revoluciones por segundo. Determinar:  La velocidad lineal en m/seg.  La aceleración centrípeta  La fuerza ejercida sobre el cuerpo por la cuerda

m= r= f= V= aC = FC =

Datos 1 kg. 1 m. 3 rev./seg. ? ? ?

V= V= V=

2πr f 2 (3.1416) (1m.) (3 rev./seg.) 18.85 m./seg.

aC =

V2 r (18.85 m./seg.)2 1 m. 355.32 m./seg.2

aC = aC =

FC = m aC FC = (1kg.) (355.32 m./seg.2)2 FC = 355.32 N

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17. Un cuerpo de 1.5 kg. recorre una circunferencia de 25 cm. de radio con una velocidad de 2 rev./seg.. Hallar:  La velocidad lineal  La aceleración  La fuerza centrípeta aplicada al cuerpo

m= f= r= V= aC = FC =

aC = V2 r aC = (3.14 m./seg.)2 0.25 m. aC = 39.44 m./seg.2

ω = 2πf ω = 2 (3.1416) (2 rev./seg.) ω = 12.57 rev./seg.

Datos 1.5 kg. 2 rev./seg. 25 cm. = 0.25 m. ? ? ?

V= ωr V = (12.57 rev./seg.) (0.25 m.) V = 3.14 m./seg.

FC = m aC FC = (1.5 kg.) (39.44 m./seg.2) FC = 59.16 N

18. Un cuerpo de 10 kg. recorre una circunferencia de 1.5 m. de radio con una velocidad de 4 rev./seg.. Calcular la velocidad lineal, la aceleración y la fuerza centrípeta ejercida sobre el cuerpo. aC = V2 r aC = (37.76 m./seg.)2 1.5 m. aC = 950.55 m./seg.2

ω = 2πf ω = 2 (3.1416) (4 rev./seg.) ω = 25.17 rev./seg.

Datos m = 10 kg. f = 4 rev./seg. r = 1.5 m. V= ? aC = ? FC = ?

V= ωr V = (25.17 rev./seg.) (1.5 m.) V = 37.76 m./seg.

FC = m aC FC = (10 kg.) (950.55 m./seg.2) FC = 9505.5 N

19. Hallar la aceleración centrípeta de un punto situado en el Ecuador. Tómese el radio ecuatorial igual a 6400 km. y el día sideral de 24 horas. Datos r = 6400 km. T = 24 horas aC = ?

r = 6400 km. x 1000 m. 1 km. r = 6.4 x 106 m. T= T=

24 horas x 3600 seg. 1 hora 8.64 x 104 seg.

aC = 4 π2 r T2 aC = 4 (3.1416)2 (6.4 x 106 m.) (8.64 x 104 seg.) aC = 0.034 m./seg.2

20. Un automóvil describe una curva cuyo radio es de 50 m. con una velocidad de 54 km./h.. Calcular su aceleración centrípeta Datos V = 54 km./h. r = 50 m. aC = ?

V = 54 km. x 1 h. x 1000 m. h. 3600 seg. 1 km. m. V = 15 /seg.

aC = V2 r aC = (15 m./seg.)2 50 m. aC = 4.5 m./seg.2