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CONTROL ESTADISTICO DE PROCESOS

POR: KEVIN AMAYA BAUTISTA FRANKLYN CHOLES MENDOZA JAVIER CONTRERAS ARISTIZABAL LIBARDO ESCOBAR TOLEDO YOHANY GIRALDO CARLOS RODRIGUEZ MORENO

MODULO ACADÉMICO

CONTENIDO CAPÍTULO 1 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….3 1.

DEFINICIÓN DE CALIDAD .............................................................................................................................................................. 5 1.1. GENERALIDADES ........................................................................................................................................................................ 5 1.1.1. ¿A QUÉ LLAMAMOS CALIDAD? ........................................................................................................................................ 6 1.1.2. DIMENSIONES DE LA CALIDAD ....................................................................................................................................... 6 1.2. BREVE HISTORIA DEL CONTROL Y MEJORAMIENTO DE LA CALIDAD ................................................................................ 7 1.3. FILOSOFÍA DE CALIDAD Y ESTRATEGIAS DE ADMINISTRACIÓN......................................................................................... 7 1.3.1. Estándares de calidad y certificación........................................................................................................................ 8 1.3.2. Seis Sigma ...................................................................................................................................................................... 9 1.3.3. Justo a tiempo, manufactura, Poka-Yoke, y otras................................................................................................. 9 1.3.4. Gestión De Calidad Total (TQM) ................................................................................................................................. 10 1.4. COSTOS ASOCIADOS A LA CALIDAD ..................................................................................................................................... 10 1.4.1. CLASIFICACIÓN DE LOS COSTOS DE LA CALIDAD ...................................................................................................... 10

CAPÍTULO 2…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….16 TÉRMINOS ESTADÍSTICOS PARA RECORDAR ....................................................................................................................................... 17 2.

TÉCNICAS ESTADÍSTICAS ÚTILES PARA EL MEJORAMIENTO DE LA CALIDAD. .................................................................... 17 2.1. DEFINICIONES BÁSICAS ......................................................................................................................................................... 17 2.2. TEORIA DE LA PROBABILIDAD ............................................................................................................................................. 20 2.3. VARIABLES ALEATORIAS ...................................................................................................................................................... 22 2.4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ................................................................................................................................. 22 2.4.1. DISTRIBUCIONES DISCRETAS ..................................................................................................................................... 23 2.4.2. DISTRIBUCIONES CONTINUAS.................................................................................................................................... 27 2.5. Cadenas de markov ............................................................................................................................................................. 29 2.6. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE JI-CUADRADA ............................................................................................................. 32 2.7. HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS BÁSICAS PARA EL CONTROL DE LA CALIDAD ............................................................ 37 2.7.1. Histograma.................................................................................................................................................................... 37 2.7.2. DIAGRAMA DE PARETO ................................................................................................................................................39 2.7.3. DIAGRAMA DE CAUSA Y EFECTO ................................................................................................................................. 41 2.7.4. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN ........................................................................................................................................ 42

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MODULO ACADÉMICO 2.7.5. CARTA DE VERIFICACIÓN ............................................................................................................................................ 43 2.7.6. DIAGRAMA DE CONCENTRACIÓN DE DEFECTOS ...................................................................................................... 43 2.7.7. CASITA DE LA CALIDAD ............................................................................................................................................... 44 2.7.8. CARTAS DE CONTROL .................................................................................................................................................. 45 CAPÍTULO 3……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………47 DEFINICIONES BÁSICAS ......................................................................................................................................................................... 48 3. ANÁLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO .............................................................................................................................. 48 3.1. CAUSAS COMUNES Y ESPECIALES DE VARIACION .......................................................................................................... 49 3.2. TIPOS DE PROCESOS............................................................................................................................................................50 3.2.1. Algunos tipos de procesos más comunes............................................................................................................... 51 3.3. INDICES DE CAPACIDAD ....................................................................................................................................................... 51 3.3.1. INDICE DE CAPACIDAD POTENCIAL, Cp ..................................................................................................................... 53 3.3.2. INDICE DE CAPACIDAD REAL DEL PROCESO ........................................................................................................... 54 3.3.3. DETERMINACIÓN DE LA PROPORCION DE PRODUCTOS NO CONFORMES ...........................................................59 3.3.4. Intervalos de confianza y pruebas para los índices de capacidad del proceso: ......................................... 62 3.4. EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................................................................. 80 CAPÍTULO 4……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………87 4.

Cartas de control.......................................................................................................................................................................88 4.1. generalidades ........................................................................................................................................................................88 4.1.1. TIPOS DE CAUSAS ..........................................................................................................................................................88 4.2. COMPONENTES DE UNA CARTA DE CONTROL. ..................................................................................................................88 4.3. OBJETIVOS DE LAS CARTAS DE CONTROL. .......................................................................................................................89 4.4. VENTAJAS DE UTILIZAR CARTAS DE CONTROL .................................................................................................................89 4.5. ANÁLISIS DE PATRONES DE COMPORTAMIENTO EN LAS CARTAS DE CONTROL .........................................................90 4.6. CONDICIONES NECESARIAS PARA APLICAR LAS CARTAS DE CONTROL ......................................................................93 4.7. CARTAS DE CONTROL Y PRUEBA DE HIPÓTESIS. .............................................................................................................93 4.8. TIPOS DE CARTAS DE CONTROL .........................................................................................................................................95 4.8.1. CARTAS DE CONTROL PARA VARIABLES ...................................................................................................................95 4.8.2. CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS.................................................................................................................. 117 4.8.3. CARTAS DE CONTROL PARA NO CONFORMIDADES (DEFECTOS) – C y U............................................................ 141

CAPÍTULO 5…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………154

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MODULO ACADÉMICO 5

MUESTREO POR ACEPTACIÓN ..................................................................................................................................................155 5.1 Aspectos importantes .........................................................................................................................................................155 5.2 Enfoques para la dictaminación de lotes .......................................................................................................................155 5.3 Ventajas y desventajas del muestreo ............................................................................................................................ 156 5.4 TIPOS DE PLANES DE MUESTREO DE ACEPTACIÓN......................................................................................................... 156 5.4.1 Plan de muestreo único ............................................................................................................................................ 156 5.4.2 Plan de muestreo Doble ........................................................................................................................................... 158 5.5 PLANES CON UNA SOLA MUESTRA POR ATRIBUTOS. ..................................................................................................... 159 5.5.1 Definición de un plan con una sola muestra. ....................................................................................................... 159 5.5.2 La curva OC ................................................................................................................................................................ 160 5.5.3 Curva de Operación perfecta ................................................................................................................................... 161 5.5.4 Puntos específicos en la Curva OC.......................................................................................................................... 161 5.5.5 Curvas de operación tipo A y tipo B ...................................................................................................................... 163 5.5.6 Inspección con rectificación .................................................................................................................................. 163 5.6 DISEÑO DE PLANES DE MUESTREO ................................................................................................................................... 165 5.6.1 Método matemático ................................................................................................................................................... 165 5.7 MUESTREO DOBLE MULTIPLE Y SECUENCIAL................................................................................................................... 166 5.7.1 Muestreo Doble. .......................................................................................................................................................... 166 5.7.2 La curva OC................................................................................................................................................................. 169 5.7.3 La curva promedio de las muestras ...................................................................................................................... 170 5.8 PLAN DE MUESTREO MULTIPLE ........................................................................................................................................... 170 5.9 PLAN DE MUESTREO SCUENCIAL........................................................................................................................................ 170 5.10 MILITARY ESTÁNDAR 105E (ANSI/ASQCZ1.4; ISO 2859) .............................................................................................. 170 5.10.1 Descripción ................................................................................................................................................................. 170 5.10.2 Procedimiento ............................................................................................................................................................ 171 5.10.3 Curva de operación característica ...................................................................................................................... 172 5.11 MUESTREO CONTINUO .......................................................................................................................................................... 175 5.12 NIVEL DE CALIDAD INDIFERENTE ....................................................................................................................................... 176

ANEXOS………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..179

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CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LA CALIDAD

Este capítulo proporciona una breve introducción a los principios básicos, definiciones y conceptos relacionados con el control y mejoramiento de la calidad. Enmarca ejemplo de aplicabilidad y establece las herramientas estadísticas necesarias para facilitar el entendimiento de la temática tratada.

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MODULO ACADÉMICO

1. DEFINICIÓN DE CALIDAD 1.1. GENERALIDADES El concepto del término CALIDAD, así como su desarrollo ha sufrido un proceso variable a lo largo del tiempo. Antiguamente existía únicamente la “idea” de calidad, conocida tanto por el vendedor como por el cliente. Con el paso del tiempo la “idea” se ha comenzado a cuantificar, convirtiéndose en algo “ponderable” a través de diferentes sistemas de gestión de calidad, en algunos casos obligatorio para empresas de nueva creación, como es el Análisis de Peligros y Puntos de Control Críticos (APPCC), y en otros recomendable para la obtención de un distintivo que haga el producto más competitivo en el mercado, como son las normas ISO 9000. En los últimos tiempos el desarrollo e implantación de los sistemas de calidad en todas las industrias, y principalmente en la industria alimentaria ha servido como elemento diferenciador y potenciador de las mismas ante un mercado cada vez más exigente, siendo la certificación ISO 9001/2000 un objetivo común perseguido por la gran mayoría de empresas. La calidad se ha convertido en uno de los factores de decisión más importantes de los consumidores para elegir entre productos y servicios que compiten. El fenómeno es generalizado, sin importar si el consumidor es un individuo, una organización industrial, una tienda minorista o un programa de defensa militar. Hay muchas maneras de definir calidad. La definición tradicional de calidad se basa en el punto de vista de que los productos y los servicios deben cumplir con los requerimientos de quienes los usan. Calidad significa adecuación para uso. En la adecuación para uso se distinguen dos aspectos generales: calidad de diseño y calidad de conformidad.  Calidad de Diseño: Todos los productos o servicios se producen con varios grados o niveles de calidad. Estas variaciones en los grados o niveles de calidad son internacionales y, por consiguiente, el término técnico apropiado es calidad de diseño. Este factor engloba todas las funciones y características de un producto.  Calidad de Conformidad: La calidad de conformidad es la medida en que el producto se ajusta a las especificaciones requeridas por el diseño. Este elemento está influido por varios factores, incluyendo la elección de los procesos de manufactura, la capacitación y supervisión de la fuerza de trabajo, el tipo de sistema de aseguramiento de la calidad que se utiliza, la medida en que se siguen estos procedimientos de aseguramiento de la calidad, y la motivación de la fuerza de trabajo para alcanzar la calidad. La ingeniería de calidad maneja una definición moderna de calidad: La calidad es un factor inversamente proporcional a la variabilidad. Esta definición implica que si la variabilidad de las características importantes de un producto disminuye, la calidad de un producto aumenta. Es aquí donde entra en juego el control estadístico de la calidad, cuyo principal objetivo es el análisis y reducción de este factor, haciendo uso de diferentes herramientas de tipo estadístico.

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MODULO ACADÉMICO En este orden de ideas, surgen las siguientes definiciones, cuya conceptualización será dada a partir de la Norma ISO 9000:  Gestión de la calidad: Actividades coordinadas para dirigir y controlar una organización en lo relativo a la calidad.  Mejoramiento de la calidad: Reducción de la variabilidad en procesos y productos.  Administración de la calidad: Según Juran, es el proceso de identificar y administrar las actividades necesarias para lograr los objetivos de calidad de una organización.  Aseguramiento de la calidad: Parte de la gestión de calidad orientada a proporcionar confianza en que se cumplirán los requisitos de la calidad.  Planificación de la calidad: Parte de la gestión de la calidad enfocada al establecimiento de los objetivos y a la especificación de los procesos operativos necesarios y de los recursos relacionados para cumplir los objetivos de la calidad.  Control de la calidad: Es el sistema por medio del cual se establece que un producto reúne o no las condiciones necesarias para su aceptación por el cliente. 1.1.1. ¿A QUÉ LLAMAMOS CALIDAD? Hay quien opina que la Calidad es un concepto básico, que no puede ser definido a partir de otro, y que su significado únicamente puede demostrarse de forma práctica, sin embargo existen algunas definiciones de su significado, entre las que destacan las siguientes:  La totalidad de funciones y características de un producto o servicio dirigidas a su capacidad para satisfacer las necesidades de un cierto usuario; estas funciones o características son las que engloban el concepto de calidad.  La calidad es el grado en que las características de los productos cubren las necesidades del cliente. Lo que se entiende por un Sistema de Calidad es la estructura organizativa, las responsabilidades, los procedimientos, los procesos y los recursos necesarios para llevar a cabo la gestión de la calidad. Es decir, que todas y cada una de las actividades de la empresa estén coordinadas a través de un sistema de calidad. 1.1.2. DIMENSIONES DE LA CALIDAD Existen varias maneras de evaluar la calidad de un producto. Con frecuencia es de suma importancia distinguir estas diferentes dimensiones de la calidad. Garvin ofrece una excelente discusión en los siguientes ocho componentes:        

Desempeño (¿Servirá el producto para el fin proyectado?) Confiabilidad (¿Con qué frecuencia falla el producto?) Durabilidad (¿Cuánto tiempo dura el producto?) Facilidad de servicio (¿Qué tan fácil es reparar el producto?) Estética (¿Cómo luce el producto?) Características incluidas (¿Qué hace el producto?) Calidad percibida (¿Cuál es la reputación de la compañía o de su producto?) Conformidad con los estándares ¿(El producto se fabrica exactamente como lo proyectó el diseñador?)

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MODULO ACADÉMICO

1.2. BREVE HISTORIA DEL CONTROL Y MEJORAMIENTO DE LA CALIDAD El control de calidad moderno, o control estadístico como lo llamamos hoy, comenzó en los años 30. La II guerra mundial fue el catalizador que permitió ampliar el cuadro de control a diversas industrias en los Estados Unidos, cuando la simple reorganización de los sistemas productivos resultó inadecuada para cumplir las exigencias del estado de guerra y semiguerra. Estados Unidos pudo desarrollar una calidad a través de un bajo costo pero de gran calidad y utilidad en artículos de guerra creando así sus estándares y normas de calidad; poco después la Gran Bretaña también desarrolló el control de la calidad. Gracias a los estándares de calidad que pudo desarrollar los Estados Unidos en la guerra, generó una gran aportación económica en términos cuantitativos y cualitativos para su país dando inicio al control total estadístico moderno, esta situación estimuló los avances tecnológicos. Podría especularse que la Segunda Guerra Mundial la ganaron el perfeccionamiento del control de la calidad y la utilización de la estadística moderna. Sé podría decir que gracias al control de la calidad también derrotaron a la Alemania Nazi. Algunos japoneses quisieron adoptar la estadística moderna, pero no les funcionó, logrando un lenguaje matemático que casi nadie podía entender. En Japón utilizaban el método Taylor y seguían compitiendo en costos y precios pero no en la calidad, ya que de todas maneras estaban en la época de los productos “baratos y malos”. Al terminar la II Guerra mundial Japón que estaba destruido debido a eso comenzó a utilizar el control de la calidad para educar a la industria. Esto inicio en Mayo de 1946.

1.3. FILOSOFÍA DE CALIDAD Y ESTRATEGIAS DE ADMINISTRACIÓN Muchas personas han contribuido en la metodología estadística del mejoramiento de calidad. Sin embargo, en términos de la filosofía de la implementación y la administración, surgen tres individuos como líderes: W. E. Deming, J. M. Juran y A. V. Feigenbaum. W. Edwards Deming La filosofía del Dr. Deming es un importante marco para implementar el mejoramiento de la calidad y la productividad. A continuación se presenta los 14 principios de administración manejados por Deming: 1. Crear constancia en los propósitos enfocados en el mejoramiento de productos y servicios. 2. Adoptar la nueva filosofía de rechazar la mano de obra deficiente, los productos defectuosos o los malos servicios. 3. No confiar en la inspección en masa para controlar la calidad. 4. No hacer contratos con proveedores atendiendo únicamente al precio, sino considerando también la calidad. 5. Enfocarse en el mejoramiento continuo. 6. Poner en práctica métodos de capacitación modernos e invertir en la capacitación de todos los empleados. 7. Poner en práctica métodos de supervisión modernos. 8. Sacudirse el miedo.

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MODULO ACADÉMICO 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Derribar las barreras entre las áreas funcionales del negocio. Eliminar objetivos, lemas y metas numéricas para la fuerza de trabajo. Eliminar las cuotas y los estándares de trabajo numéricos. Eliminar las barreras que desalientan a los empleados a realizar sus trabajos. Instituir un programa progresivo de capacitación y educación para todos los empleados. Crear una estructura en la alta gerencia que propugne con decisión por los 13 primeros puntos. Dr. Joseph M. Juran

Uno de los padres fundadores del control estadístico de calidad. Fue invitado a dar pláticas a líderes de la industria japonesa cuando iniciaron su transformación industrial a principios de los años 1950. Es coautor (con Frank M. Gryna) de Quality Control Handbook, una referencia obligada para los métodos y el mejoramiento de calidad desde su publicación original en 1957. La filosofía de Juran se basa en la organización del cambio y en la implementación de mejoras que él llama la “penetración administrativa”. La secuencia de la penetración es en realidad un proceso estructurado para la solución de problemas. Dr. Armand Feigenbaum Fue el primero en introducir el concepto de control de calidad en toda la compañía en su histórico libro Total Quality Control (la primera edición se publicó en 1951). Este libro ejerció una gran influencia en los inicios de la filosofía de la administración de calidad en Japón a principios de los años 1950. El interés del Dr. Feigenbaum se centra más en la estructura organizativa y en el enfoque de los sistemas para mejorar la calidad que en los métodos estadísticos. 1.3.1. Estándares de calidad y certificación La Organización Internacional de Normas (ISO, por sus siglas en inglés) ha desarrollado una serie de estándares de calidad que incluyen la serie ISO 9000, los cuales también son adoptados por el Instituto Americano de Estándares Nacionales y la ASQ. El punto central de estos estándares es el sistema de calidad, incluyendo componentes tales como: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Responsabilidad de la administración de calidad Control del diseño. Control de datos y documentos. Administración de compras y contratos. Identificación y rastreabilidad de productos. Inspección y prueba, incluyendo el control del equipo de medición e inspección. Control del proceso. Manejo de la producción disconforme, acciones correctivas y preventivas. Manejo, almacenamiento, empaque y entrega del producto, incluyendo actividades de servicio. Registros de control de calidad. Auditorías internas.

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MODULO ACADÉMICO 12. Capacitación. 13. Metodología estadística. 1.3.2. Seis Sigma De manera típica, son grandes las probabilidades de que ocurran fallas o defectos en los productos de alta tecnología con muchos componentes complejos. Motorola desarrolló el programa seis sigma a fines de los años 1980 en respuesta a la demanda de estos productos. Este programa se centra en llevar la variabilidad de las características de calidad clave a niveles en los que las fallas o los defectos sean en extremo improbables. Six Sigma se basa en la curva de la distribución normal para conocer el nivel de variación de cualquier actividad, posterior a esto desarrolla una serie de pasos para el control de calidad y la optimización de procesos industriales. Estos pasos se conocen como el ciclo DMAMC (Definición, Medición, Análisis, Mejora, Control) La finalidad del Six Sigma es proporcionar la información adecuada para ayudar a la implementación de la máxima calidad del producto o servicio en cualquier actividad, así como crear la confianza y comunicación entre todos los participantes, pues se debe tener en cuenta que la actividad del negocio parte de la información, las ideas y la experiencia, lo cual ayuda a elevar la calidad y el manejo administrativo. 1.3.3. Justo a tiempo, manufactura, Poka-Yoke, y otras. Ha habido muchas iniciativas destinadas a mejorar el sistema de producción. Entre ellas se encuentra el enfoque justo a tiempo, es una filosofía que tiene como su objetivo la eliminación de pérdidas. Las pérdidas pueden ser partes rechazadas, niveles excesivos de inventario, colas interoperativas, manejo excesivo de materiales, tiempos de preparación y cambio muy prolongados, y otras. JIT enaltece la necesidad de hacer calzar la cuota de producción con la demanda actual, y elimina las actividades que no aumentan el valor. La filosofía de eliminación de pérdidas ha probado ser de ayuda entodos los tipos de ambientes de manufactura (y de servicio), con la salvedad de que algunos tipos de manufactura ofrecen mayores oportunidades que otros. La siguiente tabla lista las mejoras estimadas para distintos tipos de manufactura: Porcentajes estimados de mejoras para distintas industrias como un resultado de la implementación de JIT Productos automotrices

Impresos

Productos de moda

Equipos mecánicos

Componentes eléctricos

Rango

89

86

92

83

85

83-92

Materias Primas

35

70

70

73

50

35-73

En proceso

89

82

85

70

85

35-73

Prod. Terminados

61

71

70

0

100

0-100

Tpo. de Cambio

75

75

91

75

94

75-94

Directa

19

50

5

0

0-50

Indirecta

60

50

29

21

38

21-60

Exenta

?

?

22

?

?

?-22

Espacio

53

39

?

80(Est.)

39-80

Costo de Calidad

50

63

61

33

26

26-63

Mat. Comprados

?

7

11

6

36

42

0

0-42

Reducciones Manufactura Tiempo Perdido Inventario

Mano de obra

Capac. Adicional

6-11

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MODULO ACADÉMICO 1.3.4. Gestión De Calidad Total (TQM) El objetivo perseguido por la Gestión de Calidad Total es lograr un proceso de mejora continua de la calidad por un mejor conocimiento y control de todo el sistema (diseño del producto o servicio, proveedores, materiales, distribución, información, etc.) de forma que el producto recibido por los consumidores esté constantemente en correctas condiciones para su uso (cero defectos en calidad), además de mejorar todos los procesos internos de forma tal que se produzcan bienes sin defectos a la primera, implicando la eliminación de desperdicios para reducir los costos, mejorar todos los procesos y procedimientos internos, la atención a clientes y proveedores, los tiempos de entrega y los servicios post-venta. La Gestión de Calidad involucra todos los sectores, es tan importante producir el artículo que los consumidores desean, y producirlos sin fallas y al menor coste, como entregarlos en tiempo y forma, atender correctamente a los clientes, facturar sin errores, y no producir contaminación. Así como es importante la calidad de los insumos y para ello se persigue reducir el número de proveedores (llegar a uno por línea de insumos) para efectos de asegurar la calidad (evitando los costos de verificación de cantidad y calidad), la entrega justo a tiempo y la cantidad solicitada; así también es importante la calidad de la mano de obra (una mano de obra sin suficientes conocimientos o no apta para la tarea implicará costos por falta de productividad, alta rotación, y costos de capacitación). Esta calidad de la mano de obra al igual que la calidad de los insumos o materiales incide tanto en la calidad de los productos, como en los costos y niveles de productividad.

1.4. COSTOS ASOCIADOS A LA CALIDAD Los costos de la calidad son aquéllos costos asociados con la producción, identificación y reparación de productos o servicios que no cumplen con las expectativas impuestas por la organización que los produce. Durante muchos años, los costos de calidad fueron ignorados. Sin embargo, desde la década de 1950, numerosas empresas comenzaron a evaluarlos formalmente, por diversas razones:  La conveniencia de comunicar mejor la importancia de la calidad a una audiencia entrenada en el uso de variables financieras.  La mejor comprensión de las categorías de costos de la calidad y de los diversos costos asociados con el ciclo de vida del producto, incluyendo los costos de la mano de obra y el mantenimiento necesarios para el aseguramiento de la calidad de los productos y servicios.  La mayor complejidad de los productos y procesos manufactureros, asociada con nuevas tecnologías que llevaron a un incremento en los costos de calidad. En el último medio siglo, los costos de la calidad se han transformado en un método de control financiero que, en manos de los gerentes, permite identificar oportunidades para reducir los costos de la firma y fortalecer sus procesos de mejora continua y actualización de procesos. 1.4.1. CLASIFICACIÓN DE LOS COSTOS DE LA CALIDAD Es usual clasificar los costos de la calidad según el esquema de la Figura 1. Los costos de conformidad son aquéllos en los que se incurre para asegurar que los bienes y servicios provistos responden a las especificaciones; incluyen los costos de las etapas de diseño y fabricación destinados a prevenir la falta de adecuación a los estándares, y se clasifican en costos de prevención y de evaluación.

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MODULO ACADÉMICO Los costos de no conformidad se presentan asociados a fallas, es decir, están vinculados con productos o servicios que no responden a las especificaciones. Se clasifican en costos de falla interna y costos de falla externa. La Figura 2 es un esquema clasificador de los Costos de la calidad que permite identificarlos siguiendo una secuencia lógica. COSTOS DE CONFORMIDAD Costos de prevención Costos de evaluación COSTOS DE NO CONFORMIDAD Costo de falla interna Costo de falla externa Figura 1: Clasificación de los costos de calidad. Tabla No 1: Costos de la calidad

COSTOS DE CONFORMIDAD Costos de prevención Planificación e ingeniería de la calidad Revisión de nuevos productos Diseño del producto/proceso Control de procesos Encendido Capacitación Capacitación y análisis de datos sobre calidad Adquisición y análisis de datos sobre la calidad COSTOS DE NO CONFORMIDAD Costos de fallas internas Desechos Reprocesamientos Repetición de pruebas Análisis de fallas Tiempo ocioso Pérdidas de rendimiento Degradación (fuera de especificación) Cambios desde Ingeniería Sobreconsumo por manejo del material

Costos de valuación Inspección y prueba del material de entrada Inspección y prueba del Producto Materiales y servicios consumidos Mantenimiento de la precisión del equipo de prueba

Costos de fallas externas Ajustes de quejas Productos/materiales devueltos Cargospor garantía Costos de responsabilidad legal Costos indirectos

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MODULO ACADÉMICO

Figura 2. Esquema clasificador de los Costos de la calidad. Fuente: Comité de costes de la calidad, ASQCet al. (1992).

EL MODELO TRADICIONAL DE LOS COSTOS DE LA CALIDAD El modelo tradicional de los costos de la calidad supone un compromiso entre dos categorías de costos: Mientras que los costos de fallas internas y externas (la primera categoría) disminuyen con el incremento del porcentaje de conformidad de los productos, los costos de evaluación y prevención (la segunda categoría) aumentan cuando se busca lograr un porcentaje de conformidad mayor. Estas relaciones se presentan gráficamente en la Figura 3.

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MODULO ACADÉMICO

Figura 3. El modelo tradicional de los Costos de la calidad. Fuente: Rao et al. (1996)

Se observa en la figura que existe un punto mínimo para los costos totales de la calidad. Ese extremo se verifica para algún valor de la calidad de conformidad menor que el 100%. Para valores bajos de calidad de conformidad, ésta se puede incrementar significativamente con pequeñas inversiones en prevención y evaluación. Sin embargo, al acercarse la conformidad al 100%, los costos de prevención y evaluación tienden a infinito. Por el contrario, los costos de falla disminuyen gradualmente, hasta alcanzar un valor nulo, cuando la conformidad se acerca al 100%. MODELOS ALTERNATIVOS El modelo emergente El modelo emergente de los costos de la calidad es una derivación del modelo tradicional y, al igual que éste, presta atención exclusiva a los costos de conformidad y no conformidad, es decir, a los estándares. El modelo emergente, esquematizado en la Figura 4, responde mejor a las tendencias de gestión actuales y busca superar algunas de las limitaciones del modelo tradicional Se destacan los siguientes aspectos: 1.

Se presta mayor interés a la prevención y evaluación, de modo de poder realizarlas aún cerca del 100% de conformidad; 2. Los costos de prevención y evaluación son relativamente proporcionales al nivel de conformidad y no se disparan cuando éste se aproxima al 100%. 3. La caída de los costos de falla interna y externa también es menos abrupta que en caso del modelo tradicional, debido a un aumento en la fiabilidad de los nuevos materiales y procesos de fabricación. 4. El menor costo de la calidad se obtiene cuando la conformidad se acerca al 100%.

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MODULO ACADÉMICO

Figura 4. El modelo emergente de los CC. Fuente: Rao et al.(1996)

Ejemplo de costos: En la fabricación de una determinada pieza con una tasa producción de 200 piezas diarias y un costo de fabricación de $25000 la pieza, se detectó que el 80% de las piezas cumplían con las especificaciones de calidad y el 20% tenían alguna no conformidad o defecto. De este 20% el 70% eran reprocesables a un costo de $5000 la pieza. Mediante de la implementación de un nuevo control estadístico de calidad se consiguió reducir el porcentajes de piezas no conformes o defectuosas al 5 %, un 70% de las cuales eran reprocesables. El nuevo sistema de control estadístico del proceso se evalúa en $50000 el día y el fabricante percibe $29000 por pieza fabricada y vendida. Hallar producción de piezas, costos antes y después del sistema de control estadístico del proceso y el beneficio recibido. 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙: 200 ∗ 25.000 = 5.000.000 Antes: %𝑃𝑁𝐶 = 20% % 𝑃𝑁𝐶 = 0.20 ∗ 200 = 40 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝐶𝑎𝑛𝑡. 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 = 0.70 ∗ 40 = 28 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 = 28 ∗ 5.000 = 140.000 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = (28 ∗ 5000) + (200 ∗ 25.000)

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MODULO ACADÉMICO = 5.140.000 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 =

5.140.00 = 27340.42/𝑝 188𝑝

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 200 − (40 − 28) = 188 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 188 ∗ 29.000 = 5.452.000 𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 = 5.452.000 − 5.000.000 − 140.000 = 312.000 Después %𝑃𝑁𝐶 = 5% % 𝑃𝑁𝐶 = 0.05 ∗ 200 = 10 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝐶𝑎𝑛𝑡. 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 = 0.70 ∗ 10 = 7𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 = 7 ∗ 5.000 = 35.000 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = (7 ∗ 5000) + (200 ∗ 25.000) + 50.000 = 5.085.000 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 200 − (10 − 7) = 197 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 =

5.085.000 = 25812,37/𝑝 197𝑝

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 197 ∗ 29.000 = 5.713.000 𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 = 5.713.000 − 5.000.000 − 35.000 − 50.000 = 628.000 Nota: Todo en unidades monetarias.

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MODULO ACADÉMICO

CAPÍTULO 2 HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS PARA LA CALIDAD

En este capítulo se encuentra todo lo relacionado con las herramientas estadísticas que ayudarán al mejoramiento de la calidad. De igual forma se presentan algunos conceptos de temas fundamentales pertenecientes a la estadística los cuales serán de gran utilidad al momento de aplicar dichas herramientas.

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MODULO ACADÉMICO

TÉRMINOS ESTADÍSTICOS PARA RECORDAR Es importante recordar que la Estadística es la ciencia encargada de la recolección, organización e interpretación de datos, para obtener conclusiones de una población. Según se haga el estudio sobre todos los elementos de la población o sobre un grupo de ella, se diferencian dos tipos de Estadística:  Estadística Descriptiva: Realiza el estudio sobre la población completa, observando una característica de la misma y calculando unos parámetros que den información global de toda la población.  Estadística Inferencial: Realiza el estudio descriptivo sobre un subconjunto de la población llamado muestra y, posteriormente, extiende los resultados obtenidos a toda la población.

2. TÉCNICAS ESTADÍSTICAS ÚTILES PARA EL MEJORAMIENTO DE LA CALIDAD. 2.1. DEFINICIONES BÁSICAS POBLACIÓN: Es el conjunto de todos los elementos, individuos o entes sujetos a estudio y de los cuales se quiere obtener un resultado. MUESTRA: Subconjunto de la población. VARIABLE: Característica o propiedad de los elementos o individuos de la población a estudiar. Existen dos categorías o tipo de variables: Variables cualitativas: se refieren a atributos o cualidades que no pueden ser medidas con números. Variables cuantitativas: se refieren a aquellas características que pueden ser expresadas numéricamente. Esta a su vez se subdivide en:  Variables discretas: son aquella que entre dos valores próximos puede tomar a lo sumo un número finito de valores, es decir, características que únicamente tomarán valores enteros.  Variables continuas: son aquellas que pueden tomar infinitos valores dentro de un intervalo. EXPERIMENTO ALEATORIO: Es aquel experimento que puede producir resultados diferentes, aún cuando se repita siempre de la misma manera. ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se denota por S. Por ejemplo, se considera el experimento de lanzar un dado, si el interés se centra en el número que muestra la cara superior, el espacio muestral sería: 𝑆 = {1,2,3,4,5,6}

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MODULO ACADÉMICO EVENTO: Es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Para cualquier experimento dado, se puede estar interesado en la ocurrencia de ciertos eventos, por ejemplo se puede estar interesado en el evento A en que el resultado cuando se lanza un dado sea divisible entre 3; este ocurrirá si el resultado es un elemento del subconjunto: 𝐴 = {3,6} Con frecuencia es necesario describir nuevos eventos a partir de combinaciones de eventos existentes:  Unión de dos eventos: Es el evento que consta de todos los resultados que están contenidos en cualquiera

de los dos eventos. La unión se denota por: 𝐸1 ∪ 𝐸2  Intersección de dos eventos: Es el evento que consta de todos los resultados que están contenidos en los dos eventos. La intersección se denota por: 𝐸1 ∩ 𝐸2  Complemento de un evento: Es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en el evento. La complemento se denota por: 𝐸′  Eventos mutuamente excluyentes: Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes, si estos no presentan elementos en común; dos eventos denotados como E1 y E2 tales que 𝐸1 ∩ 𝐸2 = ∅ son mutuamente excluyentes. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Son indicadores estadísticos que muestran hacia qué valor (o valores) se agrupan los datos. Existen varios procedimientos para expresar matemáticamente las medidas de tendencia central, de los cuales, los más conocidos son: la media aritmética, la mediana y la moda. LA MEDIA ARITMÉTICA Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar datos muéstrales de datos poblacionales, la media aritmética se representa con un símbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la población, este indicador será µ; en el caso de que estemos trabajando con una muestra, el símbolo será X ̅. LA MEDIANA Valor que divide una serie de datos en dos partes iguales. La cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales. La definición de geométrica se refiere al punto que divide en dos partes a un segmento. Por ejemplo, la mediana del segmento 𝐴𝐵 es el punto C.

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MODULO ACADÉMICO Existen entonces dos segmentos iguales: ̅̅̅̅ = 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 Formula: 𝑁 − 𝐹𝑖−1 𝑀ℯ = 𝐿𝑖−1 + 2 𝑎𝑖 𝑓𝑖 𝑁 = 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑙𝑢𝑡𝑎𝑠. 2 𝐿𝑖−1 = 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎

𝑁 2

𝐹𝑖−1 = 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎. 𝑎𝑖 = 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒. LA MODA Indica el valor que más se repite, o la clase que posee mayor frecuencia. En el caso de que dos valores presenten la misma frecuencia, decimos que existe un conjunto de datos bimodal. Fórmula para determinar la moda para tablas de frecuencia. 𝑀𝑂 = 𝐿𝑆−1 + 𝐴 ∗

𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 (𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 ) + (𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 )

Donde 𝐿𝑆−1 equivale al límite superior del intervalo anterior donde se encuentra la Moda. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión permiten reconocer que tanto se dispersan los datos alrededor de un punto central; es decir, nos indican cuanto se dispersan o separan las observaciones alrededor de su valor central. Las medidas de dispersión más importantes y las más utilizadas son la Varianza y la Desviación estándar. Desviación Estándar: ∑𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑆=√ 𝑛−1

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MODULO ACADÉMICO Poblacional Es la desviación estándar de la variable de interés tomada del total de la población de tamaño N. Muestral Es la medida de variabilidad de un conjunto de n datos que se obtiene al promediar las desviaciones individuales de cada dato. Varianza (𝑺𝟐 ): Es el cuadrado de la desviación estándar.

2.2. TEORIA DE LA PROBABILIDAD Leyes de probabilidad Definición de términos utilizados (𝐴) → 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴;

(𝐵) → 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝐵

𝑃(𝐴 + 𝐵) → Probabilidad de que ocurra por lo menos uno de los dos eventos o, lo que es lo mismo, de que ocurra A o B, o ambos simultáneamente.

Eventos mutuamente excluyentes: A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir simultáneamente, o sea que no existen puntos muestrales que pertenezcan simultáneamente a ambos.

Eventos Independientes: A y B son dos eventos independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro. En estos casos, 𝑃(𝐴⁄𝐵 ) = 𝑃(𝐴),

ó

𝑃(𝐵⁄𝐴) = 𝑃(𝐵)

Teorema de la Adición: Si aplicamos la definición básica de probabilidad para el caso de experimentos equiprobables, tenemos que: 𝑃(𝐴 + 𝐵) =

# 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵) # 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 =

𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴𝐵) 𝑛

=

𝑛(𝐴) 𝑛(𝐵) 𝑛(𝐴𝐵) + − 𝑛 𝑛 𝑛

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MODULO ACADÉMICO = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵) En el caso de eventos mutuamente excluyentes, 𝑃(𝐴𝐵) = 0 (𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝐴𝐵) Y se tiene que: 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) Teorema de la multiplicación: 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵⁄𝐴) Se puede explicar esta relación aplicando la definición de probabilidad al evento 𝐴⁄𝐵 así: 𝑃(𝐴⁄𝐵 ) =

𝑛(𝐴⁄𝐵) 𝑛(𝐴𝐵) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝐴)

El número de puntos en (𝐵⁄𝐴) corresponde a aquellos que están simultáneamente en B y en A, o sea: 𝑛(𝐴𝐵), porque el evento expresa que A ya ocurrió. El número total de puntos muestrales, que se utiliza como denominador en la anterior expresión, es el número de puntos que corresponden al evento A, 𝑛(𝐴), el cual se constituye como nuevo universo o espacio muestral por la condicionalidad expresada de que A ya ocurrió. Ahora, 𝑛(𝐴𝐵) 𝑛(𝐴𝐵)⁄𝑛 𝑃(𝐴𝐵) = = = 𝑃(𝐴⁄𝐵) 𝑁(𝐴) 𝑛(𝐴)⁄𝑛 𝑃(𝐴) Y se obtiene que: 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵⁄𝐴) Si se intercambia el orden de los eventos, se llega también a esta otra expresión del teorema de multiplicación: 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴⁄𝐵) Si A y B son eventos independientes, entonces: 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)

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MODULO ACADÉMICO Formula de Bayes: Esta fórmula nos permite hallar probabilidades de causa de un resultado experimental que ya se ha observado. Si se supone que un evento A puede ocurrir como consecuencia de k causas diferentes: H1 , H2 ,…,Hi, …, Hk, mutuamente excluyentes. Se desea hallar una expresión para la probabilidad de que la causa Hi , haya originado el evento A, al cual ya se ha observado al realizar el evento: 𝑃(𝐻𝑖 ⁄𝐴) =

𝑃(𝐻𝑖 𝐴) 𝑃(𝐻𝑖 )𝑃(𝐴⁄𝐻𝑖 ) = 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐻1 𝐴) + 𝑃(𝐻2 𝐴) + ⋯ + 𝑃(𝐻𝐾 𝐴)

El numerador de expresión anterior se obtiene mediante la aplicación del teorema de multiplicación. El denominador es una aplicación del teorema de adición, ya que el evento A puede ocurrir conjuntamente con H1, o con H2, o con Hk. Por lo tanto, la fórmula de Bayes de expresa así: 𝑃(𝐻𝑖 ⁄𝐴) =

𝑃(𝐻𝑖 )𝑃(𝐴⁄𝐻𝑖 ) ∑𝐾 𝑖=1 𝑃(𝐻𝑖 𝐴)

2.3. VARIABLES ALEATORIAS Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Se dice que X es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral, y X es una función definida sobre el espacio muestral, de manera que transforme todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas. Variable Aleatoria Discreta: Aquella tal que la cantidad de valores posibles que puede tomar es finita, o infinita pero numerable. Variable Aleatoria Continua: Aquella tal que la cantidad de valores posibles es infinita y no numerable.

2.4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD La distribución de probabilidad o distribución de una variable aleatoria X es una descripción del conjunto de valores posibles de X (rango de X), junto con la probabilidad asociada a cada uno de estos valores. Hay dos tipos de distribuciones de probabilidad: 1.

Distribuciones Discretas: Se utilizan cuando el parámetro que se está midiendo sólo puede asumir ciertos valores dentro de un intervalo.

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MODULO ACADÉMICO 2. Distribuciones Continuas: Se utilizan cuando la variable que se está midiendo se expresa en escala continua (variable aleatoria continua). 2.4.1. DISTRIBUCIONES DISCRETAS Varias distribuciones de probabilidad discretas se presentan con frecuencia en el control estadístico de calidad, entre estas tenemos: Distribución Uniforme Es la más simple de todas las distribuciones de probabilidad discreta pues la variable aleatoria discreta X puede tomar una cantidad finita de n valores X1, X2, X3,…, Xn, cada uno de estos con una probabilidad idéntica 1/n, es decir, con probabilidad uniforme. La distribución de probabilidad o función de masa de esta variable aleatoria es: 1 𝑓𝑥 (𝑥𝑖 ) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑛 Su media y varianza son: 𝜇𝑥 = 𝐸(𝑋) =

∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖

𝑛

𝜎2 = 𝑉(𝑋) =

∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝜇)

2

𝑛

Ejemplo: Cuando se lanza un dado de seis caras, la función de masa de la variable aleatoria es: 1 𝑃(𝑋 = 𝑖) = ; 6

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2,3,4,5,6

La media y varianza son: 𝜇 = 𝐸(𝑋) =

𝜎2

1+2+3+4+5+6 = 3.5 6

(1 − 3.5)2 + (2 − 3.5)2 + (3 − 3.5)2 + (4 − 3.5)2 + (5 − 3.5)2 + (6 − 3.5)2 = 12 = 2.91

Distribución Binomial Un experimento aleatorio que consta de n ensayos repetidos, tales que: 1.

Los ensayos son independientes, es decir el resultado de cada ensayo no depende del resultado de ensayos anteriores. 2. Cada ensayo produce únicamente dos resultados posibles, etiquetados como “éxito” y “fracaso”.

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MODULO ACADÉMICO 3. La probabilidad de un “éxito” en cada ensayo, denotada como p, permanece constante. Se llama experimento Binomial. La variable aleatoria X que es igual al número de ensayos n que producen un éxito tiene una distribución binomial con parámetros p y n = 1, 2,… La función de masa de probabilidad de X es: 𝑛 𝑓(𝑥) = ( ) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 , 𝑥

𝑥 = 0, 1, … , 𝑛

Su media y varianza son: 𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝𝜎 2 = 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) Donde:

p = Probabilidad de éxito. 1 - p = Probabilidad de fracaso x = Número de éxitos deseados n = Número de ensayos efectuados Para indicar que una variable X es una binomial de parámetros n y p, se escribirá X∼ B(n, p). Ejemplo: Se tiene una línea de producción de cilindros para gas natural vehicular. Se sabe que la probabilidad de que un cilindro sea defectuoso es de 0,02. Adicionalmente para el jefe de producción es conocido que el primer cilindro que se fabrica al día es defectuoso debido a la calibración de la maquinaria. Encuentre la probabilidad de obtener más de dos cilindros defectuosos en los primeros dos cilindros que se fabrican en un día. 𝑥 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠 𝑛 = 10 − 1 = 9 %𝑃𝑁𝐶 = 0,02 𝑑

𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥 > 𝑑) = ∑ ( ) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 𝑥 𝑥=0 2

9 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 1 − ∑ ( ) (0,02)𝑥 (1 − 0,02)9−𝑥 𝑥 𝑥=0

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MODULO ACADÉMICO 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 2) = 1 − [𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2)] 9 𝑃(𝑥 = 0) = ( ) (0,02)0 (1 − 0,02)9−0 = 0,8337 0 9 𝑃(𝑥 = 1) = ( (0,02)1 (1 − 0,02)9−1 = 0,1531) 1 9 𝑃(𝑥 = 2) = ( ) (0,02)2 (1 − 0,02)9−2 = 0,0125 2 𝟏 − 𝑷(𝒙 ≤ 𝟐) = 𝟏 − [𝟎, 𝟖𝟑𝟑𝟕 + 𝟎, 𝟏𝟓𝟑𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓] = 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟕 Distribución Geométrica Si en una serie de ensayos de Bernoulli independientes, con probabilidad constante de éxito p, sea la variable aleatoria X el número de ensayos hasta la obtención del primer éxito. Entonces X tiene una distribución geométrica con parámetro p y 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑝)𝑥−1 𝑝

𝑥 = 1,2, ….

Si X es una variable aleatoria geométrica con parámetros p, entonces la media y la varianza de X son: 𝜇 = 𝐸(𝑋) = 1⁄𝑝 𝜎 2 = 𝑉(𝑋) =

(1 − 𝑝) ⁄𝑝2

Distribución Hipergeométrica Se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio muestral de n ensayos; pero que a diferencia de la distribución binomial, aquí los ensayos no son independientes, dados que las muestras se extraen sin reemplazo en una población finita; por esto es que el resultado de una observación es afectado por el resultado de observaciones anteriores. Un conjunto de N objetos contiene:  K objetos clasificados como éxitos  N-K objetos clasificados como fracasos Se selecciona una muestra con tamaño de n objetos, al azar (sin reemplazo) de entre los N objetos, donde 𝐾 ≤ 𝑁 y 𝑛≤𝑁 Sea que la variable aleatoria X denote el número de éxitos en la muestra. Entonces X tiene una distribución hipergeométrica, con:

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MODULO ACADÉMICO 𝐾 𝑁−𝐾 ( )( ) 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑚í𝑛(𝑛, 𝐾) 𝑁 ( ) 𝑛 Si X es una variable aleatoria hipergeométrica con parámetros N, K y n, entonces la media y la varianza de X son: 𝑁−𝑛 ) 𝑁−1

𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝𝜎 2 = 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) ( Ejemplo:

Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tuberías del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? Sea X igual al número al número de piezas de la muestra del proveedor local. Entonces, X tiene una distribución hipergeométrica y la probabilidad pedida es P(X=4). Por consiguiente: 100 200 )( ) 0 = 0.0119 𝑃(𝑋 = 4) = 4 300 ( ) 4 (

¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local? 100 200 100 200 100 200 )( ) ( )( ) ( )( ) 2 + 3 1 + 4 0 = 0.408 P(X ≥ 4) = 2 300 300 300 ( ) ( ) ( ) 4 4 4 (

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? 100 200 )( ) 4 = 0.196 𝑃(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0 300 ( ) 4 (

Distribución de Poisson Siempre que la probabilidad que se produzca un suceso determinado sea muy pequeña en cualquier instancia específica, pero a la vez, el número de instancias posibles sea enormemente grande, la distribución de los sucesos se realiza mediante la distribución de Poisson. Dado un intervalo de números reales, suponga que el conteo de ocurrencias es aleatorio en dicho intervalo. Si puede hacerse la partición del intervalo en subintervalos con una longitud suficientemente pequeña tales que

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MODULO ACADÉMICO 1. La probabilidad de más de una ocurrencia en un subintervalo es cero. 2. La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo es la misma para todos los subintervalos y proporcional a la longitud del subintervalo. 3. El conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente de los demás subintervalos. Entonces el experimento aleatorio se denomina proceso de Poisson. Si el número promedio de ocurrencias en el intervalo es 𝜆 > 0, la variable aleatoria X, que es igual al número de ocurrencias en el intervalo, tiene una distribución de Poisson con parámetro, y la función de masa de probabilidad de X es 𝑒 −𝜆 ∗ 𝜆𝑥 𝑓(𝑥) = , 𝑥!

𝑥 = 0, 1, 2, …

Si X es una variable aleatoria de Poisson con parámetro 𝜆 entonces la media y la varianza de X son: 𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝜆𝜎 2 = 𝑉(𝑋) = 𝜆 Ejemplo: La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un disco bajo estudio es 100 cm 2. Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio. Sea que X denote el número de partículas en el área de un disco bajo estudio. Puesto que el número promedio de partículas es 0.1 partículas por cm2. Por lo tanto, 𝐸(𝑋) = 100𝑐𝑚2 × 0.1 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠⁄𝑐𝑚2 = 10 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 P(X = 12) =

𝑒 −10 ∗ 𝜆12 = 0.095 12!

2.4.2. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL El modelo de uso más generalizado para la distribución de una variable aleatoria continua es la distribución normal. Siempre que se hace la repetición de un experimento aleatorio, la variable aleatoria que es igual al resultado promedio (o total) de las repeticiones tiende a tener una distribución normal, cuando el número de repeticiones es grande. Una distribución Normal también se conoce como distribución de Gauss o Gaussiana. Una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad

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MODULO ACADÉMICO

𝑓(𝑥) =

1 √2𝜋𝜎

−(𝑥−𝜇)2 𝑒 2𝜎2 𝑝𝑎𝑟𝑎

−∞ < 𝑥 < ∞

Tiene una distribución normal con parámetros 𝜇, donde −∞ < 𝜇 < ∞ y 𝜎 > 0. Además 𝐸(𝑋) = 𝜇 𝑦 𝑉(𝑋) = 𝜎 2 Para graficar la función de densidad de probabilidad de una distribución normal, en el eje horizontal se levantan perpendiculares en dos puntos a y b, el área bajo la curva delimitada por esas líneas indica la probabilidad de que la variable de interés X, tome un valor cualquiera en ese intervalo. Puesto que la curva alcanza su mayor altura en torno a la media, mientras que sus "ramas" se extienden asintóticamente hacia los ejes, cuando una variable siga una distribución normal, será mucho más probable observar un dato cercano al valor medio que uno que se encuentre muy alejado de éste. Gráfica de la Distribución de Probabilidad Normal

A una variable aleatoria normal con 𝜇 = 0 y 𝜎2 = 1 se le llama variable aleatoria normal estándar. Una variable aleatoria normal estándar se denota como Z. La función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal estándar se denota como Φ(𝑧) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) Existen un sinnúmero de distribuciones de probabilidad normal, cada una de las distribuciones puede tener una media (µ) o una desviación estándar distinta (σ). Por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado y sería imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de µ y σ. Para resolver este problema todas las distribuciones de probabilidad normales se relacionan algebraicamente a una distribución normal estándar, haciendo antes una transformación simple. Primero, convertiremos la distribución real en una distribución normal estándar utilizando un estadístico Z, así: 𝑋−𝜇 𝜎 Es una variable aleatoria normal con 𝐸(𝑍) = 0 𝑦𝑉(𝑍) = 1. Es decir, Z, es una variable aleatoria normal estándar. 𝑍=

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MODULO ACADÉMICO De esta manera, un valor Z mide la distancia entre un valor especificado de X y la media aritmética, en las unidades de la desviación estándar. Al determinar el valor Z utilizando la expresión anterior, es posible encontrar el área de probabilidad bajo cualquier curva normal haciendo referencia a la distribución normal estándar en las tablas correspondientes (Tabla normal estándar-Anexos), dicha tabla proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria normal estándar Z tome un valor situado a la izquierda de un número z, P (Z 3.13) = 1 − 𝑃(𝑍 < 3.13) 3.2 = 1 − 0.9991 = 0.0009

𝑃(𝑋 > 35) = 𝑃 (𝑍 >

Por lo tanto, el 0.09% de los resistores tienen una resistencia superior a 35 ohmios. c) ¿Qué porcentaje de resistores tendrán una resistencia entre 20 y 32 ohmios? 20 − 25 32 − 25 𝑿𝟐 𝜶,𝒌−𝒑−𝟏 .

Ejemplo, distribución normal: En la siguiente tabla se muestra los datos que representa el diámetro de los agujeros realizados por un taladro sobre la base giratoria de una grúa. Se desea saber si los datos presentan una distribución normal lo cual certifica que el taladro está trabajando en buena condición. Datos del diámetro de los agujeros 16 16 16,2 16 16,2 15,6 15,8 16,2 15,9 15,7 15,6 16,2 16,2 15,7 16,3 15,9 16 15,9

̅ 𝑋

16,2 16 15,8 16,1 15,7 15,8

15,5 16,2 16,2 16,5 16,1 16,1

15,98 16 15,98 16,02 16 15,94

σ 0,28635642 0,24494897 0,20493902 0,37013511 0,28284271 0,11401754

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MODULO ACADÉMICO 15,3 15,6 15,9 16,1 16 15,7 15,9 15,6 15,8 16 16,1 16 16 16,4

16,3 16,1 15,9 15,8 16,3 15,9 16,2 16,4 15,6 15,7 16 15,5 15,6 16,7

15,8 16,3 15,8 16,2 15,6 15,9 16,1 16,2 16,1 15,9 15,7 16,1 16,1 15,9

15,9 15,7 15,8 16,2 16,4 15,7 16,1 15,9 15,8 15,8 15,7 16,2 15,9 15,6

15,6 16 16 16,1 15,9 15,6 16 15,7 15,6 15,9 16,2 16,2 16 16,2 Promedio

15,78 15,94 15,88 16,08 16,04 15,76 16,06 15,96 15,78 15,86 15,94 16 15,92 16,16 15,954

0,37013511 0,28809721 0,083666 0,16431677 0,32093613 0,13416408 0,11401754 0,33615473 0,20493902 0,11401754 0,23021729 0,29154759 0,19235384 0,42778499 0,23877938

Pasos: 1.

Planteamos las hipótesis 𝑯𝟎 : 𝑳𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒔𝒆 𝒂𝒋𝒖𝒔𝒕𝒂𝒏 𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝑯𝒂 : 𝑳𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒂𝒋𝒖𝒔𝒕𝒂𝒏 𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍

2. Se halla el número de intervalos de clase k y la longitud del intervalo h 𝑘 = 1 + 3.3 ∗ log(100) 𝑘 = 7,6 ≅ 8 ℎ=

𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 1,4 = = 0,175 𝑘 8

3. Se verifica cuantos datos caen el intervalo, así como lo muestra la siguiente tabla: k 1 2 3 4 5

intervalos de clase INF 15,3 15,475 15,65 15,825 16

frecuencia SUP 15,475 15,65 15,825 16 16,175

1 13 20 29 26

34

MODULO ACADÉMICO 6 7 8 4.

16,175 16,35 16,525

16,35 16,525 16,7

20 4 1

Luego se halla la probabilidad para cada intervalo

𝑥 − 𝑋̅ 𝑃(𝑍 ≤ ( )) 𝜎 𝒌=𝟏 𝟏𝟓, 𝟒𝟕𝟓 − 𝟏𝟓, 𝟗𝟓𝟒 𝑷 (𝒁 ≤ ( )) = 𝑷(𝒁 ≤ −𝟐, 𝟎𝟎𝟔) = 𝟎, 𝟎𝟐𝟐𝟒 𝟎, 𝟐𝟑𝟖𝟕𝟕 𝒌=𝟐 𝑃 (𝑍 ≤ (

15,65 − 15,954 15,475 − 15,954 )) − 𝑃 (𝑍 ≤ ( )) 0,23877 0,23877

= 𝑷(𝒁 ≤ −𝟏, 𝟐𝟕𝟑) − 𝑷(𝒁 ≤ −𝟐, 𝟎𝟎𝟔) = 𝟎, 𝟎𝟕𝟗 𝒌=𝟑 𝑃 (𝑍 ≤ (

15,825 − 15,954 15,475 − 15,954 )) − 𝑃 (𝑍 ≤ ( )) 0,23877 0,23877

= 𝑷(𝒁 ≤ −𝟎, 𝟓𝟒𝟎) − 𝑷(𝒁 ≤ −𝟏, 𝟐𝟕𝟑) = 𝟎, 𝟏𝟗𝟑 … Así sucesivamente, los datos se muestran en la tabla siguiente: k

Z acumulado

1 2 3 4 5 6 7

Intervalos de clase INF SUP 15,3 15,475 15,475 15,65 15,65 15,825 15,825 16 16 16,175 16,175 16,35 16,35 16,525

-2,006 -1,273 -0,540 0,192 0,925 1,658 2,391

Probabilidad P(Z 1

Promedio aun aceptable

Frecuencias

Promedio Aceptable

Especificaciones

Frecuencias

Cuando el problema está en centrar correctamente el proceso con respecto a las especificaciones, la administración debe investigar las causas de la mala dirección técnica del proceso.

Especificaciones

Medidas

b.

Desviación estándar Aceptable. Cpk = 1

Medidas

Desviación estándar

C.

Potencialmente aceptable

Frecuencias

Promedio muy alto Especificaciones

Medidas

Promedio aceptable Desviación estándar muy grande

d.

Frecuencias

Cpk = Cpu < 1

Especificaciones

Medidas

56

MODULO ACADÉMICO

Promedio muy alto Desviación estándar muy grande

e.

Frecuencias

Cpu y Cpl < 1

Especificaciones

Medidas

Cpk = Cpu < 1 En general: 1. 2. 3. 4.

Proceso Capaz y centrado (𝐶𝑝 > 1, 𝐶𝑝 = 𝐶𝑝𝑘 ) Proceso potencialmente capaz pero descentrado (𝐶𝑝 > 1, 𝐶𝑝𝑘 < 1) Proceso Incapaz y centrado (𝐶𝑝 < 1, 𝐶𝑝 = 𝐶𝑝𝑘 ) Proceso Incapaz y descentrado (𝐶𝑝 < 1, 𝐶𝑝𝑘 < 1, 𝐶𝑝 > 𝐶𝑝𝑘 )

Cada una de estas situaciones en un proceso productivo es presentada a continuación:

57

MODULO ACADÉMICO

58

MODULO ACADÉMICO

Esquema general para implementación de un programa de control estadístico o para el mejoramiento de los procesos con base en esta herramienta.

3.3.3. DETERMINACIÓN DE LA PROPORCION DE PRODUCTOS NO CONFORMES Dado que el proceso se ajusta a una distribución normal, la proporción de productos no conformes (%PNC), es el porcentaje de productos por cada límite de la función de densidad de probabilidad Normal que rebasa los límites de especificación. Para el límite superior:

59

MODULO ACADÉMICO

𝑍𝐿𝑆𝐸 =

̅ 𝐿𝑆𝐸 − 𝑋´ 𝜎′

Luego, %𝑃𝑁𝐶(𝐿𝑆𝐸) = 𝑃(𝑍 > 𝑍𝐿𝑆𝐸 ) = 1 − 𝑃(𝑍 < 𝑍𝐿𝑆𝐸 ) Para el límite inferior: 𝑍𝐿𝐼𝐸 =

̅ 𝐿𝐼𝐸 − 𝑋´ 𝜎´

Luego, %𝑃𝑁𝐶(𝐿𝐼𝐸) = 𝑃(𝑍 < 𝑍𝐿𝐼𝐸 ) De esta manera, la cantidad total de productos no conformes es la suma de la proporción por cada uno de los límites. En el momento de hallar 𝐶𝑝𝑢 𝑦 𝐶𝑝𝑙 , se debe tener en cuenta que si el primer valor es mayor que 1, entonces la proporción de productos no conformes por el límite superior es tan insignificante que no se tiene en cuenta, de igual forma sucede con el segundo valor pero para el porcentaje de productos no conformes por el límite inferior. Para un proceso que genera una proporción de productos no conformes como el siguiente, se pueden considerar las siguientes alternativas para disminuir la fracción de productos no conformes:

LSE

Proc eso  Reducir la desviación estándar

LIE

LSE

 Cambiar la media y centrar el proceso.

60

MODULO ACADÉMICO

LIE

LSE

 Lo ideal sería cambiar ambas

LIE

LSE

¿Cómo hacer una recolección de datos para hacer un análisis de capacidad o cualquier estudio estadístico? Para la recolección de los datos se toman k muestras de tamaño n, en un tiempo determinado por días, horas o minutos, según los requerimientos del proceso, la media, la desviación estándar y el recorrido de los datos se obtienen de la siguiente manera:

1 2 3 4 5

1 3,4 -

n (Para este caso, 4) 2 3 5,3 2,1 -

4 3,8 -

̅ 𝑿

𝑹

3,65 ̅=𝑿 ̅′ ∑𝑿

3,2 ̅ ∑𝑹 = 𝑹

Los valores utilizados para realizar el análisis de la capacidad del proceso son 𝑋̅′ y 𝑅̅ . El valor de la desviación estándar 𝜎′se determina de la siguiente manera: 𝜎´ =

𝑅̅ 𝑑2

Donde 𝑑2 es una constante (Tabla anexo “Factores para construir cartas de control para variables cuando no se da una especificación”), su valor depende del tamaño de la muestra y puede tomarse de las tablas de constantes para el manejo de la calidad de un proceso.

61

MODULO ACADÉMICO Es útil la construcción e interpretación de histogramas para el manejo de este tema, este procedimiento es explicado en la sección 2 del módulo. 3.3.4. Intervalos de confianza y pruebas para los índices de capacidad del proceso: Gran parte de la aplicación industrial de los índices de capacidad del proceso se enfoca en calcular e interpretar la estimación puntual de la cantidad deseada. Los usuarios en la práctica olvidan con frecuencia que cp o cpk son simplemente estimaciones puntuales y, como tales, están sujetas a la fluctuación estadística. Una alternativa que debería convertirse en práctica común es reportar los intervalos de confianza para los índices de capacidad del proceso. Calculo: 𝜶 𝜶 𝒙𝟐 𝟏 − ; 𝒏 − 𝟏 𝒙𝟐 𝟏 − ; 𝒏 − 𝟏 𝒙𝟐 𝜶/𝟐; 𝒏 − 𝟏 𝜶 𝟏 𝟐 𝟐 √ ̂ √ √ ̂ ̂ 𝒄𝒑 ≤ 𝑪𝑷 ≤ 𝒄𝒑 𝒄𝒑𝒌 𝟏 − 𝒁 + ≤ 𝑪𝒑𝒌 ̂ 𝟐) 𝒏−𝟏 𝒏−𝟏 𝟐 𝟗𝒏(𝒄𝒑𝒌 𝟐(𝒏 − 𝟏) [ ] 𝜶 𝒙𝟐 𝟏 − ; 𝒏 − 𝟏 𝜶 𝟏 ∝ 𝟏 𝒙𝟐 𝟏−∝/𝟐; 𝒏 − 𝟏 𝟐 ̂ 𝟏−𝒁 √ 𝒄𝒑𝒌 + ≤ 𝑪𝒑𝒌 ≤ [𝟏 + 𝒁 + √ ̂ 𝟐) ̂𝟐 ) 𝟐 𝟗𝒏(𝒄𝒑𝒌 𝟐(𝒏 − 𝟏) 𝟐 𝟗𝒏 (𝒄𝒑𝒌 𝟐(𝒏 − 𝟏) [ ]

≤ [𝟏 + 𝒁

∝ 𝟏 𝒙𝟐 𝟏−∝/𝟐; 𝒏 − 𝟏 + √ ̂𝟐 ) 𝟐 𝟗𝒏 (𝒄𝒑𝒌 𝟐(𝒏 − 𝟏)

EJEMPLOS: 1.

En cierto proceso de maquinado se ha llevado una grafica 𝑆𝑃𝐶 𝑋̅ 𝑅̅ sobre el diámetro de cierta parte.

Después de verificar si el proceso está bajo control estadístico y que los datos se comportan como una distribución normal, se tienen los siguientes datos. 𝑅̅ = 0,169 𝑛=5 𝑋̅ = 0,738 𝐿𝐼𝐸 = 0,5 𝐿𝑆𝐸 = 0,9 a. Calcule los índices Cp y Cpk y haga un análisis completo de la capacidad del proceso. b. Obtenga la proporción esperada fuera de especificación unilateral y de manera total. c. Calcular el inciso a) y b) con el proceso centrado

62

MODULO ACADÉMICO d. Entre que valores debe oscilar 𝑋̅, de tal manera que la fracción de no conformes sea a lo sumo de 1% (Ventana de Operación). SOLUCIÓN a) Índices de Capacidad 𝜎´ =

𝜎´ =

𝑅̅ 𝑑2

0,169 = 0,0726 2,326

𝑑2 Se obtuvo de la tabla factores para construir cartas de control para variables. 𝐶𝑝 =

0,9 − 0,5 = 0,9182 6 ∗ 0,0726

Como 𝐶𝑝 < 1 decimos que el proceso no es capaz 𝐶𝑝𝑘 = 𝑚𝑖𝑛( 𝐶𝑝𝑙 ; 𝐶𝑝𝑢 ) 𝐶𝑝𝑙 =

𝑋̅´ − 𝐿𝐼𝐸 0,738 − 0,5 = = 1,0927 3𝜎 3 ∗ 0,0726

𝐶𝑝𝑢 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝑋̅´ 0,9 − 0,738 = = 0,7438 3𝜎 3 ∗ 0,0738

𝐶𝑝𝑘 = 𝑚𝑖𝑛( 1,0927; 0,7438) = 0,7438 El Cpu es menor que 1 entonces está arrojando productos no conformes por el límite superior. b) %PNC 𝑍𝐿𝑆𝐸 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝑋̅´ 0,9 − 0,738 = = 2,23 → %𝑃𝑁𝐶 = 𝑃(𝑍 > 2,23) 𝜎 0,0726 = 1 − 𝑃(𝑍 < 2,23) = 1 − 0,9871 = 1,25%

El proceso arroja 1,25% de productos no conformes. Entonces se dice que el proceso no es capaz, no está centrado y arroja 1,25% de productos no conformes.

63

MODULO ACADÉMICO

Para reducir la cantidad de productos no conformes arrojados por el proceso, incurriendo en el menor costo, lo recomendable es centrar el proceso, es decir, hacer que coincida la media del proceso con el valor nominal. Esta técnica resulta más económica que la reducción de la variabilidad, que sería lo ideal, aunque muy costosa, pues requiere un análisis riguroso de las 6M de producción (Maquinaria, Mano de Obra, Mediciones, Medio Ambiente, Métodos y Materiales). C) Teniendo en cuenta el ejemplo desarrollado, si centramos el proceso, se tiene: 𝐶𝑝 = 0,9175 𝑋̅ = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 =

𝐿𝑆𝐸 + 𝐿𝐼𝑆 0,9 + 0,5 = = 0,7 2 2

Con el proceso centrado el 𝐶𝑝 = 𝐶𝑝𝑢 = 𝐶𝑝𝑙 = 𝐶𝑝𝑘 = 0,9175 𝑍𝐿𝐼𝐸

𝐿𝐼𝐸 − 𝑋̅´ 0,5 − 0,7 = = = −2,75 → %𝑃𝑁𝐶 = 𝑃(𝑍 < −2,75) = 0,003 𝜎 0,0726

Pero como se sale por los dos lados por estar centrado %PNC= 0,003*2 =0,006 %PNC = 0,6% D) La Ventana de Operación son los valores entre los que puede oscilar 𝑋 ´ , para arrojar a lo sumo una proporción de productos no conformes especificada. En este caso esa proporción de productos es de 1%. Para producción no conforme por el límite superior: 0,01 = 1 − 𝑃(𝑍 < 𝑍𝐿𝑆𝐸 ) 𝑃(𝑍 < 𝑍𝐿𝑆𝐸 ) = 0.99 𝑍𝐿𝑆𝐸 = 2,325 2,325 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝑋̅´ 𝜎

𝑋̅´ = 𝐿𝑆𝐸 − 2,325𝜎 𝑋̅´ = 0,9 − 2,325(0,0726) = 0,7312 Para producción no conforme por el límite inferior: 0,01 = 𝑃(𝑍 < 𝑍𝐿𝐼𝐸 )

64

MODULO ACADÉMICO 𝑍𝐿𝐼𝐸 = −2,325 −2,325 =

𝐿𝐼𝐸 − 𝑋̅´ 𝜎

𝑋̅´ = 𝐿𝐼𝐸 + 2,325𝜎 𝑋̅´ = 0,5 + 2,325(0,0726) = 0,6687 La ventana de operación para una producción de productos no conformes de 1% es [0,6687; 0,7312]. 2. Un proceso productivo tiene un 𝐶𝑝 = 0,95, y está centrado. a. Estime la proporción de productos no conformes b. Si el proceso esta descentrado a 0,15𝜎, que valor toman los índices 𝐶𝑝 y 𝐶𝑝𝑘 SOLUCIÓN a) Como el proceso está centrado 𝐶𝑃 = 𝐶𝑃𝐾 = 𝐶𝑃𝐿 = 𝐶𝑃𝑈 = 0,95 %PNC 𝐶𝑃𝑈 = 0,95 = 0,95 ∗ 3 = 2,85 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝑥̅ 3𝜎

𝐿𝑆𝐸 − 𝑥̅ 𝜎

𝐿𝑆𝐸 − 𝑥̅ 𝜎

𝑍𝐿𝑆𝐸 = 2,85 𝑃(𝑍 > 𝑍𝐿𝑆𝐸 ) = 1 − 𝑃(𝑍 < 𝑍𝐿𝑆𝐸 ) = 1 − 0,9978 = 0,0022 Como está centrado está arrojando la misma cantidad de productos no conformes por ambos lados tenemos 0,0022 ∗ 2 = 0,0044 = 0,04% a) Si el proceso esta descentrado a 0,15𝜎 𝑥̅ =

𝐿𝑆𝐸 + 𝐿𝐼𝐸 + 0,15𝜎 2

65

MODULO ACADÉMICO

𝐶𝑃𝑈 =

𝐶𝑃𝑈 =

𝐿𝑆𝐸 − [

𝐶𝑃𝑈 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝑥̅ 3𝜎

𝐿𝑆𝐸 + 𝐿𝐼𝐸 + 0,15𝜎] 2 2 ∗ 3𝜎 2

2𝐿𝑆𝐸 − [𝐿𝑆𝐸 + 𝐿𝐼𝐸 + 0,3𝜎] 6𝜎

𝐶𝑃𝑈 =

2𝐿𝑆𝐸 𝐿𝑆𝐸 𝐿𝐼𝐸 0,3𝜎 − − − 6𝜎 6𝜎 6𝜎 6𝜎

𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸 − 0,05 = 0,9 6𝜎 𝐶𝑃𝑈 = 𝐶𝑃 − 0,05 𝐶𝑃𝑈 = 0,90 𝐶𝑃𝐿 =

𝑥̅ − 𝐿𝐼𝐸 3𝜎

𝐶𝑃𝐿

𝐿𝑆𝐸 + 𝐿𝐼𝐸 + 0,15𝜎 − 𝐿𝐼𝐸]⁄ 2 = 3𝜎

𝐶𝑃𝐿

𝐿𝑆𝐸 + 𝐿𝐼𝐸 0,30𝜎 2𝐿𝐼𝐸 + 2 − 2 ]⁄ 2 = 6𝜎

[

[

𝐶𝑃𝐿 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸 0,3 + 6𝜎 6

𝐶𝑃𝐿 = 0,95 + 0,05 𝐶𝑃𝐿 = 1 𝐶𝑃𝐾 = 𝐶𝑃𝑈 = 0,90 3. Cierto proceso tiene unas especificaciones de 75 ± 15, se ajusta a una distribución normal y está bajo control estadístico con parámetros 𝑥̅ = 77 y 𝜎 = 4,5. Entre que valores puede oscilar la media de tal manera que la fracción de productos no conformes sea a lo sumo 4%. De los artículos no conformes que excedan el límite de especificación superior, el 70% se pueden reprocesar a un costo unitario de 80 U.M y quedan aceptables. Los artículos no conformes por el límite

66

MODULO ACADÉMICO inferior no son reprocesables y ocasionan un costo unitario de 30 U.M. El costo de producción de cada artículo es de 250 U.M. ¿Cuánto cuanta producir un artículo conforme? Solución: Datos: 𝑥̅ = 77 𝜎 = 4,5 𝐿𝑆𝐸 = 90 𝐿𝐼𝐸 = 60 Lo primero que se debe hacer es realizar el análisis de capacidad: 𝐶𝑝 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸 90 − 60 = = 1,11 > 1. 6∗𝜎 6 ∗ 4,5

𝐶𝑝𝑢 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝑥̅ 90 − 77 = = 0,9629 3∗𝜎 3 ∗ 4,5

𝐶𝑝𝑙 =

𝑥̅ − 𝐿𝐼𝐸 77 − 60 = = 1,2592 3∗𝜎 3 ∗ 4,5

𝐶𝑝𝑘 = min(𝐶𝑝𝑙; 𝐶𝑝𝑢) = min(1,2592; 0,9629) = 0,9629. 𝑍𝐿𝑆𝐸 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝑥̅ 90 − 77 = = 2,8888 𝜎 4,5

%𝑃𝑁𝐶 ∗ 𝐿𝑆𝐸 = 1 − 𝑝(𝑍 < 𝑍𝐿𝑆𝐸 ) = 1 − 𝑝(𝑍 < 2,8888) = 1 − 0,9980 = 0,002 ∗ 100 = 0,2% 𝑍𝐿𝐼𝐸 =

𝐿𝐼𝐸 − 𝑥̅ 60 − 77 = = −3,7777 𝜎 4,5

%𝑃𝑁𝐶 ∗ 𝐿𝐼𝐸 = 𝑝(𝑍 < 𝑍𝐿𝐼𝐸 ) = 𝑝(𝑍 < −3,7777) = 0,00008 ∗ 100 = 0,008% %𝑃𝑁𝐶 = 0,008% + 0,2% = 0,208% Como el Cp>1, se dice que el proceso es capaz, es adecuado para el trabajo, pero requiere de un control estricto conforme el Cp se acerca a 1, además está arrojando más productos no conformes por el límite superior según el Cpk

67

MODULO ACADÉMICO con una proporción de 0,2% y por el límite inferior se está arrojando un 0,008% para un total de 0,208% de productos no conformes. Para encontrar los valores entre los cuales puede oscilar la media de tal manera que la fracción de productos no conformes sea a lo sumo 4%, se debe hallar la ventana de operación: Por el límite inferior se tiene: %𝑃𝑁𝐶 = 𝑝(𝑍 < 𝑍𝐿𝐼𝐸 ) = 0,04 = 𝑝(𝑍 < 𝑍𝐿𝐼𝐸 ) => 𝑍𝐿𝐼𝐸 = −1,750 𝑍𝐿𝐼𝐸 =

𝐿𝐼𝐸 − 𝑥̅ => 𝜎 ∗ 𝑍𝐿𝐼𝐸 = 𝐿𝐼𝐸 − 𝑥̅ => 𝑥̅ = 𝐿𝐼𝐸 − 𝜎 ∗ 𝑍𝐿𝐼𝐸 = 60 − 4,5 ∗ (−1,750) 𝜎 𝑥̅ = 60,7875

Por el límite superior se tiene: %𝑃𝑁𝐶 = 1 − 𝑝(𝑍 < 𝑍𝐿𝑆𝐸 ) = 0,04 = 1 − 𝑝(𝑍 < 𝑍𝐿𝑆𝐸 ) => 𝑝(𝑍 < 𝑍𝐿𝑆𝐸 ) = 1 − 0,04 = 0,96 𝑍𝐿𝑆𝐸 = 1,750 𝑍𝐿𝑆𝐸 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝑥̅ => 𝜎 ∗ 𝑍𝐿𝑆𝐸 = 𝐿𝑆𝐸 − 𝑥̅ => 𝑥̅ = 𝐿𝑆𝐸 − 𝜎 ∗ 𝑍𝐿𝑆𝐸 = 90 − 4,5 ∗ (1,750) 𝜎 𝑥̅ = 82,125

La ventana de operación es [60,7875; 82,125 ]. Ahora para sacar el costo de fabricar un artículo conforme se sabe que por el límite superior hay un 0,2% de PNC y que solo el 70% de ellos se reprocesa a un costo de 80 U.M, por el límite inferior hay un 0,008% que genera un costo de 30 U.M. 𝐶𝑇 =

250 + 0,002 ∗ 0,70 ∗ 80 + 0,00008 ∗ 30 = 250,6357 1 − 0,002 − 0,00008

El costo de un artículo conforme es de 250,6357 U.M. 4. Para cierto producto químico, el porcentaje de arsénico presente en él, condiciona la calidad y efectividad de este. El producto que contiene 16% a 24% de arsénico se clasifica como tipo C y es el más común en el mercado para la lucha contra roedores; la clasificación tipo B se le da al producto que tenga un contenido de 24% a 28% de arsénico y debido a su alta concentración es utilizado para evitar la proliferación de mosquitos y bacterias en lugares húmedos; la clasificación tipo A se le da al producto cuyo contenido de arsénico oscila entre 10% y 16% y es usado en la lucha contra cucarachas, las cuales detectan con fiabilidad las altas concentraciones de arsénico, pero son presa fácil a las bajas concentraciones.

68

MODULO ACADÉMICO El producto con el porcentaje de arsénico por debajo del 10% debe ser enriquecido bajo un proceso con una efectividad del 70% y tiene un costo de $5000 por kilogramo procesado. Por otro lado, los productos con el porcentaje de arsénico por encima del 28%, deben ser sometidos a un empobrecimiento con el fin de disminuir su concentración, este proceso es efectivo en un 80% y tiene un costo de $3.000 por kilogramo de sustancia. Los residuos de los dos procesos anteriores son tratados para su aprovechamiento y las sustancias recuperadas pasan a ser nuevas materias primas de otros productos, este proceso se carga un costo de $1.000 por kilogramo. El proceso productivo del producto químico comienza con la creación de una mezcla altamente viscosa que no alcanza la total homogeneidad. Después del proceso de deshidratación se forma una masa solidad llamada sustancia base. Por la forma como es dividida esta masa para su procesamiento, se conoce que el porcentaje de arsénico se ajusta a una distribución normal con media de 20% de arsénico y una desviación estándar de 5%. Diariamente son procesados 100 kg de sustancia base, en lo que se genera un costo de $5.000.000. La clasificación en sus diferentes calidades y otros procesos realizados a la sustancia base generan otros $2.000.000. Los tipos A, B y C son distribuidos en diferentes presentaciones: el tipo C se distribuye al menudeo en sobres de pastillas de 20 gramos y su precio de venta es $1.000; mientas que los tipo B y A se distribuyen en grandes almacenes en envases plásticos de 250 gramos del producto en polvo y un precio de venta de $27.500 y $30.000 respectivamente. a. b. c. d.

¿Cuál es el índice de capacidad del proceso? ¿Cuál es el costo promedio de producción de 1 kg de sustancia apta para comercializar? ¿Cuál es la utilidad bruta esperada por cada Kg de sustancia comercializada? Se estudian dos propuestas que buscan mejorar desde el punto de vista económico la situación actual del proceso productivo del producto. e. Incrementar en un 2% el porcentaje promedio de arsénico en la sustancia base. f. Disminuir en un 2% el porcentaje promedio de arsénico en la sustancia base. g. Se tomara como criterios de decisión: h. Costo promedio de producción de sustancia comercializable. i. Utilidad bruta promedio de sustancia comercializable. j. Ignorando los costos de implementación de las propuestas, para cada criterio tome una decisión. k. Una maquinaria nueva aumentaría la capacidad del proceso actual en un 25%, pero su alquiler mensual sería de $1.200.000. ¿vale la pena alquilar la maquinaria nueva? Suponga que se labora 20 días al mes. Solución: Datos: 𝑥̅ = 20% 𝜎 = 5% 𝐿𝑆𝐸 = 28%

69

MODULO ACADÉMICO 𝐿𝐼𝐸 = 10% Se halla el índice de capacidad de proceso. 𝐶𝑝 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸 28 − 10 = = 0,6 < 1. 6∗𝜎 6∗5

𝐶𝑝𝑢 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝑥̅ 28 − 20 = = 0,5333 3∗𝜎 3∗5

𝐶𝑝𝑙 =

𝑥̅ − 𝐿𝐼𝐸 20 − 10 = = 0,6667 3∗𝜎 3∗5

𝐶𝑝𝑘 = min(𝐶𝑝𝑙; 𝐶𝑝𝑢) = min(0,6667; 0,5333) = 0,5333. Como el Cp = 0,6, el proceso no es capaz y se encuentra descentrado, no es adecuado para el trabajo y requiere serias modificaciones, además el Cpk nos advierte que el proceso está arrojando productos no conformes en mayor proporción por el límite superior de especificación. Para encontrar el costo promedio de producir un kilogramo de esta sustancia se deben hallar primero el porcentaje de productos no conformes que está arrojando el proceso. ZLSE =

LSE − x̅ 28 − 20 = = 1,60 σ 5

%PNC ∗ LSE = 1 − p(Z < ZLSE ) = 1 − p(Z < 1,60) = 1 − 0,94520 = 0,0548 ∗ 100 = 5,48% ZLIE =

LIE − x̅ 10 − 20 = = −2 σ 5

%PNC ∗ LIE = p(Z < ZLIE ) = p(Z < −2) = 0,0227 ∗ 100 = 2,27% %PNC = 5,48% + 2,27% = 7,75% Ahora el costo de producir un kilogramo de sustancia apta para comercializar es: C. prom = c. de producion + c. clasificacion + c. de aumentar % arsenico + c. de disminuir %arsenico + c. de reaprovechamiento C. prom =

5.000.000 $ 2.000.000 $ $ + + (0,0227 ∗ 0,70 ∗ 5000) + (0,0548 ∗ 0,80 100 kg 100 kg 𝑘𝑔 $ $ ∗ 3000) + 1000[0,0227 ∗ 0,30 + 0,0548 ∗ 0,20] 𝑘𝑔 𝑘𝑔

70

MODULO ACADÉMICO

C. prom = 70.228,74

$ 𝑘𝑔

Cada producto tiene su presentación por lo tanto se debe llevar cada producto a su precio de venta en kilogramos. 𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐶 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑛

1000 $ 1000 𝑔𝑟 $ ∗ = 50000 20 𝑔𝑟 1 𝑘𝑔 𝐾𝑔

𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐵 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑛

27500 $ 1000 𝑔𝑟 $ ∗ = 110000 250 𝑔𝑟 1 𝑘𝑔 𝐾𝑔

𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐴 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑛

30000 $ 1000 𝑔𝑟 $ ∗ = 120000 250 𝑔𝑟 1 𝑘𝑔 𝐾𝑔

Gráfica de distribución

Normal. Media=20. Desv.Est.=5 10

0,09

16

24

28

0,08 0,07

Densidad

0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00

5

10

15

20 X

25

30

35

Luego se debe conocer el % que se fabrica de cada producto conforme según la concentración de arsénico. Para el tipo C tenemos: 𝑍=

𝑥−𝜇 24 − 20 𝑥−𝜇 16 − 20 = = 0,8 𝑦 𝑍 = = = −0,8 𝜎 5 𝜎 5

%𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 𝑝(𝑍 < 0,8) − 𝑝(𝑧 < −0,8) = 0,78814 − 0,21186 %𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 0,57628 Para el tipo B tenemos:

71

MODULO ACADÉMICO

𝑍=

𝑥−𝜇 24 − 20 𝑥−𝜇 28 − 20 = = 0,8 𝑦 𝑍 = = = 1,6 𝜎 5 𝜎 5

%𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 𝑝(𝑍 < 1,6) − 𝑝(𝑧 < 0,8) = 0,9452 − 0,78814 %𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 0,15706 Para el tipo A tenemos: 𝑍=

𝑥−𝜇 16 − 20 𝑥−𝜇 10 − 20 = = −0,8 𝑦 𝑍 = = = −2 𝜎 5 𝜎 5

%𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 𝑝(𝑍 < −0,8) − 𝑝(𝑧 < −2) = 0,21186 − 0,02275 %𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 0,18911 Ahora se calcula la cantidad de sustancia comercializable el cual es la suma del producto conforme más la cantidad de producto no conforme que fue reprocesado por empobrecimiento y enriquecimiento. 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 0,57628 + 0,0227 ∗ 0,70 + 0,0548 ∗ 0,80 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 0,63601 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 0,15706 + 0,0227 ∗ 0,70 + 0,0548 ∗ 0,80 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 0,21679 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 0,18911 + 0,0227 ∗ 0,70 + 0,0548 ∗ 0,80 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 0,24884 Se calcula la utilidad bruta esperada como: 𝑈𝐵 = 𝑃𝑣 − 𝐶𝑣 𝑈𝐵 = (0,63601 ∗ 50000 + 0,21679 ∗ 110000 + 0,24884 ∗ 120000) − 70.228,74

$ 𝐾𝑔

$ 𝑘𝑔 𝑈𝐵 = 15279,46

$ 𝑘𝑔

Si se incrementara en un 2% el porcentaje promedio de arsénico en la sustancia base:

72

MODULO ACADÉMICO

𝐶𝑝𝑢 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝑥̅ 28 − 22 = = 0,4 3∗𝜎 3∗5

𝐶𝑝𝑙 =

𝑥̅ − 𝐿𝐼𝐸 22 − 10 = = 0,8 3∗𝜎 3∗5

𝐶𝑝𝑘 = min(𝐶𝑝𝑙; 𝐶𝑝𝑢) = min(0,8; 0,4) = 0,4. Como el Cp no se altera, el proceso no es capaz y se encuentra descentrado, no es adecuado para el trabajo y requiere serias modificaciones, además el Cpkse altera y como la media se aproxima más al límite de especificación superior es de esperarse que la cantidad de producto no conforme aumente por el lado superior. Para encontrar el nuevo costo promedio de producir un kilogramo de esta sustancia; ZLSE =

LSE − x̅ 28 − 22 = = 1,20 σ 5

%PNC ∗ LSE = 1 − p(Z < ZLSE ) = 1 − p(Z < 1,20) = 1 − 0,88493 = 0,11507 ∗ 100 %PNC ∗ LSE = 11,507% ZLIE =

LIE − x̅ 10 − 22 = = −2,40 σ 5

%PNC ∗ LIE = p(Z < ZLIE ) = p(Z < −2,4) = 0,00819 ∗ 100 = 0,81975% %PNC = 11,507% + 0,81975% = 12,326 % Ahora el costo de producir un kilogramo de sustancia apta para comercializar es: C. prom = c. de producion + c. clasificacion + c. de aumentar % arsenico + c. de disminuir %arsenico + c. de reaprovechamiento C. prom =

5.000.000 $ 2.000.000 $ $ + + (0,0081975 ∗ 0,70 ∗ 5000) + (0,11507 100 kg 100 kg 𝑘𝑔 $ $ ∗ 0,80 ∗ 3000) + 1000[0,0081975 ∗ 0,30 + 0,11507 ∗ 0,20] 𝑘𝑔 𝑘𝑔 C. prom = 70.330,33

$ 𝑘𝑔

Como se puede observar aumentar en 2% la cantidad de arsénico en la sustancia base aumentaría el costo promedio de producción en 101,59 $/Kg procesado con respecto al costo hallado inicialmente.

73

MODULO ACADÉMICO Para la hallar la utilidad bruta se debe conocer el % que se fabrica de cada producto conforme según la concentración de arsénico con la nueva media. Para el tipo C tenemos: 𝑍=

𝑥−𝜇 24 − 22 𝑥−𝜇 16 − 22 = = 0,4 𝑦 𝑍 = = = −1,2 𝜎 5 𝜎 5

%𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 𝑝(𝑍 < 0,4) − 𝑝(𝑧 < −1,2) = 0,65542 − 0,11507 %𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 0,54035 Para el tipo B tenemos: 𝑍=

𝑥−𝜇 24 − 22 𝑥−𝜇 28 − 22 = = 0,4 𝑦 𝑍 = = = 1,2 𝜎 5 𝜎 5

%𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 𝑝(𝑍 < 1,2) − 𝑝(𝑧 < 0,4) = 0,88493 − 0,65542 %𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 0,22951 Para el tipo A tenemos: 𝑍=

𝑥−𝜇 16 − 22 𝑥−𝜇 10 − 22 = = −1,2 𝑦 𝑍 = = = −2,4 𝜎 5 𝜎 5

%𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 𝑝(𝑍 < −1,2) − 𝑝(𝑧 < −2,4) = 0,11507 − 0,0081975 %𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 0,10687 Ahora la cantidad de sustancia comercializable es: 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 0,54035 + 0,00819 ∗ 0,70 + 0,11507 ∗ 0,80 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 0,638139 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 0,22951 + 0,00819 ∗ 0,70 + 0,11507 ∗ 0,80 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 0,327299 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 0,10687 + 0,00819 ∗ 0,70 + 0,11507 ∗ 0,80 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 0,204659 Entonces la utilidad bruta es:

74

MODULO ACADÉMICO 𝑈𝐵 = 𝑃𝑣 − 𝐶𝑣 𝑈𝐵 = (0,638139 ∗ 50000 + 0,327299 ∗ 110000 + 0,204659 ∗ 120000) − 70.330,33

$ 𝐾𝑔

$ 𝑘𝑔 𝑈𝐵 = 22138,59

$ 𝑘𝑔

La utilidad bruta aumenta a 22138,59 $/Kg. Analizando la segunda opción que costa de disminuir en un 2% la cantidad de arsénico en la sustancia base: 𝐶𝑝𝑢 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝑥̅ 28 − 18 = = 0,667 3∗𝜎 3∗5

𝐶𝑝𝑙 =

𝑥̅ − 𝐿𝐼𝐸 18 − 10 = = 0,533 3∗𝜎 3∗5

𝐶𝑝𝑘 = min(𝐶𝑝𝑙; 𝐶𝑝𝑢) = min(0,533; 0,667) = 0,533. Como el Cp no se altera, el proceso no es capaz y se encuentra descentrado, no es adecuado para el trabajo y requiere serias modificaciones, además el Cpk se altera y como la media se aproxima más al límite de especificación inferior es de esperarse que la cantidad de producto no conforme aumente por el lado inferior. Para encontrar el nuevo costo promedio de producir un kilogramo de esta sustancia; ZLSE =

LSE − x̅ 28 − 18 = =2 σ 5

%PNC ∗ LSE = 1 − p(Z < ZLSE ) = 1 − p(Z < 2) = 1 − 0,97725 = 0,02275 ∗ 100 %PNC ∗ LSE = 2,275% ZLIE =

LIE − x̅ 10 − 18 = = −1,6 σ 5

%PNC ∗ LIE = p(Z < ZLIE ) = p(Z < −1,6) = 0,054799 ∗ 100 = 5,4799% %PNC = 2,275% + 5,4799% = 7,7549 % Ahora el costo de producir un kilogramo de sustancia apta para comercializar es:

75

MODULO ACADÉMICO C. prom = c. de producion + c. clasificacion + c. de aumentar % arsenico + c. de disminuir %arsenico + c. de reaprovechamiento C. prom =

5.000.000 $ 2.000.000 $ $ + + (0,054799 ∗ 0,70 ∗ 5000) + (0,02275 100 kg 100 kg 𝑘𝑔 $ $ ∗ 0,80 ∗ 3000) + 1000[0,054799 ∗ 0,30 + 0,02275 ∗ 0,20] 𝑘𝑔 𝑘𝑔 C. prom = 70267,39

$ 𝑘𝑔

Como se puede observar disminuir en 2% la cantidad de arsénico en la sustancia base aumentaría el costo promedio de producción en 38,64 $/Kg procesado con respecto al costo hallado inicialmente. Para la hallar la utilidad bruta se debe conocer el % que se fabrica de cada producto conforme según la concentración de arsénico con la nueva media. Para el tipo C tenemos: 𝑍=

𝑥−𝜇 24 − 18 𝑥−𝜇 16 − 18 = = 1,2 𝑦 𝑍 = = = −0,4 𝜎 5 𝜎 5

%𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 𝑝(𝑍 < 1,2) − 𝑝(𝑧 < −0,4) = 0,88493 − 0,34458 %𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 0,54035 Para el tipo B tenemos: 𝑍=

𝑥−𝜇 24 − 18 𝑥−𝜇 28 − 18 = = 1,2 𝑦 𝑍 = = =2 𝜎 5 𝜎 5

%𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 𝑝(𝑍 < 2) − 𝑝(𝑧 < 1,2) = 0,97725 − 0,88493 %𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 0,09232 Para el tipo A tenemos: 𝑍=

𝑥−𝜇 16 − 18 𝑥−𝜇 10 − 18 = = −0,4 𝑦 𝑍 = = = −1,6 𝜎 5 𝜎 5

%𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 𝑝(𝑍 < −0,4) − 𝑝(𝑧 < −1,6) = 0,34458 − 0,05479 %𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 0,290681

76

MODULO ACADÉMICO Ahora la cantidad de sustancia comercializable es: 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 0,54035 + 0,054799 ∗ 0,70 + 0,02275 ∗ 0,80 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 0,5969 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 0,09232 + 0,054799 ∗ 0,70 + 0,02275 ∗ 0,80 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 0,14887 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 0,290681 + 0,054799 ∗ 0,70 + 0,02275 ∗ 0,80 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 0,34724 Entonces la utilidad bruta es: 𝑈𝐵 = 𝑃𝑣 − 𝐶𝑣 𝑈𝐵 = (0,5969 ∗ 50000 + 0,14887 ∗ 110000 + 0,34724 ∗ 120000) − 70267,39

$ 𝐾𝑔

$ 𝑘𝑔 𝑈𝐵 = 17622,11

$ 𝑘𝑔

La utilidad bruta aumenta a 17622,11 $/Kg. La primera propuesta es la mejor ya que aumenta la utilidad bruta esperada en 6859,13 $/kg de sustancia comercializada aunque el costo por cada kilogramo promedio es mucho mayor en comparación con los otros resultados, esto se debe a que aumenta la cantidad de producto conforme y no hay tanto material para reprocesar por el límite inferior pues sale muy costoso enriquecer la sustancia con arsénico. La nueva maquinaria aumenta la capacidad actual del proceso un 25%, entonces la nueva capacidad del proceso es: 𝐶𝑝 = 0,60 ∗ 1.25 = 0,75. Se reemplaza en la fórmula de capacidad de procesos y se despeja la desviación estándar, puesto que es la única variable que cambia de valor. 𝐶𝑝 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸 𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸 28 − 10 → 𝜎= = =4→𝜎=4 6∗𝜎 6 ∗ 𝐶𝑝 6 ∗ 0,75

La nueva desviación estándar es 4, ahora se sigue el mismo procedimiento que en los incisos anteriores para encontrar el costo promedio y la utilidad bruta esperada.

77

MODULO ACADÉMICO

𝐶𝑝𝑢 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝑥̅ 28 − 20 = = 0,667 3∗𝜎 3∗4

𝐶𝑝𝑙 =

𝑥̅ − 𝐿𝐼𝐸 20 − 10 = = 0,833 3∗𝜎 3∗4

𝐶𝑝𝑘 = min(𝐶𝑝𝑙; 𝐶𝑝𝑢) = min(0,833; 0,667) = 0,667. Como el Cp = 0,75, el proceso esincapaz y se encuentra centrado, no es adecuado para el trabajo y requiere un análisis de proceso, además el Cpk nos advierte que el proceso está arrojando productos no conformes en mayor proporción por el límite superior de especificación. ZLSE =

LSE − x̅ 28 − 20 = =2 σ 4

%PNC ∗ LSE = 1 − p(Z < ZLSE ) = 1 − p(Z < 2) = 1 − 0,97725 = 0,02275 ∗ 100 %PNC ∗ LSE = 2,275% ZLIE =

LIE − x̅ 10 − 20 = = −2,50 σ 4

%PNC ∗ LIE = p(Z < ZLIE ) = p(Z < −2,50) = 0,0062097 ∗ 100 = 0,62097% %PNC = 2,275% + 0,62097% = 2,89597 % Ahora el costo de producir un kilogramo de sustancia apta para comercializar es: C. prom = c. de producion + c. clasificacion + c. de aumentar % arsenico + c. de disminuir %arsenico + c. de reaprovechamiento C. prom =

5.000.000 $ 2.000.000 $ $ + + (0,0062097 ∗ 0,70 ∗ 5000) + (0,02275 100 kg 100 kg 𝑘𝑔 $ $ ∗ 0,80 ∗ 3000) + 1000[0,0062097 ∗ 0,30 + 0,02275 ∗ 0,20] 𝑘𝑔 𝑘𝑔 C. prom = 70.082,74

$ 𝑘𝑔

Para la hallar la utilidad bruta se debe conocer el % que se fabrica de cada producto conforme según la concentración de arsénico con la nueva desviación estandar. Para el tipo C tenemos:

78

MODULO ACADÉMICO

𝑍=

𝑥−𝜇 24 − 20 𝑥−𝜇 16 − 20 = = 1𝑦𝑍 = = = −1 𝜎 4 𝜎 4

%𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 𝑝(𝑍 < 1) − 𝑝(𝑧 < −1) = 0,84134 − 0,15866 %𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 0,68268 Para el tipo B tenemos: 𝑍=

𝑥−𝜇 24 − 20 𝑥−𝜇 28 − 20 = =1𝑦𝑍 = = =2 𝜎 4 𝜎 4

%𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 𝑝(𝑍 < 2) − 𝑝(𝑧 < 1) = 0,97725 − 0,84134 %𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 0,13591 Para el tipo A tenemos: 𝑍=

𝑥−𝜇 16 − 20 𝑥−𝜇 10 − 20 = = −1 𝑦 𝑍 = = = −2 𝜎 4 𝜎 4

%𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 𝑝(𝑍 < −1) − 𝑝(𝑧 < −2) = 0,15866 − 0,02275 %𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 0,13591 Ahora la cantidad de sustancia comercializable es: 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 0,68268 + 0,0062097 ∗ 0,70 + 0,02275 ∗ 0,80 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶 = 0,70523 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 0,13591 + 0,0062097 ∗ 0,70 + 0,02275 ∗ 0,80 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵 = 0,15846 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 0,13591 + 0,0062097 ∗ 0,70 + 0,02275 ∗ 0,80 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴 = 0,15846 Entonces la utilidad bruta es: 𝑈𝐵 = 𝑃𝑣 − 𝐶𝑣 Ahora se le agrega la producción mensual de la sustancia base pues diario se fabrican 100 Kg.

79

MODULO ACADÉMICO

100

𝑘𝑔 𝑑𝑖𝑎 𝑘𝑔 ∗ 20 = 2000 𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑠

𝑈𝐵 = (0,70523 ∗ 50.000 + 0,15846 ∗ 110.000 + 0,15846 ∗ 120.000) − 70.330,33

$ 𝑘𝑔 ∗ 2000 𝐾𝑔 𝑚𝑒𝑠

$ 𝑘𝑔 $ ∗ 2000 − 1.200.000 𝑘𝑔 𝑚𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑠 𝑈𝐵 = 1.553.940

$ 𝑚𝑒𝑠

Ahora se trae la utilidad bruta que se calculó en el inciso c para compararla con esta. 𝑈𝐵 = 15279,46

$ 𝑘𝑔 $ ∗ 2000 = 30.558.920 𝑘𝑔 𝑚𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑠

No vale la pena alquilar la maquinaria nueva pues sin la nueva maquinaria obtengo una utilidad bruta de 30, 558,920 $/mes mucho mayor a si la alquilara. Este se debe a que con la nueva maquinaria se produciría más producto tipo c, el cual tiene el precio de venta más pequeño en comparación con los de sus productos hermanos.

3.4. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Considerar los dos procesos que se presentan a continuación con un tamaño de muestra n:5:

Proceso 1: 𝑥̿ 𝑎 = 100 𝑆̅𝑎 = 3 Proceso 2: 𝑥̿ 𝑏 = 105 𝑆̅𝑏 = 1 Las especificaciones son 100 ± 10. Calcular Cp, Cpk y Cpu e interpretar estos índices ¿Qué proceso preferiría usarse? ¿Porque? 2. Un proceso con una distribución normal tiene las especificaciones LSE=75 y LIE=85 en la salida. Una muestra aleatoria de 25 partes indica que el proceso está centrado en la banda de las especificaciones y que la desviación estándar es S=15. a. Encontrar una estimación puntual de Cp. b. Encontrar un intervalo de confianza de 95% para Cp comentar la anchura de este intervalo. 3. Un proceso de manufactura tiene una tolerancia de 60 y solo es consumido el 80% de esta. La media del proceso es 214 y está a 1.75 desviaciones estándares por encima del valor nominal.

80

MODULO ACADÉMICO a. ¿Cuál es el porcentaje de productos no conformes? b. ¿Qué Valor en la media del proceso permitirán que se produzcan al menos el 95% de productos conformes? 4. ¿Cuál es el Cp de un proceso que tiene un %PNC=10%, si por fuera de uno de los límites de especificación hay un 6% más de productos no conformes que por el otro? 5. BELLAVEL es una empresa pionera en cosméticos, el labial es el producto más importante de la empresa. El proceso de corte del labial se ajusta a una distribución normal y se conoce que el 20,22% de los labiales tienen una longitud que excede los 105 mm, mientas que el 30,85% excede los 103 mm. Las especificaciones para la longitud de los labiales son de 100.5 ± 10,5 mm. Durante la producción, una vez cortado el labial y en caso de que su longitud exceda el límite superior, se podría reducir para que cumpla con las especificaciones. La producción de cada labial genera un costo de $ 2 dólares y cada unidad se vende en $ 20 dólares. Si es necesario recortar el labial se incurre en un costo de $ 0,5 dólares en una operación que tiene una efectividad de 80%, pero aplicable una vez en cada labial. Cada unidad no conforme pasa a ser parte de la materia prima de otros productos, pero se incurre en un costo de $ 1.5 dólares. Suponga que mensualmente los costos y gastos fijos son de $ 15000 dólares. a. Realice un estudio detallado del proceso de corte para el labial donde se muestre:  Capacidad del proceso y capacidad real del proceso, además sus interpretaciones.  El porcentaje de productos no conformes.  Tipo de proceso y recomendaciones. b. Calcule el costo de producción de un labial conforme y el punto de equilibrio para el labial. c. Determine el mínimo Cp que permitirá que estando el proceso de corte centrado, el producto tenga un punto de equilibrio por debajo de 900 unidades. d. Se sospecha que la media de la longitud de los labiales ha cambiado debido al desgaste de una pieza de la herramienta de corte, por tal motivo se tomaron 30 labiales al azar y se encontró que la media de la longitud fue de 98,528 mm. ¿se puede concluir que existe evidencia que indique que la media ha cambiado? e. Se toman 4 muestras, cada una de 25 labiales escogidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que en al menos dos muestras la media en la longitud de los labiales exceda los 102 mm? 6. Una fábrica de herbicidas tiene un reactor donde fabrica un producto activo el TX-100. El TX-100 es un ingrediente selectivo que tiene un ingrediente activo el cual al entrar en contacto con la maleza, se libera y la ataca alterando el fenómeno de la fotosíntesis. Ello conduce a que la maleza muera y que el cultivo quede libre. Las especificaciones para el ingrediente activo liberable son: 36% ± 6%. Se quiere conocer el patrón estadístico del proceso en el reactor y para tal efecto se han tomado datos de los últimos 200 lotes de cada uno de ellos con relación al % del ingrediente activo liberable y se le han construido los respectivos histogramas. Haga un análisis estadístico exhaustivo sobre la capacidad del proceso, para cada uno de los reactores. Se anexa cuadro extraído del histograma

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MODULO ACADÉMICO INTERVALO [30,6433 – 31,0382] [31,0382 – 31,4331] [31,4331 – 31,8280] [31,8280 – 32,2229] [32,2229 – 32,6178] [32,6178 – 33,0127] [33,0127 – 33,4078] [33,4078 – 33,8025] [33,8025 – 34,1974] [34,1974 – 34,5923] [34,5923 – 34,9872] Total

Fi 1 0 4 14 43 51 44 25 14 4 0 200

¿Entre que valores puede oscilar 𝑋 de tal manera que la fracción de no conformes sea a lo sumo 10%? De los lotes no conformes que exceden el límite superior de especificación el 60% de ellos se pueden reprocesar a un costo unitario de 80 u.m y quedan aceptables. Los lotes no conformes por el límite inferior son reprocesables en un 90% y ocasionan un costo unitario adicional de 30 u.m el costo de producción de cada lote es de 300 u.m ¿Cuánto cuesta producir un lote conforme? 7. Un proceso está bajo control con X=75 y σ=2. Las especificaciones del proceso son 80±8. El tamaño de la muestra es n=5. a. Estimar la capacidad potencial b. Estimar la capacidad real c. ¿Cuánto podría reducirse la porción caída del proceso cambiando la media a la dimensión nominal? Suponer que la característica de calidad tiene una distribución normal. d. Para este proceso productivo, resulta muy costoso reprocesar aquellos productos que no cumplen las especificaciones por el límite inferior. ¿cómo minimizaría los costos ocasionados por los productos no conformes por este límite? Justifique. 8. Un proceso tiene un índice de capacidad Cp=2, pero la media está a dos desviaciones típicas por encima del límite superior de especificaciones, ¿Cuál es la probabilidad de fabricar un producto dentro de los límites de especificación? 9. ¿Cuál es el Cp de un proceso que produce un 10% de productos no conformes, si por fuera de uno de los límites de especificación hay un 6% más de productos no conformes que por el otro? 10. Un proceso está bajo control estadístico con 𝑋 = 100, 𝜎 = 2 𝑦 𝑛 = 5, las especificacines del proceso son 95  10. La característica de a calidad tiene una distribución normal. a. Estimar la capacidad potencial b. Estimar la capacidad real c. ¿Cuánto podría reducirse la porción de productos no conformes si la media del proceso toma el valor nominal? 11. Un proceso de llenado de bolsas de harina está generando en total 15% de productos no conformes con relación al peso mínimo y máximo de la bolsa llena. La cantidad de productos no conforme por uno de los

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MODULO ACADÉMICO límites de especificación es el doble con relación a la cantidad de productos no conformes que se generan por el otro límite de especificación a. Calcule la capacidad general del proceso b. Calcule la capacidad real del proceso. c. Repetir a y b si el 15% total de no conformes se genera en igual proporción por cada uno de los límites de especificación. 12. Aceros S.A produce láminas de acero de 3mm de espesor y 1200mm de ancho, característica que se considera la más relevante por el cliente debido al uso que se puede dar. Por esto se implementa un programa de control con esta característica de calidad con una muestra n=8, la carta y su media es X=1186 y el promedio de la carta Rango=150. Las especificaciones requeridas por la lámina son 1200  40mm para el ancho de las láminas. El costo de producción de las láminas es 11000u.m por políticas de la empresa por cada lámina que cumpla con las especificaciones, se obtiene una utilidad del 35% sobre costos de producción. Las láminas que no cumplen con las especificaciones por el límite superior perdiendo el 10% del precio de venta de la lámina. Por cada lámina que no cumple con el límite inferior se obtiene solo una utilidad del 15%. La empresa recibió un pedido de 1000 láminas. a. ¿Cuál es su opinión sobre la capacidad de proceso? b. Calcular la fracción de productos no conformes del proceso c. ¿Qué debo hacer para reducir la cantidad de productos no conforme? d. De acuerdo al inciso anterior calcule el precio de venta promedio de cada lámina. e. ¿Cuál debe ser el corrimiento de la media para que se genere en total un 30% de productos no conformes? 13. Un proceso productivo consume solo el 75% del ancho de banda de las especificaciones y cada hora se producen 500 unidades. a. ¿Cuántos productos no conformes por hora arroja el proceso cuando su media está a una desviación estándar del valor nominal? b. ¿Qué tan alejada puede estar la media del proceso respecto al valor nominal para que al cabo de una hora se hayan producido 25 unidades defectuosas? c. Si el Cp del proceso se redujeran en un 25%, ¿Cuál es la máxima probabilidad de encontrar a lo sumo dos productos no conformes durante la producción de las próximas dos horas? 14. La empresa Metales del caribe S.A, es una reconocida compañía fabricante de tornillos de todo tipo. Unos de sus productos líderes es el tornillo de rosca fina y cabeza hexagonal. Su proceso se encuentra bajo control estadístico según el ingeniero de calidad, el cual realizo un monitoreo a este con 20 muestras de tamaño cuatro cada una, Obteniéndose una ∑x ̅=213,6 y una ∑R=7,79. El producto tiene unas especificaciones exigidas por el cliente de 10,5 ± 0,3. a. b. c. d.

¿Cuál es la capacidad potencial y la capacidad real del proceso? ¿Cuál es el porcentaje de productos no conformes que arroja el proceso? ¿Que se debería hacer si se desea reducir a un 0% la cantidad de productos no conformes? Logrado el objetivo del inciso anterior, se le puede permitir al proceso que genere un máximo de 2% de productos no conformes, pero solo por el límite superior debido a que estos se podrían reprocesar sin ningún inconveniente ¿calcule la ventana de operación del proceso que cumpla con esa condición? e. ¿Qué se debe hacer para llevar una producción al 100%?

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MODULO ACADÉMICO 15. Festival S.A, es una empresa que fabrica globos para todo tipo de fiestas y algunos de sus clientes han presentado quejas por fallas en los globos inflables, pues no soportan la presión del aire de llenado y estallan antes de estar totalmente inflados. El gerente llama a su jefe de producción el cual entrega la siguiente información relacionada con el proceso de fabricación de los globos: El proceso está bajo control estadístico, diseñado y monitoreado con tamaños de muestra de 6. Presenta una media de 200 mm en el radio máximo que tomaron los globos una vez inflados y un rango promedio de 20,272 mm. Según el proveedor, las especificaciones de calidad con las que deben cumplir el radio máximo de los globos son 180 mm y 210 mm a una presión de 100 Psi. Con esta información responda: a. ¿Cuál es el índice de capacidad del proceso? ¿puede cumplir con las especificaciones? b. ¿Cuál es la capacidad real el proceso? ¿qué tipo de proceso es? c. De no cumplir con las especificaciones, ¿Cuál es el porcentaje de globos no conformes? ¿se puede reducir este valor? ¿cómo y cuál sería la mejoría? d. ¿Cuál es el porcentaje de productos no conformes que se producen por encima del límite superior cuando por debajo del límite inferior se está produciendo un 2%? e. ¿Cuál es el rango de valores en los que puede moverse la media del proceso de fabricación de los globos para que se produzcan al menos el 88% de globos conformes a las especificaciones? f. ¿cuál es el mínimo Cp que permitirá que el proceso estando centrado, produzca a lo sumo un 2% de globos no conformes? g. Se toman 10 globos al azar ¿Cuál es la probabilidad de que no más de la mitad de ellos fallen por no soportar la presión de 100 Psi? 16. CHOCOLATIN S.A, es una empresa dedicada a la elaboración de barras de chocolate, pero la calibración del peso en las barras se ha convertido en un problema para la empresa, las especificaciones del peso son de 13,5 ± 2,3 gramos. Actualmente producen 11,506% y 3,097% de barras de chocolate que no cumplen con las especificaciones en el peso; el primer porcentaje supera al valor máximo permitido y el segundo porcentaje está por debajo del mínimo valor permitido. Se va a adquirir una nueva maquinaria que incrementara el Cp en un 60% y tendrá un costo de $500 millones. CHOCOLATIN S.A opera en dos turnos diarios de 4 horas cada uno, 20 días al mes y su tasa de producción es 600 barras de chocolate por hora. La producción de cada unidad le cuesta $400 y toda la unidad no conforme se devuelve a la cadena productiva, pero antes se penaliza con un costo igual al 40% del precio de venta de cada barra de chocolate. a. ¿Cuál es el precio de venta que permitirá que la nueva maquinaria se pague así misma en 5 años? b. Determine el Cp que debería tener el proceso una vez centrado, para que el costo promedio de producir una unidad conforme sea de $420 y a su vez los ingresos por venta sean maximizados. Tenga en cuenta

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MODULO ACADÉMICO que CHOCOLATIN vende cada unidad en $500 y tiene actualmente una demanda de 700 mil barras de chocolate, pero por cada peso que se disminuya en el precio de venta la demanda aumenta en 1000 unidades. 17. Una prestigiosa empresa de gaseosa presenta problemas con el llenado de las botellas de 750 ml. La estimación de la variabilidad y la media del volumen de llenado se realiza mensualmente en base a la toma de mil muestras, cada una de tamaño 4. Durante 10 días. Las especificaciones en el volumen de llenado de estas botellas de gaseosa admite un error máximo de 10 ml. Durante los primeros 8 días se han tomado 750 muestras y los resultados fueron una media de 744 ml con un rango promedio de 8,23 ml. El ingeniero de calidad decide dejar el muestreo hasta aquí, ahorrándose ese dinero y en su reemplazo simulara la toma de muestras restantes; para luego presentar el informe donde se mostrara que la media en el volumen de llenado cumple con el valor nominal y que la variabilidad del proceso es de 3 ml. Según un estudio de costos que se le hizo al proceso muestra que el llenado de cada envase le cuesta a la empresa $1.000 y el reproceso de las botellas no conformes cuesta $200 por unidad. Durante el muestreo se puede volver a calibrar la maquina si la media en el volumen de llenado no es igual al valor nominal; pero dicho procedimiento necesita de una cantidad de tiempo significativo, durante el cual se perdería mucho dinero al parar la cadena productiva, así de ser necesaria la calibración se haría única vez y según el estudio de costos, esto cuesta $1.000.000. Se produce mensualmente 2500 cajas de 12 botellas cada una y se desea saber si la manera de actuar fue o no fue acertada, por lo que es necesario dar respuesta a los siguientes interrogantes. a. ¿Cuál debe ser la media y el rango promedio de los datos simulados que permiten presentar los resultados del informe? b. ¿Qué se puede concluir y esperar del proceso de llenado a la luz de la información presentada? c. ¿Cuál es la situación real del proceso? d. A pesar que se mintió en la presentación de los resultados ¿se hizo en busca de un beneficio económico para le empresa? e. ¿Determine el máximo costo de la calibración por debajo del cual la manera de actuar del ingeniero de calidad es totalmente deshonrosa para con la empresa? 18. ¿A qué valor 𝛼 se debe incrementar el Cp de un proceso para que su variabilidad se reduzca en un porcentaje 1 − 𝛼? 19. Demuestre: 𝐶𝑝 =

𝑍𝑙𝑠𝑒 − 𝑍𝑙𝑖𝑒 6

𝐶𝑝 =

𝐶𝑝𝑙 + 𝐶𝑝𝑢 2

𝑍𝑙𝑠𝑒 = 3𝐶𝑝 𝑦 𝑍𝑙𝑖𝑒 = −3𝐶𝑝 Para todo proceso centrado

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CAPÍTULO 4 CARTAS DE CONTROL

En este capítulo se presente todo lo relacionado con los conceptos y demás aspectos de las distintas Cartas de Control con las cuales se pueden detectar lo antes posible cambios en el proceso que puedan dar lugar a la producción de unidades defectuosas.

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4.

CARTAS DE CONTROL

4.1.

GENERALIDADES

Las cartas de control son la herramienta más poderosa para analizar la variación en la mayoría de los procesos. Han sido difundidas exitosamente en varios países dentro de una amplia variedad de situaciones para el control del proceso. Las cartas de control enfocan la atención en identificar las variaciones del proceso debido a la entrada causas especiales. Además, sirven para determinar de manera sencilla si un proceso se encuentra bajo Control

Estadístico.

Se dice que un proceso está bajo Control Estadístico cuando presenta causas comunes de variación únicamente, cuando ocurre esto tenemos un proceso estable y predecible. Cuando existen causas especiales el proceso está fuera de Control Estadístico; las gráficas de control detectan la existencia de estas causas en el momento en que se dan, lo cual permite que se puedan tomar acciones al momento. 4.1.1.

TIPOS DE CAUSAS

Causas Especiales: Son causas que pueden ser identificadas y que se necesitan descubrir y eliminar; por ejemplo, el desgaste en una herramienta de corte utilizada en el proceso de ensamblado de alguna pieza. Estas causas provocan que el proceso no funcione con su variabilidad natural; por lo tanto, es necesario intervenir el proceso. El objeto del Control Estadístico de Calidad, es encontrar y separar estas Causas Asignables, así estas no afecten considerablemente el proceso. Estas causas se comportan de manera irregular e inestable en el tiempo, por lo que resultan imprevisibles. Cuando existen puntos que se encuentran fuera de los límites de control o los puntos muéstrales marcan tendencias, decimos que el proceso está fuera de control. Causas comunes: La característica principal que define a este tipo de causas es que actúan constantemente, de una forma estable, provocando una variabilidad homogénea y sobre todo previsible. Son causas que aparecen y desaparecen de forma aleatoria, produciendo una variabilidad regular que podemos disminuir pero no eliminar. Este tipo de causas son inevitables en el proceso y tratar de eliminarlas puede resultar estéril y en la mayoría de los casos extremadamente caro. Por lo que no pueden ser reducidas o eliminadas a menos que se modifique el proceso. Por otra parte estas variaciones dentro de ciertos límites pueden ser totalmente tolerables y no causan reales disminuciones en la calidad del producto. Estas variaciones se aceptan y se les consideran inherentes al proceso. Cuando el proceso trabaja afectado solamente por un sistema constante de variables aleatorias no controladas (causas no asignables) se dice que está funcionando bajo control estadístico.

4.2.

COMPONENTES DE UNA CARTA DE CONTROL.

A continuación se muestra una carta de control típica, que representa alguna característica de calidad de un producto.

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Línea Central (LC): Esta línea representa el valor promedio de la característica de calidad que corresponde al estado bajo control. Límite de Control Superior (LCS) y Límite de Control Inferior (LCI): Representan el valor máximo y mínimo que debe tomar la característica de calidad que se esté analizando, para considerar que el proceso se encuentra bajo control estadístico. Estos valores, son calculados matemáticamente, y la forma de calcularlos así como los parámetros que se utilizan para ello, depende del tipo de carta que se deseé construir.

4.3.

OBJETIVOS DE LAS CARTAS DE CONTROL.       

Estandarizar los procesos. Verificar si el proceso está bajo control estadístico. Ayudar a reducir la variabilidad. Monitorear el proceso. Inferir sobre tendencias futuras. Proveer evidencias de problemas de calidad. Ofrecer información confiable para tomar acciones oportunas.

Cuando un proceso está en control estadístico puede predecirse su desempeño respecto a las especificaciones. En consecuencia, tanto el productor como el cliente pueden contar con niveles consistentes de calidad y ambos pueden contar con costos estables para lograr ese nivel de calidad.

4.4.

VENTAJAS DE UTILIZAR CARTAS DE CONTROL  Son una técnica probada para mejorar la productividad del proceso.  Es una herramienta simple y efectiva para lograr el control estadístico en un proceso  El operario puede dar información en el momento preciso para tomar acciones sobre el proceso

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MODULO ACADÉMICO  Se logran mejoras considerables en los costos  Dan una indicación de cómo intervenir el proceso.

4.5.

ANÁLISIS DE PATRONES DE COMPORTAMIENTO EN LAS CARTAS DE CONTROL

Una carta de control puede indicar una condición fuera de control aún cuando ningún punto particular se localice fuera de los límites de control. Esto quiere decir que los datos graficados no siguen un patrón aleatorio o no sistemático. En esta sección, analizaremos algunos de esos patrones que se pueden presentar y que indicarían que el proceso no se encuentra bajo control. Dependiendo del patrón que se presente, se pueden hacer inferencias y hacer que el analista centre la búsqueda de las causas especiales sobre algún aspecto en particular del proceso, así mismo, la información obtenida puede utilizarse para la toma de acciones de tipo correctivo y preventivo en el futuro. Es importante aclarar, que los patrones de comportamiento deben ser eliminados para que se pueda considerar que el proceso se encuentra bajo control. En general, los gráficos de control se limitan a registrar la variabilidad existente. Nuestra labor consistirá en interpretar la información que nos proporcionan, identificando las posibles variaciones y anomalías que pueden presentarse y aplicando las medidas convenientes en cada caso. A continuación se muestran los patrones más comunes en las cartas de control. Punto fuera de control Un punto único o varios por fuera de los límites indican que el proceso no se encuentra bajo control estadístico. Casi siempre son originados por la intervención de una causa especial de variación. Cuando son pocos puntos los que caen por fuera, se proceden a eliminarlos de la carta y volver a calcular los límites de control. A este procedimiento se le conoce como “cepillado”

Gráfica. Puntos (círculos rojos) por fuera de los límites de control

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MODULO ACADÉMICO Tendencias Corresponde a una serie de puntos que se ubican en forma ascendente o descendente. Las tendencias suelen deberse al desgaste o deterioro gradual de una herramienta o de algún otro componente crítico del proceso, también pueden ser resultado de causas humanas, tales como fatiga del operador o la presencia del supervisor así como resultar de influencias estacionales, como la temperatura. Se puede considerar que el proceso está fuera de control estadístico cuando se encuentran 7 o más puntos con este patrón.

Gráfica. Tendencia de puntos en forma ascendente. Corrimiento en la media del proceso Un número inusual de puntos consecutivos que caen a un lado de la línea central casi siempre es una indicación de que el promedio del proceso se desplazó de forma repentina. Una regla sencilla para detectar el cambio es que si 8 puntos consecutivos caen en un lado de la línea central, se podría llegar a la conclusión de que la media cambio.

Gráfica. Corrimiento en la media del proceso

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MODULO ACADÉMICO Estratificación Sucede cuando una sucesión de puntos tienden a ubicarse sobre la línea central. Puede ser ocasionado por unos límites de control mal calculados.

Gráfica. Patrón de estratificación. Patrones cíclicos Son patrones que se presentan en determinados espacios de tiempo. Son atribuibles a causas especiales entran y salen al proceso, generando picos o valles.

que

Gráfica. Patrón de estratificación

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MODULO ACADÉMICO Mezclas de lotes Se presenta cuando los puntos graficados se localizan cerca o fuera de los límites de control, con muy pocos puntos cerca de la línea central, puede ser causada por un sobre control de los operadores sobre el proceso o cuando se toman productos de varias fuentes con diferente media.

Para reconocer un patrón de comportamiento no sólo se requiere conocer las técnicas estadísticas, sino también tener un conocimiento profundo del proceso.

4.6.

CONDICIONES NECESARIAS PARA APLICAR LAS CARTAS DE CONTROL

Para que tenga sentido la aplicación de los gráficos de control, el proceso ha de tener una estabilidad suficiente que, aún siendo aleatorio, permita un cierto grado de predicción. En general, un proceso caótico no es previsible y no puede ser controlado. A estos procesos no se les puede aplicar el gráfico de control ni tiene sentido hablar de capacidad. En lo sucesivo, se supondrá que los procesos tienen un cierto grado de estabilidad. Podemos distinguir dos casos:  El proceso está regido por una función de probabilidad cuyos parámetros permanecen constantes a lo largo del tiempo. Este sería el caso de un proceso normal de media constante y desviación típica constante. Este es el caso ideal y al que se pueden aplicar los gráficos de control para detectar la presencia de causas asignables.  El proceso está regido por una función de probabilidad alguno de cuyos parámetros varía ligeramente a lo largo del tiempo. Este sería el caso de un proceso normal cuya media varía a lo largo del tiempo (por ejemplo, una herramienta de corte que va desgastando la cuchilla de corte). Debe tratar de conocerse todo lo que sea posible de los fundamentos tecnológicos del proceso, ya que puede dar pistas sobre el tipo de distribución que seguirán los datos. En ningún caso debe “darse la normalidad por supuesta”. Debe comprobarse y en caso de que los datos no sean normales, deben aplicarse métodos especiales.

4.7.

CARTAS DE CONTROL Y PRUEBA DE HIPÓTESIS.

Existe una estrecha relación entre las cartas de control y la prueba de hipótesis; si decimos que:

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MODULO ACADÉMICO 𝐻𝑜 : 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐻1 : 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 Cuando un punto se localiza dentro de los límites de control es equivalente a no poder rechazar la hipótesis de control estadístico, y cuando un punto se localiza fuera de los límites de control es equivalente a rechazar la hipótesis de control estadístico. Por otro lado en las cartas de control, pueden ocurrir dos tipos de riesgo o errores. 𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒕𝒊𝒑𝒐 𝟏 o 𝜶: Decir que el proceso está fuera de control, cuando en realidad no lo está, es decir.

𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒕𝒊𝒑𝒐 𝟐 o 𝜷: Decir que el proceso está bajo control, cuando en realidad no lo está. Es decir.

Así mismo el error tipo 1 representa el complemento de la confiabilidad con la que se maneja la prueba de hipótesis y el error tipo 2 el complemento de la potencia que tiene la carta para detectar puntos por fuera de los límites de especificación. Entonces: La potencia: 1 − 𝛽; es1 − 𝛽 = 𝑃 {𝑅𝑒𝑐h𝑎𝑧𝑎𝑟 𝐻0| 𝐻0 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎} La confiabilidad: 1 − 𝛼; es 1 − 𝛼 = 𝑃 {𝑁𝑜 𝑟𝑒𝑐h𝑎𝑧𝑎𝑟 𝐻0 |𝐻0 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎} Estos riesgos son inversamente proporcionales, puesto que cuanto más confiable se es, la potencia disminuye, y cuanto más potente se es la confiabilidad es menor. Abriendo los límites de control decrece riesgo de error tipo I (falsa alarma) sin embargo se incrementa el riego de error tipo II y viceversa. Con límites de control de 3-sigma la probabilidad de error tipo I es de 0.0027.

94

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4.8.

TIPOS DE CARTAS DE CONTROL

En general, los gráficos de control dirigen la atención hacia las causas especiales y hacia la magnitud de la variación. Aportan pruebas de que el proceso está bajo control estadístico. Se pueden analizar en ellos tanto variables como atributos. Según las características a estudiar, los gráficos de control se pueden clasificar de la siguiente manera: Por variables o por atributos. Las cartas de control por variables son aplicables a los siguientes campos: Carta X R X S

I

Descripción Medias y Rangos Medias y desviación estándar. Individuales

Campo de aplicación. Control de características individuales. Control de características individuales. Control de un proceso con datos variables que no pueden ser muestreados en lotes o grupos.

Tabla. Aplicación de las cartas de control por variables De igual manera, las cartas de control por atributos se aplican a los siguientes casos: Carta P NP C U

Descripción Proporciones Número de defectuosos Defectos por unidad Promedio de defectos por unidad

Campo de aplicación. Control de la fracción global de defectuosos de un proceso. Control del número de piezas defectuosas Control de número global de defectos por unidad Control del promedio de defectos por unidad.

Tabla. Aplicación de las cartas de control por atributos 4.8.1.

CARTAS DE CONTROL PARA VARIABLES

Muchas características de calidad pueden expresarse en términos de una medición numérica, por ejemplo, el diámetro de un rodamiento podría medirse con un micrómetro y expresarse en milímetros. Una característica de calidad que se puede medir con un instrumento de medición, se le conoce como variable. Cuando se trata con una característica de la calidad que es una variable, por lo general es necesario monitorear tanto el valor medio de la característica de calidad como su variabilidad. El control del promedio del proceso, o nivel de calidad medio, suele hacerse con la carta de control para medias, o carta 𝑋. Por su parte la variabilidad del proceso puede monitorearse con una carta de control para la desviación estándar, llamada carta S, o bien con una carta de control para el rango, llamada carta R. Por lo que tenemos:  𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑋

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MODULO ACADÉMICO  𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑠 𝑅  𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑆 Las cartas 𝑋 y R (ó S) se encuentran entre las técnicas estadísticas de monitoreo y control de procesos en línea más importantes y útiles.

Cartas de Medias - Rangos (X-R) El conjunto de estos dos gráficos es el procedimiento de control estadístico de proceso más utilizado. Su uso es demandado cuando se tiene una característica en particular que se desea controlar, puesto que estos gráficos se utilizan cada vez para una sola característica. La carta 𝑋 monitorea la variabilidad entre las muestras y la carta R mide la variabilidad dentro de las muestras. Estas cartas se grafican de forma separada, pero su análisis es conjunto, solo el hecho de que una no cumpla los requisitos o criterios establecidos, indica que el proceso no se encuentra bajo control estadístico. Procedimiento para realizar las cartas de control Paso 1: Recolectar los datos. Los datos son el resultado de la medición de las características del producto, los cuales deben de ser registrados y agrupados.

 

Paso 2: Calcule el rango promedio Ry la media del proceso X . 𝑅 = 𝑋𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑋𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑅=

𝑅1 + 𝑅2 + … + 𝑅𝐾 𝐾

𝑋̅ =

𝑋1 + 𝑋2 + … + 𝑋𝐾 𝐾

Paso 3: estime la desviación 𝝈 para 𝑿; 𝑹 𝜎=

𝑅̅ 𝑑2

Paso 4: Calcule los límites de control Los límites de control son calculados para determinar la variación de cada subgrupo, están basados en el tamaño de los subgrupos y se calculan de la siguiente forma:

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MODULO ACADÉMICO

Límites de control para la carta R: ̅ 𝑫𝟒 𝑳𝑪𝑺 = 𝑹 ̅ 𝑳𝑪 = 𝑹 ̅ 𝑫𝟑 𝑳𝑪𝑰 = 𝑹 𝑫𝟑 y 𝑫𝟒 son constantes que dependen del tamaño de la muestra

Límites de control para la carta 𝑿 ̅ + |𝒁∝ | 𝑳𝑪𝑺 = 𝑿

𝝈 √𝒏

̅ 𝑳𝑪 = 𝑿 ̅ − |𝒁∝ | 𝑳𝑪𝑰 = 𝑿

𝝈 √𝒏

Para 𝑿, manejando una filosofía 3𝜎 ̅ + 𝑨𝟐 𝑹 ̅ 𝑳𝑪𝑺 = 𝑿 ̅ 𝑳𝑪 = 𝑿 ̅ − 𝑨𝟐 𝑹 ̅ 𝑳𝑪𝑰 = 𝑿 Donde, 𝐴2 = (

3 √𝑛 𝑑2

)

Nota: Las constantes A2, d2, D3 y D4 se encuentran tabuladas en función de n para facilitar el cálculo de los límites de control, en las tablas de constantes para gráficos de control. Paso 5: Trace la gráfica de control y analícela. Dibuje las líneas de promedios y límites de control en las gráficas. Marcar los puntos en ambas gráficas y unirlos para visualizar de mejor manera el comportamiento del proceso.

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MODULO ACADÉMICO

Gráfica. Carta de control X

Gráfica. Carta de control R Análisis de la carta 𝑿- 𝑹 Al determinar si un proceso está bajo control estadístico, siempre se analiza primero la gráfica R. Debido a que los límites de control de la carta 𝑥 dependen del rango promedio. Sin embargo es importante aclarar que el análisis de estas cartas es conjunto. Los límites de control representan el rango en que se espera se ubiquen todos los Puntos; si el proceso está bajo control estadístico. Si cualquiera de los puntos cae fuera de los límites de control o si se observa algún patrón fuera

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MODULO ACADÉMICO de lo común, es posible que alguna causa especial haya afectado el proceso y éste se deberá estudiar para determinar la causa. Cuando existen puntos fuera de los límites de control, es necesario revisarlos examinando cada uno de los puntos por fuera y buscando una causa asignable. Si no se encuentra una causa asignable, el punto se descarta y los límites de control se calculan de nuevo utilizando únicamente los puntos restantes. Luego es necesario volver a examinar para el control, porque con el cambio, los límites de control se tornan más estrechos y es posible que los puntos que inicialmente estaban bajo control ahora no lo estén. Este proceso se realiza hasta que todos los puntos estén bajo control y se hace tantas veces como sea necesario. Por otro lado cuando muchos puntos se localizan fuera de control, no es recomendable eliminarlos de manera arbitraria porque se tendrá una situación insatisfactoria, ya que quedarían pocos datos con los cuales volver a calcular límites de control confiables. Este enfoque ignoraría mucha información útil contenida en estos datos. Además es poco probable que la búsqueda de una causa asignable para cada punto fuera de control sea exitosa. Para estos casos lo mejor es concentrarse en el patrón que forman estos puntos. Generalmente, es sencillo identificar la causa asignable asociada con el patrón de puntos fuera de control. Una vez que se establece un conjunto de límites de control confiables, la carta de control se usa para monitorear la producción futura. Límites de control, especificación y tolerancia natural Algo que debe tenerse muy claro es que no hay ninguna relación entre los límites de control de la carta 𝑋 𝑦 𝑅 y los límites de especificación del proceso. Pues los límites de control están regidos por la variabilidad natural del proceso (medida por la desviación estándar 𝜎 del proceso), es decir, por los límites de tolerancia natural del proceso. La determinación de los límites de especificación es externa. Pueden ser establecidos por la administración, por los ingenieros de manufactura, por los desarrolladores/diseñadores del producto, teniendo en cuenta las necesidades de los clientes. Es necesario conocer la variabilidad inherente cuando se establecen las especificaciones, pero recuérdese que no existe ninguna relación matemática o estadística entre los límites de control y los límites de especificación. Monitoreo de un proceso a través de una carta 𝐗 En el monitoreo de un proceso, una carta detecta un cambio en la media, dependiendo del tamaño de este. Si es considerablemente grande su detección será inmediata, de lo contrario la potencia de la carta será menor. A este cambio en la media lo llamaremos corrimiento, y su valor será determinado por: 𝑎 = 𝑋 ′′ − 𝑋 ′ Donde 𝑋 ′′ es el nuevo valor de la media, después que el corrimiento tuvo lugar. Es importante tener claro que dos procesos no se pueden evaluar si no se encuentran bajo las mismas circunstancias, es decir, solo se pueden comparar cuando presentan un mismo corrimiento y una misma desviación.

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MODULO ACADÉMICO Por otro lado, la potencia o capacidad que tiene la carta para detectar un cambio en la media del proceso se calcula de la siguiente manera. Si el corrimiento fue hacia el límite superior, se tiene: 1 − 𝛽 = (𝑍1−𝐵 > 𝑍∝ − 𝐾2 𝑛) Si por el contrario, fue hacia el límite inferior, se tiene: 1 − 𝛽 = (𝑍1−𝐵 < 𝑍∝ + 𝐾2 𝑛) Donde 𝐾2 es una relación entre el corrimiento y la desviación estándar del proceso, a saber: 𝐾2 =

𝑎

σ′

El valor de n dado en esta ecuación, es distinto al tamaño de la muestra para la toma de datos y análisis del proceso, pues ahora indica el tamaño de la muestra utilizada en el monitoreo. Si se desea conocer la probabilidad de que la carta detecte el corrimiento en la media en una muestra determinada, este puede ser calculado de la siguiente manera: Sea X, el evento en el cual se detecta el corrimiento de la media en la muestra k, se tiene 𝑃 (𝑋) = 1 – 𝛽𝑘 De la misma manera, si se desea conocer el valor esperado de productos no conformes generados hasta llegar a una muestra k, se puede hallar, inicialmente, determinando la cantidad generada en el tiempo que se toman las muestras para el monitoreo (PNC), y se aplica la siguiente ecuación: 𝑉𝐸𝑃𝑁𝐶 = 𝑃𝑁𝐶 (1 – 𝛽) + 2𝑃𝑁𝐶𝛽 (1 – 𝛽) + 3𝑃𝑁𝐶𝛽2 (1 – 𝛽)…+ 𝑘𝑃𝑁𝐶𝛽𝑘−1 (1 – 𝛽) Un parámetro importante para el monitoreo del proceso, es el tamaño de la muestra a monitorear, esta se puede determinar haciendo uso de la siguiente ecuación: 𝑛 =[

𝑍𝛼 + 𝑍1−𝛽 2 𝐾2

]

Finalmente, existe un factor que mide el número de muestras que es necesario analizar antes de encontrar puntos por fuera de los límites de control, este factor se conoce como longitud promedio de corrida (LDP). Su valor se calcula de la siguiente manera: Sea (𝐴) la probabilidad de encontrar puntos por fuera de los límites de control Trabajando con alfa en los límites de control de la carta 𝑋 𝐿𝐷𝑃 =

1 𝑃(𝐴)

; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑃 (𝐴) = 2𝛼

100

MODULO ACADÉMICO Trabajando con alfa medio en los límites de control de la carta 𝑋 𝐿𝐷𝑃 =

1 𝑃(𝐴)

; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑃 (𝐴) = 𝛼

Cartas de Medias - Desviaciones (X- 𝑺) Cuando es muy común la utilización de las cartas 𝑋 𝑦 𝑅, en ocasiones es deseable estimar la desviación estándar del proceso directamente, en vez de indirectamente mediante el uso de rango R. Esto lleva a las cartas de control para 𝑋 𝑦 𝑆, donde S es la desviación estándar. En general las cartas 𝑋- 𝑆 son preferibles a sus contrapartes familiares, las cartas 𝑋; 𝑅, cuando:  El tamaño de la muestra n es moderadamente grande.  Cuando el tamaño de la muestra n es variable. El procedimiento para realizar las cartas de control 𝑋- 𝑆 es similar al de las cartas X- 𝑅 la diferencia consiste en que el tamaño de la muestra puede variar y es mucho más sensible para detectar cambios en la media o en la variabilidad del proceso. Mientras la Carta X monitorea el promedio del proceso para vigilar tendencias, la Carta S monitorea la variación en forma de desviación estándar. Establecer y operar las cartas de control 𝑋-𝑆 requieren aproximadamente la misma secuencia de pasos que para la carta X- 𝑅. Las formulas a utilizar son: 𝑆=

̅̅̅̅2 √∑𝑛 𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑋) 𝑛−1

𝑆1 +𝑆2 +𝑆3 +⋯+ 𝑆𝑘

𝑆 =(

𝑘

)

𝑆

𝜎≈𝐶

2

Límites de control cartas; X 𝐿𝐶𝑆 = 𝑥̅ + 𝐴1𝑆 𝐿𝐶 = 𝑥̅ 𝐿𝐶𝐼 = 𝑥̅ − 𝐴1𝑆 𝐴1 =(𝐶

3

2 √𝑛

)

101

MODULO ACADÉMICO Límites de control Carta 𝑺 𝐿𝐶𝑆 = 𝐵4𝑆̅ 𝐿𝐶 = 𝑆̅ 𝐿𝐶𝐼 = 𝐵3𝑆̅ ∴ 𝐵3 ; 𝐵4 𝑦 𝐶4, 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎. EJEMPLOS: 1.

La empresa Magdalena S.A. fabrica repuestos para una ensambladora automotriz. Las especificaciones de la ensambladora son 12,7 ± 3 milímetros. El departamento de calidad utiliza una carta X barra para monitorear el proceso con muestras de tamaño 5. El riesgo de que una carta me indique que la media del proceso ha cambiado siendo que no ha cambiado es de 0,012. Los límites de control de la carta son 12,5 milímetros y 14,5 milímetros. a. Calcular el % de productos no conformes que produce Magdalena S.A. b. Si se acepta a lo sumo 12% de productos no conformes, ¿Cuánto es la probabilidad de que una carta con ∝= 0,10 𝑦 𝑛 = 9, detecte el cambio en la media del proceso cuando se está produciendo el porcentaje de productos no conformes fijado anteriormente? c. ¿Qué pasa con ∝ de la carta del inciso b) si trabajamos con 𝑛 = 16 en lugar de 𝑛 = 9? Justifique su respuesta. Datos: 𝑉𝑁 = 12,7 𝑚𝑚 𝐿𝑆𝐸 = 15,7 𝑚𝑚 𝐿𝐼𝐸 = 9,7 𝑚𝑚

̅, Para la carta 𝑿 𝑛=5 𝛼 = 0,012 → 1 − 𝛼 = 0,988 𝐿𝐶𝑆 = 14,5 𝐿𝐶𝐼 = 12,5 SOLUCION: a) 𝑋̅ =

𝐿𝐶𝑆+𝐿𝐶𝐼 2

=

14,5+12,5 2

= 13.5

102

MODULO ACADÉMICO NOTA: Siempre es recomendable trabajar con 𝛼/2 pues la carta se hace más potente, ya que los límites de la misma se tornan más estrechos, no obstante es opción del estudiante trabajar con alfa. Conociendo el valor LCS podemos calcular 𝜎. Los límites de control se trabajan con 𝛼/2. 𝐿𝐶𝑆 = 𝑋̅ + |𝑍∝/2 |

𝜎

→ 𝜎=

√𝑛

|𝑍∝/2 |

𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸 15,7 − 9,7 = = 1,12 6𝜎 6 ∗ (0,89)

𝐶𝑃𝑘 = 𝑀𝑖𝑛 {𝐶𝑃𝑈 ; 𝐶𝑃𝐿 } = 𝑀𝑖𝑛 {

𝐶𝑃𝑘 = 𝑀𝑖𝑛 {

𝐶𝑜𝑛 |𝑍∝/2 | = 𝑍0,006

(14,5 − 13,5) ∗ √5 = 0,89 |−2,51|

𝜎=

𝐶𝑃 =

(𝐿𝐶𝑆 − 𝑋̅) ∗ √𝑛

𝐿𝑆𝐸 − 𝑋̅ 𝑋̅ − 𝐿𝐼𝐸 ; } 3𝜎 3𝜎

15,7 − 13,5 13,5 − 9,7 ; } = 𝑀𝑖𝑛 {0,824; 1,423} 3(0,89) 3(0,89) 𝐶𝑃 ≠ 𝐶𝑃𝑘 = 𝐶𝑃𝑈 = 0,824

Como 𝐶𝑝 ≠ 𝐶𝑝𝑘 decimos que el proceso esta descentrado. Además, 𝐶𝑝𝑘 = 𝐶𝑝𝑢 = 0,824 lo cual nos indica que el proceso está arrojando productos no conformes por el límite superior. Ahora procedemos a determinar el porcentaje de PNC. %𝑃𝑁𝐶𝐿𝑆𝐸 = 𝑃 (𝑍 > )= 1 − 𝑃 (𝑍 < 𝑍𝐿𝑆𝐸 )= 1 − 𝑃 (𝑍
𝑍𝛼 − 𝐾2 ∗ √𝑛) ; 𝑐𝑜𝑛 |𝑍𝛼| = |𝑍0,10 |= |−1,28| 1 − 𝛽 = 1 – [𝑍1−𝛽 < (1,28 – 1,29∗ √9)] = 1− P(𝑍1−𝛽 < −2,59) = 1 − 0,0048 1 − 𝛽 = 0,9952 c) 𝒏 = 𝟏𝟔 Sabemos teóricamente que mientras más grande sea el tamaño de la muestra, más confiable es el resultado del monitoreo. También sabemos que el error tipo I (𝛼) es el complemento de la confiabilidad de la carta (1 − 𝛼), por lo tanto si n aumenta, la carta se hace más confiable y por consiguiente 𝛼 será menor. Esto se comprueba a continuación: 𝑛 =[

|𝑍𝛼 |+ |𝑍1−𝛽 | 𝐾2

2

] → |𝑍𝛼 | = 𝑘2 ∗ √𝑛 − |𝑍1−𝛽 | = 1,29 ∗ √16 − |𝑍0,9952 | |𝑍𝛼| = 5,16 − 2,59 = 2,57 → |𝑍𝛼| = 𝑍1−𝛼 = 2,57

Por tabla de Distribución Normal tenemos que para 𝑍1−𝛼 = 2,57: 1 − 𝛼 = 0,9949 → 𝛼 = 0,0051 Como podemos ver, el valor de 𝛼 disminuyó con respecto al valor dado en el inciso b) y esto es, como se dijo anteriormente, por el aumento que se dio en el tamaño de la muestra.

104

MODULO ACADÉMICO 2. FIBRAS S.A. es una empresa dedicada a la fabricación de piezas en materiales compuestos a base de fibra de vidrio, kevlar y fibra de carbono. Sus clientes son empresas de alta tecnología que precisan incorporar a sus diseños componentes con un elevado límite elástico y bajo peso. Las exigencias de estos clientes son cada vez mayores y las especificaciones impuestas a la pieza son 7,5 uf y 12,5 uf. FIBRAS S.A. es licenciataria de una empresa norteamericana, AMERICAN COMPOSITES, Inc., que es quien aporta el know-how. En este acuerdo los técnicos de AMERICAN COMPOSITES realizaron el diseño de los procesos de fabricación, formaron al personal de FIBRAS y aportaron toda la documentación técnica necesaria para operar los procesos de fabricación, además estabilizaron el proceso con 50 muestras de tamaño 5, arrojando como resultado una media de 10,2 uf y un rango promedio de 1,93 uf. A partir de ese momento, los técnicos de FIBRAS S.A se hicieron cargo de la operación de la planta, monitoreando el proceso con muestras de tamaño n=7. Además, AMERICAN COMPOSITES realiza una auditoría anual de los procesos, comprobando que éstos se llevan a cabo sin desviaciones de las instrucciones técnicas. Recientemente FIBRAS S.A está en negociando un importante contrato de suministro de componentes. De momento se encuentran en la fase de aprobación del prototipo. Para ello debe presentar unos prototipos, acompañados de sus protocolos de ensayos, en los que se debe indicar el valor medio de la característica de calidad, con un nivel de confianza del 95%. FIBRAS S.A. está en capacidad de producir 25000 piezas por jornada laboral. Se trabaja durante 3 turnos las 24 horas del día, y las muestras para el monitoreo se toman cada 30 minutos. Si la media del proceso cambia se cambia a un valor de 11,1 uf: a. Realice un análisis de la capacidad del proceso y calcule la probabilidad de que el cambio en la media se detecte entre las primeras 5 muestras (a partir del momento en que dicho cambio tuvo lugar). Calcular el valor esperado de productos no conformes fabricados hasta el momento. b. Hay una disminución en la media del proceso en 0,8 uf. Diseñe una carta X barra que detecte con una probabilidad del 90%, el cambio en alguna de las 3 muestras consecutivas a partir del cual el cambio tuvo lugar y con riesgo tipo 1 de 0,06. c. Si la media del proceso cambiara a 10,8 uf, ¿Cuál es el mínimo valor que puede tomar el CP general del proceso, tal que por lo menos el 95% de los artículos producidos sean conformes? SOLUCION:

Datos: 𝐿𝐼𝐸 = 7,5 𝑢𝑓 𝐿𝑆𝐸 = 12,5 𝑢𝑓 𝑛=5 𝑋 = 10,2 𝑢𝑓

105

MODULO ACADÉMICO 𝑅 = 1,93 𝑢𝑓 1 − 𝛼 = 0,95 𝑇𝑃 = 25000 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠/𝑗𝑜𝑟𝑛𝑎𝑑𝑎 𝐽𝑜𝑟𝑛𝑎𝑑𝑎 = 3 𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑛 24 𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑇𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑚𝑜𝑛𝑖𝑡𝑜𝑟𝑒𝑜 = 7 ̅̅̅ = 11,1 𝑢𝑓 𝑋’’ 𝜎=

𝑅̅ 1,93 = = 0,8297 𝑑2 2,326

Análisis de la capacidad del proceso con la media original: 𝑿 = 𝟏𝟎, 𝟐 𝐶𝑃 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸 12,5 − 7,5 = = 1,0043 6𝜎 6 ∗ 0,8297

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐶𝑝 > 1, 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑧. 𝐶𝑃𝑘 = 𝑀𝑖𝑛 {𝐶𝑃𝑈 ; 𝐶𝑃𝐿 } 𝐿𝑆𝐸 − 𝑋̅ 12,5 − 10,2 = = 0,9240 3𝜎 3 ∗ 0,8297

𝐶𝑃𝑈 =

𝐶𝑃𝐿 =

𝑋̅ − 𝐿𝐼𝐸 10,2 − 7,5 = = 1,0847 3𝜎 3 ∗ 0,8297 𝐶𝑝 ≠ 𝐶𝑝𝑘 = 𝐶𝑝𝑢 = 0,9240

El proceso esta descentrado y arrojando productos no conformes por el límite superior. 𝑍𝐿𝑆𝐸

̅ 𝐿𝑆𝐸 − 𝑋′ 12,5 − 10,2 = = = 2,7720 𝜎 0,8297

𝑃 (𝑍 > )= 1 − 𝑃 (𝑍 < 2,7720 )= 0,0028 → %𝑃𝑁𝐶𝐿𝑆𝐸 = 0,28% 𝑍𝐿𝐼𝐸 =

̅ 𝐿𝐼𝐸 − 𝑋′ 7,5 − 10,2 = = −3,2541 𝜎 0,8297

106

MODULO ACADÉMICO 𝑃 (𝑍 > 𝑍𝐿I )= 𝑃 (𝑍 < -3,2541 )= 0,0006 → %𝑃𝑁𝐶𝐿𝐼𝐸 = 0,06% %𝑃𝑁𝐶𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 0,34%

Análisis de la capacidad del proceso con la media corrida: 𝑿 ´ = 𝟏𝟏, 𝟏 𝐶𝑃 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸 12,5 − 7,5 = = 1,0043 6𝜎 6 ∗ 0,8297

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐶𝑝 > 1, 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑧. 𝐶𝑃𝑘 = 𝑀𝑖𝑛 {𝐶𝑃𝑈 ; 𝐶𝑃𝐿 } 𝐿𝑆𝐸 − 𝑋̅ 12,5 − 11,1 = = 0,5624 3𝜎 3 ∗ 0,8297

𝐶𝑃𝑈 =

𝐶𝑃𝐿 =

𝑋̅ − 𝐿𝐼𝐸 11,1 − 7,5 = = 1,4463 3𝜎 3 ∗ 0,8297 𝐶𝑝 ≠ 𝐶𝑝𝑘 = 𝐶𝑝𝑢 = 0,5624

El proceso esta descentrado y arrojando productos no conformes por el límite superior. 𝑍𝐿𝑆𝐸 =

̅ 𝐿𝑆𝐸 − 𝑋′ 12,5 − 11,1 = = 1,6873 𝜎 0,8297

𝑃 (𝑍 > )= 1 − 𝑃 (𝑍 < 1,6873 )= 1 − 0,9540 = 0,046 → %𝑃𝑁𝐶𝐿𝑆𝐸 = 4,6% 𝑍𝐿𝐼𝐸 =

̅ 𝐿𝐼𝐸 − 𝑋′ 7,5 − 11,1 = = −4,3389 𝜎 0,8297

𝑃 (𝑍 > 𝑍𝐿I )= 𝑃 (𝑍 < −4,3389)= 0,0000 → %𝑃𝑁𝐶𝐿𝐼𝐸 = 0% %𝑃𝑁𝐶𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 4,6%

Ahora calculamos la probabilidad de detectar el cambio en las primeras 5 muestras: 1 − 𝛽 5 . 1 − 𝛽 = 𝑃(𝑍1−𝛽 > |𝑍𝛼| − 𝐾2 √𝑛) |𝑍𝛼 |= |𝑍0,05| = |−1,645|= 1,645 𝑘2 =

|11,1 − 10,2| 𝛼 = = 1,0847 𝜎 0,8297

107

MODULO ACADÉMICO 1 − 𝛽 = 𝑃 (𝑍1−𝛽 > 1,645 − 1,0847 ∗ √7) 1 − 𝛽 = 1 – ( 1−𝛽 < −1,2248) = 1 − 0,1103 1 − 𝛽 = 0,8897 → 𝛽 = 0,1103 1 − 𝛽 5 = 1 − 0,11035 = 0,9999

El valor esperado de productos no conformes con 𝑋’ = 11,1 es: 𝑉𝐸𝑃𝑁𝐶 = (1 – 𝛽) + 2(1 – 𝛽) + 3𝑃𝑁𝐶𝛽 2 (1 – 𝛽)+ 4𝑃𝑁𝐶𝛽 3 (1 – 𝛽)+ 5𝑃𝑁𝐶𝛽 4(1 – 𝛽)

Pero: 𝑃𝑁𝐶 = %𝑃𝑁𝐶𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ∗ 𝑇𝑃 ∗ 𝑡𝑖, entonces: 𝑉𝐸𝑃𝑁𝐶 = 𝑇𝑃 ∗%𝑃𝑁𝐶𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ∗ (1 – 𝛽)∗ (𝑡1 + 𝑡2𝛽 + 𝑡3𝛽 2 + 𝑡4𝛽 3 +𝑡5𝛽 4 ) Tenemos que: %𝑃𝑁𝐶𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 4,6% 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠

𝑇𝑃 = 25000 𝑗𝑜𝑟𝑛𝑎𝑑𝑎 ∗

𝑗𝑜𝑟𝑛𝑎𝑑𝑎 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

∗

1 ℎ𝑜𝑟𝑎 60 𝑚𝑖𝑛.

≈ 53

𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑛

𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠

𝑉𝐸𝑃𝑁𝐶 = (53 𝑚𝑖𝑛 ) ∗ (4,6%) ∗ (0,8897)[30 𝑚𝑖𝑛 + (60 𝑚𝑖𝑛 ∗ 0,1103) + (90 𝑚𝑖𝑛 ∗ 0,11032 ) + (120𝑚𝑖𝑛 ∗ 0,11033 ) + (150𝑚𝑖𝑛 ∗ 0,11034 )] 𝑉𝐸𝑃𝑁𝐶 ≈ 81 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠

Hay un corrimiento hacia la izquierda: 𝑎 = 0,8 1 − 𝛽 3 = 0,90 𝛼 = 0,06 𝑋 ’’= 11,1 − 0,8 = 10,3

Para calcular los límites de control debemos conocer primero el valor de n: 𝐾2 =

𝛼 𝜎

=

0,8 0,8297

= 0,9642

1 − 𝛽 3 = 0,90 → 𝛽 = 3√0,1= 0,4641 → 1 − 𝛽 = 0,5359

108

MODULO ACADÉMICO 2

2

|𝑍𝛼 | + |𝑍1−𝛽 | |𝑍0,06 | + |𝑍0,5359 | 1,555 + 0,090 2 𝑛=[ ] = [ ] = [ ] ≈3 𝐾2 0,9642 0,9642

Ahora si podemos calcular los límites de control de la carta 𝑋̅ : 𝐿𝐶 = ̅̅̅̅ 𝑋′′= 10,3 𝜎 0,8297 0,8297 𝐿𝐶𝑆 = ̅̅̅̅ 𝑋′′ + |𝑍∝ | = 10,3 + |𝑍0,06 | ∗ = 10,3 + 1,555 ∗ = 11,0448 √𝑛 √3 √3 𝐿𝐶𝐼 = ̅̅̅̅ 𝑋′′ − |𝑍∝ |

𝜎 √𝑛

= 10,3 − |𝑍0,06 | ∗

0,8297 √3

= 10,3 − 1,555 ∗

0,8297 √3

= 9,5551

Observación: en esta ocasión se decidió trabajar con 𝑍𝛼 y no con 𝑍𝛼/2 para calcular los límites de control. Si: 𝑿 ´´´ = 𝟏𝟎, 𝟖 y %𝑷𝑵𝑪 = 𝟎, 𝟎𝟓, entonces: 𝑃 (𝑍 > )= 1 − 0,05 = 0,95

Buscando en la tabla de distribución Normal, tenemos que: 𝑍𝐿𝑆𝐸 = 1,645

Con el valor de 𝑍𝐿𝑆𝐸 podemos hallar el valor de 𝜎 y posteriormente calcular el valor de 𝐶𝑝: 𝑍𝐿𝑆𝐸 =

𝐿𝑆𝐸 − ̅̅̅̅ 𝑋′′ 12,5 − 10,8 → 1,645 = → 𝜎 = 1,0334 𝜎 𝜎 𝐶𝑃 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸 12,5 − 7,5 = = 0,8063 6𝜎 6 ∗ 1,0334

𝐶𝑝 < 1, por lo tanto decimos que el proceso no es capaz. 3. Una empresa empaca el producto A en sacos de 50 Kg, pero el cliente ve mal que los sacos pesen menos de 50 Kg por lo que se establece una tolerancia inferior de 49 Kg y una superior de 51 Kg, tal que el valor nominal sea 50 Kg por lo que si un saco cae dentro del rango 49 – 51, se considera tolerable para el caso se toman cada hora una muestra de 4 sacos que han sido llenado consecutivamente, los datos obtenidos en 3 días de muestra se observan en la siguiente tabla. La confiabilidad de la carta es 95%.

109

Numero de Replicas

MODULO ACADÉMICO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1

2

3

4

50,2 50,3 49,8 50 50,2 49,2 49,6 50,2 50,1 50,8 48,8 50,3 49,3 50,2 48,8

49,9 50,2 50 49,4 49,8 50,7 49,9 49,8 49,3 49,6 50,7 49,9 49,3 50,5 50,2

49 50 50 50,1 49,1 49,1 49,5 49,5 49 49,8 49,9 49,4 49,2 50,2 49,5

50,1 49,3 49,7 50,5 49,9 49,8 49,9 50,6 49,3 50,4 50,1 49,3 50,5 50,9 49,6

a. Realice una carta de control X-R y analice los resultados. ¿El proceso está bajo control estadístico? b. ¿Cuál es la capacidad del proceso? ¿Se están generando productos no conformes? Solución Datos: 𝐿𝑆𝐸 = 51 𝐿𝐼𝐸 = 49 𝑛 =4 𝛼 = 0,05 𝑍0,05 = −1,654

Numero de Replicas

a)

1 2 3 4 5 6

Numero de Muestras (𝒙𝒊 ) 1 2 3

4

𝑋̅

50,2 50,3 49,8 50 50,2 49,2

50,1 49,3 49,7 50,5 49,9 49,8

49,8 49,95 49,875 50 49,75 49,7

49,9 50,2 50 49,4 49,8 50,7

49 50 50 50,1 49,1 49,1

R 1,2 1 0,3 1,1 1,1 1,6

110

MODULO ACADÉMICO

7 8 9 10 11 12 13 14 15

49,6 50,2 50,1 50,8 48,8 50,3 49,3 50,2 48,8

49,9 49,8 49,3 49,6 50,7 49,9 49,3 50,5 50,2

49,5 49,5 49 49,8 49,9 49,4 49,2 50,2 49,5

49,9 50,6 49,3 50,4 50,1 49,3 50,5 50,9 49,6

49,725 50,025 49,425 50,15 49,875 49,725 49,575 50,45 49,525 49,8366667

0,4 1,1 1,1 1,2 1,9 1 1,3 0,7 1,4 1,0933

Para realizar los cálculos debemos conocer primero el valor de la media del proceso y el rango promedio, para ello es necesario hacer el siguiente procedimiento: Donde: 𝑋̅ =

[∑4𝑖=1 𝑥𝑖 ] 4

𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 Media del Proceso 15

[∑𝑖=1 𝑥̅𝑖 ] ̅̅̅ 𝑋´ = = 49,8367 15 Rango Promedio 𝑅̅ =

̅ [∑15 𝑖=1 𝑅𝑖 ] = 1,0933 15

Sabemos que 𝜎=

𝑅̅ 1,0933 = = 0,5310 𝑑2 2,059

Antes de hallar los límites de control de las cartas debemos conocer el estado del proceso. 𝐶𝑝 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸 51 − 49 = = 𝟎, 𝟔𝟐𝟕𝟕 6∗𝜎 6 ∗ 0,5310

Como 𝐶𝑝 < 1 decimos que el proceso no es capaz

111

MODULO ACADÉMICO 𝐶𝑝𝑘 = 𝑚𝑖𝑛( 𝐶𝑝𝑙 ; 𝐶𝑝𝑢 ) 𝐶𝑝𝑙 =

̅̅̅ 𝑋 ´ − 𝐿𝐼𝐸 49,8367 − 49 = = 0,5252 3𝜎 3 ∗ 0,5310

𝐶𝑝𝑢 =

𝐿𝑆𝐸 − ̅̅̅ 𝑋 ´ 51 − 49,8367 = = 0,7303 3𝜎 3 ∗ 0,5310

𝐶𝑝𝑘 = 𝑚𝑖𝑛( 0,5252; 0,7303) = 0,5252 Como 𝐶𝑝 ≠ 𝐶𝑝𝑘 entonces el proceso no esta centrado. Además 𝐶𝑝𝑢 𝑦 𝐶𝑝𝑙 son menores que 1 entonces me están arrojando productos no conformes por ambos límites. 𝑍𝐿𝑆𝐸 =

𝐿𝑆𝐸 − ̅̅̅ 𝑋 ´ 51 − 49,8367 = = 2,2 → %𝑃𝑁𝐶 = 1 − 𝑃(𝑍 < 2,2) = 1 − 0,9861 𝜎 0,5310 = 1,39%

𝑍𝐿𝐼𝐸 =

𝐿𝐼𝐸 − ̅̅̅ 𝑋 ´ 49 − 49,8367 = = −1,58 → %𝑃𝑁𝐶 = 𝑃(𝑍 < −1,58) = 5,71% 𝜎 0,5310

El proceso arroja 7,1% de productos no conformes. Entonces se dice que el proceso no es capaz, no está centrado y arroja 7,1% de productos no conformes.

Limites carta X-barra 𝐿𝐶𝑆 = ̅̅̅ 𝑋 ´ + |𝑍𝛼/2 | ∗

𝜎 √𝑛

𝐿𝐶𝐼 = ̅̅̅ 𝑋 ´ − |𝑍𝛼/2 | ∗

𝜎 √𝑛

= 49,8367 + |−1,96| ∗

0,5310

= 49,8367 − |−1,96| ∗

√4 0,5310 √4

= 50,357

= 49,316

̅ Límites de la carta 𝑹 ̅ se deben conocer los valores de las constantes D3 y D4 de la tabla de Para calcular los límites de la carta 𝐑 constantes (sección 8).

Con

𝑛=4 𝐷3 = 0 𝐷4 = 2,282 𝐿𝐶𝑆 = 𝑅̅ 𝐷4 = 1,0933 ∗ 2,282 = 2,4949 𝐿𝐶𝐼 = 𝑅̅ 𝐷3 = 0 ∗ 1,0933 = 0

112

MODULO ACADÉMICO 𝐿𝐶 = 𝑅 = 1,0933 Las gráficas para ambas cartas son las siguientes:

Carta de Control 𝑿´ del proceso actual.

Carta de Control 𝑹 del proceso actual.

La carta de control 𝑋 nos muestra que hay un punto por encima del límite de control superior, es decir, que el proceso no está bajo control estadístico. Para procurar hacer que el proceso esté bajo control es necesario eliminar la causa que ocasiona la alteración (cepillar) y diseñar una nueva carta.

113

MODULO ACADÉMICO

̅ y R: Volvemos a calcular los parámetros y posteriormente los límites de control de las cartas 𝑿 Donde: 𝑋̅ =

[∑4𝑖=1 𝑥𝑖 ] 4

𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 Media del Proceso ̅̅̅ 𝑋´ =

[∑14 𝑖=1 𝑥̅𝑖 ] = 49,7929 14

114

MODULO ACADÉMICO Rango Promedio 𝑅̅ =

̅ [∑14 𝑖=1 𝑅𝑖 ] = 1,12143 14

Sabemos que 𝜎=

𝑅̅ 1,12143 = = 0,5446 𝑑2 2,059

Limites carta X-barra 𝐿𝐶𝑆 = ̅̅̅ 𝑋 ´ + |𝑍𝛼/2 | ∗

𝜎

= 49,7929 + |−1,96| ∗

√𝑛

𝐿𝐶𝐼 = ̅̅̅ 𝑋 ´ − |𝑍𝛼/2 | ∗

𝜎 √𝑛

0,5446

= 49,7929 − |−1,96| ∗

√4 0,5446 √4

= 50,3266

= 49,2592

̅ Límites de la carta 𝑹 ̅ se deben conocer los valores de las constantes D3 y D4 de la tabla de Para calcular los límites de la carta 𝐑 constantes.

Con 𝑛 = 4𝐷3 = 0 𝐷4 = 2,282 𝐿𝐶𝑆 = 𝑅̅ 𝐷4 = 1,12143 ∗ 2,282 = 2,5591 𝐿𝐶𝐼 = 𝑅̅ 𝐷3 = 0 ∗ 1,12143 = 0 𝐿𝐶 = 𝑅 = 1,12143 Las nuevas cartas de control para el proceso cuando se ha cepillado son las siguientes:

115

MODULO ACADÉMICO

Carta de Control 𝑿 actualizada.

Carta de Control 𝑹 actualizada

En las gráficas podemos ver que ningún punto está por fuera de los límites de control. Por consiguiente podemos decir que el proceso está bajo control estadístico. Ahora que el proceso está bajo control estadístico, procedemos a calcular su capacidad y verificar si se están o no productos no conformes: 𝐶𝑃 =

𝐿𝑆𝐸 − 𝐿𝐼𝐸 51 − 49 = = 0,6120 6𝜎 6 ∗ 0,5446

116

MODULO ACADÉMICO

Como 𝐶𝑝 < 1 decimos que el proceso no es capaz 𝐶𝑝𝑘 = 𝑚𝑖𝑛( 𝐶𝑝𝑙 ; 𝐶𝑝𝑢 ) 𝐶𝑝𝑙 =

𝐶𝑝𝑢

̅̅̅ 𝑋 ´ − 𝐿𝐼𝐸 49,7929 − 49 = = 0,4853 3𝜎 3 ∗ 0,5446

𝐿𝑆𝐸 − ̅̅̅ 𝑋 ´ 51 − 49,7929 = = = 0,7388 3𝜎 3 ∗ 0,5446

𝐶𝑝𝑘 = 𝑚𝑖𝑛( 0,4853; 0,7388) = 0,4853 Como 𝐶𝑝 ≠ 𝐶𝑝𝑘 entonces el proceso no está centrado. Además 𝐶𝑝𝑢 𝑦 𝐶𝑝𝑙 son menores que 1 entonces el proceso está arrojando productos no conformes por ambos límites. Sin embargo, 𝐶𝑝𝑘 = 𝐶𝑝𝑙 = 0,4853, esto nos indica que el proceso está arrojando mayor porcentaje de productos no conformes por el límite inferior. 𝑍𝐿𝑆𝐸

𝐿𝑆𝐸 − ̅̅̅ 𝑋 ´ 51 − 49,7929 = = = 2,216 𝜎 0,5446

%𝑃𝑁𝐶𝐿𝑆𝐸 = 1 − 𝑃(𝑍 < 2,216) = 1 − 0,9866 = 1,34% 𝑍𝐿𝐼𝐸 =

𝐿𝐼𝐸 − ̅̅̅ 𝑋 ´ 49 − 49,7929 = = −1,455 → %𝑃𝑁𝐶 = 𝑃(𝑍 < −1,455) = 7,28% 𝜎 0,5446

El proceso está arrojando 1,34% de PNC por el límite superior y 7,28% de PNC por el límite inferior. Decimos entonces que el proceso no es capaz, no está centrado y arroja 8,62% de productos no conformes. 4.8.2.

CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

Las cartas de control por atributos constituyen una herramienta esencial para controlar características de calidad cualitativas, esto es, características no cuantificables numéricamente. El termino atributo, es la propiedad que tiene una unidad de producto de ser buena o mala, esto es, la característica de calidad está dentro de los requisitos especificados o no. Este tipo de carta surge debido a que en muchas situaciones no es fácil medir un producto o una parte, o la calidad puede obtenerse como un atributo conforme o no con unas especificaciones establecidas. Estas técnicas analizan tanto las características buenas como malas, sin hacer referencia al grado. Entonces, se acepta o se rechaza contando cuántas unidades tienen o no el defecto, o comprobando el número de tales eventos que ocurren en la unidad, grupo o área, y comparando con el criterio de aceptación establecido. Se acepta o rechaza la pieza o el lote sin asociar un valor concreto. El atributo a controlar se suele elegir de forma que sea fácilmente observable y por tanto económico de controlar. Dado que los atributos son características de calidad no medibles, los gráficos de control por atributos se basaran en la determinación de la cantidad o porcentaje de unidades defectuosas en una población de productos o partes obtenidos de un proceso. Antes de continuar es conveniente definir los términos siguientes:

117

MODULO ACADÉMICO a. Defecto: cualquier característica individual que no esté de acuerdo con los requisitos de calidad establecidos. b. Defectuoso: cualquier unidad que tiene uno o más defectos. Las cartas de control por atributos se pueden clasificar de la siguiente manera:    

Gráfico P o de fracción de unidades defectuosas. Gráfico NP o de número de unidades defectuosas por muestra. Gráfico C o de número de defectos por muestra. Gráfico U o de número de defectos por unidad

Ventajas frente a las cartas de control por variables 1. 2. 3. 4. 5.

Las cartas por atributos pueden ser utilizadas para estudiar diferentes tipos de errores de forma simultánea, en tanto que en un gráfico de variable sólo sirve para estudiar una característica de calidad. La toma de datos para la construcción de las cartas por atributos es mucho más simple que por variable. Simplemente se necesita conocer si el artículo inspeccionado cumple o no con las especificaciones requeridas. Las cartas por atributos se pueden utilizar en inspecciones visuales para atributos, tales como limpieza, etiquetado correcto, color correcto, etc. Las cartas por variables necesitan un menor tamaño de muestra. Las cartas por atributos son particularmente útiles en la industria de servicios y en los esfuerzos de mejoramiento de la calidad fuera de la manufactura, ya que no es sencillo medir en una escala numérica un gran número de características de calidad.

CARTA P El gráfico p mide la proporción de unidades defectuosas en relación al tamaño de la muestra, se utiliza cuando los individuos de un proceso se clasifican en defectuosos-no defectuosos, enfermo-sano, conforme-no conforme, etc., y se desea controlar la proporción p de individuos en uno de estos grupos. El control del proceso se realiza anotando la proporción de individuos defectuosos en el gráfico. Los principios estadísticos que sirven de base a la carta de control p se basan en la distribución Binomial. Para este grafico se necesitan muestras grandes, recogidas en un mismo periodo de operación del proceso, y estas han de tener un tamaño tal que permita la aparición de defectos. Del mismo modo el grafico de control p se puede utilizar cuando el tamaño de la muestra es o no constante. La distribución de este estadístico sigue la distribución binomial por tanto: __

p

118

MODULO ACADÉMICO

 p2 

p (1  p ) n

Pasos a seguir en la implementación del gráfico p con n constante:

1.

Frecuencia y tamaño de la muestra

Se establece la frecuencia con la cual los datos serán tomados (horarios, diarios, semanales). Los intervalos cortos entre tomas de muestras permitirán una rápida retroalimentación al proceso ante la presencia de problemas. Los tamaños de muestra grandes permiten evaluaciones más estables del desarrollo del proceso y son más sensibles a pequeños cambios en el promedio del mismo. Se aconseja tomar tamaños de muestra iguales aunque no necesariamente se tiene que dar esta situación, el tamaño de muestra debería de ser mayor a 30. El tamaño de los subgrupos será de 25 o más. 2. Cálculo del porcentaje defectuoso (p) del subgrupo. Se registra la siguiente información para cada subgrupo: El número de partes inspeccionadas n El número de partes defectuosas np Calcule la fracción defectuosa (p) para cada muestra mediante: 𝑝=

𝑛𝑝 𝑛

3. Cálculo de porcentaje defectuoso promedio para los k subgrupos se calcula con la siguiente fórmula: ∑𝑘𝑖=0 𝑛𝑝𝑖 𝑝̅ = 𝑛∗𝑘 4. Calcular los límites de control del gráfico mediante las formulas: 𝑝̅ (1 − 𝑝̅) 𝐿𝐶𝑆 = 𝑝̅ + 3√ 𝑛 𝐿𝐶 = 𝑝̅ 𝐿𝐶𝐼 = 𝑝̅ − 3√

𝑝̅(1 − 𝑝̅) 𝑛

Así mismo cuando p y/o n es pequeño, el límite de control inferior puede resultar negativo, en estos casos el valor del límite se asumirá como: 0 Nótese que los valores de los límites superior e inferior cambian con el tamaño del subgrupo:

119

MODULO ACADÉMICO Cuanto mayor es n más precisión se tiene en la estimación del parámetro p. Los límites de control así elegidos están basados en la aproximación a la normal. En general, esta aproximación es válida para la mayoría de los procesos industriales en los cuales la proporción defectuosa se puede estimar en partes por cien. En aquellos otros procesos industriales en los cuales se habla de defectos por mil, se utiliza más la aproximación a la ley Poisson. 5. Se traza la gráfica y se analizan los resultados. A continuación se muestra la estructura de una carta p:  

La carta P consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior, línea central y límite de control superior. La línea central es la proporción de defectos promedio y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar. Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor pi.

Ejemplo con n constante Un fabricante de latas de aluminio registra el número de partes defectuosas, tomando muestras cada hora de 40 latas, con 25 subgrupos. Construir la carta de control p (proporción de defectuosos) para la siguiente serie de datos obtenida durante el muestreo además dar un informe de la interpretación de carta obtenida. Subgrupo

Latas defectuosas

1 2 3 4

9 20 8 7

120

MODULO ACADÉMICO 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

14 6 11 11 4 8 10 6 8 13 2 7 5 10 4 3 13 12 15 18 3 𝑛 = 40 𝑘 = 25

Primeramente se calcula del porcentaje defectuoso (p) del subgrupo. p =

np

Subgrupo

Latas defectuosas

P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

9 20 8 7 14 6 11 11 4 8 10

0,225 0,5 0,2 0,175 0,35 0,15 0,275 0,275 0,1 0,2 0,25

n

121

MODULO ACADÉMICO 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

6 8 13 2 7 5 10 4 3 13 12 15 18 3

0,15 0,2 0,325 0,05 0,175 0,125 0,25 0,1 0,075 0,325 0,3 0,375 0,45 0,075

Luego se calcula de porcentaje defectuoso promedio para los k subgrupos: ∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑝𝑖 p̅ = n∗k p̅ =

227 40 ∗ 25

p̅ = 0,227 Luego se calculan los límites de control de la carta:

p̅(1 − p̅) LCS = p̅ + 3√ n LCS = 0,227 + 3√

0,227(1 − 0,227) 40

LCS = 0,42569 LC = p̅ LC = 0,227 p̅(1 − p̅) LCI = p̅ − 3√ n 0,227(1 − 0,227) LCI = 0,227 − 3√ 40

122

MODULO ACADÉMICO LCI = 0,0283 Después se construye la carta y se analizan los resultados

Como hay 2 puntos por fue de los límites de control se hace un cepillado eliminado los datos atípicos. Subgrupo 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Latas defectuosas 9 8 7 14 6 11 11 4 8 10 6 8 13 2 7 5 10 4 3 13

P 0,225 0,2 0,175 0,35 0,15 0,275 0,275 0,1 0,2 0,25 0,15 0,2 0,325 0,05 0,175 0,125 0,25 0,1 0,075 0,325

123

MODULO ACADÉMICO 22 23 24 25

12 15 18 3

0,3 0,375 0,45 0,075

Sin los puntos por fuera los nuevos límites ahora son: LCS = 0,3970 LC = 0,2054 LCI = 0,01379

Este proceso está bajo control estadístico debido a que en la carta de control no se encontró puntos por fuera de los límites de control, ni tampoco secuencias, ni patrones cíclicos, entonces se concluye que no se tienen presentes problemas controlables por el operador, por tanto las causas de variabilidad son comunes y su reducción depende sólo del control de la administración, una vez que interviene e Ingeniería realiza una serie de ajustes a la máquina, se monitorea la mejora. Continuando con el ejemplo, se toman 12 muestras adicionales durante los siguientes 2 turnos, la gráfica se hizo Subgrupo 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Latas defectuosas 9 3 4 5 2 6 9 7 3

P 0,225 0,075 0,1 0,125 0,05 0,15 0,225 0,175 0,075

124

MODULO ACADÉMICO 33 34 35

2 3 7

0,05 0,075 0,175

Se puede probar la hipótesis que la fracción no conforme en los últimos 3 turnos, difiere de la fracción no conforme preliminar, con el procedimiento de prueba de hipótesis: H0:

p1 = p2

H1:

p1 > p2

Donde p1 es la fracción no conforme de los datos preliminares (p1 =0.2182) y p2 es la fracción no conforme del periodo actual. Para estimar p2 se toman las últimas 12 muestras o sea: 𝑃̅ =

∑35 60 𝑖=24 𝑛𝑝𝑖 = = 0,125 𝑚∗𝑛 (40 ∗ 12)

El estadístico de prueba aproximado para probar la hipótesis anterior es: 𝑍𝑜 =

𝑃̅1 − ̅̅̅ 𝑃2 𝑛 +𝑛 √𝑃̅(1 − 𝑃̅ )( 1𝑛 𝑛 2 1 2

Con 𝑃̅ =

𝑛1𝑃̅̅̅1 + 𝑛2𝑃̅̅̅2 𝑛1 + 𝑛2

125

MODULO ACADÉMICO Por tanto: 𝑃̅ =

(920 ∗ 0,227) + (480 ∗ 0,125) 920 + 480 𝑃̅ = 0,1920

𝑍𝑜 =

0,227 − 0,125 √0,192(1 − 0,192)(920 + 480) 920 ∗ 480 𝑍𝑜 = 4,5993

Para un nivel de significancia del 0.05 en la distribución normal, se encuentra que: 𝑍0,05 = 1,64 Como 𝑍𝑜 = 4,5993 > 𝑍0,05 = 1,64 entonces se rechaza la hipótesis Ho concluyendo que hubo una reducción en la fracción defectiva promedio del proceso. Usando sólo los últimos 24 puntos para calcular nuevos límites se tiene:

LCS = 0,125 + 3√

0,125(1 − 0,125) 40

LCS = 0,281873 LC = 0,125

LCS = 0,125 − 3√

0,125(1 − 0,125) 40

LCI = −0,031873 ≈ 0

126

MODULO ACADÉMICO

Es muy importante que para identificar fácilmente las causas asignables, se lleve una bitácora de cambios, donde se anote cada cambio que ocurra, independientemente que afecte o no al proceso. DISEÑO DE LA CARTA DE CONTROL (Determinación del tamaño de muestra) Método 1. El tamaño de muestra n se escoge de tal forma que la probabilidad de encontrar al menos una unidad no conforme por muestra sea al menos.

Ejemplo, si p = 0.01 y se desea que la probabilidad de hallar al menos una unidad no conforme sea al menos 0.95, si D es el número de artículos no conformes, entonces: 𝑃(𝐷 ≥ 1) ≥ 0,95 Con la distribución de Poisson se encuentra que  = np debe ser mayor a 3.00, por tanto si p = 0.01, implica que el tamaño de muestra debe ser al menos de 300. Método 2. Duncan sugiere que el tamaño de muestra debe ser tal que se tenga aproximadamente un 50% de probabilidad de detectar el corrimiento de la media de un proceso en una cierta cantidad. Asumiendo que la distribución normal es una buena aproximación a la binomial, se selecciona n de tal forma que el límite superior de control coincida con la fracción defectiva en el estado fuera de control. Entonces n debe satisfacer:

127

MODULO ACADÉMICO

𝛿 = 𝐿√

𝑝(1 − 𝑃) 𝑛

Donde L es la distancia de la línea central a los límites de control en desviaciones estándar, por tanto, 𝐿 2 𝑛 = ( ) 𝑃(1 − 𝑃) 𝛿

Ejemplo, si p = 0.01 y se desea que la probabilidad de detectar un corrimiento a p = 0.05 sea de 0.50, entonces  = 0.05 – 0.01 = 0.04 y si L = 3-sigma, se tiene: 3 2 𝑛=( ) (0,01)(0,99) = 56 0,04 Método 3. Otro método a usar si la fracción p en control es pequeña, consiste en seleccionar n tan grande de tal forma que el límite inferior tenga un valor positivo, para poder investigar la causa de generación de muy bajas cantidades de artículos defectuosos con objeto de identificar errores de inspección o de los equipos de medición. Se tiene: p̅(1 − p̅) LCI = p̅ − L√ >0 n Implica que, 𝑛>

(1 − 𝑝) 2 𝐿 𝑝

Ejemplo, si p = 0.05 y se tienen límites de control a 3-sigma, el tamaño de muestra será: 𝑛>

0,95 2 3 = 171 0,05

Si n>171 unidades, la carta de control tendrá un límite inferior de control positivo. Es importante notar que la carta de control p se basa en la distribución normal, es decir que la probabilidad de ocurrencia de artículos defectivos es constante y que las unidades producidas son independientes. Si no es el caso, se debe desarrollar una carta de control basada en el modelo de probabilidad adecuado. Método 4

128

MODULO ACADÉMICO

̅ (1 − 𝑝´ ̅) 𝑍𝛼 √𝑝̅ (1 − 𝑝̅ ) + 𝑍1−𝛽 √𝑝´ 𝑛=[ ] ̅ − 𝑝̅ 𝑝´

2

(Determinación de la potencia de la carta p)

1−𝛽 = 𝑧 >

𝑝̅ (1 − 𝑝̅ ) ̅ 𝑝̅ + 3√ − 𝑝´ 𝑛 ̅ √𝑝´(1 − 𝑝̅´) 𝑛

[

]

CARTA NP Este grafico mide el número de unidades defectuosas encontradas en las muestras. Se aplica al mismo tipo de problemas que el gráfico P, pero cuando el tamaño de muestra es fijo. En tales casos, el control calidad en el proceso se puede realizar por el número de individuos defectuosos observados en lugar de la proporción defectuosa. El primero resulta más cómodo representar directamente la cantidad de unidades defectuosas en la muestra en vez de su proporción, en este caso el gráfico de control correspondiente se denomina np puesto que en ordenadas se representa esa magnitud. Para la construcción del gráfico se utiliza de distribución de referencia la ley Binomial ( n, p).En esta distribución, el número promedio de individuos defectuosos es igual a np y la varianza igual a np(1-p). Como en el apartado anterior, sólo se realiza un gráfico y éste controlará el número promedio de unidades defectuosas en n. Pasos a seguir en la implementación del gráfico np: 1.

Cálculo de porcentaje defectuoso promedio para los k subgrupos se calcula con la siguiente fórmula: 𝑝̅ =

2.

∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑝𝑖 n∗k

Calcular los límites de control del gráfico mediante las formulas: 𝐿𝐶𝑆 = 𝑛𝑝̅ + 3√𝑛𝑝̅(1 − 𝑝̅ ) 𝐿𝐶 = 𝑛𝑝̅ 𝐿𝐶𝑆 = 𝑛𝑝̅ − 3√𝑛𝑝̅(1 − 𝑝̅ )

Así mismo cuando p y/o n es pequeño, el límite de control inferior puede resultar negativo, en estos casos el valor del límite se asumirá como: 0 Nótese que los valores de los límites superior e inferior cambian con el tamaño del subgrupo: 3.

Se traza la gráfica y se analizan los resultados. A continuación se muestra la estructura de una carta p:

129

MODULO ACADÉMICO La grafica np consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior, línea central y límite de control superior. La línea central es el promedio de número de defectos por subgrupo y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar. Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor npi.

Gráfica. Carta de control NP Para este tipo de gráfico de control se define la longitud promedio de corrida como: 𝐿𝐷𝑃 = 1/𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐿𝐶𝐼 ≤ 𝑝̅ ≤ 𝐿𝐶𝑆) 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐿𝐶𝐼 ≤

∑𝑝̅ ≤ 𝐿𝐶𝑆) 𝑛

𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐿𝐶𝐼 ∗ 𝑛 ≤ ∑𝑝̅ ≤ 𝐿𝐶𝑆 ∗ 𝑛) Por último se llevan los valores del número de defectuosos por grupo al gráfico, y se comprueba que durante la obtención de las muestras, el proceso ha estado bajo control. Ejemplo En la siguiente tabla se encuentran consignados los datos obtenidos en una inspección mediante la apertura al azar de una caja seleccionada de cada envío y contando el número de duraznos golpeados que tenía cada caja. Había 300 melocotones por caja. Construir una carta de control np (número de defectuosos) y hacer la interpretación de la misma.

130

MODULO ACADÉMICO No. De envió 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Duraznos golpeados 20 28 24 21 32 33 31 29 30 34 32 24 29 27 37 23 27 28 31 27 30 23 23 27 35

𝑛 = 300 𝑘 = 25 Primeramente se calcula de porcentaje defectuoso promedio para los k subgrupos: ∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑝𝑖 𝑝̅ = n∗k p̅ = 0,094 Luego se calculan los límites de control de la carta: 𝐿𝐶𝑆 = 𝑛𝑝̅ + 3√𝑛𝑝̅(1 − 𝑝̅ )

131

MODULO ACADÉMICO

𝐿𝐶𝑆 = (300 ∗ 0,094) + 3√(300 ∗ 0,094)(1 − 0,094) 𝐿𝐶𝑆 = 43,36386 𝐿𝐶 = 𝑛𝑝̅ 𝐿𝐶 = 300 ∗ 0,094 𝐿𝐶 = 28,2 𝐿𝐶𝐼 = 𝑛𝑝̅ − 3√𝑛𝑝̅ (1 − 𝑝̅ ) 𝐿𝐶𝐼 = (300 ∗ 0,094) − 3√(300 ∗ 0,094)(1 − 0,094) 𝐿𝐶𝐼 = 13,03613 Después se construye la carta y se analizan los resultados

Este proceso está bajo control estadístico debido a que en la carta de control no se encontró puntos por fuera de los límites de control, ni tampoco secuencias, ni patrones cíclicos, ni corrimiento de medias. Tamaño de muestra variable En algunas aplicaciones para la fracción defectiva, la muestra es la inspección 100% de los lotes producidos en un periodo de tiempo, por tanto la muestra será variable. Se tiene varios métodos para llevar una carta de control:

132

MODULO ACADÉMICO Método 1. Límites variables Se calculan límites de control para cada muestra en base en la fracción defectiva promedio p y su tamaño de muestra con p  3 p(1  p) / ni . La amplitud de los límites es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de muestra.

Ejemplo, Un fabricante de módems para computadora hace una recopila de los datos tomados en una prueba final a la que se somete el producto los resultados obtenidos se presenta en la siguiente tabla. Construir una carta de control p (variable) Subgrupo

Tamaño de la Latas muestra defectuosas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2000 1500 1900 2400 2000 2100 1900 1900 2000 1500 2000 1400 2000 1600 2300 2300 1500 2100 2200 2200

53 18 50 43 65 52 47 34 27 53 48 25 48 36 32 37 29 32 70 57 𝑘 = 20

Primeramente se calcula del porcentaje defectuoso (p) del subgrupo. p =

np n

Subgrupo

Tamaño de la Latas muestra defectuosas

p

1 2

2000 1500

0,0265 0,012

53 18

133

MODULO ACADÉMICO 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1900 2400 2000 2100 1900 1900 2000 1500 2000 1400 2000 1600 2300 2300 1500 2100 2200 2200

50 43 65 52 47 34 27 53 48 25 48 36 32 37 29 32 70 57

0,02631579 0,01791667 0,0325 0,0247619 0,02473684 0,01789474 0,0135 0,03533333 0,024 0,01785714 0,024 0,0225 0,01391304 0,01608696 0,01933333 0,0152381 0,03181818 0,02590909

Luego se calcula de porcentaje defectuoso promedio para los k subgrupos: p̅ =

∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑝𝑖 ∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑖

p̅ =

856 38800

p̅ = 0,02206 Luego se calculan los límites de control de la carta: Subgrupo

Tamaño de Latas la muestra defectuosas

p

LCS

LCI

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2000 1500 1900 2400 2000 2100 1900 1900 2000

0,0265 0,0120 0,0263 0,0179 0,0325 0,0248 0,0247 0,0179 0,0135

0,0373 0,0204 0,0373 0,0260 0,0444 0,0349 0,0354 0,0270 0,0212

0,0157 0,0036 0,0153 0,0098 0,0206 0,0146 0,0140 0,0088 0,0058

53 18 50 43 65 52 47 34 27

134

MODULO ACADÉMICO 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1500 2000 1400 2000 1600 2300 2300 1500 2100 2200 2200

53 48 25 48 36 32 37 29 32 70 57

0,0353 0,0240 0,0179 0,0240 0,0225 0,0139 0,0161 0,0193 0,0152 0,0318 0,0259

0,0496 0,0343 0,0285 0,0343 0,0336 0,0212 0,0240 0,0300 0,0233 0,0430 0,0361

0,0210 0,0137 0,0072 0,0137 0,0114 0,0066 0,0082 0,0087 0,0072 0,0206 0,0157

Después se construye la carta y se analizan los resultados

Este proceso está bajo control estadístico debido a que en la carta de control no se encontró puntos por fuera de los límites de control, ni tampoco secuencias, ni patrones cíclicos. Método 2. Tamaño de muestra promedio En este caso, se toma el promedio de los tamaños de muestra para calcular los límites de control aproximados, se asume que los tamaños de muestra no diferirán en forma apreciable de los observados, aquí los límites de control son constantes. Si existen grandes diferencias mayores al promedio más o menos 25%, este método no es adecuado. n̅ =

∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑖 k

n̅ =

38800 20

135

MODULO ACADÉMICO n̅ = 1940 Con límites de control basados en n̅ = 1940 0,02206(1 − 0,02206) 1940 LCS = 0,03206

LCS = 0,02206 + 3√

LC = 0,02206 0,02206(1 − 0,02206) 1940 LCI = 0,012055

LCI = 0,02206 − 3√

Como hay 3 puntos por fuera de los límites de control (2, 5 y 10) se hace un cepillado eliminado los datos atípicos. Sin los puntos por fuera los nuevos límites ahora son: n̅ =

∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑖 k

n̅ =

33800 17

n̅ = 1988 Con límites de control basados en n̅ = 1988

136

MODULO ACADÉMICO

0,02206(1 − 0,02206) 1988 LCS = 0,0310

LCS = 0,02206 + 3√

LC = 0,0213 0,02206(1 − 0,02206) 1988 LCI = 0,0116

LCI = 0,02206 − 3√

Como hay 1 punto por fuera de los límites de control se hace un cepillado eliminado los datos atípicos. Sin los puntos por fuera los nuevos límites ahora son: ∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑖 n̅ = k n̅ =

31600 16

n̅ = 1975 Con límites de control basados en n̅ = 1975 0,02206(1 − 0,02206) 1975 LCS = 0,0302 LC = 0,0206

LCS = 0,02206 + 3√

137

MODULO ACADÉMICO

0,02206(1 − 0,02206) 1975 LCI = 0,0110

LCI = 0,02206 − 3√

Este proceso está bajo control estadístico debido a que en la carta de control no se encontró puntos por fuera de los límites de control, ni tampoco secuencias, ni patrones cíclicos. Método 3. Carta de control estandarizada. En este método, los puntos se grafican en unidades de desviación estándar. En la carta de control estandarizada, la línea central es cero y los límites de control están a +3 y –3 respectivamente, la variable a graficar en la carta es: 𝑃𝑖 − 𝑃

𝑍𝑖 = √

𝑃(1 − 𝑃) 𝑛𝑖

Donde p (o p si no hay estándar) es la fracción defectiva media del proceso en su condición de control estadístico; pi, ni son datos de la muestra. Curva característica de operación y ARL La curva OC muestra en forma gráfica la probabilidad de aceptar incorrectamente la hipótesis de control estadístico (i.e. cometer un error tipo II o ). Esta curva proporciona una evaluación de la sensibilidad de la carta de control, o sea la habilidad de detectar un corrimiento en la fracción no conforme del proceso, desde su valor nominal p a algún otro valor p .

138

MODULO ACADÉMICO La probabilidad de error tipo II para la carta de control de fracción defectiva o no conforme es: 𝛽 = 𝑃{𝑃̂ < 𝐿𝐶𝑆|𝑃} − 𝑃{𝑃̂ ≤ 𝐿𝐶𝐼|𝑃} 𝛽 = 𝑃{𝐷 < 𝑛 ∗ 𝐿𝐶𝑆|𝑃} − 𝑃{𝐷 ≤ 𝑛 ∗ 𝐿𝐶𝐼|𝑃} Como D es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p, el error  puede ser obtenido de la función de distribución acumulativa (la distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación). Ejemplo, Si n = 50, LIC = 0.0303 y LSC = 0.3697, el error tipo II se calcula como sigue: 𝛽 = 𝑃{𝐷 < (50)(0,3697)|𝑃} − 𝑃{𝐷 ≤ (50)(0,0303)|𝑃} 𝛽 = 𝑃{𝐷 < 18,485|𝑃} − 𝑃{𝐷 ≤ 1,515|𝑃} Sin embargo como D debe ser un entero, se toma, 𝛽 = 𝑃{𝐷 < 18|𝑃} − 𝑃{𝐷 ≤ 1|𝑃} Nota: Se debe usar la distribución de Poisson para np