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• MarceloValeria

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Determinación de Vigas y Columnas De acuerdo al esquema que se entrega a continuación, determine las vigas y columnas apropiadas para que sostengan la losa de la figura.

Datos Largo de la losa

Ll := 4m

Ancho de la losa

Hl := 4m

Espesor de losa

hl := 10cm

Altura de la losa

Ht := 2.8m

Peso específico hormigón armado

Calidad del Acero:

kgf

Sy := 24

mm

2

CS := 2.5 Acero: γh := 2400

kgf m

Peso propio de la losa

A3724ES

Pp := γh ⋅ Ll ⋅ Hl ⋅ hl

3

E := 200GPa δmax =

L 300

Pp = 3840 ⋅ kgf

Cargas En las construcciones existen dos tipos de cargas, las de tipo permanente y las de sobrecarga. a) Las de tipo permanente están constituidas por la suma de los pesos de la estructura, tabiques, hormigones, maderas, etc. El peso de la estructura en edificios de 3 ó 4 pisos es aproximadamente de 10 a 15 kgf por metro cúbico. De 10 pisos, 25 a 30 kgf/m3 . y en rascacielos hasta 50 kgf/m3

Tabla de pesos propios de diferentes materiales Material

Peso específico (kgf/m3)

Acero laminado

7860

Madera de acuerdo a calidad y humedad Piedra natural

600 a 1000 2500 a 2800

Ladrillo cerámico

1800

Ladrillo corriente

1300

Hormigón

2200

Hormigón armado

2400

b) La sobrecarga está constituída por las personas, el mobiliario, los productos que se almacenan, la nieve, etc. O sea por todo aquello que se pueda cambiar de lugar. Tabla para diferentes tipos de sobrecarga Tipo Azoteas Nieve en azoteas horizontales

Sobrecarga (kgf/m2) 150 75

Viviendas

150 - 250

Edificios públicos

250 - 300

Salas de espectáculos

400 - 500

Garajes (automóviles)

350 - 400

Aumentos de la sobrecarga: Cuando la estructura tenga que soportar efectos dinámicos producidos por maquinaria, se aumentará la sobrecarga en un 25% Cuando las salas de reuniones y espectáculos, las personas se levantan al mismo tiempo, se aumentará la sobrecarga en un 50% Reducción de la sobrecarga: En los edificios para vivienda de varios pisos se podrá hacer una reducción de la sobrecarga en los soportes según las normas siguientes: Cubierta y dos pisos

0%

reducción

Cubierta y tres pisos

10%

reducción

Cubierta y cuatro pisos

20%

reducción

Cubierta y cinco pisos

30%

reducción

Cubierta y seis pisos

33%

reducción

Con los datos anteriores supondremos que el destino de la losa será para equipos, consideraremos para ello la sobrecarga como un automóvil. Sc := 350

kgf m

2

Psc := Ll ⋅ Hl ⋅ Sc

luego

Luego la carga total estará definida como

Psc = 5600 ⋅ kgf Pt := Pp + Psc

Pt = 9440 ⋅ kgf

Área tributaria: El concepto de área tributaria se aplica a las cargas que serán soportadas por el elemento en estudio, el área que debe soportar la viga a determinar, se denomina área tributaria.

Esta carga se debe expresar como carga por unidad de longitud, para ello se hace el siguiente arreglo: a :=

Hl 2

q=

Pt Hl

Hl = 2 ⋅ a

q :=

Pt 2⋅a

q = 2360 ⋅

kgf m

o sea, La carga sobre la losa dividido en el ancho del área tributaria.

La forma en que está dispuesta la viga en estudio es según el esquema:

La viga en estudio, será la central ya que es la que presenta la mayor exigencia. Esto se representa según el dibujo siguiente:

∑ Fy = 0

R1s + R2s − q ⋅ Ll = 0

y

∑ 1

2

M=0

−q ⋅

Ll

2

+ R2s ⋅ Ll = 0

R2s :=

q ⋅ Ll 2

R1s := q ⋅ Ll − R2s

R2s = 4720 ⋅ kgf R1s = 4720 ⋅ kgf

Adimensionalización de variables (esto se hace porque los gráficos deben ser adimensionales en mathcad) (una cojera que tiene el software) Ll

Ll :=

R1s

R1s :=

m

kgf

R2s :=

R2s

q := q ⋅

kgf

m kgf

2

x := 0 , 0.1 .. Ll

M ( x) := R1s ⋅ x − q ⋅

x

2

V ( x) =

d

M ( x)

dx

V ( x) := R1s − q ⋅ x

Diagrama de Fuerzas cortantes 3

6× 10

3

2× 10 V( x)

3

− 2× 10

3

− 6× 10

0

1

2

3

4

3

4

x

Diagrama de momentos

M( x)

5×10

3

4×10

3

3×10

3

2×10

3

1×10

3

0

0

1

2 x

θ ( x) =

y ( x) =

R1s 2 R1s

R1s 6

θ ( x) :=

Ll ⋅ q

R1s 2

x

24

+ C1 ⋅ x + C2 y ( Ll) = 0

4

3

⋅ Ll − q ⋅

24

+ C1

C2 = 0

3

C1 :=

6 4

3

⋅x − q⋅

6

x

2

⋅x − q⋅

y ( 0) = 0 0=

3

Ll

+ C1 ⋅ Ll

24

2

−

2

Ll ⋅ R1s

3

C1 = −6.293 × 10

6

⋅x − q⋅

3

x

6

+ C1

y ( x) :=

R1s 6

3

⋅x − q⋅

4

x

24

+ C1 ⋅ x

Diagrama de la elástica (ángulo de la viga deformada) 4

1× 10

3

5× 10 θ( x)

0 3

− 5× 10

4

− 1× 10

0

1

2

3

4

3

4

x

Ecuación de la viga, deformación 0 3

− 2× 10 y( x)

3

− 4× 10

3

− 6× 10

3

− 8× 10

0

1

2 x

Ll := Ll ⋅ m

x :=

R1s q

R1s := R1s ⋅ kgf R2s := R2s ⋅ kgf

q := q ⋅

kgf m

Dimensionalización, para volver a calcular.

2

x = 2m

M ( x) := R1s ⋅ x − q ⋅

x

M ( x) = 4720 ⋅ kgf ⋅ m

2

V ( x) := R1s − q ⋅ x

θ ( x) :=

y ( x) :=

σ :=

Sy CS

σ = 9.6 ⋅

kgf mm

2

De la ecuación de Navier

R1s 2 R1s 6

V ( x) = 0 ⋅ kgf 3

2

⋅x − q⋅

x

6 x

24

Mfmax ⋅ c Ixx

+

Ll ⋅ q 24

2

−

Ll ⋅ R1s 6

 Ll3 ⋅ q Ll2 ⋅ R1s    ⋅x − 6  24 

2

θ ( x) = 0 ⋅ kgf ⋅ m

3

y ( x) = −7866.667 ⋅ kgf ⋅ m

kgf mm

σ=

3

+

4

3

⋅x − q⋅

E = 20394.32 ⋅

Mfmax := M ( 2m)

2

se define el módulo resistente

Wxx =

Ixx c

luego

Mfmax

σ=

Wxx :=

Wxx

Mfmax

Wxx = 491.67 ⋅ cm

σ

3

Valor a buscar en tablas

Con este dato se selecciona el perfil IPE 300 Ixx := 8360cm

4

Wxx := 557cm

3

Pv := 42.2

kgf

h := 300mm

m

c :=

e := 10.7mm Mfmax ⋅ c

σs :=

σs = 8.469 ⋅

Ixx

kgf mm

h 2

b := 150mm

t := 7.1mm

σs < σ

2

Con el dato de la viga elegida, se procede a recalcular usando ahora el peso propio de la viga. Este procedimento es para comprobar si el peso propio influye o no en el perfil seleccionado. q := q + Pv

Se redefine un nuevo valor para q

R2s :=

kgf

q = 2402.2 ⋅

q ⋅ Ll

m

R2s = 4804.4 ⋅ kgf

2

R1s := q ⋅ Ll − R2s

R1s = 4804.4 ⋅ kgf

2

M ( x) := R1s ⋅ x − q ⋅

x

M ( x) = 4804.4 ⋅ kgf ⋅ m

2

V ( x) := R1s − q ⋅ x R1s

θ ( x) :=

2 R1s

y ( x) :=

6

Wxx :=

σs :=

V ( x) = 0 ⋅ kgf 3

2

⋅x − q⋅

x

6 x

24

Mfmax

δmax :=

Ll 300

24

2

−

Ll ⋅ R1s

kgf mm

 R1s

⋅

 6

3

2

θ ( x) = 0 ⋅ kgf ⋅ m

6

 Ll3 ⋅ q Ll2 ⋅ R1s    ⋅x − 6  24 

σs = 8.62 ⋅

Ixx

E ⋅ Ixx

+

Ll ⋅ q

Wxx = 500.46 ⋅ cm

σ

1

3

+

4

3

⋅x − q⋅

Mfmax ⋅ c

y ( x) :=

Mfmax := M ( 2m)

⋅x − q⋅

4

x

24

+

2

3

y ( x) = −8007.333 ⋅ kgf ⋅ m

3

Todavía sirve la misma viga.

σs < σ

kgf mm

 Ll3 ⋅ q Ll2 ⋅ R1s     ⋅ x − 6  24  

δmax = 13.33 ⋅ mm

σ = 9.6 ⋅

δmax > y ( x)

2

Cumple por esfuerzo

y ( x) = −4.696 ⋅ mm

y ( x) = 4.696 ⋅ mm

Cumple por deformación

Análisis para la viga Principal La situación física se puede modelar de la siguiente manera:

Modelación

Lo que nos permite escribir la ecuación de momentos, pero antes de debe encontrar los valores de las reacciones

∑

Fy = 0

R1p + R2p −

M=0

−R1s ⋅ a −

R1s 2

− R1s −

R1s 2

− qp ⋅ Hl = 0

y

∑

R1s 2

⋅ Hl + R2p ⋅ Hl − qp ⋅

Hl

2

2

=0

1

qp := 1

kgf m

Peso propio provisorio de la viga 2

R2p :=

R1p :=

qp ⋅ Hl + R1s ⋅ Hl + 2 ⋅ R1s ⋅ a 2 ⋅ Hl R1s 2

+ R1s +

R1s 2

+ qp ⋅ Hl − R2p

R2p = 4806.4 ⋅ kgf

R1p = 4806.4 ⋅ kgf

V ( x) = R1p −

R1s 2

− qp ⋅ x − R1s ⋅ ( x − a)

R1s

M ( x) = R1p ⋅ x −

2

0

2

⋅ x − qp ⋅

x

− R1s ⋅ ( x − a)

2

3

θ ( x) =

R1p 2 R1s 2 x R1s 2 ⋅x − ⋅ x − qp ⋅ − ⋅ ( x − a) + C1 2 4 2 6

y ( x) =

R1p 3 R1s 3 x R1s 3 ⋅x − ⋅ x − qp ⋅ − ⋅ ( x − a) + C1 ⋅ x + C2 6 12 6 24

4

Condiciones de borde y ( 0) = 0

C1 :=

C2 = 0

R1s ⋅ a

2

3

+

2

y ( Hl) = 0

Hl ⋅ qp 24

2

0=

R1p 6

3

⋅ Hl −

R1s 12

3

⋅ Hl − qp ⋅

3  R1p − R1s  − R1s ⋅ a − Hl ⋅ R1s ⋅ a  4  6 ⋅ Hl 2  6

− Hl ⋅ 

Hl

4

24

−

R1s 6

3

⋅ ( Hl − a) + C1 ⋅ Hl

C1 = −4807.067 ⋅ kgf ⋅ m

2

Diagramas Adimensionalización de variables (ya se sabe por qué) Ll :=

C1 :=

Ll

Hl

Hl :=

m

R1s ⋅ a

m

2

2

R1s :=

3

+

Hl ⋅ qp 24

R1s kgf

2

R2s :=

R2s kgf

R1p :=

R1s 2

M1 ( x1) := R1p ⋅ x1 − θ1 ( x1) := y1( x1) :=

R1p 2 R1p 6

2

⋅ x1 − 3

− qp ⋅ x1

R1s

⋅ x1 −

2

2

⋅ x1 − qp ⋅

R1s 4 R1s 12

x1 2

2

⋅ x1 − qp ⋅ 3

kgf

R2p :=

3  R1p − R1s  − R1s ⋅ a − Hl ⋅ R1s ⋅ a  4  6 ⋅ Hl 2  6

− Hl ⋅ 

x1 := 0 , 0.1 .. a V1 ( x1) := R1p −

R1p

⋅ x1 − qp ⋅

3

x1 6

+ C1

4

x1

24

+ C1 ⋅ x1

R2p kgf

qp := qp ⋅

m kgf

C1 = −4807.067

a :=

a m

x2 := a , a + 0.1 .. Hl V2 ( x2) := R1p −

R1s 2

M2 ( x2) := R1p ⋅ x2 − R1p

θ2 ( x2) :=

2 R1p

y2( x2) :=

6

R1s

2

⋅ x2 − 3

− qp ⋅ x2 − R1s

⋅ x2 −

2

2

⋅ x2 − qp ⋅

R1s 4 R1s 12

x2 2

− R1s ⋅ ( x2 − a) 3

2

⋅ x2 − qp ⋅

x2 6

−

4

3

⋅ x2 − qp ⋅

x2

24

−

R1s 2 R1s 6

2

⋅ ( x2 − a) + C1 3

⋅ ( x2 − a) + C1 ⋅ x2

Diagrama de fuerzas cortantes 3

3× 10

3

2× 10

3

1× 10 V1( x1) V2( x2)

0 3

− 1× 10

3

− 2× 10

3

− 3× 10

0

1

M1( x1) M2( x2)

3

4×10

3

3×10

3

2×10

3

1×10

3

3

4

3

4

x1 , x2

Diagrama de momentos 5×10

2

0 − 1×10

3

0

1

2 x1 , x2

Diagrama de la elástica 3

6× 10

3

4× 10

3

2× 10 θ1 ( x1)

0

θ2 ( x2)

3

− 2× 10

3

− 4× 10

3

− 6× 10

0

1

2

3

4

3

4

x1 , x2

Diagrama de deformaciones 2×10

3

0

y1( x1)

− 2×10

3

− 4×10

3

− 6×10

3

− 8×10

3

y2( x2)

0

1

2 x1 , x2

Adimensionalización de variables Ll := Ll ⋅ m Hl := Hl ⋅ m R1s := R1s ⋅ kgf qp := qp ⋅

C1 :=

kgf

2

R1p := R1p ⋅ kgf

R2p := R2p ⋅ kgf

a := a ⋅ m

m R1s ⋅ a

R2s := R2s ⋅ kgf

2

3

+

Hl ⋅ qp 24

2

3  R1p − R1s  − R1s ⋅ a − Hl ⋅ R1s ⋅ a  4  6 ⋅ Hl 2  6

− Hl ⋅ 

C1 = −4807.067 ⋅ kgf ⋅ m

2

x1 := 2m

V1 ( x1) := R1p −

R1s 2

M1 ( x1) := R1p ⋅ x1 − R1p

θ1 ( x1) :=

2 R1p

y1( x1) :=

6

− qp ⋅ x1 2

R1s

2

⋅ x1 − 3

⋅ x1 −

⋅ x1 − qp ⋅

2

R1s 4 R1s 12

Sy

kgf

σ = 9.6 ⋅

CS

mm

2

luego

σ=

3

Mfmax Wxx

6

2

+ C1

θ1 ( x1) = 0 ⋅ kgf ⋅ m

x1

24

+ C1 ⋅ x1

y1( x1) = −6409.2 ⋅ kgf ⋅ m

Mfmax := M1 ( x1)

3

Mfmax = 4806.4 ⋅ kgf ⋅ m

kgf 2

Mfmax ⋅ c

se define el módulo resistente

Ixx

Wxx :=

x1

4

3

⋅ x1 − qp ⋅

mm σ=

M1 ( x1) = 4806.4 ⋅ kgf ⋅ m

2

2

E = 20394.32 ⋅

De la ecuación de Navier

x1

⋅ x1 − qp ⋅

M1 ( x1) = 4806.4 ⋅ kgf ⋅ m σ :=

V1 ( x1) = 2402.2 ⋅ kgf

Mfmax

Wxx = 500.67 ⋅ cm

σ

3

Wxx =

Ixx c

Valor a buscar en tablas

Con este dato se selecciona el perfil IPE 300 Ixx := 8360cm

4

Wxx := 557cm

3

Pv := 42.2

kgf

h := 300mm

m

e := 10.7mm σs :=

Mfmax ⋅ c

σs = 8.624 ⋅

Ixx

kgf mm

Se redefine un nuevo valor para q

c :=

h 2

b := 150mm

t := 7.1mm

σs < σ

2

qp := Pv

qp = 42.2 ⋅

kgf m

2

R2p :=

R1p :=

C1 :=

R1s ⋅ a 2

2

3

+

Hl ⋅ qp 24

2

qp ⋅ Hl + R1s ⋅ Hl + 2 ⋅ R1s ⋅ a 2 ⋅ Hl R1s 2

+ R1s +

R1s 2

+ qp ⋅ Hl − R2p

3  R1p − R1s  − R1s ⋅ a − Hl ⋅ R1s ⋅ a  4  6 ⋅ Hl 2  6

− Hl ⋅ 

R2p = 4888.8 ⋅ kgf

R1p = 4888.8 ⋅ kgf

C1 = −4916.933 ⋅ kgf ⋅ m

2

x1 := 2m

V1 ( x1) := R1p −

R1s

M1 ( x1) := R1p ⋅ x1 − θ1 ( x1) := y1( x1) :=

R1p 2 R1p 6

− qp ⋅ x1

2

R1s 2

2

⋅ x1 − qp ⋅

R1s

2

⋅ x1 −

R1s

3

12

σs :=

Mfmax

Wxx = 509.25 ⋅ cm

σ

Mfmax ⋅ c

y ( x1) :=

δmax :=

σs = 8.772 ⋅

Ixx 1 E ⋅ Ixx Hl 300

 R1p

⋅

 6

3

⋅ x1 −

R1s 12

3

x1 6

2

+ C1

θ1 ( x1) = 0 ⋅ kgf ⋅ m

+ C1 ⋅ x1

y1( x1) = −6546.53 ⋅ kgf ⋅ m

4

3

x1

24

Mfmax := M1 ( x1)

3

3

Mfmax = 4888.8 ⋅ kgf ⋅ m

Todavía sirve la misma viga.

σs < σ

2

σ = 9.6 ⋅

kgf mm

4

⋅ x1 − qp ⋅

δmax = 13.33 ⋅ mm

3

⋅ x1 − qp ⋅

kgf mm

M1 ( x1) = 4888.8 ⋅ kgf ⋅ m

2

2

M1 ( x1) = 4888.8 ⋅ kgf ⋅ m Wxx :=

x1

⋅ x1 − qp ⋅

4

⋅ x1 −

V1 ( x1) = 2402.2 ⋅ kgf

x1

24



+ C1 ⋅ x1

δmax > y ( x)



2

Cumple por esfuerzo

y ( x) = −3.84 ⋅ mm

y ( x) = 3.84 ⋅ mm

Cumple por deformación

Análisis para las columnas kgf

Sy = 24 ⋅

mm

E = 20394.32 ⋅

2

kgf mm

P = 4888.8 ⋅ kgf

CS = 2.5

2

σ :=

l := Ht − hl − 2 ⋅ 300mm Sy

σ = 9.6 ⋅

CS

l = 2.1 m

C := 1.2

kgf mm

2

2

λ1 :=

Determinación de λ1

2⋅π ⋅C ⋅E

Del catálogo de columnas se elige: H := 100mm Pp := 20.4 ky :=

B := 100mm

kgf

Pt := Pp ⋅ l

m

Iyy A

ky = 2.534 ⋅ cm

λ1 = 141.87

Sy

Pc P

= 10.587

A

= 1.88 ⋅

El perfil elegido es apropiado.

k :=

l λ

k = 1.48 ⋅ cm

HEB IPB100 e := 10mm

t := 6mm

A := 26cm

2

Ixx := 450cm

4

Iyy := 167cm

4

Pt = 42.84 ⋅ kgf kx :=

Ixx A

kx = 4.16 ⋅ cm

 Sy  1 σc := Sy −  ⋅ λ ⋅  2⋅π  C ⋅E P

λ := λ1

si:

2

columna intermedia

P := R1p

kgf mm

2

CS :=

σc = 19.907 ⋅

λ := kgf mm

Sy P A

CS = 12.764

2

l ky

λ = 82.861

Pc := σc ⋅ A

Pc = 51757.57 ⋅ kgf