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• Gabriel Cenato

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO

INTRODUÇÃO AO  MATHCAD Versão 2003

Santa Maria, julho de 2003

ÍNDICE CAPÍTULO 1: Conhecendo o Mathcad 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Um cálculo simples Definindo variáveis Calculando Formatando os Resultados Gráficos 1.5.1 Criando um Gráfico 1.5.2 Formatando Gráficos 1.6 Resource Center

CAPÍTULO 2: Números, variáveis e constantes 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Variáveis e Constantes Nomeando Variáveis Pré-definidas Números Números Complexos Operações e Funções

CAPÍTULO 3: Editando equações 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Equações Sinal “=” Ferramentas de edição Ponto de inserção Caixa de seleção Rearranjando seu documento 3.6.1 Selecionando Regiões 3.6.2 Movendo Regiões 3.6.3 Alinhando Regiões 3.6.4 Deletando Regiões 3.6.5 Separando Regiões 3.6.6 Reexibindo um documento após uma mensagem de erro

CAPÍTULO 4: Textos e gerenciamento de documentos 4.1 Gerenciamento de janelas

4.2 Gerenciamento de documentos 4.3 Imprimindo 4.4 Ajustando Margens 4.5 Quebras de Páginas 4.6 Textos 4.6.1 Criando uma Math Region 4.6.2 Criando uma Text Region 4.6.3 Editando textos 4.6.4 Mudando fonte, Tamanho, Estilo e posição do texto

CAPÍTULO 5: Formatação de resultados e equações 5.1 Formatando Equações e Resultados 5.2 Executando a formatação

CAPÍTULO 6: Unidades e dimensões 6.1 6.2 6.3 6.4

Unidades e Dimensões Calculando com Unidades Mostrando as Unidades dos Resultados Inserindo Unidades Pré-Definidas

CAPÍTULO 7: Definição de funções 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

Equações e computação de resultados Definindo variáveis Definindo uma função Como o MATHCAD interpreta um documento? Definições globais Modos de Cálculo Desabilitando equações Mensagens de erro

CAPÍTULO 8: Programação 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

Operador de programa Comando de atribuição local Exemplo usando os operadores If e Otherwise Exemplo usando os operadores For e While Exemplo usando o operador Continue Exemplo usando o operador Return

8.7 Exemplo usando o operador Break

CAPÍTULO 9: Vetores, arranjos e matrizes 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

Criando um vetor ou uma matriz Criando um vetor Criando uma matriz Mudando o tamanho de uma matriz Calculando com arranjos Subscritos e sobrescritos 9.6.1 Subscritos e Elementos de Vetores e Matrizes 9.6.2 Sobrescritos com colunas de matrizes 9.7 Mudando a Origem 9.8 Limites no Tamanho dos Arranjos 9.8.1 Limites para a Entrada de Arranjos 9.8.2 Limites para a Apresentação de Arranjos 9.8.3 Limites para o Tamanho dos Arranjos 9.9 Operadores e Funções 9.9.1 Operadores de Vetores e Matrizes 9.9.2 Funções para Vetores e Matrizes 9.10 Fazendo Cálculos em Paralelos 9.10.1 Como Aplicar o Operador de Vetorização em Expressões 9.10.2 Como o Operador de Vetorização muda o Cálculo da Expressão

CAPÍTULO10: Estatística 10.1 Cálculo de parâmetros estatísticos 10.2 Histogramas 10.3 Interpolação 10.3.1 Interpolação linear 10.3.2 Interpolação de funções spline 10.4 Interpolando um vetor de pontos 10.5 Funções de distribuição 10.6 Funções para regressão linear 10.7 Números randômicos 10.8 Funções de classificação

CAPÍTULO11: Cálculo 11.1 Raízes de um polinômio 11.2 Simplificação algébrica 11.3 Expanção algébrica 11.4 Expanção de uma função em série de potência 11.5 Solução de sistemas lineares e não-lineares 11.5.1 Usando a função ROOT

11.5.2 Usando a função FIND 11.5.3 Usando a função SOLVE 11.6 Limites 11.7 Derivadas 11.8 Integrais 11.9 Equações diferencias ordinárias 11.10 Transformadas de Laplace 11.11 Transformadas de Fourier 11.12 Transformadas de Fourier para valores reais 11.13 Transformadas de Fourier para valores complexos 11.14 Formas alternadas da transformada de Fourier

Começando O que você pode fazer com o MahCad ? Com o MAHTCAD você pode editar em um único documento: texto, equações, gráficos, etc... Mas isso não é tudo. Ele também executa os cálculos das equações editadas. Na realidade ele combina uma planilha eletrônica e um editor de texto em um único aplicativo.

CAPÍTULO 1: Conhecendo o Mathcad 1.1 Um cálculo simples Clique em qualquer lugar da tela, você verá uma pequena cruz. Digite a equação a ser calculada, por exemplo:

15-8/104.5= OBS: O MATHCAD interpreta o ponto como sendo a separação entre a parte inteira e a decimal do número inserido. Quando você pressiona o sinal de “=” o MATHCAD mostra o resultado.

1.2 Definindo variáveis Digite a variável (o MATHCAD faz distinções entre letras minúsculas e maiúsculas) seguida por “:”, aparecerá na tela “: =”, ou clique no ícone “: =” localizado no lado esquerdo da tela. Este botão encontra-se num submenu chamado Evaluation, o qual pode ser acessado pela paleta de ferramentas Math.

Submenu Evaluation

Digite o valor a ser atribuído: const := 1600

O MATHCAD trás uma vantagem. As variáveis podem ser indexadas, o que facilitará a criação de gráficos. Exemplificando: Se quisermos que uma variável q varie de 10 a 20, de uma em uma unidade, definimos a variável como segue: q: = 10,11.. 20

Obs: Para colocar o sinal “..” digite “;” . O segundo número representa o primeiro mais o incremento desejado.

1.3 Calculando Suponha que você queira calcular a seguinte função: X(t) = Xo + Vt. Temos dois casos a considerar: 1o Caso: Queremos o valor em um dado instante t. Para tanto devemos fazer as atribuições antes da definição da função. Quando pressionamos o sinal de “=” o resultado aparecerá na tela. 2o Caso: Queremos os valores de X(t) em um intervalo t dado. A seqüência é a mesma do caso anterior, porém adota-se t como variável indexada. Para obtermos o resultado devemos digitar “X(t)=” abaixo da definição da função. Exemplo: X0 := 2

o sub índice “0” é conseguido digitando-se “[“ (colchetes)

V := 5

(Definição de variáveis e constantes)

t := 1 , 2 .. 10 X( t ) := X0 + V⋅ t

(Definição da função) Uma vez definida a função acima, podemos escolher o que desejamos fazer como proposto nos dois casos acima. X( t ) = 7 12

X( 1) = 7

17

X( 2) = 12

22

X( 3) = 17

27 32

X( 4) = 22

37

X( 5) = 27

42

X( 5.5) = 29.5

47 52

1.4 Formatando os Resultados Se você deseja formatar um resultado obtido basta clicar sobre ele (ou sobre a tabela na qual ele está inserido), depois selecione o menu Format na barra de ferramentas. Aparecerá um menu do qual você deverá selecionar a opção Result. Com isso você poderá definir os formatos numéricos desejados.

define o tipo de formato numérico que você deseja na saída

A opção Exponential threshold indica até que casa decimal o número o número será apresentado sem que passe para a forma de notação científica. Para o formato acima o número é apresentado da seguinte maneira:

123456.7890123= 123456.789 Se mudarmos a opção Exponential threshold para 5, o número será apresentado sob a forma de notação científica: 5

123456.7890123= 1.235 × 10

1.5 Gráficos Neste item será abordado o procedimento para a criação e formatação de gráficos.

1.5.1 Criando um Gráfico Para criar um gráfico clique em um espaço em branco no qual o mesmo possa ser inserido. Não esqueça que o gráfico só poderá ser definido se a equação correspondente a ele estiver definida acima. Clique em Insert, Graphics e escolha Create x-y plot. O gráfico em branco aparecerá. Agora basta você definir a localização da variável e da função correspondente. Localize uma na abscissa do gráfico e a outra na ordenada. Clique em qualquer lugar fora do gráfico para o MATHCAD calcular e exibir o resultado. 52

Para a função que foi feita acima o gráfico deve ter o este aspecto: DICA: Você pode criar um gráfico clicando no ícone de gráfico localizado na barra lateral esquerda.

60 48 36

X ( t)

24 12 7

0 1

2

4

6 t

8

10 10

Como redimensionar seu gráfico? Clique em algum lugar próximo ao gráfico. Uma linha tracejada aparecerá enquadrando o gráfico. Você pode aumentá-lo em duas dimensões: abaixo e a direita. O mesmo acontecerá para diminuir, basta arrastar o mouse. OBS: Você também pode redimensionar os limites do gráfico mudando os valores que estão circulados na figura acima.

1.5.2 Formatando um Gráfico Para mudar o formato de um gráfico clique sobre o mesmo. Escolha x-y Plot no menu Format, item Graph. Uma caixa de diálogo aparecerá.

Nesta você poderá escolher as características do gráfico (Cor, traçado...). Nunca se esqueça de antes selecionar o gráfico. DICA: Se você der um clique duplo no gráfico o menu do Formatting Currently Selected X-Y Plot aparecerá na tela.

1.6 Resource Center

O MATHCAD possui um handbook de referência chamado Resource Center.. Ele contém fórmulas matemáticas e de engenharia, constantes físicas, propriedades de vários materiais e outras informações úteis. Para acessar o Resource Center, vá ao menu HELP e clique em Resource Center. A janela que se abre contém várias opções que podem ser selecionadas com um simples clique. Os QuickSheets and Reference Tables são uma importante ferramenta para a resolução de dúvidas e aprofundamento de conhecimentos. a forma em que eles se apresentam é bastante ilustrativa e com diversos exemplos.

CAPÍTULO 2: Números, variáveis e constantes 2.1.Nomeando Os nomes válidos para funções e variáveis são: - letras, tanto maiúsculas quanto minúsculas; - dígitos de 0 a 9; - caracteres A_@(sublinha), A ` @(crase), A%@(porcentagem); - letras gregas. Para digitá-las siga o processo equivalente para letras romanas e pressione [CONTROL] + G, a letra imediatamente anterior ao cursor assumirá a forma da letra grega correspondente; para desfazer [CONTROL] + Z. O símbolo , é introduzido através de [CONTROL] + [>]. Nomes de variáveis ou funções não podem incluir espaços em branco ou qualquer outro caractere além dos listados acima. As seguintes restrições se aplicam a nomes de variáveis: 1. Um nome nunca começa pelos dígitos de 0 a 9, `, _ , %. 2. Qualquer caractere digitado após um ponto aparecerá como subscrito. 3. Todos os caracteres de nome devem manter a mesma fonte, tamanho e estilo. 4. O MATHCAD não distingue o nome da variável do nome de uma função. Se você definir f(x) e mais tarde definir uma variável f, no resto do documento f(x) não poderá ser usada. 5. Se você construir uma função com o mesmo nome de uma função pré-definida pelo sistema, essa não poderá mais ser utilizada no seu documento.

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2.2.Variáveis Pré-definidas O MATHCAD possui seis constantes, que já são pré-definidas. Variáveis prédefinidas ou tem um valor convencional, como π e e (exponencial), ou são usadas como variáveis de sistema que controlam como o MATHCAD trabalha, como Origin e Tol. As constantes pré-definidas são:

Nome ∞ e π i j %

Atalho [ctrl] [shift] [z] e [ctrl] [shift] [p] 1i 1j %

Estas constantes podem ter os seus valores alterados. Para tanto basta inserir o símbolo da constante e digitar o sinal “:=” de atribuição. Você pode controlar o valor das variáveis pré-definidas, basta escolher a guia BUIT-IN VARIABLES na janela OPTIONS do menu MATH. Depois de fazer suas redefinições, clique em [F9] para ter certeza das alterações.

2.3 Números Há letras que pré-definem algumas classes numéricas. - H ou O - Hexadecimal ou Octadecimal; - I ou J - imaginários (sempre precedidos do no, inclusive 1); - M, L, T, Q ou K - unidades.

2.4 Números Complexos Sempre devem apresentar a forma a + bi, ou a + bj (dependendo de sua preferência). Isso acontecerá mesmo se o b=1 ou b=-1.

2.5 Operações e Funções Re(z)

- representa a parte real de um número z.

Im(z)

- representa a parte imaginária de um número z.

Arg(z)

- argumento de z entre – π e π incluindo π .

|z|

- módulo do número z. Deve ser inserido através da seleção da expressão seguida da barra vertical.

z

- conjugado de z. Para obtê-lo, selecione a expressão e digite aspas.

Re( x) = 0 Im( x) = 2 arg( x) = 1.571

 x = −2i

x =2

CAPÍTULO 3: Editando Equações 3.1 Equações Você pode criar muitas expressões matemáticas simplesmente digitando uma cadeia de caracteres. Certos caracteres como letras e dígitos, fazem parte de nomes e números. Outros caracteres como o * e + representam operadores. DICA: * multiplicação / divisão + adição - subtração ^ potenciação \ radiciação Como facilidade você pode introduzir qualquer operador pela paleta 1 localizada à esquerda. Quando você estiver digitando uma equação e a mesma envolver divisões e multiplicações você deve selecionar o membro a ser dividido ou multiplicado. Para tanto basta você pressionar a tecla space do teclado ou mover-se dentro da equação utilizando as teclas de setas. Exemplo: Se você deseja realizar a operação:

4+52 Você deve digitar 4+5^2=

2

4 + 5 = 29

3.2 Sinal “=” O que deve ser inserido antes e depois do sinal de “=” e quais as restrições para este processo: ⇒ Todas as variáveis ou funções que forem escritas do lado esquerdo da do sinal de “=” devem ter sido declaradas anteriormente. ⇒ Para o lado direito, que retorna o resultado da expressão do lado esquerdo, você não pode editar o que aparecer nele, apenas formatar os números que são mostrados, seguindo o procedimento descrito anteriormente. DICA: Utilize a tecla [space] para englobar toda uma expressão e a combinação de teclas [shift] [del] para deletar. Você também pode usar o mouse para a seleção.

3.3 Ferramentas de edição: + É usada para posicionar uma nova equação, uma definição de gráfico ou uma região de texto. Você pode mover este ponto com as setas do teclado ou diretamente como mouse.

3.4 Ponto de inserção: | Em equações e em textos é usado para inserir e deletar caracteres individuais. Essa ferramenta pode ser utilizada em equações, textos ou gráficos. Em textos, este cursor se apresenta sob a cor vermelha e para a edição de equações, sob a cor azul.

3.5 Caixa de seleção: Usada para inserir ou deletar operadores, números e nomes de variáveis. Só pode ser usada numa equação ou gráfico.

3.6 Rearranjando seu documento Este tópico abordará questões referentes a como você por em ordem o seu documento para impressão ou apresentação.

3.6.1 Selecionando regiões Para mover uma ou mais regiões, as mesmas devem estar selecionadas. Para isto, pressione e segure o botão esquerdo do mouse para marcar um dos cantos do quadro de seleção. Com o botão pressionado, arraste até englobar tudo o que você deseja. Após isto solte o botão.

3.6.2 Movendo Regiões

Após uma região ser selecionada, você pode movê-la de dois modos: 1o - Arrastando com o mouse até o local desejado; 2o - Usando CUT - PASTE.

3.6.3 Alinhando Regiões Estando as regiões selecionadas, você pode alinhá-las Horizontalmente ou Verticalmente, escolhendo ALIGN REGIONS no menu FORMAT. As opções Across ou Down aparecerão no menu e sua escolha poderá ser feita mediante um click.

3.6.4.Deletando Regiões Depois de selecionada a região, você pode seguir dois caminhos: 1o - CLEAR, no menu EDIT; 2o - [shift]+[del].

3.6.5 Separando Regiões

Se houverem regiões sobrepostas ou semi-sobrepostas em seu documento, basta clicar SEPARETE REGIONS do menu FORMAT. Não esqueça que as regiões devem estar previamente selecionadas.

3.6.6 Reexibindo um Documento após uma Mensagem de Erro Escolha REFRESH do menu VIEW ou use CONTROL-R.

CAPÍTULO 4: Textos e gerenciamento de documentos 4.1 Gerenciamento de Janelas Como qualquer outro aplicativo, o MATHCAD segue os mesmos padrões para gerenciamento de janelas. Isto quer dizer que podemos maximizar, minimizar, redimensionar, mover as janelas através dos procedimentos padrões do Windows. Também podemos rolar através de um documento usando as barras de rolagem.

4.2 Gerenciamento de Documentos Para salvar um documento temos duas opções no menu File: Save e Save As. Estas opções seguem os padrões de softwares para Windows. Para trabalhar com um documento que já foi salvo, use Open do menu File. O MATHCAD permite inserir o conteúdo de um documento MATHCAD diretamente dentro de outro. Para isto você pode abrir os dois documentos e usar os comando Cut/Copy e Paste para movê-los. Ou você pode escolher Insert Reference do menu Insert. Quando usar este comando você deve clicar com o mouse no lugar em que você quer inserir o documento. Assegure-se de ter clicado em um lugar vazio e não em uma região ocupada. Após executar este comando, você deve ficar com algo assim: Reference:E:\Leonardo\PET\MATHCAD 2001\Alguns testes com o Mathcad.mcd

Será exibido o caminho do arquivo pelo qual você está se referindo, desta maneira você pode retornar uma variável que foi definida neste arquivo. Para abrir este arquivo que você fez a referência basta dar um duplo clique como mouse o mesmo.

4.3 Imprimindo Para imprimir escolha Print Document do menu File. A caixa de diálogo dependerá do tipo de impressora que você está usando. As fontes disponíveis para o MATHCAD pelo sistema são classificadas em três tipos: - fontes disponíveis para impressora e monitor - fontes disponíveis somente para a impressora. Estas são marcadas com (*P) nas listas de fontes.

- fontes disponíveis somente para monitor. Estas são marcadas com (*S) nas listas de fontes.

4.4 Ajustando Margens Os documentos do MATHCAD têm três limites verticais associados: 1. Left Margin - A linha é invisível na janela. Quando você pressiona Enter em um documento em branco a cruz retorna para esta linha. Esta é a distância da borda esquerda da folha para a borda esquerda da área de impressão. 2. Right Margin - Aparece como uma linha vertical sólida na janela. Ela representa a borda direita da área de impressão. 3. Right Page Boundary - Aparece como uma linha vertical tracejada. Se não houver impressora selecionada, você não verá esta linha. Se você selecionar APrint Whole Width@ nas caixas de diálogo Page Setup ou Print, as regiões separadas por esta linha serão impressas em diferentes folhas de papel. Você pode controlar a localização das margens: 4. Para ajustar a margem esquerda, escolha no menu File os comandos Page Setup ou Print Document. A margem direita sempre fica no mesmo lugar na janela do documento. Quando você mudá-la, você verá que a linha limite de página se moverá. 5. A linha limite de página depende da impressora.

4.5 Quebras de Página 1. Soft Pagebreaks: Aparecem como linhas horizontais pontilhadas e dependem das configurações da impressora padrão. São inseridas automaticamente. 2. Hard Pagebreaks: São inseridas posicionando-se o cursor na linha apropriada e escolhendo Pagebreak do menu Insert. Para apagar uma Hard Pagebreak, selecione-a clicando com o botão esquerdo do mouse na dobra do extremo esquerdo da linha horizontal, marcando-a. Então escolha Cut do menu Edit ou pressione [Shift+Del].

4.6 TEXTOS No Sistema MATHCAD podem aparecer dois tipos de textos: Text Regions e Math Regions. As Math Regions são áreas de textos que podem aparecer em qualquer lugar do seu documento, servindo como um comentário às suas equações, gráficos, etc... Já as Text Regions são áreas onde somente textos aparecerão. A diferença é que o sistema MATHCAD ignora todo e qualquer tipo de texto e se o mesmo for especificado como Text Regions as fórmulas e/ou números que aparecerão nele serão, portanto, ignorados.

4.6.1 Criando uma Math Region Enquanto você está digitando um texto em uma região que admite apenas texto, clique em Math Region no menu Insert. Uma região matemática, isto é, que o MTHCAD é capaz de interpretar será criada. Após inserir a fórmula ou constante, basta continuar digitando o texto normalmente.

4.6.2 Criando uma Text Region Para criar uma região de texto, clique em Text Region no menu Insert e digite o texto normalmente, ou apenas digite uma letra e dê um espaço com a a barra de espaços.

4.6.3 Editando Textos

Quando você deseja selecionar uma porção de um texto, clique no texto e arraste o mouse. O MATHCAD destacará o texto selecionado em vídeo reverso. A partir daí, você pode utilizar os comandos COPY, CUT e PASTE do menu EDIT, tanto dentro do próprio documento como para qualquer outro programa compatível.

4.6.4 Mudando a Fonte, Tamanho, Estilo, Posição e Cor do Texto Selecione o texto a ser editado. Após, faça as mudanças desejadas como em um editor de texto comum, usando a barra de ferramentas. OBS: Ao mudar o tamanho das letras, a região onde se está trabalhando pode aumentar e se sobrepor a outras. Escolha SEPARETE REGIONS do menu FORMAT para resolver o problema. Você pode editar seu texto usando as opções disponíveis no menu FORMAT. Uma caixa de diálogo aparecerá com as opções.

CAPÍTULO 5: Formatação de resultados e equações 5.1 Formatando Equações e Resultados Quando é desejada a formatação da exibição de números (no de casas decimais, uso do i e j para números complexos,...), você pode usar a formatação de resultados para: 1. Documento Inteiro - GLOBAL FORMAT 2. Simples Resultado - LOCAL FORMAT

5.2 Executando a formatação Selecione NUMERICAL FORMAT do menu MATH. Aparecerá então uma caixa de diálogo, onde suas opções podem ser selecionadas.

Quando você digitar uma variável, MATHCAD a nomeia VARIABLES. O padrão

o de

uma variável, bem como o de uma constante é Times New Roman, tamanho 10. Se você quiser personalizar a formatação de equações, vá ao menu Format e escolha a primeira opção Equations. Aqui você pode escolher o nome da formatação pessoal: Se neste menu ao lado você escolher a opção Variables, as alterações que você fizer mudarão todas as variáveis do seu documento. Escolhendo a opção Constants, as alterações serão aplicadas somente às constantes. Se você preferir apenas formatar uma variável ou constante localmente, escolha uma das opções User 1, User 2... A variável da equação que for formatada só poderá ser recuperada mais tarde no documento se for escrita com a mesma formatação. Você pode formatar um único resultado: número, tabela, vetor, matriz, independentemente da formatação global. Para mudar o formato de um resultado particular, clique em qualquer lugar da equação a ser formatada, escolha RESULT do menu FORMAT ou clique duas vezes na equação. Aparecerá uma caixa de diálogo com as opções que você pode alterar. Você também pode aplicar formatos locais em tabelas, vetores ou matrizes, para isto, clique num destes e escolha X-Y PLOT, GRAPH no menu FORMAT (para os gráficos).

CAPÍTULO 6: Unidades e dimensões 6.1 Unidades e Dimensões O MATHCAD fornece quatro sistemas de unidades: MKS, CGS, US Custamary Units (pés, libras, segundos), SI. O sistema padrão é o SI, portanto ao iniciar o MATHCAD você o estará utilizando. Para efetuar a troca escolha OPTIONS do menu MATH na guia Unit System. Quando você escolher um sistema, todas as unidades referentes a ela estarão disponíveis.

6.2 Calculando com Unidades Se você definiu um sistema de unidades, você pode efetuar os cálculos com ele. O MATHCAD verifica se as equações estão consistentemente dimensionadas, fazendo as conversões necessárias. Havendo erro de unidades o MATHCAD acusará. Os erros mais comuns são: - conversão incorreta;

- unidades erradas ou incompatíveis.

6.3 Mostrando as Unidades dos Resultados Os resultados sempre aparecerão em termos de massa, peso, tempo e temperatura. Você pode fazer a conversão dessas dimensões colocando a unidade apropriada na caixa de seleção que aparecerá após a dimensão apresentada. A seguir pressione F9 ou clique em qualquer lugar fora do resultado obtido. A troca será automática.

6.4 Inserindo Unidades PréDefinidas Clique na caixa de seleção da unidade a direita do resultado. A seguir escolha UNIT do menu INSERT, ou pelo atalho [Ctrl] +[u]. Selecione a unidade desejada.

CAPÍTULO 7: Definição de funções 7.1 Equações e computação de resultados Neste capítulo iremos descrever as equações numéricas. Mais adiante estudaremos as funções simbólicas.

7.2 Definindo variáveis A definição de uma variável define o valor desta. Este valor deve constar em qualquer lugar acima da expressão onde a variável esteja contida. Para definir uma variável siga três passos: 1. Digite o nome da variável a ser definida; 2. Pressione a tecla “:” (Não esqueça que ela equivale a “:=”); 3. Digite a expressão. Essa expressão pode incluir números e qualquer variável já prédefinida.

7.3 Definindo uma função

Você pode definir sua própria função no Sistema MATHCAD. Uma função difere de uma variável, pois depende dos valores de seus argumentos. Você segue os mesmos passos de definição de uma variável. O modelo é o seguinte:

Nome := Expressão A principal diferença é que o nome inclui uma lista de argumentos. Exemplo (distância entre dois pontos): := x2 + y 2

Dist(x,y):=

(onde x e y são os argumentos)

Nunca use funções muito complicadas como argumentos. Uma vez definida uma função, esta estará disponível para ser usada em qualquer lugar a seguir em seu documento, assim como uma variável. Só não esqueça que se na definição da função existirem n argumentos, na hora do cálculo deverão existir também n valores. Exemplo:

f(x,a)=100.xa f(2,3)=800

7.4 Como o MATHCAD interpreta um documento? A interpretação segue o princípio de leitura:

Esquerda :'LUHLWD Cima ;%DL[R Isso significa que a definição de função e/ou variável envolvendo “:=” afetará tudo que estiver a direita e abaixo desta.

7.5 Definições globais As definições globais são extremamente iguais às definições locais, mas não interessa o local que a mesma aparece, pois ela será válida para todo o seu documento. Para definir globalmente, substitua o operando “:=” pelo operador ≡ (tecla ~). DICA: Na segunda barra de ferramentas da esquerda há um ícone de atalho ≡ . IMPORTANTE: Uma definição global pode ser inserida em qualquer lugar do seu documento que ela será interpretada pelo MATHCAD quando requerida em uma fórmula ou expressão, entretanto, se você nomear outra variável com outro valor, mas com o mesmo nome da dado à definição global, tudo que estiver abaixo dela receberá o seu valor e a definição global será ignorada.

7.6 Modos de Cálculo O sistema inclui dois métodos de cálculo: Automatic Calculatoin e Manual Calculation (este é o modo quando a opção Automatic Calculatoin está desabilitada). O primeiro calcula logo após o sinal “:=” e o segundo só efetua o cálculo quando você pressionar [F9]. A tecla F9 equivale a Calculate do menu Math. Para alterar entre os modos escolha Automatic Calculation do menu Math.

CUIDADO: Se você imprimir um documento que esteja no Manual Calculation e os dados não estão atualizados o MATHCAD não o irá atualizá-los. Quando o Automatic Calculation estiver selecionado, o MATHCAD irá exibir a instrução Auto na linha de mensagem. Para interromper um cálculo manual pressione ESC.

7.7 Desabilitando equações Clique na equação a ser desabilitada e escolha Properties do menu FORMAT, na guia Calculation habilite a opção Disable Evaluation. Um pequeno retângulo ao lado da equação indica que a mesma está desabilitada: X( t) := X0 + Y⋅ t

Para reabilitá-la pode proceder da mesma maneira ou pela janela de atalho, clicando com o botão direito do mouse sobre a equação e escolhendo a opção Enable Evaluation e o retângulo desaparecerá. Uma equação desabilitada não influencia nos cálculos do resto do documento.

7.8 Mensagens de erro Quando algum erro é detectado em seu documento uma mensagem de erro aparecerá na tela. Para saber mais sobre ela clique sobre a mesma e pressione [F1].

CAPÍTULO 8: Programação 8.1 Operador de programa: Para inserir o operador básico que define um programa no Mathcad, siga os sequintes passos: - clique em um espaço em branco; - clique em PROGRAMMING TOOLBAR no menu MATH; - clique em ADD LINE;

Um traço vertical com duas marcações é inserido no documento:

As marcações correspondem às linhas do programa. Um programa pode conter tantas linhas quantas forem necessárias. Para isso, basta clicar em uma linha e em ADD LINE. Expressões como as indicadas a seguir podem ser inseridas em um programa.

Expressões que não podem aparecer como linha em um programa são: 1.texto; 2.gráficos de qualquer tipo ou então = 3.expressões contendo atribuições O programa retorna um valor, um número ou um arranjo como qualquer função e operador no Mathcad. O valor do operador é o valor da última linha do programa. Por exemplo, quando pressionamos = em um programa como:

Toda linha do programa é calculada em ordem:

Mas o valor retornado pelo programa corresponde à última linha.

8.2 Comando de atribuição local: Conforme apresentado na seção 13.1, o Mathcad não permite o uso do operador := em uma linha de programa. Para que se possa atribuir um determinado valor a uma variável, existe um operador dwe atribuição local representado por: Para inseri-lo em uma linha de programa, clique em LOCAL DEFINITION dentro do menu PROGRAMMING:

←

Como se trata de uma atribuição local, o Mathcad não retorna o valor da variável atribuida fora do programa. f :=

Z ← 12 Z

Nesse exemplo, vê-se que o programa retorna o valor da última linha. Entretanto, fora do programa, a variável Z é indefida: f = 12 Z :=

8.3 Exemplo usando os operadores If e Otherwise: A seguir, tem-se um exemplo onde se utiliza os operadores If e Otherwise contidos no menu PROGRAMMING TOOLBAR. fib( n ) :=

1 if n

1

1 if n

2

( fib( n − 1) + fib( n − 2) ) otherwise

fib( 6) = 8

8.4 Exemplo usando o operador For e While: A seguir, tem-se um exemplo onde se utiliza os operadores For e While no menu PROGRAMMING TOOLBAR. Exemplo com For: p ( a , b , n ) :=

d←

b−a n

for i ∈ 0 .. n p i ← a + i⋅ d p

Exemplo com While: k( x) := x⋅ sin 

1

  x

Vals :=

V0 ← 0 i←1

 i  < .75   10   i  Vi ← k   10 

while k

i←i+ 1 V

8.5 Exemplo usando o operador Continue: A seguir, tem-se um exemplo onde se utiliza o operador Continue contido no menu PROGRAMMING TOOLBAR.

Quando a condição estabelecida após o operador Continue retorna um valor verdadeiro, a iteração muda para o próximo valor. O operador Continue não possui argumentos e não pode ser inserido digitando-se c-o-n-t-in-u-e, mas somente pelo menu PROGRAMMING TOOLBAR. Suas aplicaçoes limitan-se aos comandos For eWhile.

8.6 Exemplo usando o operador Return: A seguir tem-se um exemplo onde se utiliza o operador Return contido no menu PROGRAMMING TOOLBAR. a( c) :=

( return 1) if c

0

 return sin ( c)  otherwise   c   O operador Return é usado para finalizar a execução de um programa a qualquer linha e retornar um valor específico como resultado do programa. O operador Continue possui apenas um argumento e somente pode inserido pelo menu PROGRAMMING TOOLBAR.

8.7 Exemplo usando o operador Break: A seguir, tem-se um exemplo onde se utiliza o operador Break contido no menu PROGRAMMING TOOLBAR. Tri( n ) :=

for i ∈ 0 .. n − 1 for j ∈ n − 1 .. 0 A i , j ← 1 if i < j ( break) otherwise A

O operador Break é usado para finalizar a execução de um loop (For ou While) de programa antes que esse loop seja finalizado. Ele não possui argumentos.

CAPÍTULO 9: Vetores, arranjos e matrizes Assim como em álgebra, no Mathcad arranjos formados por uma única coluna são chamados de vetores e arranjos contendo mais de uma coluna são chamados de matrizes.

9.1.Criando um vetor ou matriz Existem três formas de criarmos um arranjo: - criando uma matriz com espaços em branco para serem preenchidos, como será visto neste capítulo; - criando uma matriz ou vetor através de seus índices; - por leitura de arquivos de dados.

9.2. Criando um Vetor Para criar um vetor no Mathcad, siga os seguintes passos: - clique em um espaço em branco; - escolha VECTOR AND MATRIX no menu MATH. Abrirá o menu MATRIX. Clique em MATRIX OR VECTOR que será aberta uma caixa de diálogo; - para criarmos, por exemplo, um vetor de 3 elementos, digite 3 ao lado de ROWS (linhas) e 1 ao lado de COLUMNS (colunas) e clique em OK. O Mathcad criará uma matriz com lugares para você inserir os valores. Com o mouse, selecione os locais e entre com os valores desejados. Após criado um vetor, podemos utilizá-lo para realizarmos cálculos. Por exemplo, vamos realizar uma soma de valores: - selecione o vetor; - digite o sinal A+@; - siga os passos descritos anteriormente para criar o outro vetor; - após inseridos os valores do novo vetor, pressione (=) para ver o resultado.

9.3. Criando uma Matriz Para criar uma matriz, siga os seguintes passos: - clique em um espaço em branco, - escolha VECTOR AND MATRIX no menu MATH. Abrirá o menu MATRIX. Clique em MATRIX OR VECTOR que será aberta uma caixa de diálogo; - digite o número de linhas em ROWS e de colunas em COLUMNS (colunas). Clique em OK. O Mathcad criará uma matriz com locais para inserirmos os valores desejados.

9.4. Mudando o Tamanho de uma Matriz Você pode mudar o tamanho de uma matriz inserindo ou deletando linhas ou colunas desta matriz. Para fazer isto, siga os seguintes passos: - clique no elemento em que se quer deletar uma linha ou coluna; - escolha VECTOR AND MATRIX no menu MATH. Abrirá o menu MATRIX. Clique em MATRIX OR VECTOR que será aberta uma caixa de diálogo; - digite o número de linhas e/ou colunas que se quer deletar ou inserir. Por exemplo, para deletar a coluna em que se encontra o elemento, digite 1 para COLUMNS e 0 para ROWS e clique em DELETE. Aqui está como o Mathcad insere ou deleta linhas, conforme o que você digita na caixa de diálogo: - se você insere linhas, o Mathcad cria uma linha em branco abaixo do elemento selecionado. Se você insere colunas, Mathcad cria colunas em branco ao lado direito do número selecionado. - para inserir uma linha acima da primeira linha ou uma coluna a esquerda da primeira coluna, selecione a matriz e proceda normalmente. - se você quer deletar linhas ou colunas, o Mathcad começa pela linha ou coluna em que se encontra o elemento selecionado. - se você digitar 0 para ROWS, o Mathcad não insere nem deleta linhas. O mesmo acontece para as colunas se for digitado 0 para COLUMNS. Note que quando você deleta uma linha ou coluna, o Mathcad simplesmente ignora estes valores. Para deletar toda uma matriz, selecione-a e use o comando CUT do menu EDIT.

9.5. Calculando com Arranjos Arranjos podem ser representados por variáveis. Para definir um vetor V, siga os passos: - clique num espaço em branco e digite V seguido de A:@. - siga os passos descritos no item 9.2 para criar o vetor. Depois de criado, você poderá usar este vetor em equações, utilizando apenas a letra V. Não utilize o mesmo nome para variáveis escalares e variáveis vetoriais. Isto irá simplesmente redefinir a variável.

9.6. Subscritos e Sobrescritos Subscritos são usados para nos referirmos a um único elemento de uma matriz e sobrescritos são usados para nos referirmos a uma coluna de uma matriz. Para usarmos o subscrito utilizamos a tecla A[@ e para o sobrescrito utilizamos [Ctrl] + 6.

9.6.1 Subscritos e Elementos de Vetores e Matrizes Para verificarmos o valor de um elemento de um vetor, usamos: v[o= Com este comando, o Mathcad exibe o elemento da primeira linha do vetor V. Deve-se notar que à primeira linha e coluna correspondem os índices [0,0]. Podemos, também, atribuir valores aos elementos de um vetor: v[2:6 Com este comando, o elemento contido na terceira linha do vetor V assume o valor 6. Se atribuirmos um valor a um elemento de um vetor não definido, os elementos anteriores serão preenchidos com zeros. Para matrizes, devemos proceder da mesma forma, porém utilizando dois índices, separados por vírgula: M[i,j=

9.6.2. Sobrescritos com Colunas de Matrizes Para se referir a uma coluna de uma matriz, pressione [Ctrl] + 6 e digite o número da coluna no local destinado para este fim. Se quisermos, por exemplo, exibir a segunda coluna de uma matriz M, procedemos: M < 1 >= Para se referir a uma linha de uma matriz, basta fazer a sua transposta e retirar a coluna correspondente. No exemplo anterior, para exibirmos a segunda linha de uma matriz M, procedemos da seguinte forma: TM< 1 >=

9.7. Mudando a Origem O default do Mathcad para arranjos inicia com o elemento zero, isto é, o primeiro elemento de um vetor V é o termo V0 e o primeiro elemento de uma matriz A é A0,0. Para mudar a origem, clique no menu MATH, OPTIONS e em BUILT-IN VARIABLES no menu MATH e mude a origem, ou entre com a definição ORIGN no início de seu documento.

ORIGN:=1 Obs.: deve ser escrito em letras maiúsculas.

9.8. Limites no Tamanho dos Arranjos O Mathcad possui alguns limites para o tamanho dos arranjos, na definição, entrada ou apresentação destes.

9.8.1. Limites para a Entrada de Arranjos Você não pode criar arranjos contendo mais de cem elementos. Esta limitação se aplica quando você cria um arranjo ou adiciona a um já existente.

9.8.2. Limites para a Apresentação de Arranjos O Mathcad apresenta as primeiras duzentas linhas ou colunas de um arranjo. Se o arranjo possui mais de duzentas linhas ou colunas o Mathcad usa uma elipse para indicar que a linha ou coluna está presente, mas não está mostrada.

9.8.3. Limites para o Tamanho dos Arranjos O tamanho de um arranjo depende da memória disponível em seu sistema. O usual está em torno de 1 milhão de elementos, nunca excedendo a 8 milhões.

9.9. Operadores e Funções 9.9.1. Operadores de Vetores e Matrizes A tabela abaixo descreve os operadores para vetores e matrizes: OPERADOR

length(V) last(V) max(M) min(M) M-1 MT |M| v⋅ w v× w  w eigenvals ( M ) eigenvecs ( M ) eigenvec ( M , v1)

RESULTADO

Indica a dimensão do vetor V Indica o índice do último elemento do vetor V Valor máximo da matriz M Valor mínimo da matriz M Matriz inversa de M Matriz transposta de M Calcula o determinante de M Produto escalar dos vetores V e W Produto vetorial dos vetores V e W Complexo conjugado do vetor W Autovalores da matriz M Autovetores da matriz M Autovetor da matriz M associado ao autovalor v1

∑v

Soma os elementos do vetor V

9.9.2. Funções para Vetores e Matrizes O Mathcad possui funções especiais para o tratamento de vetores e matrizes. A tabela abaixo descreve cada função e o efeito que ela provoca.

FUNÇÃO

rref(A) Re(B) Im(B)

RESULTADO

Realiza o escalonamento da matriz A Apresenta a parte real da matriz B Apresenta a parte imaginária da matriz B

9.10. Fazendo Cálculos em Paralelo Os cálculos em Mathcad podem resultar em simples valores ou resultar em matrizes ou vetores. Para isto você pode utilizar o operador de vetorização. Com esta operação, você pode multiplicar elemento por elemento de uma matriz, que é diferente de uma multiplicação de matrizes.

9.10.1. Como Aplicar o Operador de Vetorização em Expressões Para aplicar o operador de vetorização em expressões, siga os passos: - selecione a expressão que se quer aplicar a operação - pressione [Ctrl]+- para aplicar o operador de vetorização. O Mathcad coloca uma seta sobre a expressão.

9.10.2. Como o Operador de Vetorização muda o Cálculo da Expressão O operador calcula de forma escalar, um elemento de uma matriz pelo elemento correspondente de outra matriz. Alguns exemplos: - se V é um vetor, sin(V) seria ilegal. Porém, com o operador de vetorização, o cálculo pode ser realizado tirando-se o seno de cada elemento do vetor. O resultado é mostrado em um outro vetor. - se M é uma matriz, θM seria uma expressão incorreta. Porém, com o operador de vetorização é extraída a raiz de cada termo da matriz. 11.10 se V e W são vetores, então V.W significa o produto escalar de V e W. Porém, se você quiser multiplicar cada elemento de V pelo seu correspondente em W você deve usar o operador de vetorização.

CAPÍTULO 10: Estatística 10.1 Cálculo de parâmetros estatísticos 10.2 Histogramas hist(int,v) Retorna um vetor representando as freqüências com que os valores em Av@ caem no intervalo representado pelo vetor “int”. Int e v são dois vetores de números reais. O vetor resultante é um vetor menor que “int”.

Int deve estar em ordem crescente. Valores menores que o primeiro valor de int são ignorados. Um exemplo para o uso de histogramas pôde ser observado enquanto desenvolvíamos o diagrama para uma distribuição normal. A seguir, podemos ver outro exemplo de um histograma, plotado no MATHCAD: Histograma de Dados

127 200 lower f

upper

100 0 0

40

20

0

− 26.55

20

int

40 28.55

10.3 Interpolação 10.3.1 Interpolação linear O MATHCAD liga com linhas retas os pontos existentes.

linterp(vx, vy, x) vx e vy são vetores de mesmo tamanho usando para retornar um valor y linearmente interpolado de acordo com o terceiro argumento x. vx deve ter valores reais em ordem crescente. Exemplo de exercício envolvendo interpolação linear: i := 0 .. 5 Vxi := i Vyi := rnd( 1) Vxi = 0

Vyi =

1

1.268·10 -3

2

0.193

3

0.585

4

0.35

5

0.823 0.174

linterp( Vx , Vy , 1.5) = 0.389 x := 0 , 0.1 .. 5 Plotando o gráfico:

0.823

1

Vyi linterp( Vx, Vy, x) − 1.268× 10 3

0.5

0

0

2

4

Vxi , x

0

6 5

10.3.2 Interpolação de funções spline Suponha que você queira ajustar uma curva spline a pontos cujas coordenadas x e y estão nos vetores vx e vy. Neste exemplo, suponha que você queira a curva aproximada à uma linha reta nos pontos finais. Vs := lsplineVx ( , Vy)

interp( Vs , Vx, Vy, 1.5) = 0.446 1 0.823 0.9 0.8 0.7 Vyi 0.6 0.5 interp ( Vs , Vx, Vy, x) 0.4 0.3 0.2 0.1 − 3 1.268× 10 0

linterp é uma interpolação com reta, enquanto lspline utiliza outro método de interpolação

0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6 0

Vxi , x

5

A equação com a função Alspline@ computa o arranjo vs para a curva, usado para ajustar os pontos em vx e vy. A função Alspline@ faz a curva se aproximar de uma linha reta nos pontos finais. Uma vez que vs seja computado, a função Ainterp@ calcula os valores interpolados da curva. vx e vy devem ser vetores de mesmo tamanho. vx deve estar em ordem crescente.

-lspline- gera uma curva spline que aproxima uma reta nos pontos finais. -pspline- gera uma curva spline que aproxima uma parábola nos pontos finais. -cspline- gera uma curva spline que pode ser completamente cúbica nos pontos finais. -interp(vs,vx,vy,x)- usa os vetores vx, vy, vs, para retornar o valor y interpolado correspondente ao argumento x. Você pode gerar vs usando lpsline, pspline ou cspline. Usando os demais tipos de interpolação: Vs := pspline( Vx, Vy) interp( Vs , Vx, Vy, 1.5) = 0.452

1 0.85 0.7 0.55 Vyi 0.4 0.25 interp ( Vs , Vx, Vy, x) 0.1 0.05 0.2 0.35 − 4.224× 10− 3 0.5 0.835

0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6

Vxi , x

0

5

10.4 Interpolando um vetor de pontos Você pode usar o operador de vetorização para retornar todo um vetor de valores interpolados correspondente a um vetor de pontos. Isto funciona com Ainterp@ e A linterp@. Para aplicar o operador de vetorização à uma função, clique no nome da função e pressione [T] para selecioná-la. Então pressione [ctrl]. interp( Vs , Vx, Vy , 1.5) = 0.465 1 0.85 0.7 0.55 Vyi 0.4 0.25 interp ( Vs , Vx, Vy, x) 0.1 0.05 0.2 0.35 − 0.058 0.5 0.874

0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6

0

Vxi , x

5

10.5 Funções de distribuição Em muitos problemas se torna matematicamente mais simples considerar um espaço amostral “idealizado” para uma variável X, no qual todos os números reais (em algum intervalo específico) passam a ser considerados como resultados possíveis. Desta maneira somos levados as variáveis aleatórias contínuas, principalmente quando as observações referem-se a medidas como comprimento, peso, temperatura, etc. Com o MATHCAD é possível calcular e traçar diagramas amplamente utilizados nas mais variadas disciplinas que envolvem o cálculo estatístico, como, por exemplo:

⇒ Distribuição Normal: Entre com os valores de: - “n” (número de desvios aleatórios): n := 1000 - entre com “µ”:

µ := 0 - digite o valor do desvio padrão a ser considerado: σ := 2 - forneça o número de barras para o histograma: bin := 20 Após entrarmos com os valores das variáveis a serem utilizadas, entramos com as funções:

N := rnorm(n , µ , σ ) Vetor com os desvios randômicos Informações sobre a distribuição de freqüência: lower := floor( min( N) ) h :=

upper := ceil( max( N ) )

upper − lower bin

j := 0 .. bin

intj := lower + h ⋅ j f := hist( int, N )

int := int + 0.5 ⋅ h

Agora, para obtermos a curva de distribuição normal:

F(x) := n ⋅ h ⋅ dnorm(x , µ , σ ) Plotando o gráfico, obtemos:

129.161

150 −σ

σ

100 f  → F( int) 50 0

0

5 µ−4⋅σ

0 int

5

Histogram Normal distribution

µ + 4⋅σ

A distribuição normal de freqüências é apenas um dos mais diversos exemplos de funções que podemos citar, pois além dessas, podemos calcular usando o MATHCAD várias outras funções estatísticas, como: Distribuição Exponencial, Distribuição de Qui-Quadrado, Distribuição “T” de Student, etc.

10.6 Funções para regressão linear Muitas vezes é de interesse estudar-se um elemento em relação a dois ou mais tributos ou variáveis simultaneamente.

Nesses casos, presume-se que pelo menos duas observações são feitas sobre cada elemento da amostra. A amostra consistirá, então, de pares de valores, um valor para cada uma das variáveis, designadas X e Y. O objetivo visado quando se registra pares de valores (observações) em uma amostra, é o estudo de relações entre as variáveis X e Y. Para a análise de regressão interessam principalmente os casos em que a variação de um atributo é sensivelmente dependente do outro atributo. O problema consiste em estabelecer a função matemática que melhor exprime a relação existente entre as duas variáveis. Simbolicamente, a relação é expressa por uma equação de regressão e graficamente por uma curva de regressão. Estas funções trabalham com vetores Vx e Vy. Esses vetores devem ter o mesmo número de elementos.

10.7 Números randômicos O MATHCAD contém uma função para gerar números randômicos uniformemente distribuídos.

rnd (x) - retorna números randômicos uniformemente distribuídos entre 0 e x. Cada vez que uma equação contendo rnd é recalculada, o MATHCAD gerará novos valores randômicos. Para forçar o MATHCAD a gerar novos números, clique na equação com rnd e pressione [F9]. Por exemplo, seja a variável “t”: t := 1 , 2 .. 15

Para randomizar esta variável: rnd ( t ) = 0.166 0.902 0.171 3.133 2.599 5.256 6.691 4.315 4.159 8.622 8.576 11.962 7.949 3.727 12.602

A função rnd tem um “seed value” associado a ela. Cada vez que você resetar o valor, o MATHCAD gerará novos números ranômicos baseados neste “seed”. Para mudar o “seed value”, acesse o menu “Math”- “Options” e então aparecerá uma caixa de texto onde você poderá ajustar a função “seed”.

10.8 Funções de classificação O MATHCAD inclui 3 funções para classificar arranjos e uma para reverter a ordem de seus elementos.

sort (v) - retorna os elementos de um vetor v classificado em ordem crescente. Seja a matriz “x”: 1 4 7 x :=  5 6 3    8 9 2 csort (A,n) - classifica as linhas de uma matriz A de acordo com os valores na n ésima coluna, em ordem crescente. O resultado tem o mesmo tamanho de A. 8 9 2 csort ( x, 2) =  5 6 3    1 4 7 rsort (A,n) - classifica as colunas da matriz A de acordo com os valores da n ésima linha, em ordem crescente. O resultado tem o mesmo tamanho de A. 7 1 4 rsort ( x, 2) =  3 5 6    2 8 9

CAPÍTULO 11: Cálculo 10.1 Raízes de um polinômio: O Mathcad dispõe das função polyroots para encontrar as raízes de um polinômio de ordem “n”. Primeiramente, insere-se o polinômio cujas raízes se deseja determinar: 3

p ( x) := x − 10x + 2

Cria-se um vetor de coeficientes começando pelo termo constante:  2  −10  v :=   0  Para retornar as raízes, tem-se:  1    r := polyroots ( v )

 −3.258 r =  0.201     3.057 

10.2 Simplificação algébrica: -

Para simplificar uma expressão algébrica, siga os seguintes passos:

-

Clique em um espaço em branco; Escolha EVALUATION TOOLBAR no menu MATH Clique em SYMBOLIC KEYYWORD EVALUATION; Insira a expressão a ser simplificada e digite SIMPLIFY; ( x + 1) ⋅ ( x − 1) ( x + 1)

2

simplify →

1 ( x + 1)

⋅ ( x − 1) ⋅ y

10.3 Expansão algébrica -

Para expandir uma expressão algébrica, siga os seguintes passos: Clique em um espaço em branco; Escolha EVALUATION TOOLBAR no menu MATH Clique em SYMBOLIC KEYWORD EVALUATION; Insira a expressão e digite EXPAND: 2

2

( a + b ) expand → a + 2⋅ a⋅ b + b

2

10.4 Expansão de uma função em séries de potência: Para expandir uma função em séries de potência, siga os seguintes passos: - Clique em um espaço em branco; - Escolha SYMBOLIC KEYWORD TOOLBAR no menu MATH - Clique em SERIES; - Insira a expressão, a variável independente e o número de termos da série. x

e series , x, 5 → 1 + x +

1 2

1

2

⋅x +

6

3

⋅x +

1 24

4

⋅x

10.5 Solução de sistemas lineares e não-lineares: -

Para resolver um sistema linear ou não-linear, siga os seguintes passos: Clique em um espaço em branco; Escolha SYMBOLIC KEYWORD TOOLBAR no menu MATH Clique em SOLVE; Insira o sistema a ser resolvido e as variáveis a serem determinadas.

 1⋅ 5 − 1  2 x 2  x2 + y 1      solve ,   →  y  x− y 0   −1 − 1 ⋅ 5  2 2

   0.618 0.618   =  −1 1 −1.618 −1.618   − ⋅ 5 2 2  1 2

1

⋅ 5−

2

10.6 Limites -

Para calcular o limite de uma função, siga os seguintes passos: Clique em um espaço em branco; Escolha CALCULUS TOOLBAR; Clique no operador de limites; Insira a função, a variável independente e o ponto no qual deseja calcular o limite da função; Utilize o comando EVALUATE SYMBOLICALLY para determinar o valor do limite.

lim + x→ a

3⋅ a + b 2

x

→

1 a

2

⋅ ( 3⋅ a + b )

10.7 Derivadas: -

Para calcular a derivada de uma função, siga os seguintes passos: Clique em um espaço em branco; Escolha CALCULUS TOOLBAR; Clique no operador de derivadas; Insira a função e a variável em relação à qual a função será derivada Utilize o comando EVALUATE SYMBOLICALLY para determinar o valor do limite.

(

)

d 2 x + x → 2⋅ x + 1 dx

10.8 Integrais -

Para calcular a integral definida ou indefinida de uma função, siga os seguintes passos: Clique em um espaço em branco; Escolha CALCULUS TOOLBAR; Clique no operador de integrais; Insira a função e a variável em relação à qual a função será integrada; Utilize o comando EVALUATE SYMBOLICALLY para determinar o valor do limite. ⌠ 3 1 4  x dx → ⋅ x 4 ⌡

10.9 Equações diferenciais ordinárias: Ao resolver equações diferenciais, o Mathcad não apresente soluções simbólicas, mas sim soluções numéricas dentro do intervalo especificado. Para isso, utiliza SOLVERS que fornecem uma “função” constituída por um conjunto de valores que se aproximam da solução da equação. Para determinar as soluções de uma equação diferencial ordinária utilizando o SOLVER Odesolve, sigas os seguintes passos: - Clique em um espaço em branco; - Escreva a palavra Given, mas não como texto; - Entre com a equação diferencial lembrando-se de: 1. Usar o operador booleano = para escrever equações; 2. Usar o operador d d

e

d d

para especificar a derivada primeira (y’(x), a derivada

Segunda y’’(x) e assim por diante; Obs. Pressione [CTRL]F7 para obter (‘); 3. Sempre usar a notação f(x) para a função desconhecida. Nunca escreva somente f. Exemplificando uma equação, tem-se: 2

x y''( x) − xy'( x) + 10y ( x)

0

- entre com as condições iniciais da equação diferencial; y ( 1)

0

y' ( 1)

3

- por último, encerre o bloco iniciado pela palavra Given escrevendo: nome da função: = Odesolve(variável independente, ponto final do intervalo) para o exemplo acima, tem-se: y ( x) := odesolve ( x, 150)

- por último, plote um gráfico y(x) em função de x para verificar a solução numérica da equação. Given 2

x y''( x) − xy'( x) + 10y ( x) y ( 0)

0

y' ( 0)

0

3

y ( x) := odesolve ( x, 150) y ( x) := x⋅ sin ( 3 ln( x) )

20

20

y( x) 0

− 10

0

5

0.02

10 x

15

20 20

Observa-se que os gráficos da solução numérica y calculada pelo Mathcad e da solução simbólica ysymbolic que já se conhecia previamente (essa equação diferencial foi utilizada apenas como exemplo para se entender como o Mathcad resolve equações diferencias) se superpõem perfeitamente dentro do intervalo especificado.

10.10 Transformada de Laplace: Para calcular a Transformada de Laplace de uma função, siga os seguintes passos: - clique em um espaço em branco; - entre com a função; - clique em SYMBOLIC KEYWORD TOOLBAR; - clique em LAPLACE; - entre com a variável a ser transformada;

exp( −a⋅ t) laplace , t →

1 ( s + a)

para realizar a Transformada Inversa da Laplace, siga os seguintes passos: - clique em um espaço em branco; - entre com a função; - clique em SYMBOLIC KEYWORD TOOLBAR; - clique em INVLAPLACE; - entre com a variável a ser transformada; 1 s+a

invlaplace , s → exp( −a⋅ t )

11.6 Transformadas de Fourier Quando existe material ferromagnético, semicondutor, e outros dispositivos não lineares, a tensão e/ou a corrente não são senoidais. Por exemplo, num alternador com um campo girante e uma armadura (estator), que contém ranhuras e dentes na superfície, torna esta descontínua. A onda da tensão original pode ser decomposta em outras. A onda cuja freqüência é a mesma da original é chamada “fundamental”, e as outras são chamadas “harmônicas”. A segunda harmônica tem o dobro da fundamental, a terceira o triplo e assim por diante. Expressando-se matematicamente, qualquer onda periódica “f(t)” pode ser escrita por série de Fourier, ou série trigonométrica, que é uma série de senos e cossenos que a representa no tempo. A função acima nos dá o valor instantâneo de f(t), mas: ∞

 a0  + (a n⋅ sin (n⋅ ω⋅ t) + b n cos (n⋅ ω⋅ t))   2  n =1

∑

f ( t) := 

T

a0 := 



T

⌠2 2   ⋅  f ( t ) dt T  ⌡− T

a n := 



⌠2 2   ⋅  f ( t ) sin (n ⋅ ω⋅ t ) d t T  ⌡− T

2

2 T

b n := 



⌠2 2   ⋅  f ( t) cos (n ⋅ ω⋅ t ) d t T  ⌡− T 2

As integrais podem ser facilmente resolvidas pelo MATHCAD, bastando para isso ter-se um conhecimento básico prévio do funcionamento dessa ferramenta. Chama-se análise harmônica o processo de decomposição de uma onda complexa em sua fundamental e harmônicos. O número de termos dependerá da exatidão com que se deseja expressar a onda matematicamente. OBS: Estas funções só se aplicam a vetores e a matrizes. Você não pode usá-las com funções. -Use fft e ifft se: Os vetores de dados no domínio do tempo são reais e o vetor de dados tem 2m elementos. -Use cfft e icfft em todos os outros casos.

11.7 Transformadas de Fourier para valores reais Com 2m pontos reais, pode-se usar o par de transformada de Fourier fft/ifft.

fft(v)- retorna a transformada de Fourier de um vetor de 2m elementos de valores reais representando medidas em intervalos regulares de tempo. Os elementos do vetor retornados por fft satisfazem a seguinte equação. cj=

1 n

n -1

∑v

j

k

• e2πi( n ) k

k =0

n - número de elementos em v i - unidade imaginária

ifft(v) - retorna a transformada inversa de Fourier de um vetor de dados representando valores no domínio da freqüência. A transformada inversa é real. Ifft é relacionado com: j 1 n -1 d j= wk • e- 2πi( n )k ∑ n k =0 w - vetor dos conjugados de cada elemento de V.

11.8 Transformadas de Fourier para valores complexos cfft (A) - retorna a transformada rápida de Fourier de um vetor ou matriz complexa representando medidas de intervalos iguais no domínio do tempo. O vetor retornado é do mesmo tamanho do vetor que foi usado como argumento. Icfft (A) - retorna a transformada de Fourier inversa de um vetor ou matriz de dados representando valores no domínio das freqüências. O resultado é um vetor representando valores no domínio do tempo. icfft retorna um arranjo do mesmo tamanho do argumento.

11.9. Formas alternadas da transformada de Fourier Algumas aplicações podem requerer uma ligeira modificação da transformada de Fourier discreta daquelas oferecidas pelo MATHCAD.

F(v) =

v 1 n f( τ ) • e-2πi( n )τ ∑ n τ =1 n

τ

f( τ ) = ∑ F(v) • e2π ( n )v v=1

Para usar essas definições no lugar das apresentadas na última seção, use as funções FFT, IFFT, CFFT e ICFFT. Essas funções são usadas do mesmo modo que as funções discutidas acima. Resolveremos a seguir, um simples exemplo de uma Transformada de Fourier, usando a barra de ferramenta “Symbolic”. Vá no menu “View” – “Toolbars” e lá selecione a barra de ferramentas desejada. Ela ficará posicionada em qualquer ponto da tela em que o usuário achar mais apropriado.

Vamos desenvolver a função sen(1000t): sin( 1000t) fourier, t → −1i⋅ π⋅ ∆ (ω − 1000) + 1i⋅ π⋅ ∆ (ω + 1000) Veremos agora, um exemplo bastante útil envolvendo transformadas de Fourier e os recursos de programação do MATHCAD. Essas linhas de programação podem ser encontradas na barra de ferramentas “Programming” do menu “View”, da mesma forma que a barra de ferramentas “Symbolic”

.

−L ≤ X ≤ L f (X) :=

1

if 0 ≤ X ≤ 1

(−X) if −1 ≤ X < 0 f ( X − 2) if X > 1

L := 1 Definindo a ordem da aproximação (N):

N := 20 Programa para os coeficientes da transformada

 1 ⌠L   ⋅ f ( X) dX  0〉 〈 fc( f , N , L) := R ←  2 ⋅L ⌡− L    0   for n ∈ 1 .. N

 ⌠ L  1   n⋅π ⋅X   ⋅ ⋅ f ( X ) cos d X   L    L   ⌡− L  〈n〉 R ←   1 ⌠L   n⋅π ⋅X  dX   ⋅ f ( X) ⋅sin   L  L   ⌡− L  T

R

res := fc( f , N , L) A := res〈 0〉 B := res〈1〉

N

p ( X) := A0 +

∑

n

1.07

=1

 A cos  n⋅π ⋅X  B sin n⋅π ⋅X    n⋅   + n⋅     L   L 

1.5 1

f ( X) p ( X)

0.5 0

− 0.033

0.5

10

− 10

5

0

X

5

10 10

11.10 Transformadas de Laplace Surpreendentemente, a versão 2000 do MATHCAD nos auxilia no cálculo de um dos métodos de solução de equações diferenciais mais utilizados dentro da Engenharia Elétrica: as famosas Transformadas de Laplace. Sabemos que, enquanto as Transformadas de Fourier simplificam uma equação no domínio do tempo, as Transformadas de Laplace trabalham sobre o domínio da freqüência. As vantagens destas transformadas estão no fato de que somos levados a simplificar uma equação diferencial por demasiada complexa em uma equação polinomial, de relativa facilidade para análise. Começaremos por um exemplo bastante simples de transformada: Suponhamos que queiramos saber o valor da transformada da função f(t) = sen(ω.t).

Para tanto, basta digitar a função, seleciona-la mantendo o cursor sobre a mesma e ir no menu “Symbolics” – “Transform” – “Laplace”, como mostra a figura a seguir:

Outra maneira mais fácil de acessar esta função é a de habilitar a barra de ferramentas “Symbolic” Então, resolvendo o nosso exemplo: f ( t ) := sin (ω⋅ t )

Utilizando o menu “Symbolic”: f ( t) laplace, t →

ω

(s 2 + ω2)

Observamos que não é obrigatoriamente necessário que as variáveis tenham seu valor prédefinido, pois o MATHCAD resolve a função simbolicamente. Vamos testar agora, a função Transformada Inversa de Laplace para obter duas funções de especial importância na Engenharia: as funções impulso unitário ou Delta de Dirac e o degrau unitário. Sabemos que as transformadas destas funções são, respectivamente, 1 e 1/S, portanto: 1 invlaplace , t → ∆ ( t ) 1 1 invlaplace , t → ⋅ ∆ ( t) S S OBS: Como a barra de ferramentas “Symbolic” é bastante utilizada, sugere-se que o usuário a mantenha habilitada na tela, pois muitas de suas ferramentas são usadas durante a resolução de equações mais elaboradas. Tentaremos agora resolver uma transformada um pouco mais elaborada: f ( t) := 3e

O resultado é

− 2t

−t

+ 4e cos ( 3t + 4) + t⋅ e

−t

f ( t ) laplace , t →

3 ( s + 2)

+ 4⋅

[ ( s + 1) ⋅ cos ( 4) − 3⋅ sin ( 4) ]

( s + 1) + 9 2

+

1 ( s + 1)

2

Vamos verificar a transformada inversa de Laplace: F( S) :=

1

(2

2

S S +ω

F( S) invlaplace , S →

1 ω

2

2

) 1

⋅t −

ω

3

⋅ sin (ω⋅ t )

CAPÍTULO 12 Este capítulo mostra como resolver equações simples com uma só variável e sistemas com mais de uma variável.

12.1 Usando a função ROOT Para resolver a equação: 3

2

y − 4y + y + 6

0

usa-se a função ROOT. Exemplo:

(

3

2

f ( y) := root y − 4y + y + 6, y

)

Logo depois digite f (y) → para ver o resultado da expressão: f ( y ) → ( 2 3 −1 )

12.2 Usando a função FIND Usada para resolver equações simples e sistemas de equações. Exemplo: z := 4

Given 3

4

(A variável “z” é inicializada ) (Aqui declara-se os dados da equação com ”Given” )

z − z + 4z a := find( z)

2

z

("a" recebe o valor de x que satisfaz a equação.)

a = 1.743

Obs: Para colocar o sinal de (=) digite [Ctrl] = . Num sistema de equações usa-se a função FIND fazendo o resultado aparecer na forma de um vetor. OBS: A função FIND pode ser usada com qualquer tipo de equação.

NOTA: Quando o sistema ou equação não tem solução como x2 =-3 aparecerá a mensagem "did not find solution". Em um sistema que possua mais constantes que variáveis a resposta só é fornecida para apenas duas variáveis de cada vez.

reverse (v), reverse (A) - reverte a ordem dos elementos de um vetor v ou das linhas da matriz A.