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• Lucia Gonzalez

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Escuela Superior Integral de

MATHCAD 2000 Este programa es una potente herramienta de Cálculo Matemático. Mathcad es un estandart en software de cálculo matemático, utilizado en el mundo entero por profesionales técnicos, educadores , colegios e industrias. Combina la interface de documento de una hoja de cálculo con la interface de un procesador de textos. Además, las habilidades computacionales de Mathcad van de sumar una columna de números, a evaluar integrales, derivadas, resolver sistemas de ecuaciones, ecuaciones diferenciales, cálculo estadístico, cálculo algebraico y muchos otros tipos de Análisis Matemáticos. Usted puede poner ecuaciones, textos, y gráficos en cualquier parte de la hoja de Mathcad. Las ecuaciones son calculadas y se muestran los resultados. En cuanto usted haga un cambio en cualquier parte de su hoja, Mathcad pone al día resultados, y vuelve a dibujar gráficos. Cuando usted comienza a trabajar con Mathcad 2000, observa la siguiente ventana, denominado escritorio de Mathcad, que consta de los siguientes componentes:

Barra Herramienta Estándar Menú de Opciones Barra Herramienta Formato

Barra Herramienta Math

Hoja de trabajo de Mathcad 2000

Para conservar espacio de la pantalla, usted puede mostrar o puede esconder éstas y otras barras de herramientas que se usan desde el menú de opciones View. Si usted prefiere tener estos elementos en otra parte de la pantalla, usted puede moverlos alrededor de su ventana. Cuando usted termina y re-abre Mathcad, los elementos se posicionan en el lugar que estaban cuando usted terminó. Menú Opciones: En él se encuentran todas las diferentes opciones con las que cuenta el programa. Estas opciones estan agrupadas por categorías según la función que cumplan.

Ing. Cristian A. Sandri

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Ing. Alejandro M. Dequino

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Barra de Herramientas Estándar: En esta barra se agrupa una serie de botones que hacen referencia a una serie de acciones comunes en todos los programas de entorno Windows, como ser, Guardar, Imprimir, Deshacer, Abrir etc. Nuevo Guardar Imprimir Ortografía Copiar De shacer Rehacer Funciones

Abrir

Vista Previa

Cortar

Pegar

Insertar Unidades

Porcentaje de Visualización Ayuda

Calcula r

Barra de Herramientas Formato: Contiene botones que especifican características del conjunto de caracteres en ecuaciones y texto. Estos botones me permiten elegir el tamaño y tipo de letra de un texto, el tipo de alineación, el estilo de la letra, etc.

Estilo Texto

Tipo de Letra

Tamaño

Neg rita Cursiva

Subrayado

Alineación

Barra de Herramientas Math: Los botones en la Barra de Herramienta Math le dan acceso rápido a las otras Barras matemáticas. Para acceder a estas otras barras debemos pulsar el botón correspondiente de la herramienta. Son en total 9 botones con lo que se accede a 9 barras de herramientas matemáticas.

Estas herramientas son las siguientes:

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•

Calculator: Estos botones dan acceso rápido a las operaciones matemáticas y funciones más comunes.

•

Graph:Los botones permiten ingresar diferentes tipos de gráficas en 2D y 3D.

•

Vector and Matrix: Permite definir vectores y matrices.

•

Evaluation: Los botones de Evaluación le dan acceso rápido a la evaluación y personalización de operadores.

•

Calculus: Me permite utilizar operaciones de cálculo como integrales, derivadas y límites.

•

Boolean: Permite utilizar operadores lógicos y booleanos.

•

Programming: Me permite generar cálculos recursivos, con condiciones, estructuras de desición etc.

•

Greek: Permite elegir diferentes símbolos griegos.

•

Symbolic Keyword: Contiene botones que permiten asumir diferentes posturas en función de ciertos condicionamientos.

2

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Las barras matemáticas que hemos descripto brevemente, se muestran debajo. Podemos adelantar que las barras más utilizadas en nuestros trabajos, corresponden a Calculator, Graph, Evaluation, Matrix, Calculus y Greek.

Todas estas herramientas pueden ser visualizadas u ocultadas, picando con el ratón en el botón correspondiente de la barra Math.

Realizar un Cálculo Simple Para realizar un cálculo numérico simple, debemos realizar lo siguiente: 1_ Debemos hacer un click en cualquier lugar de la hoja de trabajo.Verá aparecer una pequeña cruz. Desde este punto tipeamos la expresión matemática que queremos realizar.

3 ⋅ 69 ⋅ 7 10

2

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Para definir la operación, tipeamos la expresión ayudandonos de la herramienta Calculator, que nos permiten ingresar operaciones cuadráticas, raices, división, logaritmo, tangente, etc. Para seleccionar los diferentes términos se pulsa la barra espaciadora sucesivamente, con lo que se muestra una línea azul indicando el término seleccionado.

3

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2_ Evaluamos la expresión apretando el botón pulsando la tecla = del teclado

de la barra Calculator, o bien directamente

2

3 ⋅ 69 ⋅ 7 = 122.107 10

El resultado se muestra a la derecha de la operación.

Los operadores más comunes pueden ser ingresados con las siguientes teclas, del teclado numérico. + / * .

Suma Menos División Multiplicación Coma Decimal

Definición de una Funcion Simple 1_ Debemos definir la función que queremos evaluar, escribiendo el nombre de la función con su variable. La definición de la función se establece con el botón de la herramienta Calculator o presionando la tecla " : ".

f ( x) := 2_ A continuación expresamos la función que queremos evaluar.

f ( x) := x + 2 De esta manera queda definida la función f(t) Se puede usar esta función evaluando la expresión para diferentes valores de t. Simplemente reemplace t con un número apropiado.

3_ Podemos determinar valores en diferentes puntos de la función, dando el valor de la variable, y apretando el botón de la barra Calculator, o presionando la tecla " = ".

f ( 1) = 3

f ( − 4) = − 2

f ( 3) = 5

f ( − 2) = 0

4_ Podemos evaluar la función para un rango determinado de valores de la variable t. Primeramente debe definir un rango de valores de la variable tipeando:

t := 10 Luego debe indicar el segundo valor que quiere evaluar indicando

t := 10 , 11

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Por último expresamos el último valor a evaluar apretando el botón tipeando

de la barra de herramientas y

t := 10 , 11 .. 20 La función será evaluada en los puntos 10 hasta 20 saltando de a una unidad. Para ver el resultado debe expresar la función tipeando f (t)=

f ( t) = 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Se puede realizar en forma muy simple una gráfica de la función, representando los diferentes valores que adopta la función, para diferentes valores de la variable.

5_ Para realizar un gráfico de la función anterior, primeramente definimos el intervalo de cálculo de la variable, mediante el botón de la barra Calcuator, luego de haber definido la variable.

x := −10 .. 10

La gráfica se realizará entre estos puntos de la variable x

6_ Insertamos el gráfico x-y Plot mediante la tecla

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de la barra Graph.

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7_ En uno de los dos puntos negros de la gráfica debemos picar y expresar el nombre de la función que queremos graficar, y en el otro punto la variable de la función. En este caso la gráfica resultante es la siguiente.

15

10

5 f ( x) 0

5

10

10

5

0

5

10

x 8_ Se puede modificar el tamaño de la gráfica, seleccionando el gráfico y tirando de unos puntos negros que aparecen en las esquinas del mismo.

Definición de una función compleja A continuación , como ejemplo definiremos una función un poco más compleja. Para ello vamos, a hacer uso de la barra espaciadora que nos permite ir seleccionando de a uno o más términos de la función. Tomaremos como ejemplo la siguiente función. 2

x− 3⋅a

−4 + y + 1 + π 1-

Tipee x 3 * a^2. Esta expresión es el numerador de la función.

2Presione la barra espaciadora. Cada vez que usted presiona la barra espaciadora, la línea azul de edición abarca un término más. Necesita presionar tres veces la barra espaciadora para seleccionar todos los términos de la expresión.

3Presione la tecla para crear una barra de división que abarca todos los términos de la expresión. El cursor ahora pasa al denominador, para poder ingresar los términos del mismo.

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4Tipee ahora 4 y clikee el botón en la bajo el radical para completar el denominador.

barra de herramientas calculator. Entonces tipee y + 1

5Para agregar un término fuera del radical, presionamos la barra espaciadora, de esta forma la línea de edición abarca todo el radical. Luego presiona la tecla t que suma todo el término del radical.

6-

Por último clicleo el botón

de la barra de herramientas Greekpara terminar la función

Si deseo modificar algún elemento de la función, se debe hacer clic con el ratón en el elemento o término a modificar, borrar el mismo con la tecla BackSpace, e insertar el nuevo valor.

Ejercitación de Funciones Lineales

1_ Determinar los valores de las siguientes funciones, para x = -10, -5 , 0, 2, 5, 10

f ( x) := 2 ⋅ x + 1

g( x) := −7 ⋅ x − 7

h( x) :=

8⋅x −4 3

2_ Hacer los gráficos de las funciones anteriormente descriptas.

3_ Determinar en un mismo gráfico, las graficas de las 2 funciones siguientes, y el punto donde se intersectan.

f ( x) := 2 ⋅ x − 1

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g( x) := −2 ⋅ x

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Funciones Cuadráticas Cuando queremos definir una función cuadrática, o que la variable esta elevada a una potencia cualquiera, debemos utilizar el botón de la barra Calculator para elevar la variable. 2

h( x) := x + 1 ⋅ x − 1

x := −2 .. 2

Graficamos entre los puntos -2 y 2

A continuación graficamos la función. 6

4

h ( x)

2

0

2

2

1

0

1

2

x Podemos observar que la gráfica no está bien definida. esto se debe a que el programa para realizar la gráfica evalúa la función para valores de números enteros, y une estos puntos con líneas rectas. Como el intervalo que estamos graficando es muy pequeño (entre -2 y 2), el programa evalua la función en los puntos -2, -1, 0, 1, 2 y los une con líneas rectas. Como se puede apreciar tenemos pocos puntos para graficar. Para mejorar la gráfica, lo que se hace es aumentar el número de puntos en los que se evalúa la gráfica. se agrega a la definición del intervalo de graficación un segundo valor que es cercano al primer valor de graficación.

x := −2 , −1.9 .. 2

De esta manera la función será evaluada primero en el punto -2, luego en el punto -1.9 y así sucesivamente hasta llegar a 2, con lo cual tenemos 50 puntos para construir la gráfica

Los 2 primeros números del intervalo de cálculo (-2, -1.9), me definen la frecuencia con la que varía la variable ( 0.1 ). 6

4 Como se puede observar la gráfica a mejorado notablemente. h ( x)

2

0

2

2

1

0

1

2

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Ejercitación de funciones cuadráticas _ Determina la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas 2

1_

f ( x) := x − 4 ⋅ x + 3

2_

h( x) := −2 ⋅ x + 3 ⋅ x − 2

3_

t ( x) := x − 3

(

2

)

2

Representación de dos o más funciones en una misma gráfica. Existen ocaciones en las que se quieren comparar 2 funciones o más, por lo tanto es útil observalas a todas en la misma gráfica. Para ello se deben definir las 2 funciones normalmente.

f ( x) := x + 2

g( x) := 2 − x

Luego definimos el intervalo de graficación de la variable para las dos funciones.

x := −10 .. 10 Por último insertamos un gráfico x-y Plot, e ingresamos el nombre de las 2 funciones separadas por una coma. Cuando insertamos la coma el programa nos hace lugar debajo para insertar la segunda función a graficar.

15

El programa automáticamente asigna diferentes colores y estilos a cada una de las trazas de la gráfica.

10 f ( x) g ( x)

5

Si nuevamente inserto una coma en el espacio de los nombres de las funciones, automaticamente el programa me hace espacio para agregar una nueva función.

0 5 10

10

5

0

5

10

x _ Grafica las 2 funciones en una mismas gráfica, y extrae tus propias conclusiones 2

f ( x) := 2 ⋅ x

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2

h( x) := −3 ⋅ x

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Evaluación de una función con coeficientes En muchas ocasiones, se necesita evaluar como varía la gráfica de una función, cuando a una constante o coeficiente le damos diferentes valores. Por ejemplo podemos evaluar como varía la función cuadrática, cuando variamos el coeficiente a de la misma en 4 valores diferentes. Debemos definir la función como una función de 2 variables, x y a.

2

f ( x , a) := a ⋅ x

x := −10 , −9.9 .. 10

Seguimos los pasos de la representación de varias funciones en una misma gráfica, y reemplazamos el valor de a, por los diferentes valores numéricos deseados. En este ejemplo observamos que sucede con la función cuando a vale 1, 2, 3, y 4.

400

300 f ( x, 1) f ( x, 2) f ( x, 3)

200

f ( x, 4) 100

0

10

5

0

5

10

x

Se puede observar que a medida que aumenta el valor del coeficiente a, las ramas de la gráfica se van cerrando.

Ejercicios de Evaluación de funciones con coeficientes.

_Determinar gráficamente, como varián los gráficos de las siguientes funciones, de acuerdo a los valores de sus coeficientes. 3

2

1_

f ( x , a , b) := a ⋅ x + b ⋅ x

para a = -2, -1, 0, 1, -2 y b = -1, 1

2_

g( x , a , c) := a ⋅ x + c

para diferentes valorsa de a y c

3_

h( x , t) := t ⋅ sin( x)

para t = 0.5, 1, 2

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Personalización de un Gráfico El gráfico de una función puede ser modificado en ciertos parámetros de su visualización, como agregar un rótulo, cambiar el tipo y color de línea, cambiar los ejes coordenados, etc. Para acceder a estas opciones debemos hacer doble click sobre la gráfica que queremos modificar. Como resultado obtenemos una ventana de configuración como la mostrada debajo.

La ventana tiene 4 lengüetas en la parte superior, que me permite configurar los ejes coordenados, cada una de las trazas, y agregar etiquetas a la gráfica. Para acceder a cada una de estas lengüetas debemos hacer click con el ratón en la que queremos configurar.

Axes X-Y El Formato Seleccionado actualmente X-Y Plot en la caja del diálogo contiene las opciones siguientes:

Log Scale Cuando esta caja se verifica, el eje seleccionado es logarítmico. Los límites del eje deben ser positivos.

Grid Lines Cuando esta caja se verifica, las marca en el eje seleccionado es reemplazado por líneas verdes.

Numbered Cuando esta caja se verifica, la marca en el eje seleccionado se enumera.

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Show Markers Le permite agregar una o dos líneas horizontales o verticales a una gráfica. Auto Grid Cuando esta caja se verifica, el número de marcas en el eje es automáticamente escogido. Cuando esta caja no se verifica, usted necesita especificar el número de marcas en el Number of Grid. Number of Grids Entre un entero de 2 a 99. Asegúrese que el número no es tan grande ya que las etiquetas en las marcas se agolpan demasiado. Axes Style - Boxed, Crossed, None Con boxed seleccionado el gráfico se encuentra dentro de una caja, con crossed se muestran los ejes coordenados, y con none sólo aparece la gráfica.

Equal Scales Cuando esto se verifica, los ejes x e y tienen escalas iguales. Esto significa que si una pulgada a lo largo del x-eje simboliza 2 unidades, entonces una pulgada a lo largo del y-eje simbolizará 2 unidades igualmente. Cuando esto no se verifica, la escala en el x-eje es independiente de la escala en el y-eje.

Traces para xy plots El Formato Seleccionado actualmente X-Y Plot en la caja del diálogo contiene las opciones siguientes:

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Legend Label Éste es el nombre del trazo cuando aparece en la leyenda.

Symbol Cada punto en la curva es marcado con un símbolo. Se puede elegir diferentes simbolos para los puntos. Si usted tiene muchos puntos condensados o estrechamente juntos, usted debe seleccionar "ninguno".

Line Permite elegir si la línea es sólida, punteada, o si consiste en líneas alternas y puntos. Esto proporciona una manera útil de distinguir curvas en una impresión en blancoy negro. Color Selecciona si el trazo es rojo, azul, verde, magenta, cian, bronce, negro, o blanco. Mathcad ignora esto en un despliegue monocromático. Type Permite elegir si el trazo seleccionado se muestra como una curva, un symbol/point, un mapa de la barra.

Weight Permite establecer el grosor de una traza, desde 1 para la más fina hasta nueve para la más gruesa.

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Hide Arguments Verifique esta caja para esconder las expresiones de matemática que usted tecleó en los puntos medios de cada eje.

Hide Legend Verifique esta caja para esconder la leyenda que aparece bajo la Gráfica.

Labels para xy plots El Formato Seleccionado actualmente X-Y Plot en la caja del diálogo contiene las opciones siguientes:

Title Entre un título para el gráfico. Above Coloca el título sobre el gráfico. Below Coloca el título debajo del gráfico Show Title Si esta casilla está activa, muestra el Título. Axis Labels Permite introducir títulos a cada uno de los ejes coordenados.

Con todas estas opciones, se obtiene un amplio abanico de posibilidades que me permiten mejorar la apariencia y lectura de una gráfica.

Insertar texto Ing. Cristian A. Sandri

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Insertar texto Esta sección describe como se pueden crear regiones de texto en Mathcad. Estas regiones son usadas para insertar cualquier tipo de texto dentro de la hoja de trabajo, como comentarios de las ecuaciones y gráficas, información, instrucciones de usos y mucho más. Mathcad ignora el texto cuando realiza los cálculos. Crear una región de texto Para crear una región de texto, siga los siguientes pasos: 12-

Hacemos click en el lugar de la hoja donde quiere insertar la región de texto. Ir al menú Insert, seleccionar la opción Text Región o bien pulsar la tecla (“). Aparece un cuadro en el cual comenzamos a escribir el texto.

A medida que escribimos el texto el cuadro de región de texto va aumentando de tamaño.

3Cuando finaliza de tipear el texto, debe hacer clic fuera de la región de texto, con lo que el cuadro desaparece.

Se puede modificar el ancho de una región de texto, seleccionando la región con el ratón y tirando de las esquinas del mismo hasta adquirir el tamaño deseado. Varias propiedades del texto pueden ser modificadas como la fuente, tamaño, estilo, posición o color.

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Para ello se debe: 1- Seleccionar el texto a modificar 2- Ir al menú Format, y elegimos la opción Text.

Aparece la ventana Text Format, y modificamos las propiedades.

Muchas de estas propiedades también pueden ser seleccionadas de la barra de herramienta Formatting.

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Insertar Funciones Existen numerosas funciones, como las trigonométricas, financieras, hiperbólicas, transformadas de fourier, etc. que son difíciles de recordar de que forma las define el programa. Afortunadamente existe una ventana que agrupa todas estas funciones, y me permite insertarlas en una ecuación determinada. Para ello deben seguirse los siguientes pasos: 1_ Clikear en el lugar donde queremos insertar la función 2_ Abrir la ventana Insert Function clikeando en el botón ingresando al menú Insert, opción Function.

en la barra Standart, o bien

Se muestra una ventana que contiene : Function Category Muestra todas las categorías de funciones que maneja el programa. Function Name Selecciono la función que me interesa. Ventana de descripción Es la ventana inferior y explica lo que realiza la función seleccionada.

3_ Se selecciona la función a insertar y se clikea sobre el botón Insert

Funciones Racionales, Irracionales, Potenciales, Exponenciales, Logarítmicas y Trigonométricas En este tipo de funciones, si uno no conoce la forma de expresar la función, es conveniente ir al menú Insert, submenú Insert Function. En ésta ventana se encuentran todas las funciones del Mathcad, elegimos la que nos interesa, y apretamos Insert.

f ( x) := ln( x)

x := 0 , 0.1 .. 6

2

0 f ( x) 2

4

0

1

2

3

4

5

6

x

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Con estos tipos de funciones, hay que tener especial cuidado en la elección del intervalo de cálculo, debido a que la función puede no estar definida en algún punto del intervalo, en consecuencia nos dará un error.

f ( x) :=

1 x− 2

x := −10 , −9.9 .. 10

f ( x)

0

10

5

0

5

10

x La función no es continua para x=2, pues en ese punto la función tiende a infinito

Ejercicios de Funciones _ Determinar las siguientes funciones y graficarlas

1_ Función Seno

2_ Función coseno

3_ Función tangente

4_ Función Exponencial

5_ Función logarítmo neperiano

6_ Función Logaritmo

7_

8_

f ( x) := x ⋅ sin( x)

g( x) :=

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10 ⋅ sin( x) x

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Zoom en un gráfico Mathcad permite seleccionar una región de la gráfica y magnificar la misma. Para hacer zoom en una porción de la gráfica, siga los siguientes pasos:

1-

Hacer clic en el botón

de la barra Graph. Aparece la caja de diálogo zoom.

2- Con el ratón se realiza un cuadrado sobre el área que se quiere aumentar de la gráfica. Se observa sobre la caja de diálogo, las coordenadas en x, y de la región seleccionada

1 f ( x) := x ⋅ sin  x

x := 0 , 0.0001 .. 1

3- Hacemos clic sobre el botón zoom, y el área seleccionada es aumentada como muestra la gráfica debajo.

f ( x)

0

0

0.2

0.4 x

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Ver las coordenadas en un gráfico Si usted quiere ver las coordenadas específicas de un punto de la gráfica, debemos seguir los siguientes pasos: 1-

Seleccionar el gráfico en el cual se quiere determinar alguna coordenada.

2Hacer clic en el botón denominada x y trace.

de la barra de herramienta Graph. Aparece una caja de diálogo

3Hacer clic con el ratón en el punto de la gráfica que se quiere determinar las coordenadas. Las mismas aparecen en la caja de diálogo x, y trace.

Se puede copiar o pegar una coordenada en otro lugar de la hoja, usando el portapapeles: 1-

Hacemos click sobre el botón Copy X o Copy Y de la ventana X-Y Trace.

2- Nos ubicamos con el ratón en el lugar donde queremos pegar las coordenadas, y vamos al menú Edit , y seleccionamos la opción Paste.

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Integrales Definidas Mathcad permite resolver integrales definidas de la forma a

⌠  f ( x) dx ⌡b

El resultado es un escalar.

Donde se debe respetar los siguientes puntos: •

f(x) debe ser una función escalar definida en el intervalo cerrado [a,b].

•

x es la variable de integración.

•

a y b deben ser valores escalares, pero también puede ser valores complejos

•

a y b deben tener la misma dimensión.

Para determinar el valor numérico de una integral definida, entre dos valores a y b, primeramente debemos apretar el botón de la barra Calculus, y luego especificar la función, los límites y la variable. Para que resuelva la integral debemos apretar la tecla " = ". 2

⌠  x dx = 1.5 ⌡1 5

⌠ 3⋅x 6  sin( x) ⋅ e dx = −1.034 × 10 ⌡3 Se pueden resolver integrales múltiples presionando sucesivamente el botón 1

de la barra Calculus.

1

⌠ ⌠   x ⋅ y dx dy = 0.25 ⌡0 ⌡0 Ejercicios de Integrales Definidas _ Deterninar numéricamente el valor de las siguientes integrales definidas 10

3_

⌠ ln( x) ⋅ 3  dx  x+ 2 ⌡0

4_

⌠  ⌡0

4

1_

2_

⌠ 2  x + 3 ⋅ x dx ⌡− 1

2⋅π

⌠ sin( x) dx  ⌡− 2⋅π

2⋅π

4⋅π

⌠  ⌡0

( sin(x) ⋅ cos(y) + x2 − y) dx dy

0.5 Ing. Cristian A. Sandri

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0.5

⌠    ⌡0

2

5_

⌠    ⌡1

x

e

dx

7_

x

e +1

3

⌠ 8 6_  dx 1   ( 1 − 4 ⋅ x) 4 ⌡2

1

1   3

2

⋅x

dx

1

⌠ 4⋅x+ 1  dx  x2 − 2 ⋅ x − 3 ⌡1

8_

5

⌠ 2 9_  dt  3 ⋅ t( 2t+ 1) ⌡0

3

⌠  log( y + 3) dy ⌡2

10_

Límites Variables de Integración El resultado de una integración es un número. Se puede usar una integral con un rango variable de límites de integración. De esta manera no se necesita repetir varias veces la misma integral para obtener los resultados para los diferentes límites de integración. A continuación se detallan dos ejemplos.

2

i := 0 .. 5

f ( x) := x + 3 ⋅ x + 2

i

⌠ gi :=  f ( x) dx ⌡0

    g=    

0 3.833 12.667 28.5 53.333 89.167

        

0

⌠ f i :=  f ( x) dx ⌡− i

    f =    

0 0.833 0.667 1.5 5.333 14.167

        

Límites variables de integración

Integrales Indefinidas Ing. Cristian A. Sandri

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Integrales Indefinidas Una integral indefinida tiene la siguiente forma:

⌠  f ( x) dx  ⌡

Donde el resultado obtenido es una nueva función de variable x.

Para evaluar Integrales Indefinidas debemos definir la función a Integrar, utilizamos el Botón de Integral Indefinidas de la barra de herramientas Calculus, y seguidamente expresamos la función a Integrar.

⌠ 2  2 ⋅ x + x − 7 dx  ⌡

Integral Indefinida

A continuación se selecciona todo el término integral, clikeando sobre la función y seleccionando con la barra espaciadora.

Solo resta determinar el resultado de la Integral, haciendo un Análisis Simbólico la cual se obtiene del Menú Symbolic, y el Submenú Evaluate Symbocally. También se puede realizar el analisis simbólico clikeando sobre el botón de la barra Evaluation. A continuación damos un ejemplo de resolución. El resutado es expresado debajo de la integral.

⌠ 2  2 ⋅ x + x − 7 dx  ⌡

Integral Indefinida

2 3 1 2 Resolución de la Integral ⋅x + ⋅x − 7⋅x 3 2 Si utilizamos el botón de la siguiente manera

de la barra de herramientas Evaluation, la misma integral queda representada

⌠  2 ⋅ x2 + x − 7 dx → 2 ⋅ x3 + 1 ⋅ x2 − 7 ⋅ x  3 2 ⌡ El resultado es una nueva función de la variable x.

Ejercicios de Integrales Indefinidas Ing. Cristian A. Sandri

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Ejercicios de Integrales Indefinidas Determinar el resultado de las siguientes Integrales, y anotar el resultado.

1_

⌠ 4  x + 3 ⋅ x2 − 5 ⋅ x − 3 dx  ⌡

2_

⌠  1 + ex − cos ( x) dx  x ⌡

3_

⌠  sin( x) ⋅ cos ( x) dx  ⌡

⌠  x+ 2 4_  dx 3 x − 1  ⌡ ⌠ 5_    ⌡

1

dx

2

x + 3⋅x+ 1

⌠ x e 6_  dx  2⋅x  e +1 ⌡ ⌠ 7_    ⌡

8_

⌠   ⌡

1+ x

dx

x

⌠ 2  x + y2 dx dy  ⌡

⌠ 9_   ⌡

⌠  sin( x) ⋅ cos ( y) dx dy  ⌡

⌠ 10_  ⌡

⌠   ⌡

⌠  x + y + w dy dw dx  x− y ⌡

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Límites La nueva versión de Mathcad, cuenta con una poderosa herramienta de solución de límites. Esta herramienta se encuentra en la barra Calculus, y corresponde a 3 botones que permiten evaluar el límite de una función en un punto determinado, hacercándose por la derecha o la izquierda del mismo. Límite de una función en un punto.

Límite de una función en un punto, hacercándose por la derecha.

Límite de una función en un punto, hacercándose por la izquierda.

Para resolver límites se deben seguir los siguientes pasos:

1_ Ubicarse en el lugar donde quiero insertar el límite, y clikear alguno de los tres botónes según el caso. Aparece el siguiente símbolo.

lim → 2_ Ingreso la función que quiero evaluar, la variable y el valor a la cual tiende la variable 2

x +2 lim x→∞ 3 ⋅ x + 6 3_ Selecciono todo el término, con la barra espaciadora, y se clikea en el botón Evaluation.

de la barra

2

x +2 1 lim → 3 x→∞ 3 ⋅ x + 6

El límite de la función cuando x tiende a infinito es 1/3.

1 0.6 0.2

2

x +2 3⋅x+ 6

10

6

2 0.2

2

6

10

En la gráfica se puede apreciar como la función tiende a 1/3 cuando x tiende a infinito.

0.6 1 x El valor infinito al cual tiende la variable, puede ser ingresado con el botón

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25

de la barra Calculus.

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Ejercicios de resolución de Límites 5

1_

sin( x) lim x x→0 −

2_

3⋅x+ 1 lim 5 x→7 + ( x − 7)

4_

4

x + 3⋅x − 2 lim x− 3 x→3 + 1

5_

lim ( 1 + x)

x

x→0 3_

3⋅x+ 1 lim 5 − x→7 ( x − 7)

Derivada de una Función Podemos evaluar la derivada de una Función para un valor determinado de la variable, o bien determinar simbólicamente el valor de la misma. En ambos casos para expresar una derivada, utilizamos el botón de derivada expresamos la función.

(

)

d 2 x − 3⋅x dx

Derivada

Resolvemos simbólicamente la derivada clikeando en el botón llendo al menú Symbolics, submenú Evaluate Symbolically.

(

)

, y luego

d 2 x − 3⋅x → 2⋅x− 3 dx

de la barra Evaluation, o bien

Resolución simbólica de la Derivada

Si quiero determinar cual es el valor de una derivada en un punto, defino la derivada como una función y la evalúo en el punto.

f ( x) :=

f ( 1) = 3

d 3 x dx f ( 2) = 12

Derivada

f ( 3) = 27 Resolución para un valor determinado de x

Se puede realizar n derivaciones de una función, expresando la derivada con el botón Calculus.

de la barra

d3

(3 x2 − x5 − x6) → −60 ⋅ x2 − 120 ⋅ x3

dx

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Ejercicios de derivadas A continuación determinar simbólicamente el resultado de las siguientes derivadas

(

)

1_

d 3 8 ⋅ x − sin( x) + ln( x) dx

2_

tan( t)  d  ln( t) ⋅ t +  t  dt 

3_

d  x − 3⋅x    dx  x4 − 2 ⋅ x2 − 1 

4_

 ( 3−2⋅x) 3⋅x d  x  dx  7 ⋅ x − 2 

5_

d d  x − y − 8 ⋅ x − y   2 2 dx dy  x +y 

6_

d d 2 2 x ⋅y− y ⋅x dx dy

3

5

3

2

(

)

_ Derivar las siguientes funciones, y determinar el valor de las mismas para Variable=2

1_

 d e f ( x) :=  + 1 dx  8 

2_

f ( t) :=

3_

g( z , y) :=

x−1

4_

f ( s) :=

d ln( t) ⋅ t − 1 dt

(

)

d d 2⋅z z− y dz dy

d2 

1  ln( s) − ⋅ sin( s)   2 s  ds

Funciones Discontinuas

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Funciones Discontinuas Se puede generar una función discontinua, haciendo uso de la función lógica herramienta Programming.

de la barra de

La función lógica if tiene la siguiente sintaxis if (cond, tvl, fvl)

Donde:

cond: es una condición que generalmente es una expresión Bobleana. tvl: función si la condición es verdadera fvl: función si la condición es falsa

Como ejemplo de demostración crearemos una función discontinua, en donde se cumple que: 2

f ( x) := 4 − x

para valores de x comprendidos entre -2 y 2

f ( x) := 0

para cualquier otro valor de x

y

La función debe expresarse de la siguiente manera:

(

)

2

f ( x) := if x > 2 , 0 , 4 − x

5

f ( x)

0

5

0

0.5

1

x En donde se puede observar que si la condición es verdadera, se cumple que la función es 0, y si la condición es falsa, la función vale

2

4−x

Se pueden crear funciones discontinuas anidando varias funciones if como lo muestra el ejercicio siguiente:

f ( x) := x − 1 Ing. Cristian A. Sandri

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f ( x) := x − 1 g( x) := if[ x < 1 , 0 , if[ ( 1 ≤ x < 2) , f ( x) , f ( 2) ] ] 2

1 g ( x) 0

1

1

0

1

2

3

x

Funciones Periódicas Mathcad soporta funciones Periódicas, haciendo uso de la definición de funciones recursivas. Usted puede definir el valor de una función en términos de un valor previo de la función.Las funciones recursivas son usadas para definir funciones periódicas. Una fución recursiva debe tener siempre las siguientes partes:

1- Definición de la forma de onda de la función periódica y el período de la misma.

F ( x) := 2 ⋅ x

period := 2

2- Definir una función auxiliar con la función lógica If, y definir un intervalo de la variable.

G ( x) := if( x < period, F ( x) , G ( x − period) ) Se debe definir un intervalo de la variable para parar la recursión, sino Mathcad genera un mensaje de error.

x := 0 , .01 .. 10

4

G( x)

2

0

0

2

4

6

8

10

x

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Sistemas de Unidades Hasta el momento, solo habíamos trabajado con ejercicios, en los que hacíamos uso de números adimensionales. La práctica real, nos indica que deberemos trabajar estas ecuaciones, funciones, etc., en procesos físicos, químicos, financieros, haciendo uso de valores numéricos con dimensiones específicas. El Mathcad es un programa que me permite trabajar con representación de unidades, en los cuatro sistemas de unidades más representativos. Sistemas de unidades: S.I. (Internacional) M.K.S. C.G.S. U.S. La elección del sistema de representación, se realiza a través del menú Math, submenú Options, como se demuestra debajo.

A continuación aparece una ventana, en donde se deberá escoger la lengüeta Unit System.

En ésta ventana se deberá escoger el Sistema de Unidades por defecto con el cual queremos trabajar.

Una vez elegido el Sistema de Representación de Unidades, Ya estamos en condiciones de comenzar a trabajar con valores numéricos dimensionales.

Como mejor medida para el aprendizaje, veremos el uso de unidades a través de un ejercicio práctico. Ing. Cristian A. Sandri

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Como mejor medida para el aprendizaje, veremos el uso de unidades a través de un ejercicio práctico. Hallaremos la velocidad de un vehículo que se ha desplazado un cierto espacio durante un tiempo determinado. Comenzamos definiendo el desplazamiento del vehículo, indicando el valor numérico y multiplicándolo por la unidad adecuada.

e := 400 ⋅ km Tenemos dos formas de insertar la unidad: 1_ A través del teclado, por la cual deberemos recordar las expresiones que acepta el Mathcad como unidades (en este caso Kilómetro se representa con km). 2_ Por medio del menú Insert, submenú Units, como se muestra a continuación.

Aparece una ventana en la cual se elige la dimensión y unidad adecuada de la expresión numérica.

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Del mismo modo, definimos el valor del tiempo medido en el desplazamiento del vehículo.

t := 3 ⋅ hr Por último solo queda definir la expresión matemática de la velocidad del vehículo y obtener el resultado en las unidades adecuadas de velocidad.

v :=

e t -1

v = 37.037 msec

Como se puede observar, el resultado de la velocidad queda expresado en metros/segundos. Podemos expresar la velocidad en otros múltiplos, por ejemplo en km/hora. Para ello marcamos la unidad y volvemos al menú Insert, submenú Unit. Se muestra la ventana Insert Units, en la cual aparece seleccionada automáticamente la dimensión velocidad, con los diferentes múltiplos y súbmultiplos para elegir.

v = 133.333 kph Ejercicios 1_ Determinar el Voltaje (V) sobre una resistencia (R) de 2 ohm, si por la misma circula una corriente eléctrica (I) de 2 Amp. 2_ Dada la siguiente función desplazamiento de un vehículo.

m

d ( t) := 2 ⋅

2

2

⋅t − 5⋅

sec

m ⋅ t + 10 ⋅ m sec

Determinar el valor de la velocidad y la aceleración para t=2sec, t=10sec, y t=15sec.

3_ La función potencia de un motor es la siguiente:

P ( t) := 5 ⋅

watt ⋅ ( t) hr

Determinar la energía desarrollada entre 1hr y 3hr de uso.

4_ La velocidad de un vehículo sigue la siguiente función.

v( t) := 5 ⋅

m

2

3

sec

⋅t + 2⋅

m 2

sec

⋅t− 8⋅

m sec

Determinar el espacio recorrido por el vehículo entre t=5sec y t=10sec.

5_ De la misma función anterior, determinar en que tiempo la velocidad del vehículo es v=0, y graficar la función velocidad.

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Despeje de Variables Para realizar un despeje de variable deberemos realizar los siguientes pasos para su concresión. 1_ Debemos definir el sistema de ecuaciones, con las variables y constantes involucradas. Se expresan las dos ecuaciones igualadas con el botón de la barra de herramientas Boolean.

x + 2 = sin( y)

Ecuación en la cual se va a despejar y.

2_ Nos ubicamos con el cursor sobre la variable que queremos despejar, y vamos al Menú Symbolics , Submenú Variable, Submenú Solve.

asin( x + 2)

Solución del despeje.

_ Otros ejemplos de despeje de variables.

x = y+ 2

Ecuación en la cual se va a despejar y.

x− 2

Solución del despeje.

x = h⋅ y +

1 ⋅ ( y − s) y− t

Ecuación en la cual se va a despejar y.

 −1 ⋅ −x − h ⋅ t + 1 + x2 − 2 ⋅ x ⋅ h ⋅ t − 2 ⋅ x + h2 ⋅ t2 − 2 ⋅ h ⋅ t + 1 + 4 ⋅ h ⋅ s  ( 2 ⋅ h)  −1 2 2 2  ( 2 ⋅ h) ⋅ −x − h ⋅ t + 1 − x − 2 ⋅ x ⋅ h ⋅ t − 2 ⋅ x + h ⋅ t − 2 ⋅ h ⋅ t + 1 + 4 ⋅ h ⋅ s 

(

)

(

)

    

Como se puede observar en la resolución del problema, la variable que ha sido despejada no aparece en la ecuación. El método que utiliza el programa para determinar el despeje de la variable, es simplemente el determinar simbólicamente cual es el valor que satisface el sistema de ecuaciones.

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Ejercicios de Despeje de Variables

Despejar la variable ( x ) de las siguentes ecuaciones.

1_

y = x⋅

4 5

2_

y = sin( x) + 3

3_

y = ( ln( t) + 1) ⋅ x + 5

4_

y=

5_

1   x − 3  = k ⋅  1 − cos   y   x 

6_

7_

5 ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x − 1) 3⋅x

y 2 ( 5⋅x−4) =e y⋅ 5

1−

y=

t ⋅ ( y − sin( x) ) ⋅ t 7⋅t

 sinh( x) − 2 − 1 ⋅ y ⋅ y  8_ y ⋅ =    y   2 y− 1 sech( y)

1

9_

 x⋅ t − x⋅ r    ln( t ⋅ 3 − 5) 

e

2

⋅5

y=

10_ y ⋅ 2 ⋅ ( sin( x − y) ) = 3 ⋅

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8 + 5⋅y y

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Raíces de Polinomios Para obtener las raíces de un polinomio, se deben seguir los siguientes pasos:

1_ Se expresa el polinomio o la función, luego la función se iguala con el botón de herramientas Boolean, al número 0, o bien a otro polinomio. 3

2

, de la barra

Definimos el polinomio

x + x − 17 ⋅ x + 15 = 0

2_ Señalamos con el cursor la variable a resolver, y vamos al Menú Symbolic, submenú Variable, submenú Solve.

 −5   1   3   

Raíces del polinomio

Como se puede apreciar los pasos para determinar las raíces de un polinomio son los mismos que para despejar una variable. A continuación damos otros ejemplos de resolución de Polinomios.

Polinomio de 2º Grado

La gráfica me ayuda a determinar los valores de las raíces

2

g( x) := x + x − 2

5 2

3

x + x− 2 = 0

1

 −2     1 

g ( x) Raíces del polinomio

5

3

1

1

1

3

5

3 5 x

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Para un polinomio de varios órdenes como el siguiente 4

3

2

x − 3 ⋅ x + 17.2 ⋅ x − 3 ⋅ x + 60.5 tiene como raíces:

     

−.34464298797634823247 − 1.9168634105775423629 ⋅ i 



−.34464298797634823247 + 1.9168634105775423629 ⋅ i  1.8446429879763482325 − 3.5421915825432999263 ⋅ i 



1.8446429879763482325 + 3.5421915825432999263 ⋅ i 

Donde las mismas quedan expresadas con varios decimales y se hace difícil leer el resultado. Se puede resolver el problema seleccionando todas las raíces, y apretando la tecla = del teclado. el resultado es simplificado a dos decimales.

     

−.34464298797634823247 − 1.9168634105775423629 ⋅ i 

 −0.345 − 1.917i     −.34464298797634823247 + 1.9168634105775423629 ⋅ i   −0.345 + 1.917i  = 1.8446429879763482325 − 3.5421915825432999263 ⋅ i   1.845 − 3.542i     1.8446429879763482325 + 3.5421915825432999263 ⋅ i   1.845 + 3.542i 

Ejercicios de Raíces de Polinomios

_ Determinar las raíces y las gráficas de los siguientes polinomios.

2

1_

f ( x) := x − x − 6

2_

h( x) := x + 2 ⋅ x − 15

3_

t ( x) := x + 5 ⋅ x + 2 ⋅ x − 8

4_

r ( x) := x − 6.5 ⋅ x − 1.0 ⋅ x + 26.0 ⋅ x − 12.0

5_

w( x) := x − 5 ⋅ x − 2 ⋅ x − 3

2

3

2

4

6

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3

2

4

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3

6_

 x t ( x) :=   + 5 ⋅ ( x − 1) − x  17 

7_

f ( x) := 3 ⋅ x − 2 ⋅ x − x + 4

8_

d ( t) := t − 5 ⋅ t − 8 ⋅ t

9_

j ( t) := t − 5 ⋅ t − 1

10_

s ( t) := 5 ⋅ t −

11_

y( z) :=

4

8

6

2

5

1 t

1 3

z − z− 2

12_

12

8

6

3

g( t) := t − 9 ⋅ t − 5 ⋅ t − 3 ⋅ t − t + 5

Gráficos paramétricos Una gráfica Paramétrica, es una representación en la cual la expresión es dibujada en función de dos funciones que usan la misma variable independiente. Para crear un Gráfico Paramétrico x-y debemos: 1-

Definir las 2 funciones con la misma variable independiente.

θ := 0 ,

2⋅π .. 2 ⋅ π 40

r ( θ ) := cos ( θ ) + 1 x( θ ) := r ( θ ) ⋅ cos ( θ ) y( θ ) := r ( θ ) ⋅ sin( θ )

2Hacer clic en el lugar de la hoja en donde quiere insertar la gráfica, y clikear el botón de la barra de herramientas Graph. Inserta un gráfico en blanco. Ing. Cristian A. Sandri

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de la barra de herramientas Graph. Inserta un gráfico en blanco. 3-

En ambos ejes de axisas, debemos ingresar las funciones o expresiones paramétricas. 2

1

y(θ )

0

1

2

0.5

0

0.5

1

1.5

2

x( θ )

Gráficos Polares Un gráfico polar es un gráfico en donde cada punto de la gráfica indica el ángulo y módulo de un vector. A modo de explicación utilizaremos un ejemplo de transformación de un punto de coordenadas rectangulares (x-y) a coordenadas polares (r,θ). Definimos las coordenadas x e y

x := −10

y := 21.6

Una coordenada polar está expresada por : Coordenada Radial : 2

2

r := x + y Coordenada Angular:

θ := angle( x , y)

r = 23.803 Para determinar el angulo usamos la función angle

θ = 114.842 deg

Rectangular Coordinates 47.61

0

47.61 47.61

0

47.61

Para expresar el punto en un gráfico polar debemos hacer clic en el lugar de la hoja donde queremos insertar el gráfico, y hacer clic en el botón de la barra Graph. Ing. Cristian A. Sandri

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insertar el gráfico, y hacer clic en el botón

de la barra Graph.

En las marcas debemos ingresar el ángulo y radio.

Para finalizar , al pulsar la tecla enter se dibuja un punto teniendo como coordenadas el angulo y el modulo del mismo.

Polar Coordinates 90 120

60 40 30 20 10 0

150

180

30

0

210

330 240

300 270

El ejercicio utilizado para representar una gráfica paramétrica, podemos utilizarlo como una muestra de una representación polar. Las funciones definidas eran las siguientes:

θ := 0 ,

2⋅π .. 2 ⋅ π 40

r ( θ ) := cos ( θ ) + 1 x( θ ) := r ( θ ) ⋅ cos ( θ ) y( θ ) := r ( θ ) ⋅ sin( θ )

Las funciones x(θ) e y(θ) representan las coordenadas de un vector con inicio en el origen, que tiene como variable independiente θ. Construimos una función auxiliar que represente el módulo de dichos Ing. Cristian A. Sandri

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como variable independiente θ. Construimos una función auxiliar que represente el módulo de dichos vectores. 2

Modulo( θ ) := x( θ ) + y( θ )

2

La gráfica resultante queda expresada en coordenadas polares

90 120

60 1.5

150 Modulo ( θ )

30

0.5 180

0

210

330 240

300 270 θ

Ejercicios de Gráficos Paramétricos y Polares

1_ Determinar la gráfica paramétrica de las siguientes funciones

x( t) := sin( 2 ⋅ t)

y( t) := sin( 3 ⋅ t)

2_ Determinar que representan las siguientes funciones paramétricas

r := 5 xc := 2

yc := −1

x( t) := r ⋅ cos ( t) + xc

y( t) := r ⋅ sin( t) + yc

3_ Del ejercicio anterior, determinar la gráfica del vector posición en el tiempo, y representarlo en un gráfico polar.

4_ determinar la gráfica polar de la siguiente función

g( a) := 2

a

para

a := 0 , 0.1 .. 100

Animaciones Ing. Cristian A. Sandri

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Animaciones En esta sección se describe como usar Mathcad para crear un gráfico animado usando una variable especial denominada FRAME. Estas animaciones pueden ser utilizadas como ayuda para la comprensión de conceptos matemáticos. Los pasos para crear una animación son los siguientes: 1- Crear una expresión o grupo de expresiones que sean dependientes de el valor FRAME. En este ejemplo crearemos una animación de la variación del coeficiente a de una función cuadrática.

a := FRAME 2

f ( x) := a ⋅ x

Luego inserto la gráfica

2- Seleccionar del menú View, la opción Animate. Aparece la caja de diálogo Animate.

3- Seleccionar con el ratón la porción de la hoja que quiero animar, como se muestra debajo.

4- En la caja de diálogo Animate, indicar el límite superior e inferior para la variable FRAME. Cuando Ing. Cristian A. Sandri

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4- En la caja de diálogo Animate, indicar el límite superior e inferior para la variable FRAME. Cuando se corre la animación, la variable FRAME se incrementa de a uno, procediendo desde el límite inferior, hasta el límite superior

5- Ingrese la velocidad con la que quiere observar cada uno de los cuadros en la opción FRAME/sec.

6- Hacemos clic en Animate, y comienza a crearse la animación. Una vez generada la animación aparece una ventana llamada Playback en la cual podemos observar la animación.

7- Para observar la animación hacemos clic en el botón de la ventana Playback, y se irá visualizando uno a uno los cuadros que componen la animación.

La animación puede ser guardada en el formato AVI de Video, para luego ser reproducida con cualquier reproductor multimedia. De este modo la animación puede ser observada sin la necesidad del programa Mathcad.

8- Para grabar la animación en formato AVI, se debe hacer clic en el botón Save As de la ventana Animatión. En la ventana siguiente, se coloca el nombre el video, y se hace clic en el botón Guardar.

La variable FRAME siempre se debe usar dentro de la expresión, como el parámetro a variar de la expresión.

Ejercicio de Animación. Ing. Cristian A. Sandri

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Ejercicio de Animación. Como ejemplo de práctica vamos a crear una animación que nos muestre una recta tangente a un punto de una función f(x), y como varía esta a medida que varíamos este punto de la función.

la función es

:

f ( x) := x ⋅ sin( x) d f ( x) dx

la pendiente de la función en un punto cualquiera es:

f'( x) :=

la ecuación de la línea tangente a la función es:

y( a , x) := f'( a) ⋅ ( x − a) + f ( a)

Definimos los parámetros en términos de la variable FRAME:

a := π +

FRAME 5

a = 3.142

x := 0 , 0.1 .. 4 ⋅ π FRAME lo definimos en la variable a, pues es este parámetro que vamos a ir variando para evaluar la recta tangente en el punto f(a) de la función f(x).

Animamos la región que se muestra a continuación:

10 Valor de x: 5

a = 1π 0

5

10

Pendiente en el punto f(a):

f'( a) = −1 π

5

10

15

Operaciones con Matrices Ing. Cristian A. Sandri

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En el siguiente capítulo determinaremos las diferentes operaciones que se pueden realizar con matrices. 1_ Comenzamos definiendo las Matrices con las que operaremos.La matriz se especifíca con una letra Mayúscula y utilizando el botón , de la barra de herramientas Matrix, con lo cual se abre la siguiente ventana:

En esta ventana se debe ingresar el número de filas y columnas de la matriz.

2_ Se ingresan cada uno de los coeficientes.

 1 9 3 A :=  2 0 7  8 6 8 

   

 2 8 6 B :=  4 5 0  6 9 4 

   

El ingreso de cada una de los coeficientes de la Matriz, se realiza con la tecla TAB.

3_ A continuación se indica la operación a realizar con las matrices, utilizando las letras que definen a cada una de las mismas.

C := A + B

 3 17 9  C= 6 5 7   14 15 12   

Suma de Matrices

Resultado

Las operaciones matemáticas que se pueden hacer con matrices son las siguientes:

Suma de Matrices

C := A + B

A y B deben tener el mismo número de filas y columnas

Resta de Matrices

C := A − B

A y B deben tener el mismo número de filas y columnas

Matriz Inversa Ing. Cristian A. Sandri

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Para elevar la matriz a las -1, uso el botón

0.178  −0.119 −0.153  −1 A =  0.113 −0.045 −2.825 × 10− 3  −0.051  0.034 0.186

    

A debe tener el mismo número de filas y columnas

Multiplicación de Matrices

C := A ⋅ B

El número de columnas de la primera Matriz, debe ser igual al número de filas de la segunda.

 56 80 18 C =  46 79 40  88 166 80 

   

Determinante de una Matriz Utilizo el botón

A = 354

C = −1.841 × 10

4

Transpuesta de una Matriz Defino la Matriz, y utilizo el botón

 1 4  R :=  6 5   7 2  

T

 1 6 7   4 5 2

R =

Producto Vectorial Las dos Matrices deberán tener 3 elementos únicamente. Para definir la operación utilizo el botón

 1  C :=  0   0    C×D =   

 0  D :=  0   1   0   −1  El resultado es un vector Ortogonal a los dos vectores definidos. 0 

Magnitud de un Vector Se define el vector, y luego apretamos el mismo botón que se utiliza para hallar el Ing. Cristian A. Sandri

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Se define el vector, y luego apretamos el mismo botón que se utiliza para hallar el Determinante de una Matriz

 2  H :=  1   4  

 1   1

J := 

H = 4.583

J = 1.414

Extraer un elemento de una Matriz o Vector Una vez definida la matriz, para extraer un elemento de la misma deberemos utilizar el botón en donde especificaremos el número de columna y fila donde se encuentra el elemento

  F :=     F0 , 0 = 1

1 7 9 21 



2 8 7 11  3 10 4 6 



5 0 3 14 

F0 , 1 = 7

F1 , 0 = 2

F2 , 1 = 10

Extraer una Columna de una Matriz o Vector Se define la Matriz, y se utiliza el botón

L

〈 0〉

, especificando el número de columna.

 5 2 9  L :=  7 6 4   8 5 0    5   2  〈 1〉 = 7  L = 6   8  5    

〈 2〉

L

 9  = 4   0  

 8  = 5   0  

T 〈 2〉 L

( )

Extraer una Sub-matriz de una Matriz o Vector Definimos la matriz y utilizamos la Función submatrix(A,ir, jr,ic, jc) donde A es la matriz, ir es la columna de arriba, jr es la columna de abajo, ic es la fila de arriba, y jc es la fila de abajo.

  A :=    

1 5 9 12 



2 6 0 13  3 7 10 14 



4 8 11 15 

 6 0 13 submatrixA ( , 1 , 3 , 1 , 3) =  7 10 14  8 11 15 

   

 1 5   2 6

submatrixA ( , 0 , 1 , 0 , 1) = 

Ejercicios con Matrices Ing. Cristian A. Sandri

46

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1_ Dadas las siguientes Matrices

 7 8 7 A :=  8 5 2  6 4 1 

  5 9 3  C := B :=    7 1 0 

 10 12 7  5 8 5  3 15 4 

  D :=  

 1   1 5 9   2 E :=  0 0 8   3  1 2 7    

Resolver las siguientes operaciones

A+ C

B+ D

C + E+ A

F+D

A−C

 1  D :=  2   3  

−D − F

C − E+ A

E− D

2_ Determinar la Matriz inversa de las siguientes Matrices

  Y :=    

5 

  X :=    

 9  2   3 

10 2 15 9 

 8 1 14 32  6 9 12 45   14 7 6 4 

   W :=    

4 5 2 14 6 

  2 4 9 23 14  8 9 7 13 18   7 8 12 5 19  6 3 5 24 16

3_ Determinar los siguientes productos de Matrices

  Y :=    

5 

 9  2   3 

  X :=    

10 2 15 9 

  10 12 7  8 1 14 32  C :=  5 8 5  6 9 12 45   3 15 4     14 7 6 4 

C⋅D

X⋅Y

Y⋅X

D⋅Y

 1   2

E := 

4_ Determinar la Transpuesta de las siguientes Matrices

 47 8 7 P :=  18 5 52  6 4 1 

  5 19 3   S :=  T :=  17 1 0   

 10 12 7  5 18 5  31 15 4 

   

5_ Determinar los siguientes productos vectoriales Ing. Cristian A. Sandri

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5_ Determinar los siguientes productos vectoriales

 1  L :=  1   1  

 2  Q :=  6   7  

L× Q

 1  R :=  0   0  

 0  H :=  1   0  

Q×R

H× E

Q×H

L× H

S := ( 1 2 3 ) R× L

6_ Determinar el Determinante de las siguientes matrices

 2  Q :=  6   7  

 1  R :=  0   0  

 47 8 7 P :=  18 5 52  6 4 1 

   

 5 19 3    17 1 0 

S := 

7_ Determinar la Magnitud de los siguientes Vectores

 1  R :=  0   0  

 1   2

 1   1

E := 

P := 

T := ( 1 1 1 )

8_ Extraer los siguientes elementos de la Matriz A

  A :=     A0 , 1

5 3 12 15 



4 20  6 5 11 6  1 4

2 10 7

A0 , 0



9 

A2 , 1

A3 , 2

A1 , 1

9_ Extraer las siguientes columnas de la matriz B

  B :=    

28 2 532 78 9

3 



12 1

8

45 7

7

98 54 4  4 24 56 

65 6 45

0 65 75 

〈〉 B 0

〈〉 B 1

 〈〉 B 3

〈〉 B 5

10_ Extraer de la Matriz siguiente, 2 submatrices delimitadas de la siguiente forma: Ing. Cristian A. Sandri

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1ª Submatriz: Columnas 1 a 5, Filas 1 a 4 2ª Submatriz: Columnas 3 a 4, Filas 0 a 2

   Z :=    

8

54

7 18 35 0 20 

5

15

5 75 32 68 30

   D :=   

  7 65 48 45 4 78 80  12 423 94 69 0 65 49   4 45 19 76 9 57 7 

0 1 0 



1 0 1  0 1 0 



1 0 1 

11_ Dadas las siguientes Matrices, resolver las siguientes operaciones. En caso de que la operación no se pueda resolver, determinar cual es la causa.

 4 7 1 A :=  5 3 7  9 5 0   2  E :=  0   0  

  B :=  

 2 5 0  7 6 1  9 4 0 

 0  F :=  0   2  

   

   C :=   

14 0 8 



7 10 5  1 8 6  1

 2 8 3 7  G :=  6 9 5 0   4 2 4 1  



4 4 

   H :=   

7 0 8 9 5 



6 4 1 8 7  5 0 7 3 0 



4 1 2 4 1 

C⋅B+ D ( C ⋅ B) + ( D ⋅ E) T

( B ⋅ G)

( (C ⋅ G)T) − 1

( (B ⋅ G) 〈 〉 1

T

× E + F

) ⋅F

submatrixH ( , 1 , 3 , 0 , 3) + G

submatrixH ( , 1 , 3 , 0 , 3) + G

submatrixH ( , 1 , 2 , 1 , 2) × E

Sistemas de Ecuaciones Lineales Ing. Cristian A. Sandri

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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ilustraremos mediante la resolución de un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incognitas. El sistema de ecuaciones es el siguiente:

3⋅x+ 4⋅y+ 3⋅z = 4 4⋅x+ 3⋅y+ 6⋅z = 6 2⋅x+ 7⋅y+ 9⋅z = 9

Sistema Lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

Definimos 2 vectores como:

 3 4 3 A :=  4 3 6  2 7 9 

   

 4  b :=  6   9  

El sistema original puede ser escrito por el siguiente conjunto de matrices b := A.b

La solucion del vector x es −1

x := A

⋅b

 0.2   x  x =  0.32   y   0.707   z     

Obteniéndose de esta manera las tres incognitas

Los sistemas de ecuaciones deben ser linealmente independientes, de lo contrario el sistema de ecuaciones no tiene solución, por ejemplo un sistema de ecuaciones de rectas, paralelas entre sí no tienen ningún punto de interseccíón, por lo tanto el sistema no tiene solución.

 3 3 3 A :=  6 6 6  9 9 9 

   

 3  b :=  6   9  

Nos da un error de singularidad −1

x := A

⋅b

Ejercicios de Sistemas de Ecuaciones Lineales Ing. Cristian A. Sandri

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Ejercicios de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1_

2_

3_

2⋅x+ 1⋅y = 3 3 ⋅ x − 5y = 10

9⋅x+ 3⋅y+ 1⋅z = 3 2⋅x+ 4⋅y+ 8⋅z = 2 −5 ⋅ x − 2 ⋅ y + 2 ⋅ z = −10

x + 6 ⋅ y + 4 ⋅ w + 9 ⋅ z = −1 3 ⋅ y + 8 ⋅ w + 8 ⋅ z = −6 5⋅x+ 7⋅y+ 2⋅w+ 5⋅y = 2 9⋅x+ 5⋅y+ 1⋅w+ 0⋅z = 6

4_

6⋅x+ 3⋅y+ 1⋅z = 3 2⋅x+ 8⋅y+ 8⋅z = 2 −5 ⋅ x − 2 ⋅ y + 6 ⋅ z = −10

5_

6⋅x+ 3⋅y+ 1⋅z = 3 12 ⋅ x + 6 ⋅ y + 3 ⋅ z = 6 18 ⋅ x + 9 ⋅ y + 3 ⋅ z = 9

Funciones de más de una Variable Ing. Cristian A. Sandri

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Para definir una función de más de una variable, debemos expresar la misma de la siguiente manera. 2

2

F ( x , y) := x + y

donde x e y expresan las dos variables de la función.

Si se quiere determinar el valor de la función en un punto determinado, deberemos indicar los valores que adquieren las variables de la siguiente manera.

F ( 1 , 1) = 2

F ( 2 , 1) = 5

Las funciones pueden tener un número ilimitado de variables. Ejemplos

(

) − w + 6⋅y

2

G ( u , v , w , x , y) := u + v

x

G ( 1 , 3 , 4 , 2 , 1) = 14 Graficación de funciones de dos Variables

Cuando se pretende graficar una función de dos variables, el procedimiento es diferente al que utilizamos en una sola variable. A continuación detallamos los pasos que se deben realizar.

1 _ Definir la función mediante una letra mayúscula, en función de las dos variables a graficar.

F ( x , y) := sin( x) ⋅ cos ( y) 2 _ Insertar un gráfico Surface Plot, con el botón

de la barra de herramientas Graph.

3 _ En el punto rojo, debajo de la gráfica se debe insertar la función que se quiere graficar, sin detallar las variables de la función. Ing. Cristian A. Sandri

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las variables de la función.

F Como se puede apreciar, la gráfica de la función aparece demasiado irregular. Esto es debido ha que la máquina utiliza pocos puntos para evaluar la función, y luego une todos ellos con líneas rectas. Se puede mejorar la visualización evaluando más puntos de la función. Para ello se debe realizar un doble click sobre la gráfica, y aparece la ventana de Formato 3D, o de personalización.

En la lengüeta QuickPlot Data, se elige los intervalos de graficación ( start, end ), para cada uno de los ejes coordenados, el tipo de representación (cartesian, spherical, Cylindrical), y el número de puntos analizados en cada eje(of Grid). Cuanto mayor es el número de puntos más suave será la gráfica.

Como se puede observar el número de Grids fue aumentado de 20 puntos a 40 puntos , con lo que la gráfica se observa mucho mas suave. Ing. Cristian A. Sandri

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gráfica se observa mucho mas suave.

F Una gráfica en tres dimensiones, se puede observar desde diferentes posiciones, es decir se pueden mover los ejes cartesianos y obtener diferentes angulos de visión. Para ello debemos clikear sobre la gráfica, mantener el botón izquierdo presionado y mover el ratón con lo que se modifica el ángulo de visión de los ejes coordenados. Muchas otras opciones de visualización y personalización de las gráficas pueden ser accedidas desde la ventana 3-D Plot Format, haciendo doble click en la gráfica. Personalización de la Gráfica Como ya comentamos anteriormente, para personalizar la visualización del gráfico se debe hacer doble Click sobre la gráfica, accediendo a una ventana denominada 3-D Plot Format.

Esta ventana contiene nueve lengüetas diferentes que permiten personalizar varios parámetros del gráfico. Estas lengüetas son las siguientes: Ing. Cristian A. Sandri

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gráfico. Estas lengüetas son las siguientes: General : Permite indicar el tipo de Gráfica, la vista, el tipo de ejes coordenados, el color de los mismos. Axes : Configura de cada uno de los ejes coordenados, el color, límites, número de Grid, etc. Appearance : Permite configurar la apariencia de la gráfica. Colocar líneas de contorno, una superficie de color, sin superficie etc.

( 2) + 4 ⋅ sin( y2)

G ( x , y) := 9 ⋅ cos x

G

G

_ Fill Options: No Fill _ Line Options: Wireframe

_ Fill Options: Fill Surface _Colors Options: Colormap _ Line Options: Wireframe

Lighting: Permite ubicar luces en diferentes posiciones, con diferentes colores, con lo que resalta los contornos y profundidades de las gráficas.

(

2

R • • •

Light 1, yellow Light 2, green Ambient Light, black

)

2

R( x , y) := sin x + y

R

• • •

Light 3, violet Light 4, red Ambient Light, royal blue

Title : esta opción permite poner un título a un gráfico. Ing. Cristian A. Sandri

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Backplanes : en este apartado, podemos elegir para cada uno de los planos coordenados, el color del mismo, el color y ancho de las lineas de grilla, etc.

Q ( x , y) := y ⋅ sin( 3π x) − x ⋅ cos ( 2π y)

Q Fill Backplane: X-Y Color Celeste X-Axis: Draw Line Special : este apartado nos permite elegir opciones de contorno, gráfico representativo de barras etc. Advanced : permite agregar efectos de niebla, cambiar la perspectiva, el colormap,agregar transparencia.

(

2

Z

) − sin( u2 + v2)

2

Z( u , v) := sin u − v

Enable Fog: habilitado

QuickPlot Data: como ya explicamos anteriormente, esta opción permite establecer los límites de graficación, y número de puntos para cada uno de los ejes coordenados.

Ejercicios de graficación de dos variables Ing. Cristian A. Sandri

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Realizar las gráficas de las siguientes funciones:

F ( x , y) := sin( x) ⋅ y

T( x , y) := cos ( x) ⋅ tan( y) K ( x , y) := x ⋅ y ( x+ y )

L( x , y) := e

 

U( x , y) :=  x −

y  ⋅ ( x + 2 ⋅ y) 5

Crear una curva en el Espacio Ing. Cristian A. Sandri

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En Mathcad 2000 podemos definir una función paramétricamente de una variable, y visualizarla en un gráfico de 3 dimensiones. Esta función parametrizada, define una trayectoria en el espacio. Los pasos que definen esta función y gráfica son los siguientes: 1- Definir la función o conjunto de funciones Definimos la función en cualquier lugar de la hoja de trabajo de la siguiente forma

sin( u)  H( u) :=  cos ( u)  sin( u) ⋅ cos ( u) 

   

H(u) es un vector, donde el valor del mismo es función de una variable. Las coordenadas x, y, z son determinadas por la función de cada elemento del vector para un determinado valor de la variable u. También se la puede definir de la siguiente manera

R( u) := 2 ⋅ u 2 S ( u) := u T( u) := cos ( u) Donde R (u), S (u), y T (u) son funciones de una variable, las coordenadas x, y, z son determinadas de acuerdo a cada una de las funciones para un valor determinado de la variable u.

2- Insertar un gráfico paramétrico 3D - Ubicados en un lugar de la hoja, hacemos clic en el botón

de la barra de herramientas Graph.

- En el marcador ingresamos él o los nombres de las funciones. Cuando tenemos más de una función definida, ingresamos las funciones entre paréntesis y separadas entre sí por una coma.

De esta manera quedan definidos los gráficos paramétricos 3D.

( R , S , T)

Ejercicios de Curvas Paramétricas

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1_ Determinar la curva generada en el espacio por las siguientes funciónes paramétricas. a)

b)

X( n) := cos ( 6π n) Y( n) := sin( 6π n) Z( n) := 6π n

 t    H( t) :=  t   2  t 

Gráfica de una Superficie Paramétrica Una superficie paramétrica es creada a partir de tres Matrices representando cada una de ellas los puntos coordenados en el espacio x, y, z. Para crear la superficie paramétrica: 1- Debemos crear tres matrices teniendo el mismo número de filas y de columnas.

m := 0 .. 20 φ m :=

2⋅π ⋅m 20

n := 0 .. 20 θ n :=

2⋅π ⋅n 20

R := 6

r := 2

Xm, n := ( R + r ⋅ cos ( θ n ) ) ⋅ cos ( φ m) Ym, n := ( R + r ⋅ cos ( θ n ) ) ⋅ sin( φ m) Zm, n := r ⋅ sin( θ n )

Definición de las tres matrices de m filas y n columnas

2- Hacer clic en el botón de la barra de Herramienta Graph, y tipeamos el nombre de las tres matrices separadas por comas y encerradas entre paréntesis.

( X , Y , Z)

Crear una Gráfica de Contorno o Curvas de Nivel Ing. Cristian A. Sandri

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Una gráfica de curvas de nivel, corresponde a una gráfica en 3 dimensiones, vista como un gráfico de 2 dimensiones. Unas curvas de nivel representan los valores de las coordenadas x, y, que determinan siempre el mismo valor en el eje de la z. Las diferentes curvas representan los diferentes niveles o valores en el eje de las z. Para crear una gráfica de curvas de nivel.

x := −10 .. 10

1-

Se debe definir la función de 2 variables

y := −10 .. 10 2

2

G ( x , y) := x + y 2Hacer clic en el botón función en la gráfica.

de la barra de herramientas Graph, e insertar el nombre de la

G

G Gráfica de curvas de nivel

Gráfica de Superficie

Ejercicio de Gráficos de curva de nivel 1- Crear un gráfico de curvas de nivel con la siguiente función:

H( x , y) := cos ( x) ⋅ sin( y)

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2

x − 3a

−4 + y + 1 + π

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mente el programa agregar una nueva

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