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• Vanessa

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Problema n° 1 Determinación de los esfuerzos y desplazamiento en los elementos y nodos, respectivamente, mediante elementos finito triangular:

 

‐10 t 1 

3

2

3 m

1 4

2  6 m

1. Número de elementos Ν  2 2. Número de nodos n  4

3. Coordenadas en los nodos. ELEMENTO N° 1 xi1  0 yi1  3

ELEMENTO N° 2 xi2  0 yi2  3

xj1  0

xj2  6

yj1  0

xk1  6 yk1  0

yj2  0

xk2  6 yk2  3

4. Cálculo del doble del área de cada elemento.

ELEMENTO N° 1

 1 xi1 yi1  2 A1 = D1   1 xj1 yj1   18    1 xk1 yk1 

Área del elemtento, D1 Α1  9 2 ELEMENTO N° 2

 1 xi2 yi2  2 A = D2   1 xj2 yj2   18    1 xk2 yk2 

Área del elemtento, D2 Α2  9 2

5. Cálculo de la matriz de coordenadas, Z. 0 0 0  yj1  yk1 yk1  yi1 yi1  yj1   0 0 0 xk1  xj1 xi1  xk1 xj1  xi1  Z1    2  Α1  xk1  xj1 xi1  xk1 xj1  xi1 yj1  yk1 yk1  yi1 yi1  yj1  1

0 0   0 0.167 0.167 0  Z1  0 0 0 0.333 0.333 0    0 0.167 0.167   0.333 0.333 0

0 0 0  yj2  yk2 yk2  yi2 yi2  yj2   0 0 0 xk2  xj2 xi2  xk2 xj2  xi2  Z2    2  Α2  xk2  xj2 xi2  xk2 xj2  xi2 yj2  yk2 yk2  yi2 yi2  yj2  1

0 0.167 0 0 0   0.167  Z2  0 0 0 0 0.333 0.333    0.333 0.333 0.167 0 0.167   0

6. Cálculo de la matriz de las constantes elásticas, M. Módulo de elasticidad, Ε  100 Relación de Poisson, υ  0

 1 υ 0   100 0 0  0   Ε υ 1 Μ   0 100 0   2 1υ  1υ 0 0  0 0 50    2  7. Cálculo de las matrices de rigidez de cada elemento, K. Espesor, e  1

T

K1  Z1  Μ Z1  Α1 e U1 U2 U4 V1

 50  50  0 K1    0  25   25

50 75 25 0 25 25

V2 25

V3

 25 0 25 25   25 0 0 0  0 100 100 0   0 100 112.5 12.5  0 0 12.5 12.5  0

0

25

U1 U2 U3 V1 V2 V3

T

K2  Z2  Μ Z2  Α2 e U1 U4 U4 V1 25 0 25 0

  0  25 K2    0  0   0

V4 0

 25 0 25   25 0 25  12.5 0 12.5   0 100 100  12.5 100 112.5 

50 50 50 75 25 25 0

V3 0

0

25 25

U1 U3 U4 V1 V3 V4

8. Ensamble de la matriz del sistema K. U1

U2

 K11 1  K21 1  K1  2 1  K2  3 1 K  13 1  K22 1 K    K14 1  K24 1  K1  5 1  K2  6 1   K16 1  K25 1 

U3

U4

V1

V2

V3

V4

K2 K  K2  K2 K2 K  K2 K1 K1 K  1 2 1 3 1 1 3 1 2 1 4 1 4 1 1 5 1 6 1 1 6 1 5  U1 K1 2 2

0

K1 2 3

K1 2 4

K1 2 5

0

0

K2 3 3

K2 3 2

K2 3 4

0

K2 3 6

K1 K1 K2 K1  K2 K1  K2 K2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 4 2 4 3 5 2 6 K1 K1  K2  K2 K K2 K K 4 2 4 3 1 4 3 4 2 1 4 4 4 4 1 4 5 4 6 K1 5 2

0

K1 5 3

K1 5 4

K1 5 5

0

0

K2 6 3

K2 6 2

K2 6 4

0

K2 6 6

K1 K1 K2 K1  K2 K1  K2 K2 6 2 5 3 6 3 5 2 6 4 5 4 6 5 5 6

U3

 75  50   25  0 K   0  25  0   25

50 25

U4

V3

0

0

25

0

75

0

25

0

25

0

0

75

50

25

0

25

25

0

25

25 50 75 0

0

25

112.5 100 12.5

25

0

0

100 112.5

0

25

25

0

25 12.5 0

0

0

0 112.5

12.5 100

V4

   0  0   0  12.5  100   112.5  25

25

U3 U4

V3 V4

   K2  3 5  K1  K2 3 6 2 5    K2 K1 4 6 4 5   K1  5 6  K2  6 5  K1  K2  6 6 5 5  K1 2 6

U2 U3 U4 V1 V2 V3 V4

9. K reducida para los grados de libertad donde el desplazamiento es diferente de cero

 K3 3   K4 3 Kred    K7 3 K  8 3

3 8 

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

3 4 4 4 7 4 8 4

3 7 4 7 7 7 8 7

  75 4 8   50  25 K 7 8   0 K   8 8 

50

 75 25 0  25 112.5 100   0 100 112.5  25

0

10. Cálculos del vector de fuerzas externas FUERZAS EN LOS NODOS Fx1  0

Fy1  0

Fx2  0

Fy2  0

Fx3  0

Fy3  10

Fx4  0

Fy4  0

 Fx3   0  Fx4   0  F     Fy3   10   Fy4   0      11. Cálculo de los desplazamientos en los nodos δ  Kred

1

F

 0.147  0.147  δ   0.735   0.653   

u3 u4 v3 v4

12. Cálculo de los esfuerzos en los elementos Elemento n° 1

0  0     δ2  δ1    0  0  δ   4

u1 u2 u4 v1 v2 v4

σ1  Μ  Z1  δ1

 2.449  σ1   0     5.442 

Elemento n° 2

0  δ   2 δ  1 δ2    0  δ   4 δ   3

u1 u4 u3 v1

σ2  Μ  Z2  δ2

v4 v3

13. Cálculo de las fuerza en los nodos a partir de los desplazamientos Elemento n° 1 T

F  Z1  Μ  Z1  δ1  e Α1

 16.327   20    3.673   F  0   8.163     8.163  Elemento n° 2 T

F  Z2  Μ  Z2  δ2  e Α2

 3.673   3.673    0   F  1.837   8.163     10 

 2.449  σ2   2.721     1.224 

ORIGIN  1