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CURSO: CÁLCULO 4 Tema:

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE BARRAS

§2. EL ELEMENTO DE BARRA LINEAL.

1.

Ecuaciones b´ asicas.

El elemento de barras lineal es un elemento finito en una dimensi´on donde las coordenadas locales y lo globales coinciden. Es caracterizado por funciones de forma lineales y es id´entico al elemento de resorte elemental, salvo que la rigidez de la barra no se da directamente. El elemento lineal tiene m´ odulo de elasticidad E, ´area de la secci´ on transversal A y longitud L. Cada elemento de barra lineal tiene dos nodos, como se muestra en la Figura 1. En este caso la matriz de rigidez elemental est´a dada por

k=

i

"

EA L − EA L

E, A

− EA L

#

EA L

(1)

j x

L Figura 1: Elemento de barra lineal.

Es evidente que la matriz de rigidez elemental para el elemento de barra lineal es similar a la del resorte elemental con la rigidez reemplazada por EA/L. Es claro que el elemento de barra elemental tiene s´ olo dos grados de libertad - uno en cada nodo. Consecuentemente para una estructura con n nodos, la matriz de rigidez global K tendr´ a dimensi´on n × n (ya que tenemos un grado de libertad en cada nodo). La matriz de rigidez global K es ensamblada por la funci´on de MatLab LinearBarAssemble que est´a escrita espec´ıficamente para este prop´ osito. Este proceso se ilustra en detalle en los ejemplos. Facultad de Ingeniería

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Una vez que ha sido obtenida la matriz de rigidez global K, tendremos la siguiente ecuaci´ on matricial:

[K] {U } = {F }

(2)

donde U es el vector global de desplazamientos nodales y F es el vector de fuerzas global nodal. En este paso las condiciones de contorno se aplican manualmente a los vectores U y F . A continuaci´ on, el sistema (2) es resuelto por particionamiento seguido de eliminaci´on Gaussiana. Por u ´ltimo una vez que los desplazamientos y reacciones desconocidas han sido encontradas, las fuerzas de los elementos se obtienen para cada elemento de la siguiente manera:

{f } = [k] {u}

(3)

en donde f es un 2 × 1 vector elemental de fuerzas y u es un 2 × 1 vector elemental de desplazamientos. La tensi´on elemental es obtenida dividiendo las fuerzas elementales por el ´area de la secci´ on transversal A.

2.

Uso de las funciones de MatLab. Las cuatro funciones de MatLab usadas para el caso del elemento de barra lineal son: LinearBarElementStiffness(E,A,L) Esta funci´on calcula la matriz de rigidez elemental por cada barra elemental con m´ odulo de elasticidad E, ´area de secci´ on transversal A y longitud L. Retorna una matriz de rigidez elemental de 2 × 2. LinearBarAssemble(K, k, i, j) Estas funciones ensamblan la matriz de rigidez elemental k de la barra lineal, uniendo los nodos i (del extremo izquierdo) y j (del extremo derecho) en la matriz global de rigidez K. Se retorna una matriz global de rigidez K n × n cada vez que es ensamblado un elemento. LinearBarElementForces(k, u) Esta funci´on calcula el vector elemental de fuerzas usando la matriz de rigidez elemental k y el vector elemental de desplazamiento u. Se retorna un 2 × 1 vector elemental de fuerzas f . LinearBarElementStresses(k, u, A) Esta funci´on calcula el vector elemental de tensi´on usando la matriz elemental de rigidez k, el vector elemental de desplazamiento u y el ´area de secci´ on transversal A. Retorna un 2 × 1 vector elemental de tensi´on sigma o s.

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La siguiente es una lista de c´odigos fuente en MatLab para cada funci´on: function y = LinearBarElementStiffness(E,A,L) % LinearBarElementStiffness Esta funci´ on retorna la matriz de rigidez % elemental para una barra lineal con m´ odulo de elasticidad E, ´ area de % secci´ on transversas A y longitud L. % La dimensi´ on de la matriz de rigidez elemental es 2 x 2. y = [E*A/L -E*A/L ; -E*A/L E*A/L];

function y = LinearBarAssemble(K,k,i,j) % % % %

LinearBarAssemble Esta funci´ on ensambla la matriz de rigidez elemental k de una barra lineal con nodos i y j en la matriz de rigidez global K. Esta funci´ on retorna una matriz de rigidez global K luego que hayan sido ensambladas las matrices de rigidez elemental.

K(i,i) K(i,j) K(j,i) K(j,j) y = K;

= = = =

K(i,i) K(i,j) K(j,i) K(j,j)

+ + + +

k(1,1) k(1,2) k(2,1) k(2,2)

; ; ; ;

function y = LinearBarElementForces(k,u) % LinearBarElementForces Esta funci´ on retorna un vector de fuerza % nodal elemental dada la matriz de rigidez elemental k y % el vector elemental de desplazamiento nodal u. y = k * u;

function y = LinearBarElementStresses(k, u, A) % LinearBarElementStresses Esta funci´ on retorna el vector de tensi´ on nodal % elemental dada la matriz de rigidez elemental k, el vector elemental de % desplazamiento nodal u y el a ´rea de secci´ on transversal A. y = k * u/A; Facultad de Ingeniería

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Ejemplo 1 Considerar la estructura conformada por dos barras lineales como se muestra en la Fig. 2. Sea E = 210 GP a, A = 0,003 m2 , P = 10 kN y el nodo 3 es desplazado hacia la derecha en 0,002 m. Determinar:

1. la matriz de rigidez global para la estructura. 2. el desplazamiento en el nodo 2. 3. las reacciones en los nodos 1 y 3. 4. la tensi´ on en cada barra. P 3

2

1

1m

1.5 m

Figura 2: Estructura con dos barras para el ejemplo 1.

´ SOLUCION Paso 1. Discretizaci´ on del dominio: Este problema ya est´ a discretizado. El dominio ha sido dividido en dos elementos y tres nodos. Las unidades usadas en los c´ alculos del MatLab son kN y metros. La Tabla 1 muestra la conectividad elemental para este ejemplo:

TABLA 1. Conectividad elemental para el ejemplo 1. N´ umero de elemento 1 2

Nodo i 1 2

Nodo j 2 3

Paso 2. Escritura de las matrices elementales de rigidez: Las dos matrices de rigidez elemental k1 y k2 son obtenidas por medio de la funci´ on de MatLab LinearBarElementStiffness. Cada matriz tiene dimensi´ on 2 × 2. Facultad de Ingeniería

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>> E=210e6 E = 210000000 >> A=0.003 A = 0.0030 >> L1=1.5 L1 = 1.5000 >> L2=1 L2 = 1 >> k1=LinearBarElementStiffness(E,A,L1) k1 = 420000 -420000

-420000 420000

>> k2=LinearBarElementStiffness(E,A,L2) k2 = 630000 -630000

-630000 630000

Paso 3. Ensamble de la matriz de rigidez global. Dado que la estructura tiene tres nodos, el tama˜ no de la matriz de rigidez global es de 3×3. Facultad de Ingeniería

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Por lo tanto para obtener K primeramente debemos construir una matriz nula de 3 × 3 luego hacer dos llamados a la funci´ on de MatLab LinearBarAssemble dado que tenemos dos barras lineales elementales en la estructura. Cada llamada a la funci´ on ensamblar´ a un elemento,

>> K=zeros(3,3) K = 0 0 0

0 0 0

0 0 0

>> K=LinearBarAssemble(K,k1,1,2) K = 420000 -420000 0

-420000 420000 0

0 0 0

>> K=LinearBarAssemble(K,k2,2,3) K = 420000 -420000 0

-420000 105000 -630000

0 -630000 630000

Paso 4. Aplicaci´ on de las condiciones de contorno. El sistema (2) para este caso es obtenido utilizando la matriz de rigidez global del paso anterior:     U F     1 1           −420000 1050000 −630000  U F = 2 2              0 −630000 630000 U3 F3 

420000

−420000

0

Las condiciones de contorno para este problema son dadas por: Facultad de Ingeniería

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(4)

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U1 = 0, Insertando ambas condiciones  420000   −420000  0

F2 = −10,

U3 = 0,002

(5)

en (4), obtenemos:    0  1050000 −630000    U2   −630000 630000 0,002 −420000

0

Paso 5. Resolviendo las ecuaciones.

 F    1 −10 =       F3    

   

(6)

  

La soluci´ on del sistema de ecuaciones (6) se llevar´ a a cabo mediante un particionamiento (manual) y posterior eliminaci´ on Gaussiana (con MatLab). Primeramente particionamos (6) extrayendo la submatriz de la fila 2 y columna 2 que resulta ser una matriz 1 × 1. Debido al desplazamiento de 0.002 m efectuado por el nodo 3, tenemos que extraer la submatriz de la fila 2 y columna 3, que tambi´en resulta ser una matriz 1 × 1 Luego obtenemos:

[1050000] U2 + [−630000] (0,002) = {−10}

(7)

La soluci´ on de ambos sistemas es obtenido usando MatLab del siguiente modo. Notar que el operador \ (backslash) es usado para la eliminaci´ on Gaussiana.

>> k=K(2,2) k = 1050000 >> k0=K(2,3) k0 = -630000 >> u0=0.002 u0 = 0.0020 Facultad de Ingeniería

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>> f=[-10] f = -10 >> f0=f-k0*u0 f0 = 1250 >> u=k\f0 u = 0.0012

Ahora est´ a claro que el desplazamiento en el nodo 2 es 0.0012 m. Paso 6. Post-procesamiento. En este paso obtenemos las reacciones en los nodos 1 y 3, y la tensi´ on en cada barra usando MatLab del siguiente modo. Primeramente creamos el vector global de desplazamientos nodales U y luego calculamos el vector global de fuerzas nodales F .

>> U=[0;u;u0] U = 0 0.0012 0.0020 >> F=K*U F = -500.0000 -10.0000 Facultad de Ingeniería

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510.0000

As´ı, las reacciones en los nodos 1 y 3 son fuerzas de 500 kN (dirigida hacia la izquierda) y 510 kN (dirigida hacia la derecha), respectivamente. Queda claro que la fuerza de equilibrio se cumple. Luego establecemos los vectores elementales de desplazamiento nodal u1 y u2 ; luego calculamos el vector elemental de fuerzas f1 y f2 por medio de la funci´ on de MATLAB LinearBarElementForces. Finalmente dividimos cada fuerza elemental entre el a ´rea de la secci´ on transversal del elemento para obtener las tensiones elementales,

>> u1=[0;U(2)] u1 = 0 0.0012 >> f1=LinearBarElementForces(k1,u1) f1 = -500.0000 500.0000 >> sigma1=f1/A sigma1 = 1.0e+005 * -1.6667 1.6667 >> u2=[U(2) ; U(3)] u2 = 0.0012 0.0020 >> f2=LinearBarElementForces(k2,u2)

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f2 = -510.0000 510.0000 >> sigma2=f2/A sigma2 = 1.0e+005 * -1.7000 1.7000

La tensi´ on en el elemento 1 es 1,667 × 105 kN/m2 (o 166,7 M P a de tensi´ on); y la tensi´ on en el 5 2 elemento 2 es 1,7 × 10 kN/m (o 170 M P a de tensi´ on). Alternativamente, podemos obtener la tensi´ on elemental directamente por medio de la funci´ on de MatLab LinearBarElementStresses. Esto se realiza de la siguiente manera, obtieni´endose los mismos resultados. >> s1=LinearBarElementStresses(k1,u1,A) s1 = 1.0e+005 * -1.6667 1.6667 >> s2=LinearBarElementStresses(k2,u2,A) s2 = 1.0e+005 * -1.7000 1.7000

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´Indice 1. Ecuaciones b´ asicas.

1

2. Uso de las funciones de MatLab.

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