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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD : INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL ESCUELA : INGENIERIA CIVIL ASIGNATURA: INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS DOCENTE : INGº CRISTIAN CASTRO PEREZ

DEDICATORIA

Dedicamos este trabajo a nuestros padres, que día a día apuestan por nosotros.

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INDICE DEDICATORIA……………………………………………………………………..…………..……

1

INDICE………………………………………………………………………………………….…….

2

1. INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………….……..

3

1.1 Antecedentes históricos...…………………………………………………….………………...

3

1.2 Planteamiento del problema……………………………………………………………………

4

1.3 Objetivos………….…………………………………………………………………………….

5

1.3.1 Objetivo general…………………………………………………………….….…......

5

1.3.2 Objetivos específicos…………………………………………………………………

5

1.4 Metodología empleada……………………………………………………………..…….……

6

2. MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS…………………………………………….…….…...

7

2.1 Elasticidad Bidimensional...…………….…………………………………………….…….….

10

2.1.1 Problema de Tensión Plana...…………….………………………………….………

10

2.1.2 Problema de deformación plana...…………….……………………..…………….

10

2.2 Campo de de deformaciones...…………….…………………….………………..…..….…….

10

2.3 Triángulo de deformación unitaria constante...…………….………………..……...………..

11

2.4 Representación isoparamétrica...…………….………………………………….…...………..

12

2.5 Vectores de fuerzas nodales equivalentes...…………….…………………………..….………

16

Fuerzas repartidas por unidad de área. …………………………………………… Fuerzas repartidas sobre el contorno……………………………....…….…...…… Fuerzas debidas a deformaciones iniciales. ……………………….……….……… Fuerzas debidas a tenciones iniciales.…………………………...…….. ….……......

16 16 16 16

2.6 Fuerza de tracción...…………….…………………………………………..………....………....

18

2.7 Rigidez del elemento…………….……………………………….…………….…….…..….......

20

2.7.1 Proceso de ensamblaje…………..…………..…….…………….…….…..….......

21

2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.3

3. PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO………………………….…………….………..….......

22

3.1 Teoría de Rankine…………….………………………………….…………….………..….......

22

3.2 Empuje de arena sobre muros ….……………………………….…………….………..….......

23

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4. ANEXO…………………………………………………………….…………….………..…........

24

4.1 Solución con Excel…………………………….…………….……………….………..……....... 4.2 Solución con Matlab……………………….……………….………………..…………..…....... 4.3 Solución con Róbot………………………………………….………………..…………..….......

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1. 1.1

INTRODUCCIÓN ANTECEDENTES HISTÓRICOS

Las ideas básicas del método del elemento finito se originaron gracias a los avances en el análisis estructural de las aeronaves. En 1941, Hrenikoff presentó una solución de problemas de la elasticidad usando el “método de trabajo el marco”. En un artículo publicado en 1943, Courant usó interpolación polinomial por partes sobre subregiones triangulares para modelar problemas de torsión. Turner y otros investigadores obtuvieron matrices de rigidez para armaduras, vigas y otros elementos y presentaron sus hallazgos en 1956. Clough fue el primero en acuñar y emplear el término elemento finito en 1960. En los primeros años de la década de 1960, los investigadores usaron el método para obtener soluciones aproximadas en problemas de análisis de esfuerzos, flujo de fluidos, transferencia de calor y otras áreas. Un libro de Argyris, publicado en 1955, sobre teoremas de energía y métodos matriciales, cimentó métodos adicionales en los estudios del elemento finito. El primer libro sobre elementos finitos por Zienkiewiez y Chung fue publicado en 1967. A partir de la década de 1960 y principios de la siguiente, el análisis por elemento finito se aplico a problemas no lineales y de grandes deformaciones. El libro de Oden sobre continuos no lineales apareció en 1972. Las bases matemáticas se fijaron en la década de 1970. Nuevo desarrollo de elementos, estudios de convergencia y otras áreas afines pertenecen a esta categoría. Actualmente los avances en computadoras mainframe (supercomputadoras) y la disponibilidad de poderosas microcomputadoras han puesto a este método al alcance de estudiantes e ingenieros.

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1.2

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En Perú, se están desarrollando una serie de proyectos relacionados con la construcción de nuevas obras civiles, cuyo propósito es mejorar sustancialmente las infraestructuras con las que actualmente cuenta el país y, con ello, alcanzar los estándares de servicio adecuados. La mejora de estas infraestructuras involucra la realización de importantes obras de ingeniería, muchas de las cuales están directamente relacionadas con la construcción de muros de contención, como componente de pasos superiores o para contención de desmontes, entre otros. En la actualidad la solución de un problema estructural ha tenido mayor aceptación mediante el empleo de los elementos finitos a comparación de los métodos matemáticos tradicionales.

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1.3

OBJETIVOS

1.3.1

Objetivos Generales

-

1.3.2 -

Resolver un problema bidimensional empleando el método de los elementos finitos.

Objetivos Específico Resolver el muro de contención usando el FEM. Conocer la formulación isoparamétrica para elementos finitos triangulares. Modelar adecuadamente el problema bidimensional. Resolver manualmente el problema bidimensional manualmente usando el FEM. Realizar un programa en Matlab para comparar la solución con el procedimiento manual. Usar un software comercial para comparar los resultados con el programa Hecho en Matlab. Afinar el mallado en el Matlab y el Róbot para evaluar los resultados obtenidos.

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1.4

METODOLOGÍA EMPLEADA

Un análisis riguroso precisa de la integración de las ecuaciones diferenciales que expresan el equilibrio de un elemento diferencial genérico de la estructura. El planteamiento matemático-analítico de dichas ecuaciones da lugar a la formulación continua del problema. El objetivo del MEF también es conocer los campos anteriores en cualquier punto del dominio a partir de los valores hallados en ciertos puntos. Para ello es necesario dividir el dominio en subdominios (elementos finitos) formando una malla. El planteamiento de las ecuaciones que se obtienen y su resolución dan lugar a la formulación discreta del problema. Campo de desplazamientos conocidos en los nodos. Campo de tensiones y deformaciones conocidas en los nodos o en los puntos de integración. En el siguiente trabajo se empleará el Método De Los Elementos Finito (MEF), para resolver el muro de contención en voladizo; esta solución se hará manualmente usando las herramientas como son el Excel y el AutoCAD, también se resolverá haciendo un programa en Matlab y mediante el Róbot.

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MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS FORMULACIÓN PLANA DE TENSIONES.

Comencemos por revisar algunos conceptos fundamentales que trata con el comportamiento elástico de los materiales. Consideremos la posibilidad de un cubo de volumen infinitesimal alrededor de un punto dentro de un material. Las caras del cubo están orientados en las direcciones de (X, Y, Z) sistema de coordenadas. La aplicación de fuerzas externas que crea las fuerzas internas y, posteriormente, tensiones en el material. El estado de tensión en un punto puede ser definido en términos de los nueve componentes de las caras positivas y sus homólogos en las superficies negativas, como se muestra en la figura. Sin embargo, debido a los requisitos de equilibrio, sólo seis componentes de tensión independientes son necesarios para caracterizar el estado general de tensión en un punto. Así, el estado general de tensión en un punto se define por:

Donde y es la tensión normal y son los componentes de esfuerzo cortante, y proporcionan una medida de la intensidad de las fuerzas internas que actúan sobre las áreas de las caras del cubo. En muchos problemas prácticos, nos encontramos con situaciones donde no hay fuerzas que actúan en la dirección Z y, en consecuencia, no hay fuerzas internas que actúan sobre las caras Z.

FIGURA 2.0 los componentes de la tensión en un punto.

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FIGURA 2.1 Estado plano de tensión. Para una situación de tensión plana, el estado de tensión reduce a tres componentes:

Consideremos una fuerza que crea tensión dentro de un cuerpo. La fuerza aplicada también hará que un cuerpo sufra una deformación, o el cambio de su forma. Podemos usar un vector desplazamiento para medir los cambios que ocurren en la posición de un punto dentro de un cuerpo. El vector de desplazamiento ⃗ puede ser escrito en términos de sus componentes Cartesianos como: ⃗

(

)

(

)

(

)⃗

Donde las componentes del vector desplazamiento representados en las coordenadas del ) a la nueva posición ( desplazamiento del punto de su posición original( ) causada por la fuerza, dada por las ecuaciones: (

)

(

)

(

)

El estado de deformación en un punto se caracteriza por seis componentes independientes, es decir:

Son las deformaciones normales y son los componentes de la deformación-cortante. Hay componentes que proporcionan información acerca de los cambios de tamaño y forma de un material dada internamente, debido a la carga. La situación en la que no se producen desplazamientos en la dirección z se conoce como una situación de deformación plana. Existe una relación entre la tensión y deformación. Estas relaciones son las siguientes:

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En un material elástico, también existe una relación entre el estado de deformación y tensión. Haciendo uso de la Ley de Hooke generalizada, estas relaciones son las siguientes: (

)

(

) (

)

Donde E es el módulo de elasticidad (módulo de Young), es poison, y G es el módulo de corte de la elasticidad (módulo de rigidez). Para una situación de tensión plana, la Ley de Hooke generalizada se reduce a:

{

}

[

]{

}

O, en forma de matriz compacta, { }

{ }

Donde

[

]

{

}

Forma una situación de deformación plana, la Ley de Hooke generalizada se convierte en:

{

}

(

)(

)

[

]{

}

Además, para las situaciones de tensión plana, la relación tensión-deformación se convierte en:

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2.1

ELÁSTICIDAD BIDIMENSIONAL

Existe una gran variedad de estructuras de interés práctico dentro de la ingeniería en las que se puede hacer uso de la hipótesis de la elasticidad bidimensional. Dichas estructuras se caracterizan por tener todas unas formas aproximadas al prisma recto. No obstante, según la proporción que guarden las dimensiones de dicho prisma, y la disposición de cargas pueden clasificarse en uno de los tipos siguientes: 2.1.1 PROBLEMA DE TENSIÓN PLANA (

)

Se dice que una estructura prismática está en estado de tensión plana si una de sus dimensiones (espesor) es mucho menor que las otras dos, y sobre ella actúan únicamente cargas contenidas en su plano medio. Entre los problemas de estructuras que se incluyen dentro de esta categoría podemos citar los de análisis de vigas de gran canto, placas con cargas en su plano, presas de contrafuerte, etc.

FIGURA 2.2 Ejemplos de tensión plana 2.1.2 PROBLEMA DE DEFORMACIÓN PLANA (

)

Una estructura prismática está en estado de deformación plana si una de sus dimensiones (longitud) es mucho mayor que las otras dos y por ella actúan únicamente cargas uniformemente distribuidas a lo largo de toda su longitud y contenidas en planos ortogonales al eje que une los centros de gravedad de sus distintas secciones transversales. Dentro de esta clasificación se pueden incluir entre otros, los problemas de muros de contención, presas de gravedad, tuberías bajo presión interior y diversos problemas de ingeniería del terreno (túneles, análisis de tensiones bajo zapatas, etc.)

FIGURA 2.3 Ejemplos de deformación plana 10

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2.2

CAMPO DE DE DEFORMACIONES

Del campo de desplazamientos (

)

{

( (

) } )

Se puede deducir fácilmente las deformaciones haciendo uso de la teoría general de la elasticidad, así:

Para un material ortótropico con direcciones principales de ortotropía según siguiente expresión:

(

2.3

)(

)

[

, la matriz D tiene la

]

TRIÁNGULO DE DEFORMACIÓN UNITARIA CONSTANTE

Los desplazamientos en puntos dentro de un elemento tienen que ser representados en términos de los desplazamientos nodales del elemento. El método del elemento finito usa el concepto de funciones de forma para crear sistemáticamente esas interpolaciones. Para el triangulo de deformación untaría constante las funciones de forma son lineales sobre el elemento. Las funciones de forma correspondiente a los nodos 1, 2, y 3, respectivamente. La función de forma es 1 en el nodo 1 y se reduce linealmente a 0 en los nodos 2 y 3. Los valores de la función de forma definen entonces una superficie plana, como se muestra en la figura. Son representadas por superficies similares con valores de 1 en los nodos 2 y 3, respectivamente, y de 0 los bordes opuestos. Cualquier combinación lineal de esas funciones de forma representa también una superficie plana. En particular, representa un plano con altura de 1 en los nodos 1, 2 y 3 entonces es paralelo al triángulo 123. Entonces para toda ,

…………..………. [2.01]

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Figura 2.1 Funciones de forma

Por lo que no son linealmente independientes; sólo dos de ellos lo son. Las funciones de forma independientes son representadas convenientemente por el par , como sigue: …………..………. [2.02] Donde

son coordenadas naturales.

Las funciones de forma pueden representarse físicamente por áreas coordenadas. Un punto ( )en un triángulo se divide éste en tres áreas , como se muestra en la figura. Las funciones de forma se representan precisamente por:

…………..………. [2.03]

Donde A es el área del elemento. E s claro que

en todo punto dentro del triángulo.

Figura 2.1 Áreas coordenadas 12

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2.4 REPRESENTACIÓN ISOPARAMÉTRICA Los desplazamientos dentro del elemento se escriben ahora usando funciones de forma y los valores nodales del campo de desplazamiento desconocido.

…………..………. [2.4a] O usando la ecuación [2.2]. (

)

(

)

(

)

(

) …………..………. [2.4b]

Las relaciones [2.4a] pueden expresarse en forma matricial definiendo una matriz de función de forma, [

] …………..………. [2.05] …………..………. [2.06]

Para el elemento triangular las coordenadas ( ) también pueden representarse en términos de coordenadas nodales usando las mismas funciones de forma. Ésta es la representación isoparamétrica. Este enfoque le da simplicidad al desarrollo y retiene la uniformidad con otros elementos complejos. Tenemos:

…………..………. [2.7a] (

)

(

)

(

)

(

) …………..………. [2.7b]

Usando la notación

podemos escribir la ecuación [2.7b] como:

…………..………. [2.7c] Esta ecuación relaciona las coordenadas

con las coordenadas

. 13

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Al evaluar las deformaciones unitarias, las derivadas parciales de De las ecuaciones [2.04] y [2.07], vemos que y también Es decir, ( ( ) ( )) y similarmente para derivadas parciales de , tenemos:

( (

) (

se toman con respecto a son funciones de forma de

. .

)). Usando la regla de la cadena

Que puede escribirse en notación matricial como:

{

}

]{

[

} …………..………. [2.08]

Donde la matriz cuadrada de (2x2) de denomina el jacobiano

[

de la transformación:

] …………..………. [2.09]

Al tomar las derivadas de

, resulta: [

] …………..………. [2.10]

También de la ecuación [2.08],

{

}

{

} …………..………. [2.11]

Donde

es la inversa del jacobiano , dada por: [

] …………..………. [2.12] 14

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…………..………. [2.13] Puede verse que la magnitud del

es el doble del área del triángulo. |

|

De las ecuaciones [2.11] y [2.12], se infiere que:

{

}

{

} …………..………. [2.14]

Reemplazando u por el desplazamiento v, obtenemos una expresión similar.

{

}

{

} …………..………. [2.15]

Usando las relaciones deformación unitaria – desplazamiento y las ecuaciones [2.4] y [2.14], obtenemos:

{ { (

)

( ( (

} ) ) )

( ( (

) ) )

(

} )

…………..………. [2.16] De la definición de , podemos escribir anterior puede escribirse en la forma matricial como:

, etc. La ecuación

Donde es una matriz de elemento de deformación unitaria-desplazamiento de (3x6) que relaciona las tres deformaciones unitarias con los seis desplazamientos nodales y está dada por: 15

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[

] …………..………. [2.17]

Podemos notar que todos los elementos de la matriz coordenadas nodales.

2.5

son constantes expresadas en términos de las

VECTORES DE FUERZAS NODALES EQUIVALENTES

2.5.1 Fuerzas repartidas por unidad de área. ( )

∫∫

∫∫

( )

( )

{

} …………..………. [2.18]

Por tanto, el vector de fuerzas repartidas correspondiente a un nodo i es: ( )

∫∫

∫∫

( )

( )

{

} …………..………. [2.19]

Si la fuerza b está uniformemente repartida sobre todo el elemento, se obtiene, haciendo uso de ( )

(

) …………..………. [2.20] (

)(

)

{

} …………..………. [2.21] 16

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Es decir, la fuerza repartida total actuante sobre el elemento se reparte equitativamente entre los nodos, lo cual lo cual era un resultado intuible. Si la fuerza por unidad de área corresponde al peso propio y el eje de la gravedad coincide con el eje y se tiene que y donde son la densidad del material y el valor de la gravedad, respectivamente. 2.5.2

Fuerzas repartidas sobre el contorno. ( )

∮

∮ {

( )

( )

} …………..………. [2.22]

( )

En el cálculo de hay que tener en cuenta que al referirse la integral a un lado del elemento, la función de forma del nodo no perteneciente a dicho lado vale cero sobre el mismo. A sí, si el lado es el 1-2 y las fuerzas y están uniformemente repartidas sobre dicho lado, se obtiene de la ecuación anterior que la fuerza total sobre el lado se reparte equitativamente entre los nodos del mismo y el vector

( )

es:

( )

(

)(

)

{ } …………..………. [2.23] 2.5.3 2.5.4

Fuerzas debidas a deformaciones iniciales Fuerzas debidas a tenciones iniciales

Hay que señalar que las fuerzas nodales de equilibrio debido a fuerzas de interacción entre los contornos de dos elementos adyacentes se anulan en el ensamblaje, debido a que dichas fuerzas exteriores tienen igual módulo y dirección pero sentidos opuestos en cada elemento. Por tanto, a efectos prácticos, solamente hay que considerar el efecto de las fuerzas de superficie cuando se trate de fuerzas exteriores actuantes sobre los lados de elementos que pertenezcan al contorno de la estructura.

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En el presente trabajo se vio por conveniente trabajar con las fuerzas definidas de la siguiente manera:

2.6

FUERZA DE TRACCIÓN

Es una carga distribuida que actúa sobre la superficie del cuerpo. Esa fuerza actúa sobre los bordes que conectan los nodos de la frontera. Una fuerza de tracción que actúa sobre el borde de un elemento contribuye al vector de cargas F. Esta contribución puede determinarse considerando el término de fuerza de tracción ∫ . Considere un borde , sobre el que actúa una tracción en unidades de fuerza por unidad de superficie de área, Tenemos: ∫

∫

(

) …………..………. [2.24]

Usando las relaciones de interpolación que contiene las funciones de forma

…………..………. [2.25] Y notamos que ∫

∫

∫ …………..………. [2.26]

√(

)

(

) …………..………. [2.27]

Obtenemos ∫ …………..………. [2.28] Donde

está dad por:

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…………..………. [2.29] Sí son presiones que actúan normalmente en la línea dirigida hacia la derecha cuando nos movemos de 1 a2, como se muestra en la figura, entonces:

(

)

(

)

…………..………. [2.30]

Figura 2.0 Fuerza de tracción.

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2.6

RIGIDEZ DEL ELEMENTO

Sustituyendo la deformación unitaria de las relaciones de deformación unitaria-desplazamiento del elemento

Sustituyendo esta última ecuación en la energía de deformación unitaria del elemento obtener:

, para

∫

∫ …………..………. [2.31] Considerando el espesor del elemento como constante sobre el elemento, y teniendo en cuenta que los términos en las matrices y son constantes, tenemos: (∫

) …………..………. [2.32]

Ahora ∫

, donde

es el área del elemento. Entonces,

…………..………. [2.33]

…………..………. [2.34] Donde

es la matriz de rigidez del elemento dada por

…………..………. [2.35]

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2.7.

PROCESO DE ENSAMBLAJE-CONCEPTO METODOLÓGICO ESTÁNDAR.

En la matriz de rigidez de la estructura se forma a partir de las contribuciones de las matrices de los diferentes elementos individuales. Esta operación se denomina ensamblaje. Sea la matriz genérica de un elemento.

( )

[ En el proceso de ensamblaje debemos colocar el coeficiente de la matriz de rigidez K global de la estructura.

] de la matriz elemental en la posición

Figura 2.0 Fuerza de tracción. En deformación plana el número de grados de libertad es 2 y en un triángulo de tres nodos se tiene una matriz de 6 x 6.

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3

PRESIÓN LATERAL DEL TERRENO

En los suelos, granos, carbón y otros materiales granulados se desarrolla resistencia de fricción interna entre los granos adyacentes. La magnitud de la presión de tierra lateral depende de las características de resistencia del suelo al cortante, de las condiciones de deformación lateral, de la presión del agua en los poros y el estado de equilibrio del suelo. Éstos a su vez dependen de las condiciones de drenado, de la interacción del suelo y la pared y de la magnitud y naturaleza de los desplazamientos relativos.

3.1

TEORÍA DE RANKINE (1857)

Hipótesis -

Resistencia al corte del suelo obedece la ley de Coulomb. Relleno de superficie horizontal. Trasdós del muro vertical. No existen tensiones tangenciales entre el paramento vertical de muro y el suelo (Muro “liso”) Superficie de nivel de agua en la masa del suelo es horizontal. Sobrecargas uniformemente distribuidas en superficie del terreno.

Figura 2.0 Teoría de Rankine

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Estado Activo Coeficiente de empuje activo Estado Pasivo Coeficiente de empuje pasivo Esfuerzos confugados Estados tensionales (

)

(

) estados de Rankine En Arenas

'  ha 1  sen   1 Ka  '   tg 2 (45  )  2 N  v 1  sen 

Kp 

'  hp



' v



1  sen   1  tg 2 (45  )   N 1  sen  2 Ka

Ka  K0  K p

3.2

EMPUJE DE ARENA SOBRE MUROS

Líneas de deslizamiento: Por propiedades del círculo de Mohr. •

Superficie de falla activa forma ángulo de

con plano horizontal

•

Superficie de falla pasiva forma ángulo de

con plano vertical

La magnitud y la posición del empuje del suelo sobre el muro se calculan integrando el perfil de tensiones horizontales en toda la altura del muro.

Figura 2.0 Empuje de arenas sobre muros 23

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Si existe agua, en estado estático, hay que agregar el empuje que la misma produce. La magnitud de este empuje sobre el muro será:

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I.- SOLUCIÓN MANUAL DEL PROBLEMA. 1.- Coordenadas de los elementos, empezaremos por definir el sentido de la numeración y sus respectivas coordenadas X, Y de cada nudo del contorno del problema.

N 1 2 3 4 5 6 7 8

X 0 0 0.5 0.75 1 1 2 2

Y 0 0.5 0.5 3 3 0.5 0.5 0

2.- Conectividad de los elementos finitos, nos permite conocer el orden de la numeración de los elementos finitos.

ELEMENTOS E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E 6 E 7 E 8 E 9 E 10 E 11 E 12 E 13 E 14 E 15 E 16 E 17 -

COORDENADAS Nudo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

X

0.00000 0.00000 0.50000 0.75000 1.00000 1.00000 2.00000 2.00000 0.55528 0.61118 0.66708 1.00000 1.00000 1.00000 1.50000 1.00000 0.50000 1.33168 1.66502

Y

0.00000 0.50000 0.50000 3.00000 3.00000 0.50000 0.50000 0.00000 1.05280 1.61180 2.17080 2.16667 1.61249 1.05831 0.00000 0.00000 0.00000 0.50000 0.50000

k1

2 1

k2

k3

2 1

k4

2

k5

k6

k7

PARA LAS RIGIDECES k8 k9 k10 k11 k12 k13 k14 k15 k16 k17

1

2 1

1 1

2

2

2 2 1

3

1

2 1 3

3

3

2 2 3

2 1 3

1 3 1

3

1 3

3 3

1

2 2 1

3

3

NUDOS 1 2 4 3 6 6 7 9 10 11 11 10 8 6 15 16 15

2 3 5 6 3 9 8 10 11 4 12 13 15 16 16 6 18

3

2 1

2

2

3

3

1 3

17 17 12 17 9 14 19 14 13 12 13 14 19 17 18 18 19

3.- Calculo de las rigideces de los elementos. - Coordenadas de los elementos. COORDENADAS - 2 0 Y - 2 - 1 0 Y - 1 - 17 0.5 Y - 17

X X X

0.5 0 0

- Matriz Jacobiana. J =

-0.5 -0.5

0.5 0

- Determinante del jacobiano. Det(J)=

0.25

-Matriz “B” del elemento B

=

0 0 2

0 2 0

-2 0 -2

BT =

0 0 -2 0 2 0

0 2 0 -2 0 0

2 0 -2 -2 0 2

0 -2 -2

2 0 0

0 0 2

-Propiedades del material: 1984313.48 T/m2 0.3 1m

E= v= t=

-Matriz “D”. D=

DB=

2671191.223 1144796.238 0

1144796.238 2671191.223 0

0.00 0.00 1526394.98

2289592.48 5342382.45 0.00

0 0 763197.4923 -5342382.45 -2289592.48 -1526394.98

-2289592.48 -5342382.45 -1526394.98

5342382.45 2289592.48 0.00

0.00 0.00 1526394.98

-Matriz de Rigidez del Elemento: u2 Ke =

v2 381598.7 0.0 -381598.7 -381598.7 0.0 381598.7

u1 0.0 1335595.6 -572398.1 -1335595.6 572398.1 0.0

v1 -381598.7 -572398.1 1717194.4 953996.9 -1335595.6 -381598.7

u17 -381598.7 -1335595.6 953996.9 1717194.4 -572398.1 -381598.7

v17

0.0 572398.1 -1335595.6 -572398.1 1335595.6 0.0

381598.7 0.0 -381598.7 -381598.7 0.0 381598.7

/ u8 v8 u1 v1 u9 v9

-Ordenando la matriz de rigidez u1 Ke=

v1 1717194.4 953996.9 -381598.7 -572398.1 -1335595.6 -381598.7

u2 953996.9 1717194.4 -381598.7 -1335595.6 -572398.1 -381598.7

v2 -381598.7 -381598.7 381598.7 0.0 0.0 381598.7

u17 -572398.1 -1335595.6 0.0 1335595.6 572398.1 0.0

v17 -1335595.6 -572398.1 0.0 572398.1 1335595.6 0.0

-381598.7 -381598.7 381598.7 0.0 0.0 381598.7

/ u1 v1 u2 v2 u17 v17

-En la matriz global. u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 u5 v5 u6 v6 u7 v7 u8 v8 u9 v9 u10 v10 u11 v11 u12 v12 u13 v13 u14 v14 u15 v15 u16 v16 u17 v17 u18 v18 u19 v19 /

* * * *

* * * *

* * * *

* * * *

* * * * * * * *

* * * *

* * * *

* * * *

De esta manera vamos armamos las rigideces de los demás elementos, para que finalmente tengamos la rigidez global.

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 u5 v5 u6 v6 u7 v7 u8 v8 u9 v9 u10 v10 u11 v11 u12 v12 i13 v13 u14 v14 u15 v15 u16 v16 u17 v17 u18 v18 u19 v19

4.- Ploteando la rigidez global en el Matlab, tenemos la siguiente configuración:

u1

v1

u2

v2

u3

v3

u4

v4

u5

v5

1717194

953997

-381599

-572398

0

0

0

0

0

0

953997

1717194

-381599

-1335596

0

0

0

0

0

0

-381599

-381599

1717194

0

-1335596

-572398

0

0

0

0

-572398

-1335596

0

1717194

-381599

-381599

0

0

0

0

0

0

-1335596

-381599

5184070

848523

0

0

0

0

0

0

-572398

-381599

848523

4811962

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4605088

4752

-4451985

-572398

0

0

0

0

0

0

4752

1807591

-381599

-1271996

0

0

0

0

0

0

-4451985

-381599

4566465

953997

0

0

0

0

0

0

-572398

-1271996

953997

1672675

0

0

0

0

-2778285

105474

0

0

0

0

0

0

0

0

105474

-684700

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

El tamaño de la matriz de rigidez Global es de 38x38.

5.- Matriz reducida. Como existen 6 GDL restringidos, nuestra matriz de rigidez reducida será de 32x32

u2

v2

u3

v3

u4

v4

u5

v5

u6

v6

1717194

0

-1335596

-572398

0

0

0

0

0

0

1717194

-381599

-381599

0

0

0

0

0

0 0

-1335596

-381599

5184070

848523

0

0

0

0

-2778285

105474

-572398

-381599

848523

4811962

0

0

0

0

105474

-684700

0

0

0

0

4605088

4752

-4451985

-572398

0

0

0

0

0

0

4752

1807591

-381599

-1271996

0

0

0

0

0

0

-4451985

-381599

4566465

953997

0

0

0

0

0

0

-572398

-1271996

953997

1672675

0

0

0

0

-2778285

105474

0

0

0

0

5768660

-1068893

0

0

105474

-684700

0

0

0

0

-1068893

4678998

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6.- Vector de Fuerzas.

Aplicando la teoría de Rankine, calculamos las fueras que imparten el suelo a la estructura.

Estas fuerzas se llevan a los nodos por equilibrio, también podemos usar la formulación que nos hace chandupatra.

Estas fuerzas las ordenamos

Sistema equivalente de fuerzas. FX2 FY2 FX3 FY3 FX4 FY4 FX5 FY5 FX6 FY6 FX7 FY7 FX8 FX9 FY9 FX10 FY10 FX11 FY11 FX12 FY12 FX13 FY13 FX14 FY14 FX15 FX16 FX17 FX18 FY18 FX19 FY19

0.25770 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -1.34780 0.00000 -1.23480 -2.44620 -1.15300 -2.47050 -1.18170 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -2.43140 0.00000 -2.15160 0.00000 -2.34010 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -4.90450 0.00000 -4.92880

7.- Calculo de los desplazamientos y las fuerzas. Gdl u2 v2 u3 v3 u4 v4 u5 v5 u6 v6 u7 v7 u8 u9 v9 u10 v10 u11 v11 u12 v12 i13 v13 u14 v14 u15 u16 u17 u18 v18 u19 v19

Desplazamiento -0.000012252 -0.000001925 -0.000013258 -0.000006270 -0.000351960 -0.000001248 -0.000352490 0.000039315 -0.000009196 0.000008368 -0.000011583 -0.000002876 -0.000012029 -0.000054924 -0.000018069 -0.000127673 -0.000019043 -0.000215554 -0.000014297 -0.000215934 0.000037278 -0.000129609 0.000032212 -0.000057969 0.000022806 -0.000012218 -0.000010954 -0.000004347 -0.000011815 -0.000000279 -0.000011846 -0.000002492

RX1 RY1 RY8 RY15 RY16 RY17

11.582700 9.733903 3.603393 4.019585 -12.260446 9.653565

PROBLEMA PLANTEADO:

MODELADO DEL PROBLEMA:

II.- CON EL PROGRAMA ELABORADO EN EL MATLAB. 01.- EJECUTAMOS EL PROGRAMA “R_MURO”, NOS MUESTRA EL SIGUIENTE ENTORNO:

02.- INGRESAMOS LOS DATOS DEL PROBLEMA, DE ACUERDO AL MODELO PLANTEADO: a.- Coordenadas

Al picar OK, nos lleva al entorno del PD TOOLBOX:

El cual configuramos el “Mesh Parameters” del siguiente modo:

Generamos el mallado:

Exportamos en las variables p e t

Guardamos las variables:

Remplazamos, para que se actualicen los datos:

b.- Visualizando el contorno

Contorno del problema, de acuerdo al ingreso de las coordenadas se efectúa la numeración:

c.- Visualizando el mayado:

Mayado del problema, visualiza la numeración de los nodos y de los elementos finitos generados:

d.- Propiedades del concreto: Ingresamos la elasticidad, modulo de poison, y el espesor:

e.- Propiedades del suelo, de acuerdo a la teoría de Rankine.

f.- Restricciones:

El nudo 01 se modela como apoyo fijo y los demás nudos de la base como apoyos móviles, estos datos se enumeran como muestra la flecha amarilla y cargan en el archivo de Excel, que se llama restricciones:

g.- Vector de fuerzas: El vector de fuerzas se cargara en los lados 4, 5, 8, 1 y los archivos en los que estos se cargan son el Cargas01, Cargas02, Cargas03, Cargas04 (Archivos de Excel).

Archivos de Excel Cargas01, Cargas02, Cargas03, Cargas04 se cargan los nodos de manera como indica la flecha amarilla.

03.- CALCULOS: a.- Rigidez global:

Nos muestra el mapeo de los elementos de la matriz de rigidez:

Exporta al Excel la matriz de rigidez global, con el nombre “01_RIGIDEZ GLOBAL”.

b.- Rigidez Penalizado:

c.- Vector de Fuerzas:

d.- Desplazamientos:

Son prácticamente nulos, en los apoyos.

Redondeando con el Excel:

e.- Reacciones:

Redondeando con el Excel:

II.- SOLUCION CON EL PROGAMA ROBOT 1.- Ejecutamos el programa y seleccionamos el tipo de problema a resolver.

2.- Configuramos las unidades de trabajo

3.- Dibujamos el problema

4.- Asignamos propiedades al contorno

5.- Generamos el mallado con elementos finito triangulares.

6.- Asignamos las cargas que le imparte el suelo.

DEFORMACIONES.

Esfuerzos XX.

Esfuerzos YY.

Esfuerzos XY.

Cuadro de desplazamiento.

Cuadro de Reacciones.

COMPARACION DE RESULTADOS DEL DESPLAZAMIENTO: u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 u5 v5 u6 v6 u7 v7 u8 v8 u9 v9 u10 v10 u11 v11 u12 v12 u13 v13 u14 v14 u15 v15 u16 v16 u17 v17 u18 v18 u19 v19

0.000000000 0.000000000 -0.000012255 -0.000001924 -0.000013262 -0.000006270 -0.000351969 -0.000001247 -0.000352499 0.000039317 -0.000009201 0.000008369 -0.000011594 -0.000002873 -0.000012036 0.000000000 -0.000054929 -0.000018069 -0.000127679 -0.000019042 -0.000215561 -0.000014296 -0.000215942 0.000037280 -0.000129615 0.000032214 -0.000057975 0.000022807 -0.000012224 0.000000000 -0.000010959 0.000000000 -0.000004350 0.000000000 -0.000011822 -0.000000278 -0.000011855 -0.000002492

MANUAL

ROBOT

MATLAB

CONCLUSIÓN: -

Llegamos a una respuesta con los elementos finitos, cuando vemos la convergencia de los resultados, es decir, a medida que generamos más elementos finitos de nuestro medio continuo nuestros resultados van variando ligeramente hasta llegar a un punto donde prácticamente no cambia, entonces podemos decir que esa es la solución.

-

No siempre el discretizar en varios elementos finitos conlleva a una mejor solución, como alternativa tenemos el uso de elementos de varios nodos, los cuales conllevan a una mejor solución.

-

Resolver un problema de elementos finitos de forma manual, se hace más engorroso a medida que se generen más elementos finitos, la manera más adecuada es usar un programa que efectué adecuadamente las rutinas del FEM.

-

Para resolver problemas usando el FEM, se debe modelar adecuadamente el problema, que represente los aspectos importantes a considerar. En el caso de estructuras para problemas bidimensionales, existen dos formulaciones (1) problema de tensión plana y (2) problema de deformación plana; la mala elección de esta conlleva a malos resultados.

-

Al resolver el problema con el Róbot podemos observar que los resultados van convergiendo a medida que se generan más elementos finitos triangulares. Al resolver el problema con nuestro programa en Matlab (R_MURO), también podemos observar el mismo efecto de la convergencia. Los resultados que ambos programas nos dan son prácticamente iguales.

-

Los resultados que se obtuvieron manualmente, empleando el Excel y el AutoCAD son idénticos al programa en Matlab, con una notable precisión (se emplearon 17 elementos finitos en ambos).

-

Finalmente podemos decir que el FEM es una herramienta muy poderosa para resolver problemas de cualquier naturaleza y sus aplicaciones hoy en día son diversas y están en todos los campos.

BIBLIOGRAFÍA [1] IBAÑEZ DE NAVARRA, Eugenio Oñate (1992), Cálculo de estructuras por el método de elementos finitos, Universidad politécnica de Cataluña-ETS. Ingenieros de caminos, canales y puertos. [2] T.R Chandrupatla y A.D. Belegundu (), Introducción al estudio del elemento finito en Ingeniería. [3] Saeed Moaveni (1999), FINITE ELEMENT ANALYSIS, Theory and Application with ANSYS.