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• Alejandro Fuel

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FIGEMPA Nombres:  Paspuel Christian  Abata David  Alejo Fuel  Sánchez Alison  PaucarMishell Carrera:Ingeniería Ambiental Materia:Matematica III Ejercicio.

Hipótesis.  El tanque se vacía en un determinado tiempo (t) debido a que cantidad de agua con salmuera que sale, es mayor a la cantidad de agua con salmuera que entra.  Al momento que la cantidad de sales disueltas vuelva a ser 0, la cantidad de agua en el tanque también. Variables.  V. Independiente: el tiempo(mín)  V. Dependiente: la cantidad de salmuera en la disolución (lb) Resolución

Factor integrante: 𝑒 ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡

Como: P(t)= 2

Remplazamos: 𝑒 ∫100−𝑡𝑑𝑡

2 100−𝑡

−2

Remplazamos el cambio de variable: 𝑒 ∫ 𝑈 𝑑𝑈 Integramos: 𝑒 (−2)𝐼𝑛𝑈 −2

Cambio de Variable:

=𝑒 𝐼𝑛(𝑈)

U=100-t

Por propiedades de los logaritmos: 𝑈 −2 = (100 − 𝑡)−2 Factor integrante=(𝟏𝟎𝟎 − 𝒕)−𝟐

-dU=dt

SOLUCION ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA

𝑑 [(100 − 𝑡 )−2 𝑆𝑐 ] = 0 𝑑𝑡 ∫ 𝑑 (100 − 𝑡 )−2 𝑆𝑐 = ∫ 0𝑑𝑡 (100 − 𝑡 )−2 𝑆𝑐 = 𝐶 𝑆𝑐 = 𝐶 (100 − 𝑡 )2

SOLUCION ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA 𝑑 [(100 − 𝑡 )−2 𝑆𝑝 ] = 10 (100 − 𝑡 )−2 𝑑𝑡 ∫ 𝑑 (100 − 𝑡 )−2 𝑆𝑝 = ∫ 10 (100 − 𝑡 )−2 𝑑𝑡 (100 − 𝑡 )−2 𝑆𝑝 = ∫ 10 (100 − 𝑡 )−2 𝑑𝑡 ∫ 10 (100 − 𝑡 )−2 𝑑𝑡 = − ∫ 10 𝑚−2 𝑑𝑚 = −10 ( (100 − 𝑡 )−2 𝑆𝑝 = Cambio de variable 100 – t = m -dt = dm dt = - d

𝑚−1 10 10 )= = −1 𝑚 100 − 𝑡

10 100−𝑡

Condición Inicial S=c(100-t)^2+10(100-t) S(0)=0 S(0)=c(100-t)^2+10(100-t) 0 =c(100-0)^2+10(100-0) 0 =c(100)^2+1000 C =-1/10

Solución al problema:

S = 𝑆𝐶 + 𝑆𝑃 S=−

1 10

(100 − 𝑡 )2 + 10(100 − 𝑡)

¿Cuándo se vacía el tanque?

Grafica: