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• Jonathan Navarro

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1. ECUACIONES RECTANGULARES Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un ejemplo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas por la existencia de dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

definir ya sea a o entre sí

HISTORIA Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificar todo el conocimiento. Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas».

RECTA EUCLIDEA Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto se llama origen de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero). Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual se define un origen de coordenadas, simbolizado con la letra O(O de origen) y un vector unitario en el sentido positivo de las x: . Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta real.

Un punto:

también puede representarse:

La distancia entre dos puntos A y B es:

PLANO EUCLIDEO Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos. La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O, cuyas coordenadas son, obviamente, (0, 0). Se denomina también eje de las abscisas al eje x, y eje de las ordenadas al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas). Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes. Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

La posición del punto A será: Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial. La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión: Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC. Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:

Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia d AB entre los puntos A y B antes calculada.

Para cada par de números reales (x , y), existe solamente un punto en el plano que le corresponde y, recíprocamente, para cada punto en el plano existe sólo un para ordenado (x , y) que le corresponde. Por eso decimos que existe una correspondencia “uno a uno” entre los puntos del plano y los pares ordenados de números reales. El sistema de coordenadas rectangulares que estamos describiendo divide al plano en cuatro regiones o cuadrantes. Al cuadrante que está arriba del eje x y a la derecha del eje y lo llamamos el cuadrante uno (cuadrante I). Al cuadrante a la izquierda del cuadrante uno lo llamamos el cuadrante dos (cuadrante II). Debajo del cuadrante dos está el cuadrante tres (cuadrante III). A la derecha del cuadrante III está el cuadrante cuatro (cuadrante IV). Puedes verificar que para todos los puntos del cuadrante I ambas coordenadas son positivas; para los puntos del cuadrante II, la coordenada x es negativa y la y es positiva. En el cuadrante III ambas coordenadas son negativas y en el cuadrante IV la coordenada x es positiva y la coordenada y es negativa. El siguiente dibujo resume esas observaciones.

GRÁFICAS DE ECUACIONES Una solución a una ecuación en las variables x y y es una pareja de un valor a para x y un valor b para y, que al sustituir a x y a y en la ecuación, producen un enunciado cierto. A esa pareja de valores la podemos representar con un par ordenado (a , b). Por ejemplo, la ecuación 3x + 5y = 30 tiene entre sus soluciones a (5 , 3) pues si x =5 y y =3, la ecuación se convierte en 3 • 5 + 5 • 3 = 30 , lo cual es un enunciado cierto. También (10 , 0) es una solución, e infinidad de otros pares ordenados son solución a la ecuación. Como un par ordenado puede representarse con un punto, la colección de todas las soluciones de una ecuación puede ser representada con un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas rectangulares. A tal colección de puntos la llamamos la gráfica de la ecuación.

EJEMPLO 1.1 Para hacer la gráfica de la ecuación y = 2x + 1 comenzaremos determinando un conjunto de pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación, lo cual es fácil para esta ecuación si asignamos valores a x y determinamos el correspondiente valor de y como en la siguiente tabla. x 2

y -3

1

-1

A la derecha de la tabla hemos representado con un punto a cada pareja (x, y) dada por cada fila en la tabla. Nótese que 0 1 todos los puntos se encuentran en una línea recta que dibujamos con trazo punteado en rojo. Si determináramos -1 3 más soluciones a la ecuación y las representáramos en el sistema de coordenadas a la derecha, encontraremos que -2 5 todas ellas se encuentran en la recta dibujada. Por otra parte, podremos verificar que las coordenadas (x, y) de -3 7 cada punto en la recta satisfacen la ecuación y = 2x + 1. Esto sugiere que la recta dibujada contiene exactamente todos los puntos que corresponden a una solución de la ecuación. Entonces concluimos que la gráfica de la ecuación es la línea recta que sugerimos con el trazo punteado. 1. ECUACIONES PARAMÉTRICAS CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS Considérese la trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45°. Si la velocidad inicial del objeto en 48 pies por segundo, el objeto recorre la trayectoria parabólica dada por

y=

−x 2 +x 72

Ecuación rectangular

Sin embargo, esta ecuación no proporciona toda la información. Si bien dice donde se encuentra el objeto, no dice cuándo se encuentra en un punto dado (x,y). Para determinar este instante, se introduce una tercera variable t, conocida como parámetro. Expresando x y y como funciones de t, se obtienen las ecuaciones paramétricas.

x=24 √ 2 t

Ecuación paramétrica para x.

Y 2

y=−16 t +24 √ 2 t

Ecuación paramétrica para y.

A partir de este conjunto de ecuaciones, se puede determinar que instante t=0, el objeto se encuentra en el punto (0, 0).

en el

Este problema particular de movimiento, x y y son funciones continuas de t, y a la trayectoria resultante se le conoce como curva plana. Cuando se dibuja (a mano) una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas, se trazan puntos en el plano xy. Cada conjunto de coordenadas (x, y) está determinado por un valor elegido para el parámetro t, la curva se va trazando en una dirección específica. A esto se le llama la orientación de la curva. EJEMPLO 1 Trazado de una curva

Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas 2

x=t −4

y

t y= ,−2≤ t ≤ 3. 2

Solución. Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones paramétricas, los puntos (x, y) se muestran en una tabla. t -2 -1 0 1 2 3 x

0

-3

-4

-3

0

5

y

-1

-1/2

0

1/2

1

3/2

A menudo ocurre que dos conjuntos distintos de ecuaciones paramétricas tienen la misma gráfica. Sin embargo, al comparar los valores de t, puede observarse que una se trate con más o menos rapidez (considerando a t como tiempo). Por lo tanto, en las aplicaciones, pueden emplearse diferentes ecuaciones paramétricas para representar las diversas velocidades a las que los objetos recorren una trayectoria determinada. ELIMINACIÓN DEL PARÁMETRO A encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de ecuaciones paramétricas se le llama eliminación del parámetro. Por ejemplo, el parámetro del conjunto de ecuaciones paramétricas del ejemplo 1 se puede eliminar como sigue.

Despejar t de una de las ecuaciones

Ecuaciones paramétricas 2

2

Sustituir en la otra ecuación

2

x=t −4 t=2 yx= ( 2 y ) −4 x=4 y −4 y=t /2 EJEMPLO 2 Ajustar el dominio después de la eliminación del parámetro. Dibujar la curva representada por las ecuaciones

x=

1 √t +1

y

y=

t , t >−1 t+1

Eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular resultante. Solución Para empezar se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Por ejemplo, se puede despejar t de la primera ecuación.

1 √t +1 1 2 x= t +1 1 t+1= 2 x x=

Ecuación paramétrica para x. Elevar al cuadrado cada lado.

Ecuación rectangular

t=

1 1−x 2 −1= x2 x2

Despejar t

Sustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica de y, se obtiene:

y= y=

t t+1 ( 1−x 2 ) / x 2

[

( 1−x 2 )

x2 2 y=1−x

]

+1

Ecuación paramétrica para y

Sustitución de t por (1-x2)/x2. Simplificar

La ecuación rectangular, y= 1- x2, está definida para todos los valores de x. sin embargo, en la ecuación paramétrica, se ve que la curva sólo está definida para t > -1. Esto significa que el dominio de x debe restringirse a valores positivos. En un conjunto de ecuaciones paramétricas, el parámetro no necesariamente representa el tiempo. El siguiente ejemplo emplea un ángulo como parámetro.

EJEMPLO 3 Emplear trigonometría para eliminar un parámetro Dibujar la curva representada por Al eliminar el correspondiente. Solución. dadas.

cos θ=

parámetro

y

x=3 cos θ y hallar

la

y=4 sen θ ,0 ≤ θ ≤2 π ecuación

rectangular

Para empezar se despejan cos θ y sen θ de las ecuaciones

x 3

y

sen θ=

y 4

Despejar cos θ y sen θ.

A continuación se hace uso dela identidad sen 2 θ+ cos2 θ=1 formar una ecuación en la que sólo aparezcan x y y.

sen 2 θ+ cos2 θ=1 x 2 y 2 + =1 3 4 x2 y2 + =1 9 16

()()

para

Identidad trigonométrica. Sustituir. Ecuación rectangular.

En esta ecuación rectangular, puede verse que la gráfica es una elipse centrada en (0, 0), con vértices en (0, 4) y (0, -4) y eje menor que la longitud 2b=6. Obsérvese que la elipse está trazada en el sentido contrario al de las manecillas del reloj ya que θ va de 0 a 2 π . El empleo de la técnica anterior permite concluir que la gráfica de las ecuaciones paramétricas x=h+ a cos θ y y=k +b sen θ ,0 ≤ θ ≤2 π Es una elipse (trazada en sentido contrario a las manecillas del reloj) dada por

( x−h )2 ( y−k )2 + =1. a2 b2 La eliminación del parámetro es principalmente para ayudar a trazar la curva. Si las ecuaciones paramétricas representan la trayectoria de un objeto en movimiento, la gráfica sola no es suficiente para describir el movimiento del objeto. Se necesitan las ecuaciones paramétricas que informan sobre la posición, dirección y velocidad, en un instante determinado. HALLAR ECUACIONES PARAMÉTRICAS Este proceso, hace referencia a la operación inversa a lo anterior mencionado, obtener las ecuaciones paramétricas de una función o gráfica dada. EJEMPLO 4 Hallar las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de uno de los parámetros siguientes: a)

t=x

b) La pendiente

Solución. t=x a) Haciendo paramétricas. x=t y y=1−x2 =1−t 2

m=

dy dx

y=1−x2 , usando cada

en el punto(x,

se obtienen las ecuaciones

b) Para expresar x y y en términos del parámetro m, se proceder como sigue:

dy =−2 x dx −m x= 2

m=

Derivada de

2

y=1−x

Despejar x

Con esto se obtiene una ecuación paramétrica para x. para obtener una ecuación paramétrica para y, en la ecuación original se sustituye x por –m/2. 2

y=1−x −m y=1− 2 2 m y=1− 4

Escribir en le ecuación rectangular original. 2

( )

y).

Sustitución de x por –m/2. Simplificación.

Por tanto, las ecuaciones paramétricas son

x= PENDIENTE Y RECTAS TANGENTES

−m m2 y y=1− 2 4

puede

Ahora que ya se sabe representar una gráfica en el plano mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas, lo natural es preguntarse como emplear el cálculo para estudiar estas curvas planas. Para empezar, hay que dar otra mirada al proyectil representado por las ecuaciones paramétricas

x=24 √ 2 t y

y=−16 t 2+24 √ 2 t

Como se ilustra en la figura de la izquieda. Se sabe que estas ecuaciones permiten localizar la posición del proyectil en un instante dado. También se sabe que el objeto es proyectado inicialmente con un ángulo de 45°. Pero ¿Cómo puede encontrarse el ángulo θ que representa la dirección del objeto en algún otro instante t . El teorema siguiente responde a esta pregunta proporcionando una fórmula para la pendiente de la recta tangente en función de t . Teorema FORMA PARAMÉTRICA DE LA DERIVADA Si una curva suave C está dada por la ecuaciones x=f ( t ) y=g(t) , entonces la pendiente de C en (x , y ) es:

y

dy dy /dt dx = ≠ 0. dx dx /dt ´ dt Demostración En la figura de la derecha, considérese sea

∆ y=g ( t +∆ t )−g ( t ) y

∆ t >0

y

∆ x=f ( t+ ∆t )−f (t )

∆ x → 0 cuando ∆ t → 0 , se puede escribir g ( t +∆ t )−g(t ) dy Δy = lim =lim ⁡ dx ∆ x → 0 Δx ∆ x →0 f ( t +∆ t ) −f (t)

Como

Dividiendo tanto el numerador como el denominador entre ∆ t , se puede emplear la derivabilidad o diferenciabilidad de f y g para concluir que

[ g ( t+ ∆ t )−g ( t ) ] /∆ t dy =lim ⁡ dx ∆ x →0 [ f ( t+ ∆ t ) −f ( t ) ] / ∆ t [ g ( t+ ∆ t )−g ( t ) ] ¿ lim

⁡

∆ x →0

g ´ (t) dy /dt ∆t = = [ f ( t+ ∆ t )−f ( t ) ] f ´ (t ) dx /dt ∆t

EJEMPLO 5 Derivación o diferenciación y forma paramétrica Hallar dy /dx para la curva dada por x=sen t y y=cos t . Solución

dy dy /dt −sen t = = =−tan t dx dx/dt cos t

Como dy /dx es función de orden superior. Por ejemplo,

t , puede emplearse el teorema 10.7 repetidamente para hallar derivadas de

[ ]

d dy d y d dy dt dx = = dx /dt d x 2 dx dx 2

[ ]

[ ]

Segunda derivada

2

d d y 2 3 2 dt dx d y d d y = = 3 2 dx /dt d x dx d x

[ ]

Tercera derivada

EJEMPLO 6 Hallar la pendiente y concavidad Para la curva dada por

x=√ t

1 2 y= ( t −4 ) , t ≥ 0 4

y

Hallar la pendiente y la concavidad en el punto (2,3). Solución

Como

1 t ( 2) dy dy /dt = = dx dx/dt ( 12 ) t

=t 3/ 2

−1 /2

Forma paramétrica de la primera derivada Se puede hallar que la segunda derivada es

3 1 /2 d d 3/ 2 t [dy /dt] [t ] 2 d y dt dt = = = =3t dx /dt dx /dt 1 −1/ 2 d x2 t 2 2

() ()

Forma paramétrica de la segunda derivada En

(x , y ) = (2,3), se tiene que t =4 , y la pendiente es 3

dy =( 4 ) 2 =8 dx Y, cuando t=4, la segunda derivada es

d2 y =3 ( 4 )=12>0 d x2 Por lo que puede concluirse que en (2,3), la gráfica es cóncava hacia arriba como muestra en la anterior. Como en las ecuaciones paramétrica x=f (t ) y y=g(t) no se necesita que y esté definida en función de x , puede ocurrir que una curva plana forme un lazo y se corte a sí misma. En esos puntos la curva puede tener más de una recta tangente, como se muestra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 7 Una curva con dos rectas tangentes en un punto La cicloide alargada dada por

x=2 t−πsen t

y=2−π cos t

y

Se corta a sí misma en el punto (0,2), como se ilustra en la de la izquierda. Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes en este punto.

x=0

Solución Como

y=2

y

cuando

t=∓

π , y 2

dy dy /dt π sen t = = dx dx/ dt 2−π cos t dy /dx=−π /2 cuando t=−π /2 y dy /dx=π /2 cuando t=π /2 . Por tanto, las dos rectas tangentes

se tiene

en (0,2) son

( π2 ) x π y−2=( ) x 2

y−2=−

Recta tangente cuando

t=

−π 2

Recta tangente cuando

t=

−π 2

t=t 0 , la curva representada por x=f ( t ) y y=g(t) tiene una tangente horizontal en ( f ( t 0 ) , g ( t 0 ) ) . Así, en el ejemplo anterior, la curva dada tiene una tangente horizontal en el punto (0,2−π ) (Cuando t=0 ). De manera semejante, si dx /dt =0 y t=t dy /dt ≠ 0 cuando x=f ( g ) y y=g( t) tiene una tangente 0 , la curva representada por f t , g (t )¿ . vertical en ( ( 0 ) 0 dy /dt =0

Si

y

dx /dt ≠ 0

cuando

LONGITUD DE ARCO DE ECUACIONES PARAMETRICAS Las ecuaciones paramétricas pueden emplearse para describir la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano. La fórmula para hallar la longitud de arco de una curva C dada por y= h(x) en el intervalo [x 0 , x1 ] es: x1

S=∫ √1+[h ' ( x ) ] dx 2

x0

x1

¿∫ x0

√

dy 2 1+ dx dx

( )

Si C representada por las ecuaciones paramétricas

x=f (t) y

y=g(t) , a ≤ t ≤ b, y si

se puede escribir: x1

S=∫ x0

√

x1

√

dy 2 dy /dt 2 1+ dx=∫ 1+ dx dx dx /dt x

( )

0

(

)

b

¿∫ a

√(

2

2 2

(dx /dt ) +(dy /dt) (dx /dt)2

)

dx dt dt

dx ' =f ( t ) >0 , dt

b

¿∫ a b

√(

dy 2 dy 2 + dt dx dt

)( )

¿∫ √ [f ' ( t ) ]2 +[g' ( t ) ] 2 dt a

Teorema. LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA Si una curva suave C está dada por x=f ( t ) y y=g( t) y C no se corta a sí misma en el intervalo a ≤ t ≤ b (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada por entonces la longitud de arco C en ese intervalo está dada por: x1

√(

2

b

2

dy dy 2 2 ' ' EJEMPLO ¿∫ 8. + dt =∫ [ f ( t ) ] +[ g ( t ) ] dt dx dt Un círculo de radio 1, rueda asobre otro círculo mayor de radio 4. La epicicloide trazada por un punto en el x círculo más pequeño está dada por: 0

)( )

√

x=5 cos t −cos 5 t y =5 sent−sen 5 t

Hallar la distancia recorrida en el punto al dar una vuelta completa alrededor del círculo mayor. Solución. Se debe observar que la curva tiene puntos angulosos en t=0 y t=π/2. Entre estos dos puntos, dx /dt y dy /dt no son simultáneamente 0. Por tanto, la porción de la curva que genera de t=0 a t=π/2 es suave. Para hallar la distancia total recorrida por el punto, calcular la longitud de arco que se encuentra en el primer cuadrante y multiplicar por 4.

√(

π /2

s= ∫ 0

dy 2 dy 2 + dt dx dt

)( )

FORMA PARAMÉTRICA DE LA LONGITUD DE ARCO π /2

¿ 4 ∫ √(−5 sent +5 sen 5 t )2+(5 cost−5 cos 5t )2 dt 0 π/2

¿ 20 ∫ √ 2−2 sent sen 5 t 2 cos t cos 5t dt 0

π/2

¿ 20 ∫ √ 2−2 cos t cos 4 t dt 0 π/2

¿ 20 ∫ √ 4 sen2 2t dt 0 π /2

¿ 40 ∫ sen 2t dt 0

cos 2 t ¿0π /2 ¿−20 ¿ ¿ 40 En forma vectorial, donde C está dada por r(t) = x(t)i + y(t)j, se puede expresar esta ecuación de la longitud de arco como: b

∫ √‖r ' (t)‖dt a

Teorema. LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO Si C es una curva suave dada por r (t) = r(t)i + y(t)j + z(t)k, en un intervalo [a, b], entonces la longitud de arco de C en el intervalo es: b

√[ x ( t ) ] +[ y ( t )] +[ z ( t ) ] dt=¿ ∫ √‖r '( t)‖dt '

2

'

2

'

2

a

EJEMPLO. 9 Hallar la longitud de arco de la curvatura dada por

4 1 r ( t ) =ti+ t 3 /2 j+ t 2 k, desde t = 0 hasta t=2. 3 2

Solución.

4 1 x ( t )=t , y ( t )= t 3 /2 , y z ( t ) = t 2 , se obtiene 3 2 ' ' 1/ 2 ' . Por lo tanta, la longitud de arco x =1, y ( t )=2t y z ( t )=t

Utilizando

desde t = 0 hasta t = 2 está dada por:

z '(t) ¿ ¿2 ¿ ' 2 [x ( t ) ] +[ y ' ( t ) ]2 +¿ √¿ 2

s=∫ ¿ 0

2

¿∫ √ 1+ 4+t 2 dt 0 2

¿∫ √ (t+ 2)2−3 dt 0

[

2

]

t+2 3 (t+2)2−3− ln |( t+ 2 )+ √(t+ 2)2−3| √ 2 2 0 3 3 ¿ 2 √13− ln ( 4 + √ 13 )−1+ ln3 ≈ 4.816 2 2 ¿

PARÁMETRO LOGITUD DE ARCO Para el movimiento a lo largo de una curva, el parámetro adecuado es el tiempo t. sin embargo, cuando se desean estudiar las propiedades geométricas de una curva, el parámetro adecuado es a menudo la longitud de arco S.

DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LONGITUD DE ARCO Sea C una curva dada por r(t) definida en el intervalo cerrado [a, b]. Para a ≤ t ≤ b, la función longitud de arco está dada por: b

t

a

a

S ( t )=∫ ‖r '(u)‖du=∫ √[ x ' ( u ) ]2 +[ y ' (u ) ]2 +[ z ' ( u ) ]2 du A la longitud de arco y se le llama parámetro NOTA: La función de longitud de arco s es no negativa. Mide la distancia sobre C desde el punto inicial (x(t)), y(t), z(t). Usando la definición de la longitud de arco y el segundo fundamental del cálculo, se concluye que:

teorema

ds =‖r ' (t)‖ dt

En forma diferencial, se escribe:

' (t) r ¿ dt ds=¿ EJEMPLO. 10 Hallar la función longitud de arco s (t) para el segmento de recta dado por:

r ( t ) =( 3−3 t ) i+4 tj , 0≤ t ≤ 1 Y expresar r como función del parámetro s. 2 Solución. Como r ´ ( t )=−3 i+4 j y ‖r ' ( t )‖= (−3 ) +4 2=5

√

1

Se tiene que:

s ( t )=∫ ‖r '(u)‖du 0

1

¿∫ 5 du 0

=5t Usando forma:

s=5 t (o t=s /5) , se puede reescribir r utilizando el parámetro longitud de arco de la siguiente

‖r '(t )‖=

√(

−3 2 4 2 + =1 5 5

)()

Así, dada una curva suave C representada por r(s), donde s es el parámetro longitud de arco, la longitud de arco entre a y b es: b

Longitud de arco =

∫‖r ' (s )‖ds a

b

¿∫ ds a

¿ b−a = LONGITUD DE ARCO

Además, si t es cualquier parámetro tal que

‖r '(t )‖=1

, entonces t debe ser el parámetro longitud

de arco. Teorema. PARÁMETRO LONGITUD DE ARCO Si C es una curva suave dada por:

r ( s )=x ( s ) i+ y ( s ) jo r ( s ) =x ( s ) i+ y ( s ) j+ z ( s ) k Donde s es el parámetro longitud de arco, entonces ‖r '(t )‖=1 Si t es cualquier parámetro para la función vectorial r tal que

‖r '(t )‖=1

, entonces t debe ser el parámetro longitud de arco.

EJEMPLO.11 Hallar la curvatura de la curva definida por

1 r ( t ) =2ti+ t 2 j− t 3 k 3

Solución. No se sabe a simple vista si este parámetro representa la longitud de arco, así es que hay que usar la fórmula K=‖T '( t)‖/‖r ' (t)‖

Por tanto:

r ' ( t )=2 i+ 2tj−t 2 k ‖r ' ( t )‖=√ 4 +4 t 2 +t 4=t 2 +2 r '(t ) 2i+2 tj−t 2 k T ( t )= = ‖r '(t )‖ t 2+ 2 2i+2 tj−t t ¿ 2 ¿ 2+ ¿ ¿ ¿ 2 ( t +2 ) ( 2 j−2 tk )−(2 t)(¿ ¿2 k ) ¿ ' T ( t )=¿ 2 2 t +2 ¿ ¿ ( −4 ti+ 4−2t 2 ) j−4 tk ¿ ¿ t 2+2 ¿2 ¿ 2 16 t + 16−16 t 2+ 4 t 4 +16 t 2 √ ‖T ' (t)‖= ¿ 2 2 t +2 ¿ ¿ 2(t 2 +2) ¿ ¿ 2 ¿ 2 t +2 ‖T ' ( t )‖ 2 K= ' = ‖r ( t )‖ t 2+2

1. ECUACIONES POLARES

COORDENADAS POLARES Las gráficas vistas anteriormente se han venido representando como colecciones de puntos (x, y) en el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a éstas gráficas han estado en forma rectangular o paramétrica. Ahora veremos un nuevo sistema de coordenadas: coordenadas polares. Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, θ ). r= distancia dirigida de O a P. θ=¿ Ángulo dirigido, en el sentido contrario al de las ´ . manecillas del reloj desde el eje polar hasta el segmento OP La figura siguiente muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsérvese que en este sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retícula de circunferencias concéntricas cortadas por rectas radiales que pasan por el polo.

En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. Esto no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r , θ) y (r , 2 π +θ) representan el mismo punto. También, como r es la distancia dirigida, las coordenadas (r , θ) y (−r ,θ+ π ) representan el mismo punto. En general, el punto ( r ,θ ) puede expresarse como:

( r ,θ )=( r ,θ+ 2nπ ) o

−r , θ+(2 n+1) π ( r , θ ) =¿ Donde n es cualquier entero. Además, el polo está representado por ángulo. TRANSFORMACIÓN (O CAMBIO) DE COORDENADAS

(0, θ) , donde θ es cualquier

Para establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coincidir el eje polar con el eje x positivo y polo con el origen, como se ilustra en la figura. Puesto que (x, y) encuentra en un círculo de radio r, se sigue que r 2=x 2 + y 2 . Para r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que

el se

x x y tan θ= , cos θ= y sen θ= . y r r

Si r < 0, estas relaciones también son válidas, como se puede verificar.

Teorema: TRANSFORMACIÓN (O CAMBIO) DE COORDENADAS Las coordenadas polares (r, θ ) de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares (x, y) de este punto como sigue. 1.

x=r cos θ

2.

tan θ=

x y

y=r sen θ r 2=x 2+ y 2 EJEMPLO 1 Transformación (o cambio) de coordenadas polares a rectangulares a) Dado el punto ( r ,θ )=( 2, π ) . x=r cos θ=2cos π =−2 y y=r sen θ=2 sen π =0. Por lo tanto, las coordenadas rectangulares son (x, y)= (2, 0) b) Dado el punto ( r ,θ )=( √ 3 , π /6 ) .

π 3 x=√ 3 cos = 6 2

y

π 3 y=√ 3 sen = √ . 6 2

Por lo tanto, las coordenadas rectangulares son (x, y)=

3 3 ( ,√ ) . 2 2

EJEMPLO 2 Transformación (o cambio) de coordenadas rectangulares a polares. a) Dado el punto del segundo cuadrante (x, y)= (-1,1),

y 3π tan θ= =−1 y θ= . x 4 Como θ se eligió en el mismo cuadrante que (x, y, se debe usar un valor positivo para r.

r= √ x 2 + y 2 r= √(−1)2+ 12 r= √ 2

Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es

( r ,θ )=( √ 2 ,3 π /4 ) .

b) Dado que el punto (x, y) = (0,2) se encuentra en el eje y positivo, se elige coordenadas polares es

( π2 ) .

( r ,θ )= 2,

θ=

π 2

y r=2, y un conjunto de

GRÁFICAS POLARES Una manera de trazar la gráfica de una ecuación polar consiste en transformarla a coordenadas rectangulares para luego trazar la gráfica de la ecuación rectangular. EJEMPLO 3 Trazado de ecuaciones polares Describir la gráfica de cada ecuación polar. Confirmar cada descripción transformando la ecuación a ecuación rectangular. a) r=2

b) θ=

π 3

r=sec θ

c)

Solución. a) La gráfica de la ecuación polar r = 2 consta de todos los puntos encuentran a dos unidades del polo. En otras palabras, esta gráfica circunferencia que tiene su centro en el origen y radio 2. Esto se confirmar utilizando la relación r 2=x 2 + y 2 para obtener la rectangular

x 2+ y 2 =22 .

que

se es la puede ecuación

Ecuación rectangular.

b) La gráfica de la ecuación polar

θ=

π 3

consta de todos los puntos

π con el semieje x positivo. 3 confirmar esto, se puede utilizar la relación tan θ= y / x para la semirrecta que forma un ángulo de

sobre Para

obtener la ecuación rectangular

y=√ 3 x

Ecuación rectangular

c) La gráfica de la ecuación polar r=sec θ no resulta evidente por simple, por lo que hay que empezar por pasarla a la forma mediante la relación r=cos θ=x .

r=sec θ r=cos θ=1 x=1

inspección rectangular

Ecuación polar Ecuación rectangular

Por la ecuación rectangular se puede ver que la gráfica es una recta vertical. EJEMPLO 4 Trazado de una gráfica polar Dibujar la gráfica de

r=2 cos θ .

Solución. Para empezar, se expresa la ecuación polar en forma paramétrica.

x=2 cos 3 θ cosθ y y=2 cos 3 θ sen θ Tras experimentar un poco, se encuentra que la curva completa, la cual se llama curva rosa, puede dibujarse haciendo variar a θ desde 0 hasta 2 π , se traza la curca entera dos veces. Nota: una forma de bosquejar la gráfica de r=2 cos 3 θ a mano, es elaborar una tabla de valores.

θ

0

π 6

π 3

π 2

2π 3

r

2

0

-2

0

2

PENDIENTE Y RECTAS TANGENTES Para

encontrar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar, considerar una función diferenciable (o derivable) r=f (θ) . Para encontrar la pendiente en forma polar, se usan las ecuaciones paramétricas

x=r cos θ=f ( θ ) cos θ

y

y=r sen θ=f ( θ ) sen θ .

Mediante el uso de la forma paramétrica de dy/dx dada por la forma paramétrica de la derivada (Si una curva suave C está dada por las ecuaciones x=f ( t ) y y=g ( t ) , entonces la pendiente de C en (x, y) es

dy dy /dt dx = , ≠ 0 ) se obtiene: dx dx/dt dt dy dy /dθ = dx dx/dθ dy f ( θ ) cos θ+ f ´ ( θ ) sen θ = dx −f ( θ ) sen θ+f ´ ( θ ) cos θ Con lo cual se establece: Teorema: PENDIENTE EN FORMA POLAR Si f es una función diferenciable (o derivable) de θ , entonces la pendiente de la recta tangente a la gráfica de r=f (θ) en el punto ( r ,θ ) es

dy dy /dθ f (θ ) cos θ+f ´ ( θ ) sen θ = = dx dx/dθ −f ( θ ) sen θ+ f ´ ( θ ) cos θ Siempre que

dx ≠0 dθ

en

.

En el teorema anterior se pueden hacer las observaciones siguientes:

dy dx =0 dan una tangente horizontal, siempre que ≠ 0. dθ dθ dx dy =0 dan una tangente vertical, siempre que ≠ 0. 2. Las soluciones dθ dθ 1. las soluciones

Si

dy dθ

y

dx simultáneamente son 0, no se puede extraer ninguna conclusión respecto a las rectas dθ

tangentes. EJEMPLO 5 Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales a r=sen θ , 0 ≤θ ≤ π . Solución. Para empezar se expresa la ecuación en forma paramétrica.

x=r cos θ=sen θ cos θ

Y

y=r sen θ=senθ senθ=sen 2 θ Después, se derivan x y y con respecto de

θ y se iguala a 0 cada una de las derivadas.

dx π 3π =cos 2 θ−sen 2 θ=cos 2 θ=0θ= , dθ 4 4 dy π =2 senθ cosθ=sen 2 θ=0θ=0, dθ 2 Por tanto, la gráfica tiene rectas tangentes verticales en horizontales en (0, 0) y

2 π (√ , ) y 2 4

( √22 , 34π ) ,

y tiene rectas tangentes

π (1, ) 2

GRÁFICAS POLARES ESPECIALES Varios tipos importantes de gráficas tienen ecuaciones que son más simples en forma polar que en forma rectangular. Por ejemplo, la ecuaciónpolar de un círculo de radio a y centro en el origen es simplemente r=a. Más adelante se verán las ventajas que esto tiene. Por ahora, se muestran abajo algunos tipos de gráficas cuyas ecuaciones son más simples en forma polar.

ÁREA Y LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES

Área de una región polar El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar se asemeja al del área de una región en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas), pero en lugar de rectángulos se usan como elementos básicos del área sectores circulares. En la figura 10.49, obsérvese que el área de un sector circular de radio

r es

1 2 θ r , siempre que θ esté dado en radianes. 2

Considerese la función dad por r=f (θ) , donde f es continua y no negativa en el intervalo α ≤ θ ≤ β . La región limitada por la gráfica de f θ=β se muestran en la figura 10.50a. y las rectas radiales θ=α y Para encontrar el área de esta región, se hace una participación del intervalo [α , β] en n subintervalos iguales

α =θ0