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• IsabelMontillaArteaga

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Unidad 1 Conjuntos Numéricos Números racionales 1.

¿Cuántos minutos tiene un cuarto de hora? ¿Y un doceavo de hora? ¿Y cinco doceavos de hora?

2.

Después de la fiesta de cumpleaños de Andrés han quedado

3 8

de tarta sin comer. ¿En

cuántos trozos se dividió la tarta? ¿Cuántos trozos se han comido? Andrés quería llevar a su abuela un cuarto de tarta con lo que sobrase. ¿Puede hacerlo? 3.

Salta en este laberinto desde una fracción irreducible a la siguiente para responder a la pregunta: ¿qué le ocurre a una fracción irreducible?

4.

Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible: a)

3 1 5 1 ⋅ − : 5 2 6 3

b)

3  1 5 1 ⋅ − :  5 2 6 3

3 1 5 1 c)  ⋅ −  : 5 2

6 3

d)

3 1 5 1 ⋅ −  : 5 2 6 3

5.

Al mediodía me he comido la mitad de una tortilla de patatas. A la hora de la merienda, Ana ha tomado un tercio de la tortilla original, y para cenar, Luis se ha tomado tres cuartas partes de lo que quedaba. ¿Qué porción de la tortilla queda al final del día? Representa con dibujos cada paso del problema.

6.

Mi hermano pequeño ha terminado su colección de cromos de la liga, y le han sobrado 200 cromos. Los ha repartido entre sus tres amigos de la siguiente forma: •

A Diego le ha dado

•

A Sergio,

5 12

2 5

de los cromos que le han sobrado

de lo que queda

• A Patricia, el resto ¿Qué amigo recibe más cromos? ¿Qué amigo recibe menos?

Unidad 1 │ Conjuntos numéricos

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 1 Conjuntos Numéricos Racionales e Irracionales. Aproximaciones 1.

Seguro que sabes escribir un número irracional; al fin y al cabo, solo se trata de poner una coma y luego un número indefinido de cifras a lo loco, y que nunca aparezca un periodo. ¿Serías capaz de escribir un número irracional utilizando solo dos cifras? ¿Y solo una cifra?

2.

Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales. En caso de que sean racionales halla su fracción generatriz. a) b)

12,323232… 3,12345678…

c) d)

0,1010010001… -4,24344444….

e) f)

-3,33333… 66,001

g) h)

6,54321 -23,232323232…

3.

Realiza estas operaciones, pasando primero las expresiones decimales a fracción y, a continuación, operando con fracciones.     : 1,035  b) 1,51 − 0,63 c) 7,520 a) 6,41 − 5,2

4.

¿Sabes jugar al dominó? Construye un cuadrado de 4 por 4 fichas utilizando las fichas que aparecen a continuación:

5.

Completa el crucigrama redondeando las cantidades a la cifra que se indica en cada caso. Horizontales: 1. De Madrid a Barcelona hay 621 km (redondea a la decena) 2. La valla mide 89,7 m de largo (redondea a la unidad) 3. En la hucha tengo 147,30 € (redondea a la unidad) Verticales: 1. Dos botellas de aceite cuestan 5,80 € (redondea a la unidad) ¡Estoy más solo que la …! 2. El kilo de jamón pata negra cuesta 29,42 € (redondea a la décima) 3. Famoso agente secreto

6.

¿Qué aparato tiene mayor precisión? A. Una balanza que indica 2,1 kg cuando pesa un cuerpo de 2 kg. B. Un velocímetro que indica 39 km/h cuando vamos a 40 km/hora.

Unidad 1 │ Conjuntos numéricos

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 1 Conjuntos Numéricos Recta real 1.

Vamos a realizar operaciones con fracciones de forma gráfica sobre la recta real a)

5 6

Representa estas fracciones en la recta real:

, −

4 3

y

7 4

b) Con la ayuda de un compás realiza gráficamente la suma

5  4 7 + −  + 6  3 4

. Para eso sigue estos

pasos: •

Empieza situando en la recta real

5 6

•

Abre el compás una apertura de

4 3

desde el 0 y llama a ese punto A. (mídela del apartado anterior) y avanza −

4 3

desde A.

Ten en cuenta que el avance tiene que ser hacia la izquierda, por ser un número negativo. Llama B al punto en el que caes. •

Abre ahora el compás una apertura de

7 4

(mídela en el primer apartado), y avanza

7 4

desde

el punto B. Llama C al punto en el que caes. c)

Realiza la suma

5  4 7 + −  + 6  3 4

numéricamente y comprueba que el resultado coincide con el

punto C en la recta real. 2.

Usando la representación basada en triángulos semejantes que se explica en el libro, representa las siguientes raíces sobre la recta real: a)

3.

− 5

b)

3

Representa en la recta real los conjuntos de números que se deducen de los siguientes enunciados: a)

Leire, Enrique y Víctor son tres hermanos. Leire tiene 12 años y Víctor 7. ¿Cuál puede ser la edad de Enrique, que es el mediano? b) La edad mínima para votar en España es 18 años. ¿Qué edades tienen los votantes? c) En este parque infantil no permiten la entrada a mayores de 10 años. ¿Quiénes pueden entrar? d) En la contabilidad de una empresa las deudas se anotan como cantidades negativas. ¿Qué valores pueden tener?

4.

Para representar en la recta real números irracionales que no sean raíces podemos acotarlos en intervalos, según la precisión que deseemos. Por ejemplo, para representar π =3,14159265... : Grado de aproximación

Valor mínimo

Valor máximo

Intervalo

a la unidad

3

4

(3, 4)

a la décima

3,1

3,2

(3,1; 3,2)

a la centésima

3,14

3,15

(3,14; 3,15)

a la milésima

3,141

3,142

(3,141; 3,142)

Haz tu lo mismo con los siguientes números: a) 0,191199111999… b) 2,54637281…

Unidad 1 │ Conjuntos numéricos

c)

-6,525225222…

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 1 Conjuntos numéricos Un problema para cada conjunto numérico Ya conoces los conjuntos numéricos que configuran el conjunto de los números reales: los naturales, los enteros, los racionales y los irracionales.

En esta ficha te proponemos un problema para trabajar en cada uno de estos conjuntos. No te hace falta nada que no sepas, solo ganas de ponerte a prueba, un poco de paciencia y una buena dosis de imaginación. ¿Lo intentas? NÚMEROS NATURALES: A ver si eres capaz de construir los 14 primeros números naturales usando siempre cuatro “cuatros” que se relacionen entre sí por medio de las siguientes operaciones: • Suma y resta • Multiplicación y división • Raíz cuadrada • Concatenación: se puede construir el número 44, el 444, el 4444… NÚMEROS ENTEROS: ¿Cuántas parejas de números enteros (a, b) verifican la expresión

1 1 b ? = + 10 a 5

NÚMEROS RACIONALES: Si

a 1 b 8 a y = , ¿cuánto vale ? = c 5 b 2 b+c

NÚMEROS IRRACIONALES: Halla dos números irracionales tales que, al dividir uno entre otro, se obtenga un número racional.

Unidad 1 │ Conjuntos numéricos

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 1 Conjuntos numéricos Un irracional famoso: la divina proporción Queremos presentarte en esta ficha un número irracional muy famoso por su presencia constante en la naturaleza y su aplicación en todas las disciplinas artísticas: pintura, escultura, arquitectura, fotografía... El número áureo ha fascinado a matemáticos, arquitectos y artistas de todas las épocas. Se trata de una razón matemática particular, de la que seguro que has oído hablar en otros cursos, pero… ¿sabrías deducir su valor? Para calcularlo fíjate en el dibujo, en el que aparece un segmento dividido en dos partes: una más larga, a la que llamamos A, y otra más corta, a la que llamamos B. Para que el cálculo nos resulte más fácil, vamos a darle a B el valor 1. ¿Cuánto tiene que valer A para que se cumpla que la proporción entre A y B sea la misma que entre el segmento entero y A?

En lenguaje matemático la condición anterior se expresa así: A A+B = B A

y, como hemos dicho que B = 1 y nuestra incógnita es A, a la que podemos llamar x, la expresión anterior se convierte en: x x +1 = ⇒ x 2 =x + 1 1 x

1. Resuelve esta ecuación y descubre cuánto vale A si B = 1. ¿Conocías este número? Un rectángulo construido a partir de lados que guarden esta proporción, se conoce como rectángulo áureo. Por su presencia constante en la naturaleza, este rectángulo resulta muy proporcionado y agradable a nuestra vista. Por esta razón, artistas de todas las épocas lo han utilizado en sus obras. Leonardo Da Vinci llamó a este número “la divina proporción”.

2. Mide con cuidado los lados del rectángulo que encuadra la cara de La Gioconda de Leonardo Da Vinci, pintada entre 1503 y 1519. Divide el lado mayor entre el lado menor. ¿Qué observas?

3. Busca la proporción áurea en la obra del pintor holandés de la primera mitad del siglo XX, Piet Mondrian Busca la proporción áurea en otras obras de arte. Prueba a buscar no solo en pintura, también en arquitectura, escultura y fotografía.

Unidad 1 │ Conjuntos numéricos

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 1 Conjuntos numéricos El lenguaje de los conjuntos La música es una expresión artística que tiene su propio lenguaje. Conocer este lenguaje permite escribir los sonidos en forma de símbolos y que la misma melodía pueda ser entendida y reproducida por distintas personas a lo largo de distintos lugares y distintas épocas. De la mima manera, las matemáticas también tienen su propio idioma. El lenguaje matemático utiliza símbolos para expresar conceptos lógicos, operadores, variables, … Es un lenguaje muy sintético, muy riguroso y además… ¡es universal!. Puedes usar este lenguaje para comunicarte con otra persona de cualquier parte del mundo, aunque no conozcas su lengua materna. En esta ficha vamos a profundizar en los símbolos que se utilizan para expresar relaciones que aparecen en la teoría de conjuntos.

Volvamos a echar un vistazo al conjunto de números reales representado mediante diagramas de Venn:

Los símbolos que vamos a utilizar son los siguientes: ∈ → expresa la relación de pertenencia de un elemento a un conjunto, por ejemplo:

5 ∈ 7

∉ → expresa la relación de no pertenencia de un elemento a un conjunto, por ejemplo:

5 ∉ 7

⊂ → expresa que un conjunto está contenido en otro, por ejemplo:  ⊂  ⊄ → expresa que un conjunto no está contenido en otro, por ejemplo:  ⊄  A ∩ B →expresa la intersección de dos conjuntos, es decir, los elementos que son comunes a A y B. A ∪ B →expresa la unión de dos conjuntos, es decir, todos los elementos que pertenecen solo a A, todos los

elementos que pertenecen solo a B, y todos los elementos que son comunes a A y B. 1.

Completa las siguientes afirmaciones e intenta expresarlas en lenguaje matemático: a) El número 2 pertenece a los números • • • • • , que es un conjunto contenido en los enteros, que a su vez está contenido en los racionales, y estos en los números • • • • • . b) El número 0,165 no pertenece al conjunto de números naturales. Tampoco pertenece al conjunto de números enteros. Pero sí pertenece al conjunto de números • • • • • , ya que se puede expresar como una fracción. c) El número 5 pertenece al conjunto de números • • • • • , que está contenido en el conjunto de números reales. d) No hay ningún número que pertenezca a la vez al conjunto de • • • • • y al de irracionales. Son conjuntos disjuntos o incompatibles, sin elementos en común. e) La unión del conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales es el conjunto de números • • • • • . f)

La intersección del conjunto de números naturales y el conjunto de números racionales es • • • • • La unión del conjunto de números enteros y el conjunto de números • • • • • es el conjunto de números racionales .

Unidad 1 │ Conjuntos numéricos

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 2 Potencias y raíces Potencias de exponente entero. Propiedades 1. Calcula.  1 b)   5

a) 30

0

 4 d)  −   3

c) (–1024)0

0

e) (–1)–6

f) (–1)–25

2. Expresa como una potencia de exponente positivo los siguientes números. a) 3–5  1 b)   2

1 9−1

g) (–7)–3

e) (–5)–2

 1 h)  −   7

d) −5

c) 4–1

 1 f)  −   7

 1 j) −   5 −5

k)

1 6−2

−2

i) (–5)–4

l) −

1 ( −5 )−4

 2 p)  −   3

−3

1 ( −5 )−3

 2 q)  −   5

−4

−4

m) −

n) −

2 o)   3

1 5−6

−3

2 r)   5

−4

3. Expresa como una única potencia el resultado de las siguientes operaciones. a)

3−5 ⋅ 37 ⋅ 3−2 ⋅ 3−6 35 ⋅ 3−3 ⋅ 3−4 ⋅ 3

b)

4−10 ⋅ 4−1 ⋅ 47 4 ⋅ 4−3 ⋅ 42

c)

(−5)−2 ⋅ (−5)5 ⋅ (−5)−4 (−5)−1 ⋅ (−5)2

c)

(−1)−5 (−4)−2 d) (−3)−5 5−2

d)

(−2)2 ⋅ (2)−3 2 ⋅ (−2)−5

e)

(− x)2 ⋅ (x)−3 x ⋅ (− x)−4

4. Reduce a una sola potencia. a) 3−4 ⋅ 5−4

b)

2−3 8−3

5. Expresa como una potencia de exponente positivo. −3 −4

a) ( 2 )

b) ( ( −5 )

)

−1 3

  3  −2  c)      4  

−3

d) ( (10 )

)

−2 −4

  1  −1  e)   −     10  

−5

6. Descompón en forma de potencia o producto de potencias de exponentes positivos cuyas bases sean números primos. a) 15–3

 1 b)    10 

−2

c) 8–2

d) (–24)–5

e) 100–3

7. Simplifica las siguientes expresiones. Da el resultado en forma de potencia o producto de potencias de exponente positivo. 2−3 ⋅ 3−3 a) 6−6

8−3 ⋅ 5−5 b) 10−9

10−1 ⋅ 14−2 c) −2 −3 −2 7 ⋅2 ⋅5

100 ⋅ 2−4 ⋅ 5−4 ⋅ 3−2 d) 6−2 ⋅ 15−1

e)

( 6−1 )−3 ⋅ 3−2 ( −1)−5 ⋅ 2−4

8. Contesta, de forma razonada, a las siguientes preguntas sabiendo que x es un número entero. a) ¿ (− x)−4 es siempre positivo? b) ¿ (− x)−5 es siempre negativo? c) ¿ (−1)x = −1 ? d) ¿3x > 1 siempre? e) ¿

1 es negativo? x −1

Unidad 2 │ Potencias y raíces

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 2 Potencias y raíces Notación científica 1.

Completa los pasos para expresar las siguientes magnitudes en notación científica. a)

5 942 000 000 000 000 000 000 000 = 5,942 ⋅ 10+ Se desplaza la coma …… posiciones hacia la izquierda.

b)

0,000 012 = 1,2 ⋅ 10 − Se desplaza la coma …… posiciones hacia la derecha.

c)

13 835 000 000 = ...,........ ⋅ 10 Se desplaza la coma …… posiciones hacia la izquierda.

d)

0,000 000 000 066 7 =

⋅10

Se desplaza la coma …… posiciones hacia la derecha.

2.

3.

Expresa las siguientes magnitudes en notación científica. a)

69 900

d)

0,000 000 000 025

b)

602 200 000 000 000 000 000 000

e)

0,000 000 0302 5

c)

778 500 000

f)

0,000 002 001

Completa los pasos para transformar las siguientes magnitudes expresadas en notación científica en notación decimal. a)

3,25 ⋅ 1015 = 3,25 ⋅ 10000000000000000 = .......................................

b)

1,99 ⋅ 107 = 1,99 ⋅ ............................. = .......................................

c)

−5 9,33 ⋅ 10=

d) = 5,6 ⋅ 10−12

4.

9,33 = ............................... 100000 5,6 = ....................................... .............................

Expresa las siguientes magnitudes expresadas en notación científica en notación decimal. a)

7,28 ⋅ 105

d)

5,13 ⋅ 10−7

b)

8,012 ⋅ 1013

e)

3,021⋅ 10−11

c)

7,14 ⋅ 1010

f)

4,0025 ⋅ 10−4

Unidad 2 │ Potencias y raíces

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 2 Potencias y raíces Operaciones con radicales 1. Ordena mentalmente los siguientes números de menor a mayor.

2 3 1 4

a) − 5

7 3

b)

5 4

−

3  0,1

2

2. Utiliza la calculadora para calcular

2 + 3 y comprueba que el resultado no coincide con

5.

3. Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales. a)

72

c)

b)

192

d)

3

1215

e)

432

f)

32a 4b 7c 13 3

9a8b15c 4

4. Simplifica estas sumas y restas con radicales. a)

8 − 2 + 98

b)

147 − 27 − 12 32 − 6 − 24 + 200

c) d)

16 + 3 2000 − 3 250

3

5. Realiza estas operaciones con radicales del mismo índice, extrayendo factores cuando sea posible.

2 ⋅ 12

a) b)

3

18 ⋅ 3 45

c)

4

24 : 4 2

d)

6a 2b ⋅ 3 4a 2

3

6. Reduce estos radicales a índice común y simplifica.

2⋅3 4

a) b)

3⋅66

4

8

c) d)

54 3

4

3

ab 2 ⋅ 4 a3b 2

7. Simplifica las siguientes expresiones.

600 − 2 24 3 + 12

a)

b)

18 + 50 − 3 − 27 4

8. Decide si las siguientes igualdades son ciertas o falsas. a) n

b)

n

a − b = a−b

c)

4a 2b = 2a b

a = b

d)

2ab = 4 4a 2b 2

n

a ⋅ b −1

Unidad 2 │ Potencias y raíces

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 2 Potencias y raíces Las potencias en el sistema financiero En un banco se invierten 2000 € a un interés compuesto del 3 % anual. ¿Qué beneficio se obtendrá al cabo de un tiempo? Para saber, por ejemplo, la cantidad que se obtendrá después de 2 años, se expresa el interés anual en tanto por uno: r = 0,03. El capital final el primer año será: 2000 + 0,03 ⋅ 2000= 2000(1 + 0,03) El capital final el segundo año se calcula sobre el obtenido el año anterior, por tanto será: 2000(1 + 0,03)(1 + 0,03) = 2000(1 + 0,03)2 Generalizando se obtiene la fórmula del interés compuesto:

= C 2000(1 + 0,03)n , siendo n el número de años 2121,8 € Por tanto, en dos años, el capital más los intereses correspondientes serán: 2000(1 + 0,03)2 = a) ¿Qué cantidad obtendremos después de 5 años? Si en lugar de calcular el capital final al cabo de varios años, se quiere calcular al cabo de varios meses, escribe la expresión que usarás para hacer los cálculos. b) ¿Qué cantidad se obtendrá después de 18 meses? c) ¿Y después de 27 meses?

Unidad 2 │ Potencias y raíces

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 2 Potencias y raíces Una propiedad interesante de las raíces Para realizar esta actividad necesitas la calculadora. a) Escribe el número 25 000. Calcula su raíz cuadrada, después la raíz cuadrada del resultado. Repite esta operación muchas veces. ¿A qué número se aproxima el resultado? b) Si haces la raíz cuadrada 5 veces, ¿qué número estás calculando? c) Escribe ahora el número 0,001 y haz el mismo proceso. ¿A qué número se aproxima el resultado? d) Repite la operación para diferentes números positivos mayores y menores que 1. ¿Llegas a los mismos resultados? e) A partir del número 25 000 realiza de nuevo el proceso del apartado a) pero utilizando raíces cúbicas. ¿Qué observas? f) Si haces la raíz cúbica 4 veces ¿Qué número estás calculando? g) Por último calcula diferentes raíces de un mismo número positivo aumentando el índice de la raíz. ¿Qué ocurre cuando el índice es muy grande? ¿Influye si el número de partida es mayor o menor que 1? h) Expresa en forma general, el resultado que has obtenido.

Unidad 2 │ Potencias y raíces

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 3 Polinomios Expresiones algebraicas. 1.

2.

Llamamos x a la edad de Juan. Escribe expresiones algebraicas que describan los siguientes enunciados. a)

La edad de Juan dentro de 10 años

b)

El doble de la edad de Juan hace 5 años

c)

La tercera parte de la edad de Juan dentro de 2 años

d)

La tercera parte de la mitad de la edad de Juan

Escribe expresiones algebraicas que describan los siguientes enunciados. a)

Tengo un número indeterminado de billetes de 5 € y de 10 €. Expresa algebraicamente que tengo 225 € juntando todos los billetes. En un garaje hay coches y motocicletas. Expresa algebraicamente el número de ruedas que tienen los vehículos del garaje en total. En un teatro hay butacas de patio que cuestan 20 € y butacas de entresuelo que cuestan 10 €. Expresa el dinero recaudado para una representación en función de las localidades vendidas de cada tipo. Tres números pares consecutivos.

b) c) d) 3.

4.

Inventa un enunciado para las siguientes expresiones algebraicas. a)

2x − 2

c)

b)

x3 3

d)

6 ⋅ ( x − 5)

( x + 1) 5

e)

a+b+c 3

f)

x ( x + 1)( x + 2 )

2

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores de x que se indican.

x=1

x = −3

x= −

1 2

x=0

2x − 2 −x 2 + 5 2 − ( 5x − 8)

−2 x 2 + 7 −5 x + 7 x3 − x2 + 6 −x − ( x + 3)

2

Unidad 3 │ Polinomios

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 3 Polinomios Monomios. Operaciones con monomios

1.

2.

3.

4.

Identifica el coeficiente, parte literal y grado de los siguientes monomios 1 3 xy 3

a)

2x

c)

3x 2 y

e)

x5

g)

−2 ⋅

b)

−x 2

d)

3

f)

−5x 3 4

h)

−4xy 7

Calcula. 1 5x x+ 3 3

a)

2x − 5 x

c)

3x 3 + 4x 3 − 10x 3

e)

x 5 − ( 4x 5 + 6x 5 )

g)

−2 ⋅

b)

−x 2 − 7x 2

d)

−5x 3 x 3 + 4 4

f)

3x 2 7x 2 x 2 + + 2 2 4

h)

−4xy 18xy + 7 7

Opera. a)

2x ( −5 )

c)

3x 3 ⋅ 4x ( −10x )

e)

x 4 ⋅ ( − ( 4x 5 − 6x 5 ) )

g)

−2 ⋅

b)

− x 2 ( −7x 3 )

d)

3x 2 x ⋅ ⋅ ( −x ) 2 2

f)

−5x 3 8x 2 ⋅ 4 5

h)

−4xy ⋅ 14x 2 y 7

Dados los monomios A ( x ) = 6 x 2 , B ( x ) =

−5 x 3 4

y C(x) = −

1 3x x⋅ 3 2

x calcula el valor de las siguientes 5

expresiones.

5.

a)

A ( x ) − B ( x ) + C ( x ) 

c)

A(x) ⋅C (x) + B (x)

b)

B (x) ⋅C (x)

d)

 A ( x ) ⋅ C ( x )  − B ( x )  2

2

Responde justificando tus respuestas. a)

¿Puedo sumar los monomios 3x2 y 3x?

b) ¿El grado del resultado de sumar varios monomios semejantes es el mismo que el grado de cada uno de los monomios? 2x 2 ? 5

c)

¿Cuál es el coeficiente de x2 en el monomio

d)

Un número, ¿es un monomio? Si lo es, ¿de qué grado?

Unidad 3 │ Polinomios

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 3 Polinomios Polinomios 1.

2.

3.

Identifica el coeficiente principal, el término independiente y el grado de los siguientes polinomios.

2x − 3

c)

3x 2 − 5x 4 + 8

e)

x 5 − 2x 2 + 3 x

g)

−4 ⋅

b)

−x 2 + 5x

d)

7

f)

−5x 3 + 8x 2 − x + 1 4

h)

−4x + 3 7

Dados los polinomios P ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 1 , Q( x ) = −5 x 3 + 6 x 2 − 3 y R( x ) = −3 x 2 + 2 x , calcula: a)

P (x) + Q(x)

c)

P (x) + R (x)

e)

−P ( x ) − 3Q ( x )

g)

5P ( x ) + 2Q ( x )

b)

P (x) −Q(x)

d)

Q(x) − R (x)

f)

2P ( x ) + 5R ( x )

h)

1 1 P (x) − R (x) 2 2

c) −

1 x ⋅P (x) 3

d)

2x 3 P (x) 3

Sea P ( x ) = 6 x 4 − 3 x 2 + 9 x − 3 . Calcula: a)

4.

5.

6.

7.

5 3 3 6 7x 4 7 x − x + −x+ 3 2 2 2

a)

x ⋅P (x)

b)

−x 2 ⋅ P ( x )

) 2 x + 3 y R( x ) = −3 x − 2 , calcula: Dados los polinomios: P ( x )= 3 x 2 − x + 1 , Q( x=

a)

P (x) ⋅Q (x )

c)

Q(x) ⋅R (x)

e)

(Q ( x ) )

b)

P (x) ⋅R (x)

d)

x )) (P (=

f)

(R ( x ))

P (x) ⋅P (x)

2

2

2

Dados los polinomios: P ( x ) =− x + 1 , Q( x= ) x 2 + 1 , R( x ) =− x + 3 y S( x= ) 2 x − 3 , calcula: a)

P (x) ⋅Q (x )

c)

Q(x) ⋅R (x)

e)

x )) (P (=

b)

P (x) ⋅R (x)

d)

Q(x) ⋅S(x)

f)

(Q ( x ) )

2

2

P (x) ⋅P (x)

g)

(R ( x ))

h)

(S ( x ) )

2

2

Extrae factor común en las siguientes expresiones. a)

x 6 − 2x 4 + 5 x 2

b)

−2x 4 + 5x 3 − x 2 + x d)

c)

3x 5 + 6x 4 − 9x 3

e)

3xy 2 − 18x 2 y + 9x 2 y 2

g)

−x 4 y 4 + x 3 y + 4x 3 y 2

10x 6 − 5x 2 + 5

f)

5x 3 y 2 + 7xy 2 − 3x 2 y 3

h)

−2x 6 y 3 − 8x 4 y 2 − x 2 y

Contesta de forma razonada a las siguientes preguntas.

a) ¿Qué podemos decir del grado del polinomio suma de otros dos? b) ¿El grado de la suma de dos polinomios es el mayor de los grados de los polinomios? c) ¿Cuál es el grado del producto de tres polinomios? d) ¿Se puede extraer factor común de un polinomio que tiene término independiente?

Unidad 3 │ Polinomios

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 3 Polinomios Identidades notables 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Desarrolla, usando las identidades notables, las siguientes potencias. a)

( x + 5)

b)

( x − 3)

2

2

c)

( x 2 + 2)

d)

( x5 − 4)

2

2

e)

(5 + x 3 )

f)

(2 − x2 )

2

2

g)

(4 + a)

h)

(8 − y 5 )

e)

( 4y + 3 x 2 )

f)

( 3a − 3b2 )

e)

( ab − 3a 4 )

f)

( 6a + 5ab2 )

2

2

Efectúa las siguientes operaciones. a)

( 2x + 1)

b)

( 5x − 3 )

2

2

c)

( 3x 3 + 1)

d)

( 4 − 3x 2 )

c)

 3 2   3x + y  3  

d)

5 4   6xy − x  2  

2

2

2

2

Desarrolla: 2

a)

 3x  + 1   2 

b)

 5x 2  − 9  3  

2

2

2

2

2

Desarrolla las siguientes expresiones. a)

( x + 5 )( x − 5 )

c)

( 3x 3 + 2y )( 3x 3 − 2y )

e)

 3x  3x  + 1 − 1   2  2 

b)

( 5x − 3 )( 5x + 3 )

d)

( 4 − 3x 2 )( 4 + 3x 2 )

f)

5 4  5 4   6xy − x  6xy + x  2  2  

Escribe las siguientes expresiones como productos o cuadrados. a)

x 4 + 2x 2 + 1

c)

9x 4 − 24x 2 y + 16y 2

e)

4 − 25x 4 9

b)

25x 2 −9 9

d)

y 2 − 6xy + 9x 2

f)

4x 2 y 4 − 1

Escribe el término que falta para que la expresión sea una identidad notable. 40 5 x + ___ 3

a)

x 4 + 4x 2 + ___

c)

y 2 + 2xy + ___

e)

25x 8 +

b)

36x 2 − ___ + 25

d)

81x 4 − ___ + 25y 4

f)

4 2 1 x − ___ + 9 9

g)

4a8 + ___ + 81b 2

h)

a 2 − 10ab3 + ___

Identifica las identidades notables que hay entre las siguientes expresiones. a)

x 4 + 10x 2 + 25

c)

x 2 − 4xy + 4y 2

e)

25x 2 + 25x + 25

g)

49x 6 − 16

b)

36x 2 + 25

d)

( 5y 2 − 9 x 2 )

f)

9x 4 − 1

h)

9x 4 − 12x 2 + 16

Unidad 3 │ Polinomios

2

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 3 Polinomios Cálculos con identidades notables Cuando operas con números muy grandes o muy pequeños, debes tener cuidado si usas la calculadora, ya que esta trabaja con un número determinados de dígitos y, a partir de uno determinado, redondea los números y los resultados comienzan a ser aproximaciones. Un ejemplo puede ser el siguiente: 1234567892 − 123456788 ⋅ 123456790

Intenta resolver la siguiente operación utilizando la calculadora y observa el resultado. Si hacemos el cambio a = 123456789 podemos observar que la operación anterior queda: a 2 − ( a − 1)( a + 1)

Y si aplicamos la identidad notable de suma por diferencia: a 2 − ( a − 1)( a + 1) = a 2 − ( a 2 − 1) = 1 Es claro que el resultado de la operación anterior debe ser 1, y si en tu calculadora no has obtenido ese resultado se debe a las limitaciones que tienen al trabajar con números que requieren de más dígitos que los que puede asumir. A ver si eres capaz de utilizar las identidades notables para hacer los siguientes ejercicios y ser más preciso que tu calculadora.

1. Aplica las identidades notables para calcular: a) 20162 − 2014 ⋅ 2018 b) 12345 ⋅ 12347 − 12344 ⋅ 12348 c) d)

999992 − 9 99996 1 2 +1

+1

2. Demuestra que el siguiente número es entero y calcúlalo, utilizando las identidades notables:

11 + 72 + 11 − 72 3. Demuestra que para cualquier pareja de números reales a y b se cumple que 4a 2 + 9b 2 ≥ 12ab .

Unidad 3 │ Polinomios

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 3 Polinomios Binomio de Newton Las igualdades notables del cuadrado de una suma y una diferencia nos permiten desarrollar esas expresiones sin tener que hacer la multiplicación. Pero, ¿y si en vez de un cuadrado tuviéramos un cubo u otra potencia? Es decir, ¿podríamos obtener expresiones similares para ( a + b ) ? n

( a + b ) =a + b 2 ( a + b ) =a2 + 2ab + b2 3 ( a + b ) = ( a2 + 2ab + b2 ) ( a + b ) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 4 ( a + b ) = ( a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ) ( a + b ) = a 4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b 4 1

Observemos los coeficientes de estas expresiones:

A esta estructura triangular se la conoce como Triángulo de Pascal o de Tartaglia. Si nos fijamos, cada potencia tiene un término más que su exponente y cada fila comienza y termina por uno, siendo sus términos intermedios suma de los dos superiores. Esta forma de desarrollar estas expresiones aparecen en dos cartas de Newton en 1676 (la Epístola prior y la Epístola posterior) y se conoce como Binomio de Newton. Así, por ejemplo:

( 5x + 2= ) ( 5x ) 4

4

+ 4 ⋅ ( 5 x ) ⋅ 2 + 6 ⋅ ( 5 x ) ⋅ 2 2 + 4 ⋅ ( 5 x ) ⋅ 23 + = 24 625x 4 + 1000x 3 + 600 x 2 + 160 x + 16 3

2

Utilizando el binomio de Newton realiza las siguientes actividades. 1. Desarrolla utilizando el binomio de Newton ( 3a + 4 ) . 6

2. ¿Qué coeficiente tendría el término x 3 y 4 en la expresión ( 2x + y ) ? 7

3. ¿Qué cambios habría en estos procedimientos si desarrollásemos la potencia de una diferencia? Aplica esos cambios para desarrollar ( 2a − 3b ) . 4

Unidad 3 │ Polinomios

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 4 División y factorización de polinomios División de polinomios 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Realiza las siguientes divisiones de monomios. a) 2x 3 : x

c) 5x 4 : 2x 3

e) x 5 : 2x 3

g) 14x 6 : ( −7x 6 )

b) − x 5 : x 2

d) 7x 2 : x 2

f) −5x 3 : ( −4x )

h) −4x 7 : 4x 7

−5 x 3 + 10 x 2 y R ( x ) = −3 x 2 + 6 x 3 calcula: Dados los polinomios P ( x ) = 2 x 5 − 6 x 4 + 3 x 3 , Q ( x ) = a) P ( x ) : x 3

c) P ( x ) : ( −3x 3 )

e) Q ( x ) : 5x

g) R ( x ) : ( − x 2 )

b) P ( x ) : 2x 2

d) Q ( x ) : ( −5 x 2 )

f) R ( x ) : ( −3x 2 )

h) R ( x ) : 6 x

Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones. a)

( 2x 3 − x 2 + 5x − 1) : ( x 2 + 1)

c)

( x 3 − x 2 − x + 3 ) : ( x 2 + x + 1)

b)

( 2x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 2x ) : ( x 3 + x )

d)

( x 7 + 2x 6 + x 5 + 2x 4 + x 3 + 2x 2 − x ) : ( x 2 + 2x )

Utiliza la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones. Identifica el cociente y el resto. a)

( x 5 − 4 x 4 + 5 x 3 + 3 x 2 − 2x + 3 ) : ( x − 3 )

d)

( x 4 + 16 ) : ( x + 1)

b)

( x 3 − 1) : ( x − 1)

e)

( 2x 3 − 2x + 4 ) : ( x − 3 )

c)

( 2x 3 − 3 x + 2 ) : ( x + 2 )

f)

( x 2 − 4x + 4 ) : ( x − 2 )

Utiliza la regla de Ruffini para realizar las siguientes divisiones exactas. Expresa el dividiendo como divisor por cociente. a)

( x 3 − 3x − 2 ) : ( x − 2 )

e)

( x 6 + 5x 5 − x − 5 ) : ( x + 5 )

b)

( x 4 + 3 x 3 + 2x 2 + 7 x + 3 ) : ( x + 3 )

f)

( x 2 − 36 ) : ( x − 6 )

c)

( x 4 + 4x 3 − x − 4 ) : ( x + 4 )

g)

( x 2 + 6x + 9 ) : ( x + 3 )

d)

( x 3 − 4x 2 − 6x + 5 ) : ( x − 5 )

h)

( x 2 − 20x + 100 ) : ( x − 10 )

Calcula el valor de k para que las siguientes divisiones sean exactas a)

( x 3 − 3x + k ) : ( x − 1)

c)

( 2x 3 − 2x 2 + kx + 6 ) : ( x − 3 )

b)

( 2x 3 − x 2 − 5x + k ) : ( x + 1)

d)

( x 3 + 2x 2 + kx + 4 ) : ( x + 2 )

Contesta justificando tus respuestas. a) ¿Qué podemos decir del grado del cociente de dividir dos polinomios? b) ¿Qué podemos decir del grado del resto de dividir dos polinomios? c) Si el resto de una división entre polinomios es cero, ¿qué relación hay entre ellos? d) ¿Qué relación hay entre el grado del dividendo y el grado del cociente en una división por Ruffini?

Unidad 4 │ División y factorización de polinomios

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 4 División y factorización de polinomios Factorización de polinomios 1.

2.

3.

4.

5.

Indica si x = 2 y x = −1 son raíces de los siguientes polinomios. a) x 2 − 3x + 2

c) x 2 + 3x + 2

e) x 3 − 3x 2 + 4

g) x 3 + 3x 2 + 3x + 1

b) x 2 + x − 2

d) x 3 − 4x 2 + 5x − 2

f) x 3 + 4x 2 + 5x + 2

h) x 2 − 4x + 4

Calcula, sin hacer la división, el resto de las siguientes operaciones y di si son exactas o no. a)

( x 3 + 4x 2 + 5x + 2 ) : ( x + 2 )

e)

( x 3 − 6x 2 + 12x − 8 ) : ( x − 2 )

b)

( x 2 + 8x + 15 ) : ( x − 3 )

f)

( x 2 − 25 ) : ( x − 5 )

c)

( x 2 − 2x + 1) : ( x + 1)

g)

( x 3 − 16 ) : ( x + 4 )

d)

( x 3 + 4x 2 − 5x + 2) : ( x − 1)

h)

( x 2 − 8x + 16 ) : ( x − 4 )

Estudia si ( x + 1) es divisor de los siguientes polinomios. En caso de serlo, descompón el polinomio como el producto del divisor por el cociente. a) x 2 + 2x + 1

d) x 2 + 1

b) x 2 + x

e) x 2 − 1

c) 2x 3 + 2x 2

f) x 2 − 2x + 1

Calcula k para que los siguientes polinomios sean divisibles entre cada uno como producto de dos factores. a) x 3 − 2x 2 + kx − 2

d) 2x 2 + kx + 6

b) x 2 − x + k

e) x 3 − 6x 2 + kx − 8

c) kx 2 − 5x + 6

f) x 2 − 7x + k

Los siguientes polinomios tienen una raíz común. Encuéntrala y descomponlos en producto de dos factores. a) x 3 + x 2 − 2x

6.

7.

( x − 2 ) . A continuación, expresa

b) x 3 − x 2 − 2x

c) x 4 − 2x 3 − 15x 2

d) 3x 3 − 13x 2 + 12x

Encuentra una raíz de cada uno de los siguientes polinomios y descomponlos en el producto de dos factores. a) x 3 − x 2 + x − 1

c) x 3 − 2x 2 + 2x − 4

e) x 3 + x 2 + 4x + 4

g) x 2 + 6x + 9

b) x 2 − 2x + 1

d) x 3 + 4x 2 + 6x + 4

f) x 2 − 4x + 4

h) x 3 − 3x 2 + 3x − 9

Contesta justificando tus respuestas. a) De un polinomio P(x) sabemos que P(2) = 0 ¿Se puede descomponer en factores?, ¿cuál será uno de ellos? b) De un polinomio de grado 4 sabemos que P(x) = Q(x) (x − 3). ¿Cuánto vale P(3)? ¿Puede ser Q(3) = 0? c) Un polinomio de grado 3 tiene como raíces x = −1, x = 2 y x = 0. ¿Cuál es el polinomio? d) Si dividimos P(x) entre (x − 4) ¿cuál es el grado del resto?

Unidad 4 │ División y factorización de polinomios

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 4 División y factorización de polinomios Operaciones con fracciones algebraicas 1.

Halla el valor numérico de las siguientes fracciones algebraicas, cuando sea posible, para x = 1 y x = −2. a)

2.

3.

4.

x +1 x −3

b)

x2 + 1 x −1

c)

x +3 x+2

d)

x x + x −2 2

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. a)

x2 − x x 2 + 2x

d)

x 2 + 3x + 2 x2 − 1

b)

x 3 + 3x 2 x 2 + 3x

e)

x −5 x − 10x + 25

c)

x 4 − 6x 3 + 9x 2 2x 2 − 6 x

f)

x +1 x2 + x

2

Efectúa las siguientes sumas y restas con fracciones algebraicas. Expresa el resultado de la manera más simplificada posible. a)

x + 5 3x + 4 2x − 3 + − 3x + 2 3x + 2 3x + 2

e)

x 1 + x x −5

b)

x − 6 −2x + 5 5x + 4 + − x −3 x −3 x −3

f)

5 x − x − 1 x2 − 1

c)

x +1 x − 2 − x −1 x +1

g) 2x +

d)

x +1 x − 2 − x −1 x + 2

h) x − 1 −

1 x −2

x x +5

Efectúa las siguientes multiplicaciones con fracciones algebraicas. Expresa el resultado de la manera más simplificada posible. a)

1 x2 − 1 ⋅ x −1 x

e)

3 x − 9 2x − 2 ⋅ x −1 x − 3

b)

x2 − 4 2x ⋅ x − 1 x 2 + 2x

f)

x 2 − 4 2x ⋅ x +2 x −2

c)

x + 5 2x − 2 ⋅ x −1 x − 5

g)

x−4 2x ⋅ 4x − 1 x 3 − 16x

d)

5 x 3 2x − 4 ⋅ x − 2 x 2 + 4x

h)

x2 − 9 x ⋅ x − 3 x 2 + 3x

Unidad 4 │ División y factorización de polinomios

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 4 División y factorización de polinomios Operaciones con fracciones algebraicas 5.

6.

Efectúa las siguientes divisiones con fracciones algebraicas. Expresa el resultado de la manera más simplificada posible. 2 2x − 2 : x −1 x

a)

1 1 : x − 1 x2 − 1

e)

b)

x 2 − 4 x 2 + 2x : x +3 2x

f) x 2 − 4 :

c)

x +5 x −5 : x + 1 2x + 2

g)

x − 4 2x − 8 : 2x 3x

d)

x + 4 x 2 + 4x : 5x 2x + 4

h)

x −3 x : 2 x −9 x +3

x+2 2x

Contesta justificando tus respuestas. a) ¿Se puede simplificar x2 en la siguiente fracción

x2 + 4 ? x2

b) Al calcular el valor numérico de una fracción algebraica para x = 6 obtenemos c) En la siguiente resta de fracciones algebraicas

0 . ¿Qué podemos deducir? 0

x − 2 x2 − 1 , ¿cómo afecta el signo menos a la segunda − x +5 x +5

fracción? d) ¿Se puede sumar un polinomio y una fracción algebraica?

Unidad 4 │ División y factorización de polinomios

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 4 División y factorización de polinomios Siempre positivo, nunca negativo

Existen polinomios cuyo valor numérico siempre es mayor o igual que cero, sea cuál sea el valor de la variable x. Un ejemplo podría ser el polinomio P( x ) = x 4 + 2x 3 − 3x 2 − 4x + 4 . Al buscar sus raíces por el método de Ruffini podemos comprobar que este polinomio tiene dos raíces dobles, x = 1 y x = −2. 1 1 1 1 1 −2 1 −2

2

−3

−4

4

1

3

0

−4

3

0

−4

0

1

4

4

4

4

0

−2

−4

2

0

−2 1

0

La factorización de este polinomio es P( x ) = ( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) . 2

2

Esta factorización es el producto de dos cuadrados, razón por la que, sea cual sea el valor de x, el valor del polinomio siempre será positivo o igual a cero (será cero cuando x = 1 ó x = −2). 1.

Demuestra que los siguientes polinomios solo toman valores positivos, sea cual sea el valor de la variable. a) P( x ) =x 4 − 2x 3 − 3x 2 + 4x + 4 b) Q( x ) =x 4 − 10x 3 − 37x 2 − 60x + 36 c) R( x ) =x 4 − 4x 3 + 6x 2 − 4x + 1 d) T ( x ) = x 4 − 2x 3 + 3x 2 − 4x + 2

2.

¿Puede ser que el valor numérico de un polinomio de grado 3 sea siempre positivo, para cualquier valor de la variable x? Justifica tu respuesta.

Unidad 4 │ División y factorización de polinomios

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 5 Ecuaciones y sistemas Ecuaciones 1.- Indica si x = 2 es solución de las siguientes ecuaciones. x x+4 x−4 − = 2 3

a)

2x + 5( x − 2) = 4x − 4

c)

b)

x 2 + 3x + 2 = 0

2 d) x 3 − 4x 2 + 5x =

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado. a)

2( x − 1) + 5x = 3x − 1

e) 3( x − 1) − 5(2x − 5) =−x + 4

b)

3x + 5( x − 2) = 7( x + 3) − 5

f) −

c) d)

2x − 3x −

x +5 1 3 = ( x − 2) − 2 2 2

x −2 x + = 10 5 2

g) x( x − 1) = x 2 + 4x + 20

x +1 = 4x 3

h) − x 2 + 3( x − 1) = −4(2 − x 2 ) − 5x 2

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones de grado 2 incompletas. a)

x 2 − 2x + 4= 2( x 2 − x )

b)

x 2 + 1= 2x 2 − 24

c)

x 2 + 3x= 2x( x + 1)

d) x 2 − 1= 2( x − 1)( x + 2) + 3

4.- Resuelve las siguientes ecuaciones de grado 2 completas. x( x − 1) x 2 + 5 = 4 3

a)

(2x − 1)( x − 5) = 0

c)

b)

x( x − 1) x + 2 = 2 4

0 d) 25( x + 3)(4x − 20) =

5.- Encuentra el valor o valores de k para que las siguientes ecuaciones tengan una única solución real. a)

18x 2 − 12x + k = 0

0 b) kx 2 − 2x − 5 =

0 c) 2x 2 + kx + 2 =

0 d) x 2 + kx − 5 =

6.- Resuelve las siguientes ecuaciones de grado mayor que 2. a)

x3 − x2 + x = 0

0 b) x 4 − 4x 2 =

−6x c) x 3 − 5x 2 =

0 d) x 3 + 2x 2 − 5x − 6 =

7.- Contesta, de forma razonada, las siguientes preguntas. a) Si una ecuación de grado dos es incompleta con c = 0, ¿cuál es una de sus soluciones? b) P(x) es un polinomio de grado 2, P(x) = 0 tiene una única solución x =

2 . ¿Qué se puede decir de P(x)? 3

c) Un polinomio P(x) tiene grado 3 y tiene como raíces x = 1, x = –2 y x = 5 ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación P(x) = 0? d) ¿Cuál es el número máximo de soluciones reales de una ecuación bicuadrada? ¿Y el mínimo?

Unidad 5 │ Ecuaciones y sistemas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 5 Ecuaciones y sistemas Resolución de problemas con ecuaciones 1.- Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 966.

2.- Halla dos números impares consecutivos cuyo producto sea 51075.

3.- Halla dos números múltiplos de 3 consecutivos cuyo producto sea 1188.

4.- Halla la edad de Juan sabiendo que el doble de la edad que tenía hace 5 años es 30.

5.- Halla la edad de María sabiendo que la mitad de la edad que tendrá dentro de 20 años es 15.

6.- El espacio recorrido por un coche a velocidad constante durante 2 horas es 100 km. Halla la velocidad a la que circula.

7.-La madre de Daniel tiene 30 años más que él y entre los dos suman 42 años. Calcula la edad de Daniel.

8.- Un marco mide 10 cm más de alto que de ancho. Halla sus dimensiones si sabemos que su área es de 2 264 cm .

9.- En un triángulo rectángulo, un cateto mide 12 m y la hipotenusa mide 4 m más que el otro cateto. Calcula el otro cateto y la hipotenusa.

10.- En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es el triple que uno de los otros dos. ¿Cúanto miden los ángulos del triángulo?

11.- Cuatro amigos se han comido una tarta que han repartido de la siguiente forma: Daniel se ha comido la mitad que María, Pedro, la tercera parte que Daniel y Silvia se ha comido tanta tarta como Daniel y Pedro juntos. ¿Qué parte de la tarta se ha comido cada uno?

12.- Una finca tiene forma de triángulo rectángulo. Sabemos que uno de los lados que forma el ángulo recto es la mitad que el otro y que el lado opuesto al ángulo recto mide 500 m. Indica las dimensiones de la finca y la cantidad de cerca que se necesita.

Unidad 5 │ Ecuaciones y sistemas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 5 Ecuaciones y sistemas Sistemas de ecuaciones 1.- Comprueba si la pareja de números x = −2 e y = 3 es solución de los siguientes sistemas.

a)

−1 2x + y =  8 − x + 2y =

1 −2x − y = b)  5  x+y =

 3x y −4  2 − 3 = c)   2x + y = 1  5

 x y + = 0   d)  4 6  2x + y = −1  3 9

2.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución. a)

−1 2x + y =  x + 2 y = 4 

12 2x − 2y = c)  3 x − 4 y = 18 

11 2( x + 1) − 3y = e)  x y 5 2( 4) 2 + + = 

2  2x + 3y =  g)  3 −  x − 6y = 2

b)

7  2x − y =  −1 x + 4y =

3  2x − 3y = d)  9 −5x + 2y =

 x y 4  + = f)  2 3 x − y = −2  4 2

 2( x + 1) y + 4 3 + =   3 h)  5  x − 3( y + 1) = 1   4 7

3.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de igualación.

a)

−1 2x + y =  2  3x + y =

12 2x − 2y = c)  6  x − 4y =

x −4  − 5y = e)  4  x + 3y = 5  2

b)

5  x − 2y =  −1 x + 4y =

−5 −2x − 3y = d)  18  5x + 2y =

x y −2  + = f)  2 4  x−y = 4  2

4.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción. a)

−1 x + y =  x − y = 5 

12 2x − 2y = c)  3 x − 4 y = 6 

−4 2x − 5y =  e)  x −1  2 + 3y =

b)

5  x − 2y =  − 2 x + 3 y = −1 

−9 −2x − 3y = d)  5 x + 5 y = 15 

x y 1  + =  f)  2 4 x − y = 0   2

5.-Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según el número de soluciones. a)

−11 −2x − 3y =  x y 5 + = − 5 

4  x − 2y = b)  2 x 4 y − + = −2 

4 2x − 12y = c)  3 x − 18 y = 6 

1 −2x − y =  d)  y 5  x + 2 =

6.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante el método gráfico, clasifícalos según el número de soluciones e identifica la posición relativa de las rectas correspondientes. a)

−2 x − y =  2 3x + y =

6 −2x + 3y = b)  −3  x + 2y =

Unidad 5 │ Ecuaciones y sistemas

4 −2x − 3y = c)  12 4x + 6y =

−1 −2x + y = d)  2  4x − 2y =

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 5 Ecuaciones y sistemas Problemas con sistemas de ecuaciones 1.-Clara ha comprado en una tienda 5 bocadillos de jamón y 5 refrescos y ha pagado 25 €. Enrique ha comprado en la misma tienda 3 bocadillos de jamón y 5 refrescos y ha pagado 18 €. ¿Qué precio tienen los bocadillos de jamón y los refrescos?

2.- Las edades de una madre y su hija se diferencian en 26 años, hace 10 años la madre tenía el triple que su hija. ¿Cuáles son las edades actuales de las dos?

3.- David tiene billetes de 5 € y de 10 €. En total tiene 215 €. Si tiene 25 billetes, ¿cuántos tiene de cada clase?

4.- En un hotel hay habitaciones con dos camas y habitaciones con cinco camas. En total se pueden alojar 500 personas. Si hay 106 habitaciones, ¿cuántas habitaciones hay de cada clase?

5.- En una tienda alquilan bicicletas y triciclos. Todos usan las mismas ruedas. En total hay 42 vehículos y las ruedas que se necesitan para tenerlos todos funcionando son 100. ¿Cuántos vehículos hay de cada clase?

6.- Se ha mezclado leche de 1 €/l con leche de 0,75 €/l y se han obtenido 150 l de leche a un precio de 0,8 €/l. ¿Cuántos litros de cada clase se han usado?

7.- Una finca de forma rectangular tiene 25 m más de largo que de ancho. Para vallarla se necesitan 1000 m de cerca ¿Cuáles son las dimensiones de la finca?

8.- Tenemos un poster al que ponemos una cartulina negra de 10 cm de ancho en tres de sus lados. El poster tiene un perímetro de 180 cm y la cartulina negra tiene un perímetro exterior de 200 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del poster?

9.- Un autobus sale de una ciudad A hacia otra ciudad B y lleva una velocidad constante de 60 km/h. Al mismo tiempo sale un autobús desde B hacia A con velocidad de 70 km/h. Las dos ciudades distan 195 km. a) ¿Cuántos kilómetros recorre cada autobús hasta que se encuentran? b) ¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse?

Unidad 5 │ Ecuaciones y sistemas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 5 Ecuaciones y sistemas Resolución mental

Dos matemáticos del siglo XVI, el italiano Gerolamo Cardano y el francés François Vietta, establecieron las relaciones que existen entre las raíces de un polinomio y los coeficientes del mismo. Se denominan Fórmulas de Cardano-Vieta.

En esta actividad vas a deducir estas relaciones en el caso de una ecuación de segundo grado con coeficiente principal a = 1. Como ya sabes, las soluciones de una ecuación de segundo grado x 2 + bx + c = 0 , vienen dadas por −b + b 2 − 4c −b − b 2 − 4c y x2 = 2 2 Realiza la suma y el producto de las soluciones: x 1 + x 2 y x 1 · x 2 y contesta x1 =

•

¿Qué resultado has obtenido?

•

¿Es alguno de los coeficientes de la ecuación inicial?

•

¿Qué relación hay entre los coeficientes de la ecuación y sus raíces?

Ahora te resultará muy sencillo resolver los siguientes ejercicios. 1. Resuelve de forma mental las siguientes ecuaciones de segundo grado utilizando las relaciones entre los coeficientes de las ecuaciones y sus soluciones. a) x 2 − 3x + 2 = 0

c) x 2 + 4x + 3 = 0

e) x 2 + x − 6 = 0

b) x 2 − 4x + 3 = 0

d) x 2 − x − 12 = 0

f) x 2 + 4x + 4 = 0

2. Utiliza las relaciones anteriores para hallar una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros con estas soluciones. Nota: Si la ecuación tiene una única solución, es decir, cuando b 2 − 4c = 0 , se dice que la solución es doble.

2 y –1 3

a) 2 y 3

c) –1 y –4

e)

b) 4 y –2

d) 5 (doble)

f) −

3 1 y − 4 2

. 3. Busca las relaciones entre las soluciones de una ecuación de segundo grado y sus coeficientes en el caso en que a pueda tomar cualquier valor no nulo.

Unidad 5 │ Ecuaciones y sistemas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 5 Ecuaciones y sistemas ¿Y con tres incógnitas? Ya sabes plantear situaciones que se resuelven con sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. Pero, ¿y si tuviéramos más incógnitas? Vamos a resolver de forma sencilla algunas de estas situaciones. 1. Marcos, Cristina y Sara están junto a una báscula. •

Cuando se suben Marcos y Cristina, la báscula marca 120 kg.

•

Cuando se suben Marcos y Sara, la báscula marca 117 kg.

•

Cuando se suben Cristina y Sara, la báscula marca 107 kg.

¿Cuánto pesa cada uno? 1.º Si llamamos x al peso de Marcos, y al peso de Cristina y z al peso de Sara, tenemos que: 120 x + y =  x + z = 117   y + z = 107

2.º Sumando las tres ecuaciones obtenemos 2 ( x + y + z )= 344 ⇒ x + y + z= 172 3.º Sabiendo que el peso de los tres juntos es de 172 kg, es fácil deducir el peso de cada a partir de cada ecuación. y 120  x +=  z 117  x +=  y += z 107

⇒= z 52 ⇒= y 55 ⇒= x 65

Otra estrategia puede ser despejar una variable y sustituirla en las otras dos ecuaciones para que nos quede un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 2. En una caja registradora hay 34 billetes, unos de 5 €, otros, de 10 €, y otros, de 20 €, con un valor total de 310 €. Si sabes que hay el triple de billetes de 5 € que de 20 €, ¿cuántos billetes hay de cada tipo? 1.º Si llamamos x, y, z respectivamente al número de billetes de 5, 10 y 20 €, el sistema nos quedaría: 34 x+y +z =  y + 4z 34 =   = y 10 x = 3z + + = → ⇒ ⇒ = 5 10 20 310  x y z x 18  + = = 10 35 310 y z z 6    x = 3z

3. Resuelve el siguiente problema utilizando la estrategia que consideres más conveniente. Las edades actuales de Pablo, de su padre y de su abuelo suman 100 años. El padre de Pablo nació cuando su abuelo tenía 20 años. Sabemos que dentro de 10 años, la edad de Pablo y la de su padre juntas serán la de su abuelo. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?

Unidad 5 │ Ecuaciones y sistemas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 5 Ecuaciones y sistemas Nos cambiamos de casa

¿Qué vas a hacer? Nuestra familia se muda a una nueva casa y nos tenemos que encargar de empaquetar todas nuestras cosas para que los transportistas puedan llevar las cajas a nuestra nueva habitación.

¿Cómo vas a hacerlo? 1. Necesitarás hacer un inventario de todas las cosas que tienes que transportar, libros, ropa, juegos, consola, equipo de música… Y de sus tamaños aproximados. 2. ¿Cuántas cajas necesitas? ¿Cuáles serán sus medidas para que quepan tus cosas, pero no pesen demasiado? ¿Cuánto te van a costar? 3. Cuando termines esta tarea, completarás la rúbrica para reflexionar sobre la manera en que has trabajado.

¡Adelante! ¡Nos mudamos, vamos a empaquetar!

PASO 1. Realiza un inventario. Por grupos de cuatro alumnos debéis preparar un inventario de todos los objetos que tendrías que transportar a una nueva casa. Debéis poneros de acuerdo: cuántos libros, cuántos juegos, cuánta ropa o zapatos, el portátil, el flexo, el trofeo del torneo de fin de curso del año pasado… Haced un promedio entre todos. Luego, anotad el tamaño y la masa aproximada de todos esos objetos. También si son frágiles o si son fáciles de empaquetar o su forma dificulta este trabajo. ¿Cuál os parece la mejor forma de organizar toda esta información? Elegid un criterio y aplicadlo a vuestro inventario.

PASO 2. ¿Cuántas cajas necesitas? Las cajas más baratas que encontramos para empaquetar las cosas que queremos llevar no están montadas y vienen en planchas de cartón que miden 120 cm de largo y 100 cm de ancho. Para construir las cajas, hay que quitar un cuadradito en cada esquina para poder doblar la plancha y formar los ortoedros.

100 cm

x

Unidad 5 Ecuaciones y sistemas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 5 Ecuaciones y sistemas Nos cambiamos de casa

120 cm

¿Cómo debes montar cada caja para que te quepan el mayor número de objetos posibles sin sobrepasar los 20 kilos de masa en total? Por ejemplo, si tus libros miden unos 25 cm × 16 cm × 5 cm y quieres hacer dos montones dentro de la caja, la base deberá medir, como mínimo, 35 cm de largo por 30 de ancho. Para calcular el alto, es decir, el valor de x, podemos plantear una ecuación. Según el valor de x obtenido podemos calcular el número de libros y la masa de la caja. Si nos hemos pasado, podemos sacar algunos libros y guardar otros objetos que tengan una masa menor. Repite este procedimiento para todos los objetos de tu inventario. ¿Cuántas cajas necesitas? ¿Cuál va a ser el tamaño de cada una? ¿Qué vas a guardar? ¿Cuál va a ser su masa aproximada? Crea un registro de cajas con su contenido.

PASO 3. Calcula los gastos Cada plancha de cartón cuesta 5 €, pero además debemos comprar las planchas para construir las tapas. De la misma forma que con las cajas, tendremos que cortar un cuadradito de cada esquina de la caja para formar la tapa, pero debemos tener en cuenta que este cuadradito debe medir como mínimo 5 cm de lado para que la caja cierre correctamente.

5 cm

Nos ofrecen los siguientes tamaños, cada uno con un precio diferente. A. 90 cm × 70 cm: 2,50 € B. 70 cm × 50 cm: 1,50 € C. 50 cm × 25 cm: 1 € ¿Qué tapas necesitas para tapar tus cajas? Calcula el coste total de las cajas con sus tapas correspondientes.

PASO 5. Presentar los resultados de vuestra encuesta Cada grupo deberá presentara su inventario y su registro de cajas, junto con el coste total calculado. Debéis explicar a la clase cuál es vuestro método de empaquetar, cuanto más novedoso y original mejor. Una vez que todos los grupos hayan presentado sus informes, realizad una votación para elegir qué equipo ha preparado la mejor mudanza.

Unidad 5 Ecuaciones y sistemas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 6 Proporcionalidad Proporcionalidad directa. Repartos 1.- Indica si las siguientes parejas de magnitudes son o no directamente proporcionales. a) Un estanque está vacío. Abrimos una manguera para llenarlo. El tiempo que está abierta la manguera y la cantidad de agua que hay en el estanque. b) La edad de una persona y su altura. c) La cantidad de naranjas que hemos comprado y el precio que hemos pagado por ellas. d) El número de entradas de cine que compramos y el IVA que hemos pagado. e) En un cumpleaños hay una tarta. El número de amigos que van al cumpleaños y la cantidad de tarta a la que tocan.

2.- Indica si las siguientes tablas corresponden a magnitudes directamente proporcionales y, en tal caso, halla el valor de la constante de prorporcionalidad directa. a) x

2

4

5

600

y

5

10

12,5

1500

x

3

4

5

10

y

9

16

15

30

b)

3.- Completa estas tablas para que las magnitudes que expresan sean directamente proporcionales. Indica en cada caso la constante de proporcionalidad de y sobre x. a) x

2

4

y

120

600

18

300

900

50

150

25 000

b) x y

2 15

60

120

4.- Una empresa destina parte de sus beneficios a una ONG. Este mes ha tenido unos beneficios de 350 000 € y ha destinado 28 000 € a la ONG. Si hemos comprado un artículo que vale 25 €. ¿Qué cantidad de nuestro dinero ha sido para la ONG?

5.- Una fotografía de 2,4 MB se ha descargado en nuestro móvil en 5 s. ¿Cuánto tardará en descargarse un vídeo de 1200 MB?

6.-Tres amigos han recibido un premio de 1500 € por un trabajo realizado. Para repartirlo deciden hacerlo proporcionalmente al tiempo dedicado al mismo por cada uno de ellos. El primero le ha dedicado 18 h, el segundo 26 h y el tercero 16 h. ¿Cuánto recibirá cada uno? Unidad 6 │ Proporcionalidad

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 6 Proporcionalidad Porcentajes. Interés simple y compuesto 1.- Completa la siguiente tabla como en el ejemplo. Ejemplo

a)

b)

%

15

24

45

de

2500

1200

es

375

c)

d)

e)

50

2

1540 1800

3500

77

315

f)

12 000 60

2.-El 18% de los alumnos de un centro de Secundaria está cursando 3º de ESO. Si en el centro hay 1350 alumnos, ¿cuántos alumnos están en 3º?

3.- Diego tiene 42 libros de novela negra, que son el 26% de sus libros. ¿Cuántos libros tiene en su biblioteca?

4.- En una Ciudad hay 254 hoteles, 24 de ellos son de 4 estrellas. ¿Qué porcentaje del total representan los hoteles de 4 estrellas en la ciudad?

5.-Indica en cada caso qué ocurre al multiplicar una cantidad por los siguientes números (di si es aumento o disminución porcentual) y di el porcentaje en que aumenta o disminuye la cantidad. a) 1,5

c) 1,3

e) 2

g) 0,06

b) 1,02

d) 0,4

f)

h) 0,99

0,75

6.- Un becario ganaba 300 € al mes. Ha tenido un aumento del 0,5% durante tres meses seguidos. ¿Cuánto ganará ahora?

7.- En las rebajas de enero ha bajado el precio de un ordenador un 6%. En febrero ha vuelto a bajar un 20%. Ahora vale 710,64 € ¿Cuánto valía antes de los descuentos?

8.- La venta de aceite en el mes de enero ha sido de 25 millones de toneladas. En el mes de febrero ha sufrido una disminución del 5%, pero en el mes de marzo ha subido un 5% respecto a febrero. ¿Cuántas toneladas de aceite se han vendido en marzo?

9.- Halla el capital final en que se convierten 500 € durante 10 años a un interés simple y compuesto del: a) 1,5%

b) 10%

c) 2%

d) 5%

10.- Se colocan 3000 € a interés simple del 3% anual. a) ¿Qué beneficios nos darán cada año? b) Si los tenemos durante 4 años, calcula los beneficios totales y el capital final que retiramos. c) Compara cómo varían los beneficios totales y el capital final si se colocasen esos 3000 € a un interés compuesto del 3% anual durante 4 años.

Unidad 6 │ Proporcionalidad

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 6 Proporcionalidad Proporcionalidad inversa. Repartos 1.- Indica si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o ninguna de las dos cosas. a) En una obra, el número de albañiles y la duración de la obra. b) En la construcción de una carretera. La cantidad de alquitrán y los kilómetros asfaltados. c) Tenemos un balón lleno de aire. Los días que pasan y la presión del balón. d) El caudal de agua de una manguera y el tiempo que tarda en llenar un estanque. e) El número de hijos y el dinero que reciben de una herencia que se reparte a partes iguales.

2.- Indica si las siguientes tablas corresponden a magnitudes inversamente proporcionales y, en tal caso, halla el valor de la constante de proporcionalidad inversa a) x

2

4

1

20

y

50

25

100

5

x

12

4

6

60

y

10

30

5

2

b)

3.- Completa estas tablas para que las magnitudes que expresan sean inversamente proporcionales. Indica en cada caso la constante de proporcionalidad inversa. a) x

2

4

y

120

600

18

300

3

50

150

25 000

b) x y

2 15

60

120

4.- Tenemos que pagar un autobús para hacer una excursión. Si vamos 20 alumnos, a cada uno de corresponde pagar 15 €, ¿cuánto tendremos que pagar si vamos 50?

5.- Realiza los siguientes repartos: a) 14000 inversamente proporcional a 2 y 5. b) 460000 inversamente proporcional a 2,6 y 10.

6.-Seis personas consumen 63 barras de pan en una semana. ¿Cuántas barras consumirán 8 personas en 10 días?

Unidad 6 │ Proporcionalidad

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 6 Proporcionalidad Proporcionalidad y geometría 1.- Estudia la semejanza de los siguientes polígonos. En caso de que sean semejantes, calcula la razón de semejanza. a)

b)

2.- Calcula las medidas desconocidas:

3.- Indica la razón de semejanza entre los lados de los siguientes polígonos, entre sus perímetros y entre sus áreas respectivas.

4.- Una piscina tiene una capacidad de 200 000 l. Se ha construido otra semejante a ella pero con lados tres veces más grandes. ¿Cuántos litros de agua caben en la nueva piscina? 3 5.- Un depósito con forma de prisma triangular tiene una capacidad de 500cm . Queremos construir otro 3 semejante con capacidad de 2000 cm , ¿cuál es la razón entre los lados de los prismas?

6.-La escala de un mapa es 1:15 000 000. Dos ciudades distan 5 cm en el mapa. ¿Cuánto distan en la realidad? 7.- En el plano de una casa un dormitorio tiene 6cm2 de superficie. Si la escala es 1:150, ¿cuál es la superficie real del dormitorio?

Unidad 6 │ Proporcionalidad

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 6 Proporcionalidad Proporcionalidad compuesta 1.- En un comedor escolar 75 alumnos han consumido 230 kg de pescado en 2 meses. ¿Cuántos kg de pescado consumirán 150 alumnos en 3 meses?

2.- A un teatro con 2 sesiones diarias, pueden asistir 18 000 personas en 30 días. ¿Cuántas personas podrán asistir en 45 días si el teatro aumenta una sesión diaria?

3.- Las 5 vacas de una granja consumen 60 kg de pienso en 4 días. ¿Cuántos días se podrán alimentar 8 vacas con 360 kg de pienso?

4.- Los 10 trabajadores de una fábrica han necesitado 5 días para fabricar 1000 piezas trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán en fabricar 3000 piezas si trabajan 10 horas diarias?

5.- Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una ciudad que está a 60 km de distancia, una empresa de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 50 kg a 200 km de distancia?

6.- Para llenar un depósito hasta una altura de 80 cm, con un caudal de 20 litros por minuto (l/min), se ha necesitado 1 h y 20 min. ¿Cuánto tiempo se tardará en llenar otro depósito hasta una altura de 90 cm con un caudal de 15 l/min?

Unidad 6 │ Proporcionalidad

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Unidad 6 Proporcionalidad Pobre mosca John Von Neumann fue un matemático húngaro que tuvo especial relevancia en la segunda mitad del siglo XX. En cierta ocasión le plantearon un problema similar al siguiente: Dos bicicletas que distan 1 km en línea recta parten a la vez la una al encuentro de la otra, una a 18 km/h, y la otra, a 22 km/h. Al mismo tiempo, y junto a la primera bicicleta, sale una mosca en su mismo sentido a una velocidad de 30 km/h. Cuando la mosca llega a la otra bicicleta, cambia de sentido y vuelve en busca de la primera a la misma velocidad. Este procedimiento lo repite indefinidamente hasta el momento en que la pobre mosca irremediablemente muere aplastada por las dos ¿Cuál será el espacio total recorrido por la mosca?

bicicletas.

Se comenta que Von Neuman respondió de forma inmediata la solución del problema. Esto decepcionó a la persona que le planteó el problema que le dijo: -“¡Ah! Que usted ya conocía el truco”. -“¿Qué truco? Lo único que he hecho es realizar una suma de infinitos trayectos”, respondió Von Neumann. La cuestión es, ¿se debe recurrir a sumar los infinitos trayectos que hace la mosca o existe una estrategia más sencilla? Como la mosca lleva velocidad constante, lo único que hay que hacer es hallar el tiempo que tardan en chocarse las bicicletas y calcular la distancia que recorre la mosca en ese tiempo. Esto se puede hacer de manera sencilla utilizando proporciones.

x 60 min 60 = ⇒ x= = 1,5 min= 1 min 30 s . 18 km + 22 km 1 km 40  1,5  Por tanto, la distancia que recorre la mosca en ese tiempo será: e = v ⋅ t = 30 ⋅   = 0,75 km  60 

(También podía haberse calculado mediante proporciones) 1. (Problema general) Una bicicleta A y una bicicleta B salen de puntos opuestos de una carretera, separados por d kilómetros. Van, respectivamente, a unas velocidades de v a y v b kilómetros por hora. Una mosca sale de la rueda de la bicicleta A hacia la bicicleta B con una velocidad v m Kilómetro por hora, siendo v m > v a y v m > v b . Cuando llega a la rueda de la bicicleta B, vuelve hacia la bicicleta A, y de este modo sucesivamente hasta que se produce el trágico momento. ¿Qué distancia total ha recorrido la mosca?

Unidad 6 │ Proporcionalidad

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 7 Figuras planas Polígonos 1.- Halla la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos convexos. a) Cuadrilátero b) Heptágono c) Octógono

2.- Halla la medida de los ángulos interiores de: a) Un octógono regular. b) Un polígono regular de 15 lados. c) Un polígono regular de 30 lados.

3.- Indica el número de lados que tienen los polígonos convexos sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es: a) 2520°

c) 4500°

b) 3240°

d) 7200°

4.- Indica el número de lados que tiene un polígono regular si cada uno de sus ángulos interiores mide: a) 108°

c) 140°

b) 120°

d) 157,5°

5.- Se conocen cuatro ángulos interiores de un pentágono convexo: 87°, 96°, 100° y 160°. ¿Cuánto mide el ángulo que falta?

Unidad 7 │ Figuras planas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 7 Figuras planas Triángulos 1.- Estudia si existe algún triángulo cuyos lados midan. a) 5 cm,11 cm y 7 cm. b) 14 cm,6 cm y 8 cm. c) 10 cm, 2 cm y 4 cm.

2.- Dibuja el ortocentro, el circuncentro y la circunferencia circunscrita de los siguientes triángulos.

3.- Dibuja el baricentro, el incentro y la circunferencia inscrita de los siguientes triángulos.

4.-En un triángulo isósceles, la distancia del baricentro al vértice desigual es de 5 cm, ¿cuánto mide la altura del lado desigual?

5.- Contesta razonadamente las siguientes preguntas a) El baricentro de un triángulo siempre está en el interior del triángulo. b) ¿Dónde se sitúa el ortocentro de un triángulo rectángulo? c) ¿Qué ocurre con las medianas, mediatrices, alturas y bisectrices en un triángulo equilátero? d) ¿Cuál es el punto que equidista de tres puntos dados no alineados?

Unidad 7 │ Figuras planas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 7 Figuras planas Teorema de Pitágoras. Aplicaciones 1.- Completa la siguiente tabla en la que tenemos datos de dos de los lados de un triángulo rectángulo. Cateto b

Cateto c

45 cm

60 cm 8 dm

20 m 6m

Hipotenusa a

15 dm 80 m

6m

2.- Estudia si los triángulos cuyas medidas de lados se indican son rectángulos. a) 40 cm, 30 cm y 50 cm b) 25 dm, 18 dm y 40 dm c) 4 cm, 4 cm y 6 cm d) 20 m, 16 m y 12 m

3.- Sabemos que los cuadrados de la cuadrícula siguiente tienen 1 cm de lado. ¿Cuánto miden los segmentos dibujados?

4.- Un triángulo equilátero tiene 10 cm de lado, ¿cuánto mide su altura?

5.- La altura correspondiente al lado desigual de un triángulo isósceles mide 8cm. El lado desigual mide 4 cm, ¿cuánto mide cada uno de los otros lados?

6.-Se quiere sujetar una antena de 25 m de altura mediante un cable al suelo. El punto de sujeción está a 8m de la base de la antena. ¿Cuánto mide el cable?

7.- La diagonal de un rectángulo mide 14 dm. Si un lado mide 7 dm, ¿cuánto mide su perímetro?

Unidad 7 │ Figuras planas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 7 Figuras planas Circunferencia y círculo 1.- Calcula la medida de los ángulos centrales de los siguientes polígonos regulares.

2.- Calcula las medidas de los ángulos desconocidos en las siguientes figuras. a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)

3.- Calcula las medidas de los ángulos semiinscritos en las circunferencias.

4.- Calcula las medidas de los ángulos desconocidos en los siguientes polígonos regulares.

5.- Dibuja un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 8 cm. ¿Es única la solución? 6.- Responde de forma razonada a las siguientes preguntas. a) ¿Los ángulos inscritos correspondientes al mismo arco tienen la misma medida? b) ¿Un ángulo inscrito en una circunferencia puede ser mayor que 180º? c) ¿Cómo se puede calcular el ángulo interior de cualquier polígono regular a partir del número de lados usando las propiedades de los ángulos inscritos en una circunferencia? Unidad 7 │ Figuras planas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 7 Figuras planas Longitudes y áreas 1.- Calcula los perímetros de las siguientes figuras. Las medidas están en centímetros.

2.- Calcula las áreas de las siguientes figuras. Las medidas están en metros.

3.- Calcula las longitudes marcadas en rojo. Las medidas están en decímetros. a)

b)

c)

d)

4.- Calcula las áreas sombreadas en las siguientes figuras. Las medidas están en decímetros.

5.- Calcula el área y el perímetro de un triángulo rectángulo que tiene una hipotenusa de 13 cm, y un cateto, de 12 cm. 6.-La diagonal menor de un rombo mide 8 m y su área es 48 m2 Calcula su perímetro.

7.- Calcula el área de las figuras sombreadas en verde. Las medidas están en metros. a)

Unidad 7 │ Figuras planas

b)

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 7 Figuras planas Arco capaz 1.- El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ven los extremos de un segmento desde un mismo ángulo. Para trazar el arco capaz de 60º del segmento AB seguimos los siguientes pasos: 1.º Dibuja la mediatriz del segmento AB.

2.º En un extremo del segmento, dibuja una recta r que forme un ángulo de 60º con el segmento.

3. Desde ese mismo extremo, dibuja una recta s perpendicular a r, que cortará a la mediatriz en el punto O.

4.º El punto O es el centro de un arco que pasa por A y por B y desde cuyos puntos se ven A y B con un ángulo de 60º. Es decir, O es el centro del arco capaz de 60º del segmento AB. ¿Hay más soluciones?

2. .Dibuja el arco capaz de 30º y 45º para el segmento AB.

Unidad 7 │ Figuras planas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 7 Figuras planas Potencia de una circunferencia En 1826, el matemático suizo Jakob Steiner definió el concepto de potencia de un punto respecto una circunferencia, aunque este resultado ya se encontraba en Los Elementos de Euclides. (300 a. C.) Dada una circunferencia C y un punto P del plano, se traza una recta r por P que corta a la circunferencia C en dos puntos A y B. Se define potencia del punto P respecto a la circunferencia C como el producto de las distancias PA ⋅ PB . Se observa que la potencia de un punto no depende de la recta que se escoja. Vamos a probarlo. 1.º Sea P un punto interior a la circunferencia y r y s dos rectas que pasan por P y corten a la circunferencia en A, B y C, D, respectivamente. Los triángulos PAC y PDB son semejantes. •

El ángulo en P es el mismo en los dos triángulos, porque son opuestos por el vértice.

•

El ángulo en A es el mismo que el ángulo en D, porque abarcan el mismo arco de circunferencia.

•

El ángulo C es el mismo que el ángulo B, porque abarcan el mismo arco de circunferencia. Por lo tanto: PB PD = ⇒ PA ⋅ PB = PC ⋅ PD PC PA

2.º Si el punto P fuera exterior, los triángulos PBC y PDA son semejantes. Por el ángulo en P común y por tener los ángulos B y D iguales, ya que abarcan el mismo arco de circunferencia. Por lo tanto:

PB PC = ⇒ PA ⋅ PB = PC ⋅ PD PD PA

1. Sea r el radio de una circunferencia y d la distancia de un punto P al centro de esa circunferencia. Demuestra que: a) Si el punto P es interior, la potencia de P respecto de esa circunferencia es r 2 − d 2 . b) Si el punto P es exterior, la potencia de P respecto de esa circunferencia es d 2 − r 2 .

Unidad 7 │ Figuras planas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 7 Figuras planas Distancia al horizonte

El horizonte es la línea que aparentemente separa la tierra y el cielo. Seguramente, si has estado en la playa, habrás visto alejarse un barco poco a poco, hasta el momento en que el barco se pierde por la línea del horizonte. Pero, ¿a qué distancia se encuentra esa línea? ¿Se podrá calcular? El cálculo de esa distancia se puede hacer utilizando el teorema de Pitágoras. Observa la figura: • La circunferencia representa la esfera terrestre, • R es el radio de la Tierra, • h la altura del observador sobre la tierra • d la distancia al horizonte de esa persona

El triángulo es rectángulo en H, porque la recta tangente a una circunferencia es siempre perpendicular al radio en el punto de tangencia. Por tanto, la distancia d es, en kilómetros: R2 + d 2 =

(R + h )

2

⇒ d 2 = R 2 + h 2 + 2Rh − R 2 ⇒ d =

2Rh + h 2

Y como la altura del observador al cuadrado, h2 , es muy pequeña comparándola con el radio de la Tierra (6371 km), se puede despreciar, por lo que d 

2Rh =

2 ⋅ 6371⋅ h =

12 742 h .

1. Calcula a qué distancia se encuentra el horizonte de una persona que está en lo alto de un acantilado de 540 m de altura sobre el nivel del mar.

Unidad 7 │ Figuras planas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 7 Figuras planas ¿Y esto será verdad? Hay veces que demostraciones aparentemente bien realizadas, llevan a resultados absurdos. Un ejemplo es la siguiente donde se muestra que todos los triángulos son isósceles.

 . La 1.º Se considera un triángulo ABC y se traza la mediatriz del lado AB y la bisectriz del ángulo interior C mediatriz y la bisectriz se cortan en el punto interior P. 2.º Desde el punto P se trazan perpendiculares a los lados AC y BC y se obtienen G y H.

3.º Los triángulos CPG y CPH son semejantes ya que tienen el lado CP en común y tienen dos ángulos = PHC = 90º y PCG   = PCH , este último por estar el punto P en la bisectriz. iguales, PGC 4.º Son también semejantes los triángulos ADP y BDP ya que ambos son triángulos rectángulos con los mismos catetos. El cateto PD es común y los catetos DA y DB son iguales ya que D es el punto donde la mediatriz del segmento AB corta a dicho segmento. 5.º Los triángulos GPA y HPB son también semejantes ya que ambos son triángulos rectángulos que cumplen que PA = PB, por pertenecer P a la mediatriz, y PG = PH por pertenecer P a la bisectriz. 6.º Con todo lo anterior se tendría que CG + GA = CH + HB, con lo que AC = CB y por tanto el triángulo es isósceles.

1. ¿Dónde está el error de esta demostración? 2. A pesar de ser una demostración fraudulenta, esta demostración nos permite probar un interesante resultado geométrico, ¿cuál es?

Unidad 7 │ Figuras planas

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 8 Movimientos en el plano Vectores. Traslaciones 1.

Encuentra los vectores equipolentes entre los siguientes.

2.

 Calcula las coordenadas del vector AB en los siguientes casos.

3.

4.

5.

a)

A (1, −2 ) y B ( 4,3 )

c) A ( −2,0 ) y B ( 4, −5 )

e) A ( −3,5 ) y B ( 0,0 )

b)

A ( −1,3 ) y B ( −4, −2 )

d) A ( −2, −1) y B ( −2, −1)

f) A ( 3,6 ) y B (1,2 )

 Dado el vector AB calcula en cada caso las coordenadas del punto desconocido.    a) AB (1,7 ) y A (1, −2 ) = c) AB ( 2,2 ) y B ( 4, −5 ) e) AB = ( −8,5 ) , B ( 0,0 ) =    d) AB = ( −1, −1) y B ( −2, −1) f) AB = ( −3,1) y A ( 3,6 ) b) AB = ( −4,1) y A ( −1,3 )    Dado los vectores u = ( −2,0 ) y w = ( 3,1) calcula las coordenadas de los siguientes ( 1, −2 ) , v = vectores.          a) u + v + w c) − u − v − w e) − u + 2v − w         d) 2u + 3v f) 3u + 2v − 5w b) u + v − w

 Dada una traslación de vector u calcula los puntos A´ , homólogos de A , en los siguientes casos.    c) u = ( −3, −3 ) y A ( 4,0 ) e) u = a) u = (1,3 ) y A ( 0,0 ) ( 4, −3 ) y A ( −2,1)    d) u = ( −2, −1) y A ( 0, −3 ) f) u = ( 0,0 ) y A ( 7,5 ) b) u = ( −1,2 ) y A ( 5, −1)

6.

 Traslada la siguiente figura mediante la traslación del vector u .

7.

Encuentra el vector de traslación de la figura F en la figura F´, en los siguientes casos.

Unidad 8 │ Movimientos en el plano

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 8 Movimientos en el plano Giros. Simetría axial y central 1.

Halla la figura que se obtiene al girar el siguiente polígono un ángulo de 60° con centro en C(2, –1).

2.

Halla el centro y la amplitud del giro que transforma las figuras verdes en las figuras azules.

3.

Halla la figura que se obtiene aplicando una simetría central respecto de C(3, 0) a la siguiente figura.

4.

Dibuja las figuras simétricas de las dadas respecto a las rectas que se indican.

5.

Dibuja todos los ejes de simetría de un octógono regular.

6.

Halla las coordenadas de los puntos que se obtienen al hacer una simetría central respecto al punto C(1, 1) y una simetría axial respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes de los siguientes puntos. a) b)

P(1, 3) P(–1, 0)

c) P(0, 0) d) P(–2, –2)

Unidad 8 │ Movimientos en el plano

e) P(2, –1) f) P(3, 2)

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 8 Movimientos en el plano Giros. Simetría axial y central 7.

Halla el eje de simetría que transforma una figura en la otra en los siguientes casos. a)

Unidad 8 │ Movimientos en el plano

b)

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 8 Movimientos en el plano Ejes y centros de simetría en figuras planas 1.

Busca ejes de simetría en los siguientes polígonos.

2.

Halla todos los ejes de simetría de las siguientes figuras.

3.

Completa las siguientes figuras para que tengan un eje de simetría en las rectas indicadas.

4.

Completa las siguientes figuras para que tengan un centro de simetría en el punto indicado.

5.

Contesta razonadamente a las siguientes preguntas a) b) c) d)

Una figura tiene ejes de simetría solo si es regular. Una figura que tiene un eje de simetría se puede reconstruir conociendo su forma a uno de los lados del eje. Un pentágono no tiene ejes de simetría porque tiene un número impar de lados. Toda figura que tiene eje de simetría tiene centro de simetría.

Unidad 8 │ Movimientos en el plano

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 8 Movimientos en el plano En busca de la distancia mínima Una costa de playa horizontal tiene una longitud de 8 Km. En el inicio de esta costa, pero a 2 Km de ella en el mar, se encuentra una moto acuática con dos pasajeros. Al final de la costa, y también en el mar, se encuentra un islote a 3 Km de la costa. La lancha motora debe ir a la costa (da igual el lugar de la costa) para dejar a uno de sus pasajeros y luego dirigirse al islote. Si realiza sus dos trayectos en línea recta, ¿a qué punto concreto de la costa debe ir para hacer la menor cantidad de Kilómetros posible? La situación se puede ver en la siguiente representación gráfica en un plano cartesiano. Llamemos A al punto de partida, que tendrá por coordenadas (0, 2), B al islote que tendrá por coordenadas (8, 3) y marcaremos la costa con la recta horizontal y = 0:

Como puedes observar, no todas las distancias son iguales, y la distancia total recorrida depende del punto de la costa donde deje al pasajero. Pero, ¿cómo podemos averiguar cuál es ese punto? En los siguientes cursos estudiarás un procedimiento matemático que se llama derivar, que nos va a servir para hallar los máximos y mínimos de funciones. En este caso, no nos va a hacer falta. Basta con que observes que mediante una simple simetría, el problema se resuelve encontrando la distancia más corta entre el punto A(0, 2) y B´(8, –3). Como sabes, esa distancia es la línea recta y basta ver donde corta esa recta la recta horizontal y = 0. 1.

Con la ayuda que se te ha proporcionado, ¿sabrías ya calcular el lugar concreto de la costa donde debe dejar al pasajero para recorrer la menor distancia posible en su recorrido? ¿Cuál sería esa distancia mínima?

Unidad 8 │ Movimientos en el plano

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 9 Cuerpos Geométricos Poliedros. Cuerpos de revolución 1.

Identifica los poliedros entre los siguientes cuerpos. a)

2.

c)

d)

e)

d)

e)

Clasifica los siguientes poliedros en cóncavos y convexos. a)

3.

b)

b)

c)

Identifica los nombres de los poliedros regulares y la forma de las caras. Cuenta el número de caras de cada uno. a)

b)

c)

d)

e)

4.

Cuenta número de caras, vértices y aristas de un hexaedro y un dodecaedro. Comprueba que se cumple la fórmula de Euler.

5.

Clasifica los siguientes cuerpos geométricos en prismas o pirámides, di si son regulares o no y si son oblicuos o rectos. a)

b)

c)

d)

e)

6.

Dibuja un cono, un cilindro y una esfera. Identifica el eje de giro y la generatriz de cada uno de ellos.

7.

Indica, de forma razonada, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) b) c) d)

Los poliedros que tienen todas sus caras regulares se llaman poliedros regulares. La fórmula de Euler se cumple en todos los poliedros aunque no sean regulares. Una pirámide triangular regular es un tetraedro. La Tierra es un cuerpo de revolución.

Unidad 9 │ Cuerpos geométricos

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 9 Cuerpos Geométricos Áreas y volúmenes de poliedros 1.

Calcula el área total de un cubo de 5 cm de lado.

2.

Calcula la cantidad de cartón que se necesita para hacer una caja de cartón sin tapadera cuya base tiene 25 cm de ancho y 30cm de largo, y cuya altura es de 50 cm.

3.

Calcula el área lateral de un prisma triangular regular de 10 dm de altura, cuya base tiene un lado de 6 dm.

4.

Calcula el área total de una pirámide triangular regular cuya base tiene lado 8 cm y cuya arista lateral mide 10 cm.

5.

Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular cuya base tiene lado 8 cm y cuya arista lateral mide 7 cm.

6.

Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular cuya base tiene lado 6 m y que mide 5 m de altura.

7.

Calcula el volumen de un prisma triangular cuya base es un triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 6 cm y cuya altura es de 20 cm.

8.

Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya base tiene 10 m de lado y que tiene una altura de 25 m.

9.

Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular de lado 4 dm y arista lateral 12 dm.

10. Identifica los siguientes poliedros. Calcula su área lateral, su área total y su volumen. a)

Unidad 9 │ Cuerpos geométricos

b)

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 9 Cuerpos Geométricos Áreas y volúmenes de cuerpos de revolución 1.

Calcula el área total de un cilindro de 5 cm de radio y 10 cm de altura.

2.

Calcula la cantidad de hojalata que se necesita para hacer una lata cilíndrica sin tapadera, cuya base tiene 20 cm de diámetro, y su altura, 50 cm.

3.

Calcula el área lateral de un cono de 10 dm de altura, cuya base tiene 6 dm de radio.

4.

Calcula el área total de un cono cuya base tiene 8 cm de radio y cuya generatriz mide 10 cm.

5.

Calcula el área de una superficie esférica de 8 cm de diámetro.

6.

Calcula el volumen de un cilindro cuya base tiene 6 m de diámetro y que mide 15 m de altura.

7.

Calcula el volumen de un cono cuya base tiene 10 cm de radio y cuya altura es de 20 cm.

8.

Calcula el volumen de un cono cuya base tiene 10 m de radio con una generatriz de 25 m.

9.

Calcula el volumen de una esfera de radio 4 dm.

10. Identifica los siguientes cuerpos. Calcula su área lateral, su área total y su volumen. a)

Unidad 9 │ Cuerpos geométricos

b)

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 9 Cuerpos geométricos El teorema egregio de Gauss Carl Friedrich Gauss es reconocido como uno de los mejores matemáticos de la historia. Nació el 30 de abril de 1777 en la ciudad de Brunswick, situada al norte de Alemania y murió el 23 de febrero de 1855 en Götingen. Su familia fue de origen humilde. Su padre, Gerhard Diedrich Gauss, se dedicó a campos como la jardinería, la albañilería o a la construcción de canales. Parece ser que en la infancia, Gauss fue un niño respetuoso y obediente y que estuvo más unido a su madre Dorothea Benz, de la que se intuye que provinieron sus primeros estímulos intelectuales. La relación entre Gauss y su madre fue muy especial. Ella reconoció inmediatamente las condiciones innatas de su hijo y lo estimuló intelectualmente, a la vez que lo protegió de las pretensiones de su padre de hacerlo jardinero o albañil. La aportaciones de Gauss a las Matemáticas fueron numerosas y en distintos campos. En este epígrafe vamos a comentar una concreta que la vamos a poder relacionar con la Geografía. Gauss en sus estudios sobre Geometría Diferencial de curvas y superficies definió el término curvatura gaussiana, mediante el cual en cada punto de una superficie podía medir como se curvaba esta en dicho punto. Como se puede observar, en todos los puntos de una esfera la curvatura es la misma y estableció que 1 dicha curvatura era constante a 2 , donde r es el radio de la esfera. Del mismo modo, en cualquier punto de r un plano no hay curvatura y por tanto estableció que la curvatura en todos los puntos de un plano es nula. Gauss demostró un resultado que se conoce como teorema egregio de Gauss, que viene a decir que si queremos hacer una trasformación entre dos superficies que mantengan a escala distancias y ángulos estas superficies deben tener la misma curvatura gaussiana. ¿Qué consecuencia tiene este resultado? Pues que todos los mapas y planisferios con los que se trabajan no están hechos a escala con la esfera terrestre. 1.

¿Qué esfera tiene más curvatura gaussiana, una de 1 m de radio o una de 2 m de radio? ¿Qué ocurre si el radio de la esfera crece indefinidamente?

2.

En un planisferio seleccionamos tres puntos que forman un triángulo equilátero. ¿Formarán esos puntos un triángulo equilátero en la realidad? Razona tu respuesta.

Unidad 9 │ Cuerpos geométricos

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 10 Sucesiones Sucesiones 1.

2.

Escribe los cuatro primeros términos y el décimo término de las siguientes sucesiones. a)

a n = 3n – 2

c) c n = n3 – 1

e) e n = (–1)n + 1

b)

b n = 5 – 2n

d) d n =

3 n+2

f) f n = 2 · 3n – 2

Escribe los tres términos siguientes de estas sucesiones. 3 4 5 6 , , , ... 2 3 4 5 b) –1, 8, –27, 64…

a)

c) 2, 6, 12, 20, 30… d) 4, 8, 12, 16, 20…

3.

Escribe los términos generales de las sucesiones del ejercicio anterior.

4.

Escribe los términos generales y los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones. a) A cada número natural le corresponde el cuadrado de su mitad. b) A cada número natural le corresponde la mitad de su cuadrado. c) A cada número natural le corresponde la suma de los cuadrados de sí mismo y de su siguiente.

5.

Calcula los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones definidas por recurrencia. a) a 1 = 1; a n = a n – 1 + 3 c) c 1 = 1; c 2 = 7; c n = b) b 1 =

6.

1 ; b n = 2b n – 1 12

cn −1 + cn − 2 2

d) d 1 = 5; d 2 = 7; d n = 2 · (d n – 1 + d n – 2 )

Encuentra la ley de recurrencia de las siguientes sucesiones en función de los dos términos anteriores. a) (a n ) = (2, 5, 10, 50, 500, 25 000…) para n > 2 1 1 1   b) ( bn ) =  2, 16, 8, , , , 2...  para n > 2 2 16 8   c) (c n ) = (1, 2, 9, 121, 16 900…) para n > 2

7.

Encuentra la ley de recurrencia de los números triangulares que se obtienen como se observa en la siguiente ilustración.

Unidad 1 │ Conjuntos numéricos

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 10 Sucesiones Progresiones aritméticas 1.

2.

3.

Averigua si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia en aquellas que lo sean. 1, 7, 13, 19, 25…

c)

b)

–2, 4, 6, 8, –10…

d) 8, 5, 2, –1, –4…

e) 4, 9, 16, 25, 36… f) 1, 3, 5, 7, 11…

Calcula el término general de las siguientes progresiones aritméticas. 5 7 8 , 2, , ... 3 3 3

a) 3, 2, –7, –10…

c)

b) 11, 13, 15, 17…

d) 1,2; 1,6; 2; 2,4…

Calcula el término general y los términos 100, 200 y 500 de las siguientes progresiones ariméticas. a) a 1 = 3, d = 2 b) b 1 = –5, d = –3

4.

2 4 6 8 10 , , , , ... 3 5 7 9 11

a)

3 1 = ,d 2 4 d) d 1 = 5, d = –4

c) = c1

Calcula el término general de las siguientes progresiones aritméticas. a) a 1 = 3, a 4 = 15 b) b 2 = 6, b 5 = 0

c) c 3 = 7, c 7 = 9 d) d 1 = –3, d 9 = –19

5.

Calcula la suma de los veinte primeros términos de las progresiones aritméticas del ejercicio 3.

6.

Averigua si los siguientes números pertenecen a las progresiones que se indican. En caso afirmativo, indica qué lugar ocupan. a) 2702 y a n = 3n + 5 b) 150 y b n = 140 – 2n c) 106 y c n = 10 + 4n

7.

El primer término de una progresión aritmética es 100, y la suma de sus 40 primeros términos, 7900. ¿Cuál es el término general de la progresión?

Unidad 10 │ Sucesiones

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 10 Sucesiones Progresiones geométricas 1.

2.

Averigua si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas. Calcula la razón en aquellas que lo sean. 1 1 1 1 , , , ... 2 4 6 8

a)

1,

b)

5 10 20 40 , , , ... 7 7 7 7

1 1 1 1 , , , ... 2 4 8 16

b) 2, –4, 8, –16, 32…

4.

1 1 1 1 , , , ... 2 4 8 16

d) 1, 3, 3, 9, 27…

e) 2, –4, 8, –16, 32… f)

1 2 4 8 , , , ... 3 9 27 81

Calcula el término general de las siguientes progresiones geométricas. a) 1,

3.

c) 1,

c)

1 2 4 8 , , , ... 3 9 27 81

d) 1, –1, 1, –1, 1, –1…

Calcula el término general y la posición 12 de las siguientes progresiones geométricas. a) a 1 = 3, r = –2

c) = c1 81 ,r =

b) b 1 = 5, r = 0,1

d) d1 =

1 3

1 , r = −2 4

Calcula el término general de las siguientes progresiones geométricas. a) a 1 = 3, a 4 = –24 b) b 2 = 0,0006, b 6 = 6 y sus términos son positivos.

5.

Calcula la suma de los ocho primeros términos de las progresiones geométricas del ejercicio 3.

6.

Calcula la suma de los infinitos términos de las progresiones geométricas siguientes. a) 81, 27, 9, 3, 1… b) 50; 5; 0,5; 0,05… c) 8, 4, 2, 1…

7.

Cierto tipo de bacterias se reproducen por fisión cada 30 minutos, es decir, de cada bacteria se obtienen dos en ese plazo de tiempo. Si se introducen 10 bacterias en un cultivo, ¿cuántas habrá al cabo de 24 horas si ninguna de ellas muere?

Unidad 10 │ Sucesiones

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 10 Progresiones La sucesión de Fibonacci y el número de oro Cuando un segmento se divide en dos segmentos de longitudes a y b (con a > b), se dice que esta a a+b = división es áurea si el mayor es al menor como el total es al mayor. Es decir, . b a

a a+b = se le conoce como número de oro y se le suele denotar con la letra b a ϕ (Fí) en honor a Fidias, que utilizó en varias ocasiones este número en la construcción del Partenón en Atenas.

Al valor de la proporción

Pero, ¿qué número es este? Llamemos ϕ =

a Entonces, b

a a+b 1+ 5 = ⇒ ϕ = 1 + ϕ−1 ⇒ ϕ2 = ϕ + 1 ⇒ ϕ2 − ϕ − 1 = 0 ⇒ ϕ =  1,618 (Desechando la solución negativa). b a 2 Lo sorprendente de este número es como se encuentra presente en diversos campos como la naturaleza, el arte, el diseño, etc. Además, también está relacionado con la sucesión de Fibonacci que has estudiado en esta Unidad. Recuerda que la sucesión de Fibonacci es una sucesión recurrente donde a 1 = a 2 = 1 y a n = a n – 1 + a n – 2. De este modo, los primeros términos de la sucesión de Fibonacci serán: a 1 = a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3, a 5 = 5, a 6 = 8, a 7 = 13, a 8 = 21, a 9 = 34, a 10 = 55, a 11 = 89… Fijémonos en los cocientes de dos términos consecutivos

an +1 de esta sucesión: an

a2 =1 a1

a3 =2 a2

a4 = 1,5 a3

a5 = 1,67 a4

a7 = 1,625 a6

a8 = 1,615... a7

a9 = 1,619... a8

a10 = 1,618... a9

a6 = 1,6 a5 a11 = 1,618... a10

Como puedes observar estos valores tienden sorprendentemente al número de oro. 1.

Encuentra situaciones en distintos contextos en donde aparezca el número de oro.

2.

Demuestra de una manera más rigurosa que el cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci tiende al número de oro.

Unidad 10 │ Progresiones

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 10 Progresiones Progresiones aritmético-geométricas Si a n es una progresión aritmética y b n es una progresión geométrica, diremos que la sucesión c n = a n · b n de términos a 1 · b 1 , a 2 · b 2, a 3 · b 3 es una progresión aritmético-geométrica. Está claro que el término general de estas progresiones aritmético-geométricas siempre se puede expresar como el producto de los dos términos generales. Operando, siempre podremos expresar su término general como cn = ( a ⋅ n + b ) ⋅ r n , con a y r no nulos y r ≠ 1 (ya que en este caso sería una progresión aritmética). Intentemos calcular la suma de los m primeros términos:

Sm =( a + b ) ⋅ r + ( 2a + b ) ⋅ r 2 + ( 3a + b ) ⋅ r 3 +  + ( ma + b ) ⋅ r m =a ⋅ r + 2a ⋅ r 2 +  + ma ⋅ r m + b ⋅ r + b ⋅ r 2 +  + b ⋅ r m rSm =( a + b ) ⋅ r 2 + ( 2a + b ) ⋅ r 3 +  + ( ma + b ) ⋅ r m +1 =a ⋅ r 2 + 2a ⋅ r 3 +  + ma ⋅ r m +1 + b ⋅ r 2 + b ⋅ r 3 +  + b ⋅ r m +1 Restando las dos expresiones nos queda:  1− r m  Sm − rSm = a ⋅ r + a ⋅ r 2 + a ⋅ r 3 +  + a ⋅ r m − m ⋅ a ⋅ r m +1 + b ⋅ r − b ⋅ r m +1 = a ⋅ r ⋅  − m ⋅ r m  + b ⋅ r ⋅ (1 − r m )  1− r  m  1− r  − m ⋅ r m  + b ⋅ r ⋅ (1 − r m ) a⋅r ⋅  1− r  Sm = 1− r

Como sucedía con las progresiones geométricas, en estas progresiones se pueden calcular las sumas de los infinitos términos cuando r < 1 . En estos casos, teniendo en cuenta que r m es un valor muy próximo a cero cuando m toma valores elevados, tendremos que:

S

 1  a⋅r ⋅  + b ⋅ r a ⋅ r + b ⋅ r ⋅ (1 − r )  1− r  = 2 1− r (1 − r )

1.

Calcula la suma de los infinitos términos de la sucesión an =

2.

Dada la progresión de términos 4, 4, 3, 2,

( 5n + 1) ⋅ 2n (−3)n

.

5 , ...: 4

a) Comprueba que es una progresión aritmético-geométrica, obtén su término general y halla los dos siguientes términos. b) Calcula, si es posible, la suma de los infinitos términos de esta progresión.

Unidad 10 │ Progresiones

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 11 Funciones Funciones 1.

Indica, de forma razonada, si las siguientes gráficas corresponden a funciones. a)

2.

b)

Representa las funciones dadas a partir de las siguientes tablas. a)

3.

b)

c)

x

–3

–1

0

2

4

x

–4

–1

0

1

5

x

–6

–3

0

1

3

y

7

–1

–2

2

14

y

–6

–3

–2

–1

3

y

3

3

3

3

3

Una función está definida por la siguiente expresión: f(x) = x2 + 3. a) b)

4.

c)

Calcula f(–2), f(0), f(2) y f(3). Con los valores obtenidos representa la función.

María sale de casa para ir a clase a las 8 de la mañana. Va a una velocidad constante al principio, pero se encuentra con una amiga y se para con ella. Después, aumenta su velocidad porque, si no, no llega a tiempo. Cuando está cerca del instituto, se da cuenta de que tiene que comprar un bolígrafo y se ha pasado la papelería, vuelve a la papelería y cuando tiene el bolígrafo, se va rápidamente a clase. La siguiente gráfica representa la distancia (en metros) de María a su casa, en función del tiempo (en minutos).

Contesta a las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto tiempo tarda María en llegar a clase? b) ¿Cuánto tiempo está parada con la amiga?, ¿a qué hora se encuentra con ella? c) ¿Cuánto tiempo tarda en volver a la papelería? d) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que deja a la amiga hasta que llega a clase? e) ¿A qué distancia de su casa se encuentra con la amiga? f) ¿Qué distancia hay de su casa al centro?

Unidad 11 │ Funciones

Matemáticas 3.º ESO

Unidad 11 Funciones Funciones 5.

Representa las siguientes funciones definidas a trozos. a)

6.

f (x) =

{−x−2+ 2

si x≤0 si 0 < x ≤ 5

{

b) f ( x ) = 2x − 2 si −3 ≤ x ≤ 1 − x + 1 si 1 < x ≤ 2

{

c) f ( x ) = x − 3 si −2 ≤ x ≤ 2 −2 si 2