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PRÁCTICA Nº1 1) Un segmento fijo de longitud h es la altura relativa a la hipotenusa de un triangulo rectángulo variable. Determine la ecuación vectorial y su grafica de los puntos de intersección de uno de los catetos con la circunferencia de centro en el vértice a dicho cateto de radio r. SOLUCIÓN:

(

)

Reemplazando 2 en 1 (

) (

.

/ )

(

Ecuación de la curva es la de una hipérbola (

)

)

2) Determine las ecuaciones del plano normal y osculador en la curva de intersección de las superficies ; en el punto (-1,1,2). SOLUCIÓN ̅( ) ̅( )

(

̅ ( )

(

(

) ) )

Evaluando en el punto (-1,1,2): ( ) , ,

( ) ( ) -

,

( ) -

Evaluando en el punto (-1,1,2) y de (1):

̅

̅ ‖ ̅‖

√

(

)

Para el plano normal: ,(

)

(

)- ̅

3) Sea C la curva descrita por ̅( ) . /; a Є R. Halle la torsión τ, si α es la medida del ángulo que determina la Binormal con el eje ̅̅̅̅. SOLUCIÓN Sea:

Sea: ( ̅

̅( )

(

̅( )

) (

̅ ( )

(

̅( )

̅ ‖

‖ ̅

‖̂ ̅‖

‖ ̂‖ ‖ ̅‖

) (

‖ ̅

)

̅

̅ ‖

̂

(

)

̅ ( )

(

( )

̅ ‖

Reemplazando (2) en (1):

̅

‖ ̅

( )

̅ ‖

Tomando modulo al producto escalar:

)

̅ ( ) ̅

‖ ̅

̅ ) ̅

)

4) La circunferencia ς: es osculatriz en el punto A(1,2) a una parábola cuyo eje es paralelo al eje ̅̅̅̅. Determine la ecuación de la parábola. SOLUCIÓN Sea: ̅ ( )

(

)

̅( )

(

)

̅ ( )

(

)

)

(

)

Entonces derivando y evaluando en A=(1,2):

)

Del dato: ‖ ̅ ̅ ‖ ‖ ̅‖

Definimos la ecuación de la parábola: (

(

| , √

|

( ) -

⁄

⁄

,(

-

)

⁄

,(

-

)

(

⁄

(

)

)

Entonces, la ecuación de la parábola es:

⁄

(

)

(

)

Reemplazando en la ecuación de la parábola y en el punto A=(1,2):

5) Una partícula se desplaza a lo largo de la curva ς: ( ) de tal manera que las componentes vertical y horizontal del vector aceleración son iguales. Si invierte T segundos en ir (C,0) al punto (0,D). ¿Cuánto tiempo invertirá en ir desde (C,0) a la mitad del camino . /? SOLUCIÓN Tomamos:

( )

. / ̅( )

(

) √

̅

̅( )

(

) Para:

̅

̅ ( )

( ,( )

-

) √

Como nos dice que las componentes de la aceleración son iguales: ,( ) ( )

-

Ahora para el punto . √

/

6) Determine las ecuaciones intrínsecas de la curva ς de intersección de las superficies . SOLUCIÓN Sea:

Ahora:

̅( )

(

̅( )

̅( )

(

̅( )

(

(

) (

) ‖ ̅ ( )‖

√

∫ ‖ ̅ ( )‖

̅ ( )

(

(

√

( √ )

√

̅ ( ) √

)

√

( √ )

(

̅( )

√

( √ )

‖ ̅ ( )‖

( ̅ ( ) ̅ ( )) ̅ ( ) ‖ ̅ ( ) ̅ ( )‖

( ) ( ) 7) Sea la curva C: donde s es el parámetro longitud de arco. Calcule k(s): SOLUCIÓN Sea: ̅ ( )

, ( ) ( ) -

̅( )

, ( )

̅ ( ) Sea:

,

‖ ̅

̅ ‖

‖ ̅ ‖

( )

( ) -

̅( )

̅ ( )

‖ ̅‖

√( )

,

( )

( ) Entonces: |

)

√ √

( √ ) )

Entonces: √

√

( √ )

√

( √ )

(√

)

|

)

) )

8) Sea la curva C: Determine su curvatura en los puntos de abcisa x=1 y ordenada racional SOLUCIÓN Sea: ̅ ( )

(

)

̅( )

(

)

̅ ( )

(

)

Evaluamos la curva en x=1

(

Entonces: ‖ ̅ ̅ ‖ ‖ ̅‖

)

Como irracional →

√

posee solución

( ) 9) Sea ς una curva descrita por la indicatriz esférica de sus Binormales.

( ) Determine

SOLUCIÓN ̅( )

Sea: ̅

̅ ̅ ̅

̅ ̅

̅

̅

(

̅

) ̅

̅

̅

( ̅

̅)

̅

Entonces definimos: ‖ ̅ ̅ ‖ ‖ ̅‖ ( ̅ ̅ ) ̅ ‖ ̅ ̅ ‖

(

‖

̅ ‖

̅‖

√

̅‖

) ‖

̅

̅‖

(

)

10) Determine la Torsión ( ) y la Binormal ̅ ( ) de la ( ) ( ) involuta de una curva ς definida por SOLUCIÓN De la forma de la involuta: ̅ ( ) Sea ̅

̅ y̅

̅

̅ ̅

̅

( ̅ ̅

√

) ̅-

,(

→

̅) ̅

̅( ) →

)̅

( (

) √

→ Tomando modulo: ̅

̅

̅ √

̅

(

)

….(I)

Derivando (I): ̅

)( ̅

( (

) ⁄

̅)

→ Tomando modulo:

(

)

PRÁCTICA Nº2 1) Una partícula seguidora de calor parte del origen. Su la distribución de temperatura viene dad por la función escalar definida por (̅) entonces ¿Cuál es la ecuación de la trayectoria descrita por la partícula? SOLUCIÓN Sea: ( ̅ )

( )

( )

Entonces señala la mayor variación de temperatura => Sea la ecuación de la trayectoria ̅ ( ) ( ( ) ( )) =>

(

Para =>

)

Entonces al igualar: =>

(

)

2) Suponga que una cierta región del espacio el potencial eléctrico V esta definido por la función escalar (̅) tal que a) Determine la razón de cambio del potencial en el punto ̅ ̅ ̅ P=(3,4,5) en la dirección del vector ̅ b) ¿Cuál es la razón máxima de cambio en el punto P? SOLUCIÓN a) De la definición de la derivada direccional: ̅

̅

̅ ̅

(

)(

√

Entonces evaluando en el punto P=(3;4,5): ̅

̅

(

)(

)

√ √ √ b) De la definición del producto escalar: ̅ ̅ ̅ ‖ ̅ ‖ ‖ ̅‖ ̅ Ahora, para que la derivada direccional sea máxima =>

̅

̅

‖ ̅‖

√

√

√

√

√

)

( )es tangente a la 3) Un cilindro cuya ecuación es superficie en todos los puntos comunes a ( ) las dos superficies. Calcule SOLUCIÓN Sea

( )

(

( )

)

(

)

( ) ( )

4) ¿En que puntos de la superficie es paralelo al plano ?

el plano tangente

SOLUCIÓN Sea la superficie:

, ̅ (

)(

̅̅̅)

Ahora reemplazando en la superficie obtenemos los puntos: (

) (

)

5) Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando su respuesta. I. Si

es una función escalar, entonces

II. Si √

, entonces III. Si ‖ (̅)|

(

) (

(̅)

)

(

) (̅)

es la función escalare definida por √ ‖ ̅‖ ̅ (̅)

(̅)‖ para todo ̅en alguna vecindad del origen, entonces | (̅) ‖̅ ̅‖para todo ̅ ̅en esa vecindad

SOLUCIÓN I.FALSO El límite no necesariamente cumple ya que solo cumple en polinomios y la función tendría que ser continua en ese punto. Comprobemos con un contraejemplo: ( ̅)

Sea: ( ̅ )

Para

Por trayectorias:

Como ( ̅ ) no es continua en (2,5) ( ̅)

Para

(

) (

)

( ̅)

(

(

)

)

II. VERDADERO Partimos de la definición de la derivada direccional y sea ̅ ( ̅)

̅

( ̅) ̅

Como:

|

̅

( ̅ )|

√(

)

Pero: Tenemos que: (

)

̅

Entonces concluimos que:

( ̅)

√

Tomando modulo: III.VERDADERO De la expresión: | ( ̅ ) ̅

̅

| ( ̅)

( ̅)|

‖ ̅ ̅‖

̅

( ̅)|

‖ ̅

̅

‖

( ̅ )‖

̅‖

̅

( ̅)

√

6) Sea (̅)

la función escalar definida por ̅

{

̅

̅?

. ¿Es diferenciable en ̅

̅ ̅ Justifique su respuesta. SOLUCIÓN (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

{

(

Por trayectorias, se demuestra que Para

(

)

Para

(

)

Para

(

)

( {

) ̅

) ̅

es continua:

)

( (

) ̅

Por trayectorias, se demuestra que Para

(

)

Para

(

)

Para

(

)

̅ ̅

) ̅

es continua:

Por lo tanto, ( ̅ ) si es diferenciable en ̅

̅

̅

̅

7) Determine todos los valores extremos absolutos y relativos y los puntos de silla para la función escalar definida por (̅) ( ) de la región cuadrada SOLUCIÓN Para hallar los puntos críticos: (

)

(

)

Por el criterio de la segunda derivada:

( )

(

( )

)

Obtenemos el punto: Entonces, 8 es su máximo relativo y no existe un punto de ensilladura.

Ahora, hallamos:

8) Suponer que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico siendo a, b y c constantes positivas, x e y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar (x, y, z están medidas en metros). a) En el punto (1;1), ¿en que dirección aumenta mas rápido la altitud? b) Si se suelta una canica en (1;1), ¿en que dirección comenzara a rodar? SOLUCIÓN a) Al momento de tomar la gradiente negativa obtenemos la dirección de aumento de la altitud evaluando en el punto (1;1): (

)

b)Ahora la dirección en que comienza a rodar solo es la gradiente evaluada en el punto (1;1): (

)

9) Sea ς la curva suave que es la solución de la ecuación ) ( ) diferencial ( . Calcule la curvatura de la curva ς. SOLUCIÓN Sea: ̅ ( )

(

) ̅( )

(

) ̅ ( )

(

)

Despejando de la ecuación dada:

[

]

‖ ̅ ̅ ‖ ‖ ̅‖

|

*

(

|

(

( )

(

)

)

⁄

(

) +

( )

) ⁄

10) Grafique mediante las curvas de nivel, la superficie cuyas ecuaciones paramétricas son: (

)

.

SOLUCIÓN Elevando al cuadrado hallamos una relación:

Entonces para hallar sus curvas de nivel hacemos

La cual es una familia de elipses Entonces, su grafica en el espacio será: Hiperboloide de una hoja

/

(

)

PRÁCTICA Nº3 1) Calcule ∬ (

)

)

*(

,

-

,

-+

SOLUCIÓN Entonces transformando la integral doble: √

√

∫

∫

√

√

∫

√

√

(

) √

√

* √

*

) √

*

√

∫

(

*

√

+ √

√

+

+

+

√ √

2) Deducir la ecuación del cono circular recto cuya altura mide H y el radio de la base mide R, y luego calcule su momento de inercia. SOLUCIÓN Calculando el momento de inercia del cono, como es simétrico al plano XY solo actuaria en el eje Z: ∭(

)

Ahora, transformamos a coordenadas cilíndricas: *(

)

+ ∫

∫ ∫

3) Grafique la región de integración y evalúe en coordenadas cilíndricas ∫ ∫ ∫ SOLUCIÓN De la expresión obtenemos el dominio: )

*(

+

Ahora hallamos las superficies: Como: De la definición: √ Entonces, transformamos a cilíndricas: *(

)

∫

√ √

√

+

√

∫ ∫

(

)

4) Resolver a) Demuestre que la ecuación de Euler para la funcional ( puede escribir de la siguiente manera: ∫

b) Calcule la función estacionaria para SOLUCIÓN a) De la ecuación de Euler: (

)

) se

*

(

)

(

)

(

)

+

b) de la integral: ∫ La ecuación de Euler seria: ( (

) )

5) Calcule ∬

)

*(

+

SOLUCIÓN Del grafico obtenemos: ) *(

√

√

(

) +

Entonces, transformando a polares: *(

)

+ ∫ ∫

∫ (

)

6) Evalúe ∫ ∫

,

∫

-

SOLUCIÓN Redefiniendo la integral iterada: ,

∫ ∫ ∫

∫ ∫ (

,

[

)

(

∫

-

)

-

,

-

,

-

(

]

)

7) La carga se distribuye sobre el disco ) que la densidad de carga es ( la carga total sobre el disco.

de modo . Calcule

SOLUCIÓN De la definición de carga eléctrica: (

)

∬ Transformando a polares tenemos: *( ∫

)

∫ , (

+ )

-

8) Complete los espacios en blanco, justificando sus respectivas respuestas: a) asume la forma _____________ en coordenadas cilíndricas y la forma ________________ en coordenadas esféricas. √

b) ∫ ∫ se convierte en _________________ ∫ en coordenadas cilíndricas. c) Si S es la bola unitaria con centro en el origen, entonces , escrita como integral iterada en coordenadas ∭ esféricas se convierte en _______________. d) El valor de la integral de la pregunta (c) es ___________________. SOLUCIÓN a)

asume la forma en coordenadas cilíndricas y la forma en coordenadas esféricas.

Para las coordenadas cartesianas: (

(

)

|

|

|

|

)

Para coordenadas cilíndricas: (

(

)

)

|

|

|

|

Para coordenadas esféricas: (

)

(

|

|

|

)

)∫ ∫ ∫

|

√

∫

se convierte en

∫ ∫

en coordenadas cilíndricas.

De la grafica obtenemos que es un cilindro: )

*(

+ ∫

∫ ∫

c)Si S es la bola unitaria con centro en el origen, entonces ∭ , escrita como integral iterada en coordenadas esféricas se convierte en ∭ d) ∫

∫ ∫

9) Responda verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar sus respuestas. (

a) Si ∬

)

∬

(

)

, entonces (

)

(

)

b) Hay tres posible ordenes de integración para una integral triple. )

*(

c) Si

+, entonces ∭

( )

d) ∫ ∫ SOLUCIÓN

a) VERDADERO Si (

)

(

) en una región R, entonces gráficamente se cumple:

.

∬ (

)

∬ (

)

b)FALSO Dependiendo de las condiciones a las que se adecue el problema, existen 6 posibles ordenes de integración:

c) VERDEDERO ∫

∫ ∫

d)VERDADERO ∫ ∫

( )

10) Considere el solido acotado en el primer octante superiormente por el plano , los planos . Calcule su volumen de dos maneras: a) mediante una integración b) mediante una integración SOLUCIÓN

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

=4

EXAMEN PARCIAL 1) ¿Existe el siguiente limite

? Justifique

̅ ̅

su respuesta. SOLUCIÓN (

Reduciendo para

)

Para Por lo que obtenemos que:

Entonces el límite seria:

̅ ̅

̅ ̅

Ahora demostrando la existencia del límite por trayectorias: Para

Entonces, generalizando: ̅ ̅

Para

2) Determine, si existe una función armónica tal que ( ) . /, si es una función real de variable real diferencial. SOLUCIÓN Para que sea una función armónica se tendría que cumplir: *

( )

+ ( )

Sea ( ) ( )

( ), ( )

( )

Entonces, de la ecuación de Laplace:

*

+ ( )

Se nota que no se puede expresar con una función que dependa de t => no es una función armónica.

( )[ ]

3) Enuncie y demuestre la segunda ley de Kepler. SOLUCIÓN La segunda Ley de Kepler nos dice: “Una recta imaginaria (radio vector) que une el so, con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.” Ahora para demostrarla tendremos que: Sea: (

̂ ̂

̂

)

(

(

̂

)

)

(

̂ )

̂

Obtenemos: ̅ ̅ ̅ ̅

* ⏟

̂

(

̂

) +̂

̂ * ⏟

+̂

̅ ̅ ̅

[ ∫

∫

]

(

)

4) Indique el valor de verdad de las siguientes preposiciones: a) Si una función es diferenciable, entonces (̅) ̅ ̅ es un vector unitario. Fundamente su ̅ (̅) respuesta. b) Existe una función ) . Fundamente su respuesta.

(

tal que

)

(

SOLUCIÓN a) Sean los puntos de la recta que pasa por ( ̅: (

)

( )

(

̅

)

(

( )

)

(

(

(

( ) ) ̅

) ( )

Como:

) en dirección del vector

)

( ̅

( ̅)

(

( ̅

)

)

) (

(

)

)

)(

(

( ̅)

)

(

) ̅

b) Por teoría, la gradiente de una función es un vector y se puede expresar en una forma cartesiana. (

)

(

(

)

(

)

)

(̅) 5) Sea la función escalar definida por Si es diferenciable en el punto ̅ ( ), entonces demuestre: (̅) (̅ ) (̅ ) (̅ ̅ ) * + ̅ ̅̅̅ ‖̅ ̅ ‖ SOLUCIÓN De la definición de diferenciabilidad: ( ̅

̅)

( ̅ ) ̅

( ̅ )

Luego hacemos: ̅

( ̅ ̅)

( ̅ ̅)

̅

̅ ̅

Reemplazando: ( ̅ )

( ̅ )

( ̅ )( ̅

( ̅ ̅) ‖ ̅

̅ )

̅ ‖

Despejando la ecuación y tomando límite tenemos: ̅ ̅̅̅̅

*

( ̅)

( ̅ ) ‖ ̅

( ̅ )( ̅ ̅ ‖

̅ )

+

̅

( ̅ ̅)

6) Determine la ecuación del plano tangente a las superficies en el punto que contiene al punto de tangencia de las dos superficies:

SOLUCIÓN De las superficies obtenemos: ( ̅)

( ̅)

(

)

( ̅ ) (

)

, (

(

) (

) (

Entonces, para el plano tangente:

,

̅ -

(

( ̅ )

Operando:

, ̅

)

( ̅ ) -(

)

)-

)

7) Demuestre que la evoluta de la curva es una espiral logarítmica.

; a>0 y b>0,

SOLUCIÓN Sea la evoluta:

8) Una partícula se desplaza en ̅( )

, ( ) ( ) ( )√

√

0

con vector de posición

1 En el instante

la posición de la

√

partícula es . ( / y su velocidad es ̅ √ ). En cada instante la aceleración de la partícula es ). Encuentre la curvatura de la curva ς ̅ ( ) ( descrita por el vector de la posición en cualquier instante t. SOLUCIÓN De los datos del problema tenemos: ̅( )

[ ( ̅( )

̅ ( ) ‖ ̅ ̅ ‖ ‖ ̅‖

)

(

) √ ]

[

√ ]

,

-

√ ( (

) )

⁄

√

9) Sea la función escalar siguiente regla de correspondencia ( ) (̅) { ̅ Analice la derivada direccional de ) ( dirección del vector ̅ (

definida por la ̅

̅ ̅

en el punto ̅, en la ) según los valores de

SOLUCIÓN De la definición de la derivada direccional: ̅

( ̅

( ̅) ̅

(

̅

Para:

( ̅)

( ̅)

Para:

10)

̅)

̅

( ̅)

coordenadas polares

Sea:

Reemplazando:

)

(

̅

̅ )

( ̅) (

Transformar la ecuación

SOLUCIÓN

̅

)

pasando a las

(

)

PRACTICA Nº5 1) Determine el flujo del campo ̅(x;y;z)=(y;-x;z) a través de la superficie de la esfera de centro en el origen y radio R. x2+y2+z2=R2 ̅ ∬ ̅ ̅

̅

∭

π 2) Use el teorema de Stokes, para calcular el área de la región acotada por el polígono convexo cuyos vértices son (x1;y1),(x2;y2),…,(xn;yn) y-y1=(

)x+c

dy=(

)dx

∫ =∫

+∫

∫ (

)dx+∫

= |

∫ (

∫

)

(

∫

)dx

|

3) Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones, fundamente su respuesta. I)Existe un campo vectorial ̅ tal que II)Sean los campos vectoriales ̅ ( ̅(

Calcule div(|̅

(

)

̅(

)

)|

|̅(

)|

̅

(

)=(x;y;z), ̅(x;y;z)=(x;y-1;z).

)

I)Si existe ̅

(

)

)

II) )=(x;y;z), ̅(x;y;z)=(x;y-1;z)

̅( ̅(

div(|̅

(

)

̅(

)

)|

|̅(

)|

̅(

)

̅(

)

(

)|

|̅(

)|

̅(

)

̅(

)

(

)|

|̅(

)|

=div(|̅ =div(|̅

̅(

)

(

)|

)=div(|̅ )=

(

)

(

)

)=

̅(

)

(| ̅

+

(

)

(

)|

(

(

(

+

√(

)

√(

)

)

)

)

(

)

)

)

4) Sean H: x2+y2+z2=4, T:z=4-y2-x2,z≥0.Calcule. ̅(x;y;z)=(x;y;z) ∬ ̅

∬(

=∭ =0-∫

∫ (

)

̅

(

)

√ (

)

∬ ̅ ̅

ds

)

=-24π 5) Si F y G son funciones escalares de clase C2, entonces demuestre que (FG)=F Sugerencia: use notación de índices

( (

(

)

(

(

)

(

)

) (FG)=F

(

)

) ) (

)

̅, siendo S la 6) Evalue la integral de superficie ∬ superficie del paraboloide z= x2+y2 que esta debajo del plano z=4. ds=√( )

( )

ds=√ ( I=∬

) ∫

√

∫

Haciendo r= dr= (

)

√

√

I= (

)

7) evalue la integral de línea ∮ ̅( ̅) ̅ , siendo C una curva suave por tramos simple y cerrada que encierra al origen de coordenadas y el campo vectorial es ̅( ̅) ( ). Como F no es continua en el origen Tomando una circunferencia que encierra el origen x2+y2=a2 entonces x=a y=a t

,

π-

̅̅̅̅=(acost,asent) () ̅̅̅̅ ( ) =(-asent,acost) ∫ (

∫ ( )

(

) (

(

)

)

)dt ∫

π

8) Calcule el área de la superficie dada. L a parte del paraboloide hiperbólico z= y2-x2 que esta entre los cilindros y x2+y2=4

A=∬ ds=sec dA ds=√ A=∫

∫ √

A=∫

.√

A=

√

.√

√

/d

/

9) Evalue usando el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia, siendo el campo vectorial ̅ =(x2+y4;3xy;2xz+z2) y S la superficie z=4- (x2+y2) por encima del plano xy. ∭

(

)

∬ ds=

∬ ̅

̅

∬

∬

̅

| ̅ ̅|

( =-4∫ ∫ =-4π

√

(

)

)

̅

̅ ∮ ̅, S es una 10) Demuestre que ∬ superficie regular orientada y C es una curva suave simple y cerrada. Fundamente su demostración.

Usando el teorema de Stokes ∫

̅

∬

y haciendo F= (

) (

)

Entonces ∮

̅

∬

̅