• Author / Uploaded
• LiFloresMamani

• Categories
• Álgebra
• Objetos matemáticos
• Análisis numérico
• Conceptos matemáticos
• Álgebra abstracta

Citation preview

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Polinomios Especiales Polinomio Homogéneo

Q(x) = 4 + 3x2 + 5x6 + 7x11

Es aquel polinomio en el cual todos sus términos son de igual grado absoluto.

Es un polinomio ordenado en forma ascendente (los exponentes de “x” van aumentando a partir del primer término).

Ejemplo: P(x; y) = 2x5y4 + 6x6y3 - x2y7 GA = 9

GA = 9 GA = 9

P(x; y) es homogéneo de grado 9. Q(x,y) = 4x3y4 + 2x5y2 + 5x6y1 G.A. = 7 G.A. = 7

Observa...

Polinomio Completo Un polinomio será completo con respecto a una variable si dicha variable posee todos los exponentes, desde el mayor hasta el exponente cero, inclusive.

En un polinomio completo y ordenado los exponentes van aumentando o van disminuyendo de 1 en 1.

Q(x) = 3x4 - 2x3 + 5x2 - 2x1 + 4x0 Polinomio completo y ordenado en forma descendente.

G.A. = 7

Ejemplo: Q(x,y) es homogéneo y de grado 7.

3

2

4

P(x) = 2x + x + x - 2x + 6x

0

P(x) es completo.

Nota En un polinomio homogéneo, al grado común se le llama GRADO DE HOMOGENEIDAD.

Polinomio Ordenado Un polinomio será ordenado con respecto a una variable si los exponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo, a partir del primer término. Ejemplo: P(x) = x8 + x5 - 2x4 + 5x - 2 Es un polinomio ordenado en forma descendente (los exponentes de “x” van disminuyendo a partir del primer término). MATH FREDT INGENIERIAS

Calcula a + b + c en el polinomio completo y ordenado en forma descendente. P(x) = 2xa + 5xb + 3xc

Propiedad En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado aumentado en la unidad.

Entonces: a=2

;

b=1

;

c=0

* a+b+c → 2+1+0=3

Entonces: # de términos de P(x) = Grado + 1 P(x) = x16+x15+x14+...+x2+x+1 G.A.(P(x)) = 16 Entonces: # de términos de P(x)= Grado+1= 17 Ejemplo: P(x) = 3x0 + 2x1 + 5x2 + 4x3 Polinomio completo y ordenado en forma ascendente. Sem. 2 / ÁLGEBRA / 3ER. AÑO 1

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

Polinomio Idénticos (≡) LA TORRE EIFFEL La Torre Eiffel, diseñada por el ingeniero Gustave Eiffel , fue construida con motivo del Centenario de la Revolución Francesa, la cual fue conmemorada con una gran exposición llamada la Exposition universelle de París, en 1889. La intención de Gustave Eiffel era construir la estructura más alta del mundo, una torre que midiera 300 m de altura. El récord, en esos tiempos, lo tenía el monumento a Washington, que media 169 m. La construcción de la torre comenzó en enero de 1887. Fueron utilizados cajones de acero para los cimientos, hormigón para el llenado de los cimientos, estructuras de fierro; también se hicieron estudios del suelo, resistencia al viento, cambios de temperatura. Estas variables fueron expresadas mediante polinomios que sirvieron de modelos para su construcción.

Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos los coeficientes de sus términos semejantes son iguales. Es decir, si: ax2 + bx + c ≡ mx2 + nx + p

a+b+c bd

Resolución Por ser idénticamente nulo, entonces: * a2 + b2 - 2ab = 0 (a - b)2 = 0

Se cumple que: a=m ; b=n ; c=p

Entonces: a = b Ejemplo: Sea P(x) ≡ (a - 2)x2 + (b - 3)x + 1 y Q(x) ≡ 4x2 + 5x + c. Si P(x) ≡ Q(x), calcula los valores de abc. Resolución Si son idénticos los coeficientes de los términos semejantes entonces, son iguales: Entonces: a-2=4 a=6 b-3=5 b=8

* b2 + c2 - 2bc = 0 T.C.P

(b - c)2 = 0 Entonces: b = c Por lo tanto: a=b=c Además: d-3=0 d=3 Reemplazando: En términos de “a”:

∧ c=1

E=

a + a + a 3a = =1 3a 3a

Polinomio Idénticamente Nulo

Es decir, si: ax2 + bx + c ≡ 0 Se cumple que: a=0 b=0 c=0 Ejemplo: Si P(x) ≡ 0

2

Halla: E =

T.C.P

Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables. En todo polinomio idénticamente nulo reducido, sus coeficientes son iguales a cero.

Sem. 2 / ÁLGEBRA / 3ER. AÑO

P(x) ≡ (a2+b2-2ab)x3+ (b2+c2-2bc)x2+ (a-c)x+d-3

1. Si el siguiente polinomio: P(x) = axb + bxc + cxa + abc es completo y ordenado, halla el término independiente. Resolución P(x) = axb + bxc + cxa + abc es completo y ordenado, por lo tanto los exponentes van disminuyendo de uno en uno. Entonces: Número términos = Grado + 1 4=G+1 G=3 MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Entonces: b=3 c=2 a=1

4. En un polinomio P(x; y) homogéneo y completo en x e y, la suma de los grados absolutos de todos los términos es 156. ¿Cuál es el grado de homogeneidad?

∴ T. I. = abc = 3(2)(1) = 6 Resolución 2. Calcula P(1, 2) en el polinomio homogéneo si: 2 2 P(x, y) = xa -2yb + aya-b + 2bxa-2b-1 Resolución

Nivel I 1)

Dato: suma de los GA = 156 n + n + n + ... + n = 156 (n+1) términos

Por ser homogéneo: a2 - 2 + b2 = a - b = a - 2b - 1 I

Sea: P(x, y) = xn + xn-1y + xn-2y2 + ... + yn

II

n(n + 1) = 156 n(n + 1) = 12 . 13 n = 12

a) a = 2 b) a = 5 c) a =3 b=2 b=3 b= 5 d) a = 3 e) a = 4 b=4 b=3

III

5. Si el polinomio completo y ordenado: P(x) = x2a+1 + 2xb+3 + 3xc+2 + ... posee 2c términos, halla “a + b + c”.

II = III a - b = a - 2b - 1 2b - b = -1 b = -1 I = II

2)

Resolución a 2 - 2 + b2 = a - b a2 - 2 + 1 = a + 1 a2 - a - 2 = 0 a -2 a +1 (a - 2) (a + 1) = 0 a = 2 ∨ a = -1

nos piden P(1, 2) entonces x = 1, y=2 P(1, 2) = (1)2 (2)1 + 2(2)2+1 + 2(-1) (1)3 = 16

3. Si: a P(x) = (aa - 16)x2 + (bb+1 - 81)x + cc-1 - 2 es idénticamente nulo, halla abc. Resolución

x2a+1 : No puede ser el T.I. porque c = 0. Entonces: grado = 2a + 1 # términos = grado + 1 2c = 2a + 2 c=a+1

Si el polinomio P(x,y) = 2x3ya-1+4x5yb-2+2x2y6 es homogéneo, indica el valor de “ab”. a) 30 d) 15

3)

por ser completo y ordenado: 2a + 1 - (c + 2) = 2

4)

entonces: b + 3 = 8 b=5

c) 25

b) 4 e) 10

c) 6

Dado el polinomio completo P(x) = 4x2 + 2xa - 3x + 5, indica el valor de “a”. a) 1 d) 4

a + b + c = 14

b) 11 e) 36

Si el polinomio P(x,y) = ax2yb-1+bxa-2y3+abx3 es homogéneo, indica la suma de coeficientes. a) 2 d) 8

reemplazando: 2a + 1 - (a + 1 + 2) = 2 a=4 → c=5 grado = 2(4) + 1 = 9

Si el polinomio P(x,y) = 4x3ya + 2xyb + 5x4y2 es homogéneo, indica el valor de “a” y “b”.

b) 2 e) 5

c) 3

P(x) ≡ 0, entonces: a

a

2

* aa - 16 = 0 → aa = 22 * bb+1 - 81 = 0 → bb+1 = 33+1 * cc-1 - 2 = 0 → cc-1 = 22-1 a=2 , b=3 , c=2 abc = (2)(3)(2) = 12

MATH FREDT INGENIERIAS

5)

Dado el polinomio completo P(x) = 2 + 5xa + 2ax3 + 4x , indica la suma de coeficientes. a) 10 d) 17

b) 13 e) 19

c) 15

Sem. 2 / ÁLGEBRA / 3ER. AÑO 3

Especialistas en matemática

6) Dado el polinomio completo: P(x)= axa+(4+a)xa+1+ (3+a)x3 + 2a, indica el valor del término independiente. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

El siguiente polinomio: P(x) = 5mxm + 2x4 + 7xa - 2x6 es ordenado. Indica el valor de “a”.

7)

a) 3 d) 9

b) 5 e) 11

c) 7

8) El siguiente polinomio: P(x,y) = 2axa+1+3x4+axa+3+4x6 es ordenado. Halla la suma de coeficientes. a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

El siguiente polinomio: P(x)= 3xa + bxb + ax + ab es completo y ordenado. Indica el término independiente.

9)

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

10) Si el siguiente polinomio es completo y ordenado. P(x) = xa + 2xb + 3xc + 5 indica a . b . c a) 2 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

11) Dado el polinomio completo y ordenado. P(x) = 2xa + 4xa+1 + 2xb , indica ab. a) 2 d) -1

b) 0 e) -2

c) 1

12) Si el polinomio es completo y ordenado: P(x) = m + nx + pxa + qxb , halla ab. a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

Sem. 2 / ÁLGEBRA / 3ER. AÑO 4

Colegio MATH FREDT

13) Si el polinomio: P(x) = 4x2 + 5 + 2x es idéntico con Q(x) = c + bx + ax2; indica ab + bc. a) 3 d) 10

b) 5 e) 18

c) 9

14) Si el polinomio: Q(x) = 5x3 + 2x + 4 - x2 y R(x) = a + bx + cx2 + dx3 son idénticos, halla ad + bc. a) 3 d) 10

b) 5 e) 18

c) 9

15) S i e l p o l i n o m i o P ( x ) e s idénticamente nulo, P(x) = (a - 2)x2 - (b - 3)x + c , halla a + b. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Nivel II 16) Si el polinomio: P(x,y)=5x2a+3yb+1+2xa+1y5+b + 4x5y6 es homogéneo; halla a + b. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

17) Si el polinomio: P(x,y)= 2x2a+4yb+2+3xa+5yb+3 +x6y8 es homogéneo; halla ab. a) 0 d) 8

b) 2 e) 16

c) 4

18) Si el polinomio: P(x) = mxa + 2xm + 3xa+1 - 2 es completo; indica el mayor valor que puede tomar "m". a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

19) Si el polinomio: P(x) = axb + bxb-1 + ac + cxa es completo; indica el mayor valor que puede tomar “a”. a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

20) Si el polinomio: P(x) = mx2+nx5+2xn+1+3xm+mnx8 es ordenado, indica los valores de n y m. a) n = 7 b) n = 5 c) n = 4 m=7 m=5 m=5 d) n = 5 e) n = 7 m=7 m=5 21) Si el polinomio: P(x)=mn + 4x6 - mxn + 2nxm+1 + x9 es ordenado, indica el término independiente. a) 4 d) 49

b) 25 e) 64

c) 36

22) Si el polinomio: P(x,y)=4x2y7+2xayb+xcyd+x5y4 es ordenado en forma ascendente con respecto “x” y descendente con respecto a “y”; indica: ad - bc. a) -2 d) -3

b) 2 e) -9

c) -6

23) Si el siguiente polinomio: P(x) = axb + bxc + cxa + abc es completo y ordenado, halla el término independiente. a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

24) Si el polinomio: P(x)=abxc + bcxa + acxb + abc es completo y ordenado; halla la suma de coeficientes. a) 14 d) 17

b) 15 e) 18

c) 16

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

25) Si los siguientes polinomios: P(x) = x(x + 2) + 4x + a Q(x) = bx2 + cx + 2 son idénticos, indica el valor de a + b + c. a) 31 d) 30

b) 32 e) 3-1

c) 33

26) Si los siguientes polinomios: P(x) = x(x + 1) + 3x + b Q(x) = ax2 + cx + 1 cumplen que P(x) ≡ Q(x); indica el valor de abc. 0

a) 2 d) 23

1

b) 2 e) 24

c) 2

2

27) Si los polinomios: P(x) = ax (x+5) + bx + c y Q(x) = 2x (x+5) + 7x + 3 son idénticos; halla a . b . c. a) 14 d) 42

b) 21 e) 84

c) 35

28) Si P(x) ≡ 0, donde: P(x) = (aa - 4)x2 + (bb - 27)x + c - 1 halla a + c b a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

29) Si P(x) es idénticamente nulo: P(x) = (a3 - 64)x2+(b2 - 16)x+c2 - 9, halla un valor de a + b + c. a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

30) Si: a P(x)=(aa - 16)x2+(bb+1 - 81)x + cc-1 - 2 es idénticamente nulo, halla abc. a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

MATH FREDT INGENIERIAS

Nivel III 31) Calcula P(1,2) en el polinomio homogéneo. 2 2 P(x,y) = xa -2yb +aya-b+2bxa-2b-1 a) 14 d) 13

b) 15 e) 12

c) 16

32) E n u n p o l i n o m i o P ( x , y ) homogéneo y completo en x e y la suma de los grados absolutos de todos los términos es 156. ¿Cuál es el grado de homogeneidad? a) 8 d) 14

b) 10 e) 16

c) 12

33) ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo para que sea de grado 20 respecto a “y”? P(x,y)=xm+xm-2y2+xm-4y4 +...+ym a) 6 d) 11

b) 8 e) 18

c) 10

34) Si el polinomio: P(x)=18xa-8 + 32xa-b+15 + 18xc-b+16 es completo y ordenado en forma ascendente; calcula a+b+c. a) 18 d) 68

b) 32 e) 38

c) 36

35) Si el polinomio: P(x,y)=axa+1yb-2 + bxm-3yn+1 - abmx4 y es homogéneo, calcula el valor de “a + m + b + n”. a) 13 d) 10

b) 12 e) 9

37) Si el polinomio: P(x,y)=(10-m)x2y+nxy2+5x2y-2xy2 es idénticamente nulo, halla m n. a) 9 d) 3

b) 7 e) 1

c) 5

38) Si el polinomio: P(x,y)= 3xm-2yn-1 (x7+y2n-3) es homogéneo, con grado de homogeneidad 16, halla “m - n”. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

39) Sabiendo que el polinomio siguiente: a 2 a P(x,y)= xa y6+3x14y19-7xa +16yb es homogéneo, halla el grado de: M(x,y,z) = a-b xa+b a) 3 d) 9

b) 5 e) 11

a b+1 b a-1

y

z

c) 7

40) Calcula la suma de coeficientes del siguiente polinomio homogéneo: P(x,y)=mnx 4n y 3n+2 +2nx 2m y 5n+1 - mx3my5n+1 a) 15 d) 18

b) 16 e) 19

c) 17

c) 11

36) Si el polinomio completo y ordenado: P(x) = x2a+1 + 2xb+3 + 3xc+2 + ... posee 2c términos, halla “a+b+c”. a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

Sem. 2 / ÁLGEBRA / 3ER. AÑO 5

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

41) Si: (a4+36)x+a2+a = 6 + 13a2x se cumple para todo número real x, los valores de “a” son: a) -2 y 3 b) 2 y -3 c) -2 y -3 d) 2 y 3 e) 2, -2, 3 y -3 42) Calcula la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo: P(x) = c(x a +x b )+a(x b +x c ) + b(xa+xc) + abc a) 12 d) 15

b) 9 e) 18

c) 6

47) Determina el valor de “a” para que los polinomios: P(x)=x4 + 2x3 - 16x - 16 Q(x)=x2(x2+x-a)2+b(x2+x)2a(x + 2)2 sean idénticos. a) 2 d) 1

b) 4 e) 3

c) 6

49) Si los polinomios: P(x,y,z) = (a-b)2xm+(b-c)2 yn + (c-a)2zP Q(x,y,z) = abxm + 3bcyn + 5aczp son idénticos, evalúa: M=

a+b b+c a+c + + c a b

a) 8 d) 14

b) 11 e) 15

c) 13

48) Indica cuánto excede la suma de coeficientes al grado del siguiente polinomio homogéneo: b a b a-b P(x,y) = axa + by12x a + x3y13+yb a) -2 d) -8

b) -4 e) -10

c) -6

43) Dado el polinomio homogéneo: 2

2-3

P(x,y) = (a2+1)xa +2ya+(a-1)x2aya halla la suma de coeficientes. a) 28 d) 31

b) 29 e) 32

c) 30

44) Calcula: “a+b+c+d”, si el polinomio es completo y ordenado descendentemente. P(x) = 2xc+d-1+5xb-c+1+7xa+b-4+8xa-3 a) 5 d) 4

b) 2 e) 3

c) 9

45) Si la expresión: (3x2+6x-7)(nx+4)-m(3x2+x+1) - n(3x3-11) es equivalente a 51x2+19x+3, halla (2m+n). a) -16 d) -7

b) 7 e) 13

c) -11

46) Si el polinomio: P(x,y) = 5xm+3y2n+1-4xm-1y3n+1, es homogéneo y la relación de los exponentes de “x” en sus dos términos es como 3 a 1; el valor de (m+n) es: a) 8 d) 11

b) 9 e) 1

c) 7

Sem. 2 / ÁLGEBRA / 3ER. AÑO 6

Del mismo modo que Descartes había utilizado en su momento el álgebra para estudiar la geometría, el matemático alemán Félix Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron con el álgebra del siglo XIX. Klein la utilizó para clasificar las geometrías según sus grupos de transformaciones (el llamado Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una teoría geométrica de ecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de transformaciones conocidas como grupos de Lie. En el siglo XX, el álgebra se ha aplicado a una forma general de la geometría conocida como topología.

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Productos Notables I Multiplicación de un Monomio por un Polinomio Recuerda: 1. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA a(b + c) = ab + ac

Productos Notables Son los resultados que se obtienen de multiplicar polinomios con características especiales, sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva. 1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (a+b)(a+b)=(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)(a-b)=(a-b)2=a2-2ab+b2

Ejemplos: * x (x + 2) = x2 + 2x 2

3

5

* 2 x (x + 4) = 2x + 8x

Ejemplos: 2

*

(x+4)(x+4)=(x+4)2=x2+42 +2(x)(4) = x2 + 16 +8x

*

(x + 3)2 = x2 + 32 + 2(x)(3) = x2 + 9 +6x

*

(x-5)(x-5) = (x-5)2 = x2 + 52 - 2(x)(5) = x2 + 25 - 10x

*

(x - 2)2 = x2 + 22 - 2(x)(2) = x2 + 4 - 4x

* 3x3 (x + 2y) = 3x4 + 6x3y

Multiplicación de un Polinomio por un Polinomio Ejemplos: *

(a + b) (a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

* (x+a) (x+b) = x(x + b) + a(x + b) = x2 + bx + ax + ab

Ejemplo: Si a + b = 3 y ab = 1 , halla el valor de 2 + b2. (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

Investiga ¿Existen procedimientos cortos para multiplicar polinomios?

MATH FREDT INGENIERIAS

Reemplazando: 32 = a2 + b2 + 2(1) 7 = a2 + b2

a a a2 b ab

b ab b2

ab = a2 +

ab

+ b2

El área del cuadrado mayor es (a+b)2. Esta área también se puede calcular adicionando las áreas de los cuadrados y rectángulos interiores. Luego (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Mientras nosotros representamos las magnitudes por letras que se sobreentienden con números (conocidos o desconocidos) con los cuales operamos usando las reglas del álgebra, hace más de 2000 años los griegos usaban las magnitudes como segmentos de línea recta y los operaban según las reglas de la geometría. Tenían el libro II de los Elementos de Euclides (matemático griego que vivió en el siglo IV a.C.) que es una álgebra geométrica que les servía más o menos para los mismos fines que nuestra álgebra simbólica. La proposición 4 del Libro II, ‘‘si una línea recta se corta de una manera arbitraria, entonces el cuadrado construido sobre el total es igual a los cuadrados sobre los segmentos y dos veces el rectángulo contenido por ambos segmentos’’, es una manera larga de decir que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, pero su evidencia visual es mucho más impactante que su contraparte algebraica moderna.

Sem. 2 / ÁLGEBRA / 3ER. AÑO 7

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

2. IDENTIDADES DE LEGENDRE

multiplicando en aspa: (x + y)2 = 4xy

Sabemos: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab ... (1) (a - b)2 + a2 + b2 = 2ab ... (2)

1. Sabiendo que: a + b = 10 y ab = 5, calcula el valor de: a2 + b2. Resolución

Sumando (1) y (2) (a + b)2 + (a - b)2 = 2a2 + 2b2 2.1. Primera Identidad

Sabemos: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 102 = a2 + b2 + 2(5) 90 = a2 + b2

(a + b)2 + (a - b)2 = 2a2 + 2b2

desarrollando: x2 + y2 + 2xy = 4xy x2 + y2 - 2xy = 0 trinomio cuadrado perfecto: (x - y)2 = 0 x-y=0 entonces: x = y R=

2. Halla el valor de: Restando (2) de (1).

V = 8 8(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) + 1

2.2. Segunda Identidad Resolución 2

2

(a + b) - (a - b) = 4ab Ejemplos: (t + 4)2 + (t - 4)2 = 2t2 + 2 . 42 (m + 6)2 - (m - 6)2 = 4(m)(6)

(a + b)(a - b) = a2 - b2 Ejemplos: * (p + q)(p - q) = p - q

diferencia de cuadrados: V = 8 (34-1)(34+1)(38+1) + 1 (38-1)

3. DIFERENCIA DE CUADRADOS

2

Dando la forma: 8 = 32 - 1 V = 8 (32-1)(32+1)(34+1)(38+1) + 1

2

* (2t + 3)(2t - 3) = (2t)2 - 32 = 4t2 - 9 * (m + n2)(m - n2) = m2 - (n2)2 = m2 - n 4 4. M U LT I P L I C A C I Ó N D E BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN (x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab Ejemplos:

(316-1) V = 8 316 - 1 + 1 = 8 316 V = 32 = 9 3. Si x - y = 2 xy = 3, halla x + y. Resolución Por Legendre: (x + y)2 - (x - y)2 = 4xy (x + y)2 - 22 = 4(3) (x + y)2 = 16 x + y = ±4

x2 + x2 2x2 = 2 =2 x.x x

5. Si a + b = 62, b a entonces en valor de 1/3 P= a+b es: ab

(

(

Resolución Del dato: a b + = 62 b a a2 + b2 = 62ab sumando 2ab: a2 + b2 + 2ab = 62ab + 2ab (a + b)2 = 64ab raíz cuadrada: a + b = 8 ab a+b =8 ab P = (8)1/3 = 2 ∴ P=2

4. Si 1 + 1 = 4 , calcula: x y x+y x2 + y2 R= xy Resolución

2

* (x+4)(x+3) = x + (4 + 3)x + (4)(3) = x2+ 7x + 12 * (x - 6)(x+2) = x2+(-6+2)x +(-6)(2) = x2 - 4x - 12 Sem. 2 / ÁLGEBRA / 3ER. AÑO 8

Del dato: 1 1 4 + = x y x+y y+x 4 = xy x+y MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

8)

Nivel I 1)

Sabiendo que: a + b = 11 y ab = 20, calcula el valor de a2 + b2. a) 121 d) 81

2)

c) 15

b) 8 e) 11

c) 9

b) 10 e) 16

c) 20

Reduce: A = ( 3 + 2)2 + ( 3 - 2)2 a) 2 d) 40

7)

b) 14 e) 17

Reduce: U = ( 7 + 3)2 + ( 7 - 3)2 a) 2 d) 40

6)

c) 134

Si: 1 1 x + = 3, calcula x2+ 2 x x a) 7 d) 10

5)

b) 124 e) 156

Si: x + x-1 = 4, calcula x2 + x-2. a) 13 d) 16

4)

c) 94

La suma de dos números es 12 y su producto es 5. Halla la suma de sus cuadrados. a) 114 d) 144

3)

b) 100 e) 64

b) 10 e) 16

c) 20

Multiplica: P = 4 + 15 . 4 - 15 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

MATH FREDT INGENIERIAS

Multiplica: Q= 3+2 2. 3-2 2 a) 1 d) 4

9)

b) 2 e) 16

c) 3

Reduce: (3x + 4y)2 - (3x - 4y)2 B= xy a) 4 d) 48

b) 12 e) 72

c) 36

10) Reduce: (2x + 3y)2 - (2x - 3y)2 A= xy a) 4 d) 36

b) 12 e) 48

b) 1 e) -2

b) 5 e) 8

b) -4 e) -10

b) 14 e) 20

Nivel II 16) Halla: (a+b)(a-b)(a2+b2)(a4+b4)+b8 a) a d) a8

b) b e) a16

c) a2

S = (x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) a) x2 - 1 b) x4 - 1 c) x8 - 1 d) x16 - 1 e) x32 - 1

18) Si a + b = 3 ∧ ab = 2, halla: a2 + b2 + 1 a) 2 d) 6

b) 3 e) 10

c) 5

c) 6

c) -6

14) Si: x2 + 5x = 2, halla: (x+3)(x+2) + (x+4)(x+1) a) 12 d) 18

c) x4

c) -1

13) Si x2 + 3x = 1, halla: (x+1)(x+2) + (x+5)(x-2) a) -2 d) -8

b) x2 e) x16

17) Efectúa:

12) Si x = 3 - 1, señala el valor de: P = x2 + 2x + 5 a) 4 d) 7

a) x d) x8

c) 24

11) Si x = 2 + 1, señala el valor de: E = x2 - 2x - 2 a) 0 d) 2

15) Halla: (x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1) + 1

c) 16

19) Simplifica: E=(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1) (a8+1) a) a16 d) 1

b) a16 - 1 c) a - 1 e) a

20) Halla el valor de: V = 8 8.(32+1)(34+1)(38+1)+1 a) 1 d) 81

b) 9 e) 729

c) 27

Sem. 2 / ÁLGEBRA / 3ER. AÑO 9

Especialistas en matemática

21) Si x + y = 5 x2 + y2 = 25, halla x - y. a) 3 d) 9

b) 5 e) N.A.

28) Efectúa: ( 5 + 1)( 5 - 1) + ( 3 + 1)( 3 - 1) P= ( 2 + 1)( 2 - 1) c) 7

b) 4 e) N.A.

c) 8

23) Si

halla a) 1 d) 7

x + y = 11 xy = 4, x- y. b) 2 e) 3

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 11

a) 6 d) 12

b) 8 e) 14

b) 4 e) 10

c) 10

c) 6

E = x+ a) 1 d) -2

b) 2 e) 3

b) 2 e) 5

1 x c) 0

c) 3

b) 25 e) 23

R = 8 2(x+y)(x2+y2)(x4+y4)+y8 a) 128 d) 64

b) 24 e) 144

c) 12

b) 6 e) 9

c) 7

Sem. 2 / ÁLGEBRA / 3ER. AÑO 10

b) 3 e) 10

c) 1

38) Si b-1 + a-1 = 4(a + b)-1, halla el equivalente de M: 5a3 + 7a2b + 6ab2 M= 8a2b + b3

32) Reduce: (x2+5x+5)2-(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) a) x d) -1

b) 1 e) 0

A=(1+ 8+ 3+ 24)(1-2 2- 3+2 6) a) 1 d) 14

b) 12 e) 18

c) 13

34) Calcula el valor de: (x + y)4 - (x - y)4 E= xy(x2 + y2) para: x = 4 3 + 1 ; y = 4 2 - 1 a) 2 d) 8

b) 4 e) 9

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

c) x+1

c) 27

27) Si x + x-1 = 5 , calcula: M = x4 + x-4 a) 5 d) 8

c) 780

37) Calcula el valor que asume la expresión: 2y x2 + y2 x + 2y + + U= , 2x x + 3y xy si 1 + 1 = 4 x y x+y a) 2 d) 4

33) Reduce: 26) Si x + x-1 = 7 , calcula: S = x4 + x-4 a) 49 d) 47

b) 779 e) 379

31) Si x = 24 ∧ y = 22, calcula:

25) Si 1 x2 + 2 = 23, calcula: x 1 E = x+ x a) 1 d) 4

b) 20 c) 204 e) 208 - 1

36) Si x2 + x = 1, halla: (x - 4)(x + 5)(x - 6)(x+7) a) -779 d) 474

Nivel III 24) Si 1 x2 + 2 = 7, calcula: x

E = 8 19(x+1)(x2+1)(x4+1)+1 para x = 20. a) 202 d) 208

30) Halla el valor de: ( 3 + 2 2 + 3 - 2 2)2 a) 2 d) 8

35) Calcula el valor numérico de:

c) 5

29) El valor de: ( 5 + 24 - 5 - 24)2 es igual a:

22) Si x - y = 2 xy = 3, halla x + y. a) 2 d) 6

Colegio MATH FREDT

c) 6

39) Si (a+b+c+d)2 = 4(a+c)(b+d), a-b halla E = c-d a) 1 d) 9

b) 5 e) -1

c) 7

40) Sean: {a ; b} ⊂ R+, tal que: 1 1 4 calcula: + = a b a+b n

(a + b)n+1 ;n∈N∧n≥2 an+1 + bn+1

a) 8 d) 1

b) 4 e) 2

c) 3

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Numeración NUMERACIÓN I

OBJETIVO Principales Sistemas de Numeración

Descomposición Polinómica

S Conocer las diferentes bases de numeración. S Expresar un número en su forma polinómica.

Observación I. NUMERACIÓN Es un conjunto de reglas que nos permite nombrar y escribir cualquier número mediante la combinación de unas pocas palabras y signos o cifras.

A partir de base 11 se usa la representación:

II. SISTEMA DE NUMERACIÓN

αα12 o (10)(10)12 → tiene 2 cifras

2.1. PRINCIPALES SISTEMAS

Base

Sistema

Cifras Disponibles

10 = (10) = α 11 = (11) = β 12 = (12) = γ

2

Binario

0, 1

Ejemplo:

3

Ternario

0, 1, 2

310(11)15 →tiene 4 cifras

4

Cuaternario

5

Quinario

6

Senario

7

Septenario

8

Octal

9

Nonario

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

10

Decimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

11

Undecimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

12

Duodecimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

MATH FREDT INGENIERIAS

0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Sem. 2 / ARITMÉTICA / 3ER. AÑO 11

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

2.2 DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO Observemos el siguiente ejemplo: Descompón: 7326 :

7000 + 300 + 20 + 6 7x103 + 3x102 + 2x10 + 6 121(3)=

Descomposición polinómica de 7326

1 x 32 + 2 x 3 + 1 9

Base ≠ de 10

+

6 +1

16

(Base 10)

En un numeral indicado de base «n» toda cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra representa unidades «n» veces la que está a su derecha. Ejemplo: 7 8 5 6 La posición del 8 (centenas) es 10 veces la posición del 5 (decenas) pues 1 centena = 10 decenas.

6 2 3 47 «La posición del 2 vale 7 veces la posición del 3». «La posición del 6 es 7 veces la posición del 2».

En sus comienzos, el hombre numeraba las cosas con los de dos. Si quería de cir 1, levantaba un dedo, si deseaba decir 2, levantaba dos dedos, y así sucesivamente. Con las dos manos podía contar hasta 10. Para señalar un número mayor hacía girar las manos: dos veces por 20, tres para 30, etc. Algunos pueblos utilizaban, además, los dedos de los pies como complemento.

Número Capicúa o Simétrico De 2 cifras: aa : 22

De 3 cifras: aba :

313; 5556

De 4 cifras : abba : 1221; 44447

De 5 cifras: abcba : 357539; 66666

Descomposición Polinómica (DP) De a Uno: * abcdn = a. n3 + b.n2 + c.n + d * 2234 = 2.42 + 2.4 + 3 * 270349 = 2.94 + 7.93 + 3.9 + 4

Por Grupos: ð 34925 = 34.103 + 9.102 + 25 ð 13257 = 137.72 + 257 ð 234569 = 2349.92 + 569 ð abababn = abn . 10101n ð ababn = abn . 101n ð abcabc7 = abc7 . 10017

Los Números Romanos El origen exacto o la razón por la cual emplearon rayas verticales para indicar el 1, 2, 3 y 4 no se conoce, pero la opinión más generalizada es que provienen de los dedos de las manos; el 5 provendría entonces de una mano abierta, que se fue simplificando hasta quedar en forma de V; el X resultaría de la unión de dos cincos. Lo real es que emplearon también algunas letras de su alfabeto, como se puede observar a continuación:

Sem. 2 / ARITMÉTICA / 3ER. AÑO 12

Demostración Sea: N = abc ...... pqt un número de m cifras ⇒ abc ...... pqt= ⇒ ax10m–1+bx10m–2+cx10m–3 .... + qx10+ t Demostración: Grado del polinomio: (número de cifras)–uno = m–1 Luego: N : ax10m–1+bx10m–2+cx10m–3 .... + qx10+ t

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Ejemplo: Halla a + b + C, si CCC(8) = ab1 . Resolución:

Ejemplo: Convierte 546(7) a base 10.

⇒ C . 82 + C . 8 + C = ab1 ⇒ 64C + 8C + C = ab1

Resolución: ⇒ 5 x 72 + 4 x 7 + 6 ⇒ 5 x 49 + 28 + 6 = 279 546(7) = 279

⇒ 73C = ab1 7 ⇒ 73(7) = ab1

Ejemplo:

⇒ 511 = ab1

Indica en qué sistema de numeración se realizó: 41 – 32 = 5

⇒ a+b+C=5+1+7

Ejemplo: Halla el valor de «n» si 123(n)= 231(5).

a + b +C = 13

Resolución:

Resolución: ⇒ 41(x) – 32(x) = 5(x) ⇒ (4x + 1) – (3x + 2) = 5

⇒ 1 x n2+2n+3 = 2x52 + 3x 5 + 1 ⇒ n2 + 2n + 3 = 50 + 15 + 1 ⇒ n2 + 2n + 3 = 66 ⇒ n2 + 2n – 63 = 0 n n

+9 –7

∴

n=7

Ejemplo:

x = 6 → sistema senario

¿En qué sistema de numeración se cumple que el número 370 del sistema decimal es igual a 226? Resolución:

Ejemplo: Convierte 121(5) a base 10.

⇒ 370 = 226(n)

Resolución:

⇒ 370 = 2 x n2 + 2 x n + 6

⇒ 121(5) = 1 x 52 + 2 x 5 + 1

⇒ 364 = 2 (n2 + n)

⇒ =25 + 10 + 1

⇒ 182 = n(n + 1)

121(5) = 36

Ejemplo: ⇒ 13 x 14 = n (n + 1) Ejemplo:

Halla el valor de «n» si: a0a(n) = (2a)a(2n)

∴

n = 13

Halla «a + b» si ab(4) = 14. Resolución:

Resolución: Descomponiendo polinómicamente: a0a(n) = (2a)a(2n) ⇒ an2 + 0n +a = (2a)(2n) + a ⇒ an2 = 4an n=4

MATH FREDT INGENIERIAS

Por descomposición polinómicamente: ⇒ 4a + b = 14 ⇒ 4a + b = 4 x 3 + 2 ⇒ a+b=3+2 a+b=5

Sem. 2 / ARITMÉTICA / 3ER. AÑO 13

Especialistas en matemática

Nivel I

8) Si aba(5) = 2ba(7) halla a.b.

1) Calcula a + b si ab(9) = ba(7) . a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

d) 9 e) 12

d) 6 e) 7

II) a + b + c si abc(3) = 15. a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

4) Halla x en 42(x) = 22. a) 9 b) 8 c) 7

d) 6 e) 5

5) Si 3x7(9) = 322, halla x. a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

6) Si ab(7) = ba(4), halla a + b. a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

7) Si ab = 3a + 3b, halla b – a. a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

Sem. 2 / ARITMÉTICA / 3ER. AÑO 14

d) 7 e) 8

a) 1 b) 4 c) 2

d) 6 e) 3

Nivel II a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8 16) Sabiendo que aaa7 = bc1, halla a + b + c.

10) Halla el valor de n en 213n= 81.

3) Calcula: I) a + b si ab(5) = 14. a) 3 b) 4 c) 5

a) 4 b) 5 c) 6

15) Determina el valor de "a" si: 13(a–1)a = (a + 1) (a / 2)8

9) Halla el valor de x en 90 = 230(x).

2) Calcula a + b si abb(9) = bba(6). a) 6 b) 7 c) 8

Colegio MATH FREDT

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

11) Halla a si 3a4(7) = 186. a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 5

12) Si 3a4(7), aa8(b), bb y 25(a) están correctamente escritos, además 2c2c(7) = 1000, halla a + b+ c. a) 17 b) 18 c) 19

d) 20 e) 21

13) Si los numerales están co rrectamente escritos, halla m+n+p. n23(m) ; p21(n); n3m(6) ; 1211(p) a) 12 b) 11 c) 15

d) 10 e) 13

14) Un número se escribe en el sistema binario como 101010. ¿ En qué base se representará como 132? a) 6 b) 5 c) 7

d) 8 e) 9

a) 9 b) 8 c) 12

d) 7 e) 11

17) A un número de 2 cifras se le agrega dos ceros a la derecha, aumentándose el número en 4752. Calcula el número original. a) 40 b) 48 c) 56

d) 64 e) 72

18) Halla un número de 2 cifras, cuya suma de cifras es 10 y al invertir el orden de sus cifras el número disminuye en 36 unidades. Da como respuesta el producto de las cifras del número pedido. a) 21 b) 30 c) 33

d) 40 e) 50

19) Halla un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas, dé como resultado 72. Da como respuesta la suma de cifras. a) 13 b) 12 c) 10

d) 9 e) 8

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT 20) Halla a.b si: ab(5)+ ba(6)+ aa(7)+ bb(8) = 74 a) 12 b) 6 c) 10

d) 7 e) 13

21) Un número de 3 cifras del sistema de base 7 se escribe en la base 9 con las mismas cifras pero colocadas en orden inverso. Expresa el número en base decimal y da la suma de sus cifras. a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

22) Se tiene un número de dos cifras al que se le invierte el orden de sus cifras. La diferencia de los cuadrados de ambos números es 891. Halla el número y da su suma de cifras. a) 7 b) 9 c) 5

d) 4 e) 8

23) Halla 26 en base 2. ¿Cuál es la suma de sus cifras? a) 2 b) 1 c) 0

d) 4 e) 5

24) Dado el numeral capicúa: a (b + 1)(7 – b)(8 – a) halla «a+b». a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

25) Si el numeral es de la forma: (a – 2)a (3a), calcular a2+2a+3 a) 13 b) 10 c) 15

d) 12 e) 18

26) Si al numeral ab de cifras significativas le restamos el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras, se obtiene 72. Halla «a+b». a) 7 b) 3 c) 9

d) 10 e) 12

MATH FREDT INGENIERIAS

Especialistas en matemática 27) ¿Cuántos numerales de 2 cifras significativas cumplen que al incrementarles el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras resulta 55? a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

28) ¿Cuántos numerales son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras? a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

29) Si «A» es un numeral de 3 cifras y «B» es otro numeral de 2 cifras, halla el mayor valor que puede tomar «A–B». Da la suma de cifras del resultado. a) 25 b) 26 c) 27

d) 19 e) 17

30) Un numeral de 3 cifras que empieza en la cifra 2 es igual a 22 veces la suma de sus cifras. Halla el producto de sus cifras. a) 36 b) 39 c) 42

d) 48 e) 56

Nivel III 31) Halla un numeral de tres cifras cuya cifra de segundo orden sea el doble de la cifra de primer orden y la cifra de tercer orden sea el triple de la cifra de segundo orden. Indicar la suma de sus cifras. a) 10 b) 7 c) 9

d) 6 e) 12

32) Si a – b= 2 y ab + ba = 132, halla «a.b». a) 21 b) 28 c) 32

d) 35 e) 38

33) Juan tiene ab años y dentro de «7a» años tendrá 56. Halla «a + b». a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 12

34) Si a un numeral de 3 cifras que empieza con la cifra 6 se le suprime esta cifra, el numeral resultante es 1/26 del numeral original. Halla el producto de las cifras del numeral. a) 36 b) 60 c) 48

d) 72 e) 56

35) Halla el mayor numeral de dos cifras significativas, tal que al sumarle el numeral que se obtiene de invertir el orden de sus cifras se obtiene 77. a) 52 b) 81 c) 62

d) 72 e) 61

36) Halla el numeral de dos cifras que sea igual a 3 veces la suma de sus cifras. Da como respuesta la diferencia de sus cifras. a) 4 b) 5 c) 8

d) 2 e) 1

37) Si se cumple abab=N.ab, halla la suma de cifras de «N». a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

38) Halla un numeral de tres cifras que empieza en la cifra 4, tal que al eliminar esta cifra, se obtiene un numeral que es 1/17 del número original. Indica la suma de sus cifras. a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 15

Sem. 2 / ARITMÉTICA / 3ER. AÑO 15

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

Ángulos De una vuelta

Definición

Clasificación

Es aquella figura que resulta de unir dos rayos cuyo origen común se denomina vértice.

A) DE ACUERDO A SU MEDIDA

γ B A

O

Agudo B

γ = 360º

B

O α

C

B

α

A

0º < α < 90º

O

α

A

⇒ m

B

φ

O

A

Obtuso

Lados : OB y OA Vértice : O

β

D

AOD = 180º = α + β + φ

m AOB = α β NOTACIÓN

O

¯ AOB : ángulo AOB ¯ m AOB : medida del ángulo AOB.

A α

90º < β < 180º

γ Recto

BISECTRIZ

φ

⇒ α + β + θ + φ + γ = 180º

B

B) DE ACUERDO A SUS LADOS

δ O ctriz Bise

M

Complementarios

A δ = 90º

α α

C A

“Todo ángulo en la geometría plana es positivo y menor o igual a una vuelta”. → 0º ≤ α ≤ 360º

Sem. 2 / GEOMETRÍA / 3ER. AÑO

B

Llano

Recuerda

16

θ

B

Es aquel rayo que biseca a un ángulo.

O

β

ψ B

O ψ = 180º

θ A

α

O α + θ = 90º

A Cα = 90º - α

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Suplementarios (Par Lineal) B

Demostraciones 1) Demuestra que: 1. Calcula el complemento de un ángulo si dicho ángulo es igual al suplemento de 160º.

α

β

O

C α + β = 180º

A

θ

Sα = 180º - α

Opuestos por el vértice

β

Resolución:

α + β + θ = 180º

Sea la medida del ángulo “α”. α = S160 ⇒ α = 180º - 160º α = 20º Nos piden: Cα = C20º = 90º - 20º

Resolución: M

B β

α

C

α β

θ Se cumple:

A

α=β

O

D

⇒ OM AD ⇒ m AOM = m MOD = 90º ⇒ m AOD = 180º luego: θ + β + α = 180º

Ángulos consecutivos A

∴ Cα = 70º α

B

2. Calcula x si OP es bisectriz del AOB. B

C αφ

35º A

β

O

O

D Resolución:

β α

Observaciones

θ

B

φ P

Complemento de un ángulo Cα = 90º - α

A α + β + θ + φ = 360º

Ø CCC...Cα = 90º - α; n : impar n veces Ø

x 40º

P

2) Demuestra que:

C

C

x 35º 40º 35º O

Si OP es bisectriz del AOB ⇒ m BOP = m AOP = 35º

Resolución:

CCC...Cα = α ; n : par n veces

B

Suplemento del ángulo Sα = 180º - α Ø SSS...Sα = 180º - α; n : impar n veces Ø SSS...Sα = α ; n : par n veces

MATH FREDT INGENIERIAS

a c

P A

Ahora del gráfico: x = 35º + 40

C

θ

α φ

∴ x = 75º

b

β

d

Q

D

⇒ m POQ = 180º ⇒ a + β + b = 180º (+) c + φ + d = 180º ⇒ a + b + c + d + β + φ = 360º luego: α + β + θ + φ = 360º Sem. 2 / GEOMETRÍA / 3ER. AÑO 17

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

3. Si m AOC = 100º y m BOD = 90º, calcular m XOY.

X

5. Calcula la medida de un ángulo sabiendo que los 3/4 del suplemento de su completo es igual a un ángulo recto.

B C

α α

Y

θ

x

a) 140º d) 170º

Si la medida del ángulo α del enunciado : 3/4 SCα = 90º

D

Calcula x.

6)

b) 120º e) 100º

c) 160º

Calcula x.

⇒ SCα = 120º

Resolución:

2θ

30º−θ

Resolución:

A

θ

5)

28º 5x+2º

⇒ S(90º − α) = 120º ⇒ 180º −(90º − α) = 120º

X A

a) 10º d) 14º

∴ α = 30º

B C 90º θ

7)

Y

θ

D De la figura: m AOD = 100º + 2θ = 90º + 2α α - θ = 5º m AOC = m AOX + m XOC ⇒ 100º = α + φ − θ ⇒ 100º = α + φ − θ = φ + 5º ∴ φ = 95º

Nivel I 1)

Calcula α si SCα = 120º. a) 10º d) 45º

β

b) 60º e) 210º

8)

c) 30º

α

b) 77º e) 17º

c) 167º

Resolución: Calcula α si SSS...Sα = 123º. 746 224 veces

α

a) 33º d) 123º

b) 57º e) 53º

c) 213º

Del gráfico:

⇒

3φ + β = 180º 2φ + α = 180º φ+β−α=0 φ=β−α

(-)

DATO

∴ φ = 26º Sem. 2 / GEOMETRÍA / 3ER. AÑO 18

4)

c) 45º

b) 130º e) 135º

c) 160º

Calcula α si SSCα = 13º. a) 103º d) 27º

3)

b) 15º e) 60º

Calcula el mayor de dos ángulos suplementarios sabiendo que el mayor es el triple del menor. a) 15º d) 145º

2)

β

Calcula el menor de dos ángulos complementarios sabiendo que el mayor es el doble del menor. a) 30º d) 35º

4. Calcula φ si α − β = 26º.

3φ 2φ

c) 13º

φ

100º α α

3φ 2φ

b) 12º e) 18º

Calcula α si CCCC...Cα = 44º. 327 467 veces

a) 136º d) 64º

b) 44º e) 46º

c) 134º

9)

Dado los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD y se trazan las biectrices OX y OY de AOB y COD, respectivamente. Halla m XOY si m AOC = 81º y m BOD = 99º. a) 99º d) 90º

b) 100º e) 81º

c) 78º

10) Halla la medida del ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios. a) 60º d) 50º

b) 45º e) 120º

c) 90º

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

11) Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que m AOD = 160º y m BOC = 100º. Halla la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOC y BOD. a) 30º d) 60º

b) 45º e) 36º

c) 20º

12) Calcula el complemento de un ángulo si dicho ángulo es igual al suplemento de 160º. a) 20º d) 65º

b) 40º e) 70º

Nivel II 16) Calcula la medida de un ángulo, sabiendo que éste es igual a un octavo de su suplemento. a) 20º d) 30º

a) 2º d) 10º

b) 10º e) 160º

b) 6º e) 15º

c) 9º

18) En la figura, AC es una recta, m AOD=160º y m BOD = 170º. Calcula m BOD. B

C

C 40º

35º O

a) 35º d) 105º

b) 40º e) 125º

c) 75º

15) Calcula x si OP es bisectriz del ∢ AOB. B

C

a) 30º d) 150º

b) 70º e) 160º

19) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, además m AOB + m COD = 70º. Calcular m XOY, si OX es bisectriz del AOC y OY es bisectriz del m BOD. a) 25 d) 35

b) 45 e) 55

c) 60

αα

20) En el gráfico OC es la bisectriz del BOD, m AOB = 20º y m AOD = 80º. Calcula m AOC. A

C O c) 70º

MATH FREDT INGENIERIAS

D a) 30º d) 80º

C θ θ

Y

b) 50º e) 70º

D

c) 60º

b) 85º e) 105º

c) 90º

23) Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de tal manera que m AOC + m BOD = 148º y OA OD. Halla m BOC. a) 74º d) 58º

B

b) 113º e) 133º

22) Si m AOC = 100º y m BOD = 90º, calcula m XOY. X A B

a) 80º d) 95º

43º a) 97º d) 117º

b) 70º e) 40º

c) 120º

27º A

a) 10º d) 30º

D c) 25º

D

x

P

O

O

O

x

A

C

c) 20º

14) Calcula x si OP es bisectriz del ∢ AOB.

P

B

c) 60º

A

B

A

c) 25º

17) La diferencia entre el suplemento y el complemento de α es igual a 6α . Calcula “α”.

13) Calcula el suplemento del complemento de 70º. a) 40º d) 120º

b) 22º e) 106º

21) En el gráfico, OC es bisectriz del AOD, m AOB = 20º y m BOD = 60º. Calcula m BOC.

b) 68º e) 46º

c) 54º

24) Dado los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD y se trazan las bisectrices OX y OY de AOB y COD, respectivamente. Halla m XOY si m AOC = 81º y m BOD = 99º. a) 99º d) 90º

b) 100º e) 81º

c) 78º

Sem. 2 / GEOMETRÍA / 3ER. AÑO 19

Especialistas en matemática

25) Halla la medida del ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios. a) 60º d) 50º

b) 45º e) 120º

Colegio MATH FREDT

29) Se sabe que m COD = 28º, calcula m AOB, si (m AOB)(m AOC) = (m AOC)(m COD)

c) 90º

A

a) 1º d) 4º

B 26) De la figura mostrada, calcula x/y.

C

O y α x

x a) 1/2 d) 3

a) 14º d) 26º

b) 1 e) 1, 5

c) 2

27) Del gráfico mostrado, calcula x.

b) 18º e) 28º

33) Encuentra la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de un ángulo que mide 102º.

D c) 21º

30) Se tienen dos ángulos adyacentes cuyas medidas se diferencian en 40º. Calcula la medida del ángulo formado por el lado común y la bisectriz del ángulo formado por la bisectriz de los ángulos dados.

b) 2º e) 84º

c) 3º

34) La suma del suplemento y complemento de dos ángulos que se diferencian en 40º es 140º. El menor ángulo es: a) 5º d) 35º

b) 15º e) 45º

c) 25º

35) De la figura mostrada, calcula “x”. β

β

θ

θ

x a) 20º d) 6º

2α

b) 10º e) 4º

c) 8º α 30º

x α a) 45º d) 30º

b) 40º e) 36º

Nivel III c) 15º

28) Se tienen cinco ángulos cuyas medidas suman 180º y forman una progresión aritmética. Si la medida del menor ángulo es igual a la raíz cuadrada de la medida del mayor, ¿cuánto mide el menor ángulo? a) 10º d) 18º

b) 12º e) 6º

a) 140º d) 100º

31) Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que m AOD = 160º y m BOC =100º. Halla la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOC y BOC. a) 30º d) 60º

b) 45º e) 36º

c) 150º

x ββ α α

m n 32) En la figura, halla m MOC si m BOC - m AOC = 40 y OM es bisectriz de ángulo AOB

C

A O a) 12º d) 20º

a) 95º d) 100º

b) 105º e) 120º

c) 90º

M

B

20

b) 130º e) 120º

36) En la figura calcula “x” si mº+nº = 160º

c) 20º

c) 15º

Sem. 2 / GEOMETRÍA / 3ER. AÑO

α

b) 15º e) 36º

c) 18º

37) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE donde OB y OD son bisectrices de los ángulos AOC y BOE. Si m AOC + 2m COE = 148º, calcula m BOD. a) 17º d) 27º

b) 37º e) 47º

c) 42º

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Sistema de Medición Angular También tenemos:

Objetivos S Reconocer los sistemas de medición angular, así como las unidades que involucran al interior de ellas.

1 min sexag.: 1’ =

1º ⇒ 60

1º = 60’

1 seg sexag.: 1’’ =

1’ ⇒ 60

1’ = 60’’

⇒ 1º = 3600’’

S Convertir correctamente unidades de un sistema a otro, usando el método del factor de conversión.

2. SISTEMA CENTESIMAL

Sistemas de Medición Angular

Llamado también francés, tiene como unidad a un grado centesimal (1g), que viene a ser la 1/400. parte del ángulo de una vuelta. Esto es:

Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos, destacando los siguientes: 1. SISTEMA SEXAGESIMAL

O

Unidad: 1g =

P

1 vuelta 400

1 vuelta = 400g

O

También tenemos: P

Los historiadores concuerdan en que fueron los griegos anteriores a Sócrates los iniciadores de la trigonometría. A Tales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia, se le atribuye el descubrimiento de cinco teoremas geométricos y su participación en la determinación de las alturas de las pirámides de Egipto utilizando la relación entre los ángulos y lados de un triángulo.

1g g 1 g 1

Llamado también inglés, tiene como unidad a un grado sexagesimal (1º), que viene a ser la 1/360 parte del ángulo de una vuelta. Esto es:

1º 1º 1º

Orígenes de la Trigonometría

1 min centesimal 1m =

1g

100

Hiparco, notable geómetra y astrónomo griego, sistematizó estos conceptos en una tabla de cuerdas trigonométricas que hoy son la base de la trigonometría moderna. Por su trabajo se le considera el padre o fundador de la trigonometría. Fue el observador más grande de la antigüedad, tanto que su catálogo estelar, que contenía posiciones y brillos de unas 850 estrellas, fue superado en precisión solamente en el siglo XVI.

⇒ 1g = 100m Unidad: 1° =

1 vuelta 360

1 vuelta = 360°

m 1 seg centesimal 1s = 1 100

⇒ 1m = 100s ⇒ 1g = 10000s

MATH FREDT INGENIERIAS

Sem. 2 / TRIGONOMETRÍA / 3ER. AÑO 21

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

39º = 10g ⇒ 9(60’) = 10(100m)

3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR Llamado también internacional, tiene como unidad a un radián (1 rad) que viene a ser la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que subtiende mide igual que el radio de la circunferencia.

⇒

27’ = 50m

4) 63º a centesimales.

y

10g 9º

φ= 63º

81’’ = 250s xº y’ z’’ = xº + y’ + z’’ ag bm cs = ag + bm + cs

φ = 70g

1 rad > 1º < 1g

A R O

Conversión entre Sistemas

L

θ

R B En el gráfico: L: Long. del arco AB. R: Radio de la circunferencia. Si

Es el procedimiento que permite expresar las unidades de un ángulo en diferentes sistemas. El método del factor conversión es muy apropiado en estas situaciones y consiste en multiplicar la medida a convertir por una fracción del tipo:

L = R ⇒ θ = 1 radián

(unidad que se quiere) (unidad a cancelar)

Observación La región AOB se denomina sector circular AOB.

Ejemplo 1: g Expresa: θ = π rad - 30 3

en el sistema sexagesimal. Resolución: g Tenemos: θ = π rad - 30 3

convirtiendo: θ = π rad 3

Por ejemplo; convierte.

θ = 60º - 27º

1) 120º a radianes.

Longitud del arco

1 rad 1 vuelta ∴

R 2πR

1 vuelta . R = 2πR . 1rad

α = 2π rad 3

β= 140g

1 vuelta = 2πrad

180º = 200g = π rad

Ejemplo 2: Sabiendo que (7x + 1)º = 40g, determina el valor de x.

πrad 200g

β = 7π rad 10

360º = 400g = 2πrad

∴ θ = 33º

2) 140g a radianes.

Consideraciones

⇒

πrad 180º

α = 120º

Por regla de tres simple:

Ángulo

180º - 30g 9º πrad 10g

donde numerador y denominador son iguales.

3) 120g a sexagesimales. y θ= 120g

9º 10g

Resolución: Tenemos: (7x + 1)º = 40g (7x + 1)º = 40.g

9º 10g

quedaría: 7x + 1 = 36 7x = 35 ∴ x=5

9º = 10g θ = 108º

Sem. 2 / TRIGONOMETRÍA / 3ER. AÑO 22

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Ejemplo 3:

Luego:

En un triángulo dos de sus ángulos interiores miden 3 π rad y 50g. ¿Cuál 5 es la medida sexagesimal del tercer ángulo?

C = 21 + 19 40 C=

40 40 ∴ C=1

Nivel I

Resolución: Si un ángulo mide (7x + 2)º y su suplemento es 12xg, ¿cuál es el valor de x?

B 50g

Resolución:

3π 5

x

A i) A = 3 π rad 5 B = 50g .

1) Expresa 60º en radianes.

Ejemplo 5:

Graficando:

C 180º πrad 9º 10g

A = 108º

B = 45º

Tenemos que: (7x + 2)º + 12xg = 180º convirtiendo: (7x + 2)º + 12xg . 9ºg 10

ii) A + B + C = 180º 108º + 45º + x = 180º 153º + x = 180º ∴ x = 27º

Ejemplo 4: Sabiendo que: xºy’z’’ = 12º46’37’’ + 8º53’42’’, calcula: C = x+z y Resolución: Tenemos: xºy’z’’ = 12º46’37’’ + 8º53’42’’ xºy’z’’ = 20º99’79’’ xºy’z’’ = 20º100’19’’ xºy’z’’ = 21º40’19’’ x = 21 y = 40 z = 19

MATH FREDT INGENIERIAS

54x 5

d) π rad 6 π e) rad 9

2) Expresa 80º en radianes. = 180º

operando: 7x + 2 +

a) π rad 3 π b) rad 4 c) π rad 5

= 180

35x + 10 + 54x = 900 89x = 890 ∴ x = 10

Alb er t E instein, f ísi c o y m a t e m á t i c o, p u b l i c ó e n 1916 la Teoría general de la relatividad. En ella demostró que la velocidad de la luz (300 000 km/s en el vacío) es la única constante en el universo, es decir, mientras todo cambia, la velocidad de la luz, representada por la letra c, permanece invariable.

a) 2 π rad 9 π rad b) 3 c) 4 π rad 9

d) 5 π rad 9 π e) 2 rad 3

3) Expresa π rad en grados 9 sexagesimales. a) 10º c) 18º e) 24º

b) 12º d) 20º

4) Expresa 2 π rad en grados 5 sexagesimales. a) 36º c) 54º e) 80º

b) 60º d) 72º

5) Expresa 120g en radianes. a) π rad 5 b) 2 π rad 3 π c) 3 rad 5

d) 4 π rad 9 e) π rad

Sem. 2 / TRIGONOMETRÍA / 3ER. AÑO 23

Especialistas en matemática

6) Expresa 70g en radianes: a) 7π rad 20 b) 7π rad 10 c) 3π rad 20

b) 20g d) 40g

b) 30g d) 60g

b) 3º24’ d) 4º14’

a) 2 c) 4 e) 6

b) 3 d) 5

17) Si un ángulo mide 2π rad y su 5 complemento es (5x -2)º, ¿cuál es el valor de x? a) 1 c) 4 e) 6

b) 3 d) 5

18) Si un ángulo mide 54º y su complemento es (7x - 2)g, ¿cuál es el valor de x?

b) 60g d) 90g

a) 1 c) 4 e) 8

b) 3 d) 6

19) Si un ángulo mide 63º y su suplemento es 13xg, ¿cuál es el valor de x?

b) 20g d) 16g

a) 2 c) 5 e) 10

20) Un ángulo mide (3x + 6)º y también (4x + 2)g, ¿cuál es el valor de x? a) 3 c) 7 e) 10

b) 5 d) 9

21) Un ángulo mide (8x - 2)º y también (9x - 3)g, ¿cuál es el valor de x? a) 3 c) 5 e) 7

b) 4 d) 6

22) Un ángulo mide 9xº y también π rad, ¿cuál es el valor de x? x+1

16) Si un ángulo mide π rad y su 9 complemento es 14xº, ¿cuál es el valor de x?

Sem. 2 / TRIGONOMETRÍA / 3ER. AÑO 24

b) 2º22’ d) 2º42’

Nivel II

b) 117º d) 106º

12) E x p r e s a 1 8 º e n g r a d o s centesimales. a) 10g c) 30g e) 26g

a) 3º14º c) 4º24’ e) 5º24’

b) 63º d) 56º

11) E x p r e s a 7 2 º e n g r a d o s centesimales. a) 70g c) 80g e) 100g

b) 1º18’ d) 1º38’

15) En 254’ tenemos:

en grados

10) Expresa 130g en grados sexagesimales. a) 107º c) 127º e) 116º

a) 2º12’ c) 2º32’ e) 2º52’

en grados

9) E x p r e s a 7 0 g e n g r a d o s sexagesimales. a) 53º c) 73º e) 66º

a) 1º8’ c) 1º28’ e) 1º78’

14) En 132’ tenemos:

8) Expresa 2π rad 5 centesimales. a) 20g c) 40g e) 80g

13) En 78’ tenemos:

d) 3π rad 10 e) 2 π rad 9

7) Expresa 3π rad 20 centesimales. a) 10g c) 30g e) 50g

Colegio MATH FREDT

b) 4 d) 8

a) 1 c) 3 e) 5

b) 2 d) 4

23) Un ángulo mide (10x + 2)º y también 2π rad, ¿cuál es el x-2 valor de x? a) 1 c) 5 e) 9

b) 3 d) 7

24) En un triángulo rectángulo isósceles, sus ángulos agudos miden (7x + 3)º y (7y + 1)g. Determina y - x. a) -2 c) 1 e) 3

b) -1 d) 2

25) En un triángulo equilátero dos de sus ángulos se expresan como π rad y 50yg , calcula yx. x +2 3 a) 1 c) 4 e) 16

b) 2 d) 9

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Análisis Vectorial Hola amigos, ahora veremos algo nuevo sobre vectores, pero es importante que recuerdes algo sobre figuras geométricas como el triángulo y el paralelogramo con los cuales trabajaremos a continuación.

Suma de vectores paralelos y colineales En este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los módulos de los vectores.

Halla el vector resultante para el sistema de vectores. B

A

Si: A = 2µ D = 1µ

Para esto utilizaremos el siguiente método. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Este método se usa cuando dos vectores forman un ángulo diferente de cero entre sí. Ejemplo:

E B = 3µ E = 3µ

C F

B

Resolución:

θ B

En este caso procedemos del siguiente modo. q Los que tienen el mismo sentido se suman, es decir:

Ahora trazaremos paralelas a cada vector a partir de los extremos (punto final del vector) y la figura formada se llama: __________________

A, C y F : A+C+F=2+1+5 = 8 (→) B, D y E : B+D+E=3+1+3 = 7 (←)

A

q Luego R = 8 – 7 = 1 (→) (Sentidos opuestos se restan)

θ

MATH FREDT INGENIERIAS

A2 + B2 + 2AB cosθ

|R| =

Halla el módulo del vector resultante, si cos 53° = 3 . 5

53° B=5 Resolución: |R| = 32 + 52 + 2.3.5 cos 53°

A

Resolución:

R=A+B ¡Ten cuidado! Si A = 3; B = 7 ⇒ R = 10 (¡FALSO!) Esto no se cumple siempre. Si deseamos obtener el módulo del vector resultante usaremos:

A=3

En este caso vamos a trasladar a uno de los vectores en forma paralela para que su punto inicial concuerde con el otro.

C = 1µ F = 5µ

Recuerda

Ejemplo:

A θ

Ejemplo:

D

Suma de vectores concurrentes y coplanares

|R| = 9 + 25 + 2 . 3 . 5 . 3 5 |R| = 52

⇒ |R| = 2 13

Observación Ü Si θ = 0º ⇒

A B

A la resultante obtenida se le conoce como: “Resultante Máxima” B

Rmáx = A + B

Sem. 2 / FÍSICA / 3ER. AÑO 25

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

R = 15 + 15 Rmáx = 30 N

Ü S i d o s v e c to r e s t i e n e n módulos iguales: 1

R

x 2θ

B

Ü Si θ = 180° ⇒

En este caso R divide al ángulo en dos iguales, es decir, es una bisectriz.

A

A la resultante obtenida se le conoce como: Resultante Mínima. Rmín = A – B

x

F1

Ejemplo: Halla el módulo de R en función de x. F2 R

x 60°

|R| = 3x

x

Rmín = 15 – 15 Rmín = 0 x

R

Ü Si θ = 90° (vectores perpendiculares)

|R|= 2x

|R| = x

A 2

20cm 15cm

R

x 2

Problemas de Desafío 1. Determina el módulo de la resultante de los tres vectores mostrados en la figura.

x

R

B

La barcaza se mueve por acción de la resultante de las fuerzas F 1 y F 2 . La dirección de la resultante es la de la diagonal del paralelogramo de lados F1 y F2.

60° 60°

120° x

2

R = A +B

10cm

Teorema de Pitágoras.

Diferencia de vectores (D)

Ejemplo: Si R máx = 7 y R mín = 1 para dos vectores, halla el módulo del vector resultante cuando dichos vectores son perpendiculares. Resolución: 7=a+b 1=a–b a=4,b=3

a) 5 cm b) 5 3 cm c) 10 cm

d) 10 3 cm e) 20 cm

2. Si A + B + C = 0, halla el valor del ángulo θ. D

A

25

D=A–B

θ

17 B

B

θ

A C

|D| = A2 + B2 – 2ABcosθ

28

Por Pitágoras: R = 42 + 32 = 5

a) 30° b) 37° c) 45°

Sem. 2 / FÍSICA / 3ER. AÑO

MATH FREDT INGENIERIAS

26

d) 53° e) 60°

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

3. Halla la medida del ángulo θ para que el módulo de la resultante de los vectores sea igual a m. m

R= 100 + 144 + 2(10)(12)( 4 ) 5 R = 100 + 144 + 192

La máxima resultante se da cuando el ángulo entre los vectores es cero. Entonces el módulo de la resultante máxima es:

θ m

a) 30° b) 60° c) 90°

Tenemos que el módulo de la resultante (R) es: R = 102+122 + 2(10)(12)cos37°

Resolución: m

m

3. Se tiene dos vectores del mismo tipo, cuyos módulos son 15µ y 7µ, respectivamente. Determina el módulo de su máxima y mínima resultante.

R=

436

R = 2 109

Rmáx = 15 + 7 = 22µ

d) 120° e) 150°

La mínima resultante se da cuando el ángulo formado por los 2 vectores es 180°. Entonces el módulo de la resultante mínima es: Rmín = 15 – 7 = 8µ

1. Determina el módulo y la dirección del vector resultante, para el sistema dado. 17µ

7µ 12µ

8µ

Nivel I

4. Si el módulo de la máxima resultante de 2 vectores es 24µ y el módulo de la resultante mínima es 6µ, determina el módulo de cada vector.

Halla el módulo del vector resultante de: 1)

Resolución: Tenemos

Resolución: Como los vectores son paralelos, entonces la resultante R va a ser: |R|= 17 + 8 – 7 – 12 |R|= 6µ, hacia la derecha ( → ). 2. Determine el módulo y la dirección de la resultante de los vectores mostrados. 8µ

12µ

Rmáx = A + B Rmín = A – B

24 = A + B 6=A–B 30 = 2A ⇒

C a=5 b=3 c=2

A = 15µ B = 9µ

5. Del gráfico, determina el módulo de la resultante.

B A

a) 2 b) 3 c) –2

d) 1 e) 0

10 12

Resolución: 10

Resolución: Como los vectores son paralelos, entonces la resultante R va a ser:

12

MATH FREDT INGENIERIAS

d) 1 e) 0

2)

10µ

|R| = 15 + 10 – 8 – 12 |R| = 5, hacia abajo ( ↓ )

a) 2 b) 3 c) 4

y

C c=1

Donde Rmáx = 24µ y Rmín = 6µ

50° 15µ

B b=2

A a=4

37° 13°

3) 13°

a=5 b=4 c=2 d= 3 e=1 a) 2 b) 3 c) –2

A D

B C E

d) 1 e) 0

Sem. 2 / FÍSICA / 3ER. AÑO 27

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

15) Todos los vectores mostrados tienen igual módulo. ¿En cuál de los casos el vector diferencia tiene el menor módulo?

9)

4) A=3 B=4 C=5 D= 4 E=2 A F=3 D G=1 H=2 a) 1 b) 2 c) 3

C

a) 1 b) 2 c) 3 d) –2 e) 4

E H

B

G

1 60° 2

A F

Halla el módulo del vector resultante en cada caso si: |a| = 3 ∧ |b| = 5

d) –3 e) 4

10)

5) A=5 B=3 C = 12 D= 10 E=3 a) 1 b) –10 c) 2 Dato :

A

B C

60°

Nivel II b

Halla el módulo del vector resultante en cada caso.

E

D

C

a) En A b) En B c) En C d) En todas iguales e) Faltan datos

a

a) 6 b) 5 c) 7 d) 4 e) 3

120°

30° B

11) 16)

a) 17 b) 13 a c) 19 d) 2 17 e) 15

d) –2 e) –1

6

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7

120° b

cos 60° = 1/2 ; cos 120° = –1/2

60° 6

12) a) 35 b) 17 c) 2 35 d) 34 e) 21

7 6 5 3 2

1=

a) b) c) d) e)

|A |

6)

60° 2=|B|

13) Halla el vector resultante máximo de dos vectores cuyos módulos son 2 y 1.

4

a) 4 b) 2 7 c) 7 d) 3 7 e) 4 7

2

60° 2

a) 2 b) 3 c) 3

d) 5 e) 5

60° 2

2

4

18) a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4 3

d) 0 e) 6

14) Del problema anterior, halla el módulo de la resultante si los vectores son perpendiculares.

1

Sem. 2 / FÍSICA / 3ER. AÑO 28

a) 3 b) 2 c) 1

60°

8)

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

b

7)

a) 6 b) 5 c) 7 d) 3 e) 2 7

17)

a

60° 120°

8

4

19) a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2 3

2 3 60° 2

2 3+2

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

20)

26) a) 4 b) 8 c) 3 d) 7 e) 5

60° 60°

4

Nivel III a) 6 3 b) 3 3 c) 6 2 d) 6 e) 9

4

3

Halla el módulo del vector resultante de:

3 60°

31) 6

27)

21) a) 8 b) 15 6 c) 14 d) 9 e) 11

3 60° 60° 6

22) a) 7 b) 8 c) 10 d) 6 e) 9

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

60°

4

a) 5; 10 b) 8; 2 c) 7; 19

2

23) a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5 3

5

5

a) 5; 3 b) 6; 8 c) 9; 4

24) cos α = 1/7 a) 4 b) 8 c) 6 d) 10 e) 16

7

d) 6; 15 e) 4; 17

d) 6; 3 e) 5; 4

30) D o s v e c t o r e s t i e n e n u n a resultante mínima que vale 4 y una resultante máxima igual a 16. ¿Cuál es la resultante de estos vectores cuando forman 60°?

7

3

α

53°

29) La resultante máxima de los vectores es 8 y la mínima es 2. ¿Cuál es el módulo de cada vector?

60°

a) 14 b) 15 c) 16

25)

5 6 7 8 11

a) b) c) d) e)

12 13 11 10 7

2

1

80°

20°

32)

28) Se tiene dos vectores A=5 y B=3 formando 60°. Halla su resultante y su diferencia respectiva.

4 60°

15

a) b) c) d) e)

d) 17 e) 18

3 1 70°

10°

33) 2

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

2 15°

2

34) Halla |A – B| a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 4

3 3 2

|B|=4 |A|=4

60°

30°

3

35) Se tiene dos vectores de módulos 9 y 15 cm. ¿Qué ángulo forman, si la resultante entre ellos mide 21 cm? a) 30° b) 60° c) 53°

d) 37° e) 45°

36) Halla |A – B| a) 2 3 b) 5 c) 3 d) 4 e) 5 3

3

3 4 60° 60°

MATH FREDT INGENIERIAS

a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 e) 7

|A|=1

33°

|B|=2 87°

Sem. 2 / FÍSICA / 3ER. AÑO 29

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

Configuración Electrónica Energía relativa de un subnivel Aproximadamente la energía relativa de un orbital equivale a ‘‘n + l’’, siendo ‘‘n’’ y ‘‘l’’ los números cuánticos principal y secundario, respectivamente. SUBNIVEL

2s

3p

4s

5f

2 0

3 1

4 0

5 3

2

4

4

8

Nivel (n) Subnivel (l) Energía (E ) Relativa r

ENERGÍA RELATIVA = n + l

Principio de Aufbau Se refiere a la construcción de la distribución electrónica, teniendo en cuenta el orden creciente de la energía relativa de los subniveles, siendo ésta así: 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d 7p SUBNIVEL s p d f

VALOR DE ‘‘l ’’

# ORBITALES

0 1 2 3

1 3 5 7

# MÁXIMO DE e– 2 6 10 14

El máximo número cuántico principal «n» señala el periodo al que pertenece el elemento quimico en la tabla periódica.

LA LUZ LÁSER es intensa. Los haces láser son estrechos y no se dispersan como los demás haces de luz. Esta cualidad se denomina direccionalidad. La luz láser es coherente. Esto significa que todas las ondas luminosas procedentes de un láser se acoplan ordenadamente entre sí. Los rayos láser producen luz de un solo color o, para decirlo técnicamente, su luz es monocromática.

1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10 5p6 6s2 4f14 5d10 6p6 7s2 5f14 6d10 7p6

Regla de Sarrus o Moller (Serrucho) Los electrones se distribuyen en las diferentes regiones de menor a mayor energía relativa. K L M N O P Q Nivel n 1 2 3 4 5 6 7 s2 Subnivel (l)

s2 p6

s2 p6 d10

# electrones

2

8

Sem. 2 / QUÍMICA / 3ER. AÑO 30

18

s2

s2

p6

p6

d10

d10

f14

f14

32

32

s2 p6

s2 p6

d10

18

8

Rayos X

Principio de Máxima Multiplicidad (Regla de Hund) Los electrones deben ocupar todos los orbitales de un subnivel dado en forma individual, antes de que se inicie el apareamiento. Estos electrones desapareados suelen tener el mismo sentido de giro o rotación. MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Para aplicar este principio, el dato es el subnivel con electrones.

Demostración

¿Por qué no puede darse en un orbital?

Ejemplo 1 INCORRECTO

a)

2p4 ⇒

Esto es porque en «a» los electrones presentarán los cuatro números cuánticos iguales 1, 0, 0, +1/2 y en «b» es el mismo caso pero con (1, 0, 0, –1/2) y esto según el principio de exclusión de Pauli no se da, ya que dos electrones no pueden poseer los cuatro números iguales.

2PX

2PY

2PZ

2PX 2PY

2PZ

CORRECTO

1s2

o b)

1s2

2p4 ⇒

Ejemplo 1 Determina el periodo al que pertenecen los siguientes elementos: ¿Cómo funciona el láser? En los equipos de láser usados más a menudo en oftalmología se pasa una corriente eléctrica potente a través de un tubo que contiene un gas (argón, criptón o neodimio-YAG), lo que produce energía en forma de un haz uniforme, angosto, de luz. El enfoque a través de un microscopio de este haz de luz emitido por el láser causa coagulación por calor, corte, o explosiones minúsculas en ciertos tejidos del ojo.

a) Cl : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p5 17

b) Fe : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 26 4.° Periodo

3.er Periodo

Ejemplo 2 Determina el grupo al que pertenecen los siguientes elementos: Grupo IIA Grupo IIIA a)

5

b)

B : 1s2 2s 2 2p 1

20

Ca : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s 2

Se usa en la distribución simplificada: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10 5p6 6s2 4f14 5d10 6p6

[ 2He]

[ 10Ne] [ 18Ar]

[ 36Kr]

[ 54Xe]

[ 86R n]

Ejemplo 3 En Oftalmología se usan varios tipos de láser para el tr atami ento d e diferentes trastornos oculares. Los equipos oftálmicos de láser normalmente se identifican de acuerdo con el gas que contienen en el tubo de plasma.

Determina el número de niveles y subniveles ocupados para la siguiente distribución electrónica: 17

3 niveles ocupados 5 subniveles ocupados 17

MATH FREDT INGENIERIAS

Cl = 1s22s22p63s23p5

Cl = [10Ne] 3s23p5 : Distribución simplificada

Sem. 2 / QUÍMICA / 3ER. AÑO 31

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

Ejemplo 4 Indica la configuración electrónica por orbitales para los siguientes átomos en su estado basal. Solución:

Nivel I

a) 7N = 1s22s22p3 ⇒ 1s

2s

2px

I.

2py

2pz

2s

3px 3py

2px

2py

2pz

3s

3pz

En el orbital 3p x hay 2 electrones apareados, los orbitales 3p y y 3p z contienen 1 electrón desapareado cada uno. ¿Qué subnivel posee mayor energía relativa? d) 5s e) 1s

Er = n + l Er = 3 + 0 Er = 3

4d ⇒ Er = n + l Er = 4 + 2 Er = 6 4p ⇒ Er = n + l Er = 4 + 1 Er = 5 5s ⇒

Er = n + l Er = 5 + 0 Er = 5

1s ⇒

Er = n + l Er = 1 + 0 Er = 1

RESPUESTA: 4d, porque presenta una energía relativa de 6. Sem. 2 / QUÍMICA / 3ER. AÑO 32

4) Halla la suma del nivel con el subnivel de 3p5. a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

5) Una notación incorrecta: a) 3d5 b) 3p7 c) 1s1

Solución: 3s ⇒

3) En un subnivel «p» puede haber 10 electrones. ( ) II. Señala las alternativas corres– pondientes:

Ejemplo 5

a) 3s b) 4d c) 4p

1) En la tercera capa hay como máximo 18 electrones. ( ) 2) En un orbital «d» hay como máximo 2 electrones. ( )

b) 16S = 1s22s22p63s23p4 ⇒ 1s

Indica verdadero (V) o falso (F):

d) 4p3 e) 2p1

6) Para 2p5 lo incorrecto es: a) n = 1 b) l = 1 c) El subnivel puede tener hasta 6 electrones. d) n = 4 e) Todas son correctas. 7) Para 3p 5, ¿cuántos electrones posee el subnivel «p» en esta notación? a) 3 b) 1 c) 5

d) 6 e) 7

8) Indica qué juego de números cuánticos no existe: a) 5, 2, +2, +1/2 b) 3, 2, +2, +1/2 c) 1, 0, 0, –1/2 d) 5, 0, 0, –1/2 e) 2, 0, +1, +1/2 9) ¿Cuál de las siguientes notaciones presenta mayor Er? a) 5p b) 4d c) 4f

d) 6s e) 1s

10) Halla el número atómico de un átomo si su último electrón tiene los siguientes valores cuánticos: n=3 l=1 m=0 s =+1/2 a) 13Al b) 14Si c) 15R

d) 16S e) 17Cl

11) Obtén el valor de «Z» de un átomo si tiene en su cuarta capa 7 electrones. a) 34 b) 35 c) 36

d) 37 e) 38

12) Indica cuál es el número atómico de un elemento si el último electrón del átomo, de dicho elemento, tiene los siguientes números cuánticos: n=4 l=1 m = –1 ms =–1/2 a) 32 b) 33 c) 42

d) 45 e) 31

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

13) ¿ Cuál es l a configura ción electrónica del Ca++ (Z=20)? a) 1s2 2s2 2s6 3s2 3p6 4s2 b) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d2 c) |Ar| 4s0 d) |Ne| 3s2 3p6 e) 1s22s2

14) ¿Qué subnivel presenta mayor energía relativa? a) 4 s b) 3 p c) 5 p

d) 6 p e) 4 f

15) Si el número atómico de un elemento es 15, ¿cuál es el valor de la energía relativa en el cual se encuentra el último electrón? a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

Especialistas en matemática

19) Halla «Z» para [Kr]5s1. a) 20 b) 36 c) 37

________________________

20) Si el siguiente átomo tiene 10 neutrones: Xα α 2

Determina su configuración electrónica. a) b) c) d) e)

1s2 2s2 2p4 1s2 2s2 2p5 1s2 2s2 2p6 1s2 2p6 3s2 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2

21) U n e l e m e n t o A t i e n e 1 4 electrones en la capa N. Si su número de masa es 98, halla el número de neutrones que posee en su núcleo atómico. a) 53 b) 52 c) 54

Nivel II

d) 38 e) 40

d) 50 e) 48

2

2

8

a) 1s 2s 2p b) 1s2 2s2 2p6 c) 1s2 2s2 2p4 d) 1s2 2p8 e) 1s2 2s2 2p5

17) Para Z = 11, el mayor nivel será: a) 9 b) 10 c) 3

d) 2 e) 1

18) Para 8O, ¿en qué subnivel termina el último electrón de la C.E.? a) s b) p c) d

d) f e) g

a) 63 b) 70 c) 64

________________________ 26) Indica cuál de las siguientes distribuciones es incorrecta: a) 87Fr = [Rn]7s1 b) 30Zn = [Ar]4s2 3d10 c) 53I=[Kr]5s2 4d10 5p5 d) 59Pr = [Xe] 6s2 4f3 5d0 e) 24Cr = [Ar]4x2 x 3d9 27) Escribe el conjunto de los cuatro números cuánticos del electrón de valencia del 11Na23. ________________________ ________________________ 28) Halla «Z» para [Kr]5s1.

22) Si un elemento tiene en el 4º nivel 6 electrones y 45 neutrones, halla su número de masa. 16) Para Z = 10, la C.E. correcta es:

25) Si un electrón tiene número cuántico magnético +3, ¿cuál es el menor nivel de energía que puede ocupar?

d) 42 e) 38

23) Los números de masa de dos hílidos suman 80 y los de sus neutrones 26. Calcula el número de electrones que posee el átomo en la órbita «p».

a) 20 b) 36 c) 37

d) 38 e) 40

29) ¿En qué consiste el principio de Pauli? ________________________ ________________________ ________________________

________________________ ________________________ 24) Un átomo posee un número de protones que excede en 4 al número de neutrones. Si posee 14 electrones en el nivel 3, halla el número de masa.

30) ¿En qué consiste la regla de Hund? ________________________ ________________________ ________________________

________________________ ________________________

MATH FREDT INGENIERIAS

Sem. 2 / QUÍMICA / 3ER. AÑO 33

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

Tabla Periódica I ¿Por qué clasificar los elementos químicos?

Las Tríadas de Döbereiner (1817)

Uno de los objetivos de la ciencia es ordenar de un modo sistemático la información que se ha ido obteniendo como resultado de cuidadosos experimentos.

Este alemán encontró que podían agruparse los elementos de propiedades semejantes en TRÍADAS O TERNAS (grupo de tres). SUPUSO: En cada tríada, el peso atómico del segundo elemento era casi el promedio de los otros dos.

¿Cómo se creó la Tabla Periódica?

La primera clasificación se dio basada en sus propiedades químicas; así, se dividió los elementos en metales y metaloides (como conductores de la electricidad). Por otra parte Berzelius trató de clasificarlos en electropositivos y electronegativos por su comporta– miento durante la hidrólisis. Surgieron varias teorías: HIPÓTESIS DE PROUT (1815) Propuso la ordenación en base al hidrógeno, según la cual los pesos atómicos eran enteros y múltiplos de aquél. Defectos: Es la aparición de los isótopos y los experimentos efectuados por el francés Dunas y su discípulo Jean Stas, quien demostró con medidas exactas los pesos atómicos fraccionarios; con lo que decae la hipótesis de Prout. Ejemplo: Cl ⇒ P.A. = 35.46

Johan Döbereiner Ejemplo:

1 Litio Sodio Potasio Promedio

2 7 23 39 23

Calcio Estroncio Bario Promedio

3 40 88 137 89

Cloro Bromo Yodo Promedio

Azufre Selenio Teluro Promedio

32 79 128 80

Las Octavas de Newlands (1864) El físico inglés John Newlands propuso la ordenación de los elementos según el orden creciente de sus pesos atómicos, en grupos de 7 en 7, de propiedades distintas, donde el octavo elemento coincidía en sus propiedades con el primer elemento anterior.

Ejemplo:

a) b)

Li Na

Ba Mg

B Al

C Si

{

34

35 80 129 84

Así se llegaron a identificar, 20 tríadas (1850); pero no todos los elementos formaban tríadas y se iban descubriendo nuevos elementos como el Rubidio (Rb) y Cesio (Cs), que poseen propiedades alcalinas similares al Litio (Li), Potasio (K) y Sodio (Na) por lo cual se negó la idea de las tríadas.

Propiedades semejantes:

Sem. 2 / QUÍMICA / 3ER. AÑO

4

N P

O S

F Cl

{

HISTORIA

Li, Na ; ..... así sucesivamente. 1.°, 8.°

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Clasificación según Mendeléyev (1869) Este químico ruso Dimitri Ivanovich Mendeleiev y el alemán Julius Lothar Meyer, ordenaron los elementos de acuerdo con sus pesos atómicos; pero habían elementos que se iban descubriendo. Así, Mendeleiev pudo acomodarlos de acuerdo a sus propiedades parecidas.

Especialistas en matemática

Defectos: 1. No siempre existe la periodicidad creciente de los pesos atómicos. Ej.: Argón-Potasio, Cobalto-Níquel y Teluro-Iodo. 2. El Hidrógeno no posee una ubicación adecuada en la tabla. 3. No hay separación clara entre los metales y no metales. 4. Su clasificación era incompleta, pues no incluyó a los Gases Nobles

Clasificación periódica actual - ley periódica de Moseley (1912) Moseley hizo público el resultado de sus experimentos con los rayos X, por el cual había llegado al conocimiento de los números atómicos. ‘‘Las propiedades de los elementos son función periódica de sus números atómicos’’. Ejemplo:

{

Así sucesivamente Dimitri Ivanovich Mendeleiev ‘‘Las propiedades de los elementos no son arbitrarias sino que dependen de la estructura del átomo y varían con el peso atómico en forma periódica.’’ Esta clasificación es la base de la Química Inorgánica.

Características de la Tabla de Mendeléyev

Hidrógeno 1 protón......(Z=1) ocupa el lugar 1 Helio 2 protones...(Z= 2) ocupa el lugar 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tabla periódica actual La clasificación periódica de Werner (químico suizo), dada en 1930, permite apreciar con facilidad la periodicidad de las propiedades de los elementos. Se clasifica: Las columnas verticales se llaman GRUPOS O FAMILIAS, marcados con números romanos I, II, ......VIII, y las letras A y B. Familia A: La forman elementos típicos (elementos regulares). Familia B: Poseen incompleta su penúltima capa electrónica (elementos de transición). Las filas horizontales o PERIODOS nos indican el número de niveles energéticos del átomo. Los periodos se marcan con números arábigos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Los periodos 1, 2 y 3 son periodos cortos. Los siguientes son los periodos largos: 4, 5, 6 y 7.

Ä Ordenó los elementos (aprox. 60) en 7 filas horizontales y 8 columnas verticales, según el orden creciente de sus pesos atómicos, donde cada columna vertical formaba un grupo, además tenían propiedades análogas y se subdividían en familias (A y B) dentro del mismo grupo. Los elementos de una misma fila horizontal formaban un periodo.

Ä Predijo la existencia de nuevos elementos como Escandio, Galio y Germanio, a los que denominó EKA–Boro, EKA-Aluminio y EKA– Silicio, respectivamente (EKA: ‘‘uno después de ....’’ o ‘‘uno debajo de .......’’) por sus propiedades químicas y físicas.

MATH FREDT INGENIERIAS

IA

IIA

IIIA IVA VA VIA VIIA VIIIA

1 2 3 4 5

IIIB

s

IVB

VB VIB VIIB

IB IIB VIIIB

p

d

6 7

6 7

f

TIERRAS RARAS

Sem. 2 / QUÍMICA / 3ER. AÑO 35

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

Gases Nobles

Recuerda w La tabla periódica está dividida en 4 regiones denominadas s, p, d y f (orbitales). w El número de periodo es igual al número de electrones existentes en la corona del átomo. Ejemplo: Azufre (S) Se ubica en el 3.er periodo; pues posee 3 capas de electrones.

Metaloides

Z=16 ⇒ 1s22s22p63s23p4 periodo

w El número (I, II, III, ... ,etc.) nos indica: a) El número de electrones del nivel más extremo es igual al número del grupo. Ejemplo: P (Z=15) ⇒ 1s22s22p63s2 3p3

en la última capa posee 5e–

b) La valencia positiva máxima es igual al número del grupo. Ejemplo: Cl está en el grupo VII ⇒ su valencia máxima es +7

SE CLASIFICA EN:

M E T A L E S

N O M E T A L E S

36

Se encuentran entre los metales y no metales. Los principales son: Arsénico, Antimonio, Silicio y Teluro; los 2 primeros son anfotéricos (forman compuesto metálicos y no metálicos). Hasta el momento se han encontrado 110 elementos en la tabla periódica, existiendo otros elementos por estudiar.

Glenn T. Seaborg (1912)

CARACTERÍSTICAS

GRUPOS O FAMILIAS

1. Poseen brillo característico. 2. Son buenos conductores de la electricidad y del calor. 3. Son electropositivos; pierden e –, es decir se oxidan actuando como agentes reductores. 4. Son dúctiles y maleables. 5. Son sólidos a temperatura ambiente excepto el Mercurio (Hg) que es líquido.

1. Metales alcalinos: IA (Li, Na, K, Rb, Cs, Fr) Son metálicos (excepto Hidrógeno); su configuración termina en s1. 2. Metales Alcalinos Térreos: IIA (Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra) Su configuración termina en s2. 3. Metales de Transición : Su configuración alcanza el subnivel ‘‘d’’. 4. Metales de Transición Interna: ‘‘Tierras raras’’. Su configuración a l c a n z a e l s u b n i v e l ‘‘f ’’ (Lantánidos y Actínidos).

1. Carecen de brillo característico. 2. Malos conductores del calor y de la electricidad. 3. Son electronegativos, pues ganan electrones; se reducen y actúan como agentes oxidantes. 4. Se presentan en los 3 estados: Gaseosos (N, O, F, Cl), Líquido (Br), los restantes son sólidos.

1. Elementos Térreos: (Boroides) Grupo IIIA, su configuración termina en p1. 2. Carbonoides: IVA (C, Si), su configuración termina en p2. 3. Nitrogenoides: VA (N, P, As), su configuración termina en p3. 4. Anfígenos: VIA (O, S, Se, Te), su configuración termina en p4. 5. Halógenos: VIIA (F, Cl, Br, I, At), su configuración termina en p5, son los más no metálicos.

Sem. 2 / QUÍMICA / 3ER. AÑO

Presentan configuración estable con 8 e– (excepto He), su configuración termina en p6. Son: He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn

Hizo historia cuando cambió la tabla periódica al colocar los actínidos abajo del cuerpo principal de la tabla, junto con los otros elementos de transición internos, como se aprecia en el dibujo inferior. Fue uno de los científicos que compartió el premio Nobel de Química de 1951. En 1994 se propuso que el elemento 106 llevara el nombre de Seaborgio, Sg, en su honor.

Metales de transición internos

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Halla el número atómico si se encuentra un elemento en el cuarto periodo y IA. El carbono es el principal elemento que forman los plaguicidas y herbicidas. Se ha concluido que pueden llegar a causar malformaciones genéti c as, enferme dad es cancerígenas al ser humano d e p e n d i e n d o d e l tóx i c o ingerido.

Solución:

Si el último electrón de cierto isótopo presenta los siguientes números cuánticos 3, 1, +1, +1/2, halla el grupo y periodo. Solución:

2

2

6

2

6

1s 2s 2p 3s 3p 4s

1

IA

periodo «4» Respuesta: 19

3, 1, +1, +1/2 p3 Luego : 1s2 2s2 2p6 3s 2 3p 3 3

Respuesta: Periodo : 3

VA

Grupo : VA

Ejemplo 1: El sodio (Z = 11) es un elemento que se ubica en el periodo _____________ I.

Solución: 11

Na = 1s2 2s2 2p6 3s1

Respuesta: Tercero

periodo «3»

Ejemplo 2: La tabla actual se divide en _________ columnas. Respuesta: 18 columnas. Ejemplo 3: ¿A qué grupo pertenecen las tierras raras?

II. Indica el estado natural de:

Nivel I Marca la alternativa correcta.

1) Un elemento químico «X» cuyo número atómico es 18 se ubica en el periodo: a) 7 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

4) Azufre, oro, cobre. ________________________ ________________________ 5) Oxígeno, carbono, hierro. ________________________ ________________________

2) Para un elemento cuyo número atómico es 20, se puede afirmar que pertenece al periodo ... a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

6) Flúor, bromo, plata. ________________________ ________________________ 7) Helio, agua, cromo.

Solución:

________________________ IIIB

3) Si la configuración electrónica de un elemento termina en el orbital 4p3, ¿a qué periodo de la tabla periódica pertenece? a) Quinto b) Segundo c) Tercero

d) Cuarto e) Primero

________________________ 8) Calcio, yodo, fósforo. ________________________ ________________________

Respuesta: IIIB MATH FREDT INGENIERIAS

Sem. 2 / QUÍMICA / 3ER. AÑO 37

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

III. Marca falso (F) o verdadero (V), según corresponda. 9) Moseley da la Ley Periódica. (

I. )

10) Werner diagrama la TPA. (

)

11) Newlands ordena los elementos de 3 en 3. ( )

12) Las tierras raras o elementos de transición interna terminan su configuración en «f». ( )

13) Sin mirar la tabla periódica escoge la alternativa en la cual todos pertenecen al mismo grupo. a) Z = 11; 37; 3 b) Z = 8; 16; 2 c) Z = 2; 10; 17 d) Z = 35; 17; 4

14) La tabla periódica está dividida en 4 bloques los cuales son: a) M, N, S, P b) E, W, P, d c) O, W, E, f d) K, L, M, N e) s, p, d, f

Marca la alternativa correcta:

16) Un futuro cachimbo al estar estudiando la tabla periódica observa que le falta como dato el número atómico de un elemento, entonces decide que el profesor la calcule realizando la siguiente pregunta. ¿Profesor podría Ud. calcular el número atómico de un elemento que se encuentra en el quinto periodo y en el grupo VIIA? a) 84 b) 61 c) 21

17) Si un catión dipositivo tiene en su estructura atómica 48 electrones, luego el elemento que dio origen a dicho catión, ¿en qué grupo de la tabla periódica se encuentra? a) Grupo IIA b) Grupo IIB c) Grupo VA d) Grupo IV A e) Grupo IIIB

d) s1 e) s2

a) 12 b) 10 c) 6

Sem. 2 / QUÍMICA / 3ER. AÑO

20) Si un elemento posee la siguiente distribución electrónica [Ar], 4s1, 3d10, ¿a qué grupo pertenece y qué tipo de elemento es? a) II A; representativo b) II B; transición c) I A; transición d) I B; transición e) I A; alcalino 21) Si el siguiente átomo tiene 10 neutrones ( α )Xα, determina a 2 qué grupo y periodo pertenece dicho átomo. a) 3.°; VIIIA b) 2.°; VIIIA c) 3.°; VIA d) 1.°; VIIA e) 2.°; VIA 22) El oxígeno con número de masa 16 es el octavo elemento de la tabla periódica. ¿Cuántos electrones tiene? a) 8 b) 10 c) 12

d) 8 e) 4

+2

19) Se tiene el siguiente átomo 31X . Calcula el grupo en la tabla periódica al cual pertenece. a) Grupo IIIA b) Grupo IB c) Grupo VA d) Grupo VIB e) Grupo IVA

38

d) 53 e) 68

18) Un elemento se halla en la tabla periódica en el cuarto periodo y el grupo IIB. Calcula cuántos electrones «p» apareados tiene en su átomo.

15) Los alcalinos térreos terminan su configuración en: a) p2 b) p1 c) d1

Nivel II

d) 14 e) 16

23) Determina el «Z» del átomo de un elemento que es de la familia del 28Ni y cuyo periodo es 6. a) 54 b) 57 c) 68

d) 77 e) 78

24) De la siguiente relación de números atómicos 22, 28, 33, 38 y 55, ¿cuántos se ubican en el mismo período? a) 22, 28 y 55 b) 22, 28 y 35 c) 35 y 28 d) 29, 35 y 38 e) 38 y 55

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Razonamiento Inductivo y Deductivo Lógica Inductiva (Inducción) Objetivos S Desarrollar la capacidad de análisis para enfrentar situaciones a la que no se está familiarizado. S Ejercitar la capacidad de observación para establecer relaciones que permitan solucionar los ejercicios utilizando el razonamiento inductivo y deductivo. S Dotar al estudiante de instrumentos metodológicos adecuados para la resolución de ejercicios que exijan el uso de la habilidad y del pensamiento creativo.

Es una manera de razonar, en el que a partir de la observación de casos particulares llegamos al descubrimiento de leyes generales, con la particularidad de que la validez de las leyes generales se deduce de la validez de los casos particulares. Así: Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 4

..........

Casos particulares Razonamiento inductivo Demostración:

Analicemos:

(15)2 = 225 (25)2 = 625

}

(35)2 = 1225

Casos particulares

(45)2 = 2025 Lo dijo... Evariste Galois La matemática es el trabajo del espíritu humano que está destinado tanto a estudiar como a conocer, tanto a buscar la verdad como a encontrarla.

Caso General

«Podemos concluir que todo número que temina en 5, al elevarlo al cuadrado, su resultado termina en 25» (.....5)2 = .....25.

Ejemplo 1:

}

Conclusión general

}

Razonamiento inductivo

• Calcula la suma de las cifras del resultado de operar: E = (666 .... 66)2 Resolución: Evaluaremos los siguientes casos para: n = 1 → (6)2 = 36

MATH FREDT INGENIERIAS

100 cifras n = 3 → (666)2 = 443556

∑ cifras = 3 + 6 = 9 = 9(1)

∑ cifras = 4 + 4 + 3 + 5 + 5 + 6 = 27 = 9(3)

n = 2 → (66)2 = 4356

n = 4 → (6666)2 = 44435556

∑ cifras = 4 + 3 + 5 + 6 = 18 = 9(2)

∑ cifras = 4 + 4 + 4 +3 +5 + 5 +5 + + 6 = 36 = 9(4)

Sem. 2 / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 3ER. AÑO 39

Especialistas en matemática

Después de analizar los cuatro casos anteriores, concluimos que la suma de cifras de la expresión es: n = 100 ∑ cifras = 9(100) = 900

Colegio MATH FREDT

Para 4 letras

3 . 4 . 5 . 6 + 1 = 361 = 19

N.° de formas de leer TRIL = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 24-1

x

+

= 3 . 6 +1

.. . T R

• En el siguiente arreglo triangular de letras, ¿de cuántas formas distintas se puede leer TRILCITO a igual distancia una letra de otra en cada lectura?

I L 1

27 . 28 . 29 . 30 + 1 = 27 . 30 + 1

R I

L 3

L 3

L 1

T R R I I I L L L L C C C C C I I I I I I T T T T T T T O O O O O O O O

Luego de analizar los casos particulares concluimos: N.° de formas de leer: TRILCITO = 28-1 = 27 = 128 8 letras

M=

27 . 28 . 29 . 30 + 1

N.° de formas de leer: TR = 1 + 1 = 2 = 22 - 1

R 1

R 1

Para 3 letras N.° de formas de leer TRI = 1 + 2 + 1 = 4 = 23-1 T R I 1

}

Caso Caso Caso Caso ... 1 2 3 4 Casos particulares

Demostración:

Resolución: T

Es una manera de razonar mediante la cual, a partir de casos o criterios generales, se obtiene una conclusión particular. Así:

Ejemplo 3: • Calcula el valor de:

Para 2 letras

Lógica Deductiva (Deducción)

Caso General

Resolución: Observamos que TRILCITO contiene 8 letras.

+ = 811

x

I

Razonamiento deductivo

Ejemplo 2:

Sería demasiado operativo mutiplicar, sumar y sacar la raíz cuadrada. Si observamos el ejercicio nos daremos cuenta que tiene una particularidad, producto de cuatro números que además son consecutivos. Entonces, aplicaremos el razonamiento inductivo, analizando los casos más simples sin que se pierda la forma original del ejercicio.

• Todos los hijos de la señora Juana son honestos. • Alex es hijo de la señora Juana.

Información General • Por tanto: Alex es honesto.

R I 2

I 1

1 . 2 . 3 . 4 + 1 = 25=5=1.4 +1 x

+

Conclusión Particular

Razonamiento Deductivo

2 . 3 . 4 . 5 + 1 = 121 = 11 x

+

=2 . 5 +1

Sem. 2 / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 3ER. AÑO 40

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Ejemplo 5: • La suma de los «m» primeros números impares es 1600. Por lo tanto, ¿cuál es el valor de «m»? Resolución: • Para la resolución de este problema, primero hay que saber a qué es igual la suma de los «m» primeros números impares (caso general), para luego verificar el valor de «m» cuando la suma sea 1600 (caso particular).

Observación • 1 + 3 = 4 = (2)2 La deducción e inducción están íntimanente relacionadas. Generalmente, la deducción es el complemento de la inducción y viceversa.

2 términos

N.° de términos

La matemática hecha intuición • 1 + 3 + 5 = 9 = (3)2 N.° de términos

3 términos

Ejemplo 4: • Calcula a, b, y c sabiendo que a ≠ b ≠ c y además:

• 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = (4)2

aaa + bbb + ccc = 2664

4 términos Resolución: Ordenando los números en columna:

N.° de términos

.. . Conclusión general:

llevamos de la 1.a columna llevamos de la 2.a columna

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ..... = n2 2

2

a b c 2 6

a b c 6

a+ b c 4

a

• 1. columna: a + b + c = ... 4 • 3.a columna: a + b+ c + 2 = 26 De 1.a y la 3.a columna, se deduce que: a+b+c= 2 4 Buscando tres dígitos diferentes cuya suma sea igual a 24, encontramos: a = 7; b = 8 y c= 9

Ramanujan

«m» términos

Caso particular: m2 = 1600 ..... (dato) ∴ m = 40

El prestigioso matemático G.H. Hardy recibe una carta fechada el 16 de enero de 1913, procedente de India. Apreciado señor: Me permito presentarme a usted como un oficinista del departamento de cuentas del Port Trust Office de Madras, con un salario de 20 libras anuales. No he recibido educación universitaria, pero he hecho un estudio detallado de las series divergentes en general y los resultados a los que he llegado son calificados como sorprendentes por los matemáticos locales... Las carta adjuntaba hojas de cuaderno con 120 fórmulas, algunas de las cuales desbordaban al propio Hardy, que llegó a comentar: «Forzoso es que sean verdaderas, porque si no lo fueran, nadie habría tenido suficiente imaginación para inventarlas».

∴ Respuesta: 7 x 8 x 9 = 504 MATH FREDT INGENIERIAS

Sem. 2 / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 3ER. AÑO 41

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

* M1 = [1] la suma de elementos es:

Nivel I

_____ * P1 → #triángulos en

→3 1 2 , la suma de elementos 2 3

M2 = P2 → #triángulos en P3 → #triángulos en

→9

1) Halla “P5”. c) 15

b) 18 e) 30

c) 24

3) Halla “Pn”. a) 2n d) 6n

b) 3n e) 12n

c) 9n

la suma de elementos es _____

a) 32 d) 72

→ suma de cifras _____. * P2 = (777+25)2 = 643204 → suma de cifras _____. 2

* P3 = (7777+225) = 64032004

b) 60 e) 56

b) 500 e) 620

a) n2 d) n2 + n

4) Halla la suma de cifras de “Pn”. c) 19

c) 100

b) (n+1)3 c) n3 e) n(n+2)

c) 24

10) Halla la cantidad de palitos en “P5”. a) 31 d) 38

b) 33 e) 40

c) 35

a) n2 b) n2 - 1 c) n(n+1)

d) n(n+2) e) n(n-1)

* S1 * S2 * S3

* P1 → cant. de palitos en: * P2 → cant. de palitos en: * P3 → cant. de palitos en:

Sem. 2 / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 3ER. AÑO 42

b) 22 e) 26

11) Halla la cantidad de palitos en “Pn”.

7) Halla la suma de los elementos de “Mn”.

→ suma de cifras _____.

b) 19n e) 41

c) 14

c) 64

6) Halla la suma de los elementos de “M10”. a) 1000 d) 180

* P1 = (77+5)2 = 6724

a) 12n d) 38

a) 19 d) 25

5) Halla la suma de los elementos de “M4”.

2) Halla “P7”. a) 21 d) 27

b) 13 e) 16

9) Halla la cantidad de palitos en “P4”.

1 2 3 M3 = 2 3 4 3 4 5 b) 10 e) 21

a) 12 d) 15

→6 es ______

a) 12 d) 18

8) Halla la cantidad de palitos en “P3”.

12) ¿Cuántas bolitas habrá en “S4”? a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

13) ¿Cuántas bolitas habrá en “S5”? a) 31 d) 18

b) 32 e) 41

c) 27

14) ¿Cuántas bolitas habrá en “Sn”? a) 3n - 1 b) 2n + 1 c) n2 + 1

d) 2n - 1 e) n2 - 1

15) ¿Cuántos triángulos hay en “F1”?

19) ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra “LUCIDEZ”? L LUL LUCUL LUCICUL LUCIDICUL LUCIDEDICUL LUCIDEZEDICUL Calma, lo vamos a hacer paso a paso. 20) Primero resuelve para este caso. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra “LU”?

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

L a) 1 d) 4

24) Calcula: E=

21997

(3x5x17x... )+1 1997 factores

a) 2 d) 5

b) 3 e) 8

c) 4

25) Efectúa: E=

200.201.202.203 + 1

a) 40 600 b) 40 601 c) 40 602

d) 40 603 e) 40 604

26) Calcula la suma de los números de la fila 50.

L U L b) 2 e) 6

c) 3

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

...

Nivel II

Fila 1 à Fila 2 à Fila 3 à Fila 4 à

16) ¿Cuántos triángulos hay en “F2”?

21) Calcula la suma de las cifras de: E = (333...33)

a) 3 000 b) 90 000 c) 100 000

2

10 cifras a) 9 d) 100 a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

b) 10 e) 180

d) 125 000 e) 225 000

c) 90 27) Calcula:

c) 8

1 1 1 1 1+ 1+ 1+ ... 1+ 2 3 4 1998 22) Calcula la suma de las cifras de:

17) ¿Cuántos triángulos hay en “F3”?

a) 1 999 b) 1/1999 c) 1/3998

B = (333...3334)2

d) 1 e) 1999/2

20 cifras a) 81 d) 260

b) 121 e) 190

c) 130

28) Si

M = 9 x 888...88 , 1997 cifras

a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12 23) Da como respuesta la suma de las cifras de: M = (666...66)2

18) ¿Cuántos triángulos hay en “F10”? a) 37 d) 43

b) 41 e) 47

c) 39

MATH FREDT INGENIERIAS

600 cifras a) 7200 d) 3600

b) 5400 e) 6400

halla la suma de las cifras de “M”. a) 1 997 b) 8 856 c) 17 973

d) 4 273 e) 888

c) 4800

Sem. 2 / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 3ER. AÑO 43