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Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Ecuaciones de Primer Grado I. Clasificación de las Igualdades

I G U A L D A D

Absoluta (Identidad) Siempre cumple. Ejemplo: 7=7

Relativa (Ecuación) Se cumple en algunos casos. Ejemplo: x+4=7 ↑ 3 ← Este valor se llama solución porque verifica la igualdad.

Compatible Tiene solución. Ejemplo: x2 + x - 2 = 0 es compatible porque x = 1 es solución. Incompatible No tiene solución. Ejemplo: x2 = -4 No existe ningún número re a l q u e verifique la igualdad.

Determinada Tiene finitas soluciones Ejemplo: x2 = 49 sus soluciones son dos exactamente: x = 7 ; x = -7

Indeterminada Tiene infinitas soluciones Ejemplo: x+y = 7 ↓ ↓ 3 4 son algunos 1 6 valores que 0 7 verifican la -5 12 igualdad

III. Ecuación de Primer Grado

II. Ecuación Polinomial Forma general:

Forma general: a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0; a ≠ 0 Donde:

ax + b = 0; a ≠ 0 Donde:

* a0; a1; a2; ... ; an: Coeficientes numéricos * x : Incógnita * n∈N

* a y b son coeficientes numéricos. * x es la incógnita.

Ejemplos:

Resolución: Consiste en determinar el conjunto solución

* Si: n = 1: a0x + a1 = 0

Ecuación de 1.er grado

* Si: n = 2: a0x2 + a1x + a2 = 0 MATH FREDT INGENIERIAS

Ecuación de 2.º grado

De la forma general: ax + b = 0 ; a ≠ 0 ax = -b x = -b/a Sem. 5 / ÁLGEBRA / 2DO. AÑO 1

Especialistas en matemática Luego la solución es -b/a y el conjunto solución (C.S.) es: C. S. = {-b/a}

IV. Ecuación Paramétrica de Primer Grado Ecuación de la forma: Ax = B Donde: * A y B son parámetros (constantes representadas por letras). * x es la incógnita.

Colegio MATH FREDT 2x - 4x - x = -9 4 -3x = -9 4 -3x = (-9)4 -(9)4 x= -3 x = 12

El polinomio se anula. Luego, x = 4 es raíz de x2 - 7x + 12. * Un polinomio, de una sola variable, tiene tantas raíces como lo indique su grado (consecuencia del Teorema Fundamental del Álgebra). Polinomio de Grado 1: Tiene 1 raíz. Polinomio de Grado 2: Tiene 2 raíces. Polinomio de Grado 3: Tiene 3 raíces.

4. Resuelve: 2(x - 4)2 - (x + 3)2 = (x - 1)(x + 3) Resolución: 2(x2 - 8x + 16) - (x2 + 6x + 9) = x2 + 2x - 3 2x2 - 16x + 32 - x2 - 6x - 9 = x2 + 2x - 3 x2 - 22x + 23 = x2 + 2x - 3 -22x + 23 = 2x - 3 -24x = -26 x = -26/-24 x = 13/12

Ejemplo: * (m + 1) x = m * 2x = 4 Esta última ecuación no es paramétrica porque 2 y 4 no son parámetros.

V. D i s c u s i ó n d e l a Ecuación Paramétrica De la forma: Ax = B * Si A ≠ 0 y B es cualquier número. ⇒ La ecuación es compatible determinada. * Si A = 0 y B = 0 ⇒ La ecuación es compatible indeterminada. * Si A ≠ 0 y B = 0 ⇒ La ecuación es incompatible.

Recuerda * La raíz de un polinomio es el valor que al ser reemplazado en él lo anula. Ejemplo: En : x2 - 7x + 12 Si x = 4 42 - (7) (4) + 12 = 0

Sem. 5 / ÁLGEBRA / 2DO. AÑO 2

1. Resuelve: 2x + 7 - 2(x - 1) = 3(x + 3) Resolución:

5. Resuelve: (x + 5)(x - 5) = (x - 3)2 - 16

2x + 7 - 2(x - 1) = 3(x + 3) → 2x + 7 - 2x + 2 = 3x + 9 9 = 3x + 9 9 - 9 = 3x 0 = 3x 0/3 = x x= 0

Resolución: x2 - 25 = x2 - 6x + 9 - 16 6x = 9 - 16 + 25 6x = 18 x = 18/6 x= 3

2. Resuelve: 2x - 9 3x + 4 = 3 2 Resolución: (2x - 9) - 2 = (3x + 4) . 3 → 4x - 18 = 9x + 12 -18 - 12 = 9x - 4x -30 = 5x -30/5 = x x = -6

Nivel I *

Calcula el valor de la incógnita tal que verifique las siguientes igualdades:

1)

4x + 1 = 21

3. Resuelve: x -x=x -9 2 4 Resolución: x - x - x = -9 2 4

a) 1 d) 4 2)

b) 2 e) 5

c) 3

b) 2 e) -1

c) 1

3x - 2 = 7 a) 3 d) 0

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3)

5x = 8x - 15 a) 3 d) 6

4)

b) 2 e) 5

c) 3

b) 8 e) 7

c) 5

b) 5/3 e) 7

c) 4/9

a) 12 d) -8

b) 8 e) 9

c) -6

b) 2/3 e) 2

c) 14/5

a) -1 d) -2

b) 3 e) -1/2

c) 2

22) Resuelve: 2(x - 4)2 - (x + 3)2 = (x - 1) (x + 3)

15) Resuelve: x 3 1 + =x+ 2 4 4 b) 0 e) 7

a) -1 d) 3/5

21) Resuelve: (x + 5)(x - 5) = (x - 3)2 - 16

14) Resuelve: x x -x= -9 2 4

a) 1 d) 4

b) 3 e) 2

c) 6

c) -1

a) 1/4 d) -1

b) 13/12 c) 1/2 e) 2

b) 5 e) 2

c) 4 a) -12 d) 8

b) 15 e) -7

c) 9

x + 3 (x - 4) = 4 a) 2 d) -3

b) 4 e) 2/3

c) 6

10) 2x + 7 - 2(x - 1) = 3(x + 3) a) 4 d) -4

b) 0 e) 1/9

b) 8 e) -2

c) -6

b) -3 e) 3

c) 17/2

18) Resuelve: x+1 1-x 7 -6+ = 2 5 10 a) 20 d) -16

b) -12 e) 10

c) 9

19) Resuelve: 3(x - 4) + 5(x - 2) = 2(x - 6) - 4(5 - x)

12) Resuelve: 2x - 9 3x + 4 = 3 2 a) -2 d) -6

b) 35/2 e) 3/4

c) 1

11) Resuelve: 3(x - 1) - 4(5 - x) = 2(6 + x) a) 7 d) -4

17) Resuelve: 2x x 3 -8= + 3 6 4 a) 35/3 d) 2/3

c) 4

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a) -5 d) 4

23) De la ecuación: 3x - 4 - 4(7x+9) = 4 6 + x + 10 3 15 5 con respecto a “x” podemos afirmar que:

(

Nivel II 16) Resuelve: 1 x 1 2x + x - = + 16 2 6 3 9

2x - (-2x + 2) = 22 a) 6 d) 3

9)

c) 3

a) 3/2 d) 5

20) Resuelve: 3x - 1 - (x - 4) - [2(x - 3) - 3(1 - 2x)] = -x - 2

x - (2x + 1) = 8 - (3x + 3) a) 1 d) 5

8)

b) 1 e) 9

8x - 4 + 3x = 7x + x + 14 a) 6 d) 3

7)

c) 5

13) Resuelve: x + 1 2x - 1 = 2 3

21 - 6x = 27 - 8x a) 1 d) 4

6)

b) 4 e) 7

9x + 11 = -10 + 12x a) -5 d) 7

5)

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b) -3 e) 6

c) 2

a) b) c) d) e)

(

Es un número impar Es un múltiplo de 3 Es un número primo Es un cuadrado perfecto Es un número irracional

24) Luego de resolver la ecuación: 2(a + x) 3(b + x) 6(a2 - 2b2) = ab b a indica el valor de “x - 2b”. a) 2a + b b) a + 2b c) a + 3b

d) a - 2b e) 2a

25) Luego de resolver la ecuación: x + a x - a x + b 2(x - b) + = + a-b a+b a+b a-b es: a) b) c) d) e)

x=a+b x = -b x = a + 2b x = 3b x = 2a + 3b

Sem. 5 / ÁLGEBRA / 2DO. AÑO 3

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26) Resuelve: 19 - 15(3x + 1) = 36 - 6(5x - 3) - 5(x + 7) a) -3/2 d) 1/8

b) 1/2 e) 3/4

c) 1/3

27) Resuelve: (13x - 4)(x + 2) = (3x + 1)(5x - 3) - (2x2 + 5) a) 1 d) -2

b) 0 e) 1/2

c) -1

28) Resuelve: x x-2 5 = x-2 x 2 a) 7,5 d) 2,5

b) 3,5 e) 2

c) 4,5

29) Resuelve: 5x - 8 7x - 4 = x-1 x+2 a) 20 d) 35

b) 15 e) 40

c) 30

b) -24 e) 24

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

33) Resuelve: x x 1 1 1 x + - = + 2 3 5 2 3 5 a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 34) Resuelve: 20x + 6 - 4x = 12 + 6x a) 1/3 d) 7/2

b) 3/5 e) 8/4

c) 9/2

35) Resuelve: -2x + 7x - 3 = 3x - x + 6 a) 2 d) 4

b) 5 e) 3

c) 6

36) Resuelve: 2x + 8 - 3x = 4x + 15 - 2x b) 3/5 e) -6/4

c) -7/3

37) Resuelve: 17x - 4 + 13x = 12x - 5 + 8x c) -30

Nivel III

a) 1/17 d) 1/18

b) 1/16 e) 1/20

b) 30/9 e) N.A.

a) 3 d) 6 c) 20/9

b) 4 e) 2

b) 1/4 e) 1/8

c) 1/2

40) Resuelve: 3(x + 1) + 4(2x - 1) = 5(x + 5) - 2(x - 3) a) 2 d) 5 Sem. 5 / ÁLGEBRA / 2DO. AÑO 4

b) 3 e) 6

a) x = 6 b) x = 7 c) x = 8

d) x = 10 e) x = 9

42) Resuelve: x 1 x + =42 4 4 a) x = 3 d) x = 6 b) x = 5 e) x = 7 c) x = 2 43) Resuelve: 1 5x + 1 (x + 1) + 4x = +1 6 4 a) 1/6 d) 1/5

b) 1/7 e) 5

c) 1/8

44) Resuelve: 1 1 (x - 2) + 2 = (x - 2) + 6 3 5 a) 64 d) 30

b) 60 e) 32

c) 48

45) Resuelve: 1 3 2 (x + 5) + (x + 6) = x + 4 2 2 3 a) 10 d) -21

b) 20 e) -10

c) 30

46) Resuelve: 15(2x + 1) - 2 = 3(-2x + 8) - 2 a) 1/5 d) 1/4

b) 1/6 e) 1/7

c) 1/8

c) 5

39) Si 3(x - 4) + 6 = 5(x + 1) - 13; halla x. a) 1/9 d) 1/3

41) Si 2x - 3 = x + 1 , halla x. 3 4 3

c) 1/15

38) Resuelve: 14x - 15 + 2x = 2x + 40 + 3x

31) Resuelve: x x + =1 4 5 a) 10/9 d) 40/3

32) Resuelve: 3(x + 1) + 2(x + 3) = 5(x + 1) + 2(x + 2)

a) -8/3 d) 8/3

30) Resuelve: x x +2= 3 4 a) -20 d) 40

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c) 4

47) Resuelve: 4 (x + 2) = 2 + [4(x - 2)] 3 a) 13/4 d) 3

b) 15/4 e) 17/5

c) 16/4

48) Halla “x” en: 5x - 4 = x - 12 7 a) 16 d) 30

b) 28 e) 18

c) 20

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Ecuación Cuadrática * Producto

1. Forma General Nota ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0; 2 raíces FORMA DE RESOLUCIÓN

∆ = b2 - 4ac Recibe el nombre discriminante

x1 . x 2 = de

=

1. Aspa simple 2

x + 5x + 6 = 0 x 3 x 2 (x + 3)(x + 2) = 0 x+3=0 ∨ x+2=0 x = -3 ∨ x = -2

Recuerda Si A . B = 0, se cumple : A=0 ∨ B=0

( -b +2a ∆ (( -b 2a- ∆ ( (-b)2 - ( ∆)2 4a2

b2 - b2 + 4ac 4ac c = 2= 4a2 4a a c x1 . x 2 = a

=

3. Propiedades de las Raíces * Suma

4. Naturaleza de las Raíces

-b + ∆ -b - ∆ + 2a 2a -b + ∆ - b - ∆ = 2a

x1 + x 2 =

∆ = b2 - 4ac Si ∆ > 0 : Raíces reales y diferentes ∆ = 0 : Raíces reales e iguales ∆ 0 tiene raíces iguales, halla 2K + 1.

1. Halla el discriminante de: x2 + 3x + 1 = 0

5. Si x = -3 es una solución de: 9x2 + (5n + 1)x - 3 = 0; halla la suma del valor de n y la otra raíz.

Resolución: Resolución: Si las raíces son iguales, entonces el discriminante es igual a cero: ∆ = b2 - 4ac = 0 b2 = 4ac

Resolución: Recuerda: ∆ = b2 - 4ac ∆ : discriminante

Si x 1 = -3 es solución de la ecuación, entonces debe verificar la igualdad: 9(-3)2 + (5n + 1)(-3) - 3 = 0 81 - 15n - 3 - 3 = 0 75 - 15n = 0 n=5

Para el problema: a = 4 - K, b = 2K y c = 2

En el problema: a = 1, b = 3 y c=1

(2K)2 = 4(4 - K)(2) 4K2 = 4(8 - 2K) K2 = 8 - 2K K2 + 2K - 8 = 0 (K + 4)(K - 2) = 0

Luego: ∆ = (3)2 - 4(1)(1) ∆= 5 2. Halla la menor solución de: x2 + 3x + 1 = 0 Resolución:

Luego la ecuación es: 9x2 + 26x - 3 = 0 (x + 3)(9x - 1) = 0

como K > 0, entonces K = 2.

Luego la otra raíz es: 1/9

Luego nos piden: 2K + 1 = 5

Entonces: n + x2 = 5 + 1/9 = 46/9

Por la fórmula general: x=

-b ± b2 - 4ac 2a

Para el problema: a = 1, b = 3 y c=1 Luego: x= =

-(3) ± (3)2 - 4(1)(1) 2(1) -(3) ± 5 2

1)

Entonces la menor solución es: -(3) - 5 2 3. Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 3x2 + 7x + 5 = 0

2)

Por la propiedad de las raíces: x1 + x2 = -b/a x1 . x2 = c/a

Luego: x1 + x2 = -7/3 x1 . x2 = 5/3 Sem. 5 / ÁLGEBRA / 2DO. AÑO 6

Resuelve: x2 + 9x + 14 = 0; y luego indica la menor solución. a) 7 d) -2

Resolución:

Para el problema: a = 3, b = 7 y c=5

4)

Nivel I

b) 7 e) 8

c) -3

Indica el conjunto solución de: x2 - 4x + 3 = 0 a) {1 ; 3} b) {-1 ; -3} c) {-1 ; 2}

a) {-1 ; 5} b) {1 ; -5} c) {-1 ; -5}

d) {1 ; 3} e) {1 ; 5}

c) -7

Resuelve: x2 + 10x + 21 = 0; y luego indica la mayor solución. a) 3 d) -7

3)

b) 2 e) 5

Señala el conjunto solución de: x2 - 6x + 5 = 0

5)

Resuelve y relaciona: a) b) c) d)

x2 - 5x + 4 = 0 x2 + 5x + 4 = 0 x2 + x - 2 = 0 x2 - x - 2 = 0

( ( ( (

) ) ) )

x1 = -2 x1 = 2 x1 = -4 x1 = 1

x2 = 1 x2 = -1 x2 = -1 x2 = 4

d) {-1 ; 3} e) {1 ; 2}

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6)

Halla el discriminante de: x2 + 3x + 1 = 0 a) 8 d) 5

7)

c) 4

b) 8 e) 1

c) 16

Halla el discriminante de: 2x2 - 2x - 3 = 0 a) 22 d) 28

9)

b) 9 e) 3

Halla el discriminante de: x2 + 4x + 2 = 0 a) 4 d) 2

8)

Especialistas en matemática

b) 23 e) 24

(-3 + (-2 (-1 + (-3 (-2 -

a) -5/2 d) -9/2

b) 5/2 e) 9/5

c) 9/2

14) Luego de calcular la suma y el producto de las soluciones de: 7x2 - 3x - 4 = 0; señala el menor resultado. a) -3/7 d) 3/7

b) 4/7 e) -4/3

c) -4/7

5)/2 5)/2 5)/2 5)/2 5)/3

15) Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 4x2 - 5x + 7 = 0 y luego uno de estos resultados es: a) -5/4 d) 7/4

b) -7/4 e) 4/5

c) 4/7

10) Halla una solución de: x2 + 4x + 2 = 0 (-4 + 2)/2 (-4 - 2)/2 -2 + 2 2 -2 + 2 -2 - 2 2

16) Sin resolver, señala la ecuación que tiene soluciones reales y diferentes. a) b) c) d) e)

x2 + 6x + 9 = 0 4x2 + 4x + 1 = 0 3x2 + 2x + 1 = 0 2x2 + 3x - 1 = 0 3x2 - 2x + 2 = 0

11) Halla una solución de: 2x2 - 2x - 3 = 0 a) b) c) d) e)

17) Sin resolver, señala la ecuación que tiene soluciones iguales.

(2 + 7)/2 2- 7 (2 - 7)/2 (1 + 7)/2 2+ 7

a) b) c) d) e)

12) Calcula la suma y el producto de las soluciones de : 3x2 + 7x + 5 = 0; y da por respuesta uno de estos resultados. a) 5/3 d) -5/3

b) 7/3 e) -7/3

a) 8 d) -1

b) 2 e) 6

c) 4

20) Si x = -3 es una solución de: 9x2 + (5n + 1)x - 3 = 0, halla la suma del valor de n y la otra raíz. a) 1/9 d) 46/9

b) 5 e) -1/9

c) 6/9

c) 5/7

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x2 + x + 1 = 0 5x2 + 2x - 3 = 0 x2 - x + 1 = 0 4x2 - 8x + 3 = 0 9x2 + 12x + 4 = 0

18) Si α < β, halla α/β; donde α y β son soluciones de: (x - 1)2 = (2x + 2)2 a) 9/2 d) 1/9

21) Si x 1 y x 2 son soluciones de x2 - 4x + 2 = 0, calcula: x1 + x2 + x1x2 + x12 + x22 a) 17 d) 16

b) 27 e) 18

c) 19

22) Si una solución de la ecuación x2 - 6x + b = 0 es el doble de la otra, halla b2.

Nivel II

a) b) c) d) e)

19) Si mx2 - (m - 5)x + 1 = 0, halla “m”; además x1 x2 = x1 + x2, donde x1 y x2 son soluciones de la ecuación inicial.

c) 25

Halla la menor solución de: x2 + 3x + 1 = 0 a) b) c) d) e)

13) Calcula la suma y el producto de las soluciones de: 2x2 + 5x - 9 = 0; e indica el mayor resultado.

b) -1/9 e) -9

c) 9

a) 4 d) 9

b) 81 e) 16

c) 64

23) Si una solución de la ecuación mx2 - 3mx + 5 = 0 es cinco veces la otra, halla m. a) 3 d) 5

b) 2 e) 1

c) 4

24) Si la ecuación (4 - k)x2 + 2kx + 2 = 0; k > 0 tiene raices iguales, halla 2k + 1 a) 2 d) 5

b) 4 e) 3

c) 7

25) Halla el menor valor de k para que la ecuación (4k + 8)x2 - 4kx + 1 = 0 tenga raíces iguales. a) -2 d) -3

b) -4 e) 2

c) -1

Sem. 5 / ÁLGEBRA / 2DO. AÑO 7

Especialistas en matemática Resuelve las siguientes ecuaciones:

*

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32) (x - 5)2 - (x - 6)2 = (2x - 3)2 - 118 a) b) c) d) e)

26) 3x2 + 2 = 5x a) {2/3, 1} b) {1, 2} c) {2/5, 1}

d) {2/3, 2} e) {1/3, 2/3}

33) 4x2 + 3x = 22

27) 6x2 = x + 222 a) {-6, 7/3} b) {-4, 7/8} c) {-6, 37/6}

a) b) c) d) e)

d) {-3, 7/6} e) {-6, 7/6}

28) 8x + 5 = 36x2 a) b) c) d) e)

*

{1, 3/2} {1/2, -5/18} {1/2, 2/3} {-5/18, 1/18} N.A.

Encuentra la suma y el producto de las raíces de:

a) b) c) d) e)

d) {-8, 7} e) {7, -6}

S = 5/3, P = 4/3 S = 5/2, P = 3/4 S = 5, P = 3 S = 5, P = 3/4 N.A.

a) b) c) d) e)

{19, 5} {-19/2, 13/4} {-19/15, 3} {19/8, -19/5} N.A. *

S = 3, P = 8 S = 4, P = -9 S = 3, P = 9 S = -3, P = -9 N.A.

Encuentra la ecuación que dio origen a:

Nivel III 31)

36) x1 + x2 = 3; x1 x2 = 4

x2 x 3 - = 5 2 10 a) {-1/2, 3/2} b) {-1/2, 3} c) {1, 2}

a) b) c) d) e)

d) {-1, 23} e) N.A.

a) b) c) d) e)

x2 - 3x + 4 = 0 2x2 - 3x + 8 = 0 x2 + 3x - 4 = 0 x2 - 3x - 4 = 0 N.A.

x2 + 2x - 3 = 0 6x2 + 3x - 2 = 0 x2 + x - 2 = 0 3x2 + 5x + 2 = 0 N.A.

39) x1 + x2 = -5/12; x1 x2 = -1/6 a) b) c) d) e)

3x2 + 5x + 2 = 0 6x2 + 3x - 2 = 0 12x2 + 5x - 2 = 0 3x2 + 5x + 2 = 0 N.A.

40) x1 + x2 = 13/2; x1 x2 = -21/2 a) b) c) d) e)

2x2 - 13x - 21 = 0 2x2 - 3x + 1 = 0 2x2 - 3x - 21 = 0 2x2 - 13x + 11 = 0 N.A.

41) La ecuación cuadrática cuyas soluciones son -2 y 1/2 es:

35) 2x2 - 6x + 18 = 0

30) (5x - 2)2 - (3x + 1)2 = x2 + 60 a) b) c) d) e)

{-7, 2} {-7/2, 2} {-7/4, 1/2} {-11/4, 2} {-11/2, 4}

34) 3x2 - 5x + 4 = 0

29) x2 + 15x = -56 a) {-8, -7} b) {-3, -6} c) {-2, 5}

{-7/2, 7} {-7/4, 2} {-3, 7/2} {-7/4, 7/2} N.A.

38) x1 + x2 = -2; x1 - x2 = 4

a) b) c) d) e)

x2 - 3/2x - 1 = 0 x2 - x/2 - 1 = 0 2x2 + 3x - 2 = 0 2x2 - x + 2 = 0 N.A.

42) Dada la ecuación: x2 + x + 1. ¿Cuál de los siguientes enunciados sobre sus raíces es falso? a) b) c) d)

La suma de sus raíces es -1. El producto de raíces es 1. Las raíces son distintas. Las raíces son reales y distintas. e) Una raíz es conjugada de la otra.

37) x1 + x2 = -5; x1 x2 = 25 a) b) c) d) e) Sem. 5 / ÁLGEBRA / 2DO. AÑO 8

x2 - 5x + 25 = 0 x2 + 5x + 25 = 0 x2 - 3x + 15 = 0 x2 - 3x + 25 = 0 N.A.

43) Indica una raíz de: y2 - 2 - y = 0 a) 3 d) 1

b) 0 e) -2

c) 2

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Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

44) Indica el máximo elemento del conjunto solución de: A2 - A - 1 = 0 a) (1 - 5)/2 d) 1 b) (1 + 3)/2 e) 5 c) (1 + 5)/2

45) Calcula el valor de “C” si la ecuación Cx2 = 4x - 1, presenta solución única. a) 0 d) 1

b) 8 e) 2

c) 4

46) Determina el valor de “m” para que la ecuación: x2 + 4 - mx = 0 / m > 0 tenga una única solución. a) 9 d) 4 *

b) 7 e) 6

c) 2

Encuentra la ecuación que dio origen a:

47) x1 + x2 = 5; x1 x2 = 6

48) x1 + x2 = 11; x1 x2 = 10

El álgebra tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado. El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitágoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofante. Arquímedes se basó en la matemática para componer sus tratados de física y geometría de espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento; como principales trabajos tenemos al análisis diofántico y la obra Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra existente hasta ese entonces.

49) x1 - x2 = 5; x1 x2 = 150

50) x1 + x2 = -1; x1 - x2 = 5

Una adivinanza Augustus de Morgan (1806 - 1871) fue un matemático inglés nacido en la India. Acostumbraba a recrearse en el planteamiento de adivinanzas y problemas ingeniosos. Este personaje, nacido en el siglo XIX, planteaba esta adivinanza sobre su edad: “En el año x2 tenía x años. ¿En qué año nací?”.

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Sem. 5 / ÁLGEBRA / 2DO. AÑO 9

Especialistas en matemática

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Teoría de Conjuntos II Representación gráfica de un conjunto •

Ejemplo 2: En un colegio de 40 alumnos, 24 usan lapicero azul y 21 usan lapicero negro para escribir sus apuntes. Si 4 usan sólo lápiz, ¿cuántos usan ambos colores?

Diagramas Lineales Ejemplo:

U

A = {Limeños} B = {Peruanos} C = {Argentinos} D = {Bonarenses} U = {Sudamericanos}

B

C

A

D

Resolución: LAPICEROS NEGROS (21)

•

Diagrama de Venn - Euler Ejemplo:

A

B .1

A = {1, 2, 3, 4}

.2

15

.5 .6 .7

.3 .4

9

12

LAPICEROS

4

AZUL (24)

40

B = {3, 4, 5, 6, 7} Rpta.: 9 Ejemplo 3:

Ejemplo 1:

FUTBOL (F)

Observa atentamente el siguiente ejemplo: F = {Alumnos que practican fútbol} G = {Alumnos que practican gimnasia} T = {Alumnos que practican tenis}

a

GIMNASIA (G)

n b m x p c

Donde existen: a alumnos que sólo practican fútbol m + x alumnos que practican fútbol y tenis m alumnos que practican fútbol y tenis pero no gimnasia m+n+p m+n+p+x a+b+c n+p

alumnos que practican sólo 2 deportes alumnos que practican al menos 2 deportes alumnos que practican 1 solo deporte gimnastas que practican sólo 2 deportes

TENIS (T)

De 35 alumnos de un aula; 15 aprueban R.M. y 24 aprueban aritmética. Si 3 alumnos no aprueban ninguno de los 2 cursos, ¿cuántos aprobaron sólo aritmética? Resolución: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (15)

17

7

8

ARITMÉTICA (24)

3

35 Rpta.: 17

Sem. 5 / ARITMÉTICA / 2DO. AÑO 10

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Colegio MATH FREDT

•

Especialistas en matemática

Diagrama de L. Carroll

A

B

Se utiliza para conjuntos que no tengan elementos comunes.

AC

A ELEMENTOS QUE TIENEN A Y B A LA VEZ

ELEMENTOS QUE NO TIENEN A PERO SÍ B

B

ELEMENTOS QUE TIENEN A PERO NO B

ELEMENTOS QUE NO TIENEN A NI B

BC

U A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}

A

B

Operaciones entre Conjuntos •

Unión de conjuntos (∪)

A

•

U

Intersección de conjuntos (∩)

B

A

A∆B = {x/x∈(A∪B) ∧ x∉(A∩B)}

B

Ejemplo:

U

U

A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B} •

A ∩ B = {x/x ∈A ∧ x ∈ B}

Diferencia de conjuntos (–)

A

•

Diferencia simétrica ( ∆ )

A

B

En una fiesta hay 50 personas entre hombres y mujeres de las cuales 10 hombres no bailan y 6 mujeres no bailan.

B HOMBRES MUJERES 17

17

B (BAILAN)

10

6

BC (NO BAILAN)

U

U A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}

AB = {x/x∈(A∪B)∧x∈(A∩B)}

Observaciónes •

Si A y B son conjuntos disjuntos. 1

B

A

2

Complemento de un conjunto (CA; AC; A')

B

A

A A∩B=φ

A∪B Si B ⊂ A 3

A

U

4

A B

B

AC = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A} AC = U – A

A∪B

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A∩B

Sem. 5 / ARITMÉTICA / 2DO. AÑO 11

Especialistas en matemática

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Ejemplos: Sea: x A = {1, 2, 3, 5, 8, 9} B = {2, 4, 6, 8} U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

4) Si A = {a - 2 ; - 6 }, es unitario el valor de a es: Resolución: a-2=-6 a=-6+2 a=-4

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}

3) Dado el conjunto: A = {4, 5, {6}, φ, 9, 12, 15} determina cuáles son verdaderas. I. {4} ⊂ A

(

)

II. {9, {15}} ⊂ A

(

)

III. {4, 5} ⊂ A

(

)

IV. {1, 5} ⊂ A

(

)

Rpta.: - 4

A ∩ B = {2, 8} A – B = {1, 3, 5, 9}

5) En el conjunto B = {a; a; m; n; o; r;}, ¿cuántos subconjuntos tiene? Resolución:

B – A = {4, 6} A ∆ B = {1, 3, 5, 9, 4, 6}

B = {a, m, o, r} 24 = 16

C

A = {4, 6, 7, 10, 11, 12}

A

a) Sólo I b) Sólo II c) I y III

Rpta.: 16

BC = {1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12}

B

.1 .3

.2

.4

.5 .9

.8

.6

.7 .10 .11 .12

4) Dado el conjunto: A = {4, {5}, {6}, {7, 8}, {9, 10}

U

determina cuáles son falsos.

Nivel I

I. 1) Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

1) Halla el cardinal del conjunto A. A = {5, 7, 3, 2} Resolución: La cantidad de elementos son 4 Rpta.: 4 2) D e t e r m i n a e l c a r d i n a l d e l conjunto. A = {5, 4, 3, 2} Resolución: La cantidad de elementos son 4

I. φ = 0

(

)

II. 2 ∈ {3, 4, 2}

(

)

III.{3, 4} ⊂ {1,2}

(

)

a) VVF b) VVV c) VFF

3) Si A = {4}, calcula n(A) Resolución: La cantidad de elementos es 1

2) Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. {1, 2} ∈ {1, 2, 3}

(

)

II. {2} ∈ {{2}, 3}

(

)

III.{1, {2}} ⊂ {1, {2}, 2} (

)

Rpta.: 1

Sem. 5 / ARITMÉTICA / 2DO. AÑO

a) VFF b) FVF c) FVV

d) VVV e) FFF

4∈A

(

)

II. {4} ⊂ A

(

)

III. {4, 5} ⊂ A

(

)

IV. φ ⊂ A

(

)

a) Sólo I b) Sólo III c) I y III

d) FVF e) FFF

Rpta.: 4

12

d) II y IV e) Todas

d) II y IV e) Todas

5) Si A = {4, {6}, 8, 10, {12, 14}} determina cuántas afirmaciones son verdaderas: I. {12; 14} ∈ A ( ) II. φ ∈ A ( ) III. {4} ⊂ A ( ) IV. {{6}}⊂ A ( ) a) 0 b) 1 c) 3

d) 2 e) 4

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Especialistas en matemática

6) En el conjunto: A = {3;{5};{6;7};8;9;10} determina cuántas afirmaciones son verdaderas. I. {{6, 7}} ⊂ A ( ) II. {3,{5}}∈ A

(

)

III. {6;7}∈ A

(

)

IV. {3}∈ A

(

)

a) 0 b) 1 c) 2 *

10) ¿Cuántos subconjuntos propios tiene (A ∩ B)? a) 4 b) 8 c) 16 *

a) 15 b) 18 c) 21

d) 24 e) 25

Enunciado (problemas 11 y 12) Dados los conjuntos: A = {–1, 0, 2};

d) 3 e) 4

B = {–1, 1, 3, 4}; C = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}

15) Junior en el mes de enero consume carne o pescado. Si 18 días come carne y 15 días pescado, halla cuántos días consume carne y pescado.

Enunciado (problemas 7 y 8) Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4}

11) Halla el cardinal del conjunto “C”.

B = {1, 4, 13, 14}

a) 1 b) 2 c) 3

U = {1, 2, 3, 4, ..., 13, 14, 15}

7) ¿Cuál de los siguientes conjuntos es un subconjunto de (A ∪ B)?

a) 4 b) 5 c) 6 *

8) ¿Cuál de los siguientes conjuntos es un subconjunto de "A – B"? a) {3} b) {2, 4} c) {1, 2, 3}

d) {{3}} e) {1, 2}

Enunciado (problemas 9 y 10)

B = {5, 6, 7} U = {1, 2, 3, 4, ... 15} 9) ¿Cuántos subconjuntos tiene "A – B"? a) 2 b) 8 c) 64

d) 4 e) 32

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d) 5 e) 6

Nivel II

d) 7 e) 3

Enunciado (problemas 13 y 14)

16) Tatiana en el mes de junio sale con Jorge o Lucho. Si 20 días sale con Jorge y 15 días con Lucho y en el día de su cumpleaños (8 de junio) salió con Javier, ¿cuántos días salió con ambos (Lucho y Jorge)?

Dados los conjuntos: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = {3, 5, 7}

a) 5 b) 6 c) 8

d) 4 e) 9

B = {2, 3, 4, 5, 6} 13) Halla la suma de todos los elementos del conjunto "A – B".

Dados los conjuntos: A = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

12) Sea D = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B} Halla n(D).

a) {{5}} d) 7 b) {5, 4} e) {1, 4} c) {12, 13, 14, 15}

*

d) 15 e) 7

14) Halla la suma de todos los elementos del conjunto AC

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

17) En una fiesta de 200 personas se observó que 120 consumieron gaseosa, 140 consumieron ponche y 50 no consumieron ningún tipo de bebida. ¿Cuántas personas consumieron los dos tipos de bebidas? a) 30 b) 90 c) 110

d) 50 e) 70

Sem. 5 / ARITMÉTICA / 2DO. AÑO 13

Especialistas en matemática

18) En una reunión de 200 personas se observa que 150 fuman Hamilton y 80 fuman Malboro y 40 no fuman. ¿Cuántas personas sólo fuman una sola marca de cigarros? a) 80 b) 10 c) 90

d) 70 e) 60

19) En una reunión de 1000 personas se observa que el 75% hablan castellano. ¿Cuántas personas hablan sólo inglés si se sabe que todos hablan al menos uno de los dos idiomas y el 10% hablan ambos idiomas? a) 500 b) 350 c) 150

d) 250 e) 450

20) En un grupo de 1300 personas se observa que el 65 % de las personas leen a Vargas Llosa y el 40 % leen a Víctor Hugo. ¿Cuántas personas leen a los dos autores si el 10 % no lee ninguno de estos autores?

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22) A un grupo de 60 alumnos se les toma examen de Razonamiento Verbal y Razonamiento Matemático con los siguientes datos: 30 aprueban Razonamiento Matemático, 40 aprueban Razonamiento Verbal y 5 desaprueban ambos cursos. ¿Cuántos alumnos aprobaron los dos cursos? a) 25 b) 10 c) 15

d) 5 e) 12

23) De 100 amigos que tengo, 90 juegan nintendo y 60 juegan casino ¿Cuántos juegan ambos juegos si cada uno juega por lo menos alguno de estos entretenimientos? a) 10 b) 40 c) 30

d) 20 e) 50

24) De un grupo de 200 personas que beben INCA KOLA o COCA KOLA, 150 toman INCA KOLA y 80 toman COCA COLA. ¿Cuántas personas toman ambas gaseosas?

26) Si el conjunto ‘‘Z’’ es unitario, halla ‘‘m + n’’. Z = {7 – m ; n + 4 ; 5} a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

27) Si se sabe que el conjunto ‘‘X’’ es unitario, halla ‘‘m – p’’. X = {9 – m ; n + 4 ; 5} a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

28) Si los conjuntos ‘‘M’’ y ‘‘N’’ son unitarios, halla p2 + q2. M = {p + q ; 12} N = {4 ; p – q} a) 79 b) 81 c) 78

d) 80 e) 82

29) Si ‘‘R’’ y ‘‘S’’ son conjuntos unitarios, halla a2 – b2. R = {a + b ; 16} S = {8 ; a – b}

a) 150 b) 195 c) 175

d) 200 e) 250

21) En una reunión donde las personas fuman o beben, se observó que 40 personas fuman y 80 toman. Si se sabe que hay 90 personas en total, ¿cuántas personas sólo fuman? a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

Sem. 5 / ARITMÉTICA / 2DO. AÑO 14

a) 70 b) 40 c) 50

d) 60 e) 30

a) 128 b) 120 c) 150

d) 130 e) 140

25) De una encuesta sobre los hobbies de 150 personas se obtuvo la siguiente información: 25 ven TV, 65 escuchan radio y 80 leen periódico; 10 ven TV y escuchan radio; 30 escuchan radio y leen periódico y 15 ven TV y leen periódico, y 5 realizan los 3 hobbies. ¿Cuántas personas no realizan ninguno de estas 3 actividades? a) 30 b) 20 c) 15

d) 10 e) 25

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Colegio MATH FREDT

30) Dados los conjuntos: A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} B = {1; 3; 5; 7; 9}, halla ‘‘A – B’’. a) {0; 1; 2} b) {0; 2; 4} c) {0; 1}

d) {1; 3; 5} e) {0; 2; 3}

Nivel III

31) Dados los conjuntos: P = {p; a; l; o; m; a} Q = {l; o; m; a; s}, halla ‘‘P ∩ Q’’. a) {s} d) {p; a; l} b) {p; a} e) {m; a; l} c) {l; o; m; a} 32) Dados los conjuntos: M = {m; a; n; u; e; l} N = {s; a; m; u; e; l}, halla ‘‘M ∪ N’’. a) {m; a; s; a; e; l} b) {m; a; n; u} c) {m; a; n; u; e; l; s} d) {e; l} e) {p; a; p; a; n; u; e; l} 33) Dados los conjuntos: A = {p; a; v; o} B = {p; o; l; l; o}, halla ‘‘B – A’’ a) {p; a; l; o} b) {l} c) {l; l; o}

d) {v; o; l; o} e) {p; o}

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Especialistas en matemática

34) De 50 alumnos de un aula: 40 tienen libro de Matemática; y 15, de Matemática y Lenguaje. ¿Cuántos tienen sólo el libro de Lenguaje si todos tienen al menos un libro? a) 10 b) 15 c) 20

d) 28 e) 10

36) De una encuesta realizada a 120 alumnos de una universidad se sabe que 75 estudian, 35 trabajan y 20 estudian y trabajan. ¿Cuántos sólo estudian? a) 30 b) 20 c) 15

d) 55 e) 25

37) Se realiza una encuesta a 140 estudiantes de 1.° de secundaria del colegio ‘‘Trilce’’. Con ella se determina que 81 estudian, 32 ven televisión y 18 estudian y ven televisión. ¿Cuántos sólo ven televisión? a) 63 b) 18 c) 20

(Templo de Ramsés)

d) 25 e) 30

35) De 60 alumnos del colegio ‘‘Trilce’’: 32 tienen computadora; y 12, computadora y celular. ¿Cuántos tienen sólo celular si todos tienen al menos uno de estos objetos? a) 12 b) 20 c) 18

El Templo de Riamsese–Meryamun

Fue construido por Ramsés II e iniciado posiblemente a principios de su reinado. El templo se encontraba totalmente recubierto por la arena hasta el año 1813 cuando J.L. Burckhardt encontró el busto de uno de los colosos. En 1815 Belzoni, después de quitar gran cantidad de arena, descubrió la puerta de acceso. Entre 1964 y 1968 fue desmontado y trasladado de su emplazamiento original, unos 210 metros más allá del río y 65 metros más arriba, como consecuencia de las obras realizadas en la construcción de la gran presa de Asuán.

d) 14 e) 45

Sem. 5 / ARITMÉTICA / 2DO. AÑO 15

Especialistas en matemática

38) En una fiesta donde asistieron 70 personas se sabe que 36 gustan bailar salsa; 42 gustan de bailar rock. ¿Cuántas personas no gustan de bailar si se sabe que 25 personas gustan de ambas músicas? a) 11 b) 25 c) 15

d) 17 e) 34

39) De 85 personas 35 gustan de natación y 25 gustan de atletismo. ¿Cuántas personas sólo gustan de natación si se sabe que 10 personas gustan de ambos deportes? a) 25 b) 10 c) 15

d) 20 e) 30

40) Si "Z" es un conjunto unitario, halla a + b. Z = {22 - a; b + 8; 18} a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

41) Si los conjuntos P y Q son unitarios, halla r.s P = {r + s ; 18} Q = {6 ; r – s} a) 69 b) 70 c) 48

d) 74 e) 72

42) Sean los conjuntos: M = {0; 1; 3; 5; 7; 9} N = {2; 3; 4; 6; 7; 8}, entonces halla M ∩ N. a) {3; 7} b) {0; 1; 3} c) {1; 3; 5}

d) {3; 7; 9} e) {2; 4; 9; 15}

Sem. 5 / ARITMÉTICA / 2DO. AÑO 16

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43) Sean los conjuntos: S = {1; 3; 5; 7; 9; 15} T = {2; 4; 9; 11; 13; 15}, entonces halla ‘‘S – T’’. a) {2; 4; 11; 13} b) {1; 3; 5; 7} c) {1; 3} d) {2; 4} e) {2; 4; 9; 15}

44) Se realizó una encuesta a 110 niños y les preguntaron qué le gustaría de regalo y produjo los siguientes datos: 60 niños dijeron juguetes y 42 dijeron ropa. ¿Cuántos niños gustan como regalo sólo juguetes si se sabe que 12 niños gustan de juguetes y ropa? a) 48 b) 12 c) 30

a) 7 b) 5 c) 11

d) 20 e) 18

48) ¿Cuántos subconjuntos tiene N? N = {1; {2; 2}} a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

49) ¿Cuántos subconjuntos tiene N? N={a; b; c; d } a) 14 b) 16 c) 12

d) 10 e) 20

d) 20 e) 26

45) De un grupo de 150 jóvenes se sabe que 85 gustan de ciencias y 60 gustan de letras. Si 15 jóvenes gustan de ciencias y letras, ¿cuántos jóvenes no gustan de ciencias ni de letras? a) 70 b) 15 c) 45

47) Si los conjuntos A y B son unitarios, calcula a + b + c. A = {3a + 5; 17; 4b – 3} B = {4a – b; c}

50) Para dos conjuntos A y B se cumple que: n(A–B) = 7 ; n(B∩A) = 3 n(A∪B) = 15, halla n(A).n(B) a) 20 b) 40 c) 80

d) 60 e) 70

d) 20 e) 30

46) De un grupo de 90 personas se sabe que 35 gustan de café, 20 de té y 25 de leche. Si 5 gustan de café, leche y té y 10 gustan de café y té; 8 gustan de té y leche; 9 gustan de café y leche, ¿cuántos sólo de cafe? a) 4 b) 7 c) 21

d) 20 e) 13

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Especialistas en matemática

Numeración 1. Numeración Decimal Llamado también décuplo, porque usa base 10. Para representar cualquier número de este sistema de numeración se pueden utilizar hasta 10 cifras, guarismos o dígitos, y son: 1. Halla el valor de "n" en 213(n) = 81

Ejemplos: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 123 ó 123(10) ⇒ no usual La lectura normal: ciento veintitrés unidades.

Resolución: 2n2 + 1n +3 = 81 ∴ n=6

REPRESENTACIÓN CON LETRAS: 2. Si ab = 3a + 3b, halla b - a.

Numeral de 1 cifra : a ; b Numeral de 2 cifras : ab ; xx Numeral de 3 cifras : abc; aba; n(n+1)(n+2) Numeral mínimo de 2 cifras: Numeral máximo de 3 cifras: Numeral máximo de 3 cifras distintas: Numeral mínimo de 3 cifras significativas :

Resolución: 10a + b =3b+3a 7a = 2b ∴ b-a=5

10 999 987 111

Numeral formado por 6 sietes: 777777 Numeral formado por 40 sietes:777... (40 cifras) Numeral formado por 30 cincos:55 ...... 5 30

3. Transforma a base 10. Resolución: 1235

Observación «Cifras significativas»: son todas, excepto el cero.

2. Descomposición Polinómica

Descomponiendo 1.52 + 2.51 + 3 polinómicamente 38

4. Halla el valor de "a", en 3a4(7)=186 Resolución: 3.72 + 3.71 + 4 = 186 ∴a = 5

ab = 10 a + b abc = 100 a + 10b + c abcd = 1000 a + 100b + 10c + d abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e Por grupos: (0 = cero) abcd = abc0 + d = 10 (abc) + d abcd = ab00 + cd = 100 (ab) + cd abcdef = ab0000 + cd00 + ef = 104(ab) + 102(cd) + ef abcdef = abc000 + def = 1000 (abc) + def abcdef = a00000 + bcd00 + ef = 105a + 100 (bcd) + ef abab = ab00 + ab = 100 (ab) + ab = 101 (ab) ababab = 10101 . ab abababab = 1010101 . ab MATH FREDT INGENIERIAS

5. Si se sabe que los numerales b45(8); aaa(b) ; 25(a) están correctamente escritos, halla el valor de "a + b". Resolución: 8>b>a>5 ∴ a + b = 13

Sem. 5 / ARITMÉTICA / 2DO. AÑO 17

Especialistas en matemática

6) ¿A qué es igual mn + mp + mm + nm + np + nn + pm + pn + pp ?

Nivel I

1) Si ab = 8 (a + b) , calcula a . b. a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) 14

2) Si un número de 2 cifras es igual a 5 veces la cifra de unidades, calcula la suma de sus cifras. a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

3) Un número de 2 cifras es igual a 7 veces su cifra de primer orden. Calcula la suma de sus cifras. a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

d) 15 e) 18

5) ¿A qué es igual ab + ac + ba + bc + ca + cb? a) 8(a+b+c) b) 9(a+b+c) c) 12(a+b+c) d) 11(a+b+c) e) 22(a+b+c)

Sem. 5 / ARITMÉTICA / 2DO. AÑO 18

a) 11(m+n+p) b) 22(m+n+p) c) 33(m+n+p) d) 44(m+n+p) e) 55(m+n+p)

d) 6 e) 7

8) Si a57 + 2aa + a41 es igual a 9a1, calcula a. a) 1 b) 2 c) 3

d) 7 e) 8

13) Si ab00 + ababa + ab = 2828, halla a x b.

7) Si 2a + a2 + 1a2 = 2a1, calcula a. a) 3 b) 4 c) 5

12) Si a0b+b0a+aaa+ bbb = 1060, halla a + b. a) 4 b) 5 c) 6

d) 4 e) 5

a) 8 b) 6 c) 4

d) 10 e) 12

14) Si mn00+mnmn+mn0+mn000 = 21798, halla m x n. a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 12

15) Si aba = a99 – ab, calcula a+b. 9) Si ab + 5a + 2b = 8 (a +b), halla a x b.

4) Calcula el producto de las 2 cifras de un número que sea igual a 9 veces la suma de sus cifras. a) 8 b) 9 c) 12

Colegio MATH FREDT

a) 42 b) 36 c) 35

d) 25 e) 48

d) 25 e) 28

11) Si m0m+n0n+mmm+nnn= 1696, halla m + n. a) 6 b) 7 c) 8

d) 11 e) 15

Nivel II

10) Si mn + 8m + 4n = 9 (m+n), halla m x n. a) 27 b) 36 c) 45

a) 5 b) 6 c) 10

d) 9 e) 10

16) Si mnp - pnm =297, calcula m - p. a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

17) Si abc – cba = 495, y además a + c = 9, calcula el máximo valor de a.b.c a) 63 b) 90 c) 108

d) 112 e) 126

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

18) Si 1(b+3)x1b=208, calcula b2+1. a) 2 b) 5 c) 10

d) 17 e) 26

19) Si 1a x 1(a–2)=255, calcula a2 + 1. a) 50 b) 37 c) 65

d) 26 e) 17

20) Calcula a + b si 5ab = a) 4 b) 7 c) 9

27 . ab 2

d) 11 e) 13

21) Si 5ab = 23 . ab, calcula a + b. 2 a) 8 b) 9 c) 10 22) Si ab = a) 7 b) 8 c) 9

23) Si mn = a) 1 b) 2 c) 3

d) 11 e) 12

1 (1ab), calcula a + b. 5 d) 10 e) 11

2 (3mn), calcula n - m. 27 d) 4 e) 5

24) Si ab0 = 70 . b, calcula a + b. a) 3 b) 5 c) 7

d) 8 e) 9

25) Si abc=aa+bb+ cc, calcula a.b.c a) 126 b) 64 c) 108

26) De los enunciados, indica el o los numerales mal escritos. I) 28(3) III) 1111(9) II) 126(5) IV) 961(11) a) IV b) I y II c) II y IV

d) III y II e) III

27) Indica el o los numerales mal escritos de los siguientes enunciados: I) 104(3) III) 456(7) II) 999(9) IV) 1088(9) a) IV y I b) II y III c) IV

d) I y II e) III y IV

28) ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos? I) ab2(8) I)(10)(11)7(20) a) 3 y 3 b) 3 y 5 c) 8 y 3

d) 8 y 5 e) 3 y 4

29) ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos? I) 4(12)8(13)

II)7(16)(13)6(20)

a) 4 y 6 b) 4 y 8 c) 6 y 8

d) 3 y 4 e) 3 y 6

30) Indica qué números están mal escritos. I) 104(3) II)806(9) III)aba (b+1) , b > a > 0 a) II y I b) I c) III

Cuadro de Numeración Romana 1 5 10 50 100 500 1000

I V X L C D M

El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes hacia el siglo III a.C. En aquella época, los guarismos 1, 4 y 6 se escribían de forma casi igual a los que hoy se usan. La numeración hindú pasó al mundo árabe alrededor del siglo VII u VIII d.C. La primera referencia escrita del uso de este tipo de numeración en Europa data del año 976.

El Taj Mahal fue construido en 1631 por el emperador de Mughal.

d) II y III e) I y III

d) 96 e) 72

MATH FREDT INGENIERIAS

Sem. 5 / ARITMÉTICA / 2DO. AÑO 19

Especialistas en matemática

Nivel III

36) ¿Cuánto suman todos los posibles valores de ‘‘a’’ ? a234(5)

31) De los enunciados, indica los números mal escritos. I) c34(6)( c > 6 ) II) 483(9) III) 12345 (4) a) II b) I c) II y III

d) I y II e) I y III

32) ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números, si están bien escritos? I) ab2(8) II)(10)(11)84(13) a) 4 y 8 b) 3 y 8 c) 3 y 4

d) 3 y 3 e) 4 y 4

d) 3 y 5 e) 5 y 5

34) Indica si es verdadero (V) o falso (F). I) 24(5) < 23(6) ( ) II) 30(9) > 27 ( ) III) 23(7) > 21(9) ( ) a) VVF b) FFV c) VFF

d) FVV e) FFF

35) Indica si es verdadero (V) o falso (F). I) 32(6) < 33(7) ( ) II) 43(5) > 44(6) ( ) III) 71(8) > 72(7) ( ) a) VFV b) VVF c) FFF

d) FFV e) VVV

Sem. 5 / ARITMÉTICA / 2DO. AÑO 20

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

37) ¿Cuánto suman todos los posibles valores de ‘‘c’’ ? 345c(6) a) 11 b) 13 c) 15

d) 17 e) 19

d) 4 e) 6

39) Si a > 1 y los siguientes números están bien escritos, halla ‘‘a+ b+ c+d’’. 2a(b) ; b3(c) ; 3c2(d) ; d1(6) a) 14 b) 12 c) 16

d) 11 e) 10

40) ¿Cuánto suman todos los posibles valores de ‘‘m’’? 72m13(8) a) 21 b) 25 c) 23

d) 28 e) 26

41) Halla la suma de todos los posibles valores de ‘‘d’’. 45d6(7) a) 28 b) 20 c) 21

42) Halla el valor de ‘‘a’’ si: a7(8) = a3(9) a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

43) Halla el valor de ‘‘b’’ si: b3(6) = b4(5) a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

44) Halla ‘‘y’’ si: 31(y) + 23(y) = 54(6)

38) Halla los valores de a, b, c y d si los siguientes números están bien escritos. Da como respuesta la suma de ellos. a1(b) ; b1(d) ; 2d3(c) ; c1(5) a) 1 b) 10 c) 7

33) Si los números están bien escritos, indica cuántas cifras tienen. I) 68(b-1)4(9) II) 34567(8) a) 4 y 5 b) 4 y 6 c) 3 y 6

Colegio MATH FREDT

d) 25 e) 23

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

45) Halla ‘‘z’’ si: 21(z)+35(z) = 36 a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

46) Ordena de mayor a menor los siguientes números: I) 34(8) II) 45(6) III)1101(2) a) II, I y III b) I, II y III c) I, III y II

d) II, III y I e) III, I y II

47) Ordena de mayor a menor los siguientes números: I) 44(6) II) 41(5) III)43(7) a) I, II y III b) I, III y II c) II, I y III

d) III, I y II e) III, II y I

48) ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos? I) ab34(8) II) 7xy(9) III) 12(ab)ab(11) a) 4, 3 y 3 b) 4, 3 y 4 c) 4, 3 y 5

d) 4, 4 y 4 e) 4, 4 y 5

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

Paralelogramos Definición Es un cuadrilátero de lados paralelos dos a dos. B

Los constantes desbordes del río Nilo fomentaron el desarrollo de la Geometría.

β

α

A

C

α

β

C. ROMBO Es un cuadrilátero de lados iguales, sus diagonales se bisecan dos a dos.

D

Si: AB // CD y BC // AD ⇒ ABCD es un paralelogramo. A. CUADRADO Es un cuadrilátero de lados iguales, sus ángulos son iguales, sus diagonales también son iguales. B

45°

C

45°

45°

L

L

L

Para Pensar

L

a) ¿Un cuadrado es un rectángulo? _________________________ _________________________ _________________________

45° D. PARALELOGRAMO O ROMBOIDE

45° A

45° 45°

45°

B D a

A

Es un cuadrilátero de lados paralelos, sus ángulo miden 90º c/u. b α a α b

MATH FREDT INGENIERIAS

C

α

β

a β

α

B. RECTÁNGULO

a

b

b

D

b) ¿Un rombo es un cuadrado? _________________________ _________________________ _________________________ c) ¿Un rectángulo es un cuadrado? _________________________ _________________________ _________________________ d) En una caja hay 40 cuadrados y 50 rombos. ¿Cuántos paralelogramos hay en total? _________________________ _________________________ _________________________

Sem. 5 / GEOMETRÍA / 2DO. AÑO 21

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

5)

Nivel I 1)

Calcula x si ABCD es un paralelogramo. C B 60° 2x

A

b) 20° e) 50°

A a) 12 d) 15 6)

b) 20° e) 30°

Si ABCD es un cuadrado, calcula x. B C

a) 1 d) 4 7)

a) 20 d) 35

x - 10 b) 25 e) 38

D c) 30

Sem. 5 / GEOMETRÍA / 2DO. AÑO 22

a) 10 d) 40

c) 110°

15

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

D c) 5

b) 2 e) 5

D A

22

c) 3 a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

D c) 4

11) Si ABCD es un romboide, calcula x+y. 20 B C 30

A

Si ABCD es un cuadrado, calcula x. B C

A

x+10

Si ABCD es un rectángulo, calcula x. 60 B C

D b) 100° e) 130°

2x+10

10) Si ABCD es un cuadrado, calcula x. B C

c) 22°

α+50°

a) 90° d) 120°

A c) 14

x2-3

Si ABCD es un romboide, calcula α. B C 30°

A

D

12 - x

D

a) 15° d) 25°

4)

b) 13 e) 16

Si ABCD es un romboide, calcula α. B C 45° 3α

3)

15+x

c) 30°

A A

9) Si ABCD es un rectángulo, calcula x. 25 - x B C

2x

D

a) 10° d) 40° 2)

Si ABCD es uncuadrado, calcula x. B C

8)

D

x+30 b) 20 e) 45

D b) 2 e) 5

c) 3

c) 20

x+10

B

C

4y

15

A

b) 15 e) 25

12) Si ABCD es un romboide, calcula x+y.

C

3x

D

3y -10 a) 10 d) 22

Si ABCD es un rectángulo, calcula x.

a) 1 d) 4

A

c) 30

B

6x

A

60 2x-10

a) 20 d) 35

b) 25 e) 40

D c) 30

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

13) Si ABCD es un cuadrado, calcula x+y B

C y

18) Si el perímetro del rectángulo ABCD es 56u, calcula la diagonal AC. C B

x A a) 135° d) 150°

3n D

b) 145° e) 140°

c) 120°

14) Si la diagonal de un cuadrado mide 8 2u, calcula el perímetro de dicho cuadrado. a) 32 2 u b) 24 u d) 32 u e) 36 u

A

a) 12 cm b) 16 cm c) 25 cm d) 30 cm e) 20 cm 19) Halla α en el rectángulo mostrado. B C

a) 45° d) 56°

32°

D c) 64°

b) 50° e) 72°

20) Calcula θ+β en el rectángulo ABCD mostrado. C B β

a) 50 m d) 64 m

b) 48 m e) 60 m

c) 52 m

2a A a) 6 cm b) 8 cm d) 10 cm e) 9 cm

a) 60° d) 58°

b) 64° e) 96°

D c) 12 cm

c) 4 cm

24) Halla α si el perímetro del paralelogramo mostrado es 36 cm y DH=4cm. C

α A

10

a) 53° d) 30°

H

D

b) 45° e) 60°

c) 37°

B

c) 72°

C

θ A

10

H

D

C

B x

D

A a) 38° d) 36°

a) 143° d) 150°

b) 24° e) 25°

c) 32°

22) Halla α en el rectángulo ABCD mostrado. B C 36° α

a) 24° d) 36°

b) 135° e) 127°

c) 120°

26) Halla x en el paralelogramo ABCD. B

A

MATH FREDT INGENIERIAS

b) 5 cm e) 8 cm

D

21) Halla x si ABCD es un rectángulo. 64°

17) Halla a si el perímetro del rectángulo ABCD es 100 cm. 3a C B

a) 6 cm d) 3 cm

25) Calcula θ si el perímetro del paralelogramo mostrado es 30cm y DH=3 cm.

24°

A

16) Calcula el perímetro de un rectángulo cuyos lados miden 16 m y 10 m.

D

A

B

θ Nivel II

2a

α A

b) 20 2 cm d) 40 2 cm

D

4n

c) 28 u

15) Halla el perímetro de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm. a) 20 cm c) 40 cm e) 36 cm

23) Si el paralelogramo mostrado tiene un perímetro de 84 cm, calcula a. 5a B C

C 7x

A

2x

a) 20° d) 16°

D b) 18° e) 24°

c) 15°

D b) 72° e) 64°

c) 48°

Sem. 5 / GEOMETRÍA / 2DO. AÑO 23

Especialistas en matemática

Colegio MATH FREDT

Movimiento Vertical de Caída Libre Caída Libre Es el movimiento de aproximación de un cuerpo a la tierra por acción de la fuerza de la gravedad sin considerar la resistencia del aire.

Vf = Vi + gt

Interesante

h = Vit + 1 gt2 2 Vf2 = Vi2 + 2gh

Siendo: (+) : Cuando el cuerpo baja. (-) : Cuando el cuerpo sube. La aceleración debida a la gravedad (g) dirigida al centro de la tierra tiene un valor constante aproximado de: (latitud 45º)

g = 9,8 m/s2 Como el movimiento de Caída Libre de un cuerpo se realiza con aceleración constante, entonces este movimiento es un caso particular de MRUV por tanto se usa las mismas fórmulas; donde la aceleración a = g y las distancias d = h (altura).

Galileo Galilei (1564 - 1642) Gran físico y astrónomo italiano que por primera vez empleó el método experimental de investigación en la ciencia. Estudió las Leyes de la Caída de los cuerpos y del movimiento de estos por un plano inclinado.

Todo cuerpo cerca de la superficie de la Tierra cae al suelo desde que pierde su apoyo. La causa de este movimiento es la acción de la gravedad. La caída de los cuerpos, es un problema histórico desde tiempos remotos, muchos hombres han tratado de encontrar las leyes del movimiento de los cuerpos. Aristóteles, el más famoso filósofo griego no tuvo éxito en su empeño. En cambio Galileo Galilei, veinte siglos después, descubrió la Ley de la Caída de los Cuerpos, es esta ley la que conocemos actualmente y que estudiaremos en este capítulo.

Sem. 5 / FÍSICA / 2DO. AÑO 24

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

CARACTERÍSTICAS:

VB =

♣ En la altura máxima, la velocidad es nula.

VA = 50m/s A

♣ La rapidez de subida es igual a la rapidez de bajada en un mismo nivel horizontal.

VC = C

TIEMPO

AD

♣ El tiempo de subida y de bajada son iguales para un mismo nivel horizontal.

=

h = 55 m D

V=0 5m 1s

V = 10m/s

15 m 1s V = 20m/s

1s

25 m V = 30m/s

1s

35 m V = 40m/s

1s V = 50m/s

45 m

R E C U É R D A L O

A partir de 4 g para un piloto sentado, aparecen los desarreglos fisiológicos, que se manifiestan por la presencia de un velo negro o rojo en los ojos, debido a la desaparición o acumulación de sangre en la cabeza.

1s V = 60m/s

MATH FREDT INGENIERIAS

55 m

Sem. 5 / FÍSICA / 2DO. AÑO 25

Especialistas en matemática

Nivel I 1) Un cuerpo se abandona desde cierta altura. Halla su velocidad luego de 3 segundos (g=10m/s2). a) 0 b) 10 m/s c) 20 m/s

d) 30 m/s e) 40 m/s

2) Un cuerpo se deja caer desde un acantilado. Halla la velocidad de dicho cuerpo luego de 5 segundos. a) 10 m/s b) 20 m/s c) 50 m/s

d) 40 m/s e) 30 m/s

3) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. ¿Cuál fue el tiempo de subida? a) 1 s b) 3 s c) 2 s

d) 5 s e) 4 s

4) Un cuerpo se lanza hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. ¿En qué tiempo regresa al punto de partida? a) 2 s b) 6 s c) 3 s

d) 8 s e) 5 s

5) Desde lo alto de un edificio se deja caer un cuerpo, llegando al suelo en 4 segundos. Halla la altura del edificio. a) 80 m b) 50 m c) 60 m

d) 40 m e) 70 m

Sem. 5 / FÍSICA / 2DO. AÑO 26

Colegio MATH FREDT

6) Se deja caer un cuerpo desde lo alto de un edificio. Si demora 5 segundos en llegar al piso, calcula la altura del edificio. a) 105 m b) 125 m c) 80 m

d) 45 m e) 150 m

7) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. Calcula su velocidad luego de 4 s. a) 30 m/s b) 20 m/s c) 10 m/s

d) 15 m/s e) 0

8) Se deja caer un cuerpo de 2 kg en un lugar donde la resistencia del aire es nula, empleando 6 s en llegar al piso. Calcula desde qué altura se dejó caer (g= 10 m/s2). a) 125 m b) 180 m c) 185 m

d) 200 m e) N.A.

9) Un cuerpo es dejado caer desde 125 m de altura con respecto al piso. ¿Qué velocidad tendrá en el instante del impacto? a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s

d) 40 m/s e) 50 m/s

10) Un cuerpo es dejado caer desde 80 m de altura con respecto al piso. ¿Qué velocidad tendrá 35 m antes de impactar el piso? (g= 10 m/s2) a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s

d) 40 m/s e) 50 m/s

11) Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con velocidad de 20 m/s. Calcula el tiempo que demora en alcanzar una velocidad de 60 m/s (g= 10 m/s2). a) 6 s b) 7 s c) 8 s

d) 9 s e) 10 s

12) U n p r o y e c t i l e s l a n z a d o verticalmente hacia abajo y luego de recorrer 60 m duplica su velocidad. Calcula el tiempo empleado (g= 10 m/s2). a) 1 s b) 2 s c) 3 s

d) 4 s e) 5 s

13) U n a m o n e d a s e l a n z a verticalmente hacia abajo con una velocidad de 15 m/s en caída libre. ¿Qué espacio recorre la moneda en el quinto segundo de su movimiento? a) 20 m b) 30 m c) 50 m

d) 60 m e) N.A.

MATH FREDT INGENIERIAS

Colegio MATH FREDT

Especialistas en matemática

14) Desde un edificio de 150 m de altura se suelta un objeto “A” y simultáneamente desde el piso se lanza hacia arrriba un objeto “B” con cierta rapidez. Si luego de 3s están separados 60 m, determina con qué rapidez se lanzó “B”. a) 30 m/s b) 25 m/s c) 20 m/s

d) 15 m/s e) 10 m/s

a) 35 m/s b) 45 m/s c) 55 m/s

d) 65 m/s e) 75 m/s

50m/s

a) 6 s b) 10 s c) 15 s d) 4 s e) 24 s

40m/s

60m/s

21) Un cuerpo es dejado caer desde 125 metros de altura con respecto al piso. ¿Qué velocidad tendrá en el instante del impacto?

Nivel II

16) Del ejercicio anterior, ¿cuál será el valor de la velocidad 6 segundos después de haber lanzado el cuerpo? a) 0 b) 50 m/s c) 20 m/s

a) 180 m b) 200 m c) 205 m

30m/s

h

d) 50 m/s e) 80 m/s

d) 208 m e) 210 m

2s

23) Desde la azotea de un edifio se lanza hacia arriba un objeto “A” con una rapidez de 30 m/s y simultáneamente se suelta otro objeto “B” del mismo punto. Determina la altura que están separados luego de 3 s. (g=10m/s2)

18) De la figura, halla “h”.

h

a) 20 m/s b) 35 m/s c) 40 m/s

22) Desde la torre se lanza hacia arriba un objeto con una rapidez de 20 m/s alcanzando una altura de 220 m respecto del piso. ¿Qué altura tiene la torre?

d) 10 m/s e) 40 m/s

17) De la figura, halla “h”.

a) 75 m b) 105 m c) 80 m d) 90 m e) 125 m

a) 5 s b) 30 s c) 15 s d) 10 s e) 50 s

20) De la figura, halla el tiempo que estuvo en el aire la esfera.

15) Desde una torre de 45 m de altura se lanza hacia arriba un objeto con una rapidez de 40 m/s. Determina la rapidez con la que llega al piso (g= 10 m/s2).

a) 35 m b) 40 m c) 105 m d) 15 m e) 80 m

19) En la figura, halla el tiempo de vuelo.

24) Un niño lanza hacia arriba y desde el piso, una pelota con una rapidez de 20 m/s e inicia un MRU con 5 m/s. Detemina la distancia entre la pelota y el niño, después de 3 s de haber lanzado la pelota. a) 15 m b) 15 √2 m c) 20 m

d) 20√2 m e) 30√2 m

25) Desde la azotea de un edificio de 120 m se suelta una objeto “A” y simultáneamente desde el piso, se lanza otro objeto “B” hacia arriba con una rapidez de 30 m/s. Determina la altura que están separados luego de 3 s. (g=10m/s2) a) 10 m b) 20 m c) 30 m

d) 40 m e) 50 m

26) Desde la azotea de un edificio se lanza hacia abajo un objeto “A” con V= 10 m/s y simultáneamente desde el piso, se lanza hacia arriba otro objeto “B” con V= 40 m/s. Si luego de 4 s dichos objetos se encuentran, determina la altura del edificio (g=10m/s2). a) 150 m b) 200 m c) 220 m

d) 230 m e) 240 m

27) Desde la azotea de un edificio de 35 m de altura se lanza hacia arriba un objeto con Vo= 30 m/s. Determina la rapidez con la que llega al piso. a) 30 m/s b) 40 m/s c) 45 m/s

d) 50 m/s e) 55 m/s

3s

40m/s

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a) 45 m b) 60 m c) 80 m

d) 90 m e) 100 m

Sem. 5 / FÍSICA / 2DO. AÑO 27

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Tabla Periódica I b. William Proust (inglés 1815) “Múltiplos de hidrógeno” Los elementos químicos estaban constituidos únicamente por grupos de átomos de hidrógeno. Ejemplos:

Moissan en su laboratorio Henri Moissan (1852 - 1907) aparece aquí en su laboratorio en París. Moissan consiguió obtener flúor, un gas amarillento. En su experimento mantenía separados los gases provenientes de los dos electrodos y construía todo el aparato de platino porque el ácido fluorhídrico ataca el vidrio. Al igual que otros científicos que intentaron aislar este peligroso elemento, Moissan sufrió los efectos venenosos del ácido fluorhídrico y el flúor gaseoso.

* * * *

H : Generador He = H +H Li = H +H + H Be = H +H + H + H

c. Juan Wolfang Dobereiner (Alemán 1829) “Tríadas” * Señaló por primera vez la existencia de una relación significativa entre las propiedades de los elementos y sus respectivas masas atómicas relativas. * Clasifica a los elementos en grupos de a 3 (tríadas). * Ordena de forma creciente a su peso atómico. * El peso atómico central era el promedio de los pesos atómicos de los otros dos. * Estableció 20 tríadas. Ejemplos:

Li

7

Na

23

K

39

Ca

40

“Electropositivos y electronegativos”

Sr

88

Clasificó los elementos en: * Electropositivos * Electronegativos

Ba

137

HISTORIA a. Jons Jacob Berzelius (sueco 1813)

Sem. 5 / QUÍMICA / 2DO. AÑO 28

→ Na= 7+39 = 46 =23 2 2

→ Sr= 40+137 = 177 =88,5 2 2

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d. Jhon A. Newlands (inglés 1865) “Octavas” * Descubrió una sorprendente regularidad al ordenar los elementos entonces conocidos según el orden creciente de sus respectivas masas atómicas. * Clasifica a los elementos en grupos de a 7, de tal manera que el octavo elemento tenía propiedades similares al primero (Octavas). * Ordena los electrones en forma creciente a su peso atómico. Ejemplos: 1.°

2.°

3.°

4.°

5.°

6.°

7.°

1. grupo → Li

Be

B

C

N

O

F

2.° grupo → Na 8.°

Mg 9.°

Al 10.°

Si 11.°

P 12.°

S 13.°

Cl 14.°

er

e. Dimitri I. Mendeléiev (ruso 1869) y Lothar Meyer (inglés 1869) Mendeléiev: “Padre de la Tabla” * Realiza una tabla y ordena en forma más completa a los elementos basado en las propiedades químicas, como función de la masa atómica. * Meyer propuso una clasificación análoga a la de Mendeléiev, considerando las propiedades físicas también como función de las masas atómicas relativas. * Mendeléiev clasifica los 63 elementos en base a 7 períodos y 8 grupos. “Las propiedades de los elementos químicos están en función periódica de sus pesos atómicos” (orden creciente de sus pesos atómicos). f. Henry G. Moseley (inglés 1814) “Ley periódica moderna” * Experimentando con Rayos X estableció que los números atómicos son la clave para las relaciones periódicas de los elementos. “Ley periódica moderna”. “Las propiedades de los elementos y sus compuestos son funciones periódicas del número atómico de los elementos”. “La tabla periódica actual fue ideada por Alfred Werner (1927)”. “La tabla periódica actual de los elementos químicos, se ordena en forma creciente a sus números atómicos (Z)”. “El libre acceso al edificio de la ciencia está permitido no sólo a quienes idearon el proyecto, trazaron los dibujos, prepararon los materiales o colocaron los ladrillos, sino también a todos aquellos que están ansiosos por conocer íntimamente el plan y no desean vivir en sus criptas”.

Aunque algunos elementos como el oro, plata, estaño, cobre, plomo y mercurio; ya eran conocidos desde la antigüedad, el primer descubrimiento científico de un elemento ocurrió en 1669 cuando Henning Brand descubrió el fósforo. Un requisito previo necesario a la construcción de la tabla periódica era el descubrimiento de un número suficiente de elementos individuales, que hiciera posible encontrar alguna pauta en comportamiento químico y sus propiedades. Durante las siguientes 2 centurias, se fue adquiriendo un gran conocimiento sobre estas propiedades así como descubriendo muchos nuevos elementos. El descubrimiento de un gran número de nuevos elementos, así como el estudio de sus propiedades pusieron de manifiesto algunas semejanzas entre ellos, lo que aumentó el interés de los químicos por buscar algún tipo de clasificación.

Dimitri Mendeléiev (1834-1907)

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Sem. 5 / QUÍMICA / 2DO. AÑO 29

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ESTRUCTURA DE LA TABLA VIIIA

IA IIA IIIA IVA VA VIA VIIA

1 2 3 4 5 6 7

IIIB IVB VB VIB VIIB

s

Elementos representativos: Grupo A

IB IIB

VIIIB

• Período: última capa o nivel (coeficiente mayor). • Grupo: electrones de la última capa (números romanos). • Terminan: subniveles “s” y “p”. p

d

Ejemplos:

6 7 f * Descripción a. Los elementos se hallan distribuidos: * En 7 filas horizontales (períodos) * En 18 columnas o familias; 8 grupos A y 8 grupos B. b. Los períodos nos indican el último nivel de energía del elemento: existen 3 periodos cortos, 3 largos y 1 incompleto, y además las propiedades son diferentes, salvo en Lantánidos y Actínidos. c. Los grupos o familias son columnas, debido a que poseen los mismos electrones de valencia y nos indica el número de electrones en la última capa. Estos son: * Grupo A: Elementos representativos

IA

e¯ Sub niveles valencia

Familias Metales alcalinos

Ejemplos de elementos Na, K, Rb, Cs, ...

2

Be, Mg, Ca, Sr, ...

En general: Terminan:

IIIA

Boroides (Térreos)

p1

3

B, Al, Ga, ...

2

4

C, Si, Ge, ...

IVA

Carbonoides

p

VA

Nitrogenoides

p3

5

N, P, As, ...

VIA

Anfígenos o calcógenos

p4

6

VIIA

Halógenos

p5 6

p

........... s2

d1 → IIIB

O, S, Se, ...

........... s2

d2 → IVB

7

F, Cl, Br, I, ...

........... s2

d3 → VB

8

He, Ne, Ar, Kr, ...

........... s2

d4 → VIB

........... s2

d5 → VIIB

* Grupo B: Elementos de transición Terminan en subnivel “d”. VIIIB IIIB IVB VB VIB VIIB V

Cr

Mn

Ferromagnéticos

Fe

Co

Ni

IB

IIB

Cu

Zn

Au Ag

Metales de acuñación * En los elementos de transición interna (llamados tierras raras) su configuración electrónica termina en “f”. Sem. 5 / QUÍMICA / 2DO. AÑO 30

Indica a qué período y grupo pertenecen: a) Z=23 b) Z=47

1

s

Ti

• Período: última capa o nivel (coeficiente mayor). • Grupo: se suman: Nº e¯ última capa + Nº e¯ subnivel incompleto. • Terminan: subniveles “d” y “f”.

2

Metales alcalinos térreos

Sc

Elementos de transición: Grupo B

s1

IIA

VIIIA Gases nobles

Indica a qué periodo y grupo pertenecen: a) Z=19 b) Z=34

Ejemplos:

Terminan en subniveles “s” y “p”. Grupos

* Ubicación de un elemento en la tabla periódica

suman 8

........... s2

d6

suman 9

........... s2

d7

suman 10

........... s2

d8

suman 11

........... s2

d9 → IB

suman 12

........... s2

d10 → IIB

*

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* VIIIB (Por cuanto existen 3 casilleros que pertenecen al VIIIB) “Si los elementos químicos tienen afinidad para atraerse unos a otros y forman otros compuestos porque los seres humanos no aprendemos de la belleza de la naturaleza química”.

3. Las octavas de Newlands ordenan los elementos en “sucesiones” de ................. elementos a) 3 en 3 b) 8 en 8 c) 9 en 9

d) 7 en 7 e) 5 en 5

TABLA PERIÓDICA DE LOS ELEMENTOS QUÍMICOS Resolución: Las octavas de Newlands nos dice que los elementos ordenados por sus pesos atómicos cumplen la propiedad de que el octavo elemento tiene características similares al primero por lo tanto están ordenados en sucesiones de 7. clave: d 4. ¿A qué período y grupo de la tabla pertenece un elemento cuyos átomos tienen 81 nucleones y 46 neutrones? a) b) c) d) e)

Cuarto período y grupo IVA Cuarto período y grupo VA Cuarto período y grupo VIIA Cuarto período y grupo VIIB Cuarto período y grupo VB

Resolución: 1. Sea la siguiente tabla de Döbereiner S Se Te M.A. 32 79 __ entonces la masa atómica aproximada del teluro. a) 124 d) 130

b) 126 c) 128 e) 126,7

De las tríadas sabemos: S

Se Te

m.A. 32 79 x y

a) b) c) d) e)

A= número de masa =z+n A= nucleones 81= Z +46 Z =35 Los nucleones= p++n0

I A: ns1 III A: ns2 np1 VII A: ns2 np5 III A: ns2 np3 V A: ns2 np3

Configuramos:

Resolución:

Resolución:

y= x+z 2 a+32 79 = 2

2. ¿Qué analogía es incorrecta?

a z

158 = a + 32 126 = a La masa atómica del teluro es 126 clave: b MATH FREDT INGENIERIAS

Recordamos los grupos de la Tabla Periódica: ns1 = metales alcalinos (IA) ns2 = alcalinos terreos (IIA) ns2 np1 = boroides (IIIA) ns2 np2 = carbonoides (IVA) ns2 np3= nitronenoides (VA) ns2 np4= calcógenos anfígenos (VIA) ns2 np5= halógenos (VIIA) ns2 np6= gases nobles (VIIIA)

35

X= 1s22s22p63s23p64s23d104p5 Cuarto período ns2np5 grupo VIIA clave: c

como observamos la alternativa incorrecta es: IIIA: ns2 np3 clave: d Sem. 5 / QUÍMICA / 2DO. AÑO 31

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5. El átomo de un elemento químico presenta 16 orbitales llenos en su configuración electrónica. Determina el grupo de la tabla periódica al cual pertenece. a) IIA d) VIA

b) VA c) IVA e) VII A

Resolución:

Nivel I 1)

ns2 → 1 orbital np6 → 3 orbitales nd10 → 5 orbitales nf14 → 7 orbitales

En la tabla periodica actual (T.P.A.) los elementos se ordenan de acuerdo a su: a) b) c) d) e)

X=1s22s22p63s23p64s23d10

8)

Número de masa Peso molecular Número atómico Peso atómico Número de neutrones

1 1 3 1 3 1 5 15 orbitales llenos

2)

np1 ⇒ np2 ⇒

Si la configuración electrónica (C.E.) de un átomo termina en 3s2, entonces su grupo es: a) IB d) IIIA

np3 ⇒

b) IIA e) IVA

c) IIIB

Es un halógeno: a) Ca d) F

9)

b) Ba e) Kr

c) Na

Si C.E. de un átomo termina en 5p4, entonces pertenece al ...... período. a) 4.º d) 5.º

b) 6.º e) 3.er

c) 1.er

10) Si C.E. de un átomo termina en 3p4, entonces pertenece al ...... período. a) 3.er d) 5.º

b) 2.º e) 6.º

c) 4.º

np4 ⇒ 3) Su configuración termina en ns2np4 grupo VI A clave: d

Indica el número de columnas del bloque “s” en la T.P.A. a) 2 d) 12

4)

32

b) 2 e) 14

c) 10

b) Fe e) Ne

b) He e) Li

a) VIA d) IIIA

c) F

c) Ne

b) IVA e) VA

c) IIA

12) Determina el grupo de un elemento de Z=10. a) VIIA d) IIB

b) VIIIA c) IA e) IIIB

13) Si C.E. de un átomo termina en 6s 2, entonces el elemento pertenece al grupo ..... a) IIA d) IIIB

Es un alcalino: a) Ca d) Ar

Sem. 5 / QUÍMICA / 2DO. AÑO

c) 6

Es un gas noble: a) H d) Al

7)

b) 2 e) 14

Indica el número de columnas del bloque “d” en la T.P.A. a) 6 d) 8

6)

c) 10

Indica el número de columnas del bloque “p” en la T.P.A. a) 4 d) 5

5)

b) 6 e) 14

11) Determina el grupo de un elemento de Z=6.

b) IIB e) IVB

c) IA

14) La C.E. de un átomo termina en 4s2, entonces es un: a) b) c) d) e)

Boroide Alcalino térreo Gas noble Alcalino Anfígeno

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Especialistas en matemática

15) Los gases nobles pertenecen al grupo: a) IA d) VA

b) VIIA e) IIIA

23) Es un metal líquido a temperatura ambiental:

c) VIIIA

a) F d) O

16) Los calcógenos pertenecen al grupo: b) VIA e) IIIA

b) VIA e) IA

b) IIB e) VA

a) b) c) d) e)

c) IIA

4; 1; 0; -1/2 4; 1; 0; +1/2 4; 1; +1; -1/2 4; 1; +1; +1/2 4; 0; 0; -1/2

Ubica grupo y período de cada elemento. 26)

20

Ca.

b) 4 e) 10

7

N.

15

P.

21) El cuarto período de la T.P.A. posee....... elementos. b) 14 e) 8

c) 16

22) El T.P.A. posee....... períodos y ...... grupos. a) 7; 16 d) 8; 14

b) 7; 18 e) 6; 6

c) 14; 7

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Döbereiner Mendeléiev Meyer Newlands Berzelius

32) La ley de Tríadas fue propuesta por: a) b) c) d) e)

Dalton Mendeléiev Meyer Newlands Döbereiner

a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

c) 30

34) La ley de Octavas fue propuesta por:

c) 4 28)

a) 10 d) 18

a) b) c) d) e)

Peso atómico 16 x 24

c) 6

20) El segundo período de la T.P.A. tiene ....... elementos. b) 8 e) 2

31) Agrupó a los elementos como electropositivos y electronegativos:

Elemento A B C

27)

a) 6 d) 10

Nivel III

33) En la siguiente tríada, halla “x”.

19) El primer período de la T.P.A. tiene ....... elementos. a) 2 d) 8

............................... ............................... ...............................

25) Indica los números cuánticos de un gas noble del cuarto período de energía.

c) VA

18) Los alcalinos térreos pertenecen al grupo: a) IA d) IIIB

Cl.

c) IVA

17) Los halógenos pertenecen al grupo: a) VIIA d) IIA

Ca K 19 Kr 36 6

17

c) Au

24) Ubica el período y el grupo de cada caso:

Nivel II

a) VA d) IA

b) Hg e) He

30)

29)

35

Br.

a) b) c) d) e)

Moseley Döbereiner Newlands Mendeléiev Meyer

35) Las Octavas estaban compuestas por: a) b) c) d) e)

Tres elementos Siete elementos Nueve elementos Cuatro elementos Ocho elementos

Sem. 5 / QUÍMICA / 2DO. AÑO 33

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Resolución de Ecuaciones En matemáticas se trabaja con igualdades. Si son ciertas para algunos valores, se llaman ecuaciones. Otras igualdades que son ciertas siempre, se llaman identidades. Observa:

x+3=7

Para ampliar la comprensión debemos imaginar sobre las cartas los posibles números que hacen coincidir los resultados. 3 + x = 10 x = 10 – 3 x=7

Es una ecuación, pues se verifica únicamente si x = 4. (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 Es una identidad, pues se verifica para cualquier valor de «x».

Las letras que intervienen en una ecuación son las incógnitas y los valores de esas letras son las raíces de la ecuación.

Las ecuaciones Se llama ecuación a aquella igualdad que se satisface para algún o algunos valores asignados a sus incógnitas. Por ejemplo, en una ecuación lineal x + 3 = 7, es una ecuación. La ecuación se verificará sólo cuando x sea 4.

+

=

=

De este modo, al reemplazar las incógnitas por las raíces se tiene una igualdad numérica: x – 1 = 3x – 11 5 – 1 = 3 . 5 – 11 4 = 15 – 11 4 =4 Las ecuaciones se pueden clasificar en enteras, fraccionarias e irracionales. Las enteras son aquellas en que las incógnitas están sometidas a las operaciones de suma, resta y multiplicación:

–

3x + 2 = 5x – 8 Ecuación entera

=

Sem. 5 / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 2DO. AÑO 34

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Las fraccionarias poseen al menos una de sus incógnitas en el denominador.

3 + 2 = 5x – 3 x

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• 5(x + 3)+7=4 (x + 3) + x + 10 ⇒5x+15+7= 4x + 12 + x + 10 5x – 5x = 22 – 22 0=0 Es una ecuación compatible e indeterminada (tiene infinitas soluciones).

• 4(x + 3)+2 = 3(x + 2) – 5 + x ⇒4x + 12 + 2 = 3x + 6 – 5 + x 4x – 4x = 1 – 14 0 = –13 Es una ecuación incompatible (no tiene solución).

Ecuación fraccionaria Las irracionales tienen una incógnita bajo el signo radical: 1. Resuelve 2x + 7 = x + 10 x+3= x–2 Ecuación irracional Las ecuaciones pueden tener una o dos incógnitas y su grado también puede variar.

Clasificación de un sistema de ecuaciones según sus soluciones a) Compatibles: Son aquellos que tienen por lo menos una solución. A su vez éstas se dividen en: Determinadas: Si tienen un número limitado de soluciones. Indeterminadas: Si tienen un número ilimitado de soluciones. b) Incompatibles: Son aquellas que no tienen solución. Ejemplos : • 3x + 5 = 2x + 11 ⇒ x=6

Resolución: Transponiendo términos tenemos:

Recuerda que al transponer los términos, estos cambian de signo.

2x + 7 = x + 10

2x – x = 10 – 7 ∴ x= 3

¡Ah! ... y no olvides que la incógnita debes ubicarla a un solo lado de la igualdad.

2. Resuelve la ecuación: 4x + 3 [2x – 4(x – 2)]= 72 – 6x Resolución: Resolviendo el paréntesis tenemos: 4x + 3 [2x – 4x + 8] = 72 – 6x Eliminando el corchete, se obtiene: 4x + 6x – 12x + 24 = 72 – 6x Transponiendo al primer miembro todos los términos con «x» y al segundo los numéricos tendremos: 4x + 6x – 12x + 6x = 72 – 24 Reduciendo:

4x = 48 ⇒ x =

48 ⇒ ∴ x = 12 4

3. Resuelve la ecuación: (1 + 3x)2 = (5 – x)2 + 4(1 – x) (3 – 2x) Resolución: Resolviendo los paréntesis 1+6x+9x2 = 25 – 10x + x2 + 12 – 20x + 8x2 Transponiendo términos tenemos: 9x2 – x2– 8x2+6x+10x+20x=25+12 – 1 Luego: 36 x = 36

⇒

x=

36 36

∴ x=1

Es una ecuación compatible y determinada (tiene una solución).

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Sem. 5 / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 2DO. AÑO 35

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2x x x +7= + +1 3 2 6

4. Resuelve Resolución:

En primer lugar, efectuamos el M.C.M. a los denominadores: x 7 2x x 1 + = + + 6 1 3 2 1

Así tenemos: x + 42 = 4x + 3x + 6

6 – 1 – 3 – 2 – 1 2 3 – 1 – 3 – 1 – 1 3 1 – 1 – 1 – 1 – 1

Nivel I

42 – 6 = 4x + 3x – x 36

=

6x

P r o c u r a siempre que la variable permanezca con coeficiente positivo.

1)

Resuelve y halla «x2» en: 7x + 23 = 6x + 25 a) 3 d) 1

b) 4 e) 0

c) 2

6 = x ∴ x=6

2)

Luego M.C.M. = 6

5. Resuelve la ecuación:

a) 4 d) 2

x 3(x – 8) = +1 5 2

Resolución:

3)

3(x – 8) x 1 = + 2 5 1

2 1 1

– – –

5 – 1 2 5 – 1 5 1 – 1

Luego: (5)(3)(x–8) = 2x + 10 15(x – 8) = 2x + 10 15x – 120 = 2x + 10

Resuelve la ecuación y halla «3x» en: 2(x + 5) + 30 = 5 (x + 7) b) 5 e) 0

c) 3

Resuelve: 3(x – 3) + 13 = 4x – 1 a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

M.C.M. = 10 4)

Transponiendo términos: 15x – 2x = 10 + 120 13x = 130 130 x = 13 ∴ x = 10

Resuelve la ecuación y halla «xx» en: 5(2x + 7) + 3 = 48 a) 2 d) 3

5)

c) 1

Resuelve: 2(7x + 4) = 8(2x + 3) a) -6 d) -5

6)

b) 0 e) 4

b) -8 e) N.A.

c) -7

Resuelve: a+1 7 1–a – + =6 2 10 5 a) 18 d) 21

Sem. 5 / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 2DO. AÑO 36

b) 19 e) 22

c) 20

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7)

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Halla "2a": 7a + 1 3(a - 1) 2(a + 1) + = 10 10 5 a) 1 d) 4

8)

c) 3

Resuelve la ecuación y halla «aa» en: 7(2a + 3) + 10 = 17 a) 2 d) 8

9)

b) 2 e) 5

b) 4 e) -1

c) 6

b) 0 e) 1

b) 2 e) 5

c) 3

11) Resuelve y halla «xx» en : 7(x–3) –5(x+2)+11(x+1)=19 a) 28 d) 30

b) 27 e) 31

b) 13 e) 6

c) 12

15) Resuelve: 1+a–

c) 29

20) Determina el valor de «x» si: x x x + = +4 5 6 3 a) 60 d) 150

b) 90 e) 75

a 1 2a 1 = + – + 16 6 2 9 3 b) 14 e) 7

c) 15

Nivel II

7 1–x x+1 –6+ = 10 5 2 a) 20 d) -16

b) -12 e) 10

16) Resuelve: 3x – 1–(x+4) –[2(x–3) –3(1–2x)] = –x – 2 a) -1 d) 3/5

b) 2/3 e) 2

a) 12 d) -8

b) 8 e) 9

31 33

a) 33

b)

d) 31

e) 4 33

c)

33 31

7x + 1 2(x+1) 3(x–1) – = 10 5 10

2(m–4)+15m 15m + 7(m–1) +30= 3 21 b) 7 e) N.A.

c) 8

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

19) Resuelve y halla «xx» en:

13) Resuelve: 2a + 4 – 5 = 3(a – 7) a) 18 d) 17

b) 19 e) 6

c) 25/4

2(13x + 1) +4 = 31 x a) 3 d) 1

b) 4 e) 0

c) 2

a) 4/3 d) 10/3

1

=

5 x–

b) 4 e) N.A.

c) 3

24) Resuelve:

3+

a(a – 3) – (a – 4)(a – 7) = 2 11 11 a) 25 d) 4/25

c) -6

23) Resuelve:

17) Resuelve:

a) 6 d) 3

x x –x= –9 2 4

c) 14/5

18) Resuelve:

10 2(a + 1) 9(a – 1) + = 6 3 2

c) 9

22) Resuelve:

1 12) Resuelve:

c) 120

21) Resuelve:

c) 4

10) Resuelve: 11(2x–7)+2(5x–4)– 3(2x–5)= –18 a) 1 d) 4

a) 14 d) 16

a) 13 d) 16

Resuelve: 2(3a – 7) + 5(a + 3) = 23 a) 3 d) 2

14) Resuelve: m m – 2m +9 = 4 2

1 3

3+

b) 2/3 e) 4/5

5 2 1 + 5 15 c) 8/10

25) Halla «x» en: 1+

a) 1 d) 45

2+ x–5=2

b) 2 e) 54

c) 30

c) 20

MATH FREDT INGENIERIAS

Sem. 5 / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 2DO. AÑO 37