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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO “LUIS CABALLERO MEJIAS” DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POST GRADO Asignatura: Teorías de Cola

ECUACIONES DE FLUJO DE JHON. D. C. LITTLE, L  W

SUS APLICACIONES Y VENTAJAS

INTEGRANTES:  Ing. Braulio Arteaga  Lic. José Iván García  Ing. Laura Herrera

Julio 2003

0

ÍNDICE GENERAL Pag.

INTRODUCCIÓN ……………………………………………………………………..02 I. LA FÓRMULA DE LITTLE. DEMOSTRACIÓN…………………………………..04 II. . PROBLEMA DE APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LITTLE…………….11 III. SIMULACIÓN. DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE LITTLE………….16 IV. CONCLUSIONES………………………………………………………………….28 GLOSARIO……………………………………………………………………………..29 BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………..30

1

INTRODUCCIÓN El presente trabajo tiene por finalidad demostrar la Ecuación de Flujo de Jhon D. C. Litlle, sus aplicaciones y ventajas. La ecuación de Flujo de Little data desde el año de 1.961, cuando el matemático Jhon Little presentó un artículo donde se detallaba la teoría de variables aleatorias, las cuales comenzaron a generarse cuando Galileo (1.564-1.642) reflexionó científicamente sobre el juego de azar muy común en la época: el pasadiez. Y continuaron Laplace (1.749-1.827), Gauss (1.777-1.855), Fisher (1.8901962) y muchos otros matemáticos.

En la literatura se conoce como la Ley de Little la vinculación algebraica entre los promedios de las variables aleatorias. Esta relación de tan expresivo significado, posee un rango de aplicaciones impresionante, se adapta a casi cualquier situación en donde los conceptos de tasa o caudal de ingreso y población transitoria generada en consecuencia resulten adecuados para la descripción de un problema.

Existen un conjunto de problemas que aparecen con frecuencia en el ámbito de la administración pública, y también en varias situaciones abstractas, vinculadas con la teoría de probabilidades, con las estadísticas matemáticas y con la investigación de operaciones. Si bien aparentan estar bastante desconectados entre sí, en realidad responde a aun mismo esquema, y tiene una característica común: todo se resuelve con una simple cuenta de multiplicar contenida en la ecuación que responde al nombre de Ley de Little.

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En el presente trabajo se efectúa la deducción matemática de la fórmula de Little, se desarrolla un problema para dar entender el alcance de su utilidad en situaciones prácticas, y se finaliza mediante

la simulación de varias situaciones de líneas de

espera con la finalidad de demostrar la validez de la precitada fórmula.

3

I. LA FÓRMULA DE LITTLE, L  W La fórmula de Little, explica que en un sistema de colas, con tasa promedio de llegada λ y tiempo promedio de espera en el sistema E(T), tiene una longitud promedio de la cola E(n), dada por la siguiente expresión E ( n)  E (T )

(1)

Básicamente, la Ley de Little puede plantearse como sigue, con el auxilio del siguiente diagrama



E(n)

E(T) Fig.1 La figura 1 muestra a ciertas unidades, de cualquier naturaleza, ingresando a un ámbito abstracto bien definido, con una “tasa neta de llegada o efectiva”  (magnitud aleatoria que registra las entidades ingresantes sobre la unidad de tiempo, que en el caso general varía con el tiempo). El tiempo promedio de espera durante el tránsito de las unidades, es E (T). Mientras que en cada instante t, en el ámbito hay E (n) entidades. Es decir la fórmula Little, llamada así, en honor a su teorizador Jhon DC Little, matemático

norteamericano

que

en

1961

presentó

un

artículo

examinando

4

detalladamente el tema, es una expresión que vincula algebraicamente los valores medios o promedios de los parámetros nombrados. Esta relación, posee un rango de aplicaciones impresionante: se adapta a todo sistema de colas, independientemente del proceso de llegada y de servicio e incluso de la disciplina. Nótese que en la figura 1 se ha utilizado el parámetro  en lugar del parámetro  utilizado en la formula (1). Esto es así, ya que no todas las llegadas se unen al sistema, hay casos, por ejemplo, donde se alcanza la máxima longitud permisible de la cola y no se permite que ninguna llegada nueva se una a la fila. Así,

 es quien realmente

representa la tasa neta de llegadas (o tasa efectiva) y el parámetro que se debería haber utilizado en la formula (1), En tal sentido la relación entre ambos parámetros ( 

e  ) esta dada por  =  ( 1- PN ) donde Pn es la probabilidad que se pierda un cliente Sin embargo, para la demostración de la fórmula de little, se empleará el parámetro  interpretado como la tasa de llagada coincidente con el rendimiento  , considerando

que los usuarios que son rechazados no contribuyen a los retardos en el sistema.

5

DEMOSTRACION DE LA FORMULA DE LITTLE, L  W Considérese un sistema de colas como el mostrado en la figura 2.

Sección de espera

A (t)

B (t)

Sección de servicio

Fig.2 Para simplificar la demostración hagamos unas consideraciones iniciales. Suponga que:  El sistema se refiere solo a los clientes (unidades) en la cola. Es decir, a los clientes en la sección de espera, más no, a los que están en servicio.  Las unidades que entran al sistema salen de el, sin que se pierdan consultas en el camino. Es decir, todo el que entra pasa a ser atendido.  La política de servicio es FCFS (primero al entrar, primero en salir). Aunque el resultado es consistente indiferentemente de la política de servicio y de los procesos de llegadas y salidas. Así, A(t): representa las llegadas acumuladas en la cola en el tiempo t. B(t): representa las salidas acumuladas que entran en el servicio luego de la espera. Donde, L(t) = A(t) – B(t) , representa el numero de clientes(unidades) que esperan en el sistema en el tiempo t.

6

Si los clientes (unidades) llegan en los tiempos tj , para j=1,2,... entonces la curva A(t), representa el número acumulado de dichos tiempos de llegadas. Con cada llegada,

A(t) se incrementa en uno. La figura 3 muestra un estado representativo de la función A (t)

6

W6

Fig.3

A(t) 5

W5

Por otro

4 W4 3 W2

B(t)

W3

2

tiempos

de

clientes t1

t2

t3

t4

t5

t6

t (Tiempo)

/ SALIDAS

los

partida de los

1

LLEGADAS

lado,

t1'

t2'

t3 '

t4 ' t5 '

t6 '

(unidades) hacia estación

la de

servicio, aumentarán de manera monótona. Esto es, t1' < t2'< t3'< ... (se supuso inicialmente la política de servicio FCFS.) Estos tiempos están representados en la figura 3, del mismo modo que la correspondiente curva de acumulación de salidas B

(t). El gráfico 3, también muestra que si el sistema esta vacío, las salidas coinciden con las llegadas, e indica el tiempo que cada usuario pasa entre llegada y salida en el sistema a través de Wj . Definido el sistema junto a sus parámetros, veamos como una serie de relaciones entre si conllevan a la fórmula de Little.

7

Considere el intervalo de tiempo (0,  ). Llamando n(  ) = A(  ) – A(0) , al número de llegadas en el intervalo



, se tiene que

“la tasa media de llegadas,  (  ), en el intervalo (0,  )” será:

   

n   

(2)

El área sombreada de la figura 3, (área entre las funciones A(t) y B(t) ) esta dada por 

 L t dt

( L(t) = A(t) – B(t) ) , en (0,  )

0

De donde,



n 

0

j 1

 L t dt   W j

(3)

(el área esta formada por la suma de rectángulos unitarios de anchura Wj , y es claro que representa el tiempo acumulado en el sistema, durante ese intervalo) Luego, el “tiempo promedio de espera en el intervalo (0,  ) “ es n 

W   

W j 1

j

n  

( n(  ) es el número de llegadas en el intervalo (0,  ) ) de donde, n 

 W  W    n   j 1

(4)

j

Como L(t) representa el numero de usuarios en t, entonces “el número promedio de usuarios del sistema en el intervalo (0,  )” esta dado por 

L  t  dt 

 L t  dt 0

 8

de donde,

 L t  dt  L t 

(5)

Finalmente, sustituyendo las ecuaciones (4) y (5) en la igualdad (3), se obtiene W    n    L  t 

y recurriendo a la ecuación (2) de al definición de la tasa de llegada λ(τ) se tiene L        W   

(6)

La anterior es la fórmula de Little derivada para el caso especial de política de

 )

servicio FCFS y sobre un intervalo finito (0, Supongamos ahora que

 

y que todas las cantidades de interés se aproximan

hacia límites definidos: W    W      L    L

Entonces se obtiene la fórmula de Little L  W

(7)

equivalente a la ecuación (1) descrita al principio, donde L es el numero promedio de clientes(unidades) en el sistema de colas W es promedio de espera y

 es la velocidad o tasa de llegada.

Por último, se demuestra que

W j

j

depende solo de la suma de los tiempos de

salidas y no de la diferencia tj´ – tj . Esto es claro cuando se considera

9

n 

W j 1

  t n  

j

j 1

´ j

 t´ j

  t n  j 1

´ j

n  

  t´ j j 1

Es decir, aunque los tiempos individuales de partidas pueden depender de la política de servicio, la fórmula Little es válida para cualquier política.

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II. PROBLEMA DE APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE FLUJO DE JHON D.C. LITTLE

Considere una máquina XEROX ubicada en la sala de servicios de la biblioteca de la unidad de Investigación y Post-grado de la UNEXPO. Suponga que los usuarios llegan junto a la máquina y se forman en una sola fila. Cada uno llega a la máquina para realizar una tarea específica cuando le corresponde su turno. Este sistema se llama línea de espera con un solo servidor. Las preguntas que se pueden hacer en relación con este sistema de línea de espera gira en torna a cuatro aspectos: 1. ¿Cantidad de personas en el sistema?. 2. ¿Número de personas en la fila (cola)? 3. ¿Tiempo de permanencia espera en el sistema? 4. ¿Tiempo de espera en la fila (cola)?

El proceso de llegadas se supone de Poisson, que corresponde a un tiempo entre llegadas de tipo exponencial. Se supone que el proceso de llegada es de Poisson, con una tasa promedio de llegada de  = 0,05 clientes/minuto y un tiempo de servicio exponencial con valor promedio de 10 minutos. Por lo tanto: = La tasa media de llegada = 1/  = 1/0.05minutos = 20 minutos La tasa de servicio es  =1/10 = 0,10 clientes/minuto No hay límite entre el número de tareas (clientes) que pueden esperar en la cola (la línea es infinita).

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Se cumple que , lo que implica que el número de personas en la línea no debe aumentar sin límite. Las tareas son atendidas en base que el primero que llega, es el primero en ser atendido. Sabiendo que la cantidad esperada de personas

 Ls 



en el sistema (Ls): Ls    

0.05  Ls = 1 0.10  0.05

Cantidad de personas esperadas en la línea de espera (Lq):

Lq 

(0.05) 2 0.10(0.10  0.05)

Ls 

2  (   )

 Lq = 0.5

El tiempo promedio que tarda una persona desde que entra al sistema hasta que 1

sale de el es (Ws): Ws    

Ws 

1  Ws = 20 minutos 0.10  0.05

Tiempo promedio que tarda una persona en la cola (Wq):

Wq 

Wq 

   (   )

0.05  Wq = 10 minutos 0.10(0.10  0.05)



0.05

 Po  0.5 Probabilidad de que el sistema esté vacío (Po): Po = 1    Po  1  0.10

Cuando se ha adquirido un estado estacionario vale la probabilidad de que se observe una cierta cantidad de personas en el sistema, no dependen del momento en que se cuenten.

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Cuando se ha alcanzado el estado estacionario, la probabilidad de que hayan dos personas usando o esperando la máquina Xerox será la misma a las 2.30 P.M. que a las 4:00 P.M. Interpretación de los resultados en un estado estacionario :  El sistema estará vacío con una probabilidad de un medio ( Po = 0.5).  Habrá un promedio de 0.5 personas en la línea de espera (Lq = 0.5)  En promedio, una llegada debe esperar 10 minutos antes de comenzar a usar la maquina (Wq = 10 minutos).  En promedio, una llegada permanecerá 20 minutos dentro del sistema (Ws = 20 minutos).

Debido a que  = 0.05 clientes (tareas)/minuto, en promedio llegarán cinco centésimas de tareas cada minuto. Durante 8 horas del día hay 8 x 60 = 480 minutos, lo que equivale a que lleguen 0.05 x 480 = 24 tareas. De los cálculos anteriores, se sabe que cada persona permanece 20 minutos en el sistema (Ws=20 minutos), por lo que el total es (24) llegadas x (20) minutos por llegada = 480 minutos o sea 8 horas es lo que gasta en este sistema, por lo que se pueden tomar una serie de medidas, como comprar una máquina nueva con menor tiempo de servicio u otra igual para trabajar en paralelo.

Aplicando la Ecuación de flujo de Little, tenemos:

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Ls  Ws

(1)

Ls ó la cantidad esperada de personas en el sistema, es

igual a  (el promedio de llegadas) multiplicado por Ws que el tiempo promedio que una persona permanece en el sistema. Ls  Ws

 Ls  0.05 x 20  Ls  1 (número promedio de personas en el sistema).

Para calcular el número de personas en la cola se utiliza una ecuación similar, la cual se establece de la siguiente manera: (2)

Lq  Wq

Aplicando esta ecuación al problema de Xerox, se obtiene el siguiente resultado: Lq  Wq

Lq  0.05 x10  Lq  0.5

Por otro lado se sabe que el tiempo previsto del sistema = tiempo previsto de espera en la línea + el tiempo previsto del servicio, por lo que el tiempo del servicio : 1/  , colocando en símbolo el resultado general, se obtiene la siguiente ecuación: (3)

Ws  W q  1 /  , aplicando esta ecuación al problema de Xerox, tenemos el

siguiente resultado:

Ws = 10 + 1 / 0.01

Ws = 20 minutos “ tiempo previsto

de permanencia del cliente (tarea) en el sistema” ( esta ecuación se cumple para cualquier modelo de línea de espera que se encuentre en estado estacionario). Las Ecuaciones 1, 2 y 3 hacen posible calcular las cuatro características de operación Ls, Lc, Wc y Ws cuando se conoce una de ellas, para demostrar esto, lo ilustraremos con el problema de Xerox. Ls 

  



0.05  1, 0.10  0.05

trabajando con los resultados obtenidos anteriormente por

medio de la ecuación de flujo de Little tenemos: Ls  Ws , sabiendo que Ls = 1 y  = 0.05 tareas/minuto, obtenemos el valor de

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W = L /  = 20 minutos Sustituyendo este resultado en la Ec. 2: Ws  Wq  1 /  tenemos: Ws = 20 – 1 / 0.1 = 10 minutos Finalmente demuestra que Lq  Wq = 0.05 x 10 = 0.5. Es preciso destacar que la utilización de la ecuación de Little es la alternativa para encontrar resultados numéricos más útil en el análisis de sistemas más complicados

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III. SIMULACIÓN. LEY DE LITTLE. El objetivo que se persigue en este apartado es demostrar, mediante la técnica de simulación, la existencia de la Ley de Little, es decir que la relación que existe entre la longitud esperada (número de clientes) en el sistema (Ls) y el tiempo esperado que permanece una unidad en el sistema (Ws) es igual a la tasa de llegada o de arribo de los clientes al sistema. Para ello se van a simular varios modelos de cola, cada uno con características diferentes. Esta demostración se realizará

haciendo uso de la

simulación, de manera específica el programa de computación “QUEUING ANALYSIS (QA)” que forma parte de un programa más amplio denominado WINQSB. Este programa, el QA, modela y desarrolla sistemas de colas simples y de múltiples servidores. Para esto hace uso de cuatro elementos fundamentales para el desarrollo de la teoría de cola: la distribución de llegada de los clientes, la distribución de los tiempos de servicios, tamaño permitido de la cola y el colector de basura (garbage colector). Con estos elementos se puede modelar o simular situaciones de cola tanto en situaciones de manufactura como en servicios.

SITUACIÓN N° 01. Se refiere al sistema denominado (M/M/1): (FIFO,  ,  ), que indica que el tiempo de llegada y el de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, que se posee un solo servidor y que la disciplina de servicio es que el primero que llega a la cola es el primero que es atendido. Para la presente situación se asume las siguientes condiciones:  Datos: Los clientes llegan al sistema según una distribución de Poisson con un valor promedio de   2 clientes/minuto. Es decir que el tiempo

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entre llegada de los clientes es de 0,5 minutos. Se dispone de un servidor, y el tiempo necesario para atender un cliente sigue una distribución exponencial con un tiempo esperado de 0,4 minutos, es decir que se espera atender   2,4 clientes/minuto. Se ha asumido que el máximo número de clientes permitido en la cola es de 100 personas.

El simulador QA con esos datos, y simulando 3000 minutos de operación aportó los siguientes resultados: RESULTADOS Tiempo de operación (simulación) Total de clientes que llegaron al sistema Número esperado de clientes en el sistema (Ls) Número promedio de clientes en cola (Lq) Número de clientes atendidos por el servidor Tiempo promedio del proceso (servidor) Tiempo de espera promedio en la cola (Wq) Tiempo de espera en el sistema (Ws)

3000 minutos 5993 3,9654 3,1657 5989 0,4006 minutos 1,5845 minutos 1,9851 minutos

Del análisis de esos resultados se obtienen la siguiente conclusión:

Tasa real de llegada ( real ) = Tasa real de servicio ( real ) =

CONCLUSIÓN 5993/3000 = 1,9977 clientes/minuto 1 / 0,4006 = 2,4963 clientes /minuto 17

Relación Ls/Ws = 3,9654/1,9851 = 1,9976 clientes/minuto Relación Lq/Wq = 3,1657/1,5845 = 1,9979 clientes /minuto Conclusión: se observa que la relación Ls/Ws y Lq/Wq se aproximan al valor de la tasa de llegada (tanto el teórico como el real). Por lo tanto se satisface la relación de LITTLE.

SITUACIÓN N° 02. Se refiere al sistema denominado (M/M/2): (FIFO,  ,  ), que indica que el tiempo de llegada y el de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, que se posee dos (2) servidores y que la disciplina de servicio es que el primero que llega a la cola es el primero que es atendido. Para la presente situación se asume las siguientes condiciones:  Datos: Los clientes llegan al sistema según una distribución de Poisson con un valor promedio de   2 clientes/minuto. Es decir que el tiempo entre llegada de los clientes es de 0,5 minutos. Se dispone de dos (2) servidores, y el tiempo necesario para atender un cliente, en cada uno de los servidores, sigue una distribución exponencial con un tiempo esperado de 0,6 minutos, es decir que se espera atender   1,6667 clientes/minuto, en cada uno de los servidores. Se ha asumido que el máximo número de clientes permitido en la cola es de 100 personas.

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El simulador QA con esos datos, y simulando 3000 minutos de operación aportó los siguientes resultados: RESULTADOS Tiempo de operación (simulación) Total de clientes que llegaron al sistema Número esperado de clientes en el sistema (Ls) Número promedio de clientes en cola (Lq) Número de clientes atendidos por los servidores Número de clientes atendidos en el servidor n°

3000 minutos 5923 1,8158 0,6319 5922 2984

01 Número de clientes atendidos en el servidor n°

2938

02 Tiempo promedio del proceso (servidores) Tiempo promedio del proceso en servidor n° 01 Tiempo promedio del proceso en servidor n° 02 Tiempo de espera promedio en la cola (Wq) Tiempo de espera promedio en el sistema (Ws) Utilización del servidor n° 01 Utilización del servidor n° 02

0,5997 minutos 0,5920 minutos 0,6076 minutos 0,3201 minutos 0,9198 minutos 58,88% 59,50%

Del análisis de esos resultados se obtienen la siguiente conclusión:

CONCLUSIÓN Tasa real de llegada ( real ) = 5923/3000 = 1,9743 clientes/minuto  real Tasa real de servicio ( ) serv n° 01 1 / 0,5920 = 1,6892 clientes /minuto

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= Tasa real de servicio ( real ) serv n° 02

1/0,6076 = 1,6458 clientes/minuto

= Relación Ls/Ws = 1,8158/0,9198 = 1,9741 clientes/minuto Relación Lq/Wq = 0,6319/0,3201 = 1,9740 clientes /minuto Conclusión: se observa que la relación Ls/Ws y Lq/Wq se aproximan al valor de la tasa de llegada (tanto el teórico como el real). Por lo tanto se satisface la relación de LITTLE.

SITUACIÓN N° 03. Se refiere al sistema denominado (G/G/2): (FIFO,  ,  ), que indica que el tiempo de llegada y el de servicio siguen una distribución de probabilidad diferente a la exponencial, que se posee dos (2) servidores y que la disciplina de servicio es que el primero que llega a la cola es el primero que es atendido. Para la presente situación se asume las siguientes condiciones:  Datos: El tiempo entre llegada de los clientes sigue una Distribución Normal con un valor promedio de 0,5 minutos y una desviación estándar de

 = 0.1 minuto. Es decir se espera que lleguen

  2 clientes cada

minuto. Se dispone de dos (2) servidores, y el tiempo necesario para atender un cliente, en cada uno de los servidores, sigue una distribución normal con un tiempo esperado de 0,6 minutos y una desviación estándar de

 = 0,1 minutos, es decir que se espera atender   1,6667

clientes/minuto, en cada uno de los servidores. Se ha asumido que el máximo número de clientes permitido en la cola es de 100 personas.

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El simulador QA con esos datos, y simulando 3000 minutos de operación aportó los siguientes resultados: RESULTADOS Tiempo de operación (simulación) Total de clientes que llegaron al sistema Número esperado de clientes en el sistema (Ls) Número promedio de clientes en cola (Lq) Número de clientes atendidos por los servidores Número de clientes atendidos en el servidor n°

3000 minutos 5998 1,2016 0,0014 5997 3019

01 Número de clientes atendidos en el servidor n°

2978

02 Tiempo promedio del proceso (servidores) Tiempo promedio del proceso en servidor n° 01 Tiempo promedio del proceso en servidor n° 02 Tiempo de espera promedio en la cola (Wq) Tiempo de espera promedio en el sistema (Ws) Utilización del servidor n° 01 Utilización del servidor n° 02

0,6004 minutos 0,5988 minutos 0,6019 minutos 0,0007 minutos 0,6011 ms. 60,26% 59,75%

Del análisis de esos resultados se obtienen la siguiente conclusión:

CONCLUSIÓN Tasa real de llegada ( real ) = 5998/3000 = 1,9993 clientes/minuto  real Tasa real servicio ( ) serv n° 01 1 / 0,5988 = 1,6700 clientes /minuto = Tasa real servicio ( real ) serv n° 02

1/0,6019 = 1,6614 clientes/minuto 21

= Relación Ls/Ws = 1,2016/0,6011 = 1,990 clientes/minuto Relación Lq/Wq = 0,0014/0,0007 = 2,000 clientes /minuto Conclusión: se observa que la relación Ls/Ws y Lq/Wq se aproximan al valor de la tasa de llegada (tanto el teórico como el real). Por lo tanto se satisface la relación de LITTLE.

SITUACIÓN N° 04. Se refiere a una situación de cola, tal como está planteado en el siguiente gráfico

Los clientes que llegan forman una cola (Qo) y son atendidos por dos servidores en paralelo (S1 y S2). Luego de ser atendidos y de acuerdo con el servidor que los atendió pasan a formar colas separadas (Q1 y Q2), para ser luego atendidos por el servidor tres (S3). Para la presente situación se asume las siguientes condiciones:  Datos: Los clientes llegan al sistema según una distribución de Poisson con un valor promedio de   2 clientes/minuto. Es decir que el tiempo entre llegada de los clientes es de 0,5 minutos. El tiempo necesario para 22

atender un cliente, en cada uno de los servidores S1 y S2, sigue una distribución exponencial con un tiempo esperado de 0,6 minutos, es decir que se espera atender   1,6667 clientes/minuto, en cada uno de esos servidores. El tiempo de atención esperado para un cliente en el S3 sigue una distribución exponencial con un tiempo promedio de 0.2 minutos, es decir espera atender   cinco (5) clientes por minuto. Se ha asumido que el máximo número de clientes permitido en cada una de las colas es de 100 personas. El servidor S3 atiende a las colas Q1 y Q2 de acuerdo a la regla de la que tenga en el momento en que el servidor se desocupa el mayor número de clientes esperando en cola (Regla LongestQueue).

El simulador QA con esos datos, y simulando 3000 minutos de operación aportó los siguientes resultados:

RESULTADOS Tiempo de operación (simulación) Total de clientes que llegaron al sistema Número esperado de clientes en el sistema (Ls) Número promedio de clientes en cola (Lq) Número promedio de clientes en la cola Qo (Lqo) Número promedio de clientes en la cola Q1 (Lq1) Número promedio de clientes en la cola Q2 (Lq2) Número de clientes atendidos en el servidor n° 01 Número de clientes atendidos en el servidor n° 02 Número de clientes atendidos en el servidor n° 03 Tiempo promedio del proceso en servidor n° 01 Tiempo promedio del proceso en servidor n° 02 Tiempo promedio del proceso en servidor n° o3

3000 minutos 5936 2,4325 0,8640 0,5966 0,1181 0,1492 2968 2966 5933 0,5953 minutos 0,5880 minutos 0,2011 minutos

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Tiempo de espera promedio en la cola (Wq) Tiempo de espera de promedio en la cola de llegada (Wqo) Tiempo de espera de promedio en la cola Q1 (Wq1) Tiempo de espera de promedio en la cola Q2 (Wq2) Tiempo de espera promedio en el sistema (Ws) Utilización del servidor n° 01 Utilización del servidor n° 02 Utilización del servidor n° 03

0,4369 minutos 0,3015 minutos 0,1194 minutos 0,1510 minutos 1,2296 minutos 58,89% 58,13% 39,76%

Del análisis de esos resultados se obtienen la siguiente conclusión:

CONCLUSIÓN Tasa real de llegada ( real ) = 5936/3000 = 1,9787 clientes/minuto Tasa real de servicio ( real ) serv n° 01 = 1 / 0,5953 = 1,6798 clientes /minuto Tasa real de servicio ( real ) serv n° 02 = 1/0,5880 = 1,7007 clientes/minuto  real Tasa real de servicio ( ) serv n° 03 = 1/0,2011 = 4,9727 clientes/minuto Tasa real de llegada de clientes de S1 2968/3000 = 0,9893 clientes/ minuto hacia S3 Tasa real de llegada de clientes de S2

2966/3000 = 0,9887 clientes /minuto

hacia S3 Relación Ls/Ws = 2,4325/1,2296 = 1,9783 clientes/minuto Relación Lqo/Wqo = 0,5966/0,3015 = 1,9788 clientes /minuto Relación Lq1/ Wq1 0,1181/0,1194 = 0,9891 clientes/minuto Relación Lq2/ Wq2 0,1492/0,1510 = 0,9881 clientes/minuto Conclusión: se observa que la relación Ls/Ws y Lq/Wq se aproximan al valor de la tasa de llegada (tanto el teórico como el real). Por lo tanto se satisface la relación de LITTLE.

SITUACIÓN N° 05. Se refiere a una situación de cola, tal como está planteado en el siguiente gráfico. Se refiere a cuatro servidores en serie (S1, S2, S3 y S4) con sus respectivas colas (Qo, Q1 , Q2 ). Para la presente situación se asume las siguientes condiciones:

24

 Datos: Los clientes llegan al sistema según una distribución de Poisson con un valor promedio de   1,25 clientes/minuto. Es decir que el tiempo entre llegada de los clientes es de 0,8 minutos. El tiempo necesario para atender un cliente, en cada uno de los servidores sigue una distribución exponencial con un tiempo esperado de 0,6 minutos para el servidor S1 (

  1,6667 clientes/minuto);

0,4 minutos para el servidor S2 (   2,5

clientes/minuto); 0.2 minutos para el servidor S3 (   5 clientes / minuto). Se ha asumido que el máximo número de clientes permitido en cada una de las colas es de 100 personas.

El simulador QA con esos datos, y simulando 3000 minutos de operación aportó los siguientes resultados: RESULTADOS Tiempo de operación (simulación) Total de clientes que llegaron al sistema Número esperado de clientes en el sistema (Ls) Número promedio de clientes en cola (Lq) Número promedio de clientes en la cola Qo (Lqo) Número promedio de clientes en la cola Q1 (Lq1) Número promedio de clientes en la cola Q2 (Lq2) Número de clientes atendidos en el servidor n° 01 Número de clientes atendidos en el servidor n° 02 Número de clientes atendidos en el servidor n° 03 Tiempo promedio del proceso en servidor n° 01 Tiempo promedio del proceso en servidor n° 02 Tiempo promedio del proceso en servidor n° o3 Tiempo de espera promedio en la cola (Wq) Tiempo de espera de promedio en la cola de llegada (Wqo) Tiempo de espera de promedio en la cola Q1 (Wq1) Tiempo de espera de promedio en la cola Q2 (Wq2)

3000 ms. 3704 4,3344 2,8432 2,2910 0,4710 0,0812 3703 3701 3700 0,6145 minutos 0,3945 minutos 0,2004 minutos 2,3039 minutos 1,8555 minutos 0,3816 minutos 0,0658 minutos

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Tiempo de espera promedio en el sistema (Ws) Utilización del servidor n° 01 Utilización del servidor n° 02 Utilización del servidor n° 03

3,5131 minutos 75,84% 48,66% 24,71%

Del análisis de esos resultados se obtienen la siguiente conclusión: CONCLUSIÓN

Tasa real de llegada ( real ) = Tasa real de servicio ( real ) serv n° 01 = Tasa real de servicio ( real ) serv n° 02 = Tasa real de servicio ( real ) serv n° 03 = Tasa real de llegada de clientes de S1

3704/3000 = 1,2347 clientes/ min 1 / 0,6145 = 1,6273 clientes /min 1/0,3945 = 2,5349 clientes/ min 1/0,2004 = 4,9900 clientes/ min 3703/3000 = 1,2343 clientes/ min

hacia S2 Tasa real de llegada de clientes de S2

3701/3000 = 1,2337 clientes / min

hacia S3 Relación Ls / Ws = 4,3344/3,5131= 1,2378 clientes/ min Relación Lqo / Wqo = 2,2910/1,8555 = 1,2347 clientes /min Relación Lq1/ Wq1 0,4710/0,3186 = 1,2343 clientes/ min Relación Lq2/ Wq2 0,0812/0,0658 = 0,1057 clientes/ min Conclusión: se observa que la relación Ls/Ws y Lq/Wq se aproximan al valor de la tasa de llegada (tanto el teórico como el real). Por lo tanto se satisface la relación de LITTLE.

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IV. CONCLUSIONES. Los aspectos más resaltantes en la presente investigación son: 

Que la fórmula Little, relaciona tres promedios: La tasa “promedio” de llegadas El tiempo “promedio” de espera o retardo en el sistema y El numero “promedio” de unidades (clientes, usuarios, etc) en el sistema



Que para la aplicación de la fórmula Little es necesario que el sistema sea conservativo, es decir, todos los usuarios que ingresan al sistema serán atendidos.



Que la fórmula Little, es aplicable a todo tipo de colas



Que la fórmula Little es independiente del tiempo de llegadas y del tiempo de servicios



Que la fórmula Little es independiente de la política de servicio



Que es de gran ayuda en solución de problemas de la Administración Publica así, como también es aplicable en problemas vinculados con teoría de Probabilidades, con la estadística matemática, y en definitiva con la investigación de operaciones. 

Los sistemas simulados permiten verificar el cumplimiento de la fórmula Little en situaciones diversas.

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GLOSARIO

TASA DE LLEGADAS (  ). Es la tasa a la cual los consumidores llegan a un sistema de prestación del servicio, normalmente expresada en términos de clientes, consumidores o unidades por unidad de tiempo. TASA DE SERVICIO (  ). Es la capacidad de una estación de servicio, normalmente expresada en términos de clientes, consumidores o unidades atendidos por unidad de tiempo. La inversa de la tasa de servicio es el tiempo medio para servir a un consumidor. NIVEL DE UTILIZACIÓN. Es el porcentaje de tiempo que una estación de servicio está ocupada sirviendo al cliente. TIEMPO DE ESPERA EN EL SISTEMA (Ws) Es el tiempo que, en promedio, un cliente o unidad invierte desde que llega al sistema hasta que sale. TIEMPO DE ESPERA EN LA COLA (Wq). Es el tiempo, que en promedio, un cliente tiene que esperar en la fila (cola) antes de que empiece a ser atendido. NUMERO ESPERADO EN LA COLA (Lq). Número promedio de unidades o clientes en la cola. NÚMERO ESPERADO EN EL SISTEMA (Ls). Número promedio de unidades o clientes en el sistema.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 Schmidt – Taylor (1979). Análisis y Simulación de sistemas Industriales. Editorial Trillas. México.  Hillier – Lieberman (1996). Introducción a la Investigación de Operaciones. Sexta Edición. Editorial McGraw Hill. México.  Davis – Aquilano – Chase (2001).

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Colas.

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO “LUIS CABALLERO MEJIAS” DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POST GRADO Asignatura: Teorías de Cola

ECUACIONES DE FLUJO DE JHON. D. C. LITTLE, L  

SUS APLICACIONES Y VENTAJAS

INTEGRANTES:  Ing. Braulio Arteaga  Lic. José Iván García  Ing. Laura Herrera

Julio 2003

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