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UNIVERSIDAD DE LA SERENA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO INGENIERÍA CIVIL INDUSTRIAL

APLICACIÓN DE CADENAS DE MARKOV Y SISTEMAS DE COLAS EN LA MINERIA EXTRACTIVA DEL ORO, EN MINERA LA CONSENTIDA.

ALUMNOS Allison Araya Alfaro César Andrés Córdova Barrera Víctor Cavieres Liempí Camilo Alejandro Jaime Jaime

CARRERAS Ingeniería Civil Industrial Ingeniería Civil de Minas

DOCENTE ING. Paulina González Martínez

La Serena, viernes 4 de julio 2014

Aplicación de Cadenas de Markov y Sistemas de Colas en Minera La Consentida.

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Contenido 1.

Introduccion. ....................................................................................................................... 3 1.1.

Objetivo General. ........................................................................................................ 4

1.2.

Objetivos Específicos. ................................................................................................. 4

2.

Ejercicio de Aplicación. ....................................................................................................... 4 

Cuadros de Resumen. .................................................................................................... 6 

Estados ......................................................................................................................... 6



Matriz de transición (P) .............................................................................................. 6

2.1.

Análisis de resultados. ................................................................................................ 8

2.2.

Sistema de colas. ........................................................................................................ 8

2.2.1.

Servidores múltiples (M/M/C): (DG/∞/∞). ..................................................... 8

2.2.2.

Análisis Resultados de línea de espera. ........................................................... 9

3.

Conclusión. ......................................................................................................................... 10

4.

Bibliografía. ........................................................................................................................ 11

5.

Anexo. ................................................................................................................................. 12 5.1.

Marco teórico. ............................................................................................................ 12

5.1.1.

Orígenes. ............................................................................................................ 12

5.1.2.

Procesos Estocásticos....................................................................................... 12

5.1.3.

Cadenas de Markov. ......................................................................................... 12

5.1.4.

Propiedad Markoviana de primer orden. ....................................................... 13

5.1.5.

Probabilidad de transición estacionaria de n pasos. .................................... 13

5.1.6.

Probabilidades de estados estables. .............................................................. 14

5.2.

Sistema de Colas....................................................................................................... 14

5.2.1.

Servidores múltiples (M/M/c): (DG/∞/∞) ..................................................... 14

Aplicación de Cadenas de Markov y Sistemas de Colas en Minera La Consentida.

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1.

Introduccion.

En el estudio de las variables aleatorias visto en clases se han explorado características aleatorias del fenómeno, pero se ha mantenido un indicio, que esas características aleatorias se mantienen en el tiempo, es decir, se ven reflejadas como un proceso o sucesión de eventos que se desarrolla en el tiempo en el cual el resultado en cualquier etapa contiene algún elemento que depende del azar se denomina proceso aleatorio o proceso estocástico. Por ejemplo, la sucesión podría consistir en las diversas posibilidades de lanzar una moneda al aire en donde interviene cierto grado de aleatoriedad. Un ejemplo simple de un proceso estocástico es una sucesión de ensayos de Bernoulli, por ejemplo, una sucesión de lanzamientos de un dado. En este caso, el resultado en cualquier etapa es independiente de todos los resultados previos (esta condición de independencia es parte de la definición de los ensayos de Bernoulli). Sin embargo, en la mayoría de los procesos estocásticos, cada resultado depende de lo que sucedió en etapas anteriores del proceso. El caso más simple de un proceso estocástico en que los resultados dependen de otros, ocurre cuando el resultado en cada etapa sólo depende del resultado de la etapa anterior y no de cualquiera de los resultados previos. Tal proceso se denomina proceso de Markov o Cadena de Markov (una cadena de eventos, cada evento ligado al precedente). Estas cadenas reciben su nombre del matemático ruso Andrei Andreevitch Markov (1856-1922). Como mencionamos antes, estas cadenas tiene memoria, recuerdan el último evento y eso condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Se utilizan, por ejemplo, para analizar reparto del mercado entre marcas, dinámica de las averías de máquinas, para decidir política de mantenimiento, para analizar el reemplazo de un equipo, entre otros. También nos enfocaremos en la Teoría de colas, llamado así, por ser un sistema de colas o líneas de espera que analiza el comportamiento cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio, es decir, un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio de transacciones que aleatoriamente entran en el sistema. Dependiendo del sistema que se trate, estas entidades pueden ser, maquinas, cajeras, semáforos, etc. Mientras que las transacciones pueden ser clientes, piezas, camiones, etc. Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha variable es de {0,1,2…,n} y cada una de esas variables tiene asociada una probabilidad de ocurrencia. Finalmente, uno de los objetivos de este informe es construir un modelo aplicado donde se seleccionen los equipos de movimiento de tierra para una mina subterránea en particular, rampas y camiones, estos, deben corresponder en función de sus características. La rampa debe ser un tamaño adecuado en relación con la altura y la anchura de los camiones en los cuales se ira a cargar combustible. La rampa seleccionada también debe ser capaz de cargar completamente un camión. El número de camiones necesarios para cumplir con los requisitos de producción y maximizar la eficiencia es difícil de determinar, y el número de camiones necesarios cambiara con el tiempo a medida que avanza la minería y las rutas de larga distancia se hacen más largas. Esto nos permite explicar la estructura y prever la evolución, al menos al corto plazo, de una variable que observamos a lo largo del tiempo y así analizar el posible comportamiento en la serie con el fin de prever una evolución futura.

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1.1.

Objetivo General.

Aplicar la teoría fundamental de cadenas de Markov y teoría de colas para determinar el comportamiento de la flota de camiones en la carga de combustible en una mina subterránea.

1.2.     

2.

Objetivos Específicos.

Mostrar que el proceso es conjuntamente una cadena de Markov y líneas de espera. Construir la matriz de transición. Mostrar que los estados son accesibles, se comunican, son recurrentes o aperiódicos. Presentar las probabilidades de estado estable. Presentar los tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios exponenciales de la flota de camiones.

Ejercicio de Aplicación.

En la Mina Subterránea La Consentida se ha realizado un estudio de medición de tiempos de transporte a su flota de camiones. La mina La Consentida es una mina subterránea que explota vetas de cuarzo-oro y plata epitermales albergados en volcánicos y brechas. Típicamente los depósitos de mena exhiben una gran orientación y varían de más de 24 m en espesor con buzamiento casi vertical. Este mineral es explotado por el sistema de Corte y Relleno (Cut and Fill), por lo que a medida que el mineral es extraído, material estéril es introducido para soportar y continuar su explotación ascendente por lo que requiere de una gran cantidad de equipos de transporte para la operación. La mina cuenta con 3 Bombas de abastecimiento de combustible que pueden ser utilizadas a su vez por otros equipos como camiones aljibes, camionetas, Bobcat, etc. Para un mejor orden se ha dispuesto que los diferentes equipos mineros carguen combustible en determinados horarios. Disponiendo así que los equipos de transporte carguen combustible al finalizar su turno. Pero dicha condición no siempre se cumple alterando la disposición de las bombas para atender la demanda. El camión puede cargar combustible en cualquiera de las Bombas. Para esto debe situarse justo en frente de una y esperar el verde para ingresar a cargar combustible. El situarse en una determinada bomba no implica el ser atendida por la misma. El departamento de operaciones minas solicitó a su ingeniero realizar un estudio sobre la probabilidad de que un camión se abastezca en una determinada Bomba. La decisión fue entonces enviar por turnos camiones a la Bomba A, otra turno a la Bomba B y otro turno a la Bomba C ya que el ciclo del problema es creciente a través de los turnos. Se ordenó también que en el caso que el tiempo de espera se extienda más de 15 minutos el camión se traslade a las Naves de mantención y quede pendiente su abastecimiento de combustible para el siguiente Turno.   

Número de equipos = 10 camiones Tiempo medio de abastecimiento = 15 minutos Tasa de llegada = 1 camión / 6 minutos

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Las mediciones arrojaron los siguientes resultados:  Al ir a la Bomba A Probabilidad de abastecerse en A: 50 % Probabilidad de abastecerse en B: 30 % Probabilidad de abastecerse en C: 15 % Probabilidad de retornar a Naves: 5 %  Al ir a la Bomba B Probabilidad de abastecerse en A: 15 % Probabilidad de abastecerse en B: 55 % Probabilidad de abastecerse en C: 20 % Probabilidad de retornar a Naves: 10 %  Al ir a la Bomba C Probabilidad de abastecerse en A: 5 % Probabilidad de abastecerse en B: 10 % Probabilidad de abastecerse en C: 85 % Probabilidad de retornar a Naves: 0 % Hasta el momento se cuenta con un registro de análisis de la administración de Bombas de Abastecimiento que indica que la utilización de sus bombas A, B y C o de abandonar la espera por parte de los equipos de transporte es el siguiente:

Adm. Bombas Bomba A

15%

Bomba B

20%

Bomba C

60%

Abandono

5%

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 Cuadros de Resumen. Pararse en Bomba A

Pararse en Bomba B

Pararse en Bomba C

Bomba A

0.50

Bomba A

0.15

Bomba A

0.05

Bomba B

0.30

Bomba B

0.55

Bomba B

0.10

Bomba C

0.15

Bomba C

0.20

Bomba C

0.85

Naves

0.05

Volver

0.10

Volver

0.00



Estados

E1: Abastecimiento en Bomba A E2: Abastecimiento en Bomba B E3: Abastecimiento en Bomba C E4: Retorno a Nave





Matriz de transición (P)

E1

E2

E3

E4

E1

0.50

0.30

0.15

0.05

E2

0.15

0.55

0.20

0.10

E3

0.05

0.10

0.85

0.00

E4

0

0

0

1

Determinar la Matriz de estados al cabo de 5 y 10 turnos y analizar resultados.

E1

E2

E3

E4

E1

0.1423

0.2321

0.3973

0.2283

E2

0.1233

0.2098

0.3927

0.2742

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

E3

0.1180

0.2072

0.5934

0.0814

E4

0

0

0

1

E1

E2

E3

E4

E1

0.0956

0.1641

0.3835

0.3567

E2

0.0898

0.1540

0.3644

0.3918

E3

0.1124

0.1938

0.4804

0.2135

E4

0

0

0

1

¿Cuál es la probabilidad de que al cabo de 4 turnos un camión esperando en la Bomba A sea atendido en la Bomba C?

=

E1

E2

E3

E4

E1

0.1684

0.2618

0.3761

0.1936

E2

0.3718

0.2372

0.3820

0.2436

E3

0.1279

0.2004

0.6310

0.0557

E4

0

0

0

1

Respuesta: Tiene una probabilidad de un 37.61%



Porcentaje de Utilización de las Bombas al cabo de 4 Turnos:

0.15 0.20 0.60 0.05

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Por lo tanto:

2.1.

E1

12.04%

E2

20.70%

E3

51.14%

E4

16.12%

Análisis de resultados.



Al iniciar los turnos se debe tener en cuenta que hay un 16% de probabilidades de tener que ir a abastecer equipos del turno anterior. Información que debe tener presente el jefe de turno de operaciones de camiones. De esta forma sacar dicho estado de “imprevistos” y agregarlos a “programados”



El tiempo de abandono de Bombas (retorno a naves) tiende a aumentar en el tiempo por lo que es necesario exponer a los distintos departamentos de operación el problema y plantear un mejor sistema de coordinación y control de tiempos y horarios de abastecimiento.



Se recomienda a la administración de Bombas de Abastecimiento de Combustible que: La tendencia de camiones es utilizar la Bomba C por lo que se recomienda optimizar el tiempo de abastecimiento y maniobras, junto con mantener la Bomba con suministro constante de combustible y así disminuir la cantidad de abandonos.

2.2. 2.2.1.

Sistema de colas. Servidores múltiples (M/M/C): (DG/∞/∞).

Datos: C=3

λ= μ=

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µ λ

4 10

camiones/hora (Tasa media de servicio) camiones/hora (Tasa media de clientes)

c

3

Cantidad bombas (servidores)

n

10

Número de camiones total (usuarios)

ρ

2.5

P0

4.49%

Probabilidad que el sistema se encuentre ocioso

Pn

3.26%

Probabilidad de encontrar n clientes en el sistema

Ls

6.011236

Camiones

Lq

3.511236

Camiones

Ws

0.6011236

Horas

Wq

0.3511236

Horas

2.2.2.

Factor de utilización

Análisis Resultados de línea de espera.



En base a los resultados obtenidos se recomienda dividir en 2 el horario de abastecimiento de camiones, al inicio y al término del turno debido a que 3.5 camiones de la flota se encuentra en fila al momento de ir a cargar combustible.



Se recomienda también, en caso de persistir el problema, destinar más de 0.6011 hras (36.07 minutos) al abastecimiento, y de esta forma dejar sin pendientes al turno inmediatamente siguiente.



Si no se destina el tiempo necesario para el abastecimiento se aumentará el número de retornos a naves.

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3.

Conclusión.

Primeramente no nos enfocaremos en explicar los resultados numéricos del proceso, pues en el desarrollo del mismo se explica claramente las respuestas obtenidas. Nuestro deseo es expresar conclusiones alrededor del proceso de construcción del conocimiento y crear una inquietud a las personas que lean el documento. Este trabajo es una manera simple de que entendimos sobre la cadena de Markov, Teoría de colas y su aplicación en el ámbito de una minera en particular a cielo abierto, por lo mismo se pretende aclarar de que se necesita de más tiempo para la elaboración de un buen documento que sirva como apoyo para otras personas que quieran profundizar en el modelo y explicación de una cadena de Markov y en la teoría de colas, pero se hizo lo posible para llevar esto acabo. En el transcurso del desarrollo de este informe nos dimos cuenta que estas dos unidades nos sirve para modelar el comportamiento de una flota de camiones cuando se dirige a cargar combustible a la rampa en minas subterráneas. Estos modelos son capaces de analizar sistemas de transporte como existen en la actualidad y que se pueden utilizar para evaluar la eficiencia de las operaciones sobre la base de sus tamaños actuales de la flota. Esto también se puede combinar con datos de costos para los equipos en uso para averiguar cuánto dinero se gasta para operar equipos que no están contribuyendo directamente a la producción. Los datos obtenidos fueron consistentes a una operación a una mina subterránea. Tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicio exponenciales de la mina que fue elegida, por lo que los supuestos del modelo son válidos para algunas operaciones. Para determinar un tamaño de flota óptima para un diseño de la mina dado y configuración de carga sin correr una simulación completa, que puede ser más útil el uso de modelos que implican simulación estocástica, para incorporar rutas de larga distancia, tiempos de viajes y tamaño de las flotas. Esto permitiría a varios tamaños y configuraciones de la flota a ser comparados sin tener que hacer cambios del mundo real para adquirir entradas adicionales para el modelo, como sería necesario para el modelo de cola. Este tipo de modelo estocástico también podría ser utilizado en situaciones en las que la teoría de colas no es aplicable, por ejemplo, en minas en las que las operaciones de carga no se ajustan a las distribuciones necesarias para la teoría de colas para ser aplicado.

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4.

Bibliografía.

I.

Quiroz. Telmo. 2011. Aplicaciones no convencionales de Cadena de Markov. Memoria de Ingeniero Industrial. Lima, Universidad Católica del Perú, Facultad de Ciencias e Ingeniería. 101p.

II.

Del Valle, Juan Antonio. (2014). Introducción a las Cadenas o Procesos de Markov. Recuperado el 26 de Julio de 2014, de http://www.ingenieria.unam.mx/javica1/ingsistemas2/Simulacion/Cadenas_de_Mark ov.htm

III.

García. José. 2010. Teoría de Colas. Recuperado el 26 de Julio de 2014, de http://personales.upv.es/jpgarcia/LinkedDocuments/Teoriadecolasdoc.pdf

IV.

Sistema de Servicios de Información y Bibliotecas (SISIB). 2009. Redacción de Citas Bibliográficas Guía y ejemplos, Santiago de Chile, Chile. Universidad de Chile. 16p.

V.

Martínez. Eliseo. 2012. Cadenas de Markov y aplicaciones. Recuperado el 26 de Julio de 2014, de http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/magi ster/markov/markov.pdf

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5.

Anexo.

5.1. 5.1.1.

Marco teórico. Orígenes.

La teoría de Markov debe su nombre a Andrei Andreyevich Markov quien nació en San Petersburgo, Rusia, en 1856. Tras estudiar matemáticas en la Universidad de San Petersburgo ejerció como docente focalizando su trabajo en análisis y teoría del número, fracciones continuas, límites integrales, teoría de aproximación y la serie de convergencias. Markov realizó estudios sobre cadenas secuenciales, consistentes en variables al azar, donde la variable futura es predeterminada por la existente, pero independiente del origen de las variables precursoras. Estas cadenas tienen memoria, guardando o recordando la información del último evento condicionando las posibilidades eventos futuros. Las cadenas de Markov han sido aplicadas en diversas áreas, como contabilidad y producción, servicios de salud, finanzas, comercio, educación, luego de los avances en la materia propuestos por Norbert Wiener y Andrei Kolmogorov.

5.1.2.

Procesos Estocásticos.

Los procesos estocásticos, son procesos que evolucionan en el tiempo de una manera probabilística. Son de interés para describir el comportamiento de un sistema en operación durante algunos períodos, debido a que permiten su observación, control y modelamiento. Se definen como procesos dependientes de leyes causales y probabilísticas, por lo que están sometidos al azar y son objeto de análisis estadístico. Este tipo de procesos son útiles para poder comprender la correlación, que estadísticamente significa la relación entre varios grupos de datos. Para entender se supondrán características de un sistema en puntos discretos en el tiempo (identificados con 0, 1, 2…). Sea Xt el valor de la característica del sistema en el tiempo y considerado como variable aleatoria. Entonces, un proceso estocástico discreto en el tiempo es una descripción de la relación entre las variables aleatorias Xt: (X0, X1, X2…). Los procesos estocásticos expresados como variables aleatorias aportan información relevante de los procesos en análisis. Por otro lado, conviene definir una matriz estocástica, la cual debe cumplir las siguientes condiciones: Pij ≥ 0 ∑

5.1.3.

, ∀i,

∀i, j =1, 2, 3,4,..., r

(1.2.1)

∀i, j =1, 2, 3,4,..., r

(1.2.2)

Cadenas de Markov.

Las cadenas de Markov permiten conocer el gobierno y comportamiento de determinados tipos de procesos estocásticos. Describen la forma en que evolucionará un proceso estocástico en el futuro y son independientes de los eventos ocurridos en el pasado, con excepción de su predecesor inmediato. Es un tipo especial de proceso en el tiempo, en el que se presenta una cantidad discreta de estados e instantes de tiempo.

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Definimos un evento de interés A perteneciente al espacio muestral Ω y que es integrado por un número de eventos finitos denominados “estados”. Si en un ensayo independiente Bernoulli con extracción al azar y reposición, la probabilidad de ocurrencia de un “éxito” a lo largo del muestreo M= {m1, m2, m3,…, mn} es constante e igual a “p”. Por lo tanto se concluye que para un número finito de estados de probabilidad “p” constante, se cumple la siguiente propiedad descrita en la fórmula 1.3.1, la cual se aplica para todo evento del conjunto M.

5.1.4.

Propiedad Markoviana de primer orden.

Esta propiedad nos dice que el futuro depende únicamente del valor del estado del presente y es independiente del pasado: P { Xt+1 = j | X0 = K0 , X1 = K1 , . ., Xt-1 = Kt-1 , = Kt-1, Xt=1}= P {X t+1 | X1 = i }, para toda t = 0, 1, . . y toda sucesión i, j , K0 , K1 , . . , Ki-1 . Establece que la probabilidad condicional de encontrarse en el periodo t + 1, en el estado j, depende únicamente del valor del estado en el periodo y y es independiente del pasado (periodos 0,1,2,t-2,t-1). Pij se define como las probabilidades estacionarias. P {X t+1=j | Xt = i }, para toda i,j Si el sistema se mueve del estado i durante un periodo al estado j durante el siguiente periodo, se dice que ocurrió una transición de i a j entonces Pij se denominan probabilidades de transición. Todo proceso estocástico que satisface la propiedad de Markov se conoce como cadena de Markov. La probabilidad de transición en n periodos, se denota por Pij^(n), se define como Pij^(n)= {X t+n=j | Xt = i} Como son probabilidades condicionales deben satisfacer: 1) Pij^(n) ≥0, para toda i,j y n=0,1,2,... 2) ∑ = 1, para toda i y n= 0,1,2,... Donde M es el número finito asociado a los diferentes estados por donde puede pasar el proceso.

5.1.5.

Probabilidad de transición estacionaria de n pasos.

Una cadena de Markov que está en el estado i en el tiempo m y su probabilidad de que luego de n periodos su cadena este en el estado j es independiente de m. P = (X n+m = j | Xm = i) = P(Xn=j | X0 = i) =Pij(n) Usando la definición de P, la matriz de probabilidad de transición, se reescribe la última ecuación como: Pij(2)= ∑ Donde para n›1, Pij(n)=ij- emesimo elemento de P^n. Por supuesto, para n=0, Pij(0)=P(x0=j | X0 =i).

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5.1.6.

Probabilidades de estados estables.

Sea P la matriz de transición de una cadena ergódica de estado estable. Entonces existe un vector

tal que:

El vector π = [π1 π2… πs] se llama distribución de estado estable, o distribución de equilibrio, para la cadena de Marcos. Se establece que para cualquier estado inicial i ,

.

Como Pij (n + 1) = (renglón i de Pn )(columna j de P), podemos escribir

5.2. 5.2.1.

Sistema de Colas. Servidores múltiples (M/M/c): (DG/∞/∞)

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