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LÍMITES Y DERIVADAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 4 2-2018

ESTUDIANTE: JORGE ELIECER RICAURTE SIERRA CEDULA: 74187104

DOCENTE: MARTHA ADRIANA BUITRAGO HERNANDEZ

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA PANAMERICANA TECNICA PROFESIONAL EN PROCESOS EMPRESARIALES FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES BOGOTÁ, 1 DE NOVIEMBRE DEL 2018

A.Investigue cuáles son las notaciones para la derivada:

Existen 3 tipos diferentes de notación, creados por diferentes matemáticos. Estos son: 

Notación de Newton para Derivadas:

En la notación de Newton para la diferenciación se representa la diferenciación mediante un punto o comilla situado sobre el nombre de la función, y que Newton denominó fluxión. La notación de Isaac Newton se utiliza fundamentalmente en mecánica. Se define como:

Aunque no es útil para derivadas de mayor orden, en mecánica e ingeniería es útil ya que el uso de derivadas de mayor orden no es habitual. En física y otros campos, la notación de Newton es muy utilizada para la derivada respecto del tiempo, lo que permite diferenciarla de la pendiente o derivada de la posición. 

Notación de Leibniz para Derivadas:

En esta notación se representa la operación de diferenciar mediante el operador es.

decir, la operación "derivada de la función f respecto de x" se representaría de este modo.

como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notación consiste en que permite recordar intuitivamente varios conceptos básicos del cálculo tales como la regla de la cadena, que con esta notación parece obvia debido a la cancelación de diferenciales (a pesar de que este razonamiento es incorrecto).

o bien el concepto de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales.

La notación de Leibniz también es especialmente útil cuando se trabaja con derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados (gradiente, laplaciano, rotacional, divergencia, etc.) ya que indica en cada momento la variable de la función que se considera independiente, dejando el resto de las variables como constantes en lo que se refiere a la derivación parcial. 

Notación para derivadas de orden superior:

Se utiliza las siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior. 

Primeras derivas

f '(x); d / dx; Dx [ f(x)]; dy/dx; y' 

segunda Derivada

f "(x);

;



;

;

Tercera Derivada

; 

;

;

;

;

n-Derivada

;

Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan. A.

En las siguientes curvas dibujar o trazar la recta tangente en el punto (x, y).

B.

En las siguientes gráficas estimar a ojo la pendiente de la curva en el punto (x, y).

D.

En los siguientes ejercicios utilice la definición de la derivada para hallar f`(x) a.

f (x) = 3 Regla de la constante: si f(x) es constante, entonces f´ = 0

b.

f (x) = -5x Derivada de x f(x) = x f´(x) = 1 f´(x) = -5

c.

f (x) = 2x2 + x – 1 f´(x) = 4x+1

d.

f (x) = x3 – 12x



Derivadas de orden superior como la derivada de una función es otra función, entonces podemos tratar de hallar su derivada. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que pudiera ser a su vez derivada. Si continuamos así una y otra vez, tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior. f´ = 3x2 - 12

C.

Hable de la definición de límite en la interpretación de la derivada asociada a velocidad y aceleración. 

Velocidad

La velocidad de un cuerpo es la rapidez con que cambia la posición de un cuerpo y la podrás expresar:

Es decir, el cociente entre el desplazamiento y el tiempo transcurrido. Esta velocidad es en realidad la velocidad media en ese intervalo de tiempo.

Si mides la velocidad en intervalos cada vez más pequeños de tiempo, el resultado que obtendrás en el límite cuando Δt se hace casi cero será:

Que recibe el nombre de velocidad instantánea. En matemáticas has visto que este límite se utiliza para definir la derivada de la función, y, por tanto, podrás definir la velocidad instantánea como la derivada de r con respecto a t:

La ecuación de posición y la de la velocidad son las ecuaciones del movimiento. Si el movimiento se produce en una dimensión, eligiendo ésta como el eje X, la velocidad la podremos expresar como:



Aceleración

La aceleración de un cuerpo es la rapidez con que cambia su velocidad y la podemos expresar:

Esta es la aceleración media, pero, análogamente que, en el caso de la velocidad, se puede definir la aceleración instantánea como la aceleración media en el límite cuando Δt se hace casi cero:

El vector aceleración puedes expresarlo como la suma de dos componentes, una asociada a la variación del módulo de la velocidad, aceleración tangencial, y otra asociada al cambio de la dirección de la velocidad (dirección del movimiento), aceleración normal.

Con r vector unitario en la dirección tangencial y n vector unitario en la dirección normal. La aceleración tangencial se obtiene como la derivada del módulo de la velocidad con respecto al tiempo:

La aceleración normal (llamada también centrípeta) tiene como módulo:

con R el radio de curvatura de la trayectoria.