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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR GUARANDA

TEMA:

LÍMITES Y DERIVADAS

NIVEL:

TERCERO

ESPECIALIDAD:

ELECTRICIDAD

TUTOR: LIC. MARTIN GUAMBUGUETE

2018

GUARANDA – BOLÍVAR

I.

DATOS PERSONALES: 1.1. NOMBRE: Zaruma Mullo Edison David 1.2.MÓDULO: Calculo 1 1.3.FECHA DE INICIO: Miércoles 08 de Agosto de 2018. 1.4..FECHA DE ENTREGA: Jueves 09 de Agosto de 2018.

II.

OBJETIVOS GENERAL  Aplicar la definición de límites y derivadas en las funciones reales  Conocer el concepto de derivada, proporcionar su interpretación gráfica e ilustrar su interpretación física.

III.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Comprender como se grafica una función real.  Interpretar los teoremas de los límites y derivadas en las funciones reales.  Analizar teoremas de los límites (teorema del sandwich)  Conocer las fórmulas básicas para la derivación.  Saber distinguir en qué puntos una función es derivable y en qué puntos no admite derivada.  Familiarizarse con el cálculo automático de derivadas, con la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas, con la derivación múltiple y finalmente con la derivación implícita.

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IV. RESUMEN El cálculo, son todas aquellas operaciones en su mayoría matemáticas que nos permite llegar a una solución partiendo solamente de algunos datos; por ende tiene muchas herramientas fundamentales que permite la resolución del mismo. Límites y derivadas son ejes fundamentales para lograr una introducción al cálculo, temas que brindan un conocimiento profundo de las funciones con sus respectivos gráficos; siendo así, la derivación es indispensable porque con ello podemos llegar a tener resultados efectivos en las aplicaciones, una de ellas la variación de velocidades en una trayectoria circular. Los límites de una función son los puntos críticos que se nos presentan al obtener cocientes por ceros que prácticamente forman parte de elementos indefinidos. Cuyos puntos se las demuestran con teorías planteadas como: el teorema del sándwich; reconociendo los diferentes casos de límites se nos hace más fácil el problema. El concepto de derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable.

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V.

CONCEPTOS

Limites Es uno de los más importantes en el análisis matemático. Sobre el concepto de límite reside la definición de continuidad de una función en un punto así como la de derivabilidad de una función en un punto

Derivadas La derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.

Teorema del sándwich Es muy importante en demostraciones de cálculo y análisis matemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el límite de una función a través de la comparación con otras dos funciones de límite conocido o fácilmente calculable

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VI.

MARCO TEÓRICO Uno de los análisis bases para una función es estudiar su continuidad y los valores en el que posiblemente ésta no exista. Por lo tanto, estudiar a la función en entornos reducidos de estos valores y observando el comportamiento de ella misma, es lo que llamamos límites de una función. La simbología que usaremos para estudiar los límites de una función acercándose a algún valor en específico es la siguiente:

Limites 1 Donde, lim es la manera abreviada de escribir límite, x → a se lee “cuando x tiende al valor a en la función”, es decir, cuando la variable x toma valores muy cercanos al valor a. Ejemplo: Límite de la función f(x) = x + 1. Primero analizaremos el dominio de esta función. Rápidamente podemos observar que esta función no tiene ninguna restricción, para cualquier valor real de la variable x existirá un valor f(x), por lo tanto, su domino son todos los números reales: Dom: R Ahora analicemos el límite cuando x → 1: Limites 2 En este caso, como no tenemos una restricción en el dominio, sustituimos el valor al cual tiende la variable x en la función: 5

Límites 3 Tiene sentido que a medida x → 1 su imagen en el eje y sea 2.

PROPIEDADES Estas son algunas propiedades de los límites o como también son conocidas: álgebra de límites: Límites 5 El límite de la suma de funciones será igual a la suma del límite de cada función. Ejemplo:

Esta propiedad se cumple para las cuatro operaciones básicas:

El límite de una función elevada a otra función será igual al límite de la función base elevado al límite de la función exponente. Ejemplo:

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EJERCICIO Aplicando las propiedades resolvamos el siguiente límite:

CÁLCULO DE DERIVADAS Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa - 1. Resolución: f '(x) = 2 · x2 - 1 = 2 x f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2 Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x 2 en x = - 1 es - 2. Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x Si necesitas las demostraciones dímelo.

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Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x| Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x. Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0:

a. Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular

el

límite

cuando

h

tiende

a

cero.

En

estas

condiciones

b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.

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Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.

Derivadas de las funciones exponenciales ax y ex Sea la función y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

y se toman logaritmos neperianos:

Luego:

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función ex es (ex )' = ex · ln e = ex · 1 = ex

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Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin. Operaciones con funciones Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),

Función suma de f y g como la nueva función f + g: [a,b] ---> R, (f + g) (x) = f(x) + g(x) Función producto de f y g como la función f ·g: [a,b] ---> R, (f · g) (x) = f(x) · g(x)

Función cociente de f y g Siempre que g(x) distinto de 0 para todo x del intervalo. Derivada de una suma de funciones Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando

La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas. [f(x) + g(x)] ' = f '(x) + g '(x) 10

Derivada de una diferencia de funciones f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))' Pero - g(x) = (- 1) · g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función: [- g(x)]' = [(- 1) · g(x)]' = (- 1) · g'(x) = - g'(x) En consecuencia, [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) Calcular la derivada de la función f(x) = x - cos x Resolución:

Calcular la derivada de f(x) = x3 - sen x + ln|x| en el punto x = -p/3. Resolución:

Derivada de un producto de funciones Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía, 11

Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros

dos,

Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero.

Hallar la derivada de h(x) = x · ln x para cualquier x positivo. Resolución:

Resolución:

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VII.

CONCLUSIONES  La importancia que tiene al estudiar limites y derivadas, nos permite conocer cómo se ejecuta todos sus pasos; es decir resaltar sobre este tema que lo estudiábamos cursando la etapa de educación básica, para este entonces hablemos personas que tenemos de 10 años sin estudiar, y como seres humanos debemos repasar y practicar la matemática para un mejor futuro.  La derivada tiene muchas aplicaciones en la vida diaria, con la derivada se calcula la “razón de cambio” o en palabras más simples, velocidad, también nos ayuda a encontrar valores máximos y mínimos para problemas físicos reales (bajo el mismo principio de razón de cambio).

VIII. RECOMENDACIONES  Una vez investigado las diferentes páginas se considera interesante analizar y reflexionar sobre límites y derivadas de una función ya que son muy útiles para reforzar nuestros conocimientos y aplicar en nuestra vida diaria y así realizar un mejor desenvolvimiento en nuestro trabajo.

IX.

BIBLIOGRAFÍA

 https://www.monografias.com/trabajos-pdf5/introduccion-al-calculolimites-y-derivadas/introduccion-al-calculo-limites-y-derivadas.shtml  https://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Limites_Funciones.pdf  https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

 Conceptos

 https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_emparedado  https://miprofe.com/limites-introduccion/  http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas3.htm

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