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Seminario Institucional Uso de las Tecnologías de la Información en Matemáticas Ejercicios que sirven de guía para el concurso de límites y derivadas del 12 de nov 2008 a las 14 horas. Parte I. Límites

Eliminatoria: 5 nov 2008, 14 horas

1 lim  

=

2 lim  

=

3 lim  

√

=

4 lim  

√

5 lim  

√

6 lim  

7

lim  

=

9   lim   √

=

10  lim   √

=

11  lim  

= =

13  lim  

=

 

=

12  lim  

=

 

√

8 lim

=

Autor: Carlos Adolfo Soto Franco. CCH Sur. 

14 lim  

=

=

Página 1 

15 lim   √ 16  lim  

=

√

18  lim  

mT = lim      

17  lim  

I. Método de Fermat (para hallar la pendiente de la recta tangente): La recta tangente a la curva y = f(x), en el punto P(a, f(a)), es la recta que pasa por P y su pendiente es:

=

siempre que ese límite exista.

=

√

 = =

19  lim   20 lim  

√

a) F(x) =

=

b) F(x) =

1=

21  lim  √ 1=

22   lim  √

25) Usar el método de Fermat para hallar la pendiente de la recta tangente a la curva F(x) en P(a, F(a)):

; en x=2

c) F(x) =

; en x=2

d) F(x) =√3

3; en x=2

=

23  lim  

e) F(x) =√

24 lim  

; en x=2

1 1

f) F(x) =√2 g) F(x) =

Autor: Carlos Adolfo Soto Franco. CCH Sur. 

2 ; en x=2 1 ; en x=2 ; en x=2

Página 2 

Parte II. Concepto de derivada y aplicaciones: 1. La curva de la figura pertenece a la familia de curvas conocida como la Bruja de Agnesi; su ecuación es y =

;

hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en x=22 2. La gráfica de la izquierda representa el movimiento de una cuenta ensartada en un alambre rectilíneo. Las marcas en el eje vertical representan metros y en el eje horizontal segundos. A) ¿En qué instantes la rapidez instantánea de la cuenta es igual a cero? B) ¿Qué velocidad instantánea tiene la cuenta en t=5 s? C) ¿Qué rapidez promedio tiene la cuenta entre t=4 s y t=6 s?

3. Un objeto se desliza sobre un plano inclinado, el número de metros s(t) que avanza en t segundos está dado por s(t) = 3t2 + 3 A) ¿Cuál es su rapidez promedio entre los instantes t = 1s y t = 3s? B) ¿Cuál es su rapidez instantánea en t = 4s? C) ¿En qué instante su rapidez será de 25 m/s? D) ¿Con qué aceleración baja por el plano el objeto? 4. Un investigador está inflando un globo esférico, su radio r (en centímetros) después de t minutos está dado por r(t) = 2 √ , para 0 ≤ t ≤ 8; hallar e interpretar en t=6, cada una de las siguientes cantidades: a) r’(t) = b) El volumen del globo V(t) c) V’(t) d) La superficie del globo

Autor: Carlos Adolfo Soto Franco. CCH Sur. 

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5. Se lanza un cohete verticalmente hacia arriba, el impulso del motor hace que la posición del cohete s(t), metros después de t segundos sea s(t) = 6t2 + 10, el combustible se agota a los 8 segundos. A) ¿Cuál es la velocidad promedio del cohete durante los primeros 8 segundos de su vuelo? B) ¿Cuál es la velocidad instantánea del cohete en t = 8s? C) ¿Cuál es la altura que ha alcanzado el cohete en t = 8s? D) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el cohete? E) ¿Cuál es el tiempo total que dura en el aire el cohete?

Parte III. Hallar la función derivada A. Hallar la función derivada de las siguientes funciones usando la regla de los cuatro pasos o la definición de derivada:   lim

para x≠1

i)F(x) = iii) F(t) =

para t≠1

v) F(t) = √2

ii) G(x) =

para x≠

iv))F(t) = √

1  

 

1

 

1  

B. Hallar la función derivada de las siguientes funciones en su dominio usando las reglas de derivación habituales: 1) F(x) =

para x≠

2) F(x) =

para x≠

3) F(x) =

para x≠

4) F(x) =

para x≠

5) G(t) = √2 6) F(x) =

1  

√2

7) F(x) = 3 8) F(x) = 9) F(x) = 10) F(x) = 11) F(x) =

12)F(x) =

√ √

14)F(x) =

para x > -

√

para x > -

√

15)F(x) =

 

1  

 

2

  3  3

13)F(x) =

para x > -

√

2 2

para x >0

16)G(x) = (

7

17)F(x)=

6

 

5

    3

2 2

18)F(x) = 2

3

 3

19) F(u) =

2

 

20)F(x) =

 2

5

8  

para x > -

Autor: Carlos Adolfo Soto Franco. CCH Sur. 

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