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12

Límites y derivadas

1. Funciones especiales

PIENSA Y CALCULA Completa la tabla siguiente:

x

– 3,6

3,6

0,8

– 0,8

Ent(x) Dec(x) |x| Signo(x)

Solución: x

– 3,6

3,6

0,8

– 0,8

Ent(x)

–4

3

0

–1

Dec(x)

0,4

0,6

0,8

0,2

|x|

3,6

3,6

0,8

0,8

Signo(x)

–1

1

1

–1

APLICA LA TEORÍA 1 Representa las siguientes funciones:

a) y = Ent(2x)

2 Representa las siguientes funciones:

b) y = signo(x – 1)

Solución:

b) y = |– x2 + 4|

a) y = |x + 2| Solución:

a)

a)

Y

Y

y = Ent (2x) X

X

b)

Y

Y © Grupo Editorial Bruño, S.L.

b)

y = signo (x – 1) X

366

X

SOLUCIONARIO

3 Representa las siguientes funciones:

a) y = |log2 x|

Solución:

b) y = |sen x|

Y

Solución: a)

X

Y y = |log2 x| X

5 Representa la siguiente función:

b)

y= y = |sen x|

1 Y π/2

0

1

2

π 3

4

3π/2 5

2π 6 X

{

1/x

si x < 0

3x – 2

si x Ó 0

Solución: Y

–1 X

4 Representa la siguiente función:

y=

{

x+4

si x Ì – 1

x2

si x > – 1

2. Límites

PIENSA Y CALCULA Completa la tabla y estima el valor al que tiende la función cuando x tiende al infinito: x

10

100

1 000 10 000 100 000 1 000 000 …

x 8 +@ y8

y = 1/x

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

Solución: x

10

y = 1/x

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 …

100

1 000 10 000 100 000 1 000 000 …

x 8 +@ y8 0

APLICA LA TEORÍA 6 Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) lím

x8 +@

(x4

–

7x3

+ x – 5)

b) lím (x4 – 7x3 + x – 5) x8 – @

TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

Solución: a) lím (x4 – 7x3 + x – 5) = + @ x8 +@

b) lím (x4 – 7x3 + x – 5) = @ x8 – @

367

7 Calcula los siguientes límites y representa la fun-

8 Calcula mentalmente los siguientes límites:

ción correspondiente: x2 – 4 a) lím x8 2 x – 2

b) lím x + 4 x 8 – 4 x2 + 4x

a) lím

5x3 + 4x 2x3 + 1

b) lím

– x4 + 5x 7x3 – 4

c) lím

4n3 + 1 2n3 – 3

d) lím

– x4 + 5x 7x3 – 4

e) lím

n2 + 5 4n3 – 3

f) lím

x 8 +@

n8 +@

Solución:

[]

x2 – 4 0 (x + 2)(x – 2) a) lím ——— = — = lím ————— = x8 2 x – 2 x8 2 0 x–2

n 8 +@

x8 – @

x8 +@

x8 – @

5x3 + 4x 2x3 + 1

= lím (x + 2) = 4 x8 2

Solución:

Gráfica:

5x3 + 4x 5 a) lím ———— =— x 8 + @ 2x3 + 1 2

Y x2 – 4 y = ——— x–2 X

– x4 + 5x b) lím ———— = +@ x 8 – @ 7x3 – 4 4n3 + 1 c) lím ———— =2 n 8 + @ 2n3 – 3

[]

x+4 0 x+4 b) lím ——— = — = lím ——— = x8 – 4 x2 + 4x x 8 – 4 x (x + 4) 0 1 1 = lím — = – — x8 – 4 x 4

– x4 + 5x d) lím ———— = –@ x 8 + @ 7x3 – 4 n2 + 5 e) lím ———— =0 n 8 + @ 4n3 – 3 5x3 + 4x 5 f ) lím ———— =— x 8 – @ 2x3 + 1 2

Gráfica: Y x+4 y = ——— x2 + 4x X

PIENSA Y CALCULA Un coche va de Asturias a Andalucía; recorre 800 km en 8 horas. ¿Cuál es su velocidad media? Solución: 800 = 100 km/h Velocidad media = —— 8

368

SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

3. La derivada

APLICA LA TEORÍA Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 9 f(x) = 3x + 1 en [2, 4]

Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: 17 y = 3

Solución:

Solución:

y’ = 0

f(4) – f(2) 13 – 7 TVM[2, 4] = ———— = ——— = 3 4–2 2

18 y = x

10 f(x) = x2 – 1 en [2, 3]

Solución:

Solución: f(3) – f(2) 8 – 3 TVM[2, 3] = ———— = ——— = 5 3–2 1

y’ = 1 19 y = x2

Solución: 2 11 f(x) = en [1, 3] x

y’ = 2x

Solución:

20 y = x5

f(3) – f(1) 2/3 – 2 2 TVM[1, 3] = ———— = ——— = – — 3–1 2 3

Solución: y’ = 5x4

12 f(x) = √x en [0, 4] 21 y = x5 + x2 + x + 3

Solución: f(4) – f(0) 2 – 0 1 TVM[0, 4] = ———— = ——— = — 4–0 4 2

Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: 13 f(x) = 2x + 3 en x = 1

Solución: y’ = 5x4 + 2x + 1 22 y = 5x2 – 7x + 3

Solución: y’ = 10x – 7

Solución: f’(1) = 2

23 y = x3 + 3x2 – 4x + 2

Solución: 14 f(x) = – 3x + 1 en x = 2

y’ = 3x2 + 6x – 4

Solución: f’(2) = – 3 15 f(x) = x2 en x = 3

24 y = (3x + 5)4

Solución: y’ = 12(3x + 5)3

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

Solución: f’(3) = 6 16 f(x) = – x2 + 3 en x = 2

25 y = ex

Solución: y’ = ex

Solución: f’(2) = – 4 TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

26 y = e3x – 5

369

Solución:

32 y = x L x

y’ = 3e3x – 5

Solución:

27 y = L x

y’ = 1 + L x

Solución:

33 y = ex L x

1 y’ = — x

Solución:

28 y = L (3x – 1)

Solución:

ex y’ = ex L x + — x x 34 y = e

x

3 y’ = —— 3x – 1

Solución:

29 y = L (x2 + 5x – 6)

(x – 1) ex y’ = ——— x2

Solución: 2x + 5 y’ = ———— x2 + 5x – 6

35 y =

2x + 3 x

Solución: 30 y = 7x

Solución:

3 y’ = – —2 x

y’ = 7 36 y = 31 y = x ex

5x – 1 3x + 2

Solución: Solución: y’ = (x + 1)ex

13 y’ = ———2 (3x + 2)

PIENSA Y CALCULA Si la pendiente de una recta es m = 2, calcula la pendiente m2 de cualquier recta perpendicular. Solución: 1 Las pendientes son inversas y opuestas, m2 = – — 2

370

SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

4. Aplicaciones de la derivada

APLICA LA TEORÍA 37 Halla la recta tangente a la curva y = x2 + 2x para

x = 1. Dibuja la función y la recta tangente.

Solución: y’ = 2x – 6

Solución:

2x – 6 = 0, x = 3, y = – 4,A(3, – 4)

Recta tangente: y = 4x – 1

y’’ = 2 f’’(2) = 2 > 0 ò A(3, – 4) mínimo relativo.

Y

Y

f(x) = x2 + 2x

P(1, 3)

f(x) = x2 – 6x + 5

X

X y = 4x – 1 A(3, – 4)

38 Calcula la recta normal a la curva y = x2 – 5 para

x = 2. Dibuja la función y la recta normal.

41 Halla los máximos y mínimos relativos de la fun-

ción y = – x2 + 4x. Dibuja la función.

Solución:

Solución:

1 1 Recta normal: y = – — x – — 4 2

y’ = – 2x + 4 – 2x + 4 = 0, x = 2, y = 4,A(2, 4)

Y

y’’ = –2

f(x) = x2 – 5

f’’(2) = –2 < 0 ò A(2, 4) Máximo relativo. X 1x–— 1 y = –— 4 2

Y A(2, 4)

P(2, – 1)

X

39 Halla las rectas tangente y normal a la curva y = x2

f(x) = – x2 + 4x

para x = 2. Dibuja la función y las rectas tangente y normal. 42 Calcula el crecimiento de la función y = x2 – 2x – 3.

Solución:

Dibuja la función.

Recta tangente: y = 4x – 4 1 9 Recta normal: y = – — x + — 4 2 Y

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

f(x) = x2

1x+— 9 y = –— 4 2 P(2, 4) X

y = 4x – 4

Solución: Hay que hallar previamente los máximos y mínimos relativos: y’ = 2x – 2 2x – 2 = 0, x = 1, y = – 4,A(1, – 4) y’’ = 2 f’’(1) = 2 > 0 ò A(1, – 4) mínimo relativo. Crecimiento: Discontinuidades: no hay.

40 Calcula los máximos y mínimos relativos de la

función y = x2 – 6x + 5. Dibuja la función. TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

f’(x) x

0 1

371

44 Calcula el crecimiento de la función y = 3x. Dibu-

y’ = 2x – 2

ja la función.

f’(0) = – f’(x)

–

Solución:

+

y’ = 3 > 0, es siempre creciente.

0 1

x

( ) = (1, + @)

8

Y

8

( ) = (– @, 1) Y

X f(x) = 3x X

f(x) = x2 – 2x – 3 A(1, – 4)

43 Halla el crecimiento de la función y = – x2 + 6x – 4.

Dibuja la función.

45 Halla el crecimiento de la función y = – 2x. Dibuja

la función.

Solución: Hay que hallar previamente los máximos y mínimos relativos:

Solución: y’ = – 2 < 0, es siempre decreciente.

y’ = – 2x + 6

Y

– 2x + 6 = 0, x = 3, y = 5,A(3, 5) y’’ = – 2 f(x) = – 2x

f’’(3) = – 2 < 0 ò A(3, 5) Máximo relativo.

X

Crecimiento: Discontinuidades: no hay. f’(x) x

0 1

3

y’ = – 2x + 6 f’(0) = + f’(x)

+ 0 1

x

–

46 Calcula los máximos y mínimos relativos de la

3

función y = x3 – 3x

8

( ) = (– @, 3)

Solución:

8

( ) = (3, + @)

y’ = 3x2 – 3 Y

3x2 – 3 = 0, x2 – 1 = 0, x2 = 1, x = 1, x = – 1

P(3, 5)

x = 1, y = – 2,A(1, – 2) x = – 1, y = 2, B(– 1, 2) y’’ = 6x f(x) = – x2 + 6x – 4

372

f’’(1) = 6 > 0 ò A(1, – 2) Mínimo relativo. f’’(– 1) = – 6 < 0 ò B(– 1, 2) Máximo relativo.

SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

X

Ejercicios y problemas 1. Funciones especiales

51 Representa la siguiente función:

47 Representa la siguiente función: y = Ent(x/2)

y=

Solución:

{

2x

si x Ì 0

– x2

si x > 0

Solución:

Y

Y X X

48 Representa la siguiente función: 52 Representa la siguiente función:

y = Signo(x2 – 1)

y=

Solución: Y

{

–x

si x < 1

log1/2 x

si x Ó 1

Solución: Y X

X

49 Representa la siguiente función:

y = |x2 – 2x – 3|

2. Límites

Solución: Y

53 Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) lím (– x3 + 5x – 3) x 8 +@

b) lím (– x3 + 5x – 3)

X

x8 – @

y = |x2 – 2x – 3|

Solución: a) lím (– x3 + 5x – 3) = – @ x8 +@

b) lím (– x3 + 5x – 3) = + @ 50 Representa la siguiente función en el intervalo

[0, 2π]: y = |cos x|

x8 – @

54 Calcula el siguiente límite:

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

Solución: 1

lím

y = |cos x|

Y

2x + 4 x+2

Representa la función correspondiente. π/2

0

x8 –2

1

2

π 3

3π/2 4

–1

TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

5

2π 6

X

Solución:

[]

2x + 4 0 2 (x + 2) lím ——— = — = lím ——— = lím 2 = 2 x8 2 x + 2 x8 2 x+2 0

x8 2

373

Ejercicios y problemas Gráfica:

Solución: 5x4 – 1 a) lím ———— = –5 x 8 + @ – x4 + 2x

Y 2x + 4 y = ——— x+2 X

5x4 – 1 b) lím ———— = –5 x 8 – @ – x4 + 2x 58 Calcula mentalmente los siguientes límites:

3n2 – 5 n 8 +@ n4 + 2n n3 + n b) lím n 8 +@ – n3 – 2n a) lím

55 Calcula el siguiente límite:

x–3 x2 – x – 6 Representa la función correspondiente. lím

x8 3

3n2 – 5 a) lím ———— =0 n 8 + @ n4 + 2n

Solución:

[]

x–3 0 x–3 lím ———— = — = lím ————— = x8 3 (x + 2)(x – 3) 0 x2 – x – 6

x8 3

Solución:

1 1 = lím —— = — x8 3 x + 2 5

n3 + n b) lím ———— = –1 n 8 + @ – n3 – 2n 59 Calcula mentalmente los siguientes límites:

Gráfica: Y x–3 y = ——— x2 – x – 6 X

– x5 + x 2 x 8 +@ x2 – x – x5 + x 2 b) lím x 8 – @ x2 – x a) lím

Solución: – x 5 + x2 a) lím ———— = –@ x 8 + @ x2 – x

56 Calcula mentalmente los siguientes límites:

– x5 + x2 b) lím ———— = +@ x 8 – @ x2 – x

a) lím – 2x + 7 x8 +@ x2 + 1

Solución:

3. La derivada Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica:

– 2x + 7 a) lím ———— =0 x8 +@ x2 + 1

60 f(x) = 2x – 4 en [1, 3]

– 2x + 7 b) lím ———— =0 x8 – @ x2 + 1

f(3) – f(1) 2 + 2 TVM[1, 3] = ———— = ——— = 2 3–1 2

57 Calcula mentalmente los siguientes límites:

61 f(x) = x2 + 4x en [0, 2]

5x4

–1 + 2x 5x4 – 1 b) lím x8 – @ – x4 + 2x a) lím

x8 +@

374

– x4

Solución:

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

b) lím – 2x + 7 x8 – @ x2 + 1

Solución: f(2) – f(0) 12 – 0 TVM[0, 2] = ———— = ——— = 6 2–0 2 SOLUCIONARIO

62 f(x) =

6 en [2, 3] x

Solución: y’ = 7x6

Solución: f(3) – f(2) 2 – 3 TVM[2, 3] = ———— = ——— = – 1 3–2 1

71 y = x7 – x3 + x + 9

Solución: 63 f(x) = √x + 5 en [– 1, 4]

Solución: f(4) – f(– 1) 3 – 2 1 TVM[– 1, 4] = ———— = ——— = — 4+1 5 5

y’ = 7x6 – 3x2 + 1 72 y = 3x2 – 4x + 1

Solución: y’ = 6x – 4

Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica:

73 y = x3 – 5x2 + 3x – 8

64 f(x) = 3x + 1 en x = 2

Solución: Solución:

y’ = 3x2 – 10x + 3

f’(2) = 3 74 y = (2x – 3)5 65 f(x) = – 2x + 3 en x = 1

Solución: Solución:

y’ = 10 (2x – 3)4

f’(1) = – 2 66 f(x) = x2 en x = – 3

75 y = e– 2x + 3

Solución: Solución:

y’ = – 2e– 2x + 3

f’(– 3) = – 6 67 f(x) = – x2 + 5 en x = 1

Solución: f’(1) = – 2 Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas: 68 y = 9

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

Solución:

76 y = L (5x + 2)

Solución: 5 y’ = —— 5x + 2 77 y = L (x2 – 3x + 1)

Solución:

y’ = 0

2x – 3 y’ = ——— x2 – 3x + 1

69 y = – x3

78 y = 9x

Solución:

Solución:

y’ =

– 3x2

70 y = x7

TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

y’ = 9 79 y = (x + 1) ex

375

Ejercicios y problemas Solución: y’ = (x +

Y

2) ex P(3, 3)

f(x) = x2 – 2x

X

80 y = x L (x – 5) y = 4x – 9

Solución: x y’ = L (x – 5) + —— x–5

86 Calcula la recta normal a la curva y = – x2 + 5 para

x = 2. Dibuja la función y la recta normal. 81 y =

e3x

Lx

Solución:

Solución: e3x

y’ = 3e3x L x + — x

1 1 Recta normal: y = — x + — 4 2 Y 1x — 1 y=— + 4 2 P(2, 1) X

2x 82 y = e

x

Solución:

f(x) = – x2 + 5

1) e2x

(2x – y’ = ——— x2 87 Halla las rectas tangente y normal a la curva

83 y =

x x–1

y = x2 para x = 1. Dibuja la función y las rectas tangente y normal. Solución:

Solución:

Recta tangente: y = 2x – 1

–1 y’ = ——2 (x – 1)

1 3 Recta normal: y = – — x + — 2 2 Y f(x) = x2

84 y =

3x + 5 2x – 1

P(1, 1)

Solución: y = 2x – 1

– 13 y’ = ——2 (2x – 1)

X

1x+— 3 y = –— 2 2

88 Calcula los máximos y mínimos relativos de la fun-

4. Aplicaciones de la derivada 85 Halla la recta tangente a la curva y = x2 – 2x para

x = 3. Dibuja la función y la recta tangente.

Solución: y’ = 2x – 4 2x – 4 = 0, x = 2, y = – 4,A(2, – 4)

Solución:

y’’ = 2

Recta tangente: y = 4x – 9

f’’(2) = 2 > 0 ò A(2, – 4) mínimo relativo.

376

SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

ción y = x2 – 4x. Dibuja la función.

Y

Y f(x) = x2 – 4x

f(x) = x2 – 6x + 4 X

X

A(2, – 4)

A(3, – 5)

89 Halla los máximos y mínimos relativos de la fun-

ción y = – x2 + 6x – 5. Dibuja la función.

91 Halla el crecimiento de la función siguiente:

Solución:

y = – x2 + 2x + 3. Dibuja la función.

y’ = – 2x + 6

Solución:

– 2x + 6 = 0, x = 3, y = 4,A(3, 4) y’’ = – 2 f’’(3) = – 2 < 0 ò P(3, 4) Máximo relativo. Y

Hay que hallar previamente los máximos y mínimos relativos: y’ = – 2x + 2 – 2x + 2 = 0, x = 1, y = 4,A(1, 4)

A(3, 4)

y’’ = – 2 X

f’’(1) = – 2 < 0 ò A(1, 4) Máximo relativo. Crecimiento:

f(x) = – x2 + 6x – 5

Discontinuidades: no hay. f’(x) x

90 Calcula el crecimiento de la función siguiente:

y = x2 – 6x + 4. Dibuja la función.

0 1

y’ = – 2x + 2 f’(0) = +

Solución:

f’(x)

Hay que hallar previamente los máximos y mínimos relativos:

–

+

x

0 1

2x – 6 = 0, x = 3, y = – 5,A(3, – 5)

( ) = (1, + @)

8

8

( ) = (– @, 1)

y’ = 2x – 6

Y A(1, 4)

y’’ = 2 f’’(3) = 2 > 0 ò A(3, – 5) mínimo relativo. f(x) = – x2 + 2x + 3

Crecimiento:

X

Discontinuidades: no hay. f’(x) 0 1

3

y’ = 2x – 6 f’(0) = – –

x

0 1

+ 3

92 Calcula el crecimiento de la función y = 2x. Dibuja

la función.

8

f’(x)

( ) = (3, + @)

Solución:

( ) = (– @, 3)

y’ = 2 > 0, es siempre creciente.

8

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

x

TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

377

Ejercicios y problemas 94 Calcula los máximos y mínimos relativos de la fun-

Y

ción y = – x3 + 3x Solución:

X

y’ = – 3x2 + 3

f(x) = 2x

– 3x2 + 3 = 0, x2 – 1 = 0, x2 = 1, x = 1, x = – 1 x = 1, y = 2,A(1, 2) x = – 1, y = – 2, B(– 1, – 2)

93 Halla el crecimiento de la función y = – 3x. Dibuja

la función.

y’’ = – 6x f’’(1) = – 6 < 0 ò A(1, 2) Máximo relativo. f’’(– 1) = 6 > 0 ò B(– 1, – 2) mínimo relativo.

Solución: y’ = – 3 < 0, es siempre decreciente. Y

f(x) = – 3x

X

Para ampliar ¿Puede haber más de una ecuación?

95 Representa la siguiente función:

y=

{

2x

si x Ì 1

2 x–1

Solución:

si x > 1

y = |2x – 3| o bien y = |– 2x + 3|

Solución: 97 Halla la ecuación de una función cuyo valor absoluto

Y

tenga como representación la siguiente gráfica: Y X

X

96 Halla la ecuación de una función cuyo valor absoluto Y

¿Puede haber más de una ecuación? Solución: y = |x2 – 2x – 3| o bien y = |– x2 + 2x + 3|

X

98 Halla la ecuación de una función definida a trozos

cuya representación sea la siguiente gráfica: 378

SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

tenga como representación la siguiente gráfica:

Y

102 Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) lím

2n3 + 1 5n2 – 7n

b) lím

n2 + 5n n2 – 3n

n 8 +@

X n 8 +@

Solución: Solución: y=

{

x2 + 2x – 3

si x Ì 1

– 3x + 5

si x > 1

99 Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) lím (x3 – 5x2 – x + 7) x8 1

b) lím

x8 0

5x3 + x2 – 10x + 6 x3 + 2x2 – 3

Solución: a) lím (x3 – 5x2 – x + 7) = 2 x8 1

5x3

x2

+ – 10x + 6 b) lím ——————— = –2 x8 0 x3 + 2x2 – 3

100 Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) lím (– x3 + 5x + 3) x8 +@

2n3 + 1 a) lím ———— = +@ n 8 + @ 5n2 – 7n n2 + 5n b) lím ———— =1 n 8 + @ n2 – 3n 103 Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) lím

– 6x3 + 9 2x3 – 3

b) lím

– 6x3 + 9 2x3 – 3

x 8 +@

x8 – @

Solución: – 6x3 + 9 a) lím ———— = –3 x 8 + @ 2x3 – 3 – 6x3 + 9 b) lím ———— = –3 x 8 – @ 2x3 – 3 104 Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) lím

3x – 1 – 7x3 + x

b) lím

3x – 1 – 7x3 + x

x 8 +@

b) lím (– x4 + 2x2 – 5x) x8 – @

x8 – @

Solución: a) lím (– x3 + 5x + 3) = – @ x8 +@

b) lím

x8 – @

(– x4

+

2x2

– 5x) = – @

101 Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) lím

– 3x2 + 2x 5x2 – x

b) lím

– 3x2 + 2x 5x2 – x

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

x8 +@

x8 – @

Solución: – 3x2

Solución: 3x – 1 a) lím ———— =0 x 8 + @ – 7x3 + x 3x – 1 b) lím ———— =0 x 8 – @ – 7x3 + x 105 Calcula el siguiente límite:

lím

x8 –1

x2 – 1 x2 + 3x + 2

Solución:

[]

x2 – 1 0 (x + 1)(x – 1) lím ———— = — = lím ————— = 2 x 8 –1 (x + 1)(x + 2) 0 x + 3x + 2

+ 2x 3 a) lím ———— = –— x8 +@ 5x2 – x 5

x 8 –1

– 3x2 + 2x 3 b) lím ———— = –— x8 – @ 5x2 – x 5

x – 1 –2 = lím —— = — = – 2 x 8 –1 x + 2 1

TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

379

Ejercicios y problemas 106 Calcula el siguiente límite:

lím

x8 2

x2 – 4x + 4 x2 – 2x

Solución:

[]

x2 – 4x + 4 0 (x – 2)2 lím ————— = — = lím ——— = 2 x8 2 x 8 2 x (x – 2) 0 x – 2x x–2 lím —— = 0 x

x8 2

x8 1

Solución: f(1) – f(– 1) 1 – 1 TVM[– 1, 1] = ———— = ——— = 0 1+1 2 Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indica: 112 f(x) = 4x – 1 en x = 2

107 Calcula el siguiente límite:

lím

111 f(x) = x2 en [– 1, 1]

x3 – x2 x3 + 2x2 – 3x

Solución: f’(2) = 4 113 f(x) = – x2 + 5 en x = 3

Solución:

[]

x3 – x2 0 x2 (x – 1) lím ———— = — = lím ————— = 3 2 x8 1 x + 2x – 3x x 8 1 x (x – 1)(x + 3) 0

Solución: f’(3) = – 6

x 1 = lím —— = — x8 1 x + 3 4

Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas:

108 Calcula el siguiente límite:

114 y = 4x4 – 5x2 – 6x + 2

lím

x8 –2

x2 + 4x + 4 x2 + 3x + 2

Solución: y’ = 16x3 – 10x – 6

Solución:

[]

x2 + 4x + 4 0 (x + 2)2 lím ———— = — = lím ————— = 2 x8 –2 x + 3x + 2 x 8 –2 (x + 1)(x + 2) 0

115 y = (5x + 1)4

x+2 = lím —— = 0 x8 –2 x + 1

Solución:

109 Calcula el siguiente límite:

116 y = e5x – 2

lím

x8 7

y’ = 20 (5x + 1)3

2(x – 7) x2 – 2x – 35

Solución: y’ = 5e5x – 2

Solución:

2 2 1 = lím —— = — = — x8 7 x + 5 12 6 Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 110 f(x) = 2x – 1 en [– 2, 1]

Solución: f(1) – f(– 2) 1 + 5 TVM[– 2, 1] = ———— = ——— = 2 1+2 3 380

117 y = L (x2 + 5x)

Solución: 2x + 5 y’ = —— x2 + 5x © Grupo Editorial Bruño, S.L.

[]

2(x – 7) 0 2(x – 7) lím ———— = — = lím ————— = x 8 7 (x + 5)(x – 7) 0 x2 – 2x – 35

x8 7

118 y = – x

Solución: y’ = – 1 119 y = (x – 1) ex

SOLUCIONARIO

125 Calcula los máximos y mínimos relativos de la fun-

Solución: y’ = x

ción y = x2. Dibuja la función.

ex

Solución: 120 y = (2x + 1) L x

y’ = 2x

Solución:

2x = 0, x = 0, y = 0,A(0, 0)

2x + 1 y’ = 2 L x + —— x

y’’ = 2 f’’(0) = 2 > 0 ò A(0, 0) mínimo relativo. Y

121 y =

2x + 3 4x – 5

f(x) = x2 X

Solución:

A(0, 0)

– 22 y’ = ——2 (4x – 5) 122 y =

– 2x + 1 3x + 4

126 Halla los máximos y mínimos relativos de la fun-

ción y = – x2. Dibuja la función.

Solución: – 11 y’ = ——2 (3x + 4)

Solución: y’ = – 2x

123 Halla la recta tangente a la curva y = x2 – 1 para

x = 2. Dibuja la función y la recta tangente.

– 2x = 0, x = 0, y = 0,A(0, 0) y’’ = –2 f’’(0) = –2 < 0 ò A(0, 0) Máximo relativo.

Solución: Y

Recta tangente: y = 4x – 5 Y

A(0, 0) f(x) = x2 – 1

X

P(2, 3) f(x) = – x2

X

y = 4x – 5

127 Halla los máximos y mínimos relativos y el creci124 Halla la recta normal a la curva y =

– x2

Solución:

Solución:

Máximos y mínimos relativos:

1 7 Recta normal: y = — x – — 4 2

y’ = ex ex ? 0 siempre, no tiene ni máximos ni mínimos relativos.

Y

Crecimiento: X

y’ = ex > 0 siempre, es creciente siempre.

2

P(2, – 3)

( ) = (– @, + @)

8

f(x) = – x + 1

( )=Ö

8

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

x = 2. Dibuja la función y la recta normal.

miento de la función y = ex

+ 1 para

TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

381

Ejercicios y problemas Problemas 128 Representa la siguiente función:

y=

{

Solución:

( 12 )

si x Ì 0

|log1/2 x|

si x > 0

x

Solución:

[]

x3 – 3x + 2 0 lím ——— = — = 4 0 x – 4x + 3

x8 1

[]

(x – 1)(x2 + x – 2) 0 = — = = lím ——————— x 8 1 (x – 1)(x3 + x2 + x – 3) 0 (x – 1)(x + 2) x+2 = lím ———— = = lím —————— x 8 1 (x – 1)(x2 + 2x + 3) x 8 1 x2 + 2x + 3

Y

X

3 1 =—=— 6 2 132 Dibuja la siguiente función afín:

y = 2x – 3 a) Halla mentalmente la pendiente. 129 Calcula el valor de k para que se verifique:

kx3 + x lím =5 x 8 +@ 2x3 – 4x

b) Halla la pendiente derivando. c) La función ¿es creciente o decreciente? Solución: Y

Solución: kx3 + x k lím ———— = 5 ò — = 5 ò k = 10 x8 +@ 2x3 – 4x 2

f(x) = 2x – 3

X

130 Observando la siguiente gráfica: Y y = – x3 + x2 + 1

a) m = 2 b) y’ = 2

X

c) Como m = y’ = 2 > 0 siempre, la función siempre es creciente. 133 Dibuja la siguiente función afín:

calcula:

y = – 2x + 1

lím (– x3 + x2 + 1)

a) Halla mentalmente la pendiente.

lím (– x3 + x2 + 1)

b) Halla la pendiente derivando.

x8 +@ x8 – @

c) La función ¿es creciente o decreciente?

lím (– x3 + x2 + 1) = – @

x8 +@

lím (– x3 + x2 + 1) = + @

x8 – @

Solución: Y f(x) = – 2x – 1 X

131 Calcula el siguiente límite:

lím

x8 1

382

x3 – 3x + 2 x4 – 4x + 3 SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

Solución:

a) m = – 2

Solución:

b) y’ = – 2

Recta tangente: y = 2x – 10

c) Como m = y’ = – 2 < 0 siempre, la función siempre es decreciente.

1 5 Recta normal: y = – — x – — 2 2 Y f(x) = x2 – 4x – 1

134 Dibuja la siguiente parábola:

y = x2 – 4x + 1

X

a) Viendo la gráfica, halla el máximo o mínimo relativo.

y = 2x – 10 1x–— 5 y = –— 2 2

b) Viendo la gráfica, halla el crecimiento. c) Halla el máximo relativo o mínimo relativo derivando.

P(3, – 4)

136 Halla el crecimiento de la función:

d) Halla el crecimiento derivando.

y = x2 + 6x + 5

Solución:

Dibuja la función. Y

Solución: Y f(x) = x2 – 4x + 1

X X

A(2, – 3)

f(x) = x2 + 6x + 5

a) A(2, – 3) es un mínimo relativo. 8

b) ( ) = (2, + @)

Hay que hallar previamente los máximos y mínimos relativos:

8

( ) = (– @, 2)

c) y’ = 2x – 4

y’ = 2x + 6

2x – 4, x = 2, y = – 3,A(2, – 3)

2x + 6 = 0, x = – 3, y = – 4,A(– 3, – 4)

y’’ = 2

y’’ = 2

f’’(2) = 2 > 0 ò A(2, – 3) mínimo relativo.

f’’(– 3) = 2 > 0 ò A(– 3, – 4) mínimo relativo.

d) Discontinuidades: no hay.

Discontinuidades: no hay.

f’(x)

f’(x)

x

0 1 2

x

y’ = 2x – 4

0 1

y’ = 2x + 6

f’(0) = –

f’(0) = + –

x

0 1 2

+

8

135 Halla las rectas tangente y normal a la curva:

y = x2 – 4x – 1 para x = 3 Dibuja la función, así como las rectas tangente y normal. TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

x

+ 0 1

–3

( ) = (– 3, + @) ( ) = (– @, – 3)

8

8

( ) = (– @, 2)

f’(x) –

8

f’(x)

( ) = (2, + @)

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

–3

137 Halla el crecimiento de la función:

6 x Dibuja la función. y=

383

Ejercicios y problemas Solución:

Calcula lím f(x), lím f(x), esboza la gráfica de

6 y’ = – —2 < 0, es siempre negativa, decreciente. x

la función.

x8 +@

x8 – @

Solución:

( )=Ö

Máximos y mínimos relativos:

8

Discontinuidades: x = 0

y’ = x2 – 4

8

( ) = (– @, + @)

x2 – 4 = 0, x2 = 2, x = 2, x = – 2

Y

x = 2, y = – 16/3,A(2, – 16/3) x = – 2, y = 16/3, B(– 2, 16/3) y’’ = 2x

X

f’’(2) = 4 > 0 ò A(2, – 16/3) mínimo relativo. f’’(– 2) = – 4 < 0 ò B(– 2, 16/3) Máximo relativo.

f(x) = 6/x

Crecimiento: 138 Halla los máximos y mínimos relativos y el creci-

miento de la función: y=

x2

Discontinuidades: no hay. f’(x) x

– 6x + 4

–2

y’ =

Solución:

x2

0

2

–4

f’(1) = –

y’ = 2x – 6

f’(x) + x

2x – 6 = 0, x = 3, y = – 5,A(3, – 5)

–2

0

+ 2

( ) = (– @, – 2) á (2, + @)

Discontinuidades: no hay.

( ) = (– 2, 2)

8

f’’(3) = 2 > 0 ò A(3, – 5) mínimo relativo.

8

y’’ = 2

–

B(– 2, 16/3) Y

f’(x) x

0 1

3

y’ = 2x – 6

X

f’(0) = – f’(x)

–

x

0 1

+

f(x) = x2/3 – 4x

3

A(2, – 16/3)

8

( ) = (3, + @)

8

( ) = (– @, 3)

140 Halla los máximos y mínimos relativos y el creci-

miento de la función:

Y

x3 + 4x 3 Calcula lím f(x), lím f(x), esboza la gráfica de y=–

X

x8 +@

x8 – @

A(3, – 5)

Solución: Máximos y mínimos relativos:

139 Halla los máximos y mínimos relativos y el creci-

miento de la función: y= 384

x3 3

– 4x

y’ = – x2 + 4 – x2 + 4 = 0, x2 – 4= 0, x2 = 2, x = 2, x = – 2 x = 2, y = 16/3,A(2, 16/3) SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

la función.

f(x) = x2 – 6x + 4

x = – 2, y = – 16/3, B(– 2, – 16/3)

Solución:

y’’ = – 2x

y’ = – 2x + 18

f’’(2) = – 2 < 0 ò A(2, 16/3) Máximo relativo.

– 2x + 18 = 0, 2x – 18 = 0, x = 9, y = 61

f’’(– 2) = 2 > 0 ò B(– 2, – 16/3) mínimo relativo.

y’’ = – 2 f’’(9) = – 2 < 0 ò A(9, 61) Máximo relativo.

Crecimiento:

Los máximos beneficios los alcanza en el 9º año y son 61 millones de euros.

Discontinuidades: no hay. f’(x) x

–2

0

2

Para profundizar

y’ = x2 – 4

143 Representa la siguiente función:

f’(1) = – f’(x) – x

–

+ 0

–2

y=

2

8

( ) = (– 2, 2)

{

2x2 + 8x + 3 x+3 x+1

si x < 0 si x Ó 0

Solución:

8

( ) = (– @, – 2) á (2, + @) f(x) = x2/3 – 4x

Y

Y A(2, 16/3) X

X

B(– 2, – 16/3)

144 Halla el crecimiento de la función y = x3 – 3x. Cal-

cula lím f(x), lím f(x), esboza la gráfica de x 8 +@

141 Halla la recta tangente a la curva:

x8 – @

la función.

y = x2 – 4x + 7 para x = 2. Dibuja la función y la recta tangente.

Solución:

Solución:

Primero hay que hallar los máximos y mínimos relativos.

Recta tangente: y = 3

y’ = 3x2 – 3 3x2 – 3 = 0, x2 – 1= 0, x2 = 1, x = 1, x = – 1

Y 2

f(x) = x – 4x + 7

x = 1, y = – 2,A(1, – 2) x = – 1, y = 2, B(– 1, 2)

A(2, 3) X

y’’ = 6x f’’(1) = 6 > 0 ò A(1, – 2) Máximo relativo. f’’(– 1) = – 6 < 0 ò B(– 1, 2) mínimo relativo.

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

Crecimiento: 142 Los beneficios de una empresa en millones de

euros vienen dados por la fórmula: y = – x2 + 18x – 20 donde x indica el número de años que lleva funcionando. ¿Qué año alcanza los máximos beneficios? TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

Discontinuidades: no hay. f’(x) x

–1 0 1

y’ = 3x2 – 3 f’(0) = –

385

Ejercicios y problemas f’(x) + x

–

+

Y

–1 0 1

8

( ) = (– @, – 1) á (1, + @) X

8

( ) = (– 1, 1)

f(x) = 2/x2

Límites: lím x3 – 3x = + @

x8 +@

lím x3 – 3x = – @

146 Las pérdidas de una empresa en millones de euros

x8 – @

vienen dadas por la fórmula:

Y

y = – x2 + 8x B(– 1, 2) X f(x) = x2 – 3x

A(1, – 2)

donde x indica el número de años que lleva funcionando. ¿Qué año alcanza las máximas pérdidas? Solución: y’ = – 2x + 8 – 2x + 8 = 0, x – 4 = 0, x = 4, y = 16 y’’ = – 2 f’’(4) = – 2 < 0 ò A(4, 16) Máximo relativo.

145 Halla el crecimiento de la función y = 2 . 2

x Calcula lím f(x), lím f(x), esboza la gráfica x8 +@

x8 – @

Las máximas pérdidas las alcanza en el 4º año y son 16 millones de euros. 147 Una determinada especie evoluciona según la fun-

ción:

de la función.

2 + 1, x > 0 x donde x es el número de años y f(x) son los millones de unidades existentes. f(x) =

Solución: 4 y’ = – —3 x Discontinuidades de la derivada: x = 0 de orden 3, que es impar, luego cambia de crecimiento. f’(x) x

0 1

Representa la gráfica y, observándola, contesta a la siguiente pregunta: ¿la especie está en vías de extinción? Solución:

f’(1) = – 4 f’(x)

Y

–

+

x

0 1 X

8

( ) = (– @, 0)

8

( ) = (0, + @) 2 lím —2 = + @ x

x8 +@

2 lím —2 = + @ x

La población tiende a cero, por tanto está en vías de extinción.

x8 +@

x8 – @

386

2 lím — = 0 x

SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

Límites:

Aplica tus competencias 148

El espacio que recorre un móvil es e(t) = 3t2 + 2t + 5, donde t se expresa en segundos, y e(t), en metros. Calcula la velocidad que lleva en el instante t = 4 s

El espacio que recorre un móvil es e(t) = 5t2 – 3t + 1, donde t se expresa en segundos, y e(t), en metros. Calcula la aceleración que lleva en el instante t = 2 s

Solución: v(t) = e’(t) = 10t – 3 a(t) = v’(t) = 10 a(2) = 10 m/s2

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

Solución: v(t) = e’(t) = 6t + 2 v(4) = 6 · 4 + 2 = 24 + 2 = 26 m/s

149

TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

387

Comprueba lo que sabes Define función parte entera y represéntala.

1

Solución: La función parte entera de x asigna a cada x su parte entera. Se representa por y = Ent(x)

[]

x+4 = — 0 = lím —— x+4 = b) lím —— 2 x8 – 4 x + 4x 0 x8 – 4 x(x + 4) 1 1 = lím — = – — x8 – 4 x 4 Gráfica:

Y

Y

y = Ent(x)

x+4 y = ——— x2 + 4x X

Representa la gráfica de la siguiente función: si x Ì 1 2x f(x) = 2 – x + 4x + 1 si x > 1

2

{

X

4

Solución: Resuelto en el libro del alumnado.

Calcula mentalmente los siguientes límites: 2 a) lím 2x2 – 4 x8 + @ – x + 7x b) lím

x8 – @

Y

2x2 – 4 – x2 + 7x

2 c) lím – 5n3 + 3n n8 + @ n +1 2 d) lím – 5x3 + 3x x8 – @ x +1

X

3 e) lím – x2 + 6x x8 + @ x – 7

Solución: 0 (x + 2)(x – 2) x2 – 4 = — a) lím —— = lím ———— = x8 2 x – 2 0 x8 2 x–2 = lím (x + 2) = 4

[]

x8 2

Gráfica:

Solución: a) – 2 b) – 2 c) 0 d) 0 e) – @ f) + @

Y 2

x –4 y = ——— x–2

5

X

388

Calcula las derivadas siguientes: a) y = (3x – 5)4 b) y = e5x+1 c) y = L (7x – 2) d) y = x2ex e) y = x x+1 SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

Calcula los siguientes límites y representa la función correspondiente: 2 a) lím x – 4 b) lím x2 + 4 x8 2 x – 2 x8 – 4 x + 4x

3

3 f ) lím – x2 + 6x x8 – @ x – 7

Solución: a) y’ = 12(3x – 5)3 b) y’ = 5e5x + 1 7 c) y’ = ——— 7x – 2 d) y’ = 2x ex + x2ex = xex(2 + x) x+1–x 1 e) y’ = ———— = —— (x + 1)2 (x + 1)2 6

Estudia el crecimiento de la función y = x2 – 2x – 3

Solución: Primero hay que hallar lo máximos y mínimos relativos: y = x2 – 2x – 3 y’ = 2x – 2 y’ = 0 ò 2x – 2 = 0 ò x = 1 Si x = 1 ò y = – 4 A(1, – 4) y’’ = 2 y’’(1) = 2 > 0 (+) ò A(1, – 4) es un mínimo relativo Crecimiento: f ’(x)

–

x

+

2 f(x) = 4x – x 2 donde x se expresa en semanas, y f(x), en miles de personas. Calcula el número medio de enfermos de gripe durante la 2 ª y la 4 ª semanas; y entre la 4ª y la 6ª semanas. Interpreta los resultados.

Solución: f(4) – f(2) 8 – 6 2 TVM[2, 4] = ———— = —— = — = 1 4–2 2 2 Como TVM[2, 4] = 1 > 0, es creciente; es decir, el número medio de enfermos está subiendo. f(6) – f(4) = —— 6–8 =— –2 = –1 TVM[4, 6] = ———— 6–4 2 2 Como TVM[4, 6] = – 1 < 0, es decreciente; es decir, el número medio de enfermos está bajando. 8

Halla las rectas tangente y normal a la curva: y = x2 – 4x – 1 para x = 3 Dibuja la función y las rectas tangente y normal.

Solución: Recta tangente: y = 2x – 10 1x–— 5 Recta normal: y = – — 2 2

0 1

8

Creciente: ( ) = (1, + @) Decreciente: ( ) = (– @, 1)

Y f(x) = x2 – 4x – 1

8

El número de enfermos de gripe que se contabilizan en una localidad durante una epidemia sigue la función:

1x–— 5 y = –— 2 2

P(3, – 4)

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7

X y = 2x – 10

TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

389

Linux/Windows Paso a paso 150

Solución: Resuelto en el libro del alumnado. 151

Representa la siguiente función:

{

x2 f(x) = x+2

si x Ì 1 si x > 1

Solución: Resuelto en el libro del alumnado. Halla el siguiente límite y dibuja la función para comprobarlo.

x8 + @

Solución: Resuelto en el libro del alumnado.

153

Halla las rectas tangente y normal a la curva f(x) = x2 + 2 para x = 1. Dibuja la curva y las rectas.

Solución: Resuelto en el libro del alumnado.

154

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.

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152

lím (x3 – 2x2 – x + 3)

Representa la función parte decimal de x, indica si es periódica y halla el período.

390

SOLUCIONARIO

Windows Derive Practica 155

Representa la función signo de x. Halla cuándo no es continua.

Solución:

Solución:

158

156

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x8 2

Representa la función y = |x2 – 5| Solución:

Solución:

157

Halla el siguiente límite y dibuja la función para comprobarlo. lím (x + 1)

Representa la siguiente función y estudia su continuidad: x+4 si x Ì – 1 f(x) = 2 x si x > – 1

{

TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

159

Halla el siguiente límite y dibuja la función para comprobarlo. lím (x2 – 5) x8 3

391

Linux/Windows Solución:

Solución:

162

y = e3x – 5

Solución:

163

y = L (x2 + 5x – 6)

Solución:

160

Halla el siguiente límite y dibuja la función para comprobarlo. lím (x3 – 2x2 – x + 3)

164

x8 – @

y = x ex

Solución: Solución:

165

y=xLx

Solución:

166

y = ex L x

Calcula las siguientes derivadas 161

392

y=

5x2

– 7x + 3

167

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Solución:

x y= e x

SOLUCIONARIO

Windows Derive Solución:

168

Solución:

y = 5x – 1 3x + 2

Solución:

169

Halla las rectas tangente y normal a la curva y = x2 para x = 2. Dibuja la función y las rectas tangente y normal.

Solución:

171

Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = x3 – 3x

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Solución:

170

Halla los máximos y mínimos relativos de la función y = x2 – 4x + 5. Dibuja la función.

TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

Halla mediante ensayo-acierto la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: 393

Linux/Windows 172

Windows Derive Solución:

174

Las pérdidas de una empresa en millones de euros vienen dadas por la fórmula: y = – x2 + 8x, donde x indica el número de años que lleva funcionando. ¿Qué año alcanza las máximas pérdidas?

Solución: Solución:

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173

394

SOLUCIONARIO