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 

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I

1. Ángulo trigonométrico y sistemas de Medidas Angulares

LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN.-Si un arco de longitud 𝑙 en una circunferencia de radio R ,subtiende un ángulo central (medida en radianes ), entonces: 𝑙 = 𝜃. 𝑟 0 < 𝜃 ≤ 2𝜋

OBJETIVOS : Conocer la medida de un ángulo en los diversos sistemas. Conocer el cálculo de longitudes de arcos de circunferencia.

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR Un sector circular viene a ser una porción de círculo tal como AOB limitada por los radios AO, OB y el arco AB. Así el área S del sector AOB se calcula mediante la siguiente fórmula:

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO DEFINICIÓN.- Es aquel que se genera por la rotación de un rayo (en un mismo plano ), alrededor de un punto fijo llamado vértice , desde una posición inicial hasta una posición final.

Lado final

θ

Ángulo trigonometrico

1

𝑙.𝑟

2

2

𝑆 = 𝜃𝑟 2 =

=

𝑙2 2𝜃

; 𝜃 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

Lado inicial

g

m 1 vuelta  360   400  2  rad MEDICIÓN DE UN ÁNGULO Cuando medimos un ángulo, tratamos de asignarle un número que indique la magnitud de este. SISTEMAS

UNIDAD

SEXAGESIMAL

Grado Sexagesimal m 1 vuelta 1°= 360

M

1 VUELTA SUB-UNIDADES

360°

Grado Centesimal CENTESIMAL

RADIAL (CIRCULAR)

m 1 vuelta 400 Radián m 1 vuelta 1rad= 2 g

1=

1’ (minuto) 1” (segundo) m

400

g

2 rad

1 (minuto) s 1 (segundo)

g

 180  200   rad

EQUIVALENCIAS 1° = 60’ 1’ = 60” 1° = 3 600” 1 g = 100 m m s 1 = 100 g s 1 = 10000 = 3,1416

g

 9  10 

 rad 20

7.

Calcular “θ”

5 r= 1 1.

Calcular las siguientes operaciones:

20 25 ' 25 20 ' 80 30 ' 20 45 ' 2.

Calcular “E”

E a. b. c. d. e.

33´ 32 31 23 N.A

3.

Calcular:

a. b. c. d. e.

28 30 31 45 N.A.

4.

Calcular:

a. b. c. d. e.

3 4 5 6 7

5.

Calcular:

a. b. c. d. e.

π/2 π/3 1 2 3

8.

Calcular “x” si:

(x-2)m

xm

E

2º 20 ' 5'

a. b. c. d. e.

3 4 5 6 7

9.

Calcular “x” si:

8m

(5 -x

)m

xm

 rad  10º H 2 20º

 rad  14º M 5 10º

3 4 5 6 7

6.

Calcular “x”:

5 6 7 8 9

l 5 m



2m

a. b. c. d. e.

a. b. c. d. e.

5º 30 ' 10 '

m

4m a. b. c. d. e.

√20 4 5 6 N.A.

l + l2

10. Calcular: 1

2m

(3x  5)º 

a. b. c. d. e.

 rad 9

xm

9 10 11 12 13

l1

l2

11. Calcular “θ” en radianes:



b. c. d. e.

3 2 1 N.A.

15. Siendo S y C lo convencional, calcule la medida centesimal si se cumple:

1 1  S C 2 1 SC

75 º

a. b. c. d. e.

a. b. c. d. e.

π/12 π/3 3 4 5

20/19 21/19 19/20 1 N.A.

16. Siendo S y C lo convencional, simplifique:

12. Calcular “α” en sexagesimales:

2C  S 7 CS

E  ra d. 10



35 ° a. 53º b. 54º c. 43º d. 63º e. N.A.

a. b. c. d. e. 17.

5 6 7 8 9 Calcular el área de la región sombreada C D

S C R   180 200  S C R    9n 10n n 20

A

45º 2 2

B

PRIMERA PRÁCTICA DIRIGIDA SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES 1.

Halle E en grados sexagesimales : 𝐸 = 60º + 40𝑔 +

𝜋 𝑟𝑎𝑑 3

13. Siendo S y C lo convencional , reduzca:

L a. b. c. d. e.

CS CS

19 29 21 32 21

2.

Exprese en grados, minutos y segundos 𝜋 sexagesimales a 𝑟𝑎𝑑 32

Solución 

𝜋𝑟𝑎𝑑



𝜋𝑟𝑎𝑑



𝜋𝑟𝑎𝑑

32

32

=

180° 32

= 5,625°

14. Siendo S y C lo convencional, calcule:

K a.

√8

2S  C CS

32

= ⋯ … … … ..

  3.

𝜋𝑟𝑎𝑑 32 𝜋𝑟𝑎𝑑 32

= 5° + 37,5` = ⋯…………

 Exprese en grados, minutos y segundos centesimales 𝜋 a 𝑟𝑎𝑑 32

Solución 𝜋𝑟𝑎𝑑 200𝑔 25𝑔 = = = 6,2500 32 32 4  4.

32

20𝑔 3

b.

(2,003) 𝑔

c.

(1,998) 𝑔

Calcule el valor de cada una de las expresiones dadas. a. 𝐶+𝑆 𝜑= 𝐶−𝑆 A. 17 B. 1 C. 19 D. 0 b. 𝑆 + 2𝐶 𝜇= 58𝑅 A. 1⁄𝜋 B. 2𝜋⁄3 C. 10⁄𝜋

c.

S y C son lo convencional. Además

𝑆 −𝐶

−1

= 3−5

−1

Calcule √𝐶+10

√𝑆−9

𝑀 = √𝐶 + 10

√𝐶−10

+ √𝐶 + 6

√𝑆+7

= ⋯…………

Convierta a grados, minutos y segundos centesimales. a.

5.

𝜋𝑟𝑎𝑑

7.

A. B. C. D.

3 4 5 8

8.

S y C son lo convencional y son números enteros, además se cumple 𝐶 √10 − 𝑆

−

𝑆 √𝐶 − 9

=1

Calcule

𝑘 = 𝐶 𝑆−9 − 𝑆 𝐶−10 A. B. C. D. E.

9 -1 1 2 0

9.

En el gráfico, halle x en radianes

Si para un mismo ángulo se cumple 𝑆 = 3𝑥 𝑥 + 6 𝑦 𝐶 = 7𝑥 𝑥 − 8 Halle el número de radianes de dicho ángulo.

70

g

A. 10⁄𝜋 B. 20⁄𝜋 C. 30⁄𝜋 d.

Calcule: 𝑆+𝐶+𝑅 𝜋 𝐴=( ) 380 + 𝜋 𝑅

6.

2x

55º

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Reduzca la siguiente serie: 90° + 50𝑔 + 22°30´´+. .. A. 𝜋𝑟𝑎𝑑 B. 1 C. 2𝜋𝑟𝑎𝑑 D. ∞

g= gradiente

a. b. c. d. e.

62𝜋 90 31𝜋 270 62𝜋 180 31𝜋 180 31𝜋 90

𝑟𝑎𝑑 𝑟𝑎𝑑 𝑟𝑎𝑑 𝑟𝑎𝑑 𝑟𝑎𝑑

(Examen final CEPREUNA – 08 de agosto del 2010)

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO 1.

Si S y C son las medidas de un mismo ángulo en grados sexagesimales y centesimales respectivamente .Hallar la medida de dicho ángulo en radianes , si : 6𝐶 − 4𝑆 = 2 𝜋 a) b) c) d)

210 𝜋

160 𝜋 240

e) 210𝜋 Si C y S representan la medida del mismo ángulo en los sistema centesimal y sexagesimal respectivamente .Calcular :

2.

a) b) c) d) e)

150 𝜋

2(𝜋 − 4)𝑢2 (𝜋 − 4)𝑢2 6(𝜋 − 2)𝑢2 3(2𝜋 − 1)𝑢2 4(𝜋 − 2)𝑢2

(Examen General -04 de marzo del 2012-UNA)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA 𝐶+𝑆 𝐶 + 2𝑆 𝐶 + 6𝑆 𝐸=√ +√ +√ 𝐶−𝑆 𝐶−𝑆 𝐶−𝑆

6.

a) 7 b) 6 c) 2 d) 5 e) 9 Un ángulo positivo mide S,C y R grados sexagesimales , centesimales y radianes .Los números S,C y R verifican la igualdad.

3.

La diferencia de las inversas de las medidas de un arco en grados sexagesimales y en grados centesimales es igual a su medida en radianes dividido por 2𝜋.Hallar la medida de dicho arco. 𝜋 a) 𝑟𝑎𝑑 15

b) c) d) e)

10 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 7 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 6° 𝜋 𝑟𝑎𝑑 12

𝜋

20 (30𝑅) 6 (3𝐶)

( ) 𝑠

= 326 (

𝜋𝐶−20𝑅 𝜋𝑆−120𝑅

7.

)

Hallar el ángulo positivo: a) b) c) d) e) 4.

Siendo 𝜃 el ángulo central de un sector circular cuya longitud de arco es 2𝜋 metros, calcular su radio , en metros, si :

𝜋

𝜃 𝜋 3√ + 7√ = 10 𝜋 𝜃

2 𝜋

a) b) c) d) e)

3 𝜋 90 𝜋 9 𝜋 30

S, C y R son los números que indican la medida de un ángulo en los sistemas conocidos .si se verifican que : √𝐶 − 𝑆 + √𝐶 + 𝑆 =

𝑅 √𝜋

8.

(√19 + 1)

Hallar la medida del ángulo inscrito en una circunferencia cuyos lados determinan cuerdas que corresponden a los lados de los polígonos regulares de m y n lados. Se sabe que

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑜 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 . )()

1 𝑚

b)

𝑎)40 𝑟𝑎𝑑 𝑏)50 𝑟𝑎𝑑 𝑐)10𝑟𝑎𝑑 𝑑)20𝑟𝑎𝑑 𝑒)30𝑟𝑎𝑑

c) d)

5.

Calcule el área de la región sombreada

e) 9.

1

3

𝑛 3

20

+ =

a)

(𝑅 ≠ 0)

1 2 3 4 2,5

20 5 20 11 20 13 20 17 20

𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋

Se tiene un sector circular de radio "𝑟" , ángulo central 36° ¿Cuánto hay qué aumentar al ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior?

CONAMAT Una forma de asegurar tu ingreso a la universidad es resolver la mayor cantidad de los ejercicios que te dan en lo materiales de la academia.

CONCURSO NACIONAL DE MATEMATICA CESAR VALLEJO

1.

Un profesor le indica a un alumno, como parte de una evaluación, que escriba en la pizarra 20°30,2’40,20’’, y el alumno escribe 20𝑔 30,2′ 20′′ .Determine el error cometido por el alumno en radianes. 𝜋 a) 𝑟𝑎𝑑

Si alguno de los ejercicios no logras entender (o resolver), no dudes en preguntar a tu profesor

90

2.

b) c)

2° 0

d)

19𝜋 90

𝑟𝑎𝑑

La medida de un ángulo es 7𝜋

𝑟𝑎𝑑 + 300𝑔 + 135°, la cual equivale a… vueltas. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 4

3.

Señale cuál de las alternativas presenta la equivalencia incorrecta. 𝜋 a) 36° 𝑟𝑎𝑑 b)

15°

c)

𝜋 24 𝜋

d) e)

9 𝜋

5 𝜋

12

1.

𝑟𝑎𝑑 7,5°

𝑟𝑎𝑑 18°

ONEM

H ipo ten usa (H )

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMATICA

1.

Se sabe que 𝑁 grados sexagesimales equivalen a (𝑁 + 10) grados centesimales. ¿Cuántos grados sexagesimales equivalen a

𝑁𝜋 15

radianes?

3.

Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 72°. Si el radio disminuye el 25%, ¿Cuántos grados sexagesimales hay que aumentar hay que aumentar al ángulo central de dicho sector para que el área no varié? (𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝐹𝑎𝑠𝑒 – 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 3) Si S y C son los números de grados que representan a un mismo ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal, respectivamente. Calcula: 𝑆+𝐶 𝑆+𝐶 𝑀=√ − 11 + √ + 45 𝐶−𝑆 𝐶−𝑆 (𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝐹𝑎𝑠𝑒 – 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 3)

cateto o puesto (CO )

 cateto ad yacente (CA)

(𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝐹𝑎𝑠𝑒 – 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 3) 2.

RAZÓN TRIGONOMÉTRICA (R.T.)

La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo. Con respecto al ángulo 𝛼

𝑟𝑎𝑑

𝑟𝑎𝑑 20°

18

2.Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo

En el triángulo rectángulo mostrado se cumple:   

0 < 𝛼 < 90° 𝑎 < 𝑐; 𝑏 < 𝑐 Teorema de Pitágoras: 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

2. PODEMOS DEFINIR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RESPECTO A 𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑡𝑔𝛼 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑏

=

𝑐

=

=

𝑏 𝑎

𝑎 𝑐

𝑐𝑡𝑔𝛼 = 𝑠𝑒𝑐𝛼 = 𝑐𝑠𝑐𝛼 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

=

= =

𝑎

𝑠𝑒𝑛(50° + 𝑥) = cos(10° + 𝑥) , ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑥

𝑏 𝑐

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

𝑎

𝑐 𝑏

a 1.

Calcule los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo agudo en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades.

asenθ

θ acosθ

3. Razones trigonométricas de triángulos notables

acscθ a

60º

2a

θ

53º 5a

a

actgθ

3a

30º

37º

√3a

4a

asecθ atgθ √2 a

45º

θ

74º

25a

a

a

7a

45º

16º

a

24a

ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR B

4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

a

𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑠𝑐𝛼 = 1 ;

S

𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑠𝑒𝑐𝛼 = 1 ;

θ

𝑡𝑎𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 1 ;

A

b

Ejemplos: 𝑠𝑒𝑛𝛼 =

1 → 𝑐𝑠𝑐𝛼 = 7

tan 𝜑 =

3 → 𝑐𝑡𝑔 𝜑 = 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIOS

1

Del gráfico: 𝑆 = 𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜃 2

DE

Se llama co-razones trigonométricas una de la otra.   

Seno y coseno Tangente y cotangente Secante y cosecante

Ejemplos: 𝑠𝑒𝑛40° = 𝑐𝑡𝑔 2° = csc 32° =

ÁNGULOS

C

a. b. c.

0 1 2

6.

Calcule: 𝑅 = 5(𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝜙)

1.

Calcular “x” :

3 x

4 a. b. c. 2.



3 4 5 Calcular “m”:

3

6 7 N.A.

7.

Calcule 𝑡𝑔2𝜃:

m

5

a. b. c.

13 5 12

3.

Calcular: 𝑠𝑒𝑛𝛼



a. b. c.

4

3

12



a. b. c.

3/4 3/5 1/3

8.

Calcule 𝑡𝑔𝜃:

5

A

25 4

 a. b. c.

25 26 24

4.

Calcular:

120º

7

5.

Calcule:

9.

Calcular:

24

E

 168/625 167/625 N.A.

2√3⁄9 7 4

B

 7

C

R  sen . cos

7

a. b. c.

a. b. c.

8 sen10º 4 ctg(  20º ) 3sec(20º   )   cos80º tg(70º ) csc(    70º )

a. b. c.

7 8 9

10. Calcular: 𝑀 = (𝑡𝑔40° + 3𝑐𝑡𝑔50°)𝑐𝑡𝑔40° 2

2

M  sen   cos 

5

 1

a. b. c.

3 4 5

b. c. d. e.

11. Calcular:

P

sen16º cos18º sec35º   cos74 º sen72º csc55º

1 3/2 2 1/2

(Examen General- 30 de octubre del 2011)

a. b. c.

1 2 3

11. Una persona de 2 m de estatura, observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 30° y la parte superior con un ángulo de elevación de 60°. Calcule la altura del poste. a) 4 𝑚 b) 6 𝑚 c) 4√3 𝑚 d) 8 𝑚

12. Calcular: 𝐶 = 𝑡𝑔1°𝑡𝑔2° … 𝑡𝑔89° a. b. c.

2 1 N.A.

e)

6√3 𝑚

13. Simplificar:

a 2  b 2 cos50º ab(sen40º 1) K 2 a  b 2 sen40º ab(cos50º 1) a. b. c.

(Examen CEPRE-UNA -16 de octubre del 2011)

SEGUNDA PRÁCTICA DIRIGIDA 12. Calcule x en términos de θ y a :

𝑎 − 𝑏 ⁄𝑎 + 𝑏 1 N.A.

D a C

14. La figura ABCD es un cuadrado Calcule: 𝐸 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 B

  A

C

α

37º

13. Calcular x en términos de α, β y a :

θ A

a. b. c. d. e.

x

B

x D

1/4 1/2 3/4 7/8 5/4

a





14. Calcule x, en términos de θ y m.

(Examen CEPRE-UNA -16 de octubre del 2011)

̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ 10. En el gráfico mostrado,𝐴𝐵 𝐴𝐷 , Halle 𝑠𝑒𝑐𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼

C m

B

D

C

α α D

A

a.

A

3

 x

E

B

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO 1.

O2

Si cos(𝑥 − 30) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 60) entonces : 𝑐𝑜𝑠3𝑥 es: a) 1

r r θ

√3

b)

2 √2

c)

2

d) 2/3 e) 1/2 2.

a)

En un triángulo rectángulo ABC(𝐵 = 90°); 2

𝑡𝑔𝐴 = y la longitud del cateto mayor es 21 𝑢. Determine 3 el área del triángulo . a. 219 𝑢2 b. 268 𝑢2 c. 147 𝑢2 d. 165 𝑢2 e. 190 𝑢2

6.

D

2𝑎

𝛼 C

E

b)

a) b) c)

2/3 1/3 1/2

d)

√2

e)

2 √3

d) e)

√2

A

3

7.

2

Dado : 𝑠𝑒𝑛𝑥 =

N Calcular: a) b) c) d) e)

M O

2 √2

d) 2/3 e) 1/2

C

2 √3

√3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

3

Siendo “O” centro y 𝑀𝐶 = 𝑀𝐵 = 𝑀𝑁 obtener 𝑡𝑎𝑛𝜃 a) 1 b) √2 − 1 c) 2 − √3

𝜃

B

8. 5.

Si cos(𝑥 − 30) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 60) entonces : 𝑐𝑜𝑠3𝑥 es: a) 1

c)

𝑎

A

c) 𝑟(𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

Halle : 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 B

4.

𝑟(𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑠𝑒𝑐𝜃)

𝑏) 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃) d) 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃)

(Examen General -04 de marzo del 2012-UNA) 3.

O1

En la figura mostrada, siendo 𝑂1 𝑦 𝑂2 centros , P y T puntos de tangencia , halle ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑂1 𝑂2 en términos de 𝜃 𝑦 𝑟

5/3 5/2 11/2 1/2 7/2

√3 3

1 + 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

Dos puntos están ubicados en un mismo nivel del suelo. Desde uno de ellos se observa el extremo superior de un poste con un ángulo de elevación 𝛼 y desde el otro punto se observa el punto medio del poste con un ángulo de elevación 𝛽. Si la suma de las distancias del poste a cada uno de los puntos es d, calcular la altura del poste. a) 𝑑𝑡𝑎𝑛𝛼 + 2𝑑𝑡𝑎𝑛𝛽 b) c) d) e)

2𝑑 2𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝛽

2𝑑 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝛼 + 𝑑 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝛽 2𝑑 2𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽

𝑑(𝑡𝑎𝑛𝛼 + 2𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝛽)

CONAMAT

(𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝐹𝑎𝑠𝑒 − 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 3)

CONCURSO NACIONAL DE MATEMATICA CESAR VALLEJO

1.

2.

En un triángulo rectángulo cuyo perímetro es 60𝜇 y la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es 12 𝜇, determine el producto entre la secante y cosecante de uno de sus ángulos agudos. a) 25/13 b) 25/12 c) 71/12 d) 4/3

IMPORTANTE: Recuerda que lo primero que tienes que hacer llegando a tu casa es repasar lo que aprendiste en clase. Para matemática: Resuelve los ejercicios cubriendo la solución y trata de recodar todos los pasos.

Se construye una cometa en forma de rombo , tal como se muestra B 𝜃 C

A D Halle el valor de la expresión 𝜃

2𝑠𝑒𝑐 + 3𝑐𝑜𝑡𝜃, Siendo AC = 6cm;DC = 4cm 2

a) b) c) d) e)

3.

-1 1 2 -7 √7

Dado el triángulo rectángulo ABC recto en C , se cumple que 𝑎𝑠𝑒𝑛𝐵 + 𝑏𝑠𝑒𝑛𝐴 = 𝑆. Calcule 𝑎𝑠𝑒𝑛𝐴 + 𝑏𝑠𝑒𝑛𝐵, si S es el área de la región triangular ABC. a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7

3. Razones trigonométricas de un Ángulo en Posición Normal SISTEMA BIDIMENSIONAL DE COORDENADAS PLANO CARTESIANO ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL (regular) Es el ángulo trigonométrico generado en un plano cartesiano con vértice en el origen de coordenadas y cuyo lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas. El lado terminal puede ubicarse en cualquier cuadrante o semieje del plano cartesiano. Y

ONEM

La d

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMATICA

1.

2.

En un triángulo rectángulo ABC recto en B la longitud de la hipotenusa es el triple de la longitud que uno de los catetos. Determina: 𝑠𝑒𝑛𝐴. 𝑠𝑒𝑛𝐶 2 (𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝐹𝑎𝑠𝑒 – 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 3) El área de un triángulo ABC, recto en B, es 360 𝑐𝑚2 y 7

además 𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑠𝑒𝑐𝐴 = . 2

¿Cuántos centímetros mide la hipotenusa?

O: vértice

o

Fin



al O

La do Inicial

X

CLASIFICACIÓN Los ángulos en la posición normal pueden clasificarse de acuerdo con la posición de sus lados terminales (lados finales) de las siguiente manera. a)ángulos que pertenecen a algún cuadrante

b) ángulos cuadrantales DEFINICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Sea P(𝑥; 𝑦) ≠ 𝑂(0; 0) y 𝛼 es un ángulo en posición entonces las razones trigonométricas se definen:

𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝛼 =

𝑦 𝑟 𝑥 𝑦

cos 𝛼 = sec 𝛼 =

𝑥

𝑡𝑎𝑛𝛼 =

𝑟 𝑟

𝑐𝑠𝑐𝛼 =

𝑥

normal ,

1.

𝑦 𝑥

Calcular el radio vector de: P(4;3)

Resolución:

𝑟 𝑦

Y

r  4 2  32

P(4; 3)

r  16  9

Donde r el radio vector y se define: 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2

r  25

r

r=5 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUADRANTES

RECUERDA

X

Y

α ∈ IC α ∈ IIC α ∈ IIIC α ∈ IVC

𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑡𝑎𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑡𝛼

𝑠𝑒𝑐𝛼

𝑐𝑠𝑐𝛼

+ + -

+ +

+ + -

+ + -

+ +

+ + -

sen  

b r

cos  

a r

(a ; b )

r  X

2.

Calcular 𝑐𝑜𝑠𝜙 Y

ÁNGULOS COTERMINALES

a. b. c.

TRASLACIÓN DE ÁNGULOS

Y

(7; 24)

7/25 24/25 1 

X

3.

Calcular 𝑠𝑒𝑛𝛼 Y

X

a. b. c.

4/5 -3/5 5

(-3; 4)

 X

Sen 0 =0 Cos 0=1

4. a. b. c.

Calcular 𝑠𝑒𝑛𝜃 -9/15 -12/15 1

Y  X

(-9; -12)

5.

𝑅= a. b. c.

b. c.

Calcular: 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 2

1 -1 N.A.

-1 -2

10. Calcular “x”: si

Y

25  cos180º  125 x cos0º



(-12; 0)

X

a. b. c.

(0; -9)

2/3 1/3 1

11. Calcular: 6.

Calcular: 𝐸 = 𝑡𝑔𝜃 − 𝑐𝑡𝑔𝛼

a. b. c.

1 2 3

Y  X



(-4; -6)

7.

a. b. c.

Calcular:

9 17

(3; -2)

 csc 270º N  cos 360º sen90º

a. b. c.

1 2 3

12. a. b. c.

Calcular:𝑐𝑜𝑠𝜃 1 2 N.A.

5

𝑡𝑔𝜃 13. Si 𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐶 , ¿en qué cuadrante esta 3

1 2 3

a. b. c. 14.

Y (0; 17)

 (9; 0)

X

2𝜃 3

 ?

IC II C III C Determine el menor ángulo positivo coterminal con (−10°) a. 350º b. 10º c. N.A.

15. Si 3𝑡𝑔𝜃+1 = 27 𝑦 𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐶. Calcule: 𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑠𝑒𝑐𝜃 a. −√5⁄2 b. 1 c. N.A. s en 0º

0

c os

tg

c tg

s ec

c sc

1

0

ND

1

ND

ND

90º

1

0

ND

0

180º

0

-1

0

ND

270º

-1

0

ND

360º

0

1

0

8.

ND

0

ND

-1

ND

1

ND

TERCERA PRÁCTICA DIRIGIDA 16. Calcular 𝑡𝑔𝜃: Y

Calcular:

R

cos180º  sec180º 5

a. b. c.

1 0 N.A.

9.

Calcular:

a.

1

-1

0

(–12;4)  X

M  sen

3   sen 2 2



17. Calcular 𝑐𝑡𝑔𝜃:

3.

Y A (–10;6)

M B (4;2) 

X

Si 𝜃 es un ángulo en posición normal del tercer cuadrante y se cumple que: 27 (𝑠𝑒𝑐𝜃)5𝑐𝑜𝑠𝜃 = − 125 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑀 = 9𝑡𝑎𝑛𝜃 − 36𝑐𝑜𝑡𝜃 a) 21 b) 15 c) 20 d) -15 e) -7

18. Calcule:

P

sec 360º – cos180º sen90º 3 tg45º – sen 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA 4.

19. Si:

tg    sen   0

Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo 𝜃 del primer cuadrante, cuyo ángulo doble está en el segundo cuadrante, su ángulo triple está en el tercer cuadrante y su cuádruplo en el cuarto cuadrante; pero inferior a 2𝜋.

a)

¿En qué cuadrante esta 𝜃?

b) c)

20. Si:

d)

3 sec   – 13 ; tg  0 tg – 2  0

e)

;   II

Calcule:

𝜋 4 𝜋