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• Alexander Peralta Rojas

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SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR 

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR Ángulo trigonométrico.- Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de su origen: desde una posición inicial hasta una posición final. La amplitud de la rotación es la medida del ángulo trigonométrico, la posición inicial del rayo se llama lado inicial; la posición final se llama lado terminal y el origen del rayo es el vértice del ángulo. A’



A

A’

a: medida de un ángulo trigonométrico. OBSERVACIÓN 1. El ángulo generado al coincidir por primera vez al lado inicial y el lado terminal se denomina ángulo de una vuelta. Si bien la rotación puede ser en sentido horario o antihorario: consideramos al ángulo positivo cuando hablemos del ángulo de un a vuelta.

A

O

Elementos: O : vértice del ángulo

A’

o Ángulo de una vuelta (1).

OA : Lado inicial OA' : Lado terminal q

O

: medida del ángulo trigonométrico.

Características 1. Sentido.De acuerdo al sentido de rotación del rayo el ángulo trigonométrico puede ser: a. Positivo.- Cuando el sentido de rotación es contrario al movimiento de las manecillas de un reloj (antihorario).



2. Para sumar o comparar ángulos trigonométricos: estos deben tener el mismo sentido. 3. Al cambiarle de sentido a un ángulo trigonométrico: este cambia el signo de su valor.

SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR Los más conocidos son: 1. Sistema sexagesimal. También llamado sistema inglés; su unidad es el grado sexagesimal que representa al ángulo de una vuelta dividido en 360 partes iguales.

A

O

A

A

b. Negativo.- Cuando el sentido de rotación es horario. O A 

A 2. Magnitud.Un ángulo trigonométrico puede adoptar cualquier magnitud, dependerá de la rotación que se genere.

1º 1º 36 0 pa rtes igua les

m 1v  1º 360 m 1v  360º

Unidad: (1º): grado sexagesimal

Subunidades. (1’) : minuto sexagesimal (1”) : segundo sexagesimal

3. Sistema Radial.También llamado sistema circular o internacional su unidad es el radian: que representa el ángulo de una vuelta dividido en 2 partes iguales:

EQUIVALENCIAS: < > Equivale a: 1º < > 60’

m 1v  1rad 2 Unidad:

1’ < > 60’’

Nota: Pero por comodidad en lugar del símbolo (< >) se suele utilizar el símbolo (=), esto es lo que utiliza. 1º = 60’

Ejm.: 1. R 2. C

= =

4º + 6º = 10º xº + 3º = (x+3)º

3.

M

=

4º  2º 2

4.

L

=

6º  3 2

5.

F

=

32º–17º=15º

:

radián;



3,1416

NOTA.- En este sistema no existe subunidades solo hay radianes.

Los sistemas sexagesimal y radial están relacionados mediante una fórmula de conversión m 1 vuelta  360   2  r ad Sea “S” la medida de un ángulo “𝜃” en sexagesimales Sea “R” la medida de un ángulo “𝜃” en radianes. 

Re gla De Co nvers ió n

x 60

x 60

S e gundo s

Minuto s

60

60 3600

Ejemplo (1) Convertir 3º a minutos RESOLUCIÓN: Recordar: 1º= Ejemplo (2) convertir a segundos RESOLUCIÓN: Recordar:

1º  3600 '' 1'  60 ' 3600 ''  5º   18000 '' 1º 60 '' 30 '   1800 '' 1' 5º 30 '  18000 '' 1800 ''  19800 '' NOTACIÓN:

Aº B'C ''  Aº B' C ''

S R S R    360  2  180 

DONDE: S : Número de grados sexagesimales R : Número de radianes

x 3600

Dónde: B,C < 60

(rad)

CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS

1’ = 60’’

Grados

m 1v  2  rad

• Cada uno de los números anteriores es para un mismo ángulo, conocido también como números convencionales. Método Práctico: 1. Para convertir grados sexagesimales a radianes; multiplicamos por:      r ad  180  Ejemplo: Convertir 45º a radianes.

    45.   r ad  r ad 4  180  2. Para convertir radianes a grados 180 sexagesimales, multiplicamos por ( ) 𝜋 Ejemplo: Convertir:  r a d a g r ado s s exage s imale s 5   180     36  5   

4.

TALLER N° 1 1.

Simplificar:

F  120º  270º 2  rad 3  rad 3 2

Calcular a en radianes 

54 º

5. 2.

Calcule “q” en grados sexagesimales

Si a+b=42 Calcule aºb’+bºa’

 ra d. 10



35 °

3.

Calcule: U+N+C+P, si:



6.



132  RAD  UNCP º 8

Expresar

𝜋 64

rad en grados, minutos y

segundos sexagesimales. Rpta:............................................................

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

9. Calcular “x” si:   45 43 ' ;   85 23 '

Convertir a minutos: sexagesimales A) 20° B) 30° Rpta:............................................................

2.



Convertir a segundos: sexagesimales A) 5’ B) 10’

 x

Rpta:............................................................ 3.

Convertir a minutos: sexagesimales A) 5º 4’ B) 4º 30’ Rpta:...........................................................

4.

Convertir a segundos: sexagesimales A)

125'

B)

310'

Rpta:............................................................ 5. Convertir a grados: sexagesimales A) 480'

10. Señale falso (F) o verdadero (V) a)

30º   rad 6 ………………………( ) b)

15º  5  rad 12 ……………….. ( )

11. Calcule a+b, Si:

6. Calcular las siguientes operaciones: A)

 

2  rad  ab º 5

B) 1080’

Rpta:............................................................

B)

Rpta:.............................................................

Rpta:.............................................................

12. Calcule q en radianes

2025' 2520'



8030' 2045' Rpta:............................................................ 75 º

7.

Calcular: a°b’+b°a’ Si: B) a  b  30

A) a  b  12

Rpta:............................................................ 8.

Calcular “a” si:   15 43 ';   12 12 '  



Rpta:.............................................................

13. Convertir a minutos 9º 15’ Rpta:............................................................

14. Convertir a segundos 2º15’ Rpta:............................................................

Rpta:.............................................................

PROBLEMAS PROPUESTOS II 1.

 rad  10º H 2 20º

Calcular:

E

5º 30 ' 10 '

Rpta: .............................................................

Rpta: .............................................................

2.

10. Calcular:

11. Calcular:

 rad  14º 5 M 10º

Calcular:

E

2º 20 ' 5'

Rpta: .............................................................

Rpta: ............................................................. 12. Calcular:

3.

 rad  12º K  10 30º

Calcular:

K

3º 15 ' 15 '

Rpta: .............................................................

Rpta: ............................................................. 13. Calcular "x", si:

4.

(3x  5)º 

Convertir 10º a radianes. Rpta: ............................................................

5.

 rad 9

Rpta: ............................................................. 14. Calcular "x", si:

Convertir 15º a radianes.

(2x  1)º  Rpta: ................................

 rad 36

Rpta: ............................................................. 6.

Convertir 20º a radianes.

15. Calcular "x", si:

Rpta: .............................................................

7.

𝜋

Convertir sexagesimales.

3

rad

a

grados

Rpta: .............................................................

8.

Convertir

𝜋 6

rad a grados sexagesimales.

(7x  4)º 

 rad 4

Rpta: ............................................................. 16. Calcular "x", si:

40º  x rad Rpta: .............................................................

17. Calcular "x", si: Rpta: .............................................................

9.

Convertir

𝜋 18

rad a grados sexagesimales.

Rpta: .............................................................

100º  x rad Rpta: .............................................................

TALLER DE APRENDIZAJE

LONGITUD DE ARCO La longitud del arco AB es igual a:

1.

Calcular l, si:

A

8 r= 1

r 

O

l

m l

9º

r B



r

.r r



r: radio de la circunferencia q: ángulo central medido en radianes:

Nota:

2.

Calcular. 𝐿1 + 𝐿2

1.

10m

la



lb

lc

l1

30º 60º

a

l2

b c





a

a

b

b



c

c

2.

l

2l

3l

3.

Calcular "", si:



3.

8

4

d

4 

l2

l1

d



2

 d

1

4.

Calcular "".

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Calcular l, si:

3l

r= 8

l

cm l

45º



2.

Calcular l, si:

2 cm r= 1 l

30º

5.

Calcular:

E

1

3.

2 2 3 3 1 2 2 

Calcular l, si:

3

0m r= 1

1

l

60º



l3

l2

l1

4.

Calcular  si:

r= 6

cm l cm



5.

Calcular si:

r= 2 6.

0 cm l cm



Calcular "", si:

8l 4l

6.

Calcular si:



r= 1 

5m l 5 m

7.

Calcular l a si:

2.

Calcular "".

3m

2m

m



m

2

la

m

2 m

Rpta: ............................................................. 8.

Calcular l b si:

3. Calcular "", si:

2m

3m

5m

2m



2m lb

3m 9.

Rpta: .............................................................

Calcular "x", si:

2m

(x-2)m

4. Calcular: l1 + l2

xm l1

2m

8m

l2

Rpta: .............................................................

10. Calcular "x", si:

(5 -x

5.

)m

Calcular:

E

xm 4m

1 3

xm

 

2 2

l2

l1

l3

TAREA DOMICILIARIA Rpta: .............................................................

1. Calcular "".



2 m

3 m

6.

Calcular:

E

1

 3

2



3

1

8m Rpta: .............................................................

l1

l2

l3

Rpta: .............................................................

7.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I

Calcular "", si:

OBJETIVOS:

8l

 Aplicar el Teorema de Pitágoras.  Identificar los elementos para definir una razón trigonométrica.  Definir una razón trigonométrica.

4l  Rpta: ............................................................. 8.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Calcular "", si:

3l

B 2l 

c

a

Rpta: ............................................................. 9.

C

Calcular: l1 + l2

a,b: catetos c: hipotenusa

l1

20º 30º

A

b

a 2  b2  c2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

18m l2

Sea el triángulo ABC.

 c  90º 

B Rpta: ............................................................. 10. Calcular: l1 + l2

24m



C

b

A

a: cateto opuesto al ∡

l1 20º a 10º

c

a

b: cateto adyacente al ∡.

2a Seno:

sen  

l2

Cat. Opuesto a  hipotenusa c

Coseno:

Rpta: .............................................................

cos  

Cat. Adyacente b  hipotenusa c

Tangente:

tg  

Cat. Opuesto a  Cat. Adyacente b

Problema Desarrollado 1.

Demostrar que en un triángulo rectángulo ABC,

 c  90º 

Se cumple:

sen 2 A  cos 2 A  1

TALLER N° 3

1. Calcular sen si

Resolución:

B 12

c

a

 9

C

senA 

A

b

a b ; cosA  c c

Luego:

sen 2 A  cos 2 A 

a 2 b2 a 2  b2   c2 c2 c2

Pero por el teorema de Pitágoras:

c2  a 2  b2

 sen 2 A  cos 2 A 

c2 c2

1

Problema por desarrollar 1.

2. Calcular P=sen.cos

1 

Demostrar que en un triángulo rectángulo ABC,



c  90º

2



Se cumple:

tgA  tgB 

1 senA . senB

Resolución:

3. Calcular: E=x-2

15 x

9

4. Calcule: F=tg.

PROBLEMAS PROPUESTOS

13 2 1.



Calcular “x”

x

4

3

2.

Calcular “m”

5. Calcule: R=5(sen+cos)

m

5

3 

12

 4 3.

Calcular “x” 4

2

6.

x

Calcule:

R  sen  3 cos  4

4.

Calcular: x

3

13

12

 4

x

5.

Calcular: sen

14

50 

6.

PROBLEMAS PROPUESTOS II

Calcular: sen𝛼 1.

Calcular:

25

E  sen 2  cos2  7

7.

2  3 Rpta: .............................................................

Calcular: cos  3



2.

Calcular:

E 10

sen  . tg  tg cos



5 

8.

3

Calcular: Cos 𝛽



Rpta: .............................................................

2

5

3.

9.

Rpta: .............................................................

Calcular: 𝑡𝑎𝑔𝜃



Sea el triángulo rectángulo cuyos catetos son a=3cm y b=4cm. Calcular el coseno del menor ángulo agudo.

12

4.

17

Sea el triángulo rectángulo cuyos catetos están en la relación de 3 a 2; calcule el seno del mayor ángulo agudo. Rpta: ............................................................

5.

Calcular:

E  sen   sen 

10. Calcular. tag 𝛼

2



𝑎

Si:

5

=

𝑏 3



6

a  b Rpta: ............................................................

6.

Si:

NIVEL II

sen  

1. Calcular tg:

1 3



Calcular: tg Donde "" es agudo.

9

Rpta: ............................................................. 7.

Rpta: .............................................................

Si:

cos 

3 4

2.

Calcular:

E  13 sen 2  1 Si:

Calcular: sen Donde "" es agudo.

3

cos 

13

;

 : agudo

Rpta: .............................................................

Rpta: ............................................................. 8.

4

3. Calcular:

Si:

Tg 

E  10 cos  2 tg

1 2

Si:

3

sen  

Calcular:

10

;  : agudo

Rpta: ............................................................. Rpta: ............................................................. 9.

4. Calcular:

Calcular tg:

E



4

1 sen   cos 4

x+ 2

8

1

x Rpta: ............................................................. 10. Calcular tg:



Rpta: ............................................................. 5.

Calcular:

E  5(sen  cos)

9

 1

x+ 2

4 x



Rpta: ............................................................. Rpta: .............................................................

6.

Calcular:

TAREA DOMICILIARIA

tg M tg

1.

Calcular: tg   cos 







1

3

5a

Rpta: ............................................................. 7.



4a

Calcular:

K  tg . tg

2.

Calcular:

R  sen. sen



2m



 2



3

m Rpta: ............................................................. 8.

Calcular "x", si:

3.

M  tg . tg

Calcular:

K  2.

cos cos 2m 2







m 2

Rpta: ............................................................. 9.



Calcular:

K  tg  tg

4.



Calcule:

R  sen  3 cos  4



3

Rpta: .............................................................

 4

10. Calcular:

K  tg . tg a

5.

a

2

Calcule: sen  

2a 



Rpta: .............................................................

2

1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II

A

MOTIVACIÓN Las teorías heliocéntricas

b

c

La revolución llegó en el siglo XVI de la mano de Nicolás Copérnico. Este clérigo polaco problemas

de

concordancia

con

los

movimientos reales de los astros y propuso que todo se explicaba mucho mejor si se suponía al Sol en el centro del sistema y la

a

B

advirtió que las Tablas Alfonsíes presentaban

Donde

ayc b

C

: catetos : hipotenusa

Respecto al ángulo “”; siendo agudo.

A

Tierra girando a su alrededor como un planeta más. El libro en que Copérnico expuso sus

b

teorías, Sobre las revoluciones de los cuerpos

c

celestes, tuvo serias dificultades para ser editado y finalmente vio la luz poco antes de



su muerte. También son importantes los

B

a

trabajos de observación llevados a cabo por

C

Tycho Brahe, en Dinamarca, defensor de un modelo

geocéntrico.

Sin

embargo,

sus

TEOREMA DE PITÁGORAS

observaciones permitieron que un ayudante

b2  c2  a 2

suyo, Johann Kepler, ferviente convencido de las teorías copernicas, determinase las tres leyes que llevan su nombre y que explican el movimiento de los planetas alrededor del Sol, describiendo órbitas elípticas y no circulares como hasta entonces se creía. Con ello pudieron

desterrarse

definitivamente

b c a

: : :

Hipotenusa (H) Cateto Opuesto (CO) Cateto Adyacente (CA)

Luego podemos definirlos:

las

teorías geocéntricas.

ctg

=

Ca teto Adya cen te

=

Ca teto Op ue sto

Razones Trigonométricas de un ángulo agudo En esta segunda parte estudiaremos las razones trigonométricas como son: cotangente, secante, cosecante.

sec

ctg sec  csc 

RECORDANDO: Dado un triángulo rectángulo ABC (< 𝐵 = 90°)

H ipo ten usa

c =

Ca teto Adya cen te csc

cotan ga nte  secante  cosecan te 

=

=

H ipo ten usa Ca teto Op ue sto

a

b a

=

b c

4. Calcular:

TALLER N° 4

2

E  sec 

1. Calcule: E=ctg 

 4



1

3

1

5. Calcular: R= ctg 2. Calcular: R=5csc

 13

3 

12

6.

Calcular:

3. Calcular: sec

1 ctg 

 3

2

1  2

1

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

6.

Calcular: csc 

Calcular: ctg 

24 25

7.

12



Calcular:

sec  csc 

 10 2.



Calcular: ctg 

13

12

5

3

8.

csc  sec 



3.

Calcular:

Calcular: sec 

4

13 

9.

12

4.



3

Calcular:

R   ct g  

sec 

3

Calcular sec 𝜃

 2

 1

10. Calcular:

1 ctg 

2

1 5.

Calcular: csc 



2

3

2

1 

PROBLEMAS PROPUESTOS II 1.

6.

Calcular:

P  sec .ctg 

Calcular:

K  ctg .

1 

1 sec 



3

3

5  7.



Calcular: E=3.tg.ctg

3

 3

2.

Calcular:

P  sec   csc 

2 8.

Calcular:

12

E  2 .cos .sec  7

 13

3.

7

Calcular:

1 1  s e c  csc 

M



 9.

2

Determinar:

5

E  sec 2   tg 2 4 

3 2 4.

Determinar:

Q

1 1  sec  csc  

3

10. Calcular:

R

sec  csc 

5 

5.



Calcular:

N



sec . sec ctg 

2 2 

13  5

2