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1

-3

MLT

LA FISICA Es la ciencia fundamental que se ocupa de principios básicos del universo y constituye los cimientos sobre los cuales se rigen las otras ciencias físicas, como la astronomía, la geología entre otras. La belleza de la física radica en la simplicidad de su teoría fundamental y en la manera en que sólo unos cuantos conceptos, ecuaciones y suposiciones fundamentales pueden alterar y expandir nuestra visión del mundo que nos rodea. Los miles de fenómenos físicos en nuestro planeta son sólo una parte de una o más de las siguientes Áreas de la FISICA: 1

MECÁNICA

Estudia la relación con el movimiento de objetos que se mueven a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. 2

RELATIVIDAD

Es la teoría que describe los objetos que se mueven a cualquier velocidad, incluso a aquellos cuyas velocidades se aproximan a la velocidad de la luz.

3 TERMODINÁMICA

Estudia el calor, el trabajo, la temperatura los cambios internos de un cuerpo por acción al calor y el comportamiento estadístico de un gran número de partículas. 4

ELECTROMAGNETISMO

Que comprende la teoría de la electricidad con el magnetismo y los campos electromagnéticos. 5 MECÁNICA QUÁNTICA

Estudia el comportamiento de las partículas en el nivel submicroscópico. Entonces podemos afirmar que la Física es una ciencia fundamental relacionada con la comprensión de los fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo, Como todas las ciencias naturales la FISICA parte de observaciones experimentales y mediciones cuantitativas.

2

El principal objetivo de la Física es utilizar el limitado número de leyes que gobiernan los fenómenos naturales para desarrollar teorías que puedan predecir los resultados de futuros experimentos. Las leyes fundamentales empleadas en el desarrollo de teorías se expresan en el lenguaje de las matemáticas herramienta que brinda un puente entre la teoría y el experimento. FENÓMENO QUÍMICO

Se refiere a los cambios estructurales que sufren los materiales, de tal manera, que se obtienen materiales diferentes a los iniciales. Ejemplo: Las reacciones químicas, El agriado de la leche.

POR SU NATURALEZA

Escalares y vectoriales Veamos ESCALARES.

Son aquellas magnitudes que para ser definidas necesitan de un número y de unidad. Ejemplo: 5kg de papas 2m de tela etc... VECTORIALES. Son aquellas magnitudes que además de conocer una cantidad y su unidad debe Ud. conocer:

FENÓMENO FÍSICO

Se refiere cuando la materia no altera su estructura interna. Ejemplo: la deformación de un Resorte.

y

MÓDULO P Indica el valor, magnitud o intensidad de un vector y siempre es un número positivo.

y2

MAGNITUD Es toda cantidad que puede determinarse cuantitativamente. Las leyes naturales se expresan por relaciones matemáticas entre diferentes magnitudes. Las Magnitudes se pueden clasificar: POR SU ORIGEN

FUNDAMENTALES

Son aquellas que sirven de base para definir otras magnitudes, y estas son según el sistema. DERIVADAS Son aquellas que para ser definidas requieren de las magnitudes fundamentales, entre estas tenemos: la velocidad, aceleración, etc.

P

ΔY

DIRECCIÓN La dirección esta representada por el ángulo que forma el vector con la línea horizontal .

θ

y1

ΔX

x1

x2

La dirección está dada

tgθ=

x

SENTIDO Es el lugar hacia donde se dirige el vector y se indica con su extremo de recta infinita que contiene al vector gráficamente.

por la tangente del ángulo.

ΔY y 2 -y1 =  m(pendiente) ΔX x 2 -x1

3

MAGNITUDES TENSORIALES

Son aquellas que poseen módulo, múltiples direcciones y sentidos normales a toda superficie. Estas magnitudes constituyen un avance de las matemáticas que clasifican a:  Los escalares como tensor de orden cero (sin dirección ni sentido).  Los vectoriales, como tensor de primer orden (una dirección y sentido). Es un conjunto de unidades entre sí, que resultan de fijar las magnitudes fundamentales y que se elaboran de acuerdo a las ecuaciones dimensionales.

INVESTIGA

Magnitudes Fundamentales.

SISTEMA DE UNIDADES

SISTEMA INTERNACIONAL

Es la universalización del lenguaje de los números. El S.I. es el sistema métrico decimal modernizado internacionalmente y estructurado de manera concreta, para evitar la proliferación de unidades de medida diversas y sus bases científicas. A partir del 14 de Octubre de 1960, la 11ava Conferencia general de Pesas y Medidas (Organización Internacional reunida en París - Francia) da a conocer oficialmente un sistema de unidades basado en el sistema métrico decimal, en el cual se consideran siete magnitudes físicas fundamentales y dos auxiliares o complementarias, las mismas que tendrían sólo una unidad básica. En el Perú fue adoptada mediante la ley 23560 del 31 de diciembre de 1982.

MAGNITUD

UNIDAD

Longitud Masa Tiempo Temperatura Termodinamica Intensidad de Corriente Intensidad Luminosa Cantidad de Sustancia

Metro Kilogramo Segundo

m Kg s

L M T

Kelvin

K

θ

Ampere

A

I

Candela

Cd

J

mol

N

Mol

SIMBOLO DIMENSIÓN

Magnitudes suplementarias MAGNITUD Angulo plano Angulo solído

UNIDAD radián estereoradián

SIMBOLO DIMENSIÓN

rad sr

1 1

DEFINICIONES DE LAS UNIDADES DEL S.I. METRO

En 1960 la longitud de 1metro se definió como la distancia entre dos líneas sobre una barra de iridio-platino almacenada en condiciones controladas. Este patrón se abandonó por varias razones, la principal fue el hecho de que la limitada precisión con la cual puede determinarse la separación entre las líneas sobre la barra no cubre las necesidades actuales de la ciencia y tecnología.

4

Recientemente el metro fue definido como 1650763,73 veces la longitud de onda de la luz naranja roja emitida por una lámpara de Kriptón 86, sin embargo en Octubre de 1983, el metro se definió como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299792458 s. En efecto está última definición establece que la velocidad de la luz en el vacío es 299792458 metros por segundo. KILOGRAMO

Se define como la masa de un cilindro determinado de aleación de platinoiridio que se conserva en el laboratorio Internacional de Pesas y Medidas de Sevres Francia. Este patrón de masa se estableció en 1987 y desde ese momento no ha habido cambio en virtud de que el platino e iridio es una aleación inusualmente estable. Un duplicado se conserva en (NIST) en Gaithersburg Mariland. SEGUNDO

1967 se redefinió para aprovechar la ventaja de la alta precisión que podía obtenerse en un dispositivo conocido como reloj atómico. En este las frecuencias asociadas con ciertas transiciones atómicas (las cuales son en extremo estables e insensibles al ambiente del reloj) pueden medirse hasta una precisión de una parte de l012 esto es equivalente a una incertidumbre menor que un segundo cada 30000 años. De este modo en 1967 el segundo es la duración de 9192631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

AMPERE

Es la unidad de la intensidad de corriente que mantenida en dos conductores paralelos rectilíneos de longitud infinita de sección despreciable y que estando en el vació a una distancia de 1m el uno del otro, produce entre estos conductores una fuerza igual a 2x10-7N/m. El Ampere se define también como la razón de flujo de carga de un coulomb por segundo. Donde un coulomb es la carga de 6.25x1018 electrones. KELVIN

Se define como la fracción de 1/273,16 del cambio de temperatura entre el cero absoluto y el punto triple del agua (es decir la temperatura fija a la que el hielo, el agua líquida y el vapor coexisten en equilibrio) La temperatura se expresa en kelvin, no en grados kelvin. CANDELA

Es la intensidad luminosa en una Que emite una onda de radiación monocromática de frecuencia 540x1012 Hz y de la que tiene una intensidad radiante en esa dirección de:1/683w/str MOL

Es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012kg de carbono 12.

Ahora entonces realizaremos un cuadro de los principales prefijos del si:

5

PREFIJOS DEL S.I. PREFIJO

SIMBOLO

Yotta

Y

FACTOR 24

10

21

Zetta

Z

Exa

E

10

Peta

P

10

Tera

T

Giga

G

Mega

M

Kilo

K

10

18 15 12

10

9

10

6

10

3

10

2

Hecto

H

Deca

D

UNIDAD

1

deci

d

centi

c

10

mili

m

10

micro

μ

10

nano pico femto atto

n p f a

10

1

10

ECUACIONES DIMENSIONALES PRINCIPALES

¿Cómo se usan los prefijos? Es muy sencillo; primero se escribe el prefijo y a continuación el símbolo de la unidad pero sin dejar espacio. Ejemplo: s Ts Gs

MAGNITUD

ECUACIONES DIMENSIONALES

Es una igualdad algebraica que expresa las relaciones existentes entre las magnitudes fundamentales y derivadas.

Es decir es vez de escribir 42000000 m lo podemos expresar como 42 Mm de igual manera lo puedes aplicar en cualquier otra unidad.

0

10

-1

10

-2 -3 -6 -9

10

-12

10

Las unidades de medida y los múltiplos y submúltiplos del “SI” sólo pueden ser designados por sus nombres completos o por sus símbolos correspondientes reconocidos internacionalmente. No está permitido el uso de cualquier otro nombre, símbolo o abreviatura.

-15

10

-18

10

-21

zepto

z

10

yocto

y

10

-24

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Rama auxiliar de la física que estudia las relaciones entre las magnitudes físicas fundamentales con las derivadas.

Volumen

L

Ax +- By = C

A B C X Y

MAGNITUD FUNDAMENTAL MAGNITUD DERIVADA

ECUACIÓN DIMENSIONAL

Aceleración

m

3

3

m -1

LT

m/s

-2

2

LT

m/s -2

Fuerza

MLT

Trabajo

ML T

Newton

2

-2

2

-3

Potencia

ML T

Presión

ML

Densidad

UNIDAD 2

2

L

Velocidad

segundo terasegundo gigasegundo

DIMENSIÓN

Area

-1

T

-2

-3

Watt Pascal 3

ML 3

Joule

Kg/m

-1

3

Caudal

L T

m /s

Carga Eléctrica

IT

Coulomb

-1

Velocidad Angular

T

Aceleración Angular

T

Peso Especifico

ML

Momento Lineal Tensión superficial

Hertz

-2

rad/s -2

MLT

T

-2

-1 -3

MLT

2 -1 -3

Potencial Eléctrico

ML I T

Resistencia

ML I T

2 -2 -3 -1 -3

Campo Eléctrico

MLI T

Flujo Magnética

ML I T

Iluminación

2 -1 -2 -2

MT

2

3

N/m

Kg-m/s N/m Voltio ohm v/m weber Lux

6

PROPIEDADES

1. Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del álgebra a excepción de la suma y diferencia. Tal es el caso sean “A” y “B” magnitudes físicas: I) II)

NOTA: si la base es matemática en una expresión dimensional el exponente equivale a la unidad pero si la base es física debe respetar el exponente.

 A.B = A .B m  A m  = A.A.A... = A 

2. Las ecuaciones dimensionales de toda cantidad numérica, funciones trigonométricas, medidas de ángulos, tendrán por ecuación dimensional a la unidad. A estas cantidades se les llama magnitudes adimensionales. 3π.1012   1

senθ =1

sen57º-cotθ  1

esenα  = 1

3. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD (PH) Se aplica para sumas y restas teniendo en cuenta que todos los términos de la expresión dimensional Imagine Que Ud. compra 5 Kg de tienen que ser iguales debido camote y se le pierde 30 Kg de a que están en función a las aceitunas de la bolsa pero compra además 4 kg de tomate y al mismas magnitudes llegar a casa solo tiene 1 kg de Suponga: poroto por lo tanto: 5 Kg - 30 Kg + 4 Kg = 1 Kg

5 Kg - 30 Kg + 4 Kg = 1 Kg matemáticamente no es correcta esta operación pero si hablamos de magnitudes es correcta , debido a que en la operación algebraica se trata de la misma magnitud “MASA” POR LO TANTO :

PR0BLEMAS RESUELT0S 1. En la ecuación correcta electromagnética F  BILsen Dónde: F: Fuerza I : Intensidad de corriente L: longitud Encuentre la ecuación dimensional de “B”

Solución Recuerda por propiedad que sen  =1

(en la ecuación)

-2

MLT = BIL B=MT-2I-1

Respuesta M

M

M M

M

2. Dada la ecuación física

7p=kw

Donde. p: potencia w: velocidad angular Determine las unidades de “k”

2

2 sen 30º+(logx )

en el SI.

7

Solución Por Propiedades los números y funciones trigonométricas equivalen a la unidad (1) Entonces: p = kw

2

 

2 -3 -1 ML T = k T

2

k=

kgm2 s

Respuesta

2 -3 ML T k= -2 T 2 -1 k = ML T

4. En la ecuación homogénea E  3AV 2  5BP Dónde: E: energía mecánica V: velocidad lineal P: presión hidrostática Que representa ( AB) 1

Solución Por Principio de Homogeneidad E  AV 2  BP ...........(1)

Ahora hallaremos “A” y “B”. Hallando “A” E = AV

3. En la ecuación homogénea bQ  kA (Tf  To ).t

2 -2

ML T

Se sabe que: Q: Calor b: longitud A: área Tf, To : temperatura t: tiempo Determine las dimensiones de “k” Aplicando el principio de homogeneidad (PH) bQ = kA(Tf =To ).t bQ = kATf .t 2

L.ML T = k L θ T k=

 

= A LT

-1 2

2 -2

A=

ML T

2 -2

LT A=M

Hallando ·”B” E = BP

Solución

2 -2

2

LMT θT

-2

k=LMθ-1T -3

Respuesta

ML2T -2 = B.ML-1T -2 Simplificando B=L

Reemplazando datos:

 

-1 (AB) = ML

-1 -1 -1 (AB) = M L

-1

Respuesta

8

F=

5. Hallar la ecuación dimensional de “X” si la ecuación es homogénea M

x

y

donde M : masa

F = xy

x

 



A

Por exponentes

   M

2

X

=

3 M =X

Respuesta

2 X M = M

-1

42L2 (L  b)sen t 2c

Dónde: L y b: Longitud

t: tiempo

c:área

Solución 2

A=

L (L=b) 2

t c

x2  R4

2

y2

A=

L L 2

A=m/s

2

Respuesta

2

T L

Donde F: fuerza

R: radio

Hallar xy

-1

Solución Aplicando........................PH F

-1

Aplicando propiedades y el Popular “PH” tenemos.

6. Si la expresión es dimensionalmente correcta y homogénea F

-1

Respuesta

7. Hallar las unidades de A en el sistema internacional

M 2

1

M 2 L2 T =xy

-1

MLT -2 = xy

Solución

1

por teoria

2

-1 2



M

2

F = (xy )

x x 

M=

x

x2  R4 y2

Entonces :

A=LT

-2

8. Se demuestra experimentalmente que la distancia recorrida “d” por una partícula, en cierto caso es función exclusiva de su aceleración “a” y del tiempo transcurrido “t” determine la ecuación empírica para “d” (K: constante adimensional) .

Solución Primero formemos la ecuación empírica de la distancia

9

d=K ax ty Operando

T = K.R

y

) T

x

-2x

x

- 2x + y

L=L T 0

y

T

L T =L T Igualando bases iguales para hallar el valor de “x e y”. Hallando “x”

L=Lx

Hallando “y”

T0 = T - 2x+y 0 = -2x + 2 2=y

1=x

G

b

M

c

a 3 -1 -2 b c T= (1)L (L M T ) M

-2 x

L = (LT

a

Reemplazando obtenemos:

0 0 a+3b c-b -2b L M T=L M T Igualando terminos 0=a+3b 0=c-b 1=-2b Resolviendo a=3/2 b=-1/2

c=-1/2

Reemplazando tenemos: 10. Hallar la ecuación dimensional de “X”

d=K a t2

2mP.eQRsen n n  x xn xn x.....  3    sen  AQ 7    

Respuesta

9. Se ha encontrado que el periodo de revoluciones () de un satélite alrededor de la tierra depende del radio “R“ de su trayectoria circular, de la constante de gravitación universal (G) y de la masa de la tierra “m” encuentre una expresión para () si se sabe que G:L3 M-1 T-2

Donde: m: masa P: presión R: fuerza A: área e: base de logaritmos neperianos

K : constante matemática

Solución Según la condición del problema debemos de formar la ecuación empírica del periodo. Veamos:

3

Solución E=

n

n

n

x x x........ E

-1

T=KR 2 (GM) 2 Respuesta

10

Entonces E= E=

n n

x XE

n E = XE n-1 X =E

Ahora en el exponente sabemos que por ser una base matemática debe ser un número y por lo tanto:

HABLAND0

SOBRE LAS MEDIDAS

Es la operación que consiste en comparar una magnitud física con una cantidad fija de la misma magnitud, la que se toma como unidad.

QRsen θ = 1 QR = 1 Q=

1 R

Reemplazando el valor de “R” 1 MLT -2 Q=M-1L-1T 2 Q=

Hallando el valor de “E” E=

mP AQ -1 -2

E=

MML T 2

LA MEDIDA EN LA FÍSICA

-1 -1 2

LM L T 3 -2 -4

E= M L T

Reemplazando en “x”

X=M3 (n-1) L2 (1-n) T 4 (1-n) Respuesta

La medida es necesaria en muchas ciencias, y especialmente en la física, Lord Kelvin (1824 - 1907), físico inglés, lo puso de manifiesto con las siguientes palabras: "Suelo decir que cuando se puede medir aquello de que se habla y expresarlo en números, se sabe algo acerca de ello". Esta frase resume la necesidad de la medida en las magnitudes que intervienen en física para llegar a un verdadero conocimiento científico de los fenómenos que se estudian. Bastará, para confirmar la necesidad de la

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medición, el considerar que muchas veces personas distintas perciben sensaciones de calor diferentes al tocar un cuerpo que está a una temperatura fija; es preciso disponer del termómetro para conocer, de una manera real y objetiva, la temperatura de aquel cuerpo, mediante el número que señala este instrumento. En general, para la correcta interpretación de los fenómenos físicos, se deben emplear instrumentos de medida, que sustituyan a los sentidos humanos, siempre ligados a factores de orden personal.

2 A cada unidad le corresponde únicamente un símbolo. 3 Detrás del símbolo no se pone un punto. 4 Los símbolos no se pluralizan. 5 Los símbolos procedentes de nombres propios se escriben con letras mayúsculas. Ejemplo: J para julio, nombre procedente del físico James Joule

LA EXPRESIÓN DE LAS MEDIDAS Magnitud es todo ente abstracto que se puede MAGNI TUD medir. Medimos: longitudes, tiempos, masas, CANTI DAD volúmenes, fuerzas, etc. MEDI DA Magnitudes de masa, tiempo y espacio, se hablará respectivamente de 20kg (kilogramos), 10s (segundos), 8m (metros). Para efectuar una medida es preciso Disponer de una unidad, que será de la misma naturaleza que la magnitud que se desea medir. Establecida la unidad, para verificar una medición, se determinará las veces que la unidad está contenida en aquella magnitud. El resultado será un número que reflejará las veces que es mayor o menor que la unidad escogida. Naturalmente, para cada clase de magnitud deberá fijarse una unidad de medida. Así hay unidades de longitud, de masa, de tiempo, etc. Cantidad es el valor determinado de normas para escribir correctamente las unidades: 1

El nombre de la unidad se escribe con letra minúscula.

Al realizar una medida como, por ejemplo, una longitud, se debe tener en cuenta la incertidumbre que produce el aparato de medida que se utiliza, es decir, el grado de indefinición con que vienen afectada toda medida como consecuencia del calibrado del instrumento, que se conoce como incertidumbre. Para determinar la incertidumbre que se atribuye a una medida es preciso conocer la precisión del instrumento con el que se mide, que viene dada por la división más pequeña de su calibrado. La exactitud de una medida depende de la calidad del instrumento utilizado, y esta, a su vez, depende la precisión del aparato y de que su calibrado sea muy fino. en función de esto, ¿puede haber medidas que sean muy precisas, pero poco exactas?. Las cifras significativas La medida del valor de una magnitud física debe expresarse con lo que se denominan cifras significativas, o conjunto de cifras exactas. Cuando se realiza la lectura de una medida con un instrumento calibrado, la

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incertidumbre afecta exclusivamente a la cifra significativa que está situada a la derecha. Así, por ejemplo si se mide una masa, m, con una balanza que aprecie hasta los decigramos y se obtiene un valor de 67,0g la expresión correcta de la medida sería m=67,0 ± 0,1 g, siendo el 6, el 7 y el 0 las cifras significativas, mientras que la incertidumbre (0,1g) vendría determinada por la división más pequeña del calibrado (un decigramo). La notación científica Como resultado de los cálculos científicos, a veces aparecen magnitudes físicas que toman valores muy grandes y, por el contrario, en otras ocasiones aparecen magnitudes que, cuando se las compara con la unidad, toman un valor muy pequeño. Para expresar el valor numérico de dichas magnitudes, los científicos suelen emplear las cifras significativas seguidas de una potencia de 10. Este tipo de expresión numérica se conoce con el nombre notación científica, y es utilizado/ de forma habitual. Al escribir una cantidad según la notación científica, se colocan las cifras significativas en forma de una parte entera (comprendida entre 1 y 9) y otra parte decimal, multiplicada por la correspondiente potencia de 10 con exponente positivo o con exponente negativo, según corresponda. De esta forma pueden compararse los valores de una determinada magnitud física.

ALGUNAS LONGITUDES EXPRESADAS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA A. Distancia Tierra - Sol 150'000,000km = 1,5.1011m B.

Radio Terrestre= 6,370km = 6,37.108m

C.

Diámetro de un glóbulo rojo: 7 micras 

7 10 6

m  7.10 -6 m

ERRORES DURANTE LAS MEDI DAS Al realizar una medida, siempre se comete una serie de imprecisiones que reciben el nombre de errores. Estos errores son originados habitualmente cuando existen deficiencias en los aparatos de medida o cuando existen defectos en el modelo experimental elegido para realizar la medición. También características del individuo que realiza la medición (condición física, grado de atención, etc.) pueden en muchos casos ser la fuente de errores. Los errores accidentales debidos a diversos factores que intervienen en la medición y que no son tomados en cuenta, pueden ser reducidos repitiendo varias veces la medición, en cuyo caso se considera al promedio de las medidas como un valor aproximado al real. La diferencia entre este valor por medio y el verdadero valor de la medida recibe el nombre de error absoluto, y la división entre este último y el verdadero valor, error relativo. En la práctica, el error relativo expresado en porcentaje será considerado como una buena estimación de la precisión de la medición realizada.

13

PRESI ÓN

LONGI TUD 3

4

Kilómetro (Km) = 10 m = 10 dm Metro (m) = 102cm=103mm = 106µm=109nm Amgstron (°A) = 10-8cm Micra (µ) = 10-4cm Pie (ps) = 12pulg Pulgada (pulg) = 2,54cm Yarda (yd) = 3pies = 12 pulg = 30,48cm Milla Terrestre = 1609m decímetro = dm milímetro = mm nánometro = nm micrómetro = µm

Pascal = N/m² Bar = 105N/m² = 750 Torr Bar = 10³ mb Baria = dina/cm² 1 Atm = 760mm Hg = 760 Torr = 1,033 Kg.t/cm² = 1033 g.t/cm²

MASA Kilogramo Gramo Libra Onza UMA

(Kg) (g) (Lb) (onz)

= = = = =

3

10 g = 2,204Lb 3 6 10 mg = 10 µg 453,6g = 16onz 28,35g 1,6.10-24g

UNA MI LÉSI MA DE SEGUNDO EN TU VI DA

VOLUMEN litro

(l)

= 10³cm³ = 10 m³

ENERGÍ A

= 1dm³

J = 107 erg J = Joule cal = 4,184 J erg = ergio BTU = 252 cal cal = caloría ev = 1,6.10-12ergev = electrón voltio Mev=106ev Kcal = kilocaloría Kcal = 3,97 BTU 1J = 0,024 cal

-3

1cm³

= 1ml = 10

1pie³

= 28,32L

m³ ml l

= 1000L = mililitro = litro

= 1,013 bar = 14,7 lb.f/pulg² = 10,33 m H2O = 29,9 pulg H2O mb = milibar Atm = atmófera Torr = mm Hg P.S.I. = lb.f/pulg²

-3

Para los que estamos acostumbrados a medir el tiempo de la forma usual, una milésima de segundo es igual a cero. Cuando el tiempo se determinaba por la altura del Sol o por la longitud de las sombras, no podía hablarse ni siquiera de minutos exactos, se consideraba que un minuto era una magnitud muy pequeña para que hubiera necesidad de medirla. En la antigüedad sus relojes, de sol de agua o de arena, carecían de divisores especiales para contar los minutos. Pero a comienzos del siglo XVIII los relojes no tenían minuteros, pero a comienzos del siglo XX aparece ya hasta el segundero. En una milésima de segundo un tren solamente puede avanzar unos tres centímetros, pero el sonido recorre 33cm, un avión cerca de medio metro, la tierra, en este intervalo de tiempo, recorre 30m de su órbita alrededor del sol, y la luz, 300km.

14

Para los insectos, este espacio de tiempo es perfectamente apreciable. Un mosquito bate sus alas 500-600 veces por segundo, es decir una milésima de segundo es suficiente para que suba o baje las alas. Pero en los humanos el movimiento más rápido es el parpadeo se decir “abrir y cerrar los ojos”, el cual se realiza con tanta rapidez, que ni lo notamos con la vista. No obstante, son pocos los que saben que este movimiento, sinónimo de rapidez “insuperable”, si se mide en milésimas de segundo resulta bastante lento, según estudios un “abrir y cerrar de ojos” dura aproximadamente 2/5 de segundo, es decir 400 milésimas de segundo. El parpadeo consta de de las siguientes fases: El descenso de los parpados (que dura 75-90 milésimas de segundo) y la elevación de los parpados (cerca de 170 milésimas de segundo). Como puede verse, un “abrir y cerrar de ojos”, en el sentido literal de la expresión, es un tiempo bastante considerable, durante el cual, el párpado puede hasta descansar Al lector quizá le interese saber cuál es el menor intervalo de tiempo que puede medirse con los medios que dispone la ciencia moderna. A comienzos del siglo, este intervalo era igual a una diezmilésima de segundo, pero en la actualidad los físicos pueden medir en sus laboratorios hasta cienmilmillonésimas (1/100 000 000 000) de segundo. Aproximadamente, puede decirse, que este tiempo es menor que un segundo, tantas veces como un segundo es menor que 3000 años. De lo leído responda Ud.

FASE DE EVALUACIÓN 1. A que equivale una milésima de segundo. 2. Si la velocidad de la propagación de onda en un experimento físico alcanza 280Km/s y recorrió 450km cuál fue su tiempo en hacerlo.

3. el cerrar y abrir los ojos se puede considerar como un movimiento a de velocidad instantánea fundamente por qué. 4. Flor al encontrarse dormida luego de terminar de leer esta lectura pudo observar que sus ojos se cerraban instantáneamente 75 milésimas de segundo y la elevación de los parpados cerca de 170 milésimas de segundo suponga que la distancia promedio del ojo es 2,5cm determine la velocidad con que cierra los ojos y la velocidad con que eleva los parpados. 5. Cuál es la apreciación personal acerca del tiempo. 6. En el mundo actual el tiempo es importante fundamente su respuesta

PRÁCTICA BÁSICA 1. De las siguientes magnitudes ¿Cuántas no son fundamentales en el S.I? a) Velocidad b) Volumen c) Temperatura d) Tiempo e) Intensidad de corriente a) 0

b) 1

c) 2

2. Si: A = Área; P = Peso y Q = calor. Indicar cuáles son correctas: I. [A] : L3

d) 3

e) 4

15

II. [P] : MLT -2 III. [Q] : ML2T 2 a) I d) todas

6

b) II e) NA.

c) I y II

w

4.Hallar [x] de la siguiente expresión: A = 52 2senπ .tg30º(B.X.C)

Problema Siendo la expresión homogénea, calcular [x] x

5.Indicar verdadero (V) ó falso (F) : I. [Peso] = [Fuerza] II. [log7] = 1 III. [Energía] = [Caudal] a) VVV b) VVF c) FVV

4. d. A. x m²

w : frecuencia d : distancia A : área m: masa

7

c) MLT -2

d) ML-1T -2

e) ML2T -3

E.senØ F

E : 50 kilocalorías F : fuerza

d) FFF

Solución

Siendo la expresión homogénea, calcular [x]

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) I. Sen 30º es adimensional II. El caudal es una magnitud fundamental III. El Área con el Volumen tienen la misma fórmula dimensional. a) VFF b) VVF c) VFV d) FFV e) VVV

A: Presión B: Densidad C: Altura a) LT -2 b) ML2T -2

Problema

e) VFV

Solución

16

8

Problema

Solución

Siendo la expresión homogénea, calcular [x] E=

mv 2 2πx

Problema Siendo la expresión homogénea, calcular [C] C=

Tsenθ.2 5log2 mk 2

Siendo T: torque m: masa K: altura

Solución

Siendo la expresión homogénea, calcular [x] F(senθ+cosα)=

Siendo: m: masa v: velocidad E: 8,85

9

Problema 10

A.B 2π.x.C2 (tg45º)

Siendo F: fuerza C: radio de giro A y B: 50mC

Solución

Problema 11 Hallar la fórmula dimensional de la inducción magnética "B" F = 3(q.V.BsenØ) F : fuerza q : carga eléctrica V : velocidad

Solución

17

Problema 12

Solución

Hallar la fórmula dimensional del potencial eléctrico (V)

v. 4 4 4 4 =

4sen -2sec A.B = 2K 2

Siendo A: área B: velocidad

m.a x

Siendo v: velocidad m: masa a: aceleración

W: trabajo q: carga eléctrica

Dada la expresión correcta, calcular [K]

Solución

Siendo la expresión homogénea, calcular [x]

w V = A q

Problema 13

Problema 14

Solución

Problema 15 Siendo la expresión homogénea, calcular [x] v lim =π 32 +22 . y 

a.t 2 .x(sen16º)tg45º 3m

Siendo v : velocidad a : aceleración t : tiempo m : masa

Solución

18

Problema 16

Solución

Siendo la expresión homogénea, calcular [x] X=

2Hg.log2 y =

Siendo a : masa v : velocidad r : radio sec60° : 2

En la expresión homogénea, calcular [WA] 2R - 8R =

Asen(wt) (sen45º )x 8P

Siendo R : presión t : tiempo P : densidad

Solución

Siendo la expresión homogénea, calcular [x]

2! av sec60º . q!  2-q! r

Problema 17

Problema 18

mx 2cos

Siendo g : aceleración de la gravedad H : altura m : masa

Solución

Problema 19 Siendo la expresión homogénea, calcular [Y] Y = 24 .rad

Siendo A : área F : fuerza

(4F - 3E) 5 A

Solución

19

H

C

O

S

W

M

Q

T

R

G

O

N

E

M

O

N

E

F

N

A

I

D

A

R

D

P

Q

L

A

T

N

E

M

A

D

N

E

R

E

P

A

B

N

I

W

K

P

P

D

U

I

I

C

O

Q

A

K

T

G

V

E

Z

E

N

G

M

A

C

I

M

I

U

G

I

K

O

F

H

A

O

H

U

S

N

R

MAGNILETRAS

E

Y

V

D

N

G

E

T

Y

E

E

C

L

K

S

R

L

T

R

E

P

E

X

G

Z

O

J

L

I

R

Y

B

D

R

A

V

I

M

V

P

U

R

I

C

I

P

O

S

L

A

D

U

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C

Y

Q

Z

W

A

E

N

E

D

A

V

B

R

D

S

B

M

O

L

L

L

A

C

I

N

A

C

E

M

E

A

L

S

I

S

Q

E

X

P

N

S

Z

M

H

L

G

Y

Q

R

F

R

A

L

A

C

S

E

U

O

J

P

A

U

E

M

P

O

D

I

T

N

E

S

C

I

C

E

S

I

A

L

E

D

N

A

C

R

I

R

I

C

I

O

O

J

J

V

D

K

M

Z

O

Z

O

N

A

N

D

A

ACELERACION AMPERE CANDELA CAUDAL COULOMB DERIVADA

Y U

F

X

Y

ENERGÍA ESCALAR FENOMENO FUERZA FUNDAMENTAL JOULE

T

KELVIN MECÁNICA METRO MOL POTENCIA PRESIÓN

L

T

M

M

O

I

Y

F

E

U

O

U

REALIZA I

C

N

P

O

T

I

L

A

D

A

B

R

E

QUÍMICA RADIAN SEGUNDO SENTIDO TERMODINÁMICA VECTORIAL

R

O

20

4. Dada la expresión homogénea, calcular [x]

PRÁCTICA PRÁCTICA -3 1 MLT BÁSICA 1.

2ma2 x= (2cos60º )v.f(log 2 )

Siendo la expresión homogénea, calcular [Z]. 2 Z =

Donde: m: masa a) L d) LT -1

mv 2 A 2 +B2 .cos

v: velocidad b) LT e) LT2

A: energía c) 1

2

x .cos  =

A: trabajo a) LT d) L2T

(16 - 42 )A C2 -4D2

C: masa b) LT -1

c) L-1T

e) L-1T2

3. En la expresión correcta, calcular [x] x

. A2 B.C2

A: torque a) T -2 d) M2LT -4

5. Si la expresión es homogénea, calcular [x] donde : A: 6m/s B: caudal C: 20m² Asen +

2. Si la expresión es correcta determinar [x]. 2

m : masa a : aceleración v : velocidad f : frecuencia a) MLT -1 b) MLT -2 c) ML2T -2 d) ML2T -3 e) ML-1T -2

B: masa C: altura b) ML2T -2 c) ML2T -4 e) ML-2T -4

xB2

a)L4T

2C.cos b) L-4T -1

d) LT 4

e) LT -4

c) L-4T

6. Si la expresión es correcta, determinar [y] donde M: masa E: trabajo B: densidad y.log 2 2mE + 2 5 3 B cos 3 5 a) M L T b) M3L-5 c) M3L-5T-1 d) M-3L5T e) M-3L-5T-1 7. Siendo la expresión homogénea, calcular [x]. 25 F+ 4

x.v 2 2.cos37º

v : velocidad F: fuerza a) ML b) ML2 c) ML-1 d) ML-2

e) ML-3

8. Sabiendo que la expresión es dimensionalmente homogénea calcular [Y]. A.B2 = Y.cos  A: área B: aceleración 4 4 2 a) L T b) L T 4 c) L4T -4 d) L-2T 4 e) L2T -4 9. Siendo la expresión homogénea, calcular [x] e [y] A 4 .sen53º = x.B +

y(sen45)2 C2 .cos

A : densidad B: velocidad C: aceleración a) M2L-7T M2L-5T -2 b) ML-7T, ML-5T-2 c) M2L7T

M 2L5T 2

d) M2LT, M2L5T

10. Dado la expresión correcta, Calcular [Y] donde m: masa v: velocidad t: período Y

m. v2.Sen t

21

a) ML2T3 d) ML2T

b) ML2T -3 e) ML-2T3

c) MLT -3

Z

11. Siendo la expresión homogénea, determinar [Z]. AB.F0 +

ZC (senθ)2 sen45º

A : distancia B: aceleración C: caudal a) L0 b) L2 c) L-2 d) L3

14. Dada la expresión correcta; Calcular [Z].

e) L-3

12. Sabiendo que la expresión es correcta, calcular [Y].

2(A  B) C(F  Sen)

A: velocidad C: 5Pascal a) ML3 b) M-1L3 d) ML4 e) ML-3

c)ML-3

15. En la siguiente formula física determinar el valor de “x”

correcta

25 V = A.t x 4

A: volumen B: densidad a)ML-4 b) M2L4 d)ML-4 e) M-2L4

C: área c)M2L4

V: velocidad t: tiempo a) 1 b) 2

A: aceleración

X(sen )sec60º =

A: 4m/s2 a) ML4T -2 d) ML4T2 .

2A+ 5B

c) 3

d) 4

e) 5

e) N.A

c) M-1L4T -2

1

g

2π

L

Donde: 16. En la siguiente formula física hallar el valor de “E = x +y” x

3 3 .F=

4A .7t

y

Dónde: F: Longitud A: aceleración t: tiempo a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

d) 4

e) 6

g  9.8m / s2

L : longitud del péndulo a) tiempo b) frecuencia c) velocidad d) fuerza e) frecuencia Angular 20. En la siguiente fórmula física correcta que representa “A” sen45º(2P)=

C( 2+A)

C: densidad b) M-1L4T2

c) -2

18. En la siguiente fórmula física que magnitud representa “x” x =4log (AB)0,5 Donde: B : aceleración angular A : superficie a) velocidad b) aceleración c) fuerza d) trabajo e) potencia

K=

2.y

13. Siendo la expresión homogénea, calcular [x].

b) 2

19. Si la expresión física es correcta que magnitud representa “k”

2

1 A.B C= 4 Y 2.

a) 1

2

17. En la siguiente fórmula física halle el valor de “x” 2rad = w tx Dónde: w : velocidad angular t : tiempo

A.sen(wt) 2.D

Donde: P: presión a) ML2T-4 d) ML4T-1

D: densidad b) ML-4T-1 e) N.A

t : tiempo c) M2L-4T-2

22

PRÁCTICA PRÁCTICA 2 MLT- 4 BÁSICA

1.

La velocidad de propagación “V” de una onda en una cuerda tensa viene dada por : V

T u

Donde: T: fuerza de tensión Hallar las dimensiones de “u” a) ML b) M-1 L c) ML-1 –1 -1 -3 d) M L e) ML 2.

Sabiendo que “A” representa el área y “H” una altura halle las dimensiones de “P” Psen

π

=

sen30° 4A (sen30°)

4

a) L d) 3.

3H

b) M L

e)

c) T M

Si la ecuación es dimensionalmente correcta y homogénea hallar las dimensiones de “Y” Tg45º. Y= A.x sen(AT) Dónde: x: longitud T: tiempo

a) L d) T

b) LT e) ML2T-4

c) LT-1

4. Si la siguiente ecuación es correcta y homogénea hallar las dimensiones de: “X/B” X

A.eBT sen30 sen 37 . log 2004

A: longitud t : tiempo e : logaritmo. a) LT b) LT-2 c) L –1 d) LT e) LT-2

8. Sabiendo que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas viene dada por la relación:

5. En la ecuación determine las dimensiones de “m” si: y = bn + mn2 b: velocidad y: longitud a) L b) MT c) LT-2 d) ML e) T 6. Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta y homogénea hallar las dimensiones de "R"

MgA = RsL+Rs L  Rs L  Rs L 1 1

2 2

7. Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta y homogénea si X =4m y t =2s. Determine las dimensiones de (A.B)/C si: X=A+Bt-(1/2)Ct a) L2T b) L3 T c) LT 3 2 d) LT e) L

n n

Donde: M: 2kg g: gravedad A: área s1 ,s2, sn: Volumen L1,L2, Ln : 2m a) LT b) ML-2T c) ML 2 -2 -3 d) ML T e) ML T

1

c=

ε 0μ0

Siendo C: velocidad lineal,  0 : permitividad eléctrica del vació. Encontrar la fórmula dimensional de la permeabilidad magnética del vació “ μ ” 0

a) LM T2 I2 d) LMTI-2

b) L M 2T I e) LMT-2I 2

c) LMT-2I-2

9. ¿Cuál debe ser la dimensión de “A/B” para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta? (sec60º)

A.sen45º=

Wsenθ

2

m(B +S)

23

Donde: W: trabajo m: masa a) TL b) T-2L d) T-2L-1 10. En

S: área c) T 2 L

b) L2T e) LT-1

c) LT2

13. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, halle la ecuación dimensional de ” y”

e) TL2 la

a) LT d) LT-2

ecuación

dimensional

x

2

mv sen(wy -  ) = π y

2

Determine las dimensiones de x e y, Siendo: m :kg v :4m/s w : frecuencia 4 2 a) LM ;T b) LM;T c)L2M 3;T 4 4 3 d) L M ;T e) L M;T 11. Si la siguiente ecuación es homogénea podemos asegurar que: x = y.zk a) [x]=1 b) [y]=1 c) [z]=1 d) [k]=1 e) [x]=[y]

12. En la ecuación física dimensionalmente correcta determine la ecuación dimensional de “ x ” (Sen45º) 2 Mx = F + CD Donde: M: Masa F : Fuerza C, D: Magnitudes desconocidas

xy

m.P+W.x 3 = 4 v

Siendo: m: kg P: watt W: energía v: m/s. a) T1/2 b) MT-1 d) LT-2 e) T

frecuencia y de la amplitud del movimiento determine la suma de los exponentes que deben de tener las tres variables físicas para establecer una igualdad correcta. a) 3 b) 6 c) 5 d) 4 e) 2 16. Si la ecuación es correcta y homogénea hallar el valor de Ø en: 2

P = Mcos θ-sen

c) LT 2

14. Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta determine la ecuación dimensional de “A” (Wpxcosθ)2+Amg=(W.p.vy)1/cosθ Siendo: W: 54Newton M: 5kg g: 9.8m/s2 v: m/s θ: 60° p: 4,44m2.kg/s a) L5M 2T-4 b) L3M 4T-5 c) L4M 3T 6 d) L3M 3T-5 e) L5M 3T-4

15. La energía por unidad de longitud de una cuerda vibrante depende de un coeficiente 2π2, de la masa por unidad de longitud de su

P 

2

A +

2

Bsenx.W + M - 2

sen.B

M: masa de un péndulo físico a) F.D b) 60° c) arctg(1) d) 30° e) π/8 17. La ecuación de la energía mecánica de un sistema cuyas partes se desplazan y rotan está dada por: E = AV 2+ BH + CW sec60º Donde: V: m/s H: Altura W: hertz. Determine las dimensiones de (AB/C) y dar como respuesta sus unidades en el SI. a) Pascal b) N/m3 c) watt d) Joule e) Weber

24

18. Hallar el valor de "a+b+c" (3π+R)W=Pa qb v c

Donde: P: 4m/s2. a) 2

q: 3gramos b) 4

v: m/s

W: 4joule d) 0

c) 3

e) -2

19. Hallar la ecuación dimensional de “A” si la ecuación dada es homogénea “A y b” son magnitudes físicas A

f : fuerza

senβ

b

2kfsenβ

k

2

β : ángulo 30°

a) 1 d) (M -1L-1T 2) 4

b) (ML)-2T 4 e) NA

c) (ML) 2T 4

20. En la siguiente Ecuación física dimensional correcta. Determinar las dimensiones de “B”. Q = An + Bn2 Donde: A: Velocidad Q: Longitud a) LT-1 b) L c) LT-2 d) T e) T 2

REALIZA

MAPA MENTAL DE MAGNITUDES

25

PRÁCTICA PRÁCTICA 3 MLT- 5 BÁSICA

Problema 1

Problema 3

Solución

La potencia de las turbinas de un avión viene dada por la siguiente fórmula. P = n RX WY DZ Donde: n: constante numérica R: Longitud W: 1500 Rad/s D: Kg/m3 Hallar: ” x + y + z”

Problema 2 De acuerdo a la ley de Ohm se establece: V=IR Hallar la Ecuación dimensional de “R” . Dónde: I: Intensidad de corriente V:Diferencia de Potencial Eléctrico

Solución

En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, calcular la dimensión de “A” m=

 B g

x

Senθ+

W Cscφ AV



2Sen

Dónde: B : Fuerza g : aceleración W: trabajo V : volumen

Solución

Problema 4 En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. Halle el valor de “m + n”

 bn .a2  n-2 m  cosθ  2C 

5H= 

Dónde: H: altura b: radio a: velocidad c: aceleración

Solución

26

Problema 5

Solución

m.R R 1   C

2

P

Problema 6

W tgθ m(R 2  Q)

Dónde: W: trabajo m: 8kg Q: Área

Dónde: M: masa C: Velocidad de la luz

Gerardo y Jesús han creado un Nuevo sistema donde se considera como unidades fundamentales a la: masa (M) Velocidad ( V) tiempo (T). Jesús le pregunta a Gerardo cual es la ecuación dimensional de la presión es este sistema será:

Solución

Cuáles deben ser las dimensiones de “P y R” para que la ecuación sea dimensionalmente correcta.

Halle la ecuación dimensional de “P”, si la ecuación dada es correcta dimensionalmente. P

Problema 7

Solución

Problema 8 En la siguiente formula empírica b   2 F=  a+  dv L v 

Donde: F: Fuerza de Rozamiento d: Diámetro V: Velocidad Lineal L : Longitud a: coeficiente experimental dimensional Determinar las dimensiones del coeficiente “b”

Solución

27

Problema 9

Solución

En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta halle la dimensión de “S”

Problema 11

Solución

Si la ecuación dada es correcta. Halle las dimensiones de “B” y “A”. 3 AX+BY (log ) . =5 3m 2 x+y2

S = y D[ Sen x + 10XYF ] Donde:

Sabiendo que y = 5 Newton

D: densidad F: fuerza

Problema 10 En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta halle “θ” 3

P2  Q3  Tan.PQcos 

Solución

Problema 12 Si la ecuación dada es correcta dimensionalmente, hallar la ecuación dimensional de A. VA +

2K =

V: velocidad e: Longitud

n n n n e e e e...∞

Solución

28

Problema 13

Solución



E+D S+C

3 cos45 ° P = K d x V y Donde: P: presión d: densidad K: número V : velocidad



V: velocidad

Problema 14 Determine la ecuación dimensional de “X” 2

X =

y.cos z 2 +W

Si y: masa z: 40 Calorías

Solución

Si la ecuación es correcta y homogénea hallar "(x+y)2" si :

En la ecuación dimensional correcta halle la ecuación dimensional de “E” AE 3 A+E = log SV

Problema 15

Solución

Problema 16 Jesús al jugar carnavales con Gerardo lanza un chorro de agua choca contra una área, de la pared, la fuerza que ejerce el chorro en la superficie de la pared está dada por la ecuación: x y z

2N. 3log =V Z D x

Donde: F: fuerza V: velocidad A: área D: densidad Hallar: x+y+z

Solución

29

Problema 17 Gerardo quiere saber el valor del trabajo de su carro y Anthony le da la siguiente ecuación.

(4π + R)W =



P

a

Solución

b c

4 Gerardo halla el valor de "2a +b +c" y obtendrás el valor del trabajo de tu carro . Cual fue el valor que encontro Donde: P: 4m/s2 q: 30gramos V: m/s W: Trabajo

Solución

Si la expresión es correcta y homogénea x y z

(log )F=B A C .(sen30º) x

Halle:

2(x+z)y

Donde: F: Newton A: ML-1 T-1 B: 4cm C: 45m/s

xy

Solución

Si la ecuación es correcta y homogénea hallar "x-3y" en: P = q z R-y S x Donde: P: 2 pascal R: volumen q: fuerza S: Longitud

q v

Problema 18

Problema 19

Problema 20 La potencia de una turbina del avión de Jesús depende de la velocidad angular de la densidad del aire y de la longitud de onda Gerardo que un gran físico ha determinado la ecuación empírica de la potencia. Halle dicha ecuación.

Solución

30

4.

PRÁCTICA PRÁCTICA 4 MLT- 6 BÁSICA

7.

Suponiendo que la velocidad con que viajaba un proyectil luego de ser lanzada en ciertas condiciones está dado por la siguiente ecuación hallar que representa "A/C".

2

A X -B X+C 2

=P

A t +B t +C

1. El Rozamiento que sufre un motor dentro de un líquido está dado por: R = n x R 2y V 2z Donde: R: rozamiento N: viscosidad r: radio v: 34m/s Hallar "x +y +z" a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2.

En la siguiente expresión hallar "C"

En la expresión hallar "z" T -3 P.x = A y R z Dónde: P: potencia A: aceleración R: Newton x: distancia a) 1 b) 2 c) 3

d) 4

e) 5

Dónde: A: velocidad t: tiempo a) LT b) L c) M d) T e) TL-1 5.

V=

LA

+μ sen .C

2

d t

Donde: V: velocidad L: longitud t : tiempo U: número a) área b) Longitud d) Fuerza e) NA

Determine las dimensiones de "x,y,k" en : 6 x y

340

KSC

Q 2=10 g H .(sen +sen )

Donde: Q: Caudal g: aceleración H: altura S: Longitud C: velocidad a) x =1/2 y = 5/2 k = TL-2 b) x =3 /4 y = 1/3 k = ML-3 T c) x = 1/4 y = 3/67 k = MLT d) x = 1/3 y = 3/5 k = M e) x = 1/2 y = 6/5 k = LTM

8.

 2

(p-q) (h-g)

(2R.logx ) 2h  (R.logy ) p Donde: (2R.log ) 2g  (R.log ) q x

3.

En

la

numérico de

expresión

hallar

4  y +x+z    2 

el

valor

sec60º

en: 4N.m =2A x-1. 5B y .C z A: 4m/s2 B: 3gramos C: velocidad N.m: Joule. a) 1

b) 2

c) 3

d) 5

6. Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta y homogénea hallar el valor de "  " K

e) 6

senθ-sen

= P

senθ

+ Qsen + K +

Dónde: K,P,Q: cantidades física. a) 0° b) 2° c) 3° d) 4° e) 5º.

P

c) densidad

De la siguiente ecuación dimensionalmente correcta y homogénea hallar el valor de: T=

A=

d: diámetro

A: área enteros a) 1 d) 3

y

R : Radios b) 2 e) 6

x,y: números c) 4

9. Dimensionalmente la siguiente expresión es correcta y su respectiva ecuación dimensional es la unidad. (UNA) UNI = 1

31

Donde : U: m.C2 C: velocidad m : Kg I: 3metros Hallar la dimensión de "N". a) M-1L-3 T 2 b) ML2T-3 c) ML2T-1 d) M-1L2 T-2 e) M-2L-2 T 3 10. Flor de María una eficiente estudiante ha observado que la potencia con que debe aplicar una inyección depende de la densidad del líquido cuyo valor es 0,6g/cm3 la velocidad con que debe aplicar dicha inyección es de 0,2cm/s, la cual tuvo una duración de 4 s. Con estos datos determine la ecuación empírica de la potencia con el cual debe aplicarse el inyectable. (Considere cualquier constante numérica igual a “S”) a) S d v t b) S d v 5 c) S d 2 v t d) S d v 3 e) S d v 5 t 2

12. Determine la presión (P) dinámica ejercida por un líquido que fluye sobre un objeto sumergido, asumiendo que la presión es una función de la densidad del líquido (d) y de su velocidad del líquido y de una constante matemática (K). a) Kdv2 b) Kd2v c) Kdv1/2 d) K(dv)1/2 e) Kdv

sen30°

13. Si la ecuación es correcta, hallar "xy" x y

2 m=W V (sen53º)

dimensionalmente x

Donde: m: masa W: 5Joule V: m/s a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 1/3 14.

e) 1/4

Hallar "z" para que la ecuación sea homogénea. PV

y z x z-1 F ( tgx ) = y y

P: presión V: volumen F: Fuerza d: densidad a) 2 b) 2/5 c) 4 d) 5/3 e) 6 15. Si la siguiente ecuación es correcta y homogénea hallar "K"

2

=

PQRsen30°(P-e) .2 (t-Q)

RM

2

M: masa t: tiempo e: 4m -2 6 -2 -4 -3 a) M L T b) ML T c) ML d) (M-1L3T-1) 1/2 e) M-1L6T3 16. La

expresión



D= (z)

d (cosx)

11. Determine la potencia (P) de la hélice de un helicóptero, sabiendo que es función de la densidad del aire “D” de la velocidad angular de la hélice ”W” y del radio de giro “R” si “K” es constante numérica. a) KD WR b) KD W 3 R 5 c) KD W2 R4 d) KD3 W R 5 e) KD5 W 3 R

K

x+y

es

correcta

hallar:



p

x (x+y) z.sen30 w 3 F =mH t sen45º

Donde: F: fuerza H: altura t : tiempo. a) 0 b) -2 c) -1

m: masa d) 1/4

e) 2

17. El periodo de giro de un planeta depende del radio de la órbita (R) de la masa (M) y de la constante gravitatoria (G) expresada m3/kgs2. Halle la ecuación del periodo. a) K.R

3/2

(G M)

3

c) K.R (G M)

2

2

b) K.R

3/2

d) K.R

(G M)

3/2

-1/2

(G M)

2

e) K.R G M

18. Encontrar que magnitud representa [K.C] en la ecuación correcta y homogénea.

32

C=

M.(sen45º)2sen60º

m(k 2 -h2 )

Dónde: M: momento de fuerza m: masa H: altura. a) Aceleración b) Velocidad d) Potencia e) Energía

1. Si

c) Fuerza

19. Determinar las dimensiones que debe tener “Q” para que la expresión “W” sea dimensionalmente correcta. 

d) T

33

d) M

T

b) T

1

b) L

c) T

e) ML

2. La ecuación de estado para un gas de

 Además Q=A . B

T

si: AB  6kg2m2 y (F.C1 )  4m a) L

W: joule m: kg v: m/s g: gravedad h: altura P: watt

2

las siguientes ecuaciones dimensionales: A+B=C+D, 2A+3H=4C+5E+XF son dimensionalmente correctas y homogéneas determine la dimensión de “X” 1

W =0,5mv + Agh + BP

a) M

Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. a  b

PRÁCTICA PRÁCTICA 5 MLT- 6 BÁSICA

Van 2

M

c) MT

e) F. Datos

20. Si en vez de la masa (M) el trabajo (W) fuera considerado como magnitud fundamental la ecuación dimensional de la densidad será: a) L-5W T b) L-3 W T-2 c) L-5 W T-2 2 2 -1 d) LWT e) L W T

der Waals está dado por: a    P  2  (v  b)  RT v   Donde: P: presión absoluta del gas v  Vol : n

Volumen molar

 m3  a    mol 

y b: son

constantes que dependen del tipo de gas. R: constante universal de los gases ideales. T: temperatura absoluta del gas.

II. a b   RTv2  III. b  L3N1  a) FFF d) VFF

b) FFV e) VVF

c) FVV

3. Señale la veracidad o falsedad de las

siguientes proposiciones I. El principio de homogeneidad dimensional de una ecuación física implica que cada término de la ecuación debe de tener las mismas unidades. II. En una ecuación física la dimensión de las constantes físicas es igual a 1 III. Debido a la consistencia dimensional de las ecuaciones físicas, no se puede multiplicar cantidades físicas de diferentes dimensiones. a) VVV b) VFF c) FFV d) VVF e) FFF 4. Señale el valor de verdad de las siguientes

proposiciones.

33

Se denomina expresión dimensional de una cantidad física a la representación de ésta mediante símbolos establecidos en el S.I. II. Se denomina ecuación dimensional a la ecuación que resulta al representar las cantidades involucradas en una ley física mediante sus expresiones dimensionales. III. Se dice que una ecuación dimensional es homogénea cuando las unidades, a ambos lados del signo igual, son las mismas a) VVV b) VVF c) VFV d) FVF e) FFF I.

5. En una feria de

Física un estudiante hace rotar un disco sobre un eje horizontal con velocidad angular”  ” (rad/s) y lo suelta en la base de un plano inclinado como se muestra en la figura. El centro del disco sube una altura “h”, la cual puede ser expresada por:  1  I 2 Dónde: “m” es la masa del h  ,  2  mg

disco, “g” es la aceleración de la gravedad “I” es una propiedad del disco llamada momento de inercia. Entonces la expresión dimensional para el momento de inercia es:

a) M2L3

b) ML2T-1

d) ML T

e) ML

2

-2

c) ML2T

2

6. Sea la cantidad

física expresada en unidades de joule por kilogramo kelvin, su expresión dimensional es: 2 -2 -1

2 2 -2

a) L T θ

b) M L T θ

2 2 -2 -1

c) M L T θ

2 -2

d) L T θ

2logx



a.sen37º



e) L T θ

w 3kB C Bt

Donde: a1, a2: aceleraciones v: velocidad p1.p2: presión w: trabajo g: 9.8m/s2 t: tiempo a) MLT b) ML-1 c) MT -1 L d) L3T-1 e) T 3 L-1 8. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta en donde V= Velocidad, señale [x]: An x2  Bx  C 

A  10sen V

a) LT-2

b) LT

d) T L

e) LT-1

-1

Encuéntrese [N] en: X UNI = log x . sen(UT) Donde: I: distancia T: tiempo. a) LT-1 b) L-1T d) L-2 T e) LT

c) LT-2

10. Si la siguiente ecuación es correcta hallar la -2 2

7. La ecuación dimensional correcta, halle [B]:

vt 2 (a2  a1) g (p2  p1)

9.

c) TL-1

ecuación dimensional de “Z” si y: área n

6 +3y

a) 1 d) L3

B +Z

= B- B- B...

b) L e) L4

c) L2

11. La expresión dimensional de

la 3ra ley de Kepler relativa al movimiento de los planetas sabiendo que la constante "f" de la ley de gravitación universal tiene por dimensiones L3 T-2M-1 y que el periodo de una revolución es directamente proporcional al eje mayor “2b” a “f” y a la masa del sol, es: (k es una constante numérica adimensional) a) K f -1/2 b1/2 M -1/2 b) K f -1/2 b3/2 M-1/2 c) K f 2 b3 M-1/2 d) K f b2 M-1/3

12. En

la siguiente dimensiones de "K"

fórmula

K= ABC ACB ACB...

hallar

las

34

Donde: A: área B: Aceleración C: Tiempo. a) Cauda l b) Velocidad c) Densidad d) Fuerza e) Aceleración angular

la masa “m” y de la longitud “L” de la cuerda encontrar una fórmula que permita hallar dicha velocidad. a) (TL /m)1/2 b) (m/TL)1/2 c) TLm 1/2 -2 d) (TL m ) e) TLm

ecuación dimensional, para que pueda salir de su órbita y así volver a la tierra. V=C1 cos (C2T)+C3 sen C4 T 2+C5T 3 Donde: T: segundos Según estos datos determine:

16. Hallar las dimensiones de "X" en la siguiente 13. Se crea un sistema de unidades donde se

considera como magnitudes fundamentales a la velocidad la masa y la fuerza. Hallar la ecuación dimensional de "E" en este nuevo sistema si se sabe que E=presión x (densidad) además en este nuevo sistema se definen a la velocidad como "A" la masa como "B" y la fuerza como "C" a) (A-5B-2 C3)1/2 b) A-10 B-4C6 c) A-5 B-2C3 d) AB-2C- 4 e) A3 B-1C-3 14. En el sistema se consideran como unidades

fundamentales a la masa (M) la velocidad (V) y el tiempo (T) la ecuación dimensional de la presión en este sistema de unidades será: a) MV -1T -3 b) MVT-1 c) MVT -3 3 d) MVT e) MVT 15. Se sabe que la velocidad de una onda

mecánica en una cuerda en vibración depende de la fuerza llamada tensión “T” de

F=

ecuación mostrada: sen .

2mE C

C3 .C 4 .C5

=x x x x x...

Dónde: C: cantidad de movimiento m: masa E: presión 2 -1 a) L MT b) LMT-2 c) L-2MT3 d) L-1MT-2 e) L2MT 17.

Hallar: n.x / K 2 X logn

FV (senθ+cosθ) 2

2

n-1

c) M

18. La velocidad “V” de la nave experimental

ANTOV” debe cumplir con la

b) L2 e) LT- 5

c) L- 1T- 2

19. Considere un sistema en el cual las tres

cantidades fundamentales son la velocidad de la luz (c) en su onda amarilla la masa de un protón (m) y la constante (h) de Planck Dónde: Considerando que la

energía es E=h entonces la cantidad que tiene como dimensiones de tiempo es: a) h/mc b) mc/h c) mc2/h 2 d) h/mc e) (h/mc)

m(k +h )(tgθ-1)

Donde: F: Newton V: m/s h: 4m m: número a) LM b) L-1 -1 d) L MT e) MT

a) L d) L-1T 5

h  ML2 T 1

n

2

=

C1.C2

siguiente

35

OBJETIVOS

1. Entender que la descripción de ciertos fenómenos físicos se hace utilizando vectores.

4m

 No cumplen con las leyes de la adición de números reales. Ej.: Si décimos que dos jugadores empujan un mismo cuerpo con fuerzas iguales de 30N, sin indicar la dirección y sentido de cada uno, el resultado puede ser variable. Así por ejemplo: Si se aplican los dos hacia un mismo lado, el resultado será equivalente a aplicar una fuerza de 60N. Sin embargo, si estas fuerzas se aplican en una misma recta pero en sentidos opuestos, el resultado sería como no aplicar fuerzas. Así pues, la resultante de las fuerzas depende de la orientación de éstas.

Es verdaderamente importante que reconozcas que en nuestra naturaleza algunos fenómenos físicos requieren algo más que números y unidades físicas para quedar plenamente explicados. Te preguntarás ¿Qué se puede usar, además de los números y unidades, para detallar los fenómenos?. La respuesta es el vector, y las magnitudes físicas que lo necesitan se llaman magnitudes vectoriales, las mismas que tienen en esencia dos características especiales:

R

N

N

30

VECTOR

30

3. Aprender la descomposición y composición rectangular de los vectores.

=6

0N

2. Comprender y aplicar correctamente las reglas existentes para las operaciones con vectores.

 Tienen dirección y sentido Ej.: Cuando decimos que un alumno experimenta un desplazamiento de 4m, debemos agregar desde dónde y hacia dónde. Sin estos datos no podríamos imaginar el movimiento.

3 0N

B Se nt id o

36

Módulo V

A

30 N

VECTOR Designamos con este nombre a aquel elemento matemático, indicado por un segmento de recta orientado, y que nos permite representar gráficamente a una magnitud vectorial. Dado que este texto atiende el aspecto básico del curso, diremos que los elementos de un vector son:

θ

Dirección

Nota: El vector es un tensor de 1er orden.

Notación Vectorial: Vector: Módulo:

 Módulo. Llamado también intensidad, viene a ser el valor o medida de la magnitud vectorial representada.  Dirección. Es la recta que contiene al vector. Se define por el ángulo "  " medido en sentido antihorario.  Sentido. Es la característica del vector que nos indica hacia dónde se dirige. Se le representa por una saeta o sagita. Analicemos El siguiente gráfico.

Notación General:

CLASIFICACIÓN 1 COLINEALES

Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción. C

B

A

2 PARALELOS

Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre si.

37

L1 L2 C

A

L1 L2

A

B

B

A B

5 CONCURRENTES Y COPLANARES

A C

m1 m2

 Si: L 1 // L 2 indica que los vectores contenidos en dichas líneas tienen igual

Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano y sus líneas de acción, se cortan en un mismo punto. E

dirección.

A C

Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección, módulo, pero sentido contrario.

θ

L1

L2

D

 Los vectores A, B, C son concurrentes y coplanares.  El vector D es coplanar pero no concurrente, pero el vector concurrente ni coplanar.

A



B

p

3 OPUESTOS

-A

E no es

θ

OPERACIONES CON VECTORES



 Todo vector A tiene su opuesto denominado - A ; y tiene la misma dirección, módulo pero sentido opuesto.  La suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo (módulo cero) Según lo analizado anteriormente, tenemos: A+(-A)=0 4 IGUALES

Dos vectores son iguales cuando tienen la misma dirección, módulo y sentido.

Sumar dos o más vectores significa hallar su RESULTANTE. Dicha resultante se puede determinar mediante analíticos y gráficos. RESULTANTE MÁXIMA

Ocurre Si los vectores son colineales teniendo la misma dirección y sentido y forman un ángulo de 0º. 0º

B

A

RMÁX = A + B

38

RESULTANTE MÍNIMA

2

Ocurre Si los vectores son colineales teniendo sentido contrario y forman un ángulo de 180º B

2

2

2

2

2

R = A sen θ+B +A cos pero: (sen

A

180º

2

R = (Asenθ) +(B+Acosθ)

2

2

2

+2 A.Bcosθ ENTONCES:

2

+ cos )  1

RMIN = A - B

R= A 2 +B2 +-2ABcosθ

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Es válido para hallar la resultante de dos vectores. El método consiste en ubicar a los vectores en un origen común conservando su módulo y dirección, luego construye el paralelogramo y el vector resultante se traza desde el origen común dirigiéndose al vértice opuesto. Sean los vectores: A

θ B

1 Si A y B son perpendiculares

A B 2

B

Ahora deduciremos una ecuación que nos permita encontrar la longitud de la resultante: R

A

θ



A

Si: A = B y θ=90º

A

R=A 2

R A B

h= Asenθ

θ

R= A 2 +B2

R

R

A

θ

CASOS PARTICULARES.

3

Si: A = B y θ=60º

B

Acos θ B+Acosθ

En el triángulo sombreado aplicamos el teorema de Pitágoras.

A

θ A B

R

R=A

3

39 4

Si: A = B y θ=120º

R

θ

MÉTODO DEL POLÍGONO

Se colocan los vectores uno a continuación del otro en el mismo sentido y la resultante se traza desde el origen del primer vector hasta la saeta del ultimo vector.

R=A

A

A B

B

C A MÉTODO DEL TRIANGULO

C

A

D

D

Es válido para hallar la resultante de dos vectores. El método consiste en graficar los vectores uno a continuación del otro, la resultante se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del segundo. Dados: Los módulos de los vectores A y B: B

R A B C D

B

Polígono cerrado Es cuando los vectores graficados cierran la figura, los vectores deben orientarse en forma horaria o anti horaria; por lo tanto su resultante es nula. C

A

B

A R A B

R =0

A

B

D

E

LEY DE SENOS

Es usado cuando se conocen los ángulos internos y por lo menos uno de los vectores.

DIFERENCIA DE VECTORES

Si deseamos hallar la diferencia entre 2 vectores A y B , entonces esta operación consiste en sumarle al vector A el vector opuesto de B .

B A

θ

β



A

A

R

B

sen β sen θ

R



sen  B

R= A - B

R

θ B

DONDE:  =180-θ

40

 Para obtener el modulo del vector diferencia se debe de aplicar la siguiente relación: A-B =

2

2

A-B =

μP = P = Vector

ó

Recuerda:

2

A +B -2ABcosθ

MATEMÁTICAMENTE

Luego

2

P = P μP

μA = μ B

y2

P  (x -x ),(y -y ) 2

μP   P

A  B Entonces:

y 1

1

3 Para dos vectores “A y B”

Un vector se le puede representar a través de ecuaciones cartesianas (en el plano o en el espacio y/o en ecuaciones matriciales en general),

2

Módulo

P

A +B +2ABcos 2

Definimos su vector unitario

VECTORES UNITARIOS EN LOS EJES X,Y,Z

1

P

Pero el Módulo de “P” será: P  (x2 -x1)2 + (y2 -y1)2

θ

y1

ΔX

x1

VECTOR UNITARIO

ΔY

x2

x

Para expresar un vector y realizar operaciones con ellos se acostumbra hacerlo en términos de los vectores unitarios ( i, j, k ) ubicados a lo largo de los ejes X, Y, Z como se muestra en la figura . z

Se le denomina así a la unidad vectorial que representa a un vector cualquiera el cual se caracteriza porque su módulo siempre es uno y se manifiesta colíneal o paralelo al vector y nos indica la dirección y sentido. k

P

B

y

Pz

P

i

y

j

A

Px

μP μP =1

x x

Py

Por Lo tanto el vector “P” se puede expresar como:

41 P = Px i

Py j

Px = P cos θ Py = P sen θ

Pz k

Hallando su módulo del vector “P” Módulo P =

Px 2

Py 2

Entonces:

Pz 2

Vector P = Px i

Py j

Hallando su módulo por componentes. Las coordenadas de los vectores unitarios en cada eje son:

Módulo P =

Px 2

Py 2

i = ( 1,0,0 ) j = ( 0,1,0 )

i = j = k =1

k = ( 0,0,1 )

COMPONENTES DE UN VECTOR

Es la operación que consiste en descomponer un vector V = |P|, en función de otros ubicados sobre dos rectas perpendiculares (Eje x Eje y). Siguiendo los pasos señalados se obtendrán las componentes rectangulares Px ;Py.

La dirección esta dada por la función tangente del ángulo respecto a la horizontal. RECUERDA: i : vector unitario en el eje x (1,0) j : vector unitario en el eje y (0,1) Se observará que:

y( j )

MÉTODO PRÁCTICO P

Py = P sen θ

θ

x( i )

Px = P cos θ

El vector de módulo “P” se puede expresar en función a sus componentes rectangulares. Siendo las componentes:

Pero existe un método práctico para descomponer vectores, usando los triángulos notables, pero antes recuerda:

42

TRIÁNGULOS NOTABLES

Paso # 4 Se calcula finalmente el módulo y dirección de la resultante. ADICIÓN DE VECTORES

Sean: A=( x1;y1 ) y B=( x 2 ;y 2 ) dos vectores en el plano

cartesiano

entonces podemos calcular la adición de vectores:

A+B= ( x ;y ) + ( x ;y ) 1

1

2

2

A+B= ( x + X ; y +y ) 1

RECUERDA

Paso # 1 Los vectores que se sumaran se disponen partiendo del origen de coordenadas. Paso # 2 Los vectores inclinados respecto a los ejes se reemplazan por sus componentes rectangulares.

2

1

2

A+B= ( x + X )i + (y +y )j 1

2

1

2

SUSTRACCIÓN DE VECTORES

Sean: A=( x1;y1 ) y B=( x 2 ;y 2 ) dos vectores en el plano entonces podemos calcular la sustracción de vectores: A  B= ( x ;y ) + ( x ;y )

Paso # 3 Se calcula la resultante parcial en el eje X, así como la resultante parcial en el eje Y, para esto se suman algebraicamente las componentes en cada eje.

1

1

2

2

A  B= ( x - X ; y - y ) 1

2

1

2

A  B= ( x - X ) i + (y - y ) j 1

2

1

2

cartesiano

43

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Px = cos  P

Py P

= cos β

Px = cos θ P

Dados A estos cósenos se les llama cósenos directores y tiene la siguiente característica.

A=( x ;y ) y k  R entonces: 1 1

kA= k ( x ;y ) 1 1

kA= ( k x ; y k ) 1

2

Pero recuerda que:

Dados los vectores A y B definimos el producto escalar denotado por A . B Como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Geométricamente interpretamos como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Vemos el gráfico.

k < 0  A  kA ÁNGULOS Y CÓSENOS DIRECTORES. z

Por lo visto hasta ahora podemos afirmar que matemáticamente el vector es un conjunto ordenado de números reales. Un par ordenado ( x,y ) en el plano o una terna ordenada ( x,y,z ) en el espacio definido donde x,y,z son números reales denominados las componentes del vector. P  ( P ,P ,P ) x y z

2

PRODUCTO ESCALAR A.B

Si: k > 0  A  kA

Sea el vector

2

cos  +cos β+cos θ=1

1

en el espacio

veamos gráficamente en el espacio:

B Pz k

θ

P B

θ



β

Py j

Px i x

Entonces los ángulos que forma el vector “P” con los ejes, Se denominan ángulos directores. VERIFICANDOSE QUE:

A

cos θ

A

B= A B

cos θ

y

θ = 0º

Si: θ = 90º θ = 180º

A

B= A B

A

B =0

A

B= A B

En el plano o espacio cartesiano el producto escalar será igual a la suma de los productos de las coordenadas correspondientes.

44

Si:

A  ( x ,y ,z )

AxB

1 1 1

B  ( x ,y ,z ) 2

2

2

B

Entonces el producto de los vectores será: A.B  x .x + y .y +z .z 1

2

1

2

1

θ

2

cos θ A.B  x .x + y .y +z .z 1 2 1 2 1 2 Son expresiones equivalentes del producto escalar. El resultado del producto escalar será siempre un número real positivo, nulo o negativo. B= A B

A

Señala que los vectores son perpendiculares entre si.

.

- +

i j k A x B = x1 y1 z 1 x2 y2 z 2

Regla de mano derecha

Por lo tanto:

Ax B = i

y1 z 1 - j x1 z 1 k x1 y1 + x2 y2 y2 z 2 x2 z 2

Nota:

B =0

A A= A

+

A

Nota: A

Área

2

θ=

0º

Ax B=0

sen θ = Área Ax B =0 A

B

AxB= BxA

PRODUCTO VECTORIAL AxB

Dados los vectores:

A=( x ,y ,z ) y B=( x ,y ,z ) 1 1 1

A xB = A B

2

2

2

Definiremos el producto vectorial, como un vector que es ortogonal a los vectores A y B , por lo tanto ortogonal al plano determinado por A y B Donde el sentido de A x B se determina por regla de mano derecha.

A x A =0

La longitud del vector AxB, puede interpretarse como el área del paralelogramo determinado por dichos vectores ( A y B ).

45

PROBLEMAS RESUELTOS

A

20j

32º

z

21º

y

B

x

Solución 1. Sobre un punto en el piso se aplican dos fuerzas de módulos 5N y 2N, determine la fuerza efectiva que se aplica sobre dicho punto. F1 =5N

37º

Primero desplazamos los vectores con la finalidad de tener el mismo punto de aplicación. Luego ubicar el vector 2B

F2 =2N

Solución

R

Primero desplazaremos los vectores gráficamente, para luego aplicar el método del paralelogramo. F2

-2 B

A 127º

F1

37º

21º 32º

B R

Ahora hallando el vector diferencia R = (F1)2 +(F2 )2 +2F1.F2.cos37º

A-2B=R = (A)2 +(2B)2 +2(A)(2B).cos127º

R = (5)2 +(2)2 +2(5.2)4/5

A-2B = (5)2 +(8)2 +2(5.8)(-3/5)

R = 3 5N

A  5u y B  4u

41u.

3. En el sistema de vectores mostrados determine el módulo de la resultante si:

Respuesta 2. Para los vectores mostrados determine el módulo de

A-2B =

Respuesta

A-2B si

A  C  2u , B=5u

46

4.

B

Calcular el módulo del vector resultante sabiendo que la figura es un hexágono regular de lado 2 3 .

23º

C

97º A

Calculemos la resultante entre A y C teniendo en cuenta que forman 120º R C

Solución

120º

A

Por propiedad si los vectores forman 120º debe cumplir.

Primero recuerda que un hexágono regular está formado por triángulos equiláteros interiores veamos:

si: A  C  R  2u Ahora hallaremos la resultante del vector “B” con la resultante obtenida de los vectores “A y C”.

2 3

60º

3 3

B

R R

T T

37º

2 3

Luego los vectores mostrados forman un ángulo de 60º por ser un hexágono regular.

R

R

= (B)2 +(R)2 +2B.R.cos37º 3

= (5)2 +(2)2 +2(5.2)4/5

60º 3

R= 3 2.

Respuesta

R = 3 5u. T

Respuesta

5.

En el siguiente sistema de vectores determine el módulo del vector resultante si el hexágono regular tiene 2m de lado.

47

A=

M X

B

G

2B

X  3B 2

X=2A-6B Respuesta A

M X

Solución P

7. Traslademos los vectores con la finalidad de aplicar el método del triángulo.

2

2

Determine el módulo del vector resultante del conjunto de vectores mostrados. A

5m

Por ser un hexágono regular su diagonal será PQ=4 Entonces la Resultante es 3PQ Q

2m 3m=C

R= 12

Respuesta

6.

B

Determine el vector “x” en función de A y B si G: Baricentro y M: punto medio.

Solución Reemplazando módulos de los vectores A y B por sus componentes rectangulares. Tenemos:

M X

B M

A

G

5m R

A

7m=Ry

B 2m

Solución Nos piden determinar “x” en función de A y B. Por propiedad del baricentro tenemos que la proporción de de 2 a 1 entonces: Ahora aplicando en método del triángulo en el área sombreada obtenemos:

9m=Rx 3m=C

Hallando la resultante. R = (Rx)2 +(Ry)2 R = (9)2 +(7)2

48

R = 130m

R P

Respuesta 8.

R=

En el paralelogramo mostrado determine la resultante del sistema en función del vector “P”.

7 P 2

Respuesta

9.

P

X

A

3 PP 2

Determine “x” en función de A y B si MNOP es un cuadrado. M

P

Y B

A

Solución

X

Apliquemos el método del triángulo.

N

B/2 A

P

X

O

B

B/2

Solución A/2

Aplicando Pitágoras en MNT obtenemos que: MT= 5 Y

A/2

M

B

θθ

Entonces sabemos que la resultante es: R  A B X Y P

P 2

2

5

A B P B A   P....(1) 2

R

A B  P...( 2 ) 2

Sumando (1) y (2) obtenemos: 3 X  Y  (A  B) 2 pero

Q

θ

N

1

Ahora por semejanza de triángulos en MNR y NRT tenemos: 1 RT  1 5

: (A  B)  P

Reemplazamos en la resultante:

O

T

RT=

5 5

49

Por lo tanto:

y

MR= 5  MR=

5 5

4 5 5

10º

10º

Ahora en el cuadrado gráficamente tenemos. M

9

x

θ

12 A

P

Solución Como no tenemos ángulos notables giremos el sistema 10º en forma horaria.

4 B  A  5 2

y

Q A

9

R

X/2

B 2

T

O

Ahora hallando “X” en función de A y B en el triángulo NRT. x B +A+ 2 2 =B 5 2

X=

θ+10º

12

4B-2A 5

Respuesta

A

Como la resultante es cero entonces: 9 = Asen( θ+10 ) …..(1) 12= Acos( θ+10 ) …..(2) Dividiendo ( 1 ) y ( 2 ) obtenemos: tg(θ+10º)=

3 4

tg(θ+10º)=tg37º

10.

En el experimento de vectores realizado por Jesús y Gerardo llegaron a la rotación que se muestra. Determine el valor del ángulo desconocido para que la resultante sea nula.

Simplificando: θ=27º

Respuesta

Asen(θ+10º)

N

Acos(θ+10º)

A+B/2 5

x

50

11.

En el siguiente diagrama determinar el valor de “P” si la resultante de los vectores tiene como módulo 14cm. 4P 5

R = (R )2 +(R y )2 +2R x .R y .cos120º x 2 2P 14 = (14)2 +( P)2 -2 (14. )1/2 5 5

P 5

60º

P=35cm Respuesta

4

12.

1

Solución

Determine el módulo de la resultante para el conjunto de vectores mostrados en el espacio.

Apliquemos el método del triángulo con la finalidad de encontrar la resultante en los ejes “x é y” . 4P 5

P 5

y

60º 4 1

x

4P P R =  P x 5 5 2P R =x 5

R =14 y

R Ry 120º Rx

Por dato del problema la R=14cm Entonces:

5 4

Hallando la Resultante en los ejes “x é y”

R =5+5+4 y

Graficando convenientemente:

z

6

y

8 x

Solución

z

5

Realicemos la descomposición poligonal de los vectores en función de los ejes “x,y,z” Entonces ahora calculemos la Rx, Ry, Rz. Rx =-4+4-4 = -4i Ry = 8+5-3 = 10j Rz = 6k

4

6

y

5 x

3

51

-i -j =  (-2i - j) +  (i - 2j)

Hallando el módulo de “R”

-i -j = i (-2 + ) + (- - 2 )j 2

2

2

Por comparación:

R = (R ) +(Ry ) +(R ) x z

-2 +  = -1

R = (-4)2  (10)2  (6)2

- - 2 = 1

R= 152 Respuesta 13.

Si los vectores mostrados en la figura están relacionados entre si mediante

b  a  b

"  y  " son

donde

números reales

Resolviendo el sistema obtenemos:  =1/5  = -3/5 Respuesta

determínelos. y

14.

Dados a=(3; 4) y b=(7; 24) determine el ángulo que forman entre si:

Solución a

Sabemos que:

x b

a

(j) y

Hallando los vectores a b y c en función a sus vectores unitarios tenemos:

a.b  x1.x 2 +y1.y 2 a

x (i) b c

Por dato del sabemos que: b  a  b

problema

= a b cos θ

Entonces para hallar el ángulo debemos conocer el producto escalar “a.b” y sus respectivos módulos. Hallando el producto escalar:

c

Solución

b

a= -2i - j

a.b  (3.7)  (4.24)

b= -i + j

a.b  117........()

c= i - 2j

Hallando dichos módulos: a



(3)2  (4)2  5

b



(7)2  (24)2  25

Reemplazando datos:

52 a

b

= a b cos θ

Solución

117=(5).(25)cosθ

Por dato y gráfico del problema podemos concluir que “ n ” es normal al

 117  θ= arc cos    125 

plano determinado por AB y AC . Luego n  axb (Vectores codirigidos)

Respuesta

15.

z

Encontrar un vector normal al plano determinado por los vectores

a xb

a  (1, 2,3) y b  (6,7,8)

EL vector normal al plano determinado por a y b sería n=a x b Luego

y

n

5 C

i j k

7 8

n  axb  u n = u axb

-j

1 3 6 8

+k

Determinemos AB y AD

1 2

AB= B-A=(4,-2,3) - (4,0,3)

6 7

AB= (0,-2,0).......( )

n=a x b = -5i +10j -5k

AD= D-A=(5,0,0) - (4,0,3)

n=axb=(-5,10,-5)

z

Respuesta

16.

D (5,0,0)

Sabemos que:

Desarrollemos la matriz. 2 3

2 x

n=a x b  1 2 3 6 7 8

n=a x b = i

A 4 3

(4,-2,3) B

Solución

AB= (1,0,-3).......(   )

su módulo igual a 4 10 determine la expresión vectorial cartesiana de “ n ”.

Hallando AB x AD

A 4 3

B

Si n es normal al plano ABCD y siendo

i j k y

n

5 C

2 x

D

AB x AD= 0 -2 0 1 0 -3

Desarrollando obtenemos:

53

k < 0 (tiene diferente sentido)

AB x AD = (6,0,-2)

Entonces:

Hallando su módulo: AB x AD = (6)2 +(0)2 +(-2)2

A+B=i+6j

AB x AD =2 10

B+C=(a-2)i + (b+4)j

Sabemos que A  B // B  C entonces cumple:

Luego el vector unitario será: un =

B+C = k(A+B) Reemplazando:

(6,0,-2) 2 10

(a-2)i + (b+4)j = k(i+6j)

Hallando “ n ”

(a-2)i + (b+4)j = ki+6kj

nz = n .un n  4 10.

a-2=k (6,0,-2)

b+4=6k  b=6k-4

2 10

Por lo tanto el mínimo valor entero positivo de “a y b” será cuando “k = 1” entonces:

n  12 i - 4k Respuesta

17.

 a=k+2

a=1+2

y b=6(1)-4

a=3 y b=2

Se tiene los vectores A=3i+2j; B=-2i+4j; C=ai+bj determine los

Respuesta

valores mínimos y enteros de “a y b” de manera que A  B sea paralelo a BC.

18. y

A  B  C= -4i +3j determine el valor de A-5B-3C .

Solución

A

B

Si se tiene tres vectores A, B y C donde A-2B-C=10i+5j además

y

x

A+B+C= -4i+3j

Solución

A-2B-C=10i+5j

Recuerda cuando dos vectores son paralelos debe cumplir: A

x A

B

kB

Si: k > 0 (tiene igual sentido)

54

Multiplicando por (2) al vector:

A= (4+4) =4(1,1)

A-2B-C=10i+5j (2)

B= (2cos8ºi+2sen8ºj)

Tenemos:

B= 2(cos8º+sen8º)

2A-4B-2C=20i+10j....()

Hallando el módulo de A y B.

Multiplicando por (-1) al vector:

A=4 (1)2 +(1)2 =4 2

A  B  C= -4i +3j

B=2 (cos2 8º+sen2 8º=2

A  B  C= 4i -3j....(   )

Sumando () y ()

Recuerda que A forma 45º con el eje “X” positivo y “B” forma 8º con el eje positivo Por lo tanto: “A” forma 37º con el vector “B”. Realicemos un gráfico:

2A-4B-2C=20i+10j -A -B - C = 4i - 3j A-5B-3C=24i+7j

z

Ahora graficando.

AxB μ

y

-5 B3C

8º x

A

7

θ

45º B A

x

24

A-5B-3C  (24)2 (7)2 A-5B-3C

4

 25

Respuesta

4 y

Entonces: AxB  (ABsenθ)μ

Por regla de mano derecha obtenemos: -k  μ

19.

Sean los vectores A=4i+4j B=2cos8ºi+2sen8ºj ,determine el producto vectorial de dichos vectores.

Solución Según dato del problema:

AxB  (AB4 2.2sen37º)(-k) AxB  

24 2k 5

Respuesta

55

20.

ABC es un triángulo equilátero de lado 4cm. Determinar el módulo de la resultante de las fuerzas mostradas en la figura sabiendo que el plano en el cual se encuentre el triángulo ABC es perpendicular al plano “-XY” y forma un ángulo diedro de 30º con el plano “YZ” Siendo: F1=4 5N; F2=6 5N

Asumiremos que el vértice “A” se encuentra a “k” unidades del origen en el eje “-X” por lo tanto las coordenadas de “A” son (-k,0,0) Según gráfico tenemos las coordenadas de B y C siendo:

Considerar: B = F1 ; C = F2

B  ( (k  1); 3; 2 3 ) F1

z

B=(-k-1; 3, 2 3 )

C=(-k-2; 2 3 ,0)

De donde obtenemos que: B  (k 1)2  ( 3 )2  (2 3 )2 k=1 y k=-3

B

Luego se tiene: C

A=(-1,0,0)

F2

A

B=(-2, 3,2 3 )=F1 y

C=(-3,2 3,0) =F2 x

Finalmente: F1+F2=(-5;3 3; 2 3)

Realicemos un gráfico con los datos del problema. z

F1+F2=8

Respuesta

B

z

30º

4 E

4

20j z

2 3

C

y

x

2

2 3

D

30º

A

3

2

H 1

2 m

3

y

n

y

3 x

PRÁCTICA 1

2 3

REALIZA

MAPA CONCEPTUAL DE VECTORES

56

Problema 1

Solución

Determinar la resultante para los vectores dados, Siendo: | a | = 10 | b | = 2, |c|=4 |d|=3

Problema 2 Hallar el módulo de la resultante.

Problema 3

Solución

Hallar el módulo de la resultante.

Solución

Problema 4 La corriente de un río tiene una velocidad de 12m/s. Si un alumno cruza perpendicularmente un río con una velocidad de 5m/s. ¿Cuál será el valor de la velocidad resultante?

Solución

57

Problema 5

Solución

¿Cuál es el valor de la resultante? Los vectores están colocados en un rectángulo.

Problema 6 Un paracaidista salta y cae verticalmente por acción de su peso igual a 600N. Al abrir el paracaídas el aire ejerce una fuerza sobre el paracaídas de 1000N en dirección vertical y hacia arriba. ¿Cuál es el valor de la fuerza resultante sobre el paracaidista en dicho instante?

Problema 7

Solución

Dos vectores tienen una resultante mínima que vale 4 y una resultante máxima igual a 16. ¿Cuál es la resultante de estos vectores cuando formen 60º?

Solución

Problema 8 En el mar, un viento sopla en la dirección Este, mientras que un barco navega hacia el Norte. ¿En qué dirección puede estar flameando la bandera del barco?

Solución

58

Problema 9 En la figura resultante

Solución

determinar su

80°

20°

Problema 10 En la figura resultante

Solución

determinar su

Problema 12 Determinar el módulo de la resultante si : |A | = |B | = 4 y |C| = 8 C

10 12

120° 10

Solución

Un bote a motor se dirige hacia el este con una velocidad lleva una velocidad de 10m/s. Si la corriente marina tiene una velocidad de 6m/s. en la dirección N30ºE. ¿Cuál será el valor de la velocidad resultante del bote?

C

D

Problema 11

B A

120º

Solución

59

Problema 13

Solución

halle la módulo de la resultante sabiendo que : |a| = 6; |b| = 8.

Problema 15

Solución

Halle el módulo de la resultante: a + b. Si : |a| = 6 y |b | = 6.

a

b

30º b

60º a

Problema 14 Se tienen dos vectores de 10N y 15N cuya resultante es igual a 20N. Determinar el coseno del ángulo que forman los vectores.

Solución

Problema 16 Halle el módulo de la resultante: a + b. Si : |a| = 3 y |b | = 4.

b

a

Solución

60

Problema 17 Si: |A| = 3 ; |B| = 5, Encontrar la resultante.

Solución

Problema 18

Solución

En la figura, calcular el módulo de la resultante 10 6 60°

40° 20°

60° 6

RECUERDA

-La velocidad de la luz es constante en el vacío, pero en el aire, agua y otros medios, se frena, pudiéndose llegar a ir más rápido que ella. -Si una nave viajara a velocidades cercanas a la luz, el tiempo dentro de ella va muchísimo más lento que lo que iría en la Tierra. -El tiempo va más lento cuanta más gravedad haya. Por lo tanto, irá más lento en la superficie solar que en la Tierra y más rápido cuanto más alto estemos (la gravedad es menor). -La teoría de la relatividad no dice que no se pueda ir más rápido que la luz, sino que no se puede cruzar la barrera de la luz, ni por arriba ni por abajo. Es decir, si algo fuera más rápido que la luz, por ejemplo un taquión (partícula hipotética de “masa imaginaria”), jamás podrá ir más lento que ella.

INVESTIGA

VECTORES EN EL ESPACIO

61

1

VECTOGRAMA

2

15 8 14 9

6 3

7

10 5

4 VECTICALES

11 13 12

1

ES LA REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR

2

SUS LINEAS DE FUERZA SE CORTAN EN UN SOLO PUNTO.

3

ES UN VECTOR ORTIGONAL A LOS VECTORES

4

SON AQUELLOS CONTENIDOS EN UN MISMO PLANO

5

OCURRE CUANDO FORMAN 0° ENTRE SI

6

SON AQUELLOS CONTENIDOS EN UNA MISMA LINEA DE ACCION.

7

NOS PERMITE HALLAR LA RESULTANTE DE VECTORES

8

NOS PERMITE EXPRESARLO NUMERICAMENTE

9

METODO PARA HALLAR LA RESULTANTE CON MAS DE DOS VECTORES

HORIZONTALES

121581496371054111312

10

METODO ANALITICO

11

VALOR DE LA MAGNITUD VECTORIAL

12

METODO GRAFICO PARA HALLAR RESULTANTES

13

CARACTERISTICA DEL VECTOR QUE NOS INDICA HACIA DONDE SE DIRIGE

14

OCURRE CUANDO FORMAN 180° ENTRE SI

15

ENTE MATEMATICO REPRESENTADO POR UNA SAGITA

62

REALIZA

ESQUEMA DE LLAVES DE VECTORES

63 20j z

PRÁCTICA 2

y

x

1. Calcular el valor de la resultante de dos vectores de 3u y 5u, que forman un ángulo de 53º a) 2 6

b) 13

d) 2 26

e) 26

c) 2 3

4. Descomponer rectangularmente el vector de módulo 100N. a) 80N,100N b) 70N, 80N c) 80N, 60N d) 90N, 80N e) 60N, 60N

7.

En el siguiente conjunto de vectores, determinar el módulo de la resultante. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Determinar la magnitud de la resultante. 8. Calcular el módulo de la resultante en:

3. Determinar la magnitud de la resultante. a) 14 b) 10 c) 12 d) 6 3 e) 8 2

d) 6 3 e) 8 2 6. Hallar el módulo del vector resultante del conjunto de vectores mostrados. a) 10 61 b) 70 c) 10 13 d) 10 29 e) 50

a) 8 b) 20 c) 13 d) 21 e) 0

25

10 2

30°

83 °

a) 14 b) 10 c) 12

52 °

2. Calcular el módulo de la resultante en el gráfico. a) 30 b) 35 c) 3 d) 32 e) 36

18

9. En el siguiente sistema de vectores determinar el módulo del vector a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

64

11. Encontrar la dirección del vector resultante del sistema mostrado. a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º 12. Calcular el módulo de la resultante de los vectores indicados.

a)0

b) 6u c) 8

d) 6 2

e) 2 13

13. Si el lado del cuadrado es 6 unidades. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados.

a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 30 14. Determinar el módulo del vector resultante. a) 12u b) 15 c) 16 d) 22 e) 21 15. Si la fuerza resultante del siguiente grupo de vectores es horizontal. Hallar F. a) 10N b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 16. En el episodio de Piratas del caribe Gerardo y Jesús el capitán Gerardo pierde su gancho como producto de fuerzas enemigas, determine el módulo de la fuerza resultante de las fuerzas mostradas, aplicadas al gancho del pirata Gerardo que está incrustado en un madero.

a) 16N b) 13N c) Falta “F” d) 14N c) 20N

F 28N F/3

3 0°

10. En el conjunto de vectores mostrados, hallar la dirección del vector resultante. a) 30º b) 37º 53° 10 c) 45º 8 d) 53º 6 e) 60º

15N 9N 18N

2F/3

17. En el siguiente sistema de vectores determinar el módulo de la resultante. a) 2u b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 18. Dado el conjunto de vectores, hallar el módulo de la resultante. a) 2 b) 2 2 c) 2 d) 1 e) 3

65

d) 53º e) 16º. 19. Calcular el módulo de la resultante. 2. Dado el conjunto de fuerzas, determinar la resultante sabiendo que es vertical. a)12N b)16 c)18 d)24 e)20

a) 8 10 b) 18 10 c) 50 2 d) 50 e) 48 20. Si en el siguiente grupo de fuerzas, la resultante es vertical. Hallar "  ". a) 37º b) 53º c) 60º d) 30º e) 45º

c) 2 2 d) 6 e) 10 20j z

PRÁCTICA 3

y

x

1. Si la fuerza resultante del siguiente sistema de vectores es nula, hallar "  ". a) 37º b) 30º c) 45º

3. Hallar el módulo de la resultante, sabiendo que es vertical. a) 2N b) 8

4. En determinada dirección un estudiante camina 50m, luego se desvía 60° respecto a la dirección anterior avanza 30m mas ¿cuál es el módulo de su desplazamiento total. a) 30m b) 60m c) 70m d) 80m e) 90m

53° con uno de los lados de dicha plataforma, si esta se mueve a 5m/s con relación a la tierra halle la velocidad resultante de la persona en la plataforma plataforma.

53º

a) 4 2

b) 2 2

d) 4 3

e) 2

c) 3 2

6. Consideremos el caso de un buque desmantelado a merced del viento y la corriente a cierta velocidad Va =2m/s en dirección norte ,un bote de socorro lanza una soga y la jala con el fin de dar al buque una nueva velocidad Vb también de 2m/s pero ahora en dirección oeste que velocidad "V" debe el bote de socorro superponer a Va para que la velocidad resultante sea Vb ( en m / s) a) 2 2 d) 4

b) 2 e) 5

c) 2 3

7. Hallar la resultante de dos vectores de 3 y 2 2 unidades cuando forman 45° entre si.

5. Sobre la plataforma un hombre se mueve a la velocidad V=1m/s y forma un ángulo de

a) 29 d) 2.41

b) 23 e) 4

c)

3

66

8. Cuál es el valor del ángulo que forman dos vectores de 3 y 5 unidades de modo que su resultante sea de 7 unidades. a) 30° b) 45° c) 60° d) 53° e) 37°

d) 100 e) 300 13. La resultante de dos fuerzas iguales a “P” es 4 5P ¿qué ángulo forman dichas fuerzas? 5

a) 30° b) 45°

c) 37°

d) 53° e) 60°

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 10

9. Hallar el valor del ángulo que forman dos vectores iguales para que la resultante sea igual al módulo de dichos vectores a) 30° b) 45° c) 37° d) 120° e) 60° 10. Si la resultante de dos vectores es perpendicular y tiene como resultado 10 10 m y se sabe además que uno de

ellos es el triple del otro. Determine Ud. el valor del vector mayor a) 10m b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 11. La resultante de dos vectores igual a "F" es 2  2 F determine el valor del ángulo que

forman dichos vectores a) 45° b) 37° c) 60°

d) 53°

e) 74°

12. La resultante y una de las fuerzas rectangulares aplicadas a un mismo punto valen 200 y 120N respectivamente cuanto mide la otra fuerza rectangular. a) 50N b) 160 c) 80

14. Dos fuerzas de 14N y 8N tienen una resultante de 2 79 N que ángulo forman dichos vectores para tal resultante. a) 60° b) 30° c) 120° d) 53° e) arco cos(7/28) 15. Dos vectores de 5 y 3 unidades forman entre si 60° dando una resultante de : a) 6 b) 3 c) 7 d) 8 e) 19 16. Sean los vectores A:8u B:7u determine el vector “A + B” cuando los vectores formen 60° a) 12u b) 13 c) 14 d) 16 e) 123 17. Si dos fuerzas iguales a “F” forman entre si un ángulo de 135° es posible afirmar a)

4  2F

b)

4  2F

d)

2  2F

e)

3  2F

c) F

18. En el gráfico mostrado hallar │A - B│ A=5 B=3

si:

A 37º B

19. Determine |A – B| si: A = 4 3 a) 1 b) 3 A c) 4 d) 2 30º B e) 7

B=4

20. Determine │A + B│ si: A = 5 B = 4 a) 1 A b) 3 c) 5 d) 2 37º B e) 6

67 20j z

PRÁCTICA 4

y

x

1. En el grafico mostrado determine el valor del vector │A+ B│ Si: A = 7N y B = 4. a) 3,3N B b) 6.6 c) 8,8 d) 98,6

53º

A

e) 4,4 2. En el grafico mostrado determine el valor del vector │A + B│ Si: A =1N B=2N a) 5 N b) 2

40º

c) 7 d) 12 e) e)3

80º

4. En el grafico mostrado determine el valor del vector │A + B│ Si: A =4N B = 8N a) 4 5 N b) 6 c) 5 d) 3

A 15º

75º B

e) 6 5

5. En el grafico mostrado determine el valor del vector │A + B│ Si: A =5N B =3N a) 1N 6º A b) 4 c) 8 d) 12 31º e) 13 B

B

A

3. En el grafico mostrado determine el valor del vector A +B Si: A =a B =a a) 2a b) a A c) 3a B d) 12a 40º 20º e) 10a

6. Sobre un clavo se ejerce dos fuerzas cuyos módulos son de 1N y 2N determine la resultante. a) 3 N b) 2 c) 3 d) 5

uno de ellos es los 3/5 del otro ¿cuál es la suma de los módulos de dichos vectores? a) 5 b) 10 c) 20 d) 40 e) 25

1N

2N 60º

7. Dos vectores concurrentes y coplanares forman entre si un ángulo de 60° si poseen una resultante de 35N, sabiendo además que

8. La resultante de dos fuerzas es 37N, cuando los vectores forman 60° entre si una de las fuerzas es las 3/4 de la otra fuerza de termine una de ellas. a) 3 37N d) 27

b) 4 47 e) 67

c) 5 57

9. La resultante de dos vectores mide 21cm y es perpendicular a uno de ellos si el otro vector mide 35cm que ángulo entre si forman los vectores componentes. a)143° b)127° c)154° d)120° e)180º 10. En el gráfico mostrado determine │A-B│ A =25N B =24N a) 5N A b) 2 c) 7 16º B d) 12 e) 3 11. En el grafico mostrado determine│C-D│ C =10√2N D =10N

68

15. En el grafico mostrado determine │A -2B│ A = 90N B = 30N

12. En el grafico mostrado determine │2B-A│. A = 10 3 N B = 5 3 N a) 10N b) 20 A c) 30 60º d) 40

a) 10 7 N B

b) 20 7

la

3A+2B =30 y

 para que B  A  7 donde:

hallar: 7A-4B

A=5 a) 120° b) 45° c) 150° d) 60° e) 90°

a) 50N b) 20 c) 70 d) 120 e) 30

B=3 A B-

B

19. Si A = B = C = 10N Determine el módulo de: I A-B-C I

e) 50 7 16. En

13. En el siguiente grafico determine el ángulo

A

figura

mostrada

si

2A-3B =25.

a) 10 3 N b) 20 c) 30 d) 4 e) 35

14. En el gráfico mostrado determine A+B, A = 2N B = 3N además: b) 3,2 e) 3

2  1.4 e ) 8.8

A 60º

B

C

20. Determine el ángulo  para que el módulo de la resultante de fuerzas sea cero.

60º 3A+2B

180º- 

A

7

B

e) 10 3

d) 40 7

5

-3

60º

x

60º

c) 30 7 B

e) 2,3

18. En la figura hallar el vector IA + BI y a) ( 12i;10j ) 6 b) ( 15i;9j ) A c) ( 6i;14j ) 3 d) ( 12i;9j ) B e) ( 7i;6j )

106º

61º

C

a) 5,2N d) 1,2

d) 4,5

B

A

D

2A

a) 5N b) 10N c) 15N d) 20N e) NA

17. Para el sistema mostrado determine la resultante. 5N a) 4 3 N 5N b) 5 3 72º 168º c) 6 3

10 5

 50

10 10

69 20j z

PRÁCTICA 5

y

x

1. Dados los siguientes vectores hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados si: F = 3 D = 4 siendo F y D perpendiculares A a) 10 F b) 20 E c) 30 B d) 40 D e) 50 C

2. Si

BE 

a) 3 b) 2 c) 5 d) 7 e) 11

3 3

hallar el vector resultante. B

E

3. Hallar el Módulo de la resultante para los vectores mostrados F a) F C b) 2F c) 3F E A d) 4F B D e) 5F

4. En el hexágono regular de lado “L” determine la resultante de los vectores mostrados a) 2L b) 4L c) 6L d) 8L 5. Hallar el módulo de la resultante para los vectores mostrados a) 60cm b) 70cm c) 80cm d) 90cm 10cm e) 1m 6. Determine la resultante en base al conjunto de vectores mostrados si : R=p-q+m-d+s a) 2(m-q) d b) 3(m-q) m c) 4(m-q) s d) 5(m-q) q e) NA p

7. Si C  3 Hallar el módulo de la resultante si: R =A – B +2C – 2D

a) 1.5 b) 7 c) 9 d) 11 e)13

C D 30º B

A

8. Determine el módulo del vector resultante de los vectores mostrados si se sabe que : AB =2AC =20cm (AB es el diámetro de la circunferencia. a) 14.6cm b) 24,6 30º A B 60º c) 34,6 d) 44.6 e) 54.6 C

9. Hallar el vector “X” en función de AyB a) A+B

A

2

b) A+B c) 2A - B d) 3B+A/3 e) A + 2B

X

B

10. Determine “X” en función de A y B

70

a) 5A/2 b) 3A/2 c) 2A d) 2A/3 e) 2A/5

a) 2A-B 3 2B-A b) 3 B-2A c) 3 d) 2A-B 2

A

2m

X

G

m

B

14. Hallar “X” en función de A y B si M es punto medio de su respectivo lado

e) A-2B/2 11. Hallar la resultante en función de “X” si se tiene un cuadrado de lado L. a) X(1+ 2) b) X(1- 3)

c) 2X(A - B) d) X(2 A- 3B) e) NA

A

A X

B

12. Expresar “x” en función de A y B. a) (A + B)/3 M b) 2/3 (A + B) c) 2( A +B) A X d) A – B e) 3/2 (A + B B

A G

X B M

e) A -3B

N

17. Si a = b = 2N que valor debe tener el ángulo para que la resultante tenga como módulo 4N a) 30° e b) 60° a d c) 45° c  d) 120° b e) 150°

a) 2A-B 6 b) B-A 3 B-2A c) 3 d) 2A-B 3

16. Hallar el módulo del vector resultante Si: b = 3 d = 4 e = 5 c a) 34 d b b) 29 c) 19 a d) 14 45º 60º e e) 8

15. En una experiencia de fuerzas los vectores quedan según la figura mostrada. Hallar el módulo de la resultante a) 6 b) 9 c) 7 2

18. En el gráfico mostrado determine el valor de la resultante. a) 0 5 7 b) 5 3 c) 12 d) 13 1 e) 17

d) 3 3 13. En el triángulo G es el baricentro Expresar la resultante en función del vector “A”

e) 3 5

2

5

19. Determine el módulo del vector resultante de los vectores mostrados.

71

a) 2a b) 3a c) 4a d) 5a e) 6a

24. Determina el módulo del vector, resultante del sistema de vectores mostrado. el cubo tiene una arista de longitud 1u.

z 4

M

2

a

y

a)

3u

b) 2 u 6

20. Determine el módulo del vector resultante si el lado del cuadrado tiene un valor “a” . a) a b)2a

N

x

2 -2 1 a)  B   - ; ;  b)  3 3 3

c) 2a 2

c)    - 2 ; -5 ; 1  B  3 3 3

d) 3a 3

e) NA.

 1 -2 1    - ; ;  B  3 3 3

d)  B   - 2 ; -2 ; 4   3 3 3

c)

5u

d)

6u

e)

4u

25. Encontrar el módulo de la suma de los siguientes vectores mostrados sabiendo que el cubo es de lado L.

e) 4a

B

21. En la figura encuentre

23. La figura muestra un cilindro recto de radio R y altura H. Desde el centro de la base se construyen 12 vectores que terminan en los doce puntos A,B,C... equidistantes entre si de la cara superior. Determina el módulo de la resultante de estos vectores. K J M L H

A  B z

a) 2 13 b) 3 13

2

c) 4 13 d) 2 e) 3

A

B

4

A

y

3 x

22. Usando el sistema de ejes x, y, z encuentre el vector unitario de “NM”.

a) 10H b) 11H c) 12H d) 13H e) 14H

B

C

D

E

F

G

a) L 2

C G

A

b) 2L 2 c) L 5 d) L

D

O

e) 3L

F

E

26. Determine el módulo del vector resultante de los vectores mostrados.  A  3u B A

30°

50° c

D

72

OBJETIVOS Conocer los conceptos de interacción, fuerza y momento de una fuerza.  Analizar cuantitativamente el carácter vectorial de la fuerza mediante métodos geométricos.  Establecer las condiciones que se deben cumplir para que un cuerpo se encuentre en equilibrio mecánico. 

I N T R OD U CCI ÓN

Hemos podido notar el capítulo de Cinemática que los cuerpos experimentan movimientos con diferentes características, como son el M.R.U., M.R.U.V., M.P.C.L., etc. Pero al observar a nuestro alrededor encontramos que no todos los cuerpos se encuentran en movimiento mecánico; como por ejemplo: la pizarra, el fluorescente, los puentes, etc. Como consecuencia de estas observaciones nos planteamos algunas interrogantes: ¿Por qué algunos cuerpos se encuentran en movimiento mecánico y otros no? ¿Qué determina que un cuerpo no resbale o no rote?

¿QUÉ ES EL EQUILIBRIO? Las diversas situaciones mencionadas no solo constituyen objeto de observación sino que, el hombre las reproduce, las controla y diseña modelos necesarios para complementar su acción sobre la naturaleza. Ahora, para responder a tales interrogantes, debemos conocer ciertos conceptos básicos como: la V interacción y su medida: la fuerza. I N T ER A CCI ÓN

Para comprender este concepto, examinemos el siguiente acontecimiento: Una esfera se desplaza sobre una superficie horizontal e impacta contra un resorte: V1 < V Observamos que debido al impacto, la esfera va comprimiendo al resorte (la esfera ejerce una acción sobre el resorte) y a la vez, el resorte va frenando a la esfera (el resorte ejerce una acción sobre la esfera); entonces, decimos que ocurre una interacción entre la esfera y el resorte.

73

¿Qu é es u n a I n t er acci ón ?

Acción del resorte

Acción de la esfera

Una interacción, es la acción mutua entre dos entes materiales ya sea en forma próxima o a distancia. Acción mutua  Un enfoque riguroso de la INTERACCIÓN interacción, puede hacerse mediante el concepto de campo físico.  Para detallar lo que ocurre en una interacción, haremos una separación imaginaria de los cuerpos: QU E ES LA FU ER ZA La fuerza es una magnitud vectorial que nos expresa la intensidad con que e produce una interacción. La unidad de la fuerza en el sistema internacional de unidades (S.L.), es el Newton (N).

Representación de una interacción por medio de la fuerzas.

Se realiza una separación imaginaria de los cuerpos: F2

F1

 QU E SA BEM OS: Al examinar las diversas interacciones, notamos que no todas son de la misma naturaleza, pero también no todos se presentan con la misma intensidad, por ejemplo: la interacción entre la Tierra y el Sol es mucho más intensa que la interacción entre la Tierra y la Luna. Además; las interacciones se dan en una dirección determinada y debido a ello, vamos a caracterizar las interacciones mediante la fuerza.

F1

Fuerza de acción de la esfera sobre el resorte

F2

Fuerza de acción del resorte sobre la esfera

Suelen denominarse fuerzas de y de reacción indistintamente.

F1 F2 acción

CARACTERISTICAS DE LA FUERZA DE ACCION Y DE LA FUERZA DE REACCIÓN  Aparecen en parejas.  Son colineales, es decir: tienen la misma línea de de acción.  Son de direcciones opuestas.  Actúan sobre cuerpos diferentes.  En forma experimental se puede verificar que en valor son iguales, es decir: F1 F2

Por ejemplo:

74

Cuando un futbolista le da un punta pie a una pelota.

FU ER ZA S

1 GR A V I T A CI ON A L pelota

Separando imaginariamente a la persona y a la pelota

Es aquella fuerza con la cual todos los cuerpos se atraen en virtud a su masa y su valor depende de la masa de los cuerpos y de la distancia que los separa, por ejemplo:

m2 F1

F2

FG

pelota

Si el depredador ejerce con su pie a la pelota 500N entonces, la pelota reacciona sobre el pie con 500N entonces, la pelota reacciona sobre el pie con 500 N, es decir: Si F1 = 500 N  F2 = 500 N N OT A Lo que se acaba de establecer acerca de la fuerza de acción y de reacción, fue planteado por el destacado físico y matemático inglés Isaac Newton, en su obre célebre “Principios Matemáticos de la Filosofía Natural” (1687). Actualmente, a lo planteado por Newton se le conoce como la 3ra. Ley de Newton o Principio de Acción y Reacción.

FU ER ZA S U SU A LES EN M ECÁ N I CA

Son aquellas fuerzas que empleamos comúnmente en la parte de mecánica y entre ellos tenemos:

m1

Tierra

FG d

sol

Trayectoria del movimiento tranlacional de la Tierra alrededor del Sol.

FG 

Gm1.m2 d2

Unidad de FG Newton (N) G: constante de gravitación universal. FU ER ZA D E GR A V ED A D .

Es aquella fuerza con la cual la tierra atrae a todos los cuerpos que se encuentran en sus inmediaciones. Se considera concentrada en un punto llamado centro de gravedad (C.G.) y está dirigida hacia el centro de la tierra.

75

m: Masa del cuerpo en kilogramos. m

C.G.

FG

FG

h

N OT A

h Superficie terrestre

MT RT

Cuando un cuerpo de forma regular es homogéneo su centro de gravedad (C.G.) coincide con su centro geometrico.

BARRA HOMOGÉNEA C.G.

Sabemos: FG 

Gm.MT (h+RT )2

Donde: G= 6,67 x 10-11 (N.m2)/Kg2 MT  6 x 1024 Kg (masa aprox. de la tierra) RT  6400 Km (radio medio de la tierra) Si consideramos que “h” es muy pequeño en comparación con “R T” (h