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• Anthony Torres Niebles

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S E N IO C I MEDICIONES MED

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Sugerencias para prepararte. · Estudia cada unidad temática del curso destacando (puedes subrayar) aquellos conceptos que son fundamentales en cada una de ellas. Puedes hacer una lista de conceptos con sus definiciones y ecuaciones, como si hicieras un "acordeón"; de acuerdo a la consulta en los textos sugeridos en la Bibliografía; debido a que en ésta guía solo se citan breves textos alusivos a la temática del curso. · Indaga sobre la información brindada. · Discute y analiza con otros compañeros el desarrollo de cada unidad temática. · Responde las preguntas y problemas que aparecen para cada unidad. · Consulta con el profesor Anthony de la asignatura de física las dudas que tengas al respecto. · Confronta tus respuestas con la de tus compañeros para tal efecto y si hay dudas puedes consultar con Anthony soluciones.

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MEDICIONES E INCERTIDUMBRES LA FÍSICA Es la ciencia fundamental que se ocupa de principios básicos del universo y constituye los cimientos sobre los cuales se rigen las otras ciencias físicas, como la astronomía, la geología entre otras. La belleza de la física radica en la simplicidad de su teoría fundamental y en la manera en que sólo unos cuantos conceptos, ecuaciones y suposiciones fundamentales pueden alterar y expandir nuestra visión del mundo que nos rodea.

1.

Tener una ubicación en el espacio-tiempo.

2.

Tener un estado físico definido sujeto a evolución temporal.

3.

Poderle asociar una magnitud física llamada energía. Ejemplo de sistema físico -un bat con una pelota.

METODOLOGÍA DE LA FÍSICA. Se basa en la observación y la experimentación principalmente, pero en su desarrollo requiere de hipótesis, del planteamiento de leyes y teorías que expliquen los fenómenos físicos; mediante el uso de análisis de los resultados obtenidos y sus gráficas correspondientes

ALBERT EINSTEIN

La Física tiene la tarea de entender las propiedades y la estructura y organización de la materia y la interacción entre las (partículas) fundamentales. De este conocimiento se deducen todos los fenómenos naturales y observaciones de la naturaleza. En general estudia el espacio, el tiempo, la materia y la energía, junto con sus interacciones. Un sistema físico. Es un agregado de objetos o entidades materiales entre cuyas partes existe una vinculación o interacción. Es utilizado para racionalizar, explicar y predecir fenómenos físicos a través de una teoría; está constituido por un solo cuerpo, o muchos a los que se les aíslan hipotéticamente del resto, con el fin de organizar su estudio y sacar conclusiones que concuerden con la realidad experimental. Todos los sistemas físicos se caracterizan por:

APRENDIENDO MÁS... 1

LA FISICA SE DIVIDE EN:

MECÁNICA

Estudia la relación con el movimiento de objetos que se mueven a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.

4

2

RELATIVIDAD

Es la teoría que describe los objetos que se mueven a cualquier velocidad, incluso a aquellos cuyas velocidades se aproximan a la velocidad de la luz. 3 TERMODINÁMICA

Estudia el calor, el trabajo, la temperatura los cambios internos de un cuerpo por acción al calor y el comportamiento estadístico de un gran número de partículas. 4

Las leyes fundamentales empleadas en el desarrollo de teorías se expresan en el lenguaje de las matemáticas herramienta que brinda un puente entre la teoría y el experimento. FENÓMENO QUÍMICO

Se refiere a los cambios estructurales que sufren los materiales, de tal manera, que se obtienen materiales diferentes a los iniciales. Ejemplo: Las reacciones químicas, El agriado de la leche. FENÓMENO FÍSICO

Se refiere cuando la materia no altera su estructura interna. Ejemplo: la deformación de un Resorte.

ELECTROMAGNETISMO

Que comprende la teoría de la electricidad con el magnetismo y los campos electromagnéticos. 5 MECÁNICA QUÁNTICA

Estudia el comportamiento de las partículas en el nivel submicroscópico. Entonces podemos afirmar que la Física es una ciencia fundamental relacionada con la comprensión de los fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo, Como todas las ciencias naturales la FISICA parte de observaciones experimentales y mediciones cuantitativas. El principal objetivo de la Física es utilizar el limitado número de leyes que gobiernan los fenómenos naturales para desarrollar teorías que puedan predecir los resultados de futuros experimentos.

DESARROLLANDO CONOCIMIENTOS Para comenzar este primer bloque, el profesor deberá explicar con los medios o materiales que se disponga, una introducción al conocimiento de las ciencias naturales, cómo se divide para su estudio así como el impacto que ha generado en la ciencia y la tecnología (o tú también puedes buscar en diversas fuentes). Posteriormente, deberás de elaborar un listado de los artículos que se encuentren en tu casa o comunidad, donde se observe la aplicación de la ciencia y la tecnología como un generador de bienestar para la sociedad.

5

resumen o síntesis entre todo el grupo.

INVESTIGANDO EN EQUIPO Deberán formar equipos heterogéneos para investigar en diversas fuentes las siguientes preguntas y contestarlas: 1. Mencionen 5 acontecimientos más relevantes en la historia de la Física. 2. Escriban 5 aportaciones importantes que ha hecho la Física al avance de la ciencia y el desarrollo de la tecnología. 3. ¿Les ha servido la Física en su vida personal? ¿Por qué? 4.

¿Cómo ha influido el avance científico en los cambios ambientales de su comunidad, y qué impacto ha tenido?

Procurar formar equipo con quienes no hayas trabajado anteriormente, esto enriquecerá tus puntos de vista y podrás desarrollar habilidades referentes a la tolerancia y el respeto a la diversidad, entre otros.

ACTIVIDAD 01 En la siguiente actividad solicitamos que todo el grupo discuta sobre diversos problemas (clima, deforestación, salud, entre otros) que se presenten u observen en su comunidad, región o país; y donde estos puedan ser resueltos mediante la aplicación de un método de investigación. Asimismo, comenten si son enfrentados mediante otro tipo de métodos (religiosos, rituales, entre otros). Elaboren una lista grupal con esos fenómenos, e individualmente, escribe una breve síntesis acerca de alguna investigación que hallas escuchado o leído.

·

Forman equipos para investigar en diversas fuentes sobre los aspectos históricos que fomentaron la necesidad de medir y que llevaron al establecimiento de patrones de unidad y sistemas de unidades; así como a las diferencias más importantes entre las magnitudes

TRABAJO EN EQUIPO Reunirse por equipos nuevamente para buscar un texto sobre el Método Científico (que incluya conceptos y definiciones, características principales, limitaciones y los pasos a seguir en la realización de una investigación de carácter científico). Discutan en plenaria la información recabada, y finalmente elaboren un

fundamentales y las magnitudes derivadas, incluyan ejemplos de uso cotidiano. ·

Realizar por parejas un proyecto de investigación acerca de una problemática ambiental de su región o comunidad, y especificar si tiene solución. ·

Elaboran un cuadro donde se analice, cuándo un ejemplo cotidiano (de su comunidad o región) es una magnitud fundamental y cuándo

6

es una magnitud derivada. Por ejemplo: Cantidad física Magnitud Magnitud derivada fundamental · C Velocidad de un carro o Volumen de una piedra m Distancia entre casa y o colegio siguiente actividad deberán elaborar un cuadro de equivalencia que contenga algunas magnitudes fundamentales y derivadas, así como sus unidades de medida en el sistema S.I MAGNITUD LONGITUD MASA

·

UNIDAD

SIMBOLO

pie

milla

Centímetro Metro Kilometro Pulgada Pie milla

DIMENSIÓN

Trabajan en equipos (mujeres y hombres) para buscar en diversos medios, el uso práctico donde se observe (etiquetas) el manejo de las diferentes unidades de medida de un sistema a otro, notación científica y prefijos de uso cotidiano. Asimismo, deberán elaborar con el mismo equipo, tablas o cuadros de transformación de unidades de un sistema a otro. Por ejemplo

LONGITUD m km pulg

cm

g

kg

MASA slug

lbm

onza milla

gramo Kilogramo Kilometro Libra Onza slug

s

TIEMPO min hora

día

año

Segundo Minuto Hora Día Año ·

Por equipos heterogéneos deberán elaborar varios problemas

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relativos a conversiones de unidades de un sistema a otro, del manejo de la notación científica y de prefijos de uso cotidiano, para

·

Investigarás sobre la necesidad de realizar mediciones y los errores que pueden cometerse al llevarlas a cabo. Más tarde deberán reunirse por equipos heterogéneos para que puedan discutir sobre cuestionamientos y/o problemas referente a los diferentes tipos de medida de longitud, masa, tiempo; utilizando para ello diferentes tipos de instrumentos de medición y calcular la incertidumbre en cada uno de ellos, así como los posibles errores cometidos en las mediciones

·

Formen parejas para investigar sobre las características de una magnitud escalar y un vector; así como los métodos para realizar las operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) con ellos. Con dicha información, elabora una lista de cantidades físicas presentes en su entorno inmediato, donde se pueda observar cuáles son magnitudes escalares y cuáles son vectores. Por ejemplo:

que sean resueltos por otro equipo. Pueden utilizar productos comerciales (etiquetas) que se encuentren en diferentes empresas comerciales de su comunidad, localidad o región. ·

·

Investiga individualmente sobre la utilización de múltiplos y submúltiplos de las unidades fundamentales haciendo uso de la notación científica, decimal y el uso de los prefijos. Ahora reúnanse por equipos para que con dicha información, planteen y resuelvan cuestionamientos y/o problemas, haciendo énfasis en situaciones de su entorno inmediato.

Deberán reunirse por parejas para que investiguen y elaboren un cuadro con los tipos de instrumentos de medición más utilizados en su comunidad, región o localidad. Por ejemplo: INSTRUMENTO Termómetro

FUNCIÓN

UNIDAD DE MEDIDA

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Cantidad física Masa Peso Energía densidad ·

·

·

Escalar

Vectorial

f o r m a n

D e deberás redactar 2 problemas referentes a operaciones fundamentales de conversiones. Posteriormente, formen equipos de 4 personas para resolverlos, aplicando el método gráfico y analítico. Procuren resolver cuestionamientos distintos a los que ustedes elaboraron.

Finalmente formen equipos nuevamente para que realicen una exposición ante el grupo, referente a los aprendizajes y las dificultades encontradas durante este primer bloque. En esta ocasión, deberán

evaluar las presentaciones orales con una rúbrica BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: Hewitt, Paul G. Física Conceptual. Walter Pérez Terrel General. Tippens, COMPLEMENTARIA: Serway, Raymond A. y Faughn, Jerry S. Física..

https://www.youtube.com/watch?v=K4p2R1eIg_o https://www.youtube.com/watch?v=nVmDAPxd_hU

GUIA GUIA DE DE LABORATORIO LABORATORIO La práctica de laboratorio se llevó a cabo en el taller de física . En esta guía los estudiantes identificaran las magnitudes de diferentes objetos utilizando variados instrumentos de medición tales como el Vernier o Pie de Rey, Micrómetro o Palmer, y balanza. Durante la experiencia se aprenderá a utilizar los equipos ya mencionados, las partes que tiene cada uno, su uso y precisión. Se observara que dichos instrumentos tienen diferentes medidas de precisión y son usados según los materiales con los que esté trabajando. Se debe que encontrar la altura, diámetro y masa de una esfera de acero y de un cilindro de aluminio hueco; identificando además su precisión e incertidumbre.

MATERIALES Y EQUIPO: 1 Vernier o Pie de Rey 1 Micrómetro o Palmer 1 Balanza 1 Esfera de acero. 1 Paralelepípedo 1 Cilindro

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DATOS OBTENIDOS EN LA EXPERIMENTACIÓN 1. MEDICIONES DEL PARALELEPÍPEDO MAGNITUD

VALOR MEDIDO

PRECISIÓN

INCERTIDUMBRE

LONGITUD

“A” es una cantidad “U” es una cantidad “X” es la medida directa

B) INCERTIDUMBRE ABSOLUTA: X= 12u Donde: x es la incertidumbre absoluta “u” es la unidad de la menor escala de un aparato de medición

ANCHO ALTURA

C) INCERTIDUMBRE RELATIVA 2. MEDICIONES DEL CILINDRO MAGNITUD

VALOR MEDIDO

PRECISIÓN

INCERTIDUMBRE

Er=

INSERTIDUMBRE ABSOLUTA VALOR MEDIDO

= dx x

ALTURA DIAMETRO

D) INCERTIDUMBRE RELATIVA ( en %)

MASA

E%=Er.100% 3. MEDICIONES DE LA ESFERA MAGNITUD

VALOR MEDIDO

PRECISIÓN

INCERTIDUMBRE

E) INCERTIDUMBRE DE MEDIDAS INDIRECTAS

DIAMETRO MASA

Ro=(x,y,z)

Formulario:a)

MEDIDA DIRECTA:

A=X.U Donde:

Análisis y discusión de resultados

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PARALELEPÍPEDO

ESFERA

CILINDRO

CONCLUSIONES

11

Práctica IB

4. Señalar lo incorrecto: a) 0,01 = 10-2 b) 100 000 = 106

RESUELVE Y FUNDAMENTA TUS RESPUESTAS

c) 0,000 001 = 10-6

1. Indicar si la relaciones son correctas I. Longitud  segundo

d) 100 000 000 = 10-8 e) 0,000 000 001 = 10-9

II. Masa  mol III. temperatura  kelvin a) I d)III

b) II e) Ninguna

c) I y II

5. Indicar si es verdadero (V) ó Falso (F) ( ) 60 000 = 6.104 ) 350,6 = 3,506.104 ) 0,0035 = 3,5.10-4

(

2. Expresar por notación científica 25 000 000 a) 25.107 b) 2,5.10-8

( a) VFF

b) FVV

d) VFV

e) FVF

Problema 1

c) 2,5.107

c) VVV

Solución

Convertir 9 pies a pulgadas

d) 0,25.106 e) 25.10-6 3. Expresar por notación científica 0,000 000 065

a) 100 b) 108 c) 154 d) 18 e) 36

a) 65.10-7 b) 6,5.10-8 c) 6,5.108 d) 0,65.10-6 e) 65.10-9

Respuesta

12

Problema 2

Solución

Convertir 6m a pies a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20

Problema 4

Convierte 2 ns a ks

Respuesta

Respuesta

Problema 3

Solución

Solución

3 Hm a metros a) 10 b) 30 c) 300 d) 3000 e) 15

Problema 5

Solución

Convierte 5 pm a m.

Respuesta

Respuesta

13

Problema 6

Solución

Problema 8 La velocidad de una Onda sonora es en el vacio igual a 340 m/s Indicar el valor de dicha velocidad en km/h a) 12,24 b) 1,224 c) 122,4 d) 1224 e) 12240

Convertir: a) 54 km/s a m/s b) 10 pulg. a cm.

Respuesta

Respuesta

Problema 7

Solución

Solución

El valor de la aceleración de la gravedad es 9,8 m/s². ¿Cuál será su valor en pies/s²? (1 pie=0,3048m) a) 31,2 b) 32,2 c) 33,2 d) 30,48 e) 29,2

Problema 9

Solución

Qué equivalencia es incorrecta? a) 20ml = 0,02lt b) 1h = 3600s c) 1 = 0,001 mg d) 1m² = 10²cm² e) 2 pulg = 5,08 cm. Respuesta

Respuesta

14

Problema 10

Solución

Problema 12

Simplificar: E

Simplificar:

nano.tera giga.pico

E

cm4 .ns2 ks2 .m4

Respuesta

Problema 11

Respuesta

Solución

Problema 13

Solución

Una viga homogénea tiene una longitud de 300cm. Si cada metro pesa 500 Newton. ¿dEmuestre cuánto pesa la viga?

Simplificar: E

Solución

mega  kilo  pico alto  mili  tera

Respuesta

Respuesta

. 25.

15

Problema 14 Hallar el volumen de la caja

Solución

Solución

Problema 16

Determine el valor de ”A”

6

2.10 μm

 Ys.ys.fs   ms.fs   A=  .   Hs   as  

2000mm

2

300cm

Respuesta

Problema 15

Solución

Respuesta

Problema 17

Solución

Determine el valor de:

Determine el valor de ”E”

 μm.pm.Mm  57   Tm.Em.Pm 

Tm.dm.μm E= Dm.pm.Mm

  cm.μm 2   R3  mm.nm  Respuesta

2

sen30º

Respuesta

16

LA …… pre U LAPREVIA PREVIA……

MAGNITUD Es toda cantidad que puede determinarse cuantitativamente. Las leyes naturales se expresan por relaciones matemáticas entre diferentes magnitudes. Las Magnitudes se pueden clasificar: POR SU ORIGEN

FUNDAMENTALES

Son aquellas que sirven de base para definir otras magnitudes, y estas son según el sistema.

y

MÓDULO P Indica el valor, magnitud o intensidad de un vector y siempre es un número positivo.

y2 P

POR SU NATURALEZA

Escalares y vectoriales Veamos ESCALARES.

Son aquellas magnitudes que para ser definidas necesitan de un número y de unidad. Ejemplo: 5kg de papas 2m de tela etc... VECTORIALES. Son aquellas magnitudes que además de conocer una cantidad y su unidad debe Ud. conocer:

DIRECCIÓN La dirección esta representada por el ángulo que forma el vector con la línea horizontal .

θ

y1

ΔX

x1

x2

La dirección está dada

DERIVADAS

Son aquellas que para ser definidas requieren de las magnitudes fundamentales, entre estas tenemos: la velocidad, aceleración, etc.

ΔY

tgθ=

x

SENTIDO Es el lugar hacia donde se dirige el vector y se indica con su extremo de recta infinita que contiene al vector gráficamente.

por la tangente del ángulo.

ΔY y 2 -y1 =  m(pendiente) ΔX x 2 -x1

MAGNITUDES TENSORIALES

Son aquellas que poseen módulo, múltiples direcciones y sentidos normales a toda superficie. Estas magnitudes constituyen un avance de las matemáticas que clasifican a:  Los escalares como tensor de orden cero (sin dirección ni sentido).  Los vectoriales, como tensor de primer orden (una dirección y sentido). Es un conjunto de unidades entre sí, que resultan de fijar las magnitudes fundamentales y que se elaboran de acuerdo a las ecuaciones dimensionales.

INVESTIGA

SISTEMA DE UNIDADES

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Magnitudes suplementarias

SISTEMA INTERNACIONAL

MAGNITUD

Es la universalización del lenguaje de los números. El S.I. es el sistema métrico decimal modernizado internacionalmente y estructurado de manera concreta, para evitar la proliferación de unidades de medida diversas y sus bases científicas. A partir del 14 de Octubre de 1960, la 11ava Conferencia general de Pesas y Medidas (Organización Internacional reunida en París - Francia) da a conocer oficialmente un sistema de unidades basado en el sistema métrico decimal, en el cual se consideran siete magnitudes físicas fundamentales y dos auxiliares o complementarias, las mismas que tendrían sólo una unidad básica. En el Perú fue adoptada mediante la ley 23560 del 31 de diciembre de 1982. Magnitudes Fundamentales.

MAGNITUD

UNIDAD

Longitud Masa Tiempo Temperatura Termodinamica Intensidad de Corriente Intensidad Luminosa Cantidad de Sustancia

Metro Kilogramo Segundo

m Kg s

L M T

Kelvin

K

θ

Ampere

A

I

Candela

Cd

J

mol

N

Mol

SIMBOLO DIMENSIÓN

Angulo plano Angulo solído

UNIDAD radián estereoradián

SIMBOLO DIMENSIÓN

rad sr

1 1

DEFINICIONES DE LAS UNIDADES DEL S.I. METRO

En 1960 la longitud de 1metro se definió como la distancia entre dos líneas sobre una barra de iridio-platino almacenada en condiciones controladas. Este patrón se abandonó por varias razones, la principal fue el hecho de que la limitada precisión con la cual puede determinarse la separación entre las líneas sobre la barra no cubre las necesidades actuales de la ciencia y tecnología. Recientemente el metro fue definido como 1650763,73 veces la longitud de onda de la luz naranja roja emitida por una lámpara de Kriptón 86, sin embargo en Octubre de 1983, el metro se definió como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299792458 s. En efecto está última definición establece que la velocidad de la luz en el vacío es 299792458 metros por segundo. KILOGRAMO

Se define como la masa de un cilindro determinado de aleación de platinoiridio que se conserva en el laboratorio Internacional de Pesas y Medidas de Sevres Francia. Este patrón de masa se estableció en 1987 y desde ese momento no ha habido cambio en virtud de que el platino e iridio es una aleación inusualmente estable. Un duplicado se conserva en (NIST) en Gaithersburg Mariland.

18

SEGUNDO

1967 se redefinió para aprovechar la ventaja de la alta precisión que podía obtenerse en un dispositivo conocido como reloj atómico. En este las frecuencias asociadas con ciertas transiciones atómicas (las cuales son en extremo estables e insensibles al ambiente del reloj) pueden medirse hasta una precisión de una parte de l0 12 esto es equivalente a una incertidumbre menor que un segundo cada 30000 años. De este modo en 1967 el segundo es la duración de 9192631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

Es la intensidad luminosa en una Que emite una onda de radiación monocromática de frecuencia 540x10 12 Hz y de la que tiene una intensidad radiante en esa dirección de:1/683w/str MOL

Es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012kg de carbono 12.

MEDIDA Se compone de

Magnitud y unidad de medida AMPERE

Es la unidad de la intensidad de corriente que mantenida en dos conductores paralelos rectilíneos de longitud infinita de sección despreciable y que estando en el vació a una distancia de 1m el uno del otro, produce entre estos conductores una fuerza igual a 2x10 -7N/m. El Ampere se define también como la razón de flujo de carga de un coulomb por segundo. Donde un coulomb es la carga de 6.25x10 18 electrones.

Múltiplos y submúltiplos Múltiplos

Submúltiplos

Múltiplos

Múltiplos y submúltiplos

KELVIN

Se define como la fracción de 1/273,16 del cambio de temperatura entre el cero absoluto y el punto triple del agua (es decir la temperatura fija a la que el hielo, el agua líquida y el vapor coexisten en equilibrio) La temperatura se expresa en kelvin, no en grados kelvin. CANDELA

Fundamentos Fundamentos de de Física Física Ahora entonces realizaremos un cuadro de los principales prefijos del si:

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ANÁLISIS DIMENSIONAL

PREFIJOS DEL S.I.

¿Cómo se usan los prefijos? Es muy sencillo; primero se escribe el prefijo y a continuación el símbolo de la unidad pero sin dejar espacio. Ejemplo: PREFIJO SIMBOLO FACTOR 24

Yotta

Y

Zetta

Z

10

Exa

E

10

Peta

P

10

Tera

T

10

Giga Mega Kilo

G M K

10

21

15 12 9

10 10

3

10

2

10

Deca

D

10

UNIDAD

1

10

deci

d

mili

m

micro

μ

nano

n

pico femto atto

p f a

Area

ECUACIONES DIMENSIONALES

Es una igualdad algebraica que expresa las relaciones existentes entre las magnitudes fundamentales y derivadas.

Es decir es vez de escribir 42000000 m lo podemos expresar como 42 Mm de igual manera lo puedes aplicar en cualquier otra unidad.

6

H

c

segundo terasegundo gigasegundo

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Hecto

centi

s Ts Gs

Rama auxiliar de la física que estudia las relaciones entre las magnitudes físicas fundamentales con las derivadas. ECUACIONES DIMENSIONALES PRINCIPALES UNIDAD DIMENSIÓN MAGNITUD

1 0 -1

10

-2

10

-3

10

-6

10

-9

10

-12

10

-15

10

-18

10

-21

zepto

z

10

yocto

y

10

-24

Las unidades de medida y los múltiplos y submúltiplos del “SI” sólo pueden ser designados por sus nombres completos o por sus símbolos correspondientes reconocidos internacionalmente. No está permitido el uso de cualquier otro nombre, símbolo o abreviatura.

Ax +- By = C

A B C X Y

MAGNITUD FUNDAMENTAL MAGNITUD DERIVADA

ECUACIÓN DIMENSIONAL

1. Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del álgebra a excepción de la suma y diferencia. Tal es el caso sean “A” y “B” magnitudes físicas:

m

3

3

Volumen

L

Velocidad

LT

m -1

m/s

-2

2

Aceleración

LT

Fuerza

MLT

m/s -2 -2

2

-3

ML T

Potencia

ML T

Presión

Newton

2

Trabajo

-1

ML

T

-2

-3

Joule Watt Pascal 3

Densidad

ML

Caudal

L T

m /s

Carga Eléctrica

IT

Coulomb

Velocidad Angular

T

Aceleración Angular Peso Especifico

PROPIEDADES

2

2

L

Momento Lineal

3

Kg/m

-1

3

-1

Hertz

-2

T

rad/s -2

ML

MLT

T

-2

-1 -3

Tensión superficial

MLT

Potencial Eléctrico

ML I T

2 -1 -3 2 -2 -3

Resistencia

ML I T

Campo Eléctrico

MLI T

Flujo Magnética Iluminación

-1 -3

2 -1 -2

ML I T -2

MT

2

3

N/m

Kg-m/s N/m Voltio ohm v/m weber Lux

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I) II)

 A.B = A .B m  A m  =  A.A.A... =  A 

PR0BLEMAS RESUELT0S

2. Las ecuaciones dimensionales de toda cantidad numérica, funciones trigonométricas, medidas de ángulos, tendrán por ecuación dimensional a la unidad. A estas cantidades se les llama magnitudes adimensionales. 3π.1012   1

senθ =1

sen57º-cotθ  1

esenα  = 1

3. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD (PH) Se aplica para sumas y restas Imagine Que Ud. compra 5 Kg de teniendo en cuenta que todos camote y se le pierde 30 Kg de los términos de la expresión aceitunas de la bolsa pero compra además 4 kg de tomate y al dimensional tienen que ser llegar a casa solo tiene 1 kg de iguales debido a que están en poroto por lo tanto: función a las mismas 5 Kg - 30 Kg + 4 Kg = 1 Kg magnitudes Suponga: matemáticamente no es correcta esta operación pero si hablamos de magnitudes es correcta , debido a que en la operación algebraica se trata de la misma magnitud “MASA” POR LO TANTO :

5 Kg - 30 Kg + 4 Kg = 1 Kg

M

M

M

M

M

NOTA: si la base es matemática en una expresión dimensional el exponente equivale a la unidad pero si la base es física debe respetar el exponente.

1. En la ecuación correcta electromagnética F  BILsen Dónde: F: Fuerza I : Intensidad de corriente L: longitud Encuentre la ecuación dimensional de “B”

Solución Recuerda por propiedad que sen  =1

(en la ecuación)

-2

MLT = BIL B=MT -2I-1

Respuesta

2. Dada la ecuación física

7p=kw

Donde. p: potencia w: velocidad angular Determine las unidades de “k”

2

2 sen 30º+(logx )

en el SI.

21

Solución Por Propiedades los números y funciones trigonométricas equivalen a la unidad (1) Entonces: p = kw

2

 

2 -3 -1 ML T = k T

2

k=

kgm2 s

Respuesta

2 -3 ML T k= -2 T 2 -1 k = ML T

4. En la ecuación homogénea E  3AV 2  5BP Dónde: E: energía mecánica V: velocidad lineal P: presión hidrostática Que representa ( AB) 1

Solución Por Principio de Homogeneidad E  AV 2  BP ...........(1)

Ahora hallaremos “A” y “B”. Hallando “A” E = AV

3. En la ecuación homogénea bQ  kA (Tf  To ).t

2 -2

ML T

Se sabe que: Q: Calor b: longitud A: área Tf, To : temperatura t: tiempo Determine las dimensiones de “k”

-1 2

2 -2

A=

ML T

2 -2

LT A=M

Hallando ·”B” 2 -2

Aplicando el principio de homogeneidad (PH) bQ = kA(Tf =To ).t bQ = kATf .t 2

L.ML T = k L θ T k=

 

= A LT

E = BP

Solución

2 -2

2

LMT θT

-2

k=LMθ-1T -3

Respuesta

ML T = B.ML-1T -2 Simplificando B=L

Reemplazando datos:

 

-1 (AB) = ML

-1 -1 -1 (AB) = M L

-1

Respuesta

22

5. Hallar la ecuación dimensional de “X” si la ecuación es homogénea M

x

F=

Donde M : masa

x y

2 1

por teoria

2

x x

F = (xy )



F = xy

-1

-1

Respuesta

-1 2



1

M 2 L2 T =xy

-1

MLT -2 = xy

-1

Solución 7. Hallar las unidades de A en el sistema internacional

x

M=

Por exponentes

M

 M

2

 = 

2 M =

  M

2

X

3 M =X

Respuesta

X

6. Si la expresión es dimensionalmente correcta y homogénea x2  R4

t 2c

Dónde: L y b: Longitud

c:área

2

L (L=b) 2

t c

y2

2

A=

R: radio

Hallar xy

t: tiempo

Aplicando propiedades y el Popular “PH” tenemos. A=

Donde F: fuerza -1

Solución Aplicando........................PH F

42L2 (L  b)sen

Solución

M

F

A

x2  R4 y2

Entonces :

L L 2

A=m/s Respuesta

2

2

T L A=LT

-2

8. Se demuestra experimentalmente que la distancia recorrida “d” por una partícula, en cierto caso es función exclusiva de su aceleración “a” y del tiempo transcurrido “t” determine la ecuación empírica para “d” (K: constante adimensional) .

Solución Primero formemos la ecuación empírica de la distancia

23

d=K ax t y Operando L = (LT

) T

-2x

x

-2x + y

T

y

y

L T =L T Igualando bases iguales para hallar el valor de “x e y”. Hallando “x”

L=Lx

Hallando “y”

T0 = T - 2x+y 0 = -2x + 2 2=y

1=x

a

G

b

M

c

a 3 -1 -2 b c T= (1)L (L M T ) M

-2 x

x

L =L T 0

T = K.R

Reemplazando obtenemos:

0 0 a+3b c-b -2b L M T=L M T Igualando terminos 0=a+3b 0=c-b 1=-2b Resolviendo a=3/2 b=-1/2

c=-1/2

Reemplazando tenemos: 10. Hallar la ecuación dimensional de “X”

d=K a t 2

2mP.eQRsen n n  x xn xn x.....  3    sen  AQ 7    

Respuesta

9. Se ha encontrado que el periodo de revoluciones () de un satélite alrededor de la tierra depende del radio “R“ de su trayectoria circular, de la constante de gravitación universal (G) y de la masa de la tierra “m” encuentre una expresión para () si se sabe que G:L3 M-1 T-2

Donde: m: masa P: presión R: fuerza A: área e: base de logaritmos neperianos

K : constante matemática

Solución Según la condición del problema debemos de formar la ecuación empírica del periodo. Veamos:

3

Solución E=

n

n

n

x x x........ E

-1

T=KR 2 (GM) 2 Respuesta

24

Entonces E= E=

n

x

n

HABLAND0

XE

n E = XE X =E

n-1

SOBRE LAS MEDIDAS

Es la operación que consiste en comparar una magnitud física con una cantidad fija de la misma magnitud, la que se toma como unidad.

Ahora en el exponente sabemos que por ser una base matemática debe ser un número y por lo tanto:

QRsen θ = 1 QR = 1 Q=

1 R

Reemplazando el valor de “R” 1 MLT -2 Q=M-1L-1T 2 Q=

Hallando el valor de “E” E=

mP AQ -1 -2

E=

MML T 2

LA MEDIDA EN LA FÍSICA

-1 -1 2

LM L T 3 -2 -4

E= M L T

Reemplazando en “x”

X=M3 (n-1) L2 (1-n) T 4 (1-n) Respuesta

La medida es necesaria en muchas ciencias, y especialmente en la física, Lord Kelvin (1824 - 1907), físico inglés, lo puso de manifiesto con las siguientes palabras: "Suelo decir que cuando se puede medir aquello de que se habla y expresarlo en números, se sabe algo acerca de ello". Esta frase resume la necesidad de la medida en las magnitudes que intervienen en física para llegar a un verdadero conocimiento científico de los fenómenos que se estudian. Bastará, para confirmar la necesidad de la

25

medición, el considerar que muchas veces personas distintas perciben sensaciones de calor diferentes al tocar un cuerpo que está a una temperatura fija; es preciso disponer del termómetro para conocer, de una manera real y objetiva, la temperatura de aquel cuerpo, mediante el número que señala este instrumento. En general, para la correcta interpretación de los fenómenos físicos, se deben emplear instrumentos de medida, que sustituyan a los sentidos humanos, siempre ligados a factores de orden personal.

1. El nombre de la unidad se escribe con letra minúscula. 2.A cada unidad le corresponde únicamente un símbolo. 3.Detrás del símbolo no se pone un punto. 4.Los símbolos no se pluralizan. 5.Los símbolos procedentes de nombres propios se escriben con letras mayúsculas. Ejemplo: J para julio, nombre procedente del físico James Joule LA EXPRESIÓN DE LAS MEDIDAS

Magnitud es todo ente abstracto que se puede MAGNI TUD medir. Medimos: longitudes, tiempos, masas, CANTI DAD volúmenes, fuerzas, etc. MEDI DA Magnitudes de masa, tiempo y espacio, se hablará respectivamente de 20kg (kilogramos), 10s (segundos), 8m (metros). Para efectuar una medida es preciso Disponer de una unidad, que será de la misma naturaleza que la magnitud que se desea medir. Establecida la unidad, para verificar una medición, se determinará las veces que la unidad está contenida en aquella magnitud. El resultado será un número que reflejará las veces que es mayor o menor que la unidad escogida. Naturalmente, para cada clase de magnitud deberá fijarse una unidad de medida. Así hay unidades de longitud, de masa, de tiempo, etc. Cantidad es el valor determinado de normas para escribir correctamente las unidades:

Al realizar una medida como, por ejemplo, una longitud, se debe tener en cuenta la incertidumbre que produce el aparato de medida que se utiliza, es decir, el grado de indefinición con que vienen afectada toda medida como consecuencia del calibrado del instrumento, que se conoce como incertidumbre. Para determinar la incertidumbre que se atribuye a una medida es preciso conocer la precisión del instrumento con el que se mide, que viene dada por la división más pequeña de su calibrado. La exactitud de una medida depende de la calidad del instrumento utilizado, y esta, a su vez, depende la precisión del aparato y de que su calibrado sea muy fino. en función de esto, ¿puede haber medidas que sean muy precisas, pero poco exactas?. Las cifras significativas La medida del valor de una magnitud física debe expresarse con lo que se denominan cifras significativas, o conjunto de cifras exactas. Cuando se realiza la lectura de una medida con un instrumento calibrado, la

26

incertidumbre afecta exclusivamente a la cifra significativa que está situada a la derecha. Así, por ejemplo si se mide una masa, m, con una balanza que aprecie hasta los decigramos y se obtiene un valor de 67,0g la expresión correcta de la medida sería m=67,0 ± 0,1 g, siendo el 6, el 7 y el 0 las cifras significativas, mientras que la incertidumbre (0,1g) vendría determinada por la división más pequeña del calibrado (un decigramo). La notación científica Como resultado de los cálculos científicos, a veces aparecen magnitudes físicas que toman valores muy grandes y, por el contrario, en otras ocasiones aparecen magnitudes que, cuando se las compara con la unidad, toman un valor muy pequeño. Para expresar el valor numérico de dichas magnitudes, los científicos suelen emplear las cifras significativas seguidas de una potencia de 10. Este tipo de expresión numérica se conoce con el nombre notación científica, y es utilizado/ de forma habitual. Al escribir una cantidad según la notación científica, se colocan las cifras significativas en forma de una parte entera (comprendida entre 1 y 9) y otra parte decimal, multiplicada por la correspondiente potencia de 10 con exponente positivo o con exponente negativo, según corresponda. De esta forma pueden compararse los valores de una determinada magnitud física.

ALGUNAS LONGITUDES EXPRESADAS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA A. Distancia Tierra - Sol 150'000,000km = 1,5.1011m B.

Radio Terrestre= 6,370km = 6,37.108m

C.

Diámetro de un glóbulo rojo: 7 micras 

7 10 6

m  7.10 -6 m

ERRORES DURANTE LAS MEDI DAS Al realizar una medida, siempre se comete una serie de imprecisiones que reciben el nombre de errores. Estos errores son originados habitualmente cuando existen deficiencias en los aparatos de medida o cuando existen defectos en el modelo experimental elegido para realizar la medición. También características del individuo que realiza la medición (condición física, grado de atención, etc.) pueden en muchos casos ser la fuente de errores. Los errores accidentales debidos a diversos factores que intervienen en la medición y que no son tomados en cuenta, pueden ser reducidos repitiendo varias veces la medición, en cuyo caso se considera al promedio de las medidas como un valor aproximado al real. La diferencia entre este valor por medio y el verdadero valor de la medida recibe el nombre de error absoluto, y la división entre este último y el verdadero valor, error relativo. En la práctica, el error relativo expresado en porcentaje será considerado como una buena estimación de la precisión de la medición realizada.

27

PRESI ÓN

LONGI TUD 3

4

Kilómetro (Km) = 10 m = 10 dm Metro (m) = 102cm=103mm = 106µm=109nm Amgstron (°A) = 10-8cm Micra (µ) = 10-4cm Pie (ps) = 12pulg Pulgada (pulg) = 2,54cm Yarda (yd) = 3pies = 12 pulg = 30,48cm Milla Terrestre = 1609m decímetro = dm milímetro = mm nánometro = nm micrómetro = µm

Pascal = N/m² Bar = 105N/m² = 750 Torr Bar = 10³ mb Baria = dina/cm² 1 Atm = 760mm Hg = 760 Torr = 1,033 Kg.t/cm² = 1033 g.t/cm²

MASA Kilogramo Gramo Libra Onza UMA

(Kg) (g) (Lb) (onz)

= = = = =

3

10 g = 2,204Lb 3 6 10 mg = 10 µg 453,6g = 16onz 28,35g 1,6.10-24g

UNA MILÉSIMA DE SEGUNDO EN TU VIDA

VOLUMEN litro

(l)

= 10³cm³ = 10 m³

ENERGÍ A

= 1dm³

J = 107 erg J = Joule cal = 4,184 J erg = ergio BTU = 252 cal cal = caloría ev = 1,6.10-12ergev = electrón voltio Mev=106ev Kcal = kilocaloría Kcal = 3,97 BTU 1J = 0,024 cal

-3

1cm³

= 1ml = 10

1pie³

= 28,32L

m³ ml l

= 1000L = mililitro = litro

= 1,013 bar = 14,7 lb.f/pulg² = 10,33 m H2O = 29,9 pulg H2O mb = milibar Atm = atmófera Torr = mm Hg P.S.I. = lb.f/pulg²

-3

Para los que estamos acostumbrados a medir el tiempo de la forma usual, una milésima de segundo es igual a cero. Cuando el tiempo se determinaba por la altura del Sol o por la longitud de las sombras, no podía hablarse ni siquiera de minutos exactos, se consideraba que un minuto era una magnitud muy pequeña para que hubiera necesidad de medirla. En la antigüedad sus relojes, de sol de agua o de arena, carecían de divisores especiales para contar los minutos. Pero a comienzos del siglo XVIII los relojes no tenían minuteros, pero a comienzos del siglo XX aparece ya hasta el segundero. En una milésima de segundo un tren solamente puede avanzar unos tres centímetros, pero el sonido recorre 33cm, un avión cerca de medio metro, la tierra, en este intervalo de tiempo,

28

recorre 30m de su órbita alrededor del sol, y la luz, 300km. https://www.youtube.com/watch?v=_uaPlEUqNRw Para los insectos, este espacio de tiempo es perfectamente apreciable. Un mosquito bate sus alas 500-600 veces por segundo, es decir una milésima de segundo es suficiente para que suba o baje las alas. Pero en los humanos el movimiento más rápido es el parpadeo se decir “abrir y cerrar los ojos”, el cual se realiza con tanta rapidez, que ni lo notamos con la vista. No obstante, son pocos los que saben que este movimiento, sinónimo de rapidez “insuperable”, si se mide en milésimas de segundo resulta bastante lento, según estudios un “abrir y cerrar de ojos” dura aproximadamente 2/5 de segundo, es decir 400 milésimas de segundo. El parpadeo consta de las siguientes fases: El descenso de los parpados (que dura 75-90 milésimas de segundo) y la elevación de los parpados (cerca de 170 milésimas de segundo). Como puede verse, un “abrir y cerrar de ojos”, en el sentido literal de la expresión, es un tiempo bastante considerable, durante el cual, el párpado puede hasta descansar Al lector quizá le interese saber cuál es el menor intervalo de tiempo que puede medirse con los medios que dispone la ciencia moderna. A comienzos del siglo, este intervalo era igual a una diezmilésima de segundo, pero en la actualidad los físicos pueden medir en sus laboratorios hasta cienmilmillonésimas (1/100 000 000 000) de segundo. Aproximadamente, puede decirse, que este tiempo es menor que un segundo, tantas veces como un segundo es menor que 3000 años. De lo leído responda Ud.

FASE DE EVALUACIÓN 1. A que equivale una milésima de segundo. 2. Si la velocidad de la propagación de onda en un experimento físico alcanza 280Km/s y recorrió 450km cuál fue su tiempo en hacerlo.

3. el cerrar y abrir los ojos se puede considerar como un movimiento a de velocidad instantánea fundamente por qué.

4. Flor al encontrarse dormida luego de terminar de leer esta lectura pudo observar que sus ojos se cerraban instantáneamente 75 milésimas de segundo y la elevación de los parpados cerca de 170 milésimas de segundo suponga que la distancia promedio del ojo es 2,5cm determine la velocidad con que cierra los ojos y la velocidad con que eleva los parpados.

5. Cuál es la apreciación personal acerca del tiempo. 6. En el mundo actual el tiempo es importante fundamente su respuesta.

29

A = 52 2senπ .tg30º(B.X.C) A: Presión B: Densidad C: Altura a) LT -2 b) ML2T -2 c) MLT -2

PRÁCTICA PRÁCTICA BÁSICA 1. De las siguientes magnitudes ¿Cuántas no son fundamentales en el S.I? a) Velocidad b) Volumen c) Temperatura d) Tiempo e) Intensidad de corriente a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

2. Si: A = Área; P = Peso y Q = calor. Indicar cuáles son correctas: I. [A] : L3 II. [P] : MLT -2 III. [Q] : ML2T 2 a) I d) todas

5.Indicar verdadero (V) ó falso (F) : I. [Peso] = [Fuerza] II. [log7] = 1 III. [Energía] = [Caudal] a) VVV b) VVF c) FVV 6

Problema Siendo la expresión homogénea, calcular [x] w

b) II e) NA.

c) I y II

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) I. Sen 30º es adimensional II. El caudal es una magnitud fundamental III. El Área con el Volumen tienen la misma fórmula dimensional. a) VFF b) VVF c) VFV d) FFV e) VVV 4.Hallar [x] de la siguiente expresión:

4. d. A. x m²

w : frecuencia d : distancia A : área m: masa

d) FFF

d) ML-1T -2

e) ML2T -3

e) VFV

Solución

30

7

Problema

Solución

E.senØ F

C=

E : 50 kilocalorías

Problema Siendo la expresión homogénea, calcular [x] E=

mv 2 2πx

Siendo: m: masa v: velocidad E: 8,85

Solución

Tsenθ.2 5log2 mk 2

Siendo T: torque m: masa K: altura

F : fuerza

8

Problema Siendo la expresión homogénea, calcular [C]

Siendo la expresión homogénea, calcular [x] x

9

Solución

Problema 10 Siendo la expresión homogénea, calcular [x] F(senθ+cosα)=

A.B 2π.x.C2 (tg45º)

Siendo F: fuerza C: radio de giro A y B: 50mC

Solución

31

Problema 11

Solución

Hallar la fórmula dimensional de la inducción magnética "B"

A.B2 =

F : fuerza q : carga eléctrica V : velocidad

Hallar la fórmula dimensional del potencial eléctrico (V)

w V = A q W: trabajo q: carga eléctrica

Solución

Dada la expresión correcta, calcular [K]

F = 3(q.V.BsenØ)

Problema 12

Problema 13

4sen -2sec 2K

Siendo A: área B: velocidad

Solución

Problema 14

Solución

Siendo la expresión homogénea, calcular [x] v. 4 4 4 4 =

Siendo v: velocidad m: masa a: aceleración

m.a x

32

Problema 15

Solución

Siendo la expresión homogénea, calcular [x] v lim =π 32 +22 . y 

a.t 2 .x(sen16º)tg45º 3m

2R - 8R =

Siendo v : velocidad a : aceleración t : tiempo m : masa

Problema 16 Siendo la expresión homogénea, calcular [x] X=

2! av sec60º . q!  2-q! r

Siendo a : masa v : velocidad r : radio sec60° : 2

Problema 17 En la expresión homogénea, calcular [WA]

Solución

Asen(wt) (sen45º )x 8P

Siendo R : presión t : tiempo P : densidad

Solución

Problema 18 Siendo la expresión homogénea, calcular [x] 2Hg.log2 y =

mx 2cos

Siendo g : aceleración de la gravedad H : altura m : masa

Solución

33

REALIZA

MAGNILETRAS

Define las magnitudes que no encuentres en el MAGNILETRAS

H

C

O

S

W

M

Q

T

R

G

N

E

M

O

N

E

F

N

A

I

D

A

R

D

P

Q

Y

E

E

L

A

T

N

E

M

A

D

N

U

F

R

L

T

E

R

E

P

M

A

B

N

I

W

G

Z

O

J

D

O

D

I

E

Y

N

G

E

T

C

L

K

S

T

R

E

P

E

X

L

I

R

Y

B

V Y

K

P

P

I

I

D

R

A

V

I

M

V

P

U

C

O

Q

A

R

I

C

I

P

O

S

L

A

D

U

A

C

Y

Q

Z

K

T

G

W

A

E

N

E

D

A

V

B

R

D

S

B

M

O

L

A

L

S

I

S

U

E

Z

E

N

G

M

A

C

I

M

I

L

L

A

C

I

N

A

C

E

M

E

Q

E

X

P

N

S

Z

M

H

L

G

Y

C

S

E

U

O

J

U

Q

R

F

R

A

L

A

M

P

O

D

I

T

N

E

S

C

A

L

E

D

N

A

C

R

I

O

O

J

J

V

X

Y

D

K

G

I

K

O

F

P

A

U

E

H

A

O

H

I

C

E

S

I

U

S

N

R

I

R

I

C

Z

O

Z

O

A

N

A

N

D

U

ACELERACION AMPERE CANDELA CAUDAL COULOMB DERIVADA

ENERGÍA ESCALAR FENOMENO FUERZA FUNDAMENTAL JOULE

KELVIN MECÁNICA METRO MOL POTENCIA PRESIÓN

T

M

O

I

Y

F

E

U

O

V

L M

C

N

P

O

T

I

L

A

D

A

B

E

QUÍMICA RADIAN SEGUNDO SENTIDO TERMODINÁMICA VECTORIAL

R

R O

34

4. Dada la expresión homogénea, calcular [x]

PRÁCTICA PRÁCTICA -3 1 MLT BÁSICA 1.

2

x=

Siendo la expresión homogénea, calcular [Z]. 2 Z =

Donde: m: masa a) L d) LT -1

mv 2 A +B .cos 2

A: energía c) 1

2. Si la expresión es correcta determinar [x].

a) LT d) L2T

2

2

3. En la expresión correcta, calcular [x]

A: torque a) T -2 d) M2LT -4

Asen +

a) L4T d) LT 4

xB2 2C.cos b) L-4T -1 c) L-4T e) LT -4

(16 - 4 )A

C: masa b) LT -1 c) L-1T e) L-1T2

x

5. Si la expresión es homogénea, calcular [x] donde : A: 6m/s B: caudal C: 20m²

22

C -4D

A: trabajo

m : masa a : aceleración v : velocidad f : frecuencia -1 a) MLT b) MLT -2 c) ML2T -2 d) ML2T -3 e) ML-1T -2

2

v: velocidad b) LT e) LT2

x 2 .cos  =

2ma (2cos60º )v.f(log 2 )

. A2

6. Si la expresión es correcta, determinar [y] donde M: masa E: trabajo B: densidad y.log 2 2mE + 2 5 3 B cos 3 5 a) M L T b) M3L-5 c) M3L-5T-1 d) M-3L5T e) M-3L-5T-1

B.C2

B: masa C: altura b) ML2T -2 c) ML2T -4 e) ML-2T -4

7. Siendo la expresión homogénea, calcular [x]. 25 F+ 4

x.v 2 2.cos37º

v : velocidad F: fuerza

a) ML d) ML-2

b) ML2 e) ML-3

c) ML-1

8. Sabiendo que la expresión es dimensionalmente homogénea calcular [Y]. A.B2 = Y.cos  A: área a) L4T 4 d) L-2T 4

B: aceleración b) L2T 4 c) L4T -4 e) L2T -4

9. Siendo la expresión homogénea, calcular [x] e [y] A 4 .sen53º = x.B +

y(sen45)2 C2 .cos

A : densidad B: velocidad C: aceleración a) M2L-7T M2L-5T -2 b) ML-7T, ML-5T-2 c) M2L7T

M2L5T2

d) M2LT, M2L5T

10. Dado la expresión correcta, Calcular [Y] donde m: masa v: velocidad t: período Y

m. v2.Sen t

a) ML2T3 d) ML2T

b) ML2T -3 e) ML-2T3

c) MLT -3

35

11. Siendo la expresión homogénea, determinar [Z]. AB.F0 +

ZC (senθ)2 sen45º

A : distancia B: aceleración C: caudal a) L0 b) L2 c) L-2 d) L3

e) L-3

1 A.B2 C= 4 Y 2.

A: volumen B: densidad a)ML-4 b) M2L4 d)ML-4 e) M-2L4

C: área c)M2L4

A:

a) ML4T -2 d) ML4T2

2A+ 5B

V: velocidad t: tiempo a) 1 b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

16. En la siguiente formula física hallar el valor de “E = x +y” x

4A .7t

c) M-1L4T -2

e) N.A

18. En la siguiente fórmula física que magnitud representa “x” x =4log (AB)0,5 Donde: B : aceleración angular A : superficie a) velocidad b) aceleración c) fuerza d) trabajo e) potencia 19. Si la expresión física es correcta que magnitud representa “k”

A: aceleración

y

Dónde: F: Longitud A: aceleración t: tiempo a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

C( 2+A)

C: densidad b) M-1L4T2

2(A2  B) C(F  Sen)

correcta

2.y

. 14. Dada la expresión correcta; Calcular [Z]. Z

15. En la siguiente formula física determinar el valor de “x”

3 3 .F=

13. Siendo la expresión homogénea, calcular [x].

4m/s2

c)ML-3

25 V = A.t x 4

12. Sabiendo que la expresión es correcta, calcular [Y].

X(sen )sec60º =

A: velocidad C: 5Pascal a) ML3 b) M-1L3 d) ML4 e) ML-3

17. En la siguiente fórmula física halle el valor de “x” 2rad = w tx Dónde: w : velocidad angular t : tiempo a) 1 b) 2 c) -2 d) 4 e) 6

1

g

2π

L

K=

Donde:

g  9.8m / s2

L : longitud del péndulo a) tiempo b) frecuencia c) velocidad d) fuerza e) frecuencia Angular 20. En la siguiente fórmula física correcta que representa “A” sen45º(2P)=

A.sen(wt) 2.D

Donde: P: presión a) ML2T-4 d) ML4T-1

D: densidad b) ML-4T-1 e) N.A

t : tiempo c) M2L-4T-2

36

PRÁCTICA PRÁCTICA

Nivel NivelLa previa.. previa.. U U La 1.

2 2

La velocidad de propagación “V” de una onda en una cuerda tensa viene dada por : V

T u

Donde: T: fuerza de tensión Hallar las dimensiones de “u” a) ML b) M-1 L c) ML-1 d) M–1 L-1 e) ML-3 2.

Sabiendo que “A” representa el área y “H” una altura halle las dimensiones de “P” Psen

π

=

4A (sen30°)

d) 3.

c) LT-1

4. Si la siguiente ecuación es correcta y homogénea hallar las dimensiones de: “X/B” X

A.eBT sen30 sen 37 . log 2004

A: longitud t : tiempo e : logaritmo. a) LT b) LT-2 c) L –1 -2 d) LT e) LT

e)

7. Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta y homogénea si X =4m y t =2s. Determine las dimensiones de (A.B)/C si: X=A+Bt-(1/2)Ct a) L2T b) L3 T c) LT 3 2 d) LT e) L 8. Sabiendo que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas viene dada por la relación:

5. En la ecuación determine las dimensiones de “m” si: y = bn + mn2 b: velocidad y: longitud a) L b) MT c) LT-2 d) ML e) T

3H

b) M L

b) LT e) ML2T-4

1

c=

ε 0μ0

Siendo C: velocidad lineal,  0 : permitividad eléctrica del vació. Encontrar la fórmula dimensional de la permeabilidad magnética del vació “ μ ” 0

4

a) L

sen30°

a) L d) T

c) T M

Si la ecuación es dimensionalmente correcta y homogénea hallar las dimensiones de “Y” Tg45º. Y= A.x sen(AT) Dónde: x: longitud T: tiempo

6. Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta y homogénea hallar las dimensiones de "R" MgA = RsL+Rs L  Rs L  Rs L 1 1

2 2

n n

Donde: M: 2kg g: gravedad A: área s1 ,s2, sn: Volumen L1,L2, Ln : 2m a) LT b) ML-2T c) ML d) ML2T-2 e) ML-3T

a) LM T2 I2 d) LMTI-2

b) L M 2T I e) LMT-2I 2

c) LMT-2I-2

9. ¿Cuál debe ser la dimensión de “A/B” para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta? (sec60º)

A.sen45º=

Wsenθ

2

m(B +S)

Donde:

37

W: trabajo m: masa a) TL b) T-2L d) T-2L-1 10. En

S: área c) T 2 L

e) TL2 la

ecuación

dimensional

x

2

mv sen(wy -  ) = π y

2

Determine las dimensiones de x e y, Siendo: m :kg v :4m/s w : frecuencia a) LM 4;T 2 b) LM;T c)L2M 3;T d) L4M 4;T e) L3 M;T 11. Si la siguiente ecuación es homogénea podemos asegurar que: x = y.zk a) [x]=1 b) [y]=1 c) [z]=1 d) [k]=1 e) [x]=[y] 12. En la ecuación física dimensionalmente correcta determine la ecuación dimensional de “ x ” (Sen45º) 2 Mx = F + CD Donde: M: Masa F : Fuerza C, D: Magnitudes desconocidas a) LT b) L2T c) LT2 -2 -1 d) LT e) LT

13. En una experiencia física realizada por Gerardo y Jesús al aplicar la conservación de la energía en su juego del roller coaster llegan a la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, encuentre la ecuación dimensional de ”y” que ellos llegaron a demostrar teniendo en cuenta su ecuación inicial: xy

m.P+W.x 3 = 4 v

Donde utilizaron una esferita de 0.5 gramos y observaron por mediciones que su energía cinética cuando su velocidad era 2m/s fue de 0.001J y desarrollo una potencia de 0.0005 watt en 2 segundos, recuerde que ellos usaron la siguiente leyenda: m: kg P: watt W: energía v: m/s. a) T1/2

b) MT-1

d) LT-2

e) T

W: 54Newton M: 5kg g: 9.8m/s2 v: m/s 2 θ: 60° p: 4,44m .kg/s a) L5M 2T-4 b) L3M 4T-5 3 3 -5 d) L M T e) L5M 3T-4

c) L4M 3T 6

15. La energía por unidad de longitud de una cuerda vibrante depende de un coeficiente 2π2, de la masa por unidad de longitud de su frecuencia y de la amplitud del movimiento determine la suma de los exponentes que deben de tener las tres variables físicas para establecer una igualdad correcta. a) 3 b) 6 c) 5 d) 4 e) 2 16. Si la ecuación es correcta y homogénea hallar el valor de Ø en: 2

P = Mcos θ-sen

2

c) LT 2

14. En un experimento de mediciones e incertidumbre se realizó un experimento que involucra a la masa del péndulo a su peso y a la velocidad con la que oscila el péndulo determine la ecuación dimensional de “A” (Wpxcosθ)2+Amg=(W.p.vy)1/cosθ Siendo:

P 

2

A +

Bsenx.W + M - 2

sen.B

M: masa de un péndulo físico a) F.D b) 60° c) arctg(1) d) 30° e) π/8

38

REALIZA

MAPA MENTAL DE MAGNITUDES

39

PRÁCTICA PRÁCTICA 3 MLT- 5 BÁSICA

Problema 1

Problema 3 Solución

La potencia de las turbinas de un avión viene dada por la siguiente fórmula. P = n RX WY DZ Donde: n: constante numérica R: Longitud W: 1500 Rad/s D: Kg/m3 Hallar: ” x + y + z”

Problema 2 De acuerdo a la ley de Ohm se establece: V=IR Hallar la Ecuación dimensional de “R” . Dónde: I: Intensidad de corriente V:Diferencia de Potencial Eléctrico

Solución

En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, calcular la dimensión de “A” m=

 B g

x

Senθ+

W Cscφ AV



2Sen

Dónde: B : Fuerza g : aceleración W: trabajo V : volumen

Solución

Problema 4 En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. Halle el valor de “m + n”

 bn .a2  n-2 m  cosθ 2C  

5H= 

Dónde: H: altura b: radio a: velocidad c: aceleración

Solución

40

Problema 5

Solución

m.R R 1   C

2

P

Problema 6

W tgθ m(R 2  Q)

Dónde: W: trabajo m: 8kg Q: Área

Dónde: M: masa C: Velocidad de la luz

Gerardo y Jesús han creado un Nuevo sistema donde se considera como unidades fundamentales a la: masa (M) Velocidad ( V) tiempo (T). Jesús le pregunta a Gerardo cual es la ecuación dimensional de la presión es este sistema será:

Solución

Cuáles deben ser las dimensiones de “P y R” para que la ecuación sea dimensionalmente correcta.

Halle la ecuación dimensional de “P”, si la ecuación dada es correcta dimensionalmente. P

Problema 7

Solución

Problema 8 En la siguiente formula empírica b   2 F=  a+  dv L v 

Donde: F: Fuerza de Rozamiento d: Diámetro V: Velocidad Lineal L : Longitud a: coeficiente experimental dimensional Determinar las dimensiones del coeficiente “b”

Solución

41

Problema 9

Solución

En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta halle la dimensión de “S” S = y D[ Sen x +

Problema 11

Solución

Si la ecuación dada es correcta. Halle las dimensiones de “B” y “A”. 3 AX+BY (log ) . =5 3m 2 x+y2

10XYF ]

Donde:

Sabiendo que y = 5 Newton

D: densidad F: fuerza

Problema 10 En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta halle “θ” 3

P2  Q3  Tan.PQcos 

Solución

Problema 12 Si la ecuación dada es correcta dimensionalmente, hallar la ecuación dimensional de A. VA +

2K =

V: velocidad e: Longitud

n n n n e e e e...∞

Solución

42

Problema 13

Solución

En la ecuación dimensional correcta halle la ecuación dimensional de “E” AE A+E = log SV 3



E+D S+C

V: velocidad

Determine la ecuación dimensional de “X” 2

X =

y.cos z 2 +W

Si y: masa z: 40 Calorías

Solución

3 cos45 ° P = K d x V y Donde: P: presión d: densidad K: número V : velocidad



Problema 14

Problema 15 Si la ecuación es correcta y homogénea hallar "(x+y)2" si :

Solución

Problema 16 Jesús al jugar carnavales con Gerardo lanza un chorro de agua choca contra una área, de la pared, la fuerza que ejerce el chorro en la superficie de la pared está dada por la ecuación: x y z

2N. 3log =V Z D x

Donde: F: fuerza V: velocidad A: área D: densidad Hallar: x+y+z

Solución

43

Problema 17 Gerardo quiere saber el valor del trabajo de su carro y Anthony le da la siguiente ecuación.

(4π + R)W =



P

a

Solución

b c

4 Gerardo halla el valor de "2a +b +c" y obtendrás el valor del trabajo de tu carro . Cual fue el valor que encontro Donde: P: 4m/s2 q: 30gramos V: m/s W: Trabajo

Solución

Si la expresión es correcta y homogénea x y z

(log )F=B A C .(sen30º) x

Halle:

2(x+z)y

Donde: F: Newton A: ML-1 T-1 B: 4cm C: 45m/s

xy

Solución

Si la ecuación es correcta y homogénea hallar "x-3y" en: P = q z R-y S x Donde: P: 2 pascal R: volumen q: fuerza S: Longitud

q v

Problema 18

Problema 19

Problema 20 La potencia de una turbina del avión de Jesús depende de la velocidad angular de la densidad del aire y de la longitud de onda Gerardo que un gran físico ha determinado la ecuación empírica de la potencia. Halle dicha ecuación.

Solución

44

4.

EXAMEN IB FINAL

7.

Suponiendo que la velocidad con que viajaba un proyectil luego de ser lanzada en ciertas condiciones está dado por la siguiente ecuación hallar que representa "A/C".

2

A X -B X+C

1

2

=P

A t +B t +C

1. El Rozamiento que sufre un motor dentro de un líquido está dado por: R = n x R 2y V 2z Donde: R: rozamiento N: viscosidad r: radio v: 34m/s Hallar "x +y +z" a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2.

En la siguiente expresión hallar "C"

En la expresión hallar "z" T -3 P.x = A y R z Dónde: P: potencia A: aceleración R: Newton x: distancia a) 1 b) 2 c) 3

d) 4

e) 5

Dónde: A: velocidad t: tiempo a) LT b) L c) M d) T e) TL-1 5.

V=

LA

+μ sen .C

2

d t

Donde: V: velocidad L: longitud t : tiempo U: número a) área b) Longitud d) Fuerza e) NA

Determine las dimensiones de "x,y,k" en : 6 x y

340

KSC

Q 2=10 g H .(sen +sen )

Donde: Q: Caudal g: aceleración H: altura S: Longitud C: velocidad a) x =1/2 y = 5/2 k = TL-2 b) x =3 /4 y = 1/3 k = ML-3 T c) x = 1/4 y = 3/67 k = MLT d) x = 1/3 y = 3/5 k = M e) x = 1/2 y = 6/5 k = LTM

8.

 2

(p-q) (h-g)

(2R.logx ) 2h  (R.logy ) p Donde: (2R.log ) 2g  (R.log ) q x

3.

En

la

expresión

numérico de

hallar

4  y +x+z    2 

el

valor

sec60º

y z x-1 4N.m =2A . 5B .C

en: A: 4m/s2 C: velocidad

B: 3gramos N.m: Joule.

a) 1

c) 3

b) 2

d) 5

6. Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta y homogénea hallar el valor de "  " K

e) 6

senθ-sen

= P

senθ

+ Qsen + K +

Dónde: K,P,Q: cantidades física. a) 0° b) 2° c) 3° d) 4° e) 5º.

P

c) densidad

De la siguiente ecuación dimensionalmente correcta y homogénea hallar el valor de: T=

A=

d: diámetro

A: área enteros a) 1 d) 3

y

R : Radios b) 2 e) 6

x,y: números c) 4

9. Dimensionalmente la siguiente expresión es correcta y su respectiva ecuación dimensional es la unidad. (UNA) UNI = 1

45

Donde : U: m.C2 C: velocidad m : Kg I: 3metros Hallar la dimensión de "N". a) M-1L-3 T 2 b) ML2T-3 c) ML2T-1 d) M-1L2 T-2 e) M-2L-2 T 3 10. Flor de María una eficiente estudiante ha observado que la potencia con que debe aplicar una inyección depende de la densidad del líquido cuyo valor es 0,6g/cm3 la velocidad con que debe aplicar dicha inyección es de 0,2cm/s, la cual tuvo una duración de 4 s. Con estos datos determine la ecuación empírica de la potencia con el cual debe aplicarse el inyectable. (Considere cualquier constante numérica igual a “S”) a) S d v t b) S d v 5 c) S d 2 v t d) S d v 3 e) S d v 5 t 2

12. Determine la presión (P) dinámica ejercida por un líquido que fluye sobre un objeto sumergido, asumiendo que la presión es una función de la densidad del líquido (d) y de su velocidad del líquido y de una constante matemática (K). a) Kdv2 b) Kd2v c) Kdv1/2 1/2 d) K(dv) e) Kdv

sen30°

13. Si la ecuación es correcta, hallar "xy" x y

2 m=W V (sen53º)

dimensionalmente x

Donde: m: masa W: 5Joule V: m/s a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 1/3

e) 1/4

14. Hallar "z" para que la ecuación sea homogénea. PV

y z x z-1 F ( tgx ) = y y

P: presión V: volumen F: Fuerza d: densidad a) 2 b) 2/5 c) 4 d) 5/3 e) 6 15. Si la siguiente ecuación es correcta y homogénea hallar "K"

2

=

PQRsen30°(P-e) .2 (t-Q)

RM

2

M: masa t: tiempo e: 4m -2 6 -2 -4 -3 a) M L T b) ML T c) ML d) (M-1L3T-1) 1/2 e) M-1L6T3 16. La

expresión



D= (z)

d (cosx)

11. Determine la potencia (P) de la hélice de un helicóptero, sabiendo que es función de la densidad del aire “D” de la velocidad angular de la hélice ”W” y del radio de giro “R” si “K” es constante numérica. a) KD WR b) KD W 3 R 5 c) KD W2 R4 d) KD3 W R 5 e) KD5 W 3 R

K

x+y

es

correcta

hallar:



p

x (x+y) z.sen30 w 3 F =mH t sen45º

Donde: F: fuerza H: altura t : tiempo. a) 0 b) -2 c) -1

m: masa d) 1/4

e) 2

17. El periodo de giro de un planeta depende del radio de la órbita (R) de la masa (M) y de la constante gravitatoria (G) expresada m3/kgs2. Halle la ecuación del periodo. a) K.R

3/2

(G M)

3

c) K.R (G M)

2

2

b) K.R

3/2

d) K.R

(G M)

3/2

-1/2

(G M)

2

e) K.R G M

18. Encontrar que magnitud representa [K.C] en la ecuación correcta y homogénea.

46

C=

M.(sen45º)2sen60º

m(k 2 -h2 )

Dónde: M: momento de fuerza m: masa H: altura. a) Aceleración b) Velocidad d) Potencia e) Energía

Nivel Nivel -- UNI UNI 5 1. Si

c) Fuerza

19. Determinar las dimensiones que debe tener “Q” para que la expresión “W” sea dimensionalmente correcta. 

W =0,5mv + Agh + BP

33

d) M

T T

b) T

1

si: AB  6kg m y (F.C )  4m 2

d) T

 Además Q=A . B 2

las siguientes ecuaciones dimensionales: A+B=C+D, 2A+3H=4C+5E+XF son dimensionalmente correctas y homogéneas determine la dimensión de “X” a) L1

W: joule m: kg v: m/s g: gravedad h: altura P: watt

a) M

Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. a  b

PRÁCTICA PRÁCTICA

1

2

b) L

c) T

e) ML

2. La ecuación de estado para un gas de 2

M

c) MT

e) F. Datos

20. Si en vez de la masa (M) el trabajo (W) fuera considerado como magnitud fundamental la ecuación dimensional de la densidad será: a) L-5W T b) L-3 W T-2 c) L-5 W T-2 d) LWT 2 e) L2 W -1T

Van

der Waals está dado por: a    P  2  (v  b)  RT v   Donde: P: presión absoluta del gas v  Vol : n

Volumen molar

 m a    mol  3

y b: son

constantes que dependen del tipo de gas. R: constante universal de los gases ideales. T: temperatura absoluta del gas.

II. a b  RTv 2  III. b  L3N1  a) FFF d) VFF

b) FFV e) VVF

c) FVV

3. Señale la veracidad o falsedad de las

siguientes proposiciones I. El principio de homogeneidad dimensional de una ecuación física implica que cada término de la ecuación debe de tener las mismas unidades. II. En una ecuación física la dimensión de las constantes físicas es igual a 1 III. Debido a la consistencia dimensional de las ecuaciones físicas, no se puede multiplicar cantidades físicas de diferentes dimensiones. a) VVV b) VFF c) FFV d) VVF e) FFF 4. Señale el valor de verdad de las siguientes

proposiciones.

47

Se denomina expresión dimensional de una cantidad física a la representación de ésta mediante símbolos establecidos en el S.I. II. Se denomina ecuación dimensional a la ecuación que resulta al representar las cantidades involucradas en una ley física mediante sus expresiones dimensionales. III. Se dice que una ecuación dimensional es homogénea cuando las unidades, a ambos lados del signo igual, son las mismas a) VVV b) VVF c) VFV d) FVF e) FFF I.

b) ML2T-1

d) ML T

e) ML

2

-2

Física un estudiante hace rotar un disco sobre un eje horizontal con velocidad angular”  ” (rad/s) y lo suelta en la base de un plano inclinado como se muestra en la figura. El centro del disco sube una altura “h”, la cual puede ser expresada por: “m” es la masa del

disco, “g” es la aceleración de la gravedad “I” es una propiedad del disco llamada momento de inercia. Entonces la expresión dimensional para el momento de inercia es:

c) ML2T

2

6. Sea la cantidad física expresada en

unidades de joule por kilogramo kelvin, su expresión dimensional es: 2 -2 -1

2 2 -2

a) L T θ

b) M L T θ

2 2 -2 -1

c) M L T θ

2 -2

d) L T θ

vt 2 (a2  a1) g (p2  p1) 

a.sen37º



e) L T θ

w 3kB C Bt

Donde: a1, a2: aceleraciones v: velocidad p1.p2: presión w: trabajo g: 9.8m/s2 t: tiempo a) MLT b) ML-1 c) MT -1 L 3 -1 3 -1 d) L T e) T L 8. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta en donde V= Velocidad, señale [x]: An x2  Bx  C 

A  10sen V

a) LT-2

b) LT

d) T L

e) LT-1

-1

9.

Encuéntrese [N] en: X UNI = log x . sen(UT) Donde: I: distancia T: tiempo. a) LT-1 b) L-1T d) L-2 T e) LT

c) LT-2

10. Si la siguiente ecuación es correcta hallar la -2 2

7. La ecuación dimensional correcta, halle [B]:

2logx

5. En una feria de

 1  I 2 Dónde: h  ,  2  mg

a) M2L3

c) TL-1

ecuación dimensional de “Z” si y: área n

6 +3y

a) 1 d) L3

B +Z

= B- B- B...

b) L e) L4

c) L2

11. La expresión dimensional de

la 3ra ley de Kepler relativa al movimiento de los planetas sabiendo que la constante "f" de la ley de gravitación universal tiene por dimensiones L3 T-2M-1 y que el periodo de una revolución es directamente proporcional al eje mayor “2b” a “f” y a la masa del sol, es: (k es una constante numérica adimensional) a) K f -1/2 b1/2 M -1/2 b) K f -1/2 b3/2 M-1/2 c) K f 2 b3 M-1/2 d) K f b2 M-1/3

12. En

la siguiente dimensiones de "K"

fórmula

K= ABC ACB ACB...

hallar

las

48

Donde: A: área B: Aceleración C: Tiempo. a) Cauda l b) Velocidad c) Densidad d) Fuerza e) Aceleración angular

la masa “m” y de la longitud “L” de la cuerda encontrar una fórmula que permita hallar dicha velocidad. a) (TL /m)1/2 b) (m/TL)1/2 c) TLm 1/2 -2 d) (TL m ) e) TLm

ecuación dimensional, para que pueda salir de su órbita y así volver a la tierra. V=C1 cos (C2T)+C3 sen C4 T 2+C5T 3 Donde: T: segundos Según estos datos determine:

16. Hallar las dimensiones de "X" en la siguiente 13. Se crea un sistema de unidades donde se

considera como magnitudes fundamentales a la velocidad la masa y la fuerza. Hallar la ecuación dimensional de "E" en este nuevo sistema si se sabe que E=presión x (densidad) además en este nuevo sistema se definen a la velocidad como "A" la masa como "B" y la fuerza como "C" a) (A-5B-2 C3)1/2 b) A-10 B-4C6 c) A-5 B-2C3 d) AB-2C- 4 e) A3 B-1C-3 14. En el sistema se consideran como unidades

fundamentales a la masa (M) la velocidad (V) y el tiempo (T) la ecuación dimensional de la presión en este sistema de unidades será: a) MV -1T -3 b) MVT-1 c) MVT -3 3 d) MVT e) MVT 15. Se sabe que la velocidad de una onda

mecánica en una cuerda en vibración depende de la fuerza llamada tensión “T” de

F=

ecuación mostrada: sen .

2mE C

C3 .C 4 .C5

=x x x x x...

Dónde: C: cantidad de movimiento m: masa E: presión 2 -1 a) L MT b) LMT-2 c) L-2MT3 d) L-1MT-2 e) L2MT 17.

Hallar: n.x / K 2 X logn

FV (senθ+cosθ) 2

2

n-1

b) L2 e) LT- 5

c) L- 1T- 2

19. Considere un sistema en el cual las tres

cantidades fundamentales son la velocidad de la luz (c) en su onda amarilla la masa de un protón (m) y la constante (h) de Planck Dónde: Considerando que la

energía es E=h entonces la cantidad que tiene como dimensiones de tiempo es: a) h/mc b) mc/h c) mc2/h 2 d) h/mc e) (h/mc)

m(k +h )(tgθ-1)

Donde: F: Newton V: m/s h: 4m m: número a) LM b) L-1 -1 d) L MT e) MT

a) L d) L-1T 5

h  ML2 T 1

n

2

=

C1.C2

c) M

18. La velocidad “V” de la nave experimental

ANTOV” debe cumplir con la

siguiente

El ÚNICO FRACASO CONSISTE EN DEJAR DE INTENTARLO.

49

OBJETIVOS

VECTOR

.

Es verdaderamente importante que reconozcas que en nuestra naturaleza algunos fenómenos físicos requieren algo más que números y unidades físicas para quedar plenamente explicados. Te preguntarás ¿Qué se puede usar, además de los números y unidades, para detallar los fenómenos? La respuesta es el vector, y las magnitudes físicas que lo necesitan se llaman magnitudes vectoriales, las mismas que tienen en esencia dos características especiales:

0N

N

Serway – Hewitt Paul-Sear Zemansky

=6

DAR TRES DEFINICIONES DE VECTORES CONSULTANDO LA BIBIOGRAFIA DE:

 No cumplen con las leyes de la adición de números reales. Ej.: Si décimos que dos jugadores empujan un mismo cuerpo con fuerzas iguales de 30N, sin indicar la dirección y sentido de cada uno, el resultado puede ser variable. Así por ejemplo: Si se aplican los dos hacia un mismo lado, el resultado será equivalente a aplicar una fuerza de 60N. Sin embargo, si estas fuerzas se aplican en una misma recta pero en sentidos opuestos, el resultado sería como no aplicar fuerzas. Así pues, la resultante de las fuerzas depende de la orientación de éstas. R

ACTIVIDAD 01.

4m

30

3.

 Tienen dirección y sentido Ej.: Cuando decimos que un alumno experimenta un desplazamiento de 4m, debemos agregar desde dónde y hacia dónde. Sin estos datos no podríamos imaginar el movimiento.

N

2.

Entender que la descripción de ciertos fenómenos físicos se hace utilizando vectores. Comprender y aplicar correctamente las reglas existentes para las operaciones con vectores. Aprender la descomposición y composición rectangular de los vectores.

30

1.

3 0N

B Se nt id o

50

Módulo V

A

30 N

VECTOR Designamos con este nombre a aquel elemento matemático, indicado por un segmento de recta orientado, y que nos permite representar gráficamente a una magnitud vectorial. Dado que este texto atiende el aspecto básico del curso, diremos que los elementos de un vector son:

θ

Dirección

Nota: El vector es un tensor de 1er orden.

Notación Vectorial: Vector: Módulo:

 Módulo. Llamado también intensidad, viene a ser el valor o medida de la magnitud vectorial representada.  Dirección. Es la recta que contiene al vector. Se define por el ángulo "  " medido en sentido antihorario.  Sentido. Es la característica del vector que nos indica hacia dónde se dirige. Se le representa por una saeta o sagita. Analicemos El siguiente gráfico.

Notación General:

CLASIFICACIÓN 1 COLINEALES

Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción. C

B

A

2 PARALELOS

Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre si.

51

L1 A

L2 C

A

L1 L2

B

B

A B

5 CONCURRENTES Y COPLANARES

A C

m1 m2

 Si: L 1 // L 2 indica que los vectores contenidos en dichas líneas tienen igual

Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano y sus líneas de acción, se cortan en un mismo punto. E

dirección.

A C

B

p

3 OPUESTOS

Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección, módulo, pero sentido contrario. A θ

L1

-A θ

L2

   Todo vector A tiene su opuesto denominado - A ; y tiene la misma dirección, módulo pero sentido opuesto.  La suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo (módulo cero) Según lo analizado anteriormente, tenemos: A+(-A)=0

D

· Los vectores A, B, C son concurrentes y coplanares. · El vector D es coplanar pero no concurrente, pero el vector concurrente ni coplanar.

E no es

ACTIVIDAD 02 INVESTIGUE EN GRUPO QUE OTROS TIPOS DE VECTORES HAY Y REDACTELOS EN SU CUADERNO. OPERACIONES CON VECTORES

Sumar dos o más vectores significa hallar su RESULTANTE. Dicha resultante se puede determinar mediante analíticos y gráficos.

4 IGUALES

Dos vectores son iguales cuando tienen la misma dirección, módulo y sentido.

RESULTANTE MÁXIMA

Ocurre Si los vectores son colineales teniendo la misma dirección y sentido y forman un ángulo de 0º.

52

0º

B

A

En el triángulo sombreado aplicamos el teorema de Pitágoras.

RMÁX = A + B

RESULTANTE MÍNIMA

Ocurre Si los vectores son colineales teniendo sentido contrario y forman un ángulo de 180º B

2

2

R = (Asenθ) +(B+Acosθ) 2

2

2

2

2

R = A sen θ+B +A cos pero: (sen

2

2

2

+2 A.Bcosθ ENTONCES:

2

+ cos )  1

A

180º

R= A 2 +B2 +-2ABcosθ RMIN = A - B

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

CASOS PARTICULARES.

Es válido para hallar la resultante de dos vectores. El método consiste en ubicar a los vectores en un origen común conservando su módulo y dirección, luego construye el paralelogramo y el vector resultante se traza desde el origen común dirigiéndose al vértice opuesto. Sean los vectores:

1 Si A y B son perpendiculares

A

R

R= A 2 +B2

B

A

R

A

2

θ

θ B

Si: A = B y θ=90º

B

Ahora deduciremos una ecuación que nos permita encontrar la longitud de la resultante:

A

R A B

R

A

θ



A

B

Acos θ

θ

B+Acosθ

h= Asenθ

R=A 2

53 3

Si: A = B y θ=60º

B

A

R

R=A

A

θ

3

β



A

R

B

sen 

sen β sen θ

R

θ A B 4

Si: A = B y θ=120º

R

θ

MÉTODO DEL POLÍGONO

A

Se colocan los vectores uno a continuación del otro en el mismo sentido y la resultante se traza desde el origen del primer vector hasta la saeta del ultimo vector.

R=A

A B

Es válido para hallar la resultante de dos vectores. El método consiste en graficar los vectores uno a continuación del otro, la resultante se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del segundo. Dados: Los módulos de los vectores A y B: B A

B

C

MÉTODO DEL TRIANGULO

A

A

D

D R A B C D

B

Polígono cerrado Es cuando los vectores graficados cierran la figura, los vectores deben orientarse en forma horaria o anti horaria; por lo tanto su resultante es nula. C

R A B

B

B

LEY DE SENOS

Es usado cuando se conocen los ángulos internos y por lo menos uno de los vectores.

C

A

A

R =0

D

E

DIFERENCIA DE VECTORES

Si deseamos hallar la diferencia entre 2 vectores A y B , entonces esta operación consiste en sumarle al vector A el vector opuesto de B .

54

B

y P

A

θ DONDE:  =180-θ

B

B

 Para obtener el modulo del vector diferencia se debe de aplicar la siguiente relación: A 2 +B2 +2ABcos

A-B =

ó

A-B =

μP

A



R= A - B

R

μP =1

x

Definimos su vector unitario

μP = P = Vector

A 2 +B2 -2ABcosθ

P

Módulo

Recuerda: MATEMÁTICAMENTE

Un vector se le puede representar a través de ecuaciones cartesianas (en el plano o en el espacio y/o en ecuaciones matriciales en general),

P  (x -x ),(y -y ) 2

1

2

y2

2

P = P μP

3 Para dos vectores “A y B”

μA = μ B

1

P

Pero el Módulo de “P” será: P  (x2 -x1)2 + (y2 -y1)2

μP   P

A  B Entonces:

y

Luego

1

ΔY

θ

y1

VECTORES UNITARIOS EN LOS EJES X,Y,Z

ΔX

x1

x2

x

VECTOR UNITARIO Se le denomina así a la unidad vectorial que representa a un vector cualquiera el cual se caracteriza porque su módulo siempre es uno y se manifiesta colíneal o paralelo al vector y nos indica la dirección y sentido.

Para expresar un vector y realizar operaciones con ellos se acostumbra hacerlo en términos de los vectores unitarios ( i, j, k ) ubicados a lo largo de los ejes X, Y, Z como se muestra en la figura .

55 y( j )

z

P

k Pz

P

i

Px

Py

x

Por Lo tanto el vector “P” se puede expresar como: P = Px i

Py j

θ

y

j

Pz k

Px 2

El vector de módulo “P” se puede expresar en función a sus componentes rectangulares. Siendo las componentes:

Py 2

Pz 2

Las coordenadas de los vectores unitarios en cada eje son: i = ( 1,0,0 ) j = ( 0,1,0 )

i = j = k =1

k = ( 0,0,1 ) COMPONENTES DE UN VECTOR

Es la operación que consiste en descomponer un vector V = |P|, en función de otros ubicados sobre dos rectas perpendiculares (Eje x Eje y). Siguiendo los pasos señalados se obtendrán las componentes rectangulares Px ;Py.

x( i )

Px = P cos θ

Px = P cos θ Py = P sen θ

Entonces:

Hallando su módulo del vector “P” Módulo P =

Py = P sen θ

Vector P = Px i

Py j

Hallando su módulo por componentes. Módulo P =

Px 2

Py 2

La dirección esta dada por la función tangente del ángulo respecto a la horizontal. RECUERDA: i : vector unitario en el eje x (1,0) j : vector unitario en el eje y (0,1) Se observará que: MÉTODO PRÁCTICO

Pero existe un método práctico para descomponer vectores, usando los triángulos notables, pero antes recuerda:

56

TRIÁNGULOS NOTABLES

Paso # 4 Se calcula finalmente el módulo y dirección de la resultante. ADICIÓN DE VECTORES

Sean: A=( x1;y1 ) y B=( x 2 ;y 2 ) dos vectores en el plano

cartesiano

entonces podemos calcular la adición de vectores:

A+B= ( x ;y ) + ( x ;y ) 1

1

2

2

A+B= ( x + X ; y +y ) 1

RECUERDA

Paso # 1 Los vectores que se sumaran se disponen partiendo del origen de coordenadas. Paso # 2 Los vectores inclinados respecto a los ejes se reemplazan por sus componentes rectangulares.

1

2

A+B= ( x + X )i + (y +y )j 1

2

1

2

SUSTRACCIÓN DE VECTORES

Sean: A=( x1;y1 ) y B=( x 2 ;y 2 ) dos vectores en el plano

cartesiano

entonces podemos calcular la sustracción de vectores: A  B= ( x ;y ) + ( x ;y ) 1

1

2

2

A  B= ( x - X ; y - y ) 1

Paso # 3 Se calcula la resultante parcial en el eje X, así como la resultante parcial en el eje Y, para esto se suman algebraicamente las componentes en cada eje.

2

2

1

2

A  B= ( x - X ) i + (y - y ) j 1

2

1

2

La imaginación es más importante que el conocimiento

57 Px = cos  P

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Dados

Py P

= cos β

Px = cos θ P

A estos cósenos se les llama cósenos directores y tiene la siguiente característica.

A=( x ;y ) y k  R entonces: 1 1

kA= k ( x ;y ) 1 1

2

2

2

cos  +cos β+cos θ=1

kA= ( k x ; y k ) 1

1

PRODUCTO ESCALAR A.B

Pero recuerda que:

Dados los vectores A y B definimos el producto escalar denotado por A . B Como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Geométricamente interpretamos como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Vemos el gráfico.

Si: k > 0  A  kA k < 0  A  kA z

ÁNGULOS Y CÓSENOS DIRECTORES.

Por lo visto hasta ahora podemos afirmar que matemáticamente el vector es un conjunto ordenado de números reales. Un par ordenado ( x,y ) en el plano o una terna ordenada ( x,y,z ) en el espacio definido donde x,y,z son números reales denominados las componentes del vector. Sea el vector

P  ( P ,P ,P ) x y z

en el espacio

Pz k

B

P

θ θ



β

B

Py j

Px i

y

A

x

veamos gráficamente en el espacio: Entonces los ángulos que forma el vector “P” con los ejes, Se denominan ángulos directores. VERIFICANDOSE QUE:

Si:

cos θ

A

B= A B

cos θ

θ = 0º

A

B= A B

θ = 90º

A

B =0

θ = 180º

A

B= A B

En el plano o espacio cartesiano el producto escalar será igual a la suma de los productos de las coordenadas correspondientes.

58

Si:

A  ( x ,y ,z )

AxB

1 1 1

B  ( x ,y ,z ) 2

2

2

B

Entonces el producto de los vectores será: A.B  x .x + y .y +z .z 1

2

1

2

1

θ

2

cos θ A.B  x .x + y .y +z .z 1 2 1 2 1 2 Son expresiones equivalentes del producto escalar. El resultado del producto escalar será siempre un número real positivo, nulo o negativo. B= A B

A

B =0

Señala que los vectores son perpendiculares entre si.

.

A A= A

+

A

Nota: A

Área

2

Regla de mano derecha

Por lo tanto:

Ax B = i

y1 z 1 - j x1 z 1 k x1 y1 + x2 y2 y2 z 2 x2 z 2

Nota: A xB = A B

θ=

0º

Ax B=0

sen θ = Área Ax B =0 A

B

AxB= BxA

PRODUCTO VECTORIAL AxB

Dados los vectores:

A=( x ,y ,z ) y B=( x ,y ,z ) 1 1 1

- +

i j k A x B = x1 y1 z 1 x2 y2 z 2

2

2

2

Definiremos el producto vectorial, como un vector que es ortogonal a los vectores A y B , por lo tanto ortogonal al plano determinado por A y B Donde el sentido de A x B se determina por regla de mano derecha.

A x A =0

La longitud del vector AxB, puede interpretarse como el área del paralelogramo determinado por dichos vectores ( A y B ).

“Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo, involúcrame y lo aprendo”

59

PROBLEMAS RESUELTOS

A

20j

32º

z

21º

y

B

x

Solución 1. Sobre un punto en el piso se aplican dos fuerzas de módulos 5N y 2N, determine la fuerza efectiva que se aplica sobre dicho punto. F1 =5N

37º

Primero desplazamos los vectores con la finalidad de tener el mismo punto de aplicación. Luego ubicar el vector 2B

F2 =2N

Solución

R

Primero desplazaremos los vectores gráficamente, para luego aplicar el método del paralelogramo. F2

-2 B

A 127º

F1

37º

21º 32º

B R

Ahora hallando el vector diferencia R = (F1)2 +(F2 )2 +2F1.F2.cos37º

A-2B=R = (A)2 +(2B)2 +2(A)(2B).cos127º

R = (5)2 +(2)2 +2(5.2)4/5

A-2B = (5)2 +(8)2 +2(5.8)(-3/5)

R = 3 5N

A  5u y B  4u

41u.

3. En el sistema de vectores mostrados determine el módulo de la resultante si:

Respuesta 2. Para los vectores mostrados determine el módulo de

A-2B =

Respuesta

A-2B si

A  C  2u , B=5u

60

4.

B

Calcular el módulo del vector resultante sabiendo que la figura es un hexágono regular de lado 2 3 .

23º

C

97º A

Calculemos la resultante entre A y C teniendo en cuenta que forman 120º R C

Solución

120º

A

Por propiedad si los vectores forman 120º debe cumplir.

Primero recuerda que un hexágono regular está formado por triángulos equiláteros interiores veamos:

si: A  C  R  2u Ahora hallaremos la resultante del vector “B” con la resultante obtenida de los vectores “A y C”.

2 3

60º

3 3

B

R R

T T

37º

2 3

Luego los vectores mostrados forman un ángulo de 60º por ser un hexágono regular.

R

R

= (B)2 +(R)2 +2B.R.cos37º 3

= (5)2 +(2)2 +2(5.2)4/5

60º 3

R= 3 2.

Respuesta

R = 3 5u. T

Respuesta

5.

En el siguiente sistema de vectores determine el módulo del vector resultante si el hexágono regular tiene 2m de lado.

61

Ahora aplicando en método del triángulo en el área sombreada obtenemos: A=

X=2A-6B Respuesta

Solución P

X  3B 2

Traslademos los vectores con la finalidad de aplicar el método del triángulo.

2

2

7.

Determine el módulo del vector resultante del conjunto de vectores mostrados.

Por ser un hexágono regular su diagonal será PQ=4 Entonces la Resultante es 3PQ Q

A

5m B

R= 12

2m

Respuesta 3m=C

6.

Determine el vector “x” en función de A y B si G: Baricentro y M: punto medio. M X

B

G

Solución Reemplazando módulos de los vectores A y B por sus componentes rectangulares. Tenemos:

A

M

A

5m R

Solución Nos piden determinar “x” en función de A y B. Por propiedad del baricentro tenemos que la proporción de de 2 a 1 entonces:

X

B

G

2m

2B

9m=Rx

A

M X

7m=Ry

B

M

3m=C

Hallando la resultante.

62

R = (Rx)2 +(Ry)2

XY 

R = (9)2 +(7)2

pero

R P

En el paralelogramo mostrado determine la resultante del sistema en función del vector “P”.

R=

3 PP 2

7 P 2

Respuesta

P

X

A

: (A  B)  P

Reemplazamos en la resultante:

R = 130m

Respuesta 8.

3 (A  B) 2

9.

Determine “x” en función de A y B si MNOP es un cuadrado. M

Y

P

B

Solución

A

Apliquemos el método del triángulo.

X

B/2 A

B/2

N

P

X

Y

A/2

A/2

B

Solución Aplicando Pitágoras en MNT obtenemos que: MT= 5 M

Entonces sabemos que la resultante es:

P

θθ

R  A B X Y P

A B P A

B  P....(1) 2

2 2

B

A  P...( 2 ) 2

Sumando (1) y (2) obtenemos:

O

B

5

Q R

θ

N

1

T

O

Ahora por semejanza de triángulos en MNR y NRT tenemos:

63

1 RT  1 5 RT=

5 5

10. En el experimento de vectores realizado por Jesús y Gerardo llegaron a la rotación que se muestra. Determine el valor del ángulo desconocido para que la resultante sea nula. y

Por lo tanto:

9

5 MR= 5  5 MR=

4 5 5

10º

x

θ

12 A

Ahora en el cuadrado gráficamente tenemos. M

10º

P

Solución Como no tenemos ángulos notables giremos el sistema 10º en forma horaria. y

4 B  A  5 2

9

Q

Acos(θ+10º)

A

B 2

A+B/2 5

T

A

O

Ahora hallando “X” en función de A y B en el triángulo NRT. x B +A+ 2 2 =B 5 2

4B-2A X= 5

Respuesta

Como la resultante es cero entonces: 9 = Asen( θ+10 ) …..(1) 12= Acos( θ+10 ) …..(2) Dividiendo ( 1 ) y ( 2 ) obtenemos: tg(θ+10º)=

3 4

tg(θ+10º)=tg37º Simplificando:

θ=27º

Respuesta

Asen(θ+10º)

X/2

N

θ+10º

12

R

x

64

Entonces: 11. En el siguiente diagrama determinar el valor de “P” si la resultante de los vectores tiene como módulo 14cm. 4P 5

R = (R )2 +(R y )2 +2R x .R y .cos120º x 2 2P 14 = (14)2 +( P)2 -2 (14. )1/2 5 5

P 5

60º

P=35cm Respuesta

4

12. Determine el módulo de la resultante para el conjunto de vectores mostrados en el espacio.

1

Solución Apliquemos el método del triángulo con la finalidad de encontrar la resultante en los ejes “x é y” . 4P 5

P 5

4 1

x

4P P R =  P x 5 5 2P R =x 5 R =5+5+4 y R =14 y

Graficando convenientemente: R Ry 120º Rx

Por dato del problema la R=14cm

5 4

Hallando la Resultante en los ejes “x é y”

y

60º

z

6

y

8 x z

Solución

5 4

Realicemos la descomposición poligonal de los vectores en función de los ejes “x,y,z” Entonces ahora calculemos la Rx, Ry, Rz. Rx =-4+4-4 = -4i Ry = 8+5-3 = 10j Rz = 6k

6

y

5 x

3

65

-i -j =  (-2i - j) +  (i - 2j)

Hallando el módulo de “R”

-i -j = i (-2 + ) + (- - 2 )j 2

2

2

Por comparación:

R = (R ) +(Ry ) +(R ) x z

-2 +  = -1

R = (-4)2  (10)2  (6)2

- - 2 = 1

R= 152 Respuesta 13.

Si los vectores mostrados en la figura están relacionados entre si b  a  b

mediante

"  y  " son

donde

números reales

Resolviendo el sistema obtenemos:  =1/5  = -3/5 Respuesta

determínelos. 14. Dados a=(3; 4) y b=(7; 24) determine el ángulo que forman entre si: y

Solución Sabemos que:

a

x

a

b c

(j) y

Por dato del problema sabemos que: b  a  b

a= -2i - j

a

x (i) b c

= a b cos θ

Entonces para hallar el ángulo debemos conocer el producto escalar “a.b” y sus respectivos módulos. Hallando el producto escalar:

Solución Hallando los vectores a b y c en función a sus vectores unitarios tenemos:

b

b= -i + j c= i - 2j

a.b  x1.x 2 +y1.y 2 a.b  (3.7)  (4.24) a.b  117........()

Hallando dichos módulos: a



(3)2  (4)2  5

b



(7)2  (24)2  25

Reemplazando datos:

66 a

b

= a b cos θ

Solución

117=(5).(25)cosθ

Por dato y gráfico del problema podemos concluir que “ n ” es normal al

 117  θ= arc cos    125 

plano determinado por AB y AC . Luego n  axb (Vectores codirigidos)

Respuesta

z

15. Encontrar un vector normal al plano determinado por los vectores

a xb

a  (1, 2,3) y b  (6,7,8)

EL vector normal al plano determinado por a y b sería n=a x b Luego

y

n

C

i j k

Sabemos que: n  axb  u n = u axb

Desarrollemos la matriz. 2 3 7 8

-j

1 3 6 8

+k

Determinemos AB y AD

1 2

AB= B-A=(4,-2,3) - (4,0,3)

6 7

AB= (0,-2,0).......()

n=a x b = -5i +10j -5k

AD= D-A=(5,0,0) - (4,0,3)

n=axb=(-5,10,-5)

Respuesta

z

16. Si n es normal al plano ABCD y siendo su módulo

igual

2

5 D (5,0,0)

x

n=a x b  1 2 3 6 7 8

n=a x b = i

A 4 3

(4,-2,3) B

Solución

a

4 10 determine

expresión vectorial cartesiana de “ n ”.

AB= (1,0,-3).......(  )

Hallando AB x AD

A 4 3

B

la

i j k y

n

5 C

2 x

D

AB x AD= 0 -2 0 1 0 -3

Desarrollando obtenemos:

67

k < 0 (tiene diferente sentido)

AB x AD = (6,0,-2)

Entonces:

Hallando su módulo: AB x AD = (6)2 +(0)2 +(-2)2

A+B=i+6j

AB x AD =2 10

B+C=(a-2)i + (b+4)j

Sabemos que A  B // B  C entonces cumple:

Luego el vector unitario será: un =

B+C = k(A+B) Reemplazando:

(6,0,-2) 2 10

(a-2)i + (b+4)j = k(i+6j)

Hallando “ n ”

(a-2)i + (b+4)j = ki+6kj

nz = n .un n  4 10.

a-2=k (6,0,-2)

 a=k+2

b+4=6k  b=6k-4

2 10

Por lo tanto el mínimo valor entero positivo de “a y b” será cuando “k = 1” entonces:

n  12 i - 4k Respuesta

a=1+2

17. Se tiene los vectores A=3i+2j; B=-2i+4j; C=ai+bj determine los

y b=6(1)-4

a=3 y b=2

Respuesta

valores mínimos y enteros de “a y b” de manera que A  B sea paralelo a BC.

18. Si se tiene tres vectores A, B y C donde A-2B-C=10i+5j además y

A  B  C= -4i +3j determine el valor de A-5B-3C .

Solución

A

B

y

x

A+B+C= -4i+3j

Solución

A-2B-C=10i+5j

Recuerda cuando dos vectores son paralelos debe cumplir: A

x A

B

kB

Si: k > 0 (tiene igual sentido)

68

Multiplicando por (2) al vector:

A= (4+4) =4(1,1)

A-2B-C=10i+5j (2)

B= (2cos8ºi+2sen8ºj)

Tenemos:

B= 2(cos8º+sen8º)

2A-4B-2C=20i+10j....()

Hallando el módulo de A y B.

Multiplicando por (-1) al vector:

A=4 (1)2 +(1)2 =4 2

A  B  C= -4i +3j

B=2 (cos2 8º+sen2 8º=2

A  B  C= 4i -3j....(   )

Sumando () y ()

Recuerda que A forma 45º con el eje “X” positivo y “B” forma 8º con el eje positivo Por lo tanto: “A” forma 37º con el vector “B”. Realicemos un gráfico:

2A-4B-2C=20i+10j -A -B - C = 4i - 3j A-5B-3C=24i+7j

z

Ahora graficando.

AxB μ

y

-5 B3C

8º x

A

7

θ

45º B A

x

24

A-5B-3C  (24)2 (7)2 A-5B-3C

4

 25

Respuesta

4 y

Entonces: AxB  (ABsenθ)μ

Por regla de mano derecha obtenemos: -k  μ

19. Sean los vectores A=4i+4j B=2cos8ºi+2sen8ºj ,determine el producto vectorial de dichos vectores.

Solución Según dato del problema:

AxB  (AB4 2.2sen37º)(-k)

AxB  

24 2k 5

Respuesta

69

20. ABC es un triángulo equilátero de lado 4cm. Determinar el módulo de la resultante de las fuerzas mostradas en la figura sabiendo que el plano en el cual se encuentre el triángulo ABC es perpendicular al plano “-XY” y forma un ángulo diedro de 30º con el plano “YZ” Siendo: F1=4 5N; F2=6 5N Considerar: B = F1 ; C = F2

Asumiremos que el vértice “A” se encuentra a “k” unidades del origen en el eje “-X” por lo tanto las coordenadas de “A” son (-k,0,0) Según gráfico tenemos las coordenadas de B y C siendo: B=(-k-1; 3, 2 3 )

C=(-k-2; 2 3 ,0)

De donde obtenemos que: B  ( (k  1); 3; 2 3 )

F1 z

B  (k 1)2  ( 3 )2  (2 3 )2 k=1 y k=-3

B

Luego se tiene: C

A=(-1,0,0)

F2

A

B=(-2, 3,2 3 )=F1 y

C=(-3,2 3,0) =F2 x

Finalmente: F1+F2=(-5;3 3; 2 3)

Realicemos un gráfico con los datos del problema. z

F1+F2=8

Respuesta

B

z

30º

4 E

4

20j z

2 3

C

y

x

2

2 3

D

30º

A

3

2

H 1

2 m

3

y

n

y

3 x

PRÁCTICA 1

2 3

REALIZA

MAPA CONCEPTUAL DE VECTORES

70

Problema 1

Solución

Problema 2

Solución

Hallar el módulo de la resultante.

Determinar la resultante para los vectores dados, Siendo: | a | = 10 | b | = 2, |c|=4 |d|=3

Hallar el módulo de la resultante.

Problema 3

Solución

Problema 4 La corriente de un río tiene una velocidad de 12m/s. Si un alumno cruza perpendicularmente un río con una velocidad de 5m/s. ¿Cuál será el valor de la velocidad resultante?

Solución

71

Problema 5

Solución

¿Cuál es el valor de la resultante? Los vectores están colocados en un rectángulo.

Problema 6 Un paracaidista salta y cae verticalmente por acción de su peso igual a 600N. Al abrir el paracaídas el aire ejerce una fuerza sobre el paracaídas de 1000N en dirección vertical y hacia arriba. ¿Cuál es el valor de la fuerza resultante sobre el paracaidista en dicho instante?

Problema 7

Solución

Dos vectores tienen una resultante mínima que vale 4 y una resultante máxima igual a 16. ¿Cuál es la resultante de estos vectores cuando formen 60º?

Solución

Problema 8 En el mar, un viento sopla en la dirección Este, mientras que un barco navega hacia el Norte. ¿En qué dirección puede estar flameando la bandera del barco?

Solución

72

Problema 9 En la figura resultante

Solución

determinar su

80°

20°

Problema 10 En la figura resultante

Solución

determinar su

Problema 12 Determinar el módulo de la resultante si : |A | = |B | = 4 y |C| = 8 C

10 12

120° 10

Solución

Un bote a motor se dirige hacia el este con una velocidad lleva una velocidad de 10m/s. Si la corriente marina tiene una velocidad de 6m/s. en la dirección N30ºE. ¿Cuál será el valor de la velocidad resultante del bote?

C

D

Problema 11

B A

120º

Solución

73

Problema 13

Solución

halle la módulo de la resultante sabiendo que : |a| = 6; |b| = 8.

Problema 15

Solución

Halle el módulo de la resultante: a + b. Si : |a| = 6 y |b | = 6.

a

b

30º b

60º a

Problema 14 Se tienen dos vectores de 10N y 15N cuya resultante es igual a 20N. Determinar el coseno del ángulo que forman los vectores.

Solución

Problema 16 Halle el módulo de la resultante: a + b. Si : |a| = 3 y |b | = 4.

b

a

Solución

74

Problema 17 Si: |A| = 3 ; |B| = 5, Encontrar la resultante.

Solución

Problema 18

Solución

En la figura, calcular el módulo de la resultante 10 6 60°

40° 20°

60° 6

RECUERDA RECUERDA

-La velocidad de la luz es constante en el vacío, pero en el aire, agua y otros medios, se frena, pudiéndose llegar a ir más rápido que ella. -Si una nave viajara a velocidades cercanas a la luz, el tiempo dentro de ella va muchísimo más lento que lo que iría en la Tierra. -El tiempo va más lento cuanta más gravedad haya. Por lo tanto, irá más lento en la superficie solar que en la Tierra y más rápido cuanto más alto estemos (la gravedad es menor). -La teoría de la relatividad no dice que no se pueda ir más rápido que la luz, sino que no se puede cruzar la barrera de la luz, ni por arriba ni por abajo. Es decir, si algo fuera más rápido que la luz, por ejemplo un taquión (partícula hipotética de “masa imaginaria”), jamás podrá ir más lento que ella.

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VECTORES EN EL ESPACIO

EN GRUPO COMO SE APLICAN LOS VECTORES : 1. Para mejorar los Radares 2. Para la navegación marítima 3. Para entender cómo funciona toda la tecnología que usas (internet, móvil, PC, etc.) y así puedas encontrar las fallas cuando las tenga

75

1

VECTOGRAMA VECTOGRAMA

2

15 8 14 9

6 3

7

10 5

4 VECTICALES

11 13 12

1

ES LA REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR

2

SUS LINEAS DE FUERZA SE CORTAN EN UN SOLO PUNTO.

3

ES UN VECTOR ORTIGONAL A LOS VECTORES

4

SON AQUELLOS CONTENIDOS EN UN MISMO PLANO

5

OCURRE CUANDO FORMAN 0° ENTRE SI

6

SON AQUELLOS CONTENIDOS EN UNA MISMA LINEA DE ACCION.

7

NOS PERMITE HALLAR LA RESULTANTE DE VECTORES

8

NOS PERMITE EXPRESARLO NUMERICAMENTE

9

METODO PARA HALLAR LA RESULTANTE CON MAS DE DOS VECTORES

HORIZONTALES

121581496371054111312

10

METODO ANALITICO

11

VALOR DE LA MAGNITUD VECTORIAL

12

METODO GRAFICO PARA HALLAR RESULTANTES

13

CARACTERISTICA DEL VECTOR QUE NOS INDICA HACIA DONDE SE DIRIGE

14

OCURRE CUANDO FORMAN 180° ENTRE SI

15

ENTE MATEMATICO REPRESENTADO POR UNA SAGITA

76

REALIZA

ESQUEMA DE LLAVES DE VECTORES

77

20j y

x

1. Calcular el valor de la resultante de dos vectores de 3u y 5u, que forman un ángulo de 53º a) 2 6

b) 13

d) 2 26

e) 26

c) 2 3

2. Calcular el módulo de la resultante en el gráfico. a) 30 b) 35 c) 3 d) 32 e) 36 3. Determinar la magnitud de la resultante. a) 14 b) 10 c) 12 d) 6 3 e) 8 2

4. Descomponer rectangularmente el vector de módulo 100N. a) 80N,100N b) 70N, 80N c) 80N, 60N d) 90N, 80N e) 60N, 60N

7.

En el siguiente conjunto de vectores, determinar el módulo de la resultante. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Determinar la magnitud de la resultante. 8. Calcular el módulo de la resultante en: a) 14 b) 10 c) 12 d) 6 3 e) 8 2 6. Hallar el módulo del vector resultante del conjunto de vectores mostrados. a) 10 61 b) 70 c) 10 13 d) 10 29 e) 50

a) 8 b) 20 c) 13 d) 21 e) 0

25

10 2

30°

83 °

z

52 °

La previa.. U PRÁCTICA 2

18

9. En el siguiente sistema de vectores determinar el módulo del vector a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

78

11. Encontrar la dirección del vector resultante del sistema mostrado. a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º 12. Calcular el módulo de la resultante de los vectores indicados.

a)0

b) 6u c) 8

d) 6 2

e) 2 13

13. Si el lado del cuadrado es 6 unidades. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados.

a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 30 14. Determinar el módulo del vector resultante. a) 12u b) 15 c) 16 d) 22 e) 21 15. Si la fuerza resultante del siguiente grupo de vectores es horizontal. Hallar F. a) 10N b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 16. En el episodio de Piratas del caribe Gerardo y Jesús el capitán Gerardo pierde su gancho como producto de fuerzas enemigas, determine el módulo de la fuerza resultante de las fuerzas mostradas, aplicadas al gancho del pirata Gerardo que está incrustado en un madero.

a) 16N b) 13N c) Falta “F” d) 14N c) 20N

F 28N F/3

3 0°

10. En el conjunto de vectores mostrados, hallar la dirección del vector resultante. a) 30º b) 37º 53° 10 c) 45º 8 d) 53º 6 e) 60º

15N 9N 18N

2F/3

17. En el siguiente sistema de vectores determinar el módulo de la resultante. a) 2u b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 18. Dado el conjunto de vectores, hallar el módulo de la resultante. a) 2 b) 2 2 c) 2 d) 1 e) 3

79

19. Calcular el módulo de la resultante. a) 8 10 b) 18 10 c) 50 2 d) 50 e) 48 20. Si en el siguiente grupo de fuerzas, la resultante es vertical. Hallar "  ". a) 37º b) 53º c) 60º d) 30º e) 45º

2. Dado el conjunto de fuerzas, determinar la resultante sabiendo que es vertical. a)12N b)16 c)18 d)24 e)20 3. Hallar el módulo de la resultante, sabiendo que es vertical. a) 2N b) 8 c) 2 2 d) 6 e) 10

20j z

PRÁCTICA 3

y

x

1. Si la fuerza resultante del siguiente sistema de vectores es nula, hallar "  ". a) 37º b) 30º c) 45º d) 53º e) 16º.

4. En determinada dirección un estudiante camina 50m, luego se desvía 60° respecto a la dirección anterior avanza 30m mas ¿cuál es el módulo de su desplazamiento total. a) 30m b) 60m c) 70m d) 80m e) 90m 5. Sobre la plataforma un hombre se mueve a la velocidad V=1m/s y forma un ángulo de 53° con uno de los lados de dicha plataforma, si esta se mueve a 5m/s con relación a la tierra halle la velocidad resultante de la persona en la plataforma plataforma.

53º

a) 4 2

b) 2 2

d) 4 3

e) 2

c) 3 2

6. Consideremos el caso de un buque desmantelado a merced del viento y la corriente a cierta velocidad Va =2m/s en dirección norte ,un bote de socorro lanza una soga y la jala con el fin de dar al buque una nueva velocidad Vb también de 2m/s pero ahora en dirección oeste que velocidad "V" debe el bote de socorro superponer a Va para que la velocidad resultante sea Vb ( en m / s) a) 2 2 d) 4

b) 2 e) 5

c) 2 3

7. Hallar la resultante de dos vectores de 3 y 2 2 unidades cuando forman 45° entre si.

a) 29 d) 2.41

b) 23 e) 4

c) 3

8. Cuál es el valor del ángulo que forman dos vectores de 3 y 5 unidades de modo que su resultante sea de 7 unidades.

80

a) 30°

b) 45°

c) 60° d) 53° e) 37°

a) 30° b) 45°

c) 37°

d) 53° e) 60°

d) 6 e) 10

9. Hallar el valor del ángulo que forman dos vectores iguales para que la resultante sea igual al módulo de dichos vectores a) 30° b) 45° c) 37° d) 120° e) 60° 10. Si la resultante de dos vectores es perpendicular y tiene como resultado 10 10 m y se sabe además que uno de

ellos es el triple del otro. Determine Ud. el valor del vector mayor a) 10m b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 11. La resultante de dos vectores igual a "F" es 2  2 F determine el valor del ángulo que

forman dichos vectores a) 45° b) 37° c) 60°

d) 53°

e) 74°

12. La resultante y una de las fuerzas rectangulares aplicadas a un mismo punto valen 200 y 120N respectivamente cuanto mide la otra fuerza rectangular. a) 50N b) 160 c) 80 d) 100 e) 300 13. La resultante de dos fuerzas iguales a “P” es 4 5P ¿qué ángulo forman dichas fuerzas? 5

14. Dos fuerzas de 14N y 8N tienen una resultante de 2 79 N que ángulo forman dichos vectores para tal resultante. a) 60° b) 30° c) 120° d) 53° e) arco cos(7/28) 15. Dos vectores de 5 y 3 unidades forman entre si 60° dando una resultante de : a) 6 b) 3 c) 7 d) 8 e) 19 16. Sean los vectores A:8u B:7u determine el vector “A + B” cuando los vectores formen 60° a) 12u b) 13 c) 14 d) 16 e) 123

19. Determine |A – B| si: A = 4 3 a) 1 b) 3 A c) 4 d) 2 30º B e) 7

B=4

20. Determine │A + B│ si: A = 5 B = 4 a) 1 A b) 3 c) 5 d) 2 37º B e) 6

17. Si dos fuerzas iguales a “F” forman entre si un ángulo de 135° es posible afirmar a)

4  2F

b)

4  2F

d)

2  2F

e)

3  2F

18. En el gráfico mostrado hallar │A - B│ si: A=5 B=3 a) 3 b) 4 c) 5

A 37º B

c) F

SOLO EL MEDIOCRE NO CULTIVA ROSAS POR TEMOR A LAS ESPINAS ...

81

La previa.. PRE - U PRÁCTICA 4

4. En el grafico mostrado determine el valor del vector │A + B│ Si: A =4N B = 8N

z 20j y

x

1. En el grafico mostrado determine el valor del vector │A+ B│ Si: A = 7N y B = 4. a) 3,3N B b) 6.6 c) 8,8 d) 98,6

a) 4 5 N b) 6 c) 5 d) 3

A 15º

e) 6 5

75º B

53º

A

e) 4,4 2. En el grafico mostrado determine el valor del vector │A + B│ Si: A =1N B=2N a) 5 N b) 2

40º

c) 7 d) 12 e) e)3

80º

B

A

3. En el grafico mostrado determine el valor del vector A +B Si: A =a B =a a) 2a b) a A c) 3a B d) 12a 40º 20º e) 10a

5. En el grafico mostrado determine el valor del vector │A + B│ Si: A =5N B =3N a) 1N 6º A b) 4 c) 8 d) 12 31º e) 13 B 6. Sobre un clavo se ejerce dos fuerzas cuyos módulos son de 1N y 2N determine la resultante. a) 3 N b) 2 c) 3 d) 5

1N

2N 60º

7. Dos vectores concurrentes y coplanares forman entre si un ángulo de 60° si poseen una resultante de 35N, sabiendo además que uno de ellos es los 3/5 del otro ¿cuál es la suma de los módulos de dichos vectores? a) 5 b) 10 c) 20 d) 40 e) 25 8. La resultante de dos fuerzas es 37N, cuando los vectores forman 60° entre si una de las fuerzas es las 3/4 de la otra fuerza de termine una de ellas. a) 3 37N d) 27

b) 4 47 e) 67

c) 5 57

9. La resultante de dos vectores mide 21cm y es perpendicular a uno de ellos si el otro vector mide 35cm que ángulo entre si forman los vectores componentes. a)143° b)127° c)154° d)120° e)180º 10. En el gráfico mostrado determine │A-B│ A =25N B =24N a) 5N A b) 2 c) 7 16º B d) 12 e) 3 11. En el grafico mostrado determine│C-D│

82

C =10√2N D =10N

d) 1,2

e) 3

D

a) 5N b) 10N c) 15N d) 20N e) NA

d) 4,5

B

A

18. En la figura hallar el vector IA + BI y a) ( 12i;10j ) 6 b) ( 15i;9j ) A c) ( 6i;14j ) 3 d) ( 12i;9j ) B e) ( 7i;6j )

106º

61º

15. En el grafico mostrado determine │A -2B│ A = 90N B = 30N

C

a) 10 7 N 12. En el grafico mostrado determine │2B-A│. A = 10 3 N B = 5 3 N a) 10N b) 20 A c) 30 60º d) 40

16. En

la

B=3 A B-

B 180º- 

A

14. En el gráfico mostrado determine A+B, A = 2N B = 3N además: a) 5,2N

b) 3,2

2  1.4 e ) 8.8

mostrada

si

2A-3B =25.

hallar: 7A-4B

a) 50N b) 20 c) 70 d) 120 e) 30

a) 10 3 N b) 20 c) 30 d) 4 e) 35

A 60º

B

C

B

 para que B  A  7 donde:

figura

7

19. Si A = B = C = 10N Determine el módulo de: I A-B-C I

e) 50 7

3A+2B =30 y

13. En el siguiente grafico determine el ángulo

A

-3

60º

d) 40 7

5

2A

B

x

60º

c) 30 7

e) 10 3

A=5 a) 120° b) 45° c) 150° d) 60° e) 90°

B

b) 20 7

e) 2,3

20. Determine el ángulo  para que el módulo de la resultante de fuerzas sea cero.

60º 3A+2B

17. Para el sistema mostrado determine la resultante. 5N a) 4 3 N 5N b) 5 3 72º 168º c) 6 3

10 5

 50

10 10

83

La previa.. PRE - U PRÁCTICA 5

z 20j y

x

1. Dados los siguientes vectores hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados si: F = 3 D = 4 siendo F y D perpendiculares A a) 10 F b) 20 E c) 30 B d) 40 D e) 50 C

2. Si

BE 

a) 3 b) 2 c) 5 d) 7 e) 11

3 3

hallar el vector resultante. B

E

3. Hallar el Módulo de la resultante para los vectores mostrados F a) F C b) 2F c) 3F E A d) 4F B D e) 5F

4. En el hexágono regular de lado “L” determine la resultante de los vectores mostrados a) 2L b) 4L c) 6L d) 8L

a) 1.5 b) 7 c) 9 d) 11 e)13

C D 30º B

A

5. Hallar el módulo de la resultante para los vectores mostrados a) 60cm b) 70cm c) 80cm d) 90cm 10cm e) 1m 6. Determine la resultante en base al conjunto de vectores mostrados si : R=p-q+m-d+s a) 2(m-q) d b) 3(m-q) m c) 4(m-q) s d) 5(m-q) q e) NA p

7. Si C  3 Hallar el módulo de la resultante si: R =A – B +2C – 2D

8. Determine el módulo del vector resultante de los vectores mostrados si se sabe que : AB =2AC =20cm (AB es el diámetro de la circunferencia. a) 14.6cm b) 24,6 30º A B 60º c) 34,6 d) 44.6 e) 54.6 C

9. Hallar el vector “X” en función de AyB a) A+B

A

2

b) A+B c) 2A - B d) 3B+A/3 e) A + 2B

X

B

84

10. Determine “X” en función de A y B a) b) c) d)

2A-B 3 2B-A 3 B-2A 3 2A-B 2

A

a) 5A/2 b) 3A/2 c) 2A d) 2A/3 e) 2A/5

2m

G

X m

B

14. Hallar “X” en función de A y B si M es punto medio de su respectivo lado

e) A-2B/2

a) 11. Hallar la resultante en función de “X” si se tiene un cuadrado de lado L. a) X(1+ 2)

b) c)

b) X(1- 3)

c) 2X(A - B) d) X(2 A- 3B) e) NA

A

A

d)

X

2A-B 6 B-A 3 B-2A 3 2A-B 3

A G

X B M

e) A -3B B

12. Expresar “x” en función de A y B. a) (A + B)/3 M b) 2/3 (A + B) c) 2( A +B) A X d) A – B e) 3/2 (A + B B

N

13. En el triángulo G es el baricentro Expresar la resultante en función del vector “A”

15. En una experiencia de fuerzas los vectores quedan según la figura mostrada. Hallar el módulo de la resultante a) 6 b) 9 c) 7 2 d) 3 3 e) 3 5

2

5

16. Hallar el módulo del vector resultante Si: b = 3 d = 4 e = 5 c a) 34 d b b) 29 a c) 19 d) 14 45º 60º e e) 8 17. Si a = b = 2N que valor debe tener el ángulo para que la resultante tenga como módulo 4N a) 30° e b) 60° a d c) 45° c  d) 120° b e) 150° 18. En el gráfico mostrado determine el valor de la resultante. a) 0 5 7 b) 5 3 c) 12 d) 13 1 e) 17

85

19. Determine el módulo del vector resultante de los vectores mostrados. a) 2a b) 3a c) 4a a d) 5a e) 6a 20. Determine el módulo del vector resultante si el lado del cuadrado tiene un valor “a” . a) a b)2a c) 2a 2

24. Determina el módulo del vector, resultante del sistema de vectores mostrado. el cubo tiene una arista de longitud 1u.

z 4

M

2

y

a)

3u

b) 2 u 6

N

x

a)  B   - ;

b)    - 1 ; -2 ; 1  B  3 3 3

c)    - 2 ; -5 ; 1  B  3 3 3

d)  B   - 2 ; -2 ; 4 



2 -2 1  ;  3 3 3

 3 3 3

e) NA.

c)

5u

d)

6u

e)

4u

25. Encontrar el módulo de la suma de los siguientes vectores mostrados sabiendo que el cubo es de lado L. B

d) 3a 3

23. La figura muestra un cilindro recto de radio R y altura H. Desde el centro de la base se construyen 12 vectores que terminan en los doce puntos A,B,C... equidistantes entre si de la cara superior. Determina el módulo de la resultante de estos vectores. K J M L H

e) 4a

21. En la figura encuentre

A  B z

a) 2 13

A

b) 3 13 2

c) 4 13 d) 2 e) 3

A

B

4

y

3 x

22. Usando el sistema de ejes x, y, z encuentre el vector unitario de “NM”.

a) 10H b) 11H c) 12H d) 13H e) 14H

B

C

D

E

F

G

a) L 2

C G

A

b) 2L 2 c) L 5 d) L

D

O

e) 3L

F

E

26. Determine el módulo del vector resultante de los vectores mostrados.  A  3u B A

30°

50° c

D

86