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Módulo 1 -

2015

Lic. Manuel Manay

INTRODUCCIÓN: Es verdaderamente importante que reconozcas que en la naturaleza algunos fenómenos físicos requieren algo más que números y unidades físicas para quedar plenamente explicados. Te preguntarás: ¿Qué se puede usar, además de los números y unidades, para detallar los fenómenos?. La respuesta es el vector, y las magnitudes físicas que lo necesitan se llaman magnitudes vectoriales, las mismas que tienen en esencia dos características especiales: a)

a)

Dirección Característica que nos indica de donde hacia a dónde se orienta un vector, lo que viene dada por la línea recta que pasa por dichos puntos. Esta recta queda definida por el ángulo q medido en sentido antihorario. b)

Módulo Llamado también intensidad, viene a ser el valor o medida de la magnitud vectorial representada. Cuando conocemos la escala (e) del dibujo y la longitud (l) del vector, el módulo viene dado por:

Tienen Módulo y Dirección: Ejemplo: Cuando decimos que un alumno experimenta un desplazamiento de 5m, debemos agregar desde dónde y hacia dónde. Sin estos datos no podríamos imaginar el movimiento.

b)

No cumplen con las leyes de la adición de números reales:

Ejemplo: Si decimos que dos personas empujan un mismo cuerpo con fuerzas iguales de 15 newtons, sin indicar la dirección de cada uno, el resultado puede ser variable. Así por ejemplo: Si se aplican los dos hacia un mismo lado, el resultado será equivalente a aplicar una fuerza de 30 newtons. Sin embargo, si estas fuerzas se aplican en una misma recta pero en direcciones opuestas, el resultado sería como no aplicar fuerzas, es decir la resultante es 0 newtons. Así pues, la resultante de las fuerzas depende de la orientación de éstas.

V  le Notación vectorial:

Vector:

       AB  V

     AB  V  V

Módulo:

Notación General:

    V  V  . ...(  =Ángulo Direccional) Representación Gráfica De Un Vector:

L ín e a d e A c c ió n

M ó d u lo V 15N

V

R = 30N

D ire c c ió n

15N

 15N

L ín e a d e R e fe r e n c ia

15N

Tipos de Vectores Colineales.- Si se encuentran sobre la misma línea de acción.

1.

A

VECTOR Designamos con este nombre a aquel elemento matemático, indicado por un segmento de recta orientado, que nos permite representar gráficamente a una magnitud vectorial. Dado que este texto atiende el aspecto básico del curso, diremos que los elementos de un vector son:

B

C

Línea de Acción

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1

Concurrentes.- Si sus líneas de acción concurren en un mismo punto. A

A

B

C

A

Punto de Concurrenc ia

A

Todo vector puede trasladarse sobre un plano en forma paralela, sin alterar ninguno de sus elementos.

Paralelos.- Cuando las líneas de acción son paralelas

A



B

C 

A, B

y

C

son

paralelas. Multiplicación de un Vector por un Escalar Si el número es positivo

V. Opuesto.- Son iguales en tamaño (Módulo) pero

2A A

–A

x2

A

 V. Iguales.- Si sus 3 elementos son iguales (módulo, dirección y sentido).



| A |  8

B

 |A|  |B| 





  



| B |  4



1 |– B|  2



1 B 2

AB  S AB  D

Si A

es nulo, entonces | A |  0 . Observación:

–

La suma o resta de 2 ó mas vectores da como resultado otro vector.

 Sentido de  Sentido de  A B 

Vector Nulo: Es aquel que tiene como módulo al cero.

| 2B | 

1 A|  2

2B

x (-2)

B



|

| 2A | 

Si el número es negativo

A



1 A 2

Para números positivos: Mayores que 1: Crece y se mantiene el sentido.

De lo dicho anteriormente podemos concluir:

Menores que 1: Decrece y se mantiene el sentido. Para números negativos: Cambia de sentido.

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2

SUMA DE VECTORES O VECTOR RESULTANTE Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por un único vector llamado

R

2. Métodos para Hallar el Vector Resultante Para vectores paralelos y/o colineales En este caso se consideran como si fueran simples números reales. Ejemplo: Hallar el vector resultante en los siguientes casos:

B

A

EXPRESIÓN CARTESIANA DE UN VECTOR:

Si x e y son las componentes rectangulares de un vector     V , entonces su expresión cartesiana se denotará como: V = (x;y), llamado par ordenado. Asimismo puede establecerce la siguiente identidad.

  V  (x;y)  xi y  j

Ejemplo: De la figura podemos afirmar que: B

A

< >R

 c

| A |  2

Y

|R| 

A

B

|B|  3

A

E |E|  2







X

O

–5

3 C

R

C |C|  5



3 B

D |D|  1

|A|  1

(3 ;4 )

4

( – 5 ;3 )

+ 6 i– 3 j

|R| 



  A  3i 4  j  (3;4)   B  5i 3 j  (–5;3)   C  6i– 3 j  (6;– 3)

Para Vectores que forman un ángulo entre sí

Método del Polígono: Consiste en colocar un vector a continuación del otro.

SUMA

DE

VECTORES

PARALELOS

Y/O

COLINEALES

B

A

C

Ejemplo: Hallar el vector resultante para el sistema de vectores.

B

A

C

A

R  AB C

D

Cierra el polígono Observación: R  A  B  No se cumple: Si: | A |  2

E Si: A = 2

B = 3

E = 3

F = 5

F C = 1

D = 1

Solución: En este caso procedemos del siguiente modo: Los que tienen el mismo sentido se suman, es decir:

| B | 3

 R  5 (Falso)

A, C y F : A  C  F  2  1  5  8 ( )

Sólo se cumple si son colineales o paralelos y con el mismo sentido.

B, D y E : B  D  E  3  1  3  7 ()

Luego R = 8 - 7 = 1() (Sentidos opuestos se restan).

La suma o resta de 2 ó mas vectores da como resultado otro vector. AB  S

C

B

AB  D

Resuelve: A

B

C

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D

E

3

Si: cos 60º 

Si: A = 4

B = 2

C = 1

A= 3

D = 7

E = 5

60º B= 5

Solución: Método del Paralelogramo Este método se usa cuando dos vectores forman un ángulo diferente de cero entre sí. Ejemplo:

1 2

Observación.: Si:  = 0º 



A

A la resultante obtenida se le conoce como: ____

A



B



Rmáx =

Solución: Si:  = 180º 

 

B

En este caso vamos a trasladar a uno de los

B

A

A la resultante obtenida se le conoce como: ____________

vectores en forma paralela para que su punto inicial concuerde con el otro.



A

Rmín =

Si:  = 90º (Vectores Perpendiculares)



 B



Ahora trazaremos paralelas a cada vector a



Ejemplo: Si: Rmáx = 7 y Rmín = 1 para dos vectores. Hallar el módulo del vector resultante cuando dichos vectores son perpendiculares.

B R A  B

¡Ten cuidado!

R

A Teorema de: ________________

A

Recuerda:

R

B

partir de los extremos (punto final del vector) y la figura formada se llama: _________

Si: A = 3 B = 5  R = 8 (¡Falso!)

Solución:



Si dos vectores tienen módulos iguales:

Esto no se cumple siempre. Si deseamos obtener el módulo del vector resultante usaremos:

  2 2 R  A  B  2A  B  C os

2 Ejemplo1:

Ejemplo:

Hallar el módulo del V. Resultante

R

x

En este caso, R divide al ángulo en dos iguales, es decir, es una bisectriz.

x

Hallar el módulo de R en función de x.

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4

El módulo de la resultante se determinará mediante: Cuando:

R

x

      0  C os0  1  R  A  B : R M áx

R R ==

  2 2   90  C os90  0  R  A  B

60 º x

      180  C os180  –1  R  A – B : R M in

R

R R ==

x

Ejemplos: 1. Se tienen dos vectores del mismo tipo cuyos módulos son

x

de 18u y 7u respectivamente. ¿Cuál es el módulo de su máxima y mínima resultante? Resolución:

R

x

R

A2  B 2

120º

El módulo de la máxima resultante se determina sumando los módulos de los vectores, entonces:

R M áx  18u  7u

x 

 R M áx  25u

DIFERENCIA DE VECTORES ( D ) El módulo d

e la mínima resultante se determina restando los módulos de los vectores, entonces:

D

A

R M ín  18u  7u

D  AB



 R M ín  11u

B D

A2  B 2  2 AB cos  Propiedad:

Método del Paralelogramo: Consiste en determinar el vector resultante de dos vectores del mismo tipo que se encuentran en un plano y que presentan el mismo origen. A continuación se construye un paralelogramo a partir de los vectores dados, trazando paralelas a cada uno de los vectores a partir de los extremos de los mismos. El vector resultante: viene dada por la diagonal que une el origen común a los vectores dados con la intersección de las rectas paralelas trazadas

B

R



Para dos vectores cuyos módulos son A y B, de manera que formen entre sí un ángulo cuya medida se encuentra en 0° y 180° se cumple que el módulo de su resultante R:

R M in  R  R M ax A – B  R  A B 2. Se tienen dos vectores del mismo tipo cuyos módulos son de 20u y 15u respectivamente. ¿Cuál no podría ser el módulo de su resultante? A) 28m

B) 17m

D) 40m

E) 12m

C) 14m

Resolución:

A De la propiedad anterior:

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5

R RMáx: A + B = 35u

B

RMín: A – B = 5u

A

Entonces:

5u  R  35u

Trasladando a

A

B R

3. Se tienen dos vectores del mismo tipo cuyos módulos son de 5u y 3u respectivamente. Determine el módulo de su resultante cuando el ángulo que forman entre sí tiene una medida de 60°. Resolución: Sean A y B tal que formen entre sí 60°. De la ecuación:

  2 2 R  A  B  2A  B C os Reemplazando:   2 2 R  5  3  2 (5) (3)  1 2   R  25  9  15   R  49   R  7u

De los dos últimos gráficos podemos concluir que en la adición de vectores cumple con la ley CONMUTATIVA

        ABBA Ejemplos: 1.

Para el sistema de vectores dados determine el vector resultante.

C A

B

Método del Triángulo: Es un método gráfico que se sustenta en el método del paralelogramo, en la cual consisten en trasladar paralelamente a uno de los vectores para que estos se encuentren uno a continuación del otro, de tal manera que la resultante de ellos es el vector que cierra el triángulo.

B

Resolución: Para todo sistema de vectores el vector resultante siempre se determina sumando los vectores del sistema:

        R  A  B  C  (1)     Del gráfico A y B son vectores consecutivos y por tanto   C es la resultante de estos dos:

R

      C AB A Trasladando a :

Reemplazando en (1):

      RCC

    R  2C

DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR

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6

Ahora vamos a reemplazar a un vector por otros 2 que sean perpendiculares llamados _________________________. Además en todo triángulo rectángulo se cumple:

y

a y b: Catetos

c

A

b

Ay



c2 = a2 + b2

a

Teorema de Pitágoras

x

 c

Donde:

c: Hipotenusa

Ax : Componente de A en el eje x. A y : Componente de A en el eje y.

Ejemplo: Hallar las componentes de

A

sobre los ejes

perpendiculares.

A= 25 37º

En forma práctica: Usa triángulos rectángulos Ax 

y

Ay 

A

Ay



x Ax

RECUERDA:

Observación.: Recordemos algunos triángulos notables:

“Según vamos adquiriendo conocimiento, las cosas no se hacen más comprensibles, sino más misteriosas.” Albert Schweitzer (1875-1965)

5 K 37º

53º

3 K

2 K 30º

45º K

K

K 3

4 K

K 2

60º

45º

para el futuro”

K

25K

74º

7 K “Forjando Generaciones con Fe, Conocimiento y Servicio para hoy y 16º 7 24K

7. Determina: R  2A  B

Si :

| A | 3

| B | 5

A

B

a) 13 b) 8 c) 11 8. Determina: Si : a) 7 b) 14 c) 11 d) 10 e) 6

ANÁLISIS VECTORIAL: EJERCICIOS

NIVEL I:

| D | 4

C D

R  2A  3B  C

Si : a) 12 b) 17 c) 5 d) 11 e) 7

3 8 7

2. Determina la resultante de los vectores mostrados: a) 17 3 b) 1 6 c) 11 8 d) 5 e) 7 3. Determina la resultante: a) 20 6 b) 6 c) 2 7 d) 8 e) 14

4 3

4. Determina la resultante de los siguientes vectores: 10 3 a) 9 b) 21 2 c) 17 6 d) 3 e) 15 5. Halla R  A  B  C Si: | A | 4 | B | 3, | C | 5 A B

C a) 2

R  2C  D

| C | 3

9. Determina la resultante:

1. Determina la resultante: a) 18 b) 12 c) 2 d) 4 e) 6

d) 6 e) 5

b) 6 c) 12

| A | 4

| B | 3

| C | 6

A B

C

10. Determina:

R  3 A  B  2C

Si : | A | 4 | B | 5 a) 9 A b) 33 c) 1 B d) 23 C e) 17 11. Determina la resultante:

| C | 8

9

a) 12 b) 0 c) 5 d) 13 e) N.A.

6

6

4

12. Determina la resultante : a) 10 b) 8 c) 15 d) 3 e) N.A.

4 9

6

4

13.- En el sistema mostrado, halla : “B”, si la resultante es vertical.

d) 8 e) 4

A

6. Halla: R  A  B  C Si: | A | 7 | B | 4 | C | 6

3 12

A B

B

C a) 5

b) 13

6

c) 9 d) 3 e) 17 a) 15

b) 9

c) 6

“Forjando Generaciones con Fe, Conocimiento y Servicio para hoy y para el futuro”

8

d) 12

e) 7

c) 3e d) Cero e) 2a

14.- En el sistema siguiente, halla : “x”, si la resultante es horizontal.

x

20.

18

C

9

a) 9 d) 7



b) 12 e) 2

c) 18

En los siguientes casos hallar el vector

15. 2d

d

a 2a

a

c

2b

b

c

2c

d)

2(b  c)

e)

bc

a) b) c) d)

c

a

2b

d

c

b

21.

resultante. a) b) c) d) e)

c

a) b) c)

e)

d

a

cd

b

c

2c  d

d

2(c  d)

22. En los siguientes casos hallar el módulo del

V. Resultante:

16.

a) b) c) d) e)

b

b

2c

a

3c

c

2a 3a

17.

a) b) c) d) e)

3c 3d

c

a

b

 = 3 cm

c) 

c

 = 5 cm

d) 

d

 = 2 cm

a

c

b







 d

b) 2

2

c) 4

18.

d) 5

a) 2c b) 2b c) Cero d) b e) 2d

a c d

2b

b

a

3c

c

2

e) 6

b

19.

a) b)

b) 

a) 3

f

2b

 = 6 cm

23.

e

d

3f

a

e) 6 cm

b

2a

a) 

24.

a) 2 b) Cero c) 5 d) 3

b

| a |  2 | b |  1

c

a

| c |  4 | d |  6

d

“Forjando Generaciones con Fe, Conocimiento y Servicio para hoy y para el futuro”

d

e

9

e) 4 25.

a) 2 cm b) 3 cm c) 5 cm

5 cm

3 cm

d) 4 cm e) 8 cm 26.

32. Hallar

a) 2 cm b) 3 cm c) 6 cm

b) a c)  a d) b e) f 31. Si la Rmáx de 2 vectores es 17 y la resultante mínima 7. Hallar el módulo de dichos vectores. a) 2 y 5 b) 10 y 7 c) 5 y 12 d) 8 y 9 e) 13 y 4 el

cos 60º 

4 cm

d) 4 cm 27.

a) 2 cm 5 cm

b) 5 cm

del

V. Resultante:

1 1 ; cos 120º   . 2 2

a) 10 b) 11 10 120º c) 12 d) 13 6 e) 14 33. Hallar el módulo del V. Resultante:

6 cm

e) 10 cm

módulo

c) 7 cm a) 8 b) 2 c) 7 d) 15 e) 14

d) 8 cm e) 10 cm 28.

a) 2 cm b) 4 cm

a) 10 b) 12

d) 10 cm e) 12 cm 29.

c)

5 3

d)

4 3

e) 8

a) 9 cm 6 cm

3 cm

c) 10 cm d) 7 cm

a d

f g

60º 3

4 3 3

4 3

4 3 4 3

60º

60º

5

b

e

para el futuro”

4 3

a) 17 b) 13 d) 12 e) 14

e) 14 cm a) Cero

20º

35.

c)

7 cm

30. Hallar R

3

80º

34.

4 cm

c) 8 cm

b) 16 cm

5

i

“Forjando Generaciones con Fe, Conocimiento y Servicio para hoy y c

h

10

36. El módulo del vector

es 100N. Hallar el módulo de su componente en el eje de las ordenadas. y V

a) 50N b)

50 3

30º

c) 60

O

x

6

a) 0 b) 6 c) 8 d) 6

2

e) 2

13

4

42. Si el lado del cuadrado es 6 unidades. Halla el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados.

V

d) 80

a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 30

e) 90

4

2

6

37. Del problema anterior. Hallar el módulo de

la componente en el eje de las abcisas. a) 50N b) 60N c) 50 3 d) 80 e) 90

43. Determina el módulo y dirección del vector resultante. a) 12u b) 15 c) 15 d) 21 e) 21

38. Hallar la magnitud de la resultante.

y a) 40 cm 80 b) 50 cm c) 55 28 d) 60 37º cm x e) 75 39. Halla el módulo de la resultante de los vectores mostrados: a)

10 6

b)

10 19

c)

10 13

d)

10 29

y

20 2 m

50 m 45º

37º

e) 50 40. Calcular la magnitud de la resultante. y 10 a) 1

x

2

d)

2 2

53º

5 7

3u

44. Se tiene dos vectores coplanares de módulos 4u y 2u. Que ángulo deben formar entre si para que el módulo de su vector suma sea 28 u. a) 45º b) 30º c) 53º d) 60º e) 37º 45. Se tiene dos vectores de módulo 5u y 8u calcula la resultante cuando ambos vectores formen un ángulo de 120º. a) 3u b) 5u c) 7u d) 9u e) 8u 46. La mínima resultante de dos vectores es 3u. Cuando forman 60º entre sí su resultante es 93 . Calcula el valor de los vectores a) 12 y 9 b) 8 y 5 c) 7 y 4 d) 6 y 3 e) N.A 47. En el sistema vectorial mostrado, hallar el módulo del vector resultante. El lado de la cuadrícula es igual uno.

b) 2 c)

M 4u

x

e) 3 41. Calcula el módulo de la resultante de los vectores indicados.

    

0 1 2 3 4

 c

 b

 a

 d

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11

48. Encontrar el módulo de la suma de los vectores: AO , AB , OC y CG , sabiendo que el cubo es de lado L: B

a) L 2 b) 2 L 2 c) L 5 d) L e) 3L

A

C

G D

O F

E

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