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Ley de Gauss Adaptado de SERWAY RAYMOND A, JEWETT JOHN W. FÍSICA para ciencias e ingenierías, Volumen II. Sexta Edición. México. Thomson. 2005.

En las clases anteriores mostramos cómo calcular el campo eléctrico generado por una distribución de cargas dada. En lo que sigue describimos la ley de Gauss, así como un procedimiento alterno para calcular los campos eléctricos. La ley se basa en el hecho de que la fuerza electrostática fundamental que existe entre cargas exhibe un comportamiento cuadrático inverso. A pesar de que se trata de una consecuencia de la ley de Coulomb, la ley de Gauss es más conveniente para calcular los campos eléctricos de distribuciones de carga muy simétricas y permite hacer útiles razonamientos cualitativos al tratar problemas complicados.

1. Flujo eléctrico E El concepto de líneas de campo eléctrico se describió de manera cualitativa anteriormente. Ahora nos ocuparemos de las líneas de campo eléctrico con un enfoque más cuantitativo.

Figura 1. Líneas de campo que representan un campo eléctrico uniforme penetrando en un plano de área A perpendicular al mismo. El flujo eléctrico E que pasa a través de esta superficie es igual a EA.

Imagine un campo eléctrico uniforme tanto en magnitud como en dirección, como el que se muestra en la figura 1. Las líneas de campo penetran en una superficie rectangular de área A, cuyo plano está orientado perpendicularmente en relación con el campo. Recuerde que el número de líneas por unidad de área (en otras palabras. la densidad de líneas) es proporcional a la magnitud del campo eléctrico. Por lo tanto, el total de líneas que penetran en la superficie es proporcional al producto EA. A este producto de la magnitud del campo eléctrico E y el área superficial A perpendicular al campo se le conoce como flujo eléctrico E (phi mayúscula):

Con base en las unidades del SI correspondientes a E y A, vemos que E se expresa en newton metros al cuadrado por coulomb (N.m 2 /C).

El flujo eléctrico es proporcional al número de las

líneas de campo eléctrico que penetran en una superficie.

E = EA

(1)

Figura 2. Líneas de campo que representan un campo eléctrico uniforme que penetra en un área A que se encuentra formando un ángulo en relación con el campo. Debido a que el número de líneas que pasan a través del área A′ es el mismo al número que pasa a través de A, el flujo a través de A′ es igual al flujo que pasa a través de A y está dado por

Si la superficie en cuestión no es perpendicular al campo, el flujo que pasa a través de él debe ser menor que el que resulta si se utiliza la ecuación (1). En la figura 2 dado que el flujo que atraviesa A es igual al flujo que atraviesa A′, podemos concluir que el flujo que pasa a través de A es

E = E A′ = E A cos θ

A partir de este resultado, vemos que el flujo que atraviesa una superficie de área A fija tiene un valor máximo EA cuando la superficie es perpendicular al campo (cuando la normal de la superficie es paralela al campo, esto es, = 0 en la figura 2); el flujo es cero cuando la superficie es paralela al campo (cuando la normal de la superficie es perpendicular al campo, esto es, = 90º).

2

(2)

Hemos supuesto un campo eléctrico uniforme en el análisis precedente. En situaciones más generales, el campo eléctrico puede variar a lo largo de una superficie. Por lo tanto, nuestra definición de flujo dada en la ecuación (2) tiene significado sólo a lo largo de un pequeño elemento de área. Considere una superficie dividida en un gran número de elementos, cada uno de área

A. La variación en el campo eléctrico a lo largo de un elemento puede despreciarse si éste es suficientemente pequeño. Es conveniente definir un vector Ai cuya magnitud representa el área del elemento i sobre la superficie y cuya dirección está definida como perpendicular al elemento de superficie, como se muestra en la figura 3.

Figura 3. El campo eléctrico E en la ubicación de este elemento forma un ángulo con el vector Ai. El flujo eléctrico E través de este elemento es

Haciendo la suma de las contribuciones de todos los elementos, obtenemos el flujo total a través de la superficie. Si suponemos que el área de cada elemento se acerca a cero, entonces el número de elementos se acercaría al infinito y la suma se reemplaza por una integral. Por lo tanto, la definición general del flujo eléctrico es

(3)

La ecuación (3) es una integral de superficie, lo que significa que debe ser evaluada sobre la superficie en cuestión. En general, el valor de E depende tanto del patrón de campo como de la superficie.

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Figura 4. Superficie cerrada dentro de un campo eléctrico. Los vectores de área son, por regla convencional, normales a la superficie y apuntan hacia afuera. El flujo a través de un elemento de área puede ser positivo (elemento 1), cero (elemento 2) o negativo (elemento 3).

A menudo lo que nos interesa es la evaluación del flujo que pasa a través de una superficie cerrada, misma que se define como aquella superficie que divide el espacio en una región exterior y una interior, de manera que no es posible pasar de una región a la otra sin atravesarla. Por ejemplo, la de una esfera es una superficie cerrada. El flujo neto a través de la superficie es proporcional al número neto de líneas que salen de la superficie, donde número neto significa la cantidad de líneas que salen de la superficie menos la cantidad de líneas que entran. Si están saliendo más líneas que las que entran, el flujo neto es positivo. Si entran más líneas que las que salen, el flujo neto es negativo. Si utilizamos el símbolo para representar una integral sobre una superficie cerrada, podemos decir que el flujo neto

E a través de una superficie cerrada es de la forma

(4)

4

donde En representa el componente del campo eléctrico normal a la superficie. Si el campo es normal a la superficie en cada uno de los puntos y de magnitud constante, el cálculo es sencillo, como fue en el caso del ejemplo 1. El ejemplo 2 también ilustra esto mismo.

2. Ley de Gauss

En esta sección describimos una relación de tipo general entre el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada (a menudo llamada superficie de Gauss) y la carga encerrada por la superficie. Esta relación, conocida como la ley de Gauss, es de importancia fundamental en el estudio de los campos eléctricos.

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Figura 6. Superficie gaussiana esférica de radio r que rodea una carga puntual q. Cuando la carga está en el centro de la esfera, el campo eléctrico es normal a la superficie en todos los puntos y de magnitud constante.

Supongamos de nuevo una carga puntual positiva q localizada en el centro de una esfera de radio r, como se observa en la figura 6. Sabemos que la magnitud del campo eléctrico en todos los puntos de la superficie de la esfera es E = k e q/r2 . Como fue posible observar en el ejemplo 1, las líneas de campo están dirigidas radialmente hacia afuera y por lo tanto son perpendiculares a la superficie en todos sus puntos. Esto es, en cada punto de la superficie, E es paralelo al vector

A i

que representa un elemento de área local

Ai que rodea al punto en la superficie. Por lo

tanto,

y de la ecuación 4 encontramos que el flujo neto a través de la superficie gaussiana es igual a

Recordando que

podemos escribir esta ecuación de la forma

(5)

6

Observe en la ecuación 5 que el flujo neto a través de la superficie esférica es proporcional a la carga existente en el interior. El flujo es independiente del radio r porque el área de la superficie esférica es proporcional a r2 , en tanto que el campo eléctrico es proporcional a 1/r 2 . En consecuencia, en el producto del área y el campo eléctrico, se elimina la dependencia sobre r.

La ley de Gauss, que es una generalización de lo que acabamos de describir, dice que el flujo

neto a través de cualquier superficie cerrada es

(6)

donde qin representa la carga neta en el interior de la superficie y E el campo eléctrico en cualquier punto de la misma.

En teoría, la ley de Gauss puede ser resuelta en función de E para determinar campo eléctrico debido a un sistema de cargas o a una distribución continua de la misma. En la práctica, sin embargo, este tipo de solución sólo es aplicable a un número limitado de situaciones muy simétricas. Por lo general utilizaremos la ley de Gauss para evaluar el campo eléctrico para distribuciones de carga con simetrías esféricas, cilíndricas o planares. Si es posible elegir con cuidado la superficie gaussiana que rodea a la distribución de cargas, se puede conseguir simplificar la integral de la ecuación 6.

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3. Aplicación de la ley de Gauss a varias distribuciones de carga Como se dijo antes, la ley de Gauss es útil para determinar campos eléctricos cuando la distribución de carga está caracterizada por un alto grado de simetría. Los ejemplos siguientes muestran maneras de escoger la superficie gaussiana que permite que la superficie integral dada en la ecuación 6 sea simplificada y el campo eléctrico determinado. Al seleccionar la superficie, debemos siempre aprovechar la simetría de la distribución de la carga de manera que podamos eliminar E de la integral y resolverla. El objetivo en este tipo de cálculo es encontrar una superficie que satisfaga una o más de las condiciones siguientes:

1. El valor del campo eléctrico puede demostrarse por simetría, que es constante sobre la superficie.

2. El producto punto de la ecuación 6 se puede expresar como un producto algebraico simple E dA, ya que E y dA son paralelos entre sí.

3. El producto punto de la ecuación 6 es cero, ya que E y dA son perpendiculares entre si. 4. Se puede demostrar que el campo es igual a cero sobre la superficie.

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Cuestiones

1. Suponga que el radio de la esfera del ejemplo1 se modifica a 0,500 m. ¿Qué le ocurre al flujo a través de la esfera y a la magnitud del campo eléctrico en la superficie de la misma? (a) Tanto el flujo como el campo se incrementan. (b) Tanto el flujo como el campo se reducen. (c) El flujo se incrementa y el campo se reduce. (d) El flujo se reduce y el campo aumenta. (e) El flujo se conserva igual y el campo aumenta. (O El flujo se reduce y el campo se conserva igual.

2. En una región del espacio libre de carga, se coloca un recipiente cerrado en un campo eléctrico. Un requisito para que el flujo eléctrico total a través de la superficie del recipiente sea cero, es que (a) el campo debe ser uniforme, (b) el recipiente debe ser simétrico, (c) el recipiente debe estar orientado de una manera especial o (d) el requisito no existe, ya que el flujo eléctrico total es cero en cualquiera de los casos.

3. Si el flujo neto que pasa a través de una superficie gaussiana es cero, las siguientes cuatro declaraciones podrían ser verdaderas. ¿Cuál de ella es cierta? (a) No hay cargas dentro de la superficie. (b) La carga neta dentro de la superficie es cero. (c) El campo eléctrico es cero en cualquier lugar de la superficie. (d) El número de líneas del campo eléctrico que entra a la superficie es igual al número que sale de ella.

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