• Author / Uploaded
• Esau Sibaja Gonzalez

Citation preview

1.8 LEY DE GAUSS. Antes de iniciar el análisis de cuerpos cargados, es importante primeramente hacer la consideración del flujo Φ que es una propiedad de todos los campos vectoriales. La palabra flujo se deriva del latín fluere (que fluye). El siguiente esquema muestra un campo uniforme estacionario del flujo de un fluido (p. ej. Agua), representado por un vector de flujo constante V que es la velocidad constante de fluido en cualquier punto del esquema. R

Ab

θθ V

V

Aa a)

b)

c)

d)

La figura representa una superficie hipotética de radio R y área Aa sumergido en un campo de flujo, en ángulo recto con V. Se ha representado la superficie (el área de) como un vector perpendicular a la superficie y de magnitud Aa. El flujo a través de la superficie es:

v , a  vAa dondeρ la densidad del fluido (kg/m3) Esta ec. representa la cantidad de fluido que pasa por la superficie por unidad de tiempo. En forma vectorial: v ,a  VAa (Campo vectorial constante) La figura b) es un área plana, cuya área proyectada: Abcos θ es igual a Aa. Por lo tanto:

v ,a  v ( Ab cos  )  vAb (campo vectorial constante) La fig. c) representa una superficie curva hipotética, cuya área proyectada también es igual a  r ,e   v , a . Aa; y La fig. d) representa una superficie cerrada y por lo tanto el flujo Φ v,d = 0ya que la cantidad de fluido que entra por la izquierda, sale por la derecha.

Para superficies cerradas en un campo eléctrico, ΦE es positivo si las líneas de fuerza apuntan hacia fuera y negativo si apuntan hacia adentro. La figura anterior muestra dos cargas iguales de signos opuestos. Las curvas s 1, s2, s3 y s4 son intersecciones con el plano de la figura. Relacionando ΦE con la figura anterior: ΦE es positivo para S1, negativo para S2, cero para S3. Para S4 = 0 ya que Σq = 0. Superficie hipotética en un campo eléctrico no uniforme.

x)

y) Fig.Superficie de forma arbitraria inmerso en

z)

un campo Eléctrico no uniforme E. La superficie se divide en pequeños segmentos de área ΔA.

En x, θ › 90º (E apunta hacia adentro). En y, θ = 90º (E es paralelo a la superficie). En z, θ ‹ 90º (E apunta hacia afuera). Una definición aproximada de flujo es:

 E  E.S

……..1 En x, la contribución del flujo es negativo, en y es cero y en z es positivo. Si θ ‹ 90º, E.ΔS es positivo y ΦE para la superficie completa será positivo (S 1). Si E apunta hacia adentro θ › 90º, y E.ΔS será negativo y ΦE para la superficie será negativo (S 2). De la ec. 1, en SI ΦE =(Nm2/C2). De la definición exacta, el flujo eléctrico se encuentra en el límite diferencial de la ec. 1. Reemplazando la suma sobre la superficie por una integral sobre la superficie:  E   E.ds laec. indica que la superficie se divide en elementos infinitesimales de área ds y que E.ds se calcula para cada superficie y la suma forma la superficie completa. PARA UN CILINDRO SIN CARGA.

Fig. Cilindro cerrado inmerso en un campo eléctrico E paralelo a él.

Para la tapa a:  E   E.ds   E.ds  E  ds  E. A cos   E. A cos 180º  E. A.( 1)   E. A

Para la tapa c:  e   E.ds  E. A cos   E. A cos 0º  E. A(1)  E. A.

Para la tapa b:

 E.ds  E.A cos   E. A cos 90º  E.A(0)  0

por lo tanto: ΦE = -E.A +o + E.A = 0 El resultado indica que dentro de la superficie cerrada E = 0. Las líneas de E que entran por la izquierdas del cilindro, salen por la derecha. DEFINICIÓN: El número total de líneas de fuerza eléctrica que cruzan por cualquier superficie cerrada en una dirección hacia afuera es numéricamente igual a la carga total contenida dentro de  0  E.ds  q. esa superficie N = q. También indica que ε0. ΦE = q. ó

ESFERA.

fig. Superficie Gaussiana esférica que rodea a una carga puntual positiva q.

Para cualquier punto, E es normal a la superficie. Para la superficie Gaussiana, E y ds en cualquier punto, apuntan hacia fuera.

 0  E.ds  q;  0 .E  ds  q1 E

 0 .E.s  q1   0 .E.(4r ) 2

por lo tanto:

1 q1 . 4 0 r 2

y

Esta ecuación proporciona la magnitud E en cualquier punto que esté a r de la carga puntual aislada q1. Si se coloca una q2 en donde se determinó E, se puede obtener la fuerza con que interactúan dos cuerpos cargados. Para una LÍNEA INFINITA DE CARGA: +

h EE r + Para este tipo de elemento, la superficie Gaussiana toma la forma de un cilindro hipotético de radio r y longitud h, cerrado en cada extremo. E es constante sobre la superficie cilíndrica y perpendicular sobre la superficie. El flujo de E a través de la superficie es E(2π r h), donde 2π r h es el área de la superficie. En este caso, la densidad lineal de carga λ (C/m), para todos los puntos de la línea, es constante. Por simetría, E debido a una línea uniforme sólo se puede dirigir radialmente. La carga encerrada en la superficie Gaussiana es: λh = q. h  E  0  E.ds  q  0 .E.s  q   0 .E.2rh  h 2 0 rh 2 0 r Ó ; de donde: = .

PARA UNA LÁMINA INFINITA DE CARGA:

fig. Una superficie cerrada en forma de cilindro pequeño cerrado intercepta a una pequeña porción de una lámina infinita cargada.

La fig. muestra una porción de una lámina infinita, delgada, no conductora, cargada, de una densidad superficial de carga σ (carga por unidad de área). Se calcula el campo eléctrico en puntos cercanos a la lámina. La superficie Gaussiana conveniente es un cilindro cerrado de área de sección transversal A, penetrando en el plano. Por simetría se puede deducir que E apunta en ángulo recto respecto sobre las tapas. Puesto que E no penetra por las partes curvas del cilindro, no contribuye con el flujo sobre ellas. El flujo que atraviesa cada tapa es EA y es positivo en ambas. Aplicando la ley de Gauss:

 0  E.de  q

 0 ( E. A  EA)  A

peroq = σA entonces: A   0 2 EA  A;.. E   2 0 A 2 0

PARA UN CONDUCTOR CARGADO:

El conductor mostrado tiene una carga sobre su superficie, de densidad σ. E es normal a la superficie. Si no fuera normal tendría una componente que generaría una corriente superficial.E se puede determinar a partir de la superficie Gaussiana mostrada. E =0 dentro del conductor. La única contribución al flujo ΦE es en la superficie A exterior.

 0  E.ds  q

 0 E. A  A; E  pero q = σA ;

 0

PROBLEMAS. 1. Una esfera metálica de paredes delgadas tiene un radio de 2.5 cm y una carga de 2x10 -7 C. Determine E para un punto: a) dentro de la esfera. b) Ligeramente fuera de la esfera. c) A 3 m del centro de la esfera. B1, C1

2. Una esfera conductora cargada uniformemente tiene un radio de 24 cm y una densidad de carga superficial de +16 μC/cm2. ¿Cuál es el número total de líneas del campo eléctrico que salen de su superficie? B1, B2

4. El campo eléctrico justo sobre la superficie del cilindro de carga de una máquina de fotocopiado tiene una magnitud de 8.2x107 N/C. ¿Cuál es la densidad superficial de carga sobre el cilindro si éste es un conductor? E=

σ ε9

5. Una lámina con dimensiones de 66 mm x 104 mm tiene una carga de 145 pC. Determine el campo eléctrico a 4 cm de su superficie. B2

 0 2 EA  A;.. E 

A   2 0 A 2 0

6. En forma experimental se encuentra que el campo eléctrico en cierta región de la atmósfera de la tierra se dirige verticalmente hacia abajo. A una altitud de 300 m, el campo es de 60 N/C y a 200 m es de 100 N/C. Determine la cantidad neta de carga contenida en un cubo de 100 m de lado localizado entre 200 y 300 m de altitud. Desprecie la curvatura de la tierra. B1, B2

7. Una esfera conductora cargada uniformemente, de 1 m de diámetro, tiene una densidad superficial de carga de 8 C/m2. ¿Cuál es el flujo eléctrico total que sale de la superficie de la esfera?

8. La figura muestra una carga puntual de 1x10-7 C en el centro de una cavidad esférica con radio de 3 cm en una pieza de metal. Use la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico:

a) En el punto P1, a la mitad del centro de la superficie. b) En el punto P2.

9. Una línea infinita de carga produce un campo de 4.5x104N/C a una distancia de 2 m. Calcular la densidad lineal de carga. B1

 2 0 r

10. Una esfera conductora cargada uniformemente tiene un radio de 82 mm y una densidad de carga superficial de 24 μC/m2. ¿Cuál es el número total de líneas de campo eléctrico que salen de la esfera?

11. ¿Cuál es la intensidad de campo eléctrico a 13.5 m de la superficie de una esfera de 18 cm de diámetro que tiene una densidad de carga superficial de 112μC/m2?

13. Dos placas paralelas tiene 2 cm de ancho y 4 cm de largo. La intensidad del campo eléctrico formado entre las dos placas es de 10 000 N/C y se dirige hacia arriba. ¿Cuál es la carga en cada placa? B1 14. Una esfera de 18 cm de diámetro tiene 14μC de carga situada sobre la superficie. ¿Cuál es la intensidad de campo eléctrico: a) En la superficie? b) 8 cm por fuera de la superficie? c) Dentro de la esfera? 15. ¿Una carga puntual de 1x10-6 C está en el centro de una superficie cúbica de 50 cm de lado, cuánto vale  para la superficie?, B1 B2