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INSTITUTO TECNOLOGICO DE LAZARO CARDENAS Materia: Electromagnetismo. 1.3 Ley de Gauss . Equipo: 13

Inv.1.3.Ley de Gauss

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Contenido Introducción Definición Ley de Gauss Formula Campo eléctrico E próximo a un plano infinito de carga Campo eléctrico E próximo a una carga lineal infinita Campo eléctrico E en el interior y en el exterior de una corteza cilíndrica de carga Campo eléctrico E en el interior y en el exterior de un cilindro sólido de carga infinitamente largo • Ejemplo • • • • • • •

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Ley de Gauss Permite calcular de forma simple el campo eléctrico debido a una distribución de cargas cuando esta presenta buenas propiedades de simetría. En estos casos, suele resultar mucho más simple usar la ley de Gauss que obtener E por integración directa sobre la distribución de cargas.

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Definición. El número de líneas de campo que parten de una carga q0 es proporcional a dicha carga. De este modo, si una superficie cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el número total de líneas que pasan a través de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior.

Además, como se puede apreciar, el número de líneas debe ser independiente de la forma de la superficie que encierra a la carga. Entonces el significado de la ley de Gauss: el número de líneas de campo que atraviesan una cierta superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada en su interior. Inv.1.3.Ley de Gauss

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La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie recibe el nombre de flujo eléctrico, cuya definición es

El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada, que viene dado por

La figura muestra una superficie esférica de radio R con su centro en la carga puntual Q. El campo eléctrico en un punto cualquiera de la superficie es perpendicular a la superficie y tiene la magnitud.

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El flujo neto a través de esta superficie esférica es

E es constante en todos los puntos. La integral de dA extendida a toda la superficie es precisamente el área total, igual a 𝐴𝐴 = 4𝜋𝜋𝑅𝑅2 Sustituyendo

Se obtiene Si se trata de sistemas de más de una carga puntual Inv.1.3.Ley de Gauss

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Formula Ley de Gauss Constante de Coulomb k en función de la permitividad del vacío:

Entonces obtenemos:

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Campo eléctrico E próximo a un plano infinito de carga Densidad de carga uniforme 𝜎𝜎. Por simetría el campo eléctrico debe: - ser perpendicular al plano. - depender sólo de la distancia z del plano al punto del campo. - tener el mismo valor pero sentido opuesto en los puntos situados a la misma distancia por arriba y por debajo del plano Como E es paralelo a la superficie cilíndrica, no existe flujo que la atraviese. Puesto que el flujo que sale por cada cara superior o inferior es EA, el flujo total es

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La carga neta en el interior de la superficie es

A partir de la ley de Gauss

De donde

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Campo eléctrico E próximo a una carga lineal infinita Densidad de carga uniforme 𝝺𝝺. Por simetría el campo debe: - ser perpendicular al hilo. - depender sólo de la distancia r del hilo al punto. El campo eléctrico es, perpendicular a la superficie cilíndrica y posee el mismo valor E, en cualquier punto de la superficie. No hay flujo a través de las superficies planas de los extremos del cilindro El flujo eléctrico es, por tanto:

igual al producto del campo eléctrico por el área de la superficie cilíndrica. Inv.1.3.Ley de Gauss

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La carga neta dentro de esta superficie es

Según la Ley de Gauss

de donde

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Campo eléctrico E en el interior y en el exterior de una corteza cilíndrica de carga Densidad de carga superficial uniforme, 𝜎𝜎. a) Puntos interiores a la corteza Tomamos una superficie gaussiana cilíndrica de longitud L y radio r < R concéntrico con la corteza. Por simetría, el campo eléctrico es: -perpendicular a esta superficie gaussiana y -su magnitud Er es constante en todos los puntos de la superficie. El flujo de E a través de la superficie es, por tanto

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La carga total dentro de esta superficie es cero A partir de la ley de Gauss de donde b) Puntos interiores a la corteza Tomamos una superficie gaussiana cilíndrica de longitud L y radio r > R concéntrico con la corteza. El flujo vuelve a ser Pero la carga interior no sería nula, sino y según la ley de Gauss Inv.1.3.Ley de Gauss

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Campo eléctrico E en el interior y en el exterior de un cilindro sólido de carga infinitamente largo Densidad de carga 𝜌𝜌 distribuida uniformemente por todo el volumen del cilindro Lo mismo que en el caso de la corteza cilíndrica de carga tomamos una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud L, el flujo será a) Puntos exteriores al cilindro, es decir, si r > R, La carga total dentro de esta superficie es

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Y según la ley de Gauss

de donde b) Puntos exteriores al cilindro, es decir, si r < R, La carga total dentro de esta superficie es Ley de Gauss de donde Inv.1.3.Ley de Gauss

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Ejemplo • Una cáscara cilíndrica de radio 7,00 cm tiene su carga distribuida uniformemente sobre su superficie. La magnitud del campo eléctrico en un punto 19 cm radialmente hacia afuere de su eje (medido desde el punto medio del cascarón) es 36 kN/C. Use relaciones de aproximación para encontrar: (a) La carga neta(Qdentro) sobre el cascarón y (b) El campo eléctrico en un punto a 4 cm del eje, medido radialmente hacia afuera desde el punto medio del cascarón.

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Solución. Debido a que el punto a 19 cm es mayor que el radio de la cáscara cilíndrica entonces escogemos una superficie gaussiana de radio r y longitud L, fuera de la distribución como se muestra en la figura.

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• Campo eléctrico E próximo a una carga lineal infinita (a)

Aplicando ley de gauss

despejando Remplazando valores se tiene

𝝺𝝺= E(

𝝺𝝺=3.8𝑥𝑥𝑥𝑥−8

)=

𝐶𝐶 𝑚𝑚

𝑁𝑁 𝐶𝐶 3 −12 (3.6𝑥𝑥𝑥𝑥 )(2𝜋𝜋)(8.85𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑁𝑁𝑚𝑚2)(0.19m) 𝐶𝐶 2

La carga total que se ha distribuido será

Q= (3.8𝑥𝑥𝑥𝑥−8 𝑚𝑚𝐶𝐶 )(2.4m)= 9.1283𝑥𝑥𝑥𝑥−8𝐶𝐶 Inv.1.3.Ley de Gauss

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(b) Debido a que el punto r = 4 cm, es menor que el radio del cilindro, la carga neta dentro de la superficie gaussiana interior a la cáscara es , entonces se tiene

0

= =0

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