Ley de Gauss

´ 1, 1–2, 2012 U NIVERSIDAD M AYOR DE S AN A NDR ES ´ FACULTAD DE C IENCIAS P URAS Y N ATURALES - C ARRERA DE I NFORM AT

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´ 1, 1–2, 2012 U NIVERSIDAD M AYOR DE S AN A NDR ES ´ FACULTAD DE C IENCIAS P URAS Y N ATURALES - C ARRERA DE I NFORM ATICA

LA LEY DE GAUSS PRACTICA 4 L IC. E VARISTO M AMANI C ARLO† Universidad Mayor de San Andr´es Facultad de Ciencias Puras y Naturales - Carrera de F´ısica

L A PAZ , 01

DE

S EPTIEMBRE

DEL

2012

RESUMEN Se presenta una serie de ejercicios de aplicaciones de la Ley de Gauss de distribuciones de cargas discretas y continuas a fin de evaluar la capacidad que tiene el estudiante de aplicar los conocimientos te´orico aprendidos en clases de Electromagnetismo de nivel avanzado. Keywords: 1. El paralelep´ıpedo rectangular de la figura 1 con a > b > c se rellena con carga de densidad constante ρ, se construye una esfera de radio 2a H con centro en el origen. Encontrar el flujo ~ ◦ d~a a travs de la superficie de esta esfera. E ¿Cual sera´ el flujo si el centro de la esfera se coloca en el v’ertice (a, b, c)?

3. La linea infinita de la figura 2 se rodea con un cilindro infinitamente largo de radio ρ0 cuyo eje coincide con ella. La superficie del cilindro posee una densidad superficial de carga con~ para cualquier punto. stante σ. Encontrar E ~ = 0 ¿Que valor en particular de σ hara que E para todos los puntos fuera del cilindro cargado?, ¿es razonable su respuesta?

F IG. 1.— Conguraci´on de carga volum´etrica de un cubo

Resp. ρ

abc en ambos casos. 0

2. Una esfera de radio a con centro en el erigen posee una densidad de carga dada por ρ = Ar2 , donde A =constante. Otra esfera de radio 2a es conc´ entrica con la primera. Encontrar el flujo H ~ · d~a a trav´es de la superficie de la esfera E mayor. † Email:

[email protected]

F IG. 2.— Conguraci´on de una linea de carga infinita encerrada por una distribuci´on superficial

(λ + 2πρ0 σ) λ λ ρˆ, ρ < ρ0 ; ρˆ, ρ0 < ρ; − ; si, 2π0 ρ 2π0 ρ 2πρ0 aqui 2πρ0 σ es la carga por unidad de longitud en el cilindro.

Resp.

4. Una carga de densidad volum´etrica constante tiene la forma de una plancha de grueso a. Las

2

Lic. Evaristo Mamani Carlo caras de las planchas son planos infinitos paralelos al plano xy. T´omese como origen el punto ~ para tomedio entre las caras y encu´entrese E dos los puntos. 5. Una esfera de radio a posee una densidad de carga que var´ıa con √ la distancia, r, al centro de acuerdo con ρ = A r, donde A = constante. ~ para todos los puntos. Encontrar E Resp.

2Ar3/2 2Aa7/2 rˆ, (r < a); rˆ, (a < r). 70 70 r2

6. Dos esferas conc´entricas tienen radios a y b tales que b > a. La regi´on entre ellas , es decir a ≤ r ≤ b, se rellena con carga de densidad constante. La densidad de carga es igual a ~ para cero en cualqueir otro punto. Encontrar E todos los puntos y expresarlo en funci´on de la carga total Q. ¿Se reducen sus resultados a los valores correctos cuando a → 0 ?. 7. Un cilindro infinitamente largo tiene una secci´on circular de radio a. Se rellena con carga de densidad volum´etrica constante, ρch . Encon~ para todos los puntos dentro y fuera del trar E cilindro. Resp.

ρch ρ ρch a2 ρˆ, (a < ρ). ρˆ, (ρ < a); 20 20 ρ

8. Dos cilindros coaxiales infinitamente largos tienen radios a y b tales que b > a, como se muestra en la figura 3. La regi´on entre ellos se rellena con carga de densidad volum´etrica dada por ρch = Aρn , en coordenadas cil´ındricas, siendo A y n constantes. La densidad de carga es igual a cero en cualquier otra parte. Encon~ para todos los puntos. ¿Para que valores trar E de n y a se deberian reducir sus resultados a los ´ valores obtenidos en el ejercicio numero 7?, ¿lo hacen?. 9. La regi´on entre los cilindros coaxiales infinitamente largos como el mostrado en la figura 3, se rellenan con carga cuya densidad volum´etrica es, en coordenadas cil´ındricas, ρch = Ae−αρ . Encontrar E para todos los puntos.

F IG. 3.— Dos cilindros coaxiales infinitamente largos

logrado evaluar experimentalmente y es aproxˆ ~ = −E0 (Ae−αρ +Be−βρ )k. imadamente igual a E Todas las constantes empiricas son positivas y z es la altura sobre la superficie (localmente plana). Encontrar la densidad de carga promedio en la atm´osfera, en funci´on de la altura. ¿Cual es su signo?. ~ = 11. Cierto campo el´ectrico esta´ dado por E ρ 3 ~ ~ ρˆ para 0 < ρ < a, y E = 0 en cualquier E0 a otro caso. Encontrar la densidad volum´etrica de carga. Resp. 40 E0

12. Un campo el´ectrico en la regi´on r > a esta´ dado por Er = 2A cos θ/r3 , Eθ = A sen θ/r3 , Eϕ = 0, donde A =constante. Encontrar la densidad volum´etrica de carga en esta regi´on. 13. Un objeto conductor tiene en su interior una cavidad hueca. Si se introduce una carga puntual q en la cavidad, demuestre que se induce una carga −q sobre la superficie de la cavidad. 14. (a) Calcule el rotacional y la divergencia de ~r . ra (b) Diga qu´e densidad ρ(r) de carga podr´ıa producir el campo

Af (ρ) ρˆ, (a < ρ < b) donde 0 α 2 ρ Af (b) f (ρ) = e−αa − e−αρ + α(ae−αa − ρe−αρ ); ρˆ, (ρ > b) 0 α 2 ρ

~ = E

Resp. 0, (ρ < a);

Resp. (a) ∇ ×

´ 10. El campo elestrostatico promedio en la atm´osfera terrestre en clima agradable se ha

ρ2 , (0 < ρ < a); 0, (ρ > a) a3

q ~r 4π0 ra

(3 − a)q ~r ~r 3−a = ~0, ∇ · a = ; (b) ρ = ra r ra 4πra