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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA LICENCIATURA EN INGENIERÍA EN ENERGÍA Y AMBIENTE

MATERIA: Dinámica Aplicada

INFORME N°3: Modelo matemático de un sistema masa - resorte

INTEGRANTES: CASTILLO, Cristel

8-911-3

GONZÁLEZ, Arlyn

8-917-1940

INSTRUCTOR: Ricardo Tuñon

GRUPO: 1EM131 (A)

FECHA DE ENTREGA: Miércoles, 12 de septiembre de 2018

INTRODUCCIÓN En su forma más general, un sistema vibratorio está constituido por elementos que tienen propiedades másicas o de inercia, elásticas y de disipación de energía. Aun cuando las propiedades de disipación de energía están siempre presentes en cualquier sistema vibratorio, desde un punto de vista matemático, un sistema capaz de vibrar puede existir sin que el sistema disipe energía; estos sistemas se denominan como no amortiguados. Para esta nueva experiencia se aplicará los conocimientos previos para así desarrollar el modelo matemático del sistema masa-resorte dado de un grado de libertad, bajo vibración libre sin amortiguamiento. Al analizar este sistema se podrá determinar la ecuación diferencial de movimiento en función de la variable x. Utilizando los programas Matlab o Scilab y Excel se visualizará el comportamiento de la posición, velocidad y aceleración por medio de las gráficas. Para poder ver el comportamiento del resorte es importante graficar las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración en software matemáticos, ya sea Scilab, Matlab o Excel y se ahí definir su comportamiento

MATERIALES Y HERRAMIENTAS Para la realización de este informe se utilizará lo siguiente:  Computadora  Programas como:  Scilab/Xcos  Matlab/Simulink  Excell

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1. El instructor de laboratorio asignó un valor de masa, tres valores de constante de resorte y las condiciones iniciales con las cuales se desarrolló esta experiencia. 2. Se obtuvo el modelo matemático del sistema masa – resorte de un grado de libertad construido. 3. Se resolvió la ecuación diferencial de movimiento aplicando los valores y las condiciones iniciales mediante Microsoft Excel y Scilab/Xcos. 4. Se graficó la posición, la velocidad y la aceleración en cada uno de los programas. 5. Se llenó un cuadro con los resultados obtenidos de la frecuencia natural, periodo, posición, velocidad y aceleración. 6. Se resolvieron las preguntas sobre la experiencia realizada.

CÁLCULOS a. Para obtener el modelo matemático de un sistema de masa – resorte de un grado de libertad, aplicamos la segunda ley de newton.

Figura 1. Diagrama de un sistema masa – resorte en configuración vertical.

La segunda ley de newton establece: la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. Tomando como referencia el punto de equilibrio estático entre el resorte y la masa. ∑ F = mẍ −k(x + δest ) + W = 𝑚𝑥̈ −kx − kδest + W = 𝑚𝑥̈ Donde: w = mg = kδest Por lo tanto −kx − W + W = mẍ mẍ + kx = 0 Si dividimos entre la masa toda la ecuación, obtenemos: (mẍ + kx = 0) ẍ +

1 𝑚

k x=0 m

d2 x k + x=0 dt 2 m Se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden, que define el movimiento del sistema. Donde: k = ωn2 (frecuencia natural del sistema masa − resorte) m b. Para encontrar la solución a la ecuación diferencial, se hace uso de la ecuación auxiliar. ms2 + k = 0

s2 = −k/m −k s = ±√ = ±iωn m La solución del sistema sería: x(t) = c1 eωnt +c2 e−ωnt Usando Euler y factorizando términos comunes, se obtiene: x(t) = A cos ωnt + B sin ωnt Donde: A = x(0) y B =

ẋ (0) ωn

A y B se obtienen a partir de las condiciones iniciales del sistema. Derivando se puede obtener las ecuaciones de velocidad y aceleración del sistema: ẋ (t) = −A ∙ ωn ∙ sin ωnt + B ∙ ωn ∙ cos ωnt 𝑥̈ (t) = −A ∙ ωn2 ∙ sin ωnt − B ∙ ωn2 ∙ cos ωnt Para el caso de esta experiencia al sistema se le da unas condiciones iniciales de: x(0) = 0.05 m,

ẋ (0) = 0

y

t(0) = 0

Por lo tanto, la ecuación de posición, velocidad y aceleración queda de la siguiente manera: x(t) = 0.05 cos ωnt ẋ (t) = −0.05 ∙ ωn ∙ sin ωnt 𝑥̈ (t) = −0.05 ∙ ωn2 ∙ sin ωnt c. Para resolver la tabla 3 de la respuesta de un sistema masa – resorte con la información dada por el instructor se utilizaron las siguientes ecuaciones: Información dada por el instructor: Resorte 1 2 3

k (N/m) 133.00 64.30 132.00

m (kg) 2.5 2.5 2.5

Tabla 1. Datos para la solución de la tabla. Información brindada por el instructor de laboratorio.

Para la frecuencia natural: 𝜔𝑛 = √ Resorte 1:

𝐾 𝑀

Resorte 2:

𝜔𝑛 = 7.29

𝑟𝑎𝑑 𝑠

Resorte 3:

𝜔𝑛 = 5.07

𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝜔𝑛 = 7.27

𝑟𝑎𝑑 𝑠

Para el período: 𝜏𝑛 = Resorte 1:

2∗𝜋 𝜔𝑛

Resorte 2:

2∗𝜋 𝜏𝑛 = 7.29 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜏𝑛 = 0.861 𝑠

Resorte 3:

2∗𝜋 𝜏𝑛 = 5.07 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜏𝑛 = 1.239 𝑠

𝜏𝑛 =

2∗𝜋 7.27 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜏𝑛 = 0.865 𝑠

Para la frecuencia: 𝑓𝑛 = Resorte 1: 𝑓𝑛 =

1 𝜏𝑛

Resorte 2: 1 0.861 𝑠

𝑓𝑛 = 1.16 𝐻𝑧

𝑓𝑛 =

Resorte 3: 1 1.239 𝑠

𝑓𝑛 = 0.81 𝐻𝑧

𝑓𝑛 =

1 0.865 𝑠

𝑓𝑛 = 1.16 𝐻𝑧

Los valores de la posición, velocidad y aceleración máxima se obtuvieron a partir de las gráficas.

d. Gráficas: Scilab / Xcos: Diagrama para el resorte 1, donde su constante de resorte es 133 N/m y su masa 2.5 kg. Para graficar la velocidad y la posición, el diagrama de bloque fue el siguiente:

Figura 2. Diagrama de bloque en Xcos de la posición y velocidad de un sistema resorte masa.

Para graficar la aceleración, el diagrama de bloque fue el siguiente:

Figura 3. Diagrama de bloque en Xcos para la aceleración de un sistema de masa resorte.

Estos diagramas se usaron para cada uno de los resortes, solo que se le cambio su constante de resorte; la masa no, ya que tenían el mismo valor.

Microsoft Excel: Se utilizaron las siguientes ecuaciones para encontrar posición, velocidad y aceleración: x(t) = 0.05 cos ωnt ẋ (t) = −0.05 ∙ ωn ∙ sin ωnt 𝑥̈ (t) = −0.05 ∙ ωn2 ∙ sin ωnt

La cuales fueron evaluadas en un intervalo de tiempo de 0.05 s, para cada uno de los 3 resortes. A continuación, se muestra una tabla con los cálculos realizado para cada resorte realizado en Excel. t(s) 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20

x(m) 0.046711689 0.037279276 0.022943429 0.005589777 -0.012499113 -0.028943963 -0.041581744 -0.048750176 -0.049506379 -0.043750887 -0.032240735 -0.01648988 0.001429929 0.019161656 0.034373003 0.045063186 0.049826098 0.048035262 0.039926231 0.026565606 0.009710741 -0.008421401 -0.025445855 -0.039123354 -0.047654863 -0.049918212 -0.045615697 -0.035313238 -0.020365943 -0.002739865 0.015246593 0.03122763 0.043101221 0.049305603 0.049024699 0.042295457 0.03000299 0.013764157 -0.004285109 -0.021770744 -0.03639282 -0.04622806 -0.049982811 -0.047163201

RESORTE 1 v(m/s) -0.13007138 -0.24303415 -0.32403005 -0.36240548 -0.35311284 -0.29737441 -0.2025216 -0.08103063 0.0511185 0.17654389 0.27874803 0.34428776 0.36454248 0.33684805 0.26484717 0.15801029 0.03038994 -0.10122768 -0.21953057 -0.30895807 -0.35774756 -0.35948165 -0.31393224 -0.22709055 -0.1103791 0.02085079 0.14933813 0.25818265 0.33306779 0.3641437 0.34732291 0.28481789 0.18485008 0.06056848 -0.07167983 -0.19449992 -0.29173696 -0.35060113 -0.36334988 -0.32830633 -0.25007985 -0.13895976 -0.00956196 0.12109356

a(m/s^2) -2.48506186 -1.98325748 -1.22059041 -0.29737611 0.664952793 1.539818835 2.212148755 2.59350936 2.63373936 2.327547206 1.715207097 0.877261619 -0.07607222 -1.01940009 -1.82864378 -2.3973615 -2.65074843 -2.55547595 -2.1240755 -1.41329022 -0.51661144 0.448018508 1.353719487 2.081362444 2.535238728 2.655648886 2.426755075 1.878664258 1.083468153 0.145760843 -0.81111875 -1.66130991 -2.29298493 -2.62305806 -2.60811398 -2.2501183 -1.59615909 -0.73225318 0.227967776 1.158203572 1.936098031 2.459332799 2.659085533 2.509082268

x(m) 0.0484011 0.04370664 0.03621687 0.02641082 0.01491562 0.00246648 -0.01014041 -0.02209875 -0.03264375 -0.04110097 -0.04692953 -0.04975666 -0.04940154 -0.04588689 -0.03943748 -0.03046581 -0.01954565 -0.00737543 0.00526649 0.01757159 0.02875287 0.03809524 0.04500117 0.049029 0.04992113 0.04762049 0.04227422 0.03422425 0.02398543 0.0122126 -0.00034131 -0.01287339 -0.02458213 -0.0347187 -0.04263479 -0.04782412 -0.0499548 -0.04889056 -0.04469947 -0.03764957 -0.02819175 -0.01693089 -0.00458719 0.00804988

RESORTE 2 v(m/s) -0.06361313 -0.12315781 -0.17482578 -0.21531256 -0.24202877 -0.25326573 -0.24830479 -0.22746321 -0.19207396 -0.14440038 -0.0874915 -0.024987 0.039115569 0.10071646 0.155875908 0.201066127 0.23339692 0.250800535 0.2521639 0.237399822 0.207452554 0.16423741 0.110518266 0.049730793 -0.01423727 -0.07729477 -0.1354088 -0.18486259 -0.22249327 -0.24589413 -0.25356854 -0.24502567 -0.22081188 -0.18247581 -0.13246928 -0.07399052 -0.01077961 0.053120729 0.113623666 0.166859665 0.209423954 0.238594284 0.252505031 0.250266516

a(m/s^2) -1.24487617 -1.12413479 -0.93149802 -0.67928618 -0.38362979 -0.06343789 0.26081126 0.56837991 0.83959714 1.05711693 1.20702754 1.27974127 1.2706076 1.18021071 1.01433203 0.78358053 0.5027142 0.18969619 -0.13545408 -0.45194122 -0.73952391 -0.97980947 -1.15743014 -1.26102599 -1.2839714 -1.22479889 -1.0872929 -0.88024779 -0.61690538 -0.31410805 0.00877844 0.33110349 0.63225243 0.8929649 1.09656673 1.23003633 1.28483748 1.25746531 1.14967044 0.96834702 0.72509182 0.43546249 0.11798264 -0.20704293

x(m) 0.04673614 0.03737067 0.0231263 0.00586269 -0.01216632 -0.02860697 -0.04131285 -0.04862515 -0.04958924 -0.04407923 -0.03281448 -0.01726566 0.00053727 0.01827005 0.0336176 0.04457623 0.04971523 0.04836369 0.04069806 0.02771912 0.01112133 -0.0069284 -0.0240736 -0.03807588 -0.04710719 -0.04998845 -0.0463435 -0.03664821 -0.02216833 -0.00479427 0.01320569 0.0294816 0.04190855 0.04886416 0.04944034 0.04356187 0.0319962 0.01625329 -0.00161156 -0.01926601 -0.0344052 -0.04505264 -0.04981826 -0.04807989

RESORTE 3 v(m/s) -0.12911511 -0.24137367 -0.32211985 -0.36081187 -0.35239832 -0.29797763 -0.20465466 -0.08461313 0.04647502 0.17149565 0.27412677 0.34096945 0.36329707 0.33819467 0.26893947 0.16457306 0.03872091 -0.09218643 -0.21105842 -0.30237581 -0.35421672 -0.35981309 -0.31843428 -0.23548249 -0.12178742 0.00780752 0.13638316 0.24715338 0.32565664 0.36164401 0.35041717 0.29344183 0.19815638 0.07700075 -0.05420766 -0.17833903 -0.27918746 -0.34358675 -0.36312928 -0.33526369 -0.26362797 -0.15757446 -0.03094891 0.09971715

a(m/s^2) -2.46766823 -1.97317157 -1.22106874 -0.30955004 0.64238177 1.51044783 2.18131832 2.56740816 2.61831164 2.32738308 1.73260448 0.91162679 -0.02836776 -0.96465878 -1.77500938 -2.35362474 -2.62496409 -2.55360291 -2.14885769 -1.4635697 -0.58720629 0.36581947 1.2710859 2.01040651 2.48725975 2.63939036 2.446937 1.93502533 1.17048763 0.25313765 -0.69726056 -1.55662835 -2.2127715 -2.58002765 -2.61044991 -2.30006652 -1.68939938 -0.85817376 0.08509019 1.01724525 1.81659449 2.37877937 2.63040421 2.53861827

Tabla 2. Cálculos para la posición, velocidad y aceleración para cada uno de los sistemas masa resorte.

Nota: Y sucesivamente se hicieron esos cálculos para cada resorte hasta el tiempo de 2.90 s, ya que aquí se cumplía con los 3 ciclos de la gráfica.

RESULTADO El modelo matemático de un sistema masa – resorte: Ecuación diferencial que define el movimiento del sistema: mẍ + kx = 0 Solución de la ecuación diferencial, aplicando los valores iniciales: 

Posición: x(t) = A cos ωnt = 0.05 cos ωnt



Velocidad: ẋ (t) = −A ∙ ωn ∙ sin ωnt = −0.05 ∙ ωn ∙ sin ωnt



Aceleración: 𝑥̈ (t) = −A ∙ ωn2 ∙ sin ωnt = −0.05 ∙ ωn2 ∙ sin ωnt

Solución de la ecuación diferencial que define el movimiento de un sistema masa – resorte: Por Scilab / Xcos: Utilizando Scilab en xcos se graficaron los 3 resortes de posición, velocidad y aceleración: 

Resorte 1: Velocidad y posición:

Gráfica 1. Velocidad, posición vs tiempo de un sistema masa - resorte, sin amortiguamiento. Realizado en Xcos.

Aceleración:

Gráfica 2. Aceleración vs tiempo de un sistema masa - resorte, sin amortiguamiento. Realizado en Xcos.



Resorte 2: Velocidad y posición:

Gráfica 3. Gráfica de posición, velocidad Vs tiempo

Aceleración:

Gráfica 4. Gráfica de aceleración vs tiempo.



Resorte 3: Velocidad y posición:

Gráfica 5. Gráfica de velocidad, posición vs tiempo.

Aceleración:

Gráfica 6. Gráfica de aceleración vs tiempo.

Por Microsoft Excel: Resorte 1: Posición: 0.06 0.04

Posición (m)



0.02 0 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

-0.02 -0.04

-0.06

Tiempo (s)

Gráfica 7. Gráfica de posición vs tiempo de un sistema masa - resorte, sin amortiguamiento. Realizado en excel.

Velocidad (m/s)

Velocidad: 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0.00 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

Tiempo (s)

Gráfica 8. Gráfica de velocidad vs tiempo de un sistema masa - resorte, sin amortiguamiento. Realizado en excel.

Aceleración:

Aceleración (m/s2)

3 2 1 0 -1

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

-2 -3

Tiempo (s)

Gráfica 9. Gráfica de aceleración vs tiempo de un sistema masa - resorte, sin amortiguamiento. Realizado en excel.

Resorte 2: Posición: 0.06 0.04

Posición (m)



0.02 0 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

-0.02

-0.04 -0.06

Tiempo (s)

Gráfica 10. Gráfica de posición vs tiempo de un sistema masa - resorte, sin amortiguamiento. Realizado en excel.

Velocidad: 0.3

Velocidad (m/s)

0.2 0.1 0 -0.1

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

-0.2 -0.3

Tiempo (s)

Gráfica 11. Gráfica de velocidad vs tiempo de un sistema masa - resorte, sin amortiguamiento. Realizado en Excel.

Aceleración:

Aceleración (m/s2)

1.5 1 0.5 0 -0.5

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

-1 -1.5

Tiempo (s)

Gráfica 12. Gráfica de aceleración vs tiempo de un sistema masa - resorte, sin amortiguamiento. Realizado en Excel.

Resorte 3: Posición: 0.06

0.04

Posición (m)



0.02 0 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

-0.02 -0.04 -0.06

Tiempo (s)

Gráfica 13. Gráfica de posición vs tiempo de un sistema masa - resorte, sin amortiguamiento. Realizado en Excel.

Velocidad: 0.4

Velocidad (m/s)

0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

-0.2 -0.3 -0.4

Tiempo (s)

Gráfica 14. Gráfica de velocidad vs tiempo de un sistema masa - resorte, sin amortiguamiento. Realizado en Excel.

Aceleración:

Aceleración (m/s2)

3

2 1 0

-1

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

-2 -3

Tiempo (s)

Gráfica 15. Gráfica de aceleración vs tiempo de un sistema masa - resorte, sin amortiguamiento. Realizado en Excel.

Luego de haber graficado la posición, velocidad y aceleración de un sistema masa – resorte, sin amortiguamiento, se completó la tabla 3 que al inicio fue llenada por la información brindado por el instructor de laboratorio. k (N/m)

m (kg) 𝛚𝐧 (𝐫𝐚𝐝/𝐬) 𝐟𝐧 (𝐇𝐳)

𝛕𝐧 (𝐬)

𝐱 𝐦𝐚𝐱 (𝐦) 𝐱̇ 𝐦𝐚𝐱 (𝐦/𝐬) 𝐱̈ 𝐦𝐚𝐱 (𝐦/𝐬𝟐 )

133.00

2.5

7.294

1.161

0.861

0.05

0.36

2.66

64.30

2.5

5.071

0.807

1.239

0.05

0.25

1.28

132.00

2.5

7.266

1.156

0.865

0.05

0.36

2.64

Tabla 3. Respuesta de un sistema masa - resorte.

PREGUNTAS 1. ¿Qué concluye respecto a las frecuencias angulares naturales, frecuencias naturales y periodos naturales de oscilación, para los sistemas Masa-Resorte estudiados?

R/. La frecuencia natural (ωn) es la frecuencia que tendrá el sistema después de

removido la fuente de excitación inicial. 𝐾 𝜔𝑛 = √ 𝑀 La frecuencia angular (ωf) es la frecuencia del movimiento circular expresada por el cambio de ángulo por unidades de tiempo. Esta nos indica la cantidad de veces que se completa en un tiempo determinado. 𝜔𝑓 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓 El periodo natural de oscilación (τ) es el tiempo que tarda el sistema en completar un ciclo completo. Su unidad es el segundo. 𝜏=

1 𝑓𝑛

2. ¿Cómo comparas las amplitudes de posición, velocidad y aceleración para los 3 sistemas estudiados? R/. Amplitud #1:   

Posición: 0.05 m Velocidad: 0.36 m/s Aceleración: 2.66 m/s2

Amplitud #2:   

Posición: 0.05 m Velocidad: 0.25 m/s Aceleración:1.28 m/s2

Amplitud #3:   

Posición: 0.05 m Velocidad: 0.36 m/s Aceleración: 2.64 m/s2

La amplitud de posición depende solamente de la posición inicial aplicada al resorte, pero las amplitudes de velocidad y aceleración si variaran ya que estas dependerán de la frecuencia natural que obtenga el sistema, las cuales dependen de la rigidez y masa de dicho sistema. 3. ¿Cuál de los tres métodos de solución considera más conveniente? Explique. R/. El método más conveniente a utilizar para graficar el movimiento oscilatorio de un resorte es el programa Simulink, ya que es más práctico, debido a que solamente se debe realizar el diagrama de bloque del sistema a estudiar y las condiciones iniciales y luego el programa automáticamente graficara el comportamiento del sistema, ya que Matlab es un programa de control numérico y nos brindará una respuesta más exacta.

6. Encontrar la solución de la ecuación diferencial para x (0) = −𝜹 y 𝒙(𝟎) ̇ = 𝟎 obtenga expresiones para la posición x (t), la velocidad x(t), aceleración x(t). Grafique los resultados en matlab/scilab o simulink/xcos para dos ciclos de movimiento. R/. Utilizando el programa de matlab/ simulink se obtuvieron los siguientes resultados: 𝑥 = − 𝜹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒏 𝒕 𝑥̇ = 𝜹𝒔𝒆𝒏𝝎𝒏 𝒕 𝑥̈ = 𝜹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒏 𝒕

Figura 4. Diagrama de bloque realizado en Simulink utilizado para la resolución de este problema.

Parámetro: 

Resorte 1: k = 133 N/m, 𝜹 = 0.05 m

Posición:

Gráfica 16. Gráfica de posición de un sistema masa - resorte, de acuerdo con las condiciones dadas en el problema 6.

Velocidad

Gráfica 17. Gráfica de velocidad de un sistema resorte - masa, de acuerdo con las condiciones dadas en el problema 6.

Aceleración

Gráfica 18. Gráfica de aceleración de un sistema resorte - masa, de acuerdo con las condiciones dadas en el problema 6.

7. Para 𝒚(𝟎) = 𝟎 𝒚 𝒚̇ (𝟎) = 𝟎, obtenga expresiones para la posición, la velocidad y la aceleración. Grafique los resultados, utilice Matlab/Scilab y Simulink/Xcos para dos ciclos de movimiento. R/. Debido a las condiciones iniciales establecidas para el sistema, se observa que el sistema está en reposo; por lo tanto, no hay movimiento. 𝑦 = 𝟎 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒏 𝒕 = 𝟎 𝑦̇ = 𝟎 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒏 𝒕 = 𝟎 𝑦̈ = 𝟎 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒏 𝒕 = 𝟎

Posición:

Gráfica 19. Posición de un sistema masa - resorte (sin amortiguamiento), de acuerdo con las condiciones iniciales dadas en el problema 7.

Velocidad

Gráfica 20. Velocidad de un sistema masa - resorte (sin amortiguamiento), de acuerdo con las condiciones iniciales dadas en el problema 7.

Aceleración

Gráfica 21. Aceleración de un sistema masa - resorte (sin amortiguamiento), de acuerdo con las condiciones iniciales dadas en el problema 7.

ANALISIS DE LOS RESULTADOS Después de la realización de este laboratorio, hemos llegado al siguiente análisis: Se observó que el mejor programa para hacer la simulación de movimiento oscilatorio de un resorte sin amortiguamiento es Simulink, ya que este al pertenecer a Matlab se considera un programa de buen control numérico y que nos brinda una respuesta más exacta. Al hacer una comparación con cada una de la gráfica del sistema de cada resorte, se apreció que entre menor es la constante de rigidez y menor es la frecuencia natural, mayor amplitud habrá en las gráficas.

CONCLUSIÓN Con la realización de este laboratorio se encontró la ecuación que relaciona el movimiento oscilatorio de un sistema resorte – masa, sin amortiguamiento, con movimiento de traslación puro, donde se resolvió esta ecuación manualmente (aplicando la segunda ley de newton) y con la utilización de los programas como Scilab/Xcos, Matlab/Simulink y Microsoft Excel. Sé encontró la ecuación que rige la posición, velocidad y aceleración de un resorte - masa y se graficaron en dichos programas. Sé observó que el mejor programa para la realización de esto es Simulink por la precisión de la respuesta que brinda Matlab. También observamos que la gráfica de la posición depende de las condiciones iniciales que se tengan. Para finalizar se puede decir que estos programas son herramientas de gran ayuda ya que nos permite modelar y analizar los elementos de una ecuación diferencial de las ecuaciones de un sistema físico. Cristel Castillo, 8-911-3

Para este laboratorio utilizamos los programas de scilab/xcos, matlab/simulink para realizar las gráficas de posición, velocidad y aceleración, donde se pudo observar que pasaría con las oscilaciones del sistema masa resorte sin amortiguamiento donde se puede observar que gracias a que el sistema es sin amortiguamiento este resulta inestable. En conclusión el desarrollo de esta experiencia nos dio la posibilidad de observar el movimiento de los resortes en donde se puso a prueba dichos resortes variando sus constantes de resortes (k) y en caso del Excel el tiempo en que puede tardar cada oscilación del resorte para las distintas condiciones. Arlyn González, 8-917-1940

REFERENCIAS Rao, S. (2012). Vibraciones mecánicas (Quinta ed.). México: Pearson Educación. Ogata, Katsuhiko: Ingeniería de Control Moderna,Madrid,Prentice Hall,2010