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OSCILACIONES ELÉCTRICAS AMORTIGUADAS Juan David Benavides 1223393, Juan David Muriel 1226173, Juan David Aguirre 1225219, Sebastián torres Bonilla Experimentación Física III Universidad del Valle Resumen - El objetivo de este informe de laboratorio fue realizar un estudio experimental de las oscilaciones eléctricas amortiguadas mediante el uso de una señal sinusoidal que se transmite a través de un circuito RLC (resistencia, inductancia, capacitancia) además, de manera experimental se halló la inductancia total con la que cuenta el circuito. Lo anteriormente nombrado se realizó dejando los valores de resistencia y capacitancia fijos, teniendo esto se mide el voltaje de cada una de las curvas de señal mostradas en el osciloscopio, esto con el fin de obtener la curva de amortiguamiento del sistema, esto constituye la primera parte del experimento. A continuación, se realiza la variación de la capacitancia y se determina la frecuencia de oscilación correspondiente a cada valor de esta. La segunda parte del experimento se realiza con el fin de determinar el valor de la inductancia del circuito. A partir de esto se obtuvo una inductancia de (2.65 ± 0,51)Hr .

Introducción Se denominan circuito RLC a aquel en el que se tiene en cuenta el efecto resistivo, inductivo y capacitivo a la vez. En la práctica son circuitos donde hay resistencias (R), bobinas (L) y condensadores (C).Como es de esperarse, los componentes de este circuito no son ideales y por ello en ello aparece un mayor o menor efecto resistivo, inductivo o capacitivo. Si la resistencia es relativamente pequeña el circuito oscila pero con un movimiento armónico amortiguado, es decir el circuito está sub-amortiguado. Si la resistencia se incrementa, las oscilaciones cesan con más rapidez. Cuando la resistencia alcanza su valor crítico, el circuito deja de oscilar y se encuentra en un estado críticamente amortiguado. Para valores aún mayores de resistencia el circuito esta sobre amortiguado y la carga del capacitor se acerca a cero más lentamente. En el presente informe se muestra cómo cambia la señal dada por el osciloscopio que representa el funcionamiento de un circuito RLC inicialmente alimentado con una fuente de voltaje alterna de onda cuadrada, donde en esta señal varia su frecuencia de oscilación debido a los cambios en los valores de capacitancia y resistencia. Con estos datos se construirá la gráfica de amortiguamiento de la señal y se analizaron los datos obtenidos.

Marco teórico Si una bobina con inductancia L, una capacitancia C y una resistencia óhmica son conectados en serie como se muestra en la figura 1, e inicialmente alimentado con una fuente de voltaje alterna de onda cuadrada para simular así la carga periódica del condensador, la ecuación de sumatoria de voltajes en el circuito quedaría de la forma:

L

dI 1 + RI + Q=0 dt C

(1)

siendo I la corriente de descarga y Q la carga instantánea en el condensador. Y si se deriva por segunda vez la Ecuación (1), se obtiene:

L

d2 I dI 1 + R + I =0 2 dt C dt

(2)

La Ecuación (2) corresponde a las oscilaciones amortiguadas de la corriente del circuito, cuya Solución, que multiplicada por la impedancia Z del circuito es la diferencia de potencial V, está dada por la expresión:

V =V 0 e−γt sin( ϖt + α )

V 00=V 0 e−γt

y

(3)

Donde el factor de amortiguamiento;

γ=

R 2L

Está determinado por la disipación de la energía eléctrica a través de la resistencia R, Voo es la amplitud de voltaje de la oscilación que depende exponencialmente del tiempo, a es la diferencia de fase y w la frecuencia de oscilación que corresponde a la expresión;

√

1 R2 ϖ =2 πf = − LC 4 L2

(4)

La resistencia del circuito hace que la frecuencia de oscilación sea menor que la frecuencia natural;

ϖ 0 =2 π f 0 =

√

1 LC

Sí;

R2 1 < 2 4 L LC Se obtiene el caso “sub-amortiguado”. Ahora bien, sí ésta es lo suficientemente grande tal que;

R2 1 > 2 LC 4L La frecuencia w se hace imaginaria y la corriente disminuye gradualmente sin oscilar correspondiendo al caso “sobre amortiguado”, y en el caso de obtener una frecuencia w=0 se logra el amortiguamiento “crítico”.

Materiales y arreglo experimental El montaje experimental consiste de un circuito en serie RLC que se puede observar en la Figura 1. Este se compone de:     

Generador de señales SF Inductancia HEATH COMPANY de 879 mH y 8400 vueltas Condensador variable PHYWE Osciloscopio HITACHI V-252 de 20 Mhz Equipo de resistencia variable PHYWE

Figura 1. Montaje experimental del circuito RLC

Resultados y análisis Oscilaciones amortiguadas parte 1. En la tabla 1. Se muestra los valores fijos de la capacitancia, resistencia y de la inductancia usadas. Tabla 1. Valores de resistencia, capacitancia e inductancia.

constantes R [Ω] 63,5 L [Hr] 0,88 1,00x −9

C [F]

10

A partir de estas constantes del sistema y alimentando la entrada usando frecuencias de onda cuadrada entre 70 y 80 Hz, en la tabla 2, se muestran los datos del voltaje y tiempo de cada periodo de la onda través del condensador. La incertidumbre del voltaje y del tiempo fue dado por la medida mínima que brindaba el osciloscopio en la escala que se tenía a la hora de tomar los datos. Tabla 2. Datos voltaje y tiempo en el condensador

(V ±

(t ±4)x10-

0,08) V 4,40 3,90 3,40 2,90 2,60 2,32 2,00 1,76

6s 0 236 472 708 944 1180 1416 1652

Para observar el sistema amortiguado se grafica los datos de la tabla 2, y posteriormente calcular el tiempo de relajación del sistema.

voltaje VS tiempo 5.00 4.00 f(x) = 4.4 exp( 0 x ) 3.00 v vs t Voltaje [V] 2.00

Exponential (v vs t )

1.00 0.00 0

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 tiempo [s]

Gráfica 1. Voltaje VS Tiempo

En la gráfica 1. Se puede observar el comportamiento del sistema y se puede observar cómo se amortigua el sistema. Excel presenta la ecuación de la línea de tendencia más cercana a los puntos y presenta la incertidumbre de las constantes encontradas. Las constantes de la Ecuación (3), son:

V =V o e−γt V o=4,42± 0,03 γ =−5,58 x 10−4 ± 8,64 x 10−6 El tiempo de relajación del sistema se determina a partir de la siguiente ecuación .

1 1 γ = ∴ τ= ± δτ τ γ

|∂∂ τγ |δγ → δτ=|−1γ |δγ

δτ =

2

τ =( 1792,9± 27,8 ) μs La incertidumbre relativa del tiempo de relajación del sistema es

δτ ∗100 =1,55 τ

Oscilaciones amortiguadas parte 2 Para la segunda parte, se realizó el mismo montaje anterior variando la capacitancia y dejando los mismos valores de resistencia e inductancia mostrados en la tabla 1 y el valor de la frecuencia constante entre 70-80 Hz. A continuación en la tabla 3 se muestra los resultados obtenidos.

Tabla 3. Datos de capacitancia y de la frecuencia de oscilación.

C [F] 4,70E10 1,00E09 1,50E09 3,30E09

(T ± 4)x10-6 s 196 232 264 368

(w ± 2π

T

−2

rad/s 32057,067 9 ± 27082,695 3 ± 23799,944 3 ± 17073,873 1 ±

δT)

( w 2 ± 2 wδw ) rad 2 /s 2

0,0006

1,03E+09 ±

41,94

0,0005

7,33E+08 ±

25,29

0,0004

5,66E+08 ±

17,16

0,0002

2,92E+08 ±

6,34

C−1 [ F−1 ] 2,13E+0 9 1E+09 6,67E+0 8 3,03E+0 8

Con los datos obtenidos de la tabla 3 se realizó la gráfica 3, la cual muestra una relación lineal del sistema graficando el cuadrado de la frecuencia de oscilación y la inversa de la capacitancia.

w2 vs C-1 1E+09 1E+09 8E+08 w vs 1/c W2 [rad2/s2] 6E+08 4E+08

f(x) = 0.38x + 268825580.37 R² = 0.93 Linear (w vs 1/c )

2E+08 0E+00 0

1000000000 2000000000 3000000000 C-1 [F-1]

Gráfica 2. Cuadrado de Frecuencia VS inversa de la capacitancia.

A partir de la aproximación lineal mostrada en la gráfica anterior y llevando la Ecuación (4) a la forma lineal, se pueden plantear las siguientes expresiones:

w 2r =

1 R 2 − → y=mx+ b LC 2 L

( )

y=w2r ,m=

1 1 R , x= , b=− L C 2L

2

( )

Excel presenta la ecuación de la línea de tendencia más cercana a los puntos y presenta la incertidumbre de las constantes encontradas. En este caso, la incertidumbre de la pendiente, por lo tanto, ésta tiene un valor de:

m=0,377 ± 7,34 x 10

−2

Donde la inductancia del sistema,

L=

1 ± δL m

|∂∂mL|δm ∴ δL=|−1m |δm

δL=

2

L=( 2,65 ± 0,51 ) Hr La incertidumbre relativa de la inductancia calculada es:

δL ∗100 =19,47 L

Conclusiones. -

En este experimento se pudo observar como es el comportamiento de una señal que se amortigua con el tiempo y que, dependiendo de los valores de capacitancia, inductancia y resistencia, esta señal puede presentar tres tipos de comportamientos (amortiguado subamortiguado y críticamente-amortiguado).

-

El valor final obtenido para la inductancia presenta una diferencia de 1,77 Hr con respecto al valor indicado en la bobina. Esta diferencia se puede asociar a que el valor dado en la bobina no tiene en cuenta las propiedades que se ven afectadas en el experimento debido al cableado y los demás componentes del circuito RLC.

-

Se calculó una incertidumbre relativa para la inductancia de 19,47% esto demuestra que si hay cambios notables en los valores obtenidos de los resultados.

REFERENCIAS 

[1] Guía de laboratorio No 1. Estudio del movimiento periódico del sistema masaresorte. Universidad del Valle.



[2] Física Universitaria Sears - Zemansky - 12 Edición – Vol1