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• angeles del carmen doria hernandez

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OSCILACIONES AMORTIGUADAS Ricardo Narváez Urueta Ingeniería industrial Departamento de Ingeniería Universidad de Córdoba, Montería Resumen Se estudió el fenómeno de oscilaciones forzadas, mediante un laboratorio virtual, con el objetivo de afianzar la comprensión cuantitativa y cualitativa sobre estos sistemas. Para ellos se grafica amplitud en función del tiempo y se encuentra la relación entre las variables, así como los paramentos que intervienen en el fenómeno. Se identificó un comportamiento de exponencial decreciente entre la amplitud y el tiempo. En efecto, entender este tipo de fenómenos físicos permite aplicar la ingeniería de forma oportuna en sistemas oscilatorios amortiguados.

1. Objetivos 

Verificar experimentalmente que las amplitudes de las oscilaciones del sistema masa resorte desciende con respecto al tiempo a medida que la resistencia del medio aumenta.



Demostrar que la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo mediante la siguiente ecuación.

A=A 0 e

−λ t 2M

(1)

2. Teoría relacionada En un movimiento armónico simple, MAS, un cuerpo oscilaría indefinidamente. Sin embargo, en la realidad se identifica que la amplitud decae con el tiempo, es decir siempre existe rozamiento o resistencia del medio que disipan la energía del oscilador, amortiguando la oscilación, en lo que se conoce como oscilaciones amortiguadas. Estos fenómenos son, generalmente, de interpretación complicada y varía según el sistema objeto de estudio. La forma más simple de traducirlos es mediante la introducción de una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad de desplazamiento F = - λ v, cuya contante de proporcionalidad se conoce como coeficiente de amortiguamiento1. Por segunda ley de Newton

m a=−k x−λ v La ecuación diferencial asociada es de la forma:

d 2 x λ dx k + + x=0 d t 2 m dt m

Se fija las variables

λ k =2 γ y =ω02 m m

Donde γ es una constante que tiene dimensiones de tiempo inverso y ω 0corresponde a la frecuencia que tendría el oscilador en ausencia de amortiguamiento. Fijémonos que el producto 2 γ ∙ t es adimensional y jugará un papel importante, como veremos más adelante. Con el cambio se tiene

d2 x dx 2 + 2 γ +ω 0 x=0 2 dt dt La solución de esta ecuación es:

A(t )= A0 e−γ t cos(ωt+ φ)1 Donde A0 y φ son constantes a determinar mediante las condiciones iníciales.

Figura 1. Gráfica de posición en función del tiempo para un oscilador amortiguado. Note la disminución en amplitud con el tiempo (Tomado de Serway, página 436). Por otro lado, el completo entendimiento de los fenómenos oscilatorios amortiguados se da mediante la experimentación. La cual no es solo conseguible en un laboratorio sofisticado, pues las oscilaciones amortiguadas son un fenómeno muy común, lo complicado es la medición y obtención de los datos, pues se requiere de instrumentos precisos. Sin embargo, el avance de la tecnología nos permite hacer uso de las simulaciones, que nos proporciona de forma muy didáctica la capacidad de experimentar muchos tipos de fenómeno. Por ello en este laboratorio se hace uso del simulador para oscilaciones amortiguadas Oscilador amortiguado desarrollado en la plataforma GeoGebra2. 3. Procedimiento Para la realización de este laboratorio simulado se empleó el simulador Oscilador amortiguado de GeoGebra y se siguieron los siguientes pasos: I. Se abrió el link de la simulación: https://www.geogebra.org/m/sqAAUqqy. II. Se eligieron los valores iniciales que pide el simulador, como la masa M, la constante del resorte k, el valor de amortiguamiento λ, y el valor de φ, el cual, se impuso por la guía como cero. En efecto, los datos escogidos se muestran en la siguiente tabla.

Tabla 1. Datos suministrados al simulador Datos iniciales M

50 kg

k

200 N/m

λ

19 kg/s

φ

0°

III. Después de fijar los parámetros mencionados se pulso el botón “INICIO” y se dejó que la oscilación llegase al final. Posteriormente, se tomaron los datos de amplitud, empezado por el valor máximo de amplitud, así como el respectivo tiempo para el cual se presentan las amplitudes, estos datos se muestran en la tabla 2, en la sección de resultados. 4. Resultados A continuación, en la siguiente tabla se encuentran tabulados los datos de amplitud y el tiempo, que se recopilaron después de ejecutar la simulación. Además se adjunta el pantallazo de tal simulación. Tabla 2. Datos de amplitud en función del tiempo A(m) 3,5 2 1 0,7

t(s) 0,7 4 7 10,3

Figura 2. Pantallazo de la simulación Oscilador amortiguado en GeoGebra2. 5. Análisis de los resultados. El análisis de los resultados se desarrolla mediante la resolución, de las interrogantes, de la evaluación de la guía.

1. Realice un gráfico de A en función del tiempo, trace una línea punto a punto. ¿Qué puede concluir del comportamiento de la amplitud? Se graficó amplitud en función del tiempo y se identifica un comportamiento en decaimiento de la amplitud a medida que aumenta el tiempo.

Amplitud vs tiempo Amplitud (m)

4 3 2 1 0

0

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

Figura 3. Amplitud vs tiempo 2. Trace una line de tendencia exponencial y obtenga la ecuación característica del experimento. Ahora, al trazar la línea de tendencia obtenemos lo siguiente:

Amplitud vs tiempo Amplitud (m)

4 3

f(x) = 3.86 exp( − 0.17 x ) R² = 0.98

2 1 0

0

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

Figura 4. Ajuste exponencial a la gráfica de amplitud vs tiempo De donde obtenemos la siguiente ecuación

A=3 , 859 e−0 , 173t (2) Donde A es la amplitud en metros y t el tiempo en segundos 3. Compare la ecuación del inciso anterior con la ecuación (1) y determine el valor de la amplitud inicial del movimiento. Al comparar la ecuación (2) obtenida del ajuste exponencial de la gráfica amplitud vs tiempo, con la ecuación (1).

A=A 0 e

−λ t 2M

(1) A=3 , 859 e−0 , 173t (2)

Deducimos que la amplitud inicial es A0 =3,859 m 4. Compare la ecuación del inciso anterior con la ecuación (1) y calcule el valor del coeficiente de amortiguamiento λ. Encuentre el error porcentual entre este valor y el que usted tomó en el simulador. Nuevamente, al comparar la ecuación (2) obtenida del ajuste exponencial de la gráfica, amplitud vs tiempo, con la ecuación (1). −λ

t

A=A 0 e 2 M (1) A=3 , 859 e−0 , 173t (2) Y por comparación

λ =0,173 2M

La constante 0,173 debe tener unidades inversas de tiempo, para que se cancelen con las unidades de t.

λ=0,173

( 1s )∗2∗M

Al reemplazar M por su valor y al colocar las unidades

λ=0,173

( 1s )∗2∗(50 kg)

λ=17,3

kg s

El coeficiente de amortiguamiento sería λ=17,3 kg /s. 5. Si el exponente de la ecuación es adimensional. ¿Qué dimensiones debe tener λ? Tal como se vio en el anterior punto, el coeficiente de amortiguamiento, λ, debe tener unidades de masa sobre tiempo, específicamente para este caso kg/s. 6. ¿Cómo se representa la frecuencia angular de un oscilador amortiguado? Calcule la correspondiente a la experiencia. Según la teoría la frecuencia angular para un oscilador amortiguado es

ω=√ ω20 −γ 2 Donde

ω 0=

√

k λ , y γ= M 2M

Al insertar los valores

200 N /m 1 =2 50 kg s kg 17,3 s 1 γ= =0,173 s 2∗(50 kg) ω 0=

√

Por último

ω=√(2)2−(0,173)2 ω=1,99

1 s

La frecuencia angular obtenida para este caso, de oscilación amortiguada, es ω=1,99 s−1 7. Consulte y describa con sus propias palabras, ¿Cuáles son los tipos de amortiguación que existen? Existen dos categorías de amortiguación: La amortiguación débil: en este tipo de amortiguación se permite que un sistema oscile varias veces hasta que eventualmente se detenga. La sobre amortiguación o amortiguación fuerte: esta amortiguación es tan alta que no se alcanza a producir una oscilación completa en un sistema oscilatorio. 8. ¿Son todos los movimientos oscilatorios amortiguados? Explique. Efectivamente todos los movimientos oscilatorios son amortiguados, al menos en la cotidianidad, pues siempre el medio produce resistencia a los movimientos. Para que un movimiento se perpetúe indefinidamente necesita de una fuerza externa que lo mantenga. Ejemplo, un péndulo de reloj se mantiene en funcionamiento porque una batería lo ayuda, pero un péndulo normal se detiene al poco tiempo de iniciar su movimiento. 6. Conclusión Para concluir, se estudiaron las oscilaciones amortiguadas mediante un laboratorio virtual, empleando el simulador Oscilador amortiguado de GeoGebra y se pudo analizar de forma cuantitativa el fenómeno de las oscilaciones amortiguadas, donde se identificó que la amplitud de las oscilaciones decae exponencialmente a medida que aumenta el tiempo. Para ello, se graficó y se obtuvo la relación entre los parámetro, como amplitud, tiempo, masa, constante del resorte y coeficiente de amortiguamiento. Por último, el entender este tipo de fenómenos físicos permite aplicar la ingeniería de forma oportuna en sistemas oscilatorios amortiguados. 7. Bibliografía [1] Serway, R. Física, Volumen 1. 7 ed. McGraw Hill 2008, P. 436.

[2] Escalona Toro, O. Oscilador https://www.geogebra.org/m/sqAAUqqy

amortiguado,

GeoGebra

2020.

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