• Author / Uploaded
• Jose Mestra Ponce

• Categories
• Fricción
• Fuerza
• Las leyes del movimiento de Newton
• Movimiento (física)
• Mecanica clasica

Citation preview

Dpto. de Física y Electrónica

Oscilaciones Amortiguadas José Mario Mestra Ponce, Nicolás Eduardo Banda Ricardo, Rafael Gonzales Álvarez, Paulina Pacheco Hernández, Jorge Sáenz Prioló [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

RESUMEN En la experiencia se colocó a prueba el concepto de oscilaciones amortiguadas mediante el montaje de un resorte en posición vertical, el cual se deformo una longitud especifica en aras de forzar sus oscilaciones y poder calcular el tiempo de oscilación de este movimiento. Se tomaron los datos cuando la amplitud inicial (la deformación inicial) disminuía, ya que en esos casos se presentaba una oscilación amortiguada; este proceso de repitió varias veces, para poder verificar la exactitud de los datos obtenidos. Con esta información se calculó el coeficiente de Amortiguamiento para el sistema realizado. PALABRAS CLAVE: Amortiguamiento, Coeficiente, Oscilación, Amortiguada.

correspondiente se llama oscilación amortiguada.1 El caso más sencillo para un análisis detallado es un oscilador armónico simple con una fuerza de amortiguación por fricción directamente proporcional a la velocidad del cuerpo oscilante. Este comportamiento se observa en la fricción por flujo de fluidos viscosos, como en los amortiguadores de los autos o el deslizamiento de superficies lubricadas con aceite. Así, sobre el cuerpo actúa una fuerza adicional debida a la fricción, 𝐹𝑥 = −𝑏𝑣𝑥 , donde 𝑣𝑥 es la velocidad y b es una constante que describe la intensidad de la fuerza amortiguadora. El signo menos indica que la fuerza siempre tiene dirección opuesta a la velocidad. La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es entonces:

ABSTRACT In the experience, the concept of damped oscillations was put to the test by mounting a spring in vertical position, which deformed a specific length in order to force its oscillations and to calculate the oscillation time of this movement. The data were taken when the initial amplitude (the initial deformation) decreased, since in those cases there was a damped oscillation; This process was repeated several times, in order to verify the accuracy of the data obtained. With this information, the cushion coefficient for the system performed was calculated.

1 . INTRODUCCIÓN

∑ 𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣𝑥

En todos los sistemas del mundo real, en todo momento existen fuerzas disipadoras (fuerza de fricción o rozamiento) del movimiento, que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor, ocasionando que las oscilaciones se apagan con el tiempo si no existe un mecanismo externo que repongo la energía mecánica disipada. Para un caso real, las campanas que oscilan en una iglesia, si se dejan de impulsar, tarde o temprano las fuerzas amortiguadoras (resistencia del aíre o del medio y fricción, en el punto de suspensión) harán que dejen de oscilar. Este fenómeno es lo que se conoce como oscilación amortiguada.

(1)

Y la segunda ley de Newton para el sistema es: −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 O también: −𝑘𝑥 − 𝑏

𝑑𝑥 𝑑2𝑥 =𝑚 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(2)

La ecuación anterior es una ecuación diferencial en x; sería igual a la ecuación diferencial del MAS, que da la aceleración en MAS, si no fuera por el término adicional 𝑑𝑥

2 . MARCO TEÓRICO

−𝑏

La disminución de la amplitud causada por fuerzas disipadoras se denomina amortiguación, y el movimiento

sencillo en ecuaciones diferenciales, pero no entraremos aquí en detalles. Si la fuerza de amortiguación es relativamente pequeña, el movimiento está descrito por:

1

𝑑𝑡

. La resolución de esta ecuación es un problema

Dpto. de Física y Electrónica

𝒃

𝒙 = 𝑨ⅇ −(𝟐𝒎)𝒕 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝑎 𝒕 + 𝝋) La frecuencia angular de la oscilación 𝝎𝑎 está dada por: 𝝎𝑎 = √

𝑘 𝑏2 − 𝑚 4𝑚2

(4)

El movimiento descrito por la ecuación (3) difiere del caso no amortiguado en dos aspectos. Primero, la 𝐛

amplitud 𝐀ⅇ−(𝟐𝐦)𝐭 no es constante, sino que disminuye con el tiempo a causa del factor exponencial 𝐛

decreciente ⅇ−(𝟐𝐦)𝐭 La figura siguiente es una gráfica de la ecuación (3) para el caso 𝜑 = 0, muestra que, cuanto mayor es, más rápidamente disminuye la amplitud. Segundo, la frecuencia angular 𝝎𝑎 dada por la ecuación

Figura 1. Montaje experimental.

del oscilador (4), ya no es igual a 𝝎 = √𝒌⁄𝒎 sino un poco menor, y se hace cero si es tan grande que: 𝑘 𝑚

−

𝑏2 4𝑚2

= 0, o bien 𝑏 = 2√𝑘𝑚

Se cargó el muelle con una masa de 50gr, incluyendo platillo y con Δl = 10cm. Se tomaron datos de los alargamientos cada 30sg hasta llegar a 3 min, y se llevaron los valores a la tabla. Luego se procedió a realizar un segundo montaje de un péndulo simple con un disco de cartón, colocado entre las dos pesas, también se realiza un alargamiento de 10cm, y se consignan los respectivos valores en la tabla.

(5)

Si se satisface la ecuación (5), la condición se denomina (3) amortiguación crítica. El sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y suelta.

Parte 2. se realizó el mismo montaje, pero sumergido en el vaso de precipitado 4cm, se sumergió y se le dio un alargamiento de 4cm, y se tomó el alargamiento después de 5g.

4 . RESULTADOS Y ANÁLISIS A continuación, se mostrarán los datos que se obtuvieron durante el experimento: Tabla 1. Datos obtenidos en la parte uno de la práctica. Grafica 1. Movimiento amortiguado.

3 . MONTAJE Y PROCEDIMIENTO Parte 1. Primero se preparó el montaje de un péndulo simpe indicado en la fig. 1.

2

𝒕 (𝒎𝒊𝒏)

𝜟𝒍𝟏 (𝒄𝒎)

𝜟𝒍𝟐 (𝒄𝒎)

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

10 20 12 8 5 3 1

10 9 5 3 2,1 1,5 0,2

Dpto. de Física y Electrónica

𝛽=

Tabla 2. Datos obtenidos en la parte dos de la práctica.

𝒕 (𝒔𝒆𝒈)

𝜟𝒍𝟑 (𝒄𝒎)

5

1

2.

1 1 ln ( ) = −0.00127 180 10

Calcule la reducción de la amplitud Δl2 después de 3 min (en cm y en %). 𝐴 = 𝐴0 ⅇ −𝛽𝑡

Evaluación. 1.

Calcule en cm y en porcentaje (%) ¿en cuánto ha descendido la amplitud (alargamiento) Δl1 después de 3 min? 𝐴 = 𝐴0 ⅇ −𝛽𝑡

Dado que la disminución de la amplitud de las oscilaciones es el amortiguamiento, tenemos la amplitud el tiempo y despejamos B en este caso

(6)

𝐴

𝑡

𝐴0



𝛽=



20

𝛽=



12

𝛽=



8

𝛽=

120



5



10

1 5 ln ( ) = −0.00385 180 10

1 150





3

10

1

1,5

ln ( ) = −0.01264cm al cabo de 10

1 1,5 ln ( ) = −0.01053 180 10

1 180

0,2

ln ( ) = −0.02173cm al cabo de 10

3min

1 3 ln ( ) = −0.00668 180 10

180

1 150

Rta/ para t=180seg 𝛽=

ln ( ) = −0.00802𝑐𝑚 al cabo de

𝛽=

Rta/ para t=180seg 𝛽=

2.1

Rta/ para t=150seg

𝛽=

3min 𝛽=

1

120

3min

Rta/ para t=150seg 𝛽=

3

Rta/ para t=120seg

𝛽=

ln ( ) = −0.00577𝑐𝑚 al cabo de

3min 𝛽=

1

90

ln ( ) = −0.0130cm al cabo de 3min 10 1 2,1 𝛽= ln ( ) = −0.00867 180 10

Rta/ para t=120seg 1

5

Rta/ para t=90seg

𝛽=

ln ( ) = −0.00247𝑐𝑚 al cabo de 3min 90 10 1 8 𝛽= ln ( ) = −0.00123 180 10 

1

60

ln ( ) = −0.0133 𝑐𝑚 al cabo de 3min 10 1 3 𝛽= ln ( ) = −0.00668 180 10

Rta/ para t=90seg 1

9

Rta/ para t=60seg

𝛽=

ln ( ) = 0.00303𝑐𝑚 al cabo de 3min 60 10 1 12 𝛽= ln ( ) = 0.00101 180 10 

1

30

ln ( ) = −0.0115cm al cabo de 3min 10 1 5 𝛽= ln ( ) = − 0.00385 180 10

Rta/ para t=60seg 1

Rta/ para t=30seg

𝛽=

ln ( ) = 0.0231cm al cabo de 3min 30 10 1 20 𝛽= ln ( ) = 0.00385 180 10 

𝐴0

ln ( ) = −0.00351𝑐𝑚 al cabo de 3min 10 1 9 𝛽= ln ( ) = −0.00058 180 10

Rta/ para t=30seg 1

𝐴

𝑡

𝛽=

𝛽 = ln ( ) y 3 min=180seg 

1

𝛽 = ln ( ) y 3 min=180seg

Dado que la disminución de la amplitud de las oscilaciones es el amortiguamiento, tenemos la amplitud el tiempo y despejamos B en este caso 1

(7)

1

ln ( ) = −0.00127𝑐𝑚 al cabo de 10

3min

3

1 0,2 ln ( ) = −0.02173 180 10

Dpto. de Física y Electrónica

3.

Grafica 3. Grafica de 𝛥𝑙2 vs t.

Compare los resultados de 1 y 2. ¿Qué encuentra? Este valor nos muestra que la fuerza retardadora es pequeña en comparación a la máxima fuerza de restauración. En otras palabras, el coeficiente de amortiguamiento del cartón experimental añadido en el montaje es lo suficientemente pequeño pero efectivo para afirmar que efectivamente estamos hablando de un movimiento oscilatorio amortiguado.

4.

¿Cuál de los dispositivos amortiguamiento? Explique.

tiene

mayor

Las oscilaciones presentaron mayor amortiguamiento con el disco de cartón que en él, ya que este dispositivo aumenta la fricción con el aire, al aumentar la superficie de contacto. 6. 5.

Realizar la gráfica de Δl en función del tiempo en cada caso para los datos de la tabla 1, trazando la curva (línea) de manera continua (Δl1vs t y Δl2 vs t).

A partir del comportamiento de la distribución de datos en el gráfico asociado podemos deducir que la amplitud tiene un valor límite en cero o aproximado a este y el coeficiente de amortiguamiento del cartón le “ayuda” al sistema a alcanzar este límite más rápido que si no estuviera.

Tabla 3. Tabla 𝛥𝑙1 vs t.

𝒕 (𝒎𝒊𝒏) 𝜟𝒍𝟏

0.5 20

1.0 12

1.5 8.0

2.0 2.1

2.5 1.5

¿Qué puede deducir sobre la trayectoria de las curvas para tiempos mayores? ¿Alcanza la amplitud un valor límite? Explique.

3.0 1.0

Grafica 2. Grafica de 𝛥𝑙1 vs t.

7.

¿Qué significa un valor límite 0 de la oscilación? Cuando las oscilaciones empiezan a ser muy pequeñas, pueden durar así por cierto tiempo, y estas se hacen imperceptibles para el ojo humano por lo que se toman los valores de cero.

8.

La mayor disminución de amplitud se observó en el agua mientras la menor se vio en el aire sin disco. Esto se debe a que el agua ofrece más resistencia al movimiento que el aire, por lo que tiene mayor coeficiente de amortiguamiento que el aire. el disco de cartón no es suficiente para ofrecer la misma fricción que el agua.

Tabla 4. Tabla 𝛥𝑙2 vs t.

𝒕 (𝒎𝒊𝒏) 𝜟𝒍𝟐

0.5 9.0

1.0 5.0

1.5 3.0

2.0 5.0

Compare la disminución de la amplitud del oscilador en el aire (con y sin disco) y con la masa sumergida en agua. ¿Dónde es el amortiguamiento (disminución de la amplitud) menor, y dónde es mayor? Explique.

2.5 3.0

3.0 0.2

9.

¿Por qué apenas es posible registrar una curva en el agua como la que se registró en el aire? Porque el coeficiente de amortiguamiento del agua es muy grande, mientras que la masa y el alongamiento son muy pequeños para este, por lo que la disminución de la amplitud es muy brusca y desciende rápido a cero.

4

Dpto. de Física y Electrónica

5 . CONCLUSIONES 1.

A través de los experimentos realizados se logró comprobar que las amplitudes de las oscilaciones dependen directamente aparte de la masa y la elongación inicial, también dependen del medio donde se realicen y de la forma de las masas como lo es el disco de cartón que ofrece mayor fricción y un medio como el agua que dada su viscosidad frena rápidamente las oscilaciones.

2.

Se pudo evidenciar que la amplitud de las oscilaciones disminuye exponencialmente mediante pasa el tiempo, y que este decaimiento depende directamente del valor de la constante que describe la intensidad de la fuerza de rozamiento (b) que produce el medio y la fricción en el plano.

6 . REFERENCIAS [1] Oscilaciones amortiguadas. (2018). Sc.ehu.es. Recuperado el 8 de marzo de 2018, a partir de http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/amortigu adas/amortiguadas.htm

7 . APÉNDICE En el presente informe, no se hizo uso de este apartado.

5