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LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (TL)

1

Función Seccionalmente Continua (SC) Una función f es seccionalmente continua en 𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽 si en dicho intervalo es “acotada” y “continua excepto posiblemente en un número finito de puntos”, es decir, sólo podrían haber discontinuidades por salto.

Teorema (de integrabilidad) 𝛽

“Si 𝑓 es seccionalmente continua en el intervalo 𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽 entonces ∫𝛼 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 existe” ∞ Sin embargo, la continuidad por secciones no basta para asegurar la convergencia de: ∫𝛼 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 . Teorema ∞ ∞ Si ∫𝑀 |ℎ(𝑡)|𝑑𝑡 converge, ∫𝑀 ℎ(𝑡)𝑑𝑡 es convergente absolutamente. Teorema Sea 𝑓 una función seccionalmente continua para 𝑡 ≥ 0: ∞ ∞ i) Si |𝑓(𝑡)| ≤ 𝑔(𝑡) para 𝑡 ≥ 𝑀 tal que 𝑀 ∈ [0 , ∞) y ∫𝑀 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 es convergente, entonces ∫𝑀 |𝑓(𝑡)|𝑑𝑡 es convergente. Por lo tanto ∞

∫𝑀 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 es convergente. ∞ ∞ ii) Si 𝑓(𝑡) ≥ 𝑔(𝑡) ≥ 0 para 𝑡 ≥ 𝑀 tal que 𝑀 ∈ [0 , ∞) y ∫𝑀 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 es divergente, entonces ∫𝑀 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 es divergente. 𝑐𝑡 −𝑝 Las funciones más útiles para propósitos de comparación son: 𝑔(𝑡) = 𝑒 ó 𝑔(𝑡) = 𝑡 . Los siguientes gráficos ilustran el teorema.

Teorema Si 1. 𝑓 es seccionalmente continua sobre el intervalo ⏟ 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽 tal que 𝛽 > 0. 𝛼

2. 𝑓 es de orden exponencial cuando 𝑡 → ∞ , esto es |𝑓(𝑡)| ≤ 𝑘𝑒 ⏟ −𝑎𝑡 para 𝑡 ≥ 𝑀 donde 𝑘, 𝑀 ∈ ℝ+ y 𝑎 ∈ ℝ, ∞

𝑔(𝑡)

∞

entonces: ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 existe y es finita. Por lo tanto:∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 existe y es finita para 𝑆 > −𝑎. ∞

𝑀

∞

Demostración: Por propiedad de aditividad para intervalos: ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫𝑀 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 . 𝑀

La integral ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 existe de acuerdo a la hipótesis 1 (𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡) 𝑒𝑠 𝑆𝐶 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑡) 𝑦 𝑒 −𝑆𝑡 𝑠𝑜𝑛 𝑆𝐶 ). ∞

Para la integral ∫𝑀 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 , de acuerdo a la hipótesis 2: Para 𝑡 ≥ 𝑀: |𝑓(𝑡)| ≤ 𝑘𝑒 −𝑎𝑡 ∞ ∞ → |𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)| ≤ 𝑘𝑒 −𝑆𝑡 𝑒 −𝑎𝑡 → |𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)| ≤ 𝑘𝑒 −(𝑆+𝑎)𝑡 → ∫𝑀 |𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)|𝑑𝑡 ≤ ∫𝑀 𝑘𝑒 −(𝑆+𝑎)𝑡 𝑑𝑡 ∞

∞

La integral ∫𝑀 𝑘𝑒 −(𝑎+𝑆)𝑡 𝑑𝑡 converge para −(𝑆 + 𝑎) < 0 ≡ 𝑆 > −𝑎, entonces∫𝑀 |𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)|𝑑𝑡 también converge para 𝑆 > −𝑎. Por lo tanto,

∞ ∫𝑀 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

también converge para 𝑆 > −𝑎.

“En este capítulo solo se estudian funciones que satisfacen este último teorema y se las denomina funciones seccionalmente continuas (SC) y de orden exponencial (OE)”. Definición y condiciones de existencia de la transformada de Laplace Si 𝑓(𝑡) una función seccionalmente continua (SC) y de orden exponencial cuando 𝑡 → ∞ (OE) definida en el intervalo [0, ∞), la ∞ transformada de Laplace de 𝑓(𝑡) definida como: 𝐹(𝑆) = 𝐿[𝑓(𝑡)] = ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 , existe para algún intervalo de valores de 𝑆. Además, si 𝑓(𝑡) satisface las condiciones mencionadas, entonces lim 𝐹(𝑆) = 0. 𝑆→∞

Lista básica de transformadas de Laplace 𝑓(𝑡) 𝐹(𝑆) = 𝐿[𝑓(𝑡)] 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ 𝑘/𝑆 ; 𝑆 > 0 𝑡 1/𝑆 2 ; 𝑆 > 0 𝑡𝑛, 𝑛 ∈ ℕ 𝑛!/𝑆 𝑛+1 ; 𝑆 > 0

𝑓(𝑡) 𝑒 𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)

𝐹(𝑆) = 𝐿[𝑓(𝑡)] 1/(𝑆 − 𝑎) ; 𝑆 > 𝑎 𝑎/(𝑆 2 + 𝑎2 ) ; 𝑆 > 0 𝑆/(𝑆 2 + 𝑎2 ) ; 𝑆 > 0

𝑓(𝑡) 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡)

𝐹(𝑆) = 𝐿[𝑓(𝑡)] 𝑎/(𝑆 2 − 𝑎2 ) ; 𝑆 > |𝑎| 𝑆/(𝑆 2 − 𝑎2 ) ; 𝑆 > |𝑎|

Linealidad de la transformada de Laplace Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ y sean 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) funciones SC y de OE, entonces 𝐿[𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡)] = 𝑎𝐿[𝑓(𝑡)] + 𝑏𝐿[𝑔(𝑡)] = 𝑎𝐹(𝑆) + 𝑏𝐺(𝑆). Materia: Ecuaciones Diferenciales

Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.

2

La función Gamma ∞ Se denota por Γ y se define como: Γ(𝑝 + 1) = ∫0 𝑒 −𝑥 𝑥 𝑝 𝑑𝑥. Esta integral impropia converge en el infinito, es decir cuando 𝑥 → ∞ para todo valor de 𝑝. Para 𝑝 < 0 no sólo es impropia debido al límite de integración superior infinito sino también debido a que el integrando se vuelve no acotado en 𝑥 = 0. Sin embargo, es posible demostrar que esta integral también converge cuando 𝑥 → 0 siempre que 𝑝 > −1. Además, se puede demostrar que: a) Para 𝑝 > 0: Γ(𝑝 + 1) = 𝑝Γ(𝑝) b) Γ(1) = 1 c) Si 𝑝 ∈ ℕ : Γ(𝑝 + 1) = 𝑝! d) Γ(1/2) = √𝜋 Transformada de Laplace de 𝒇(𝒕) = 𝒕𝒑 para 𝒑 > −𝟏 ∞

L(𝑡 𝑝 ) = ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑡 𝑝 𝑑𝑡. Aplicando cambio de variable 𝑥 = 𝑆𝑡 se tiene que: 𝑡=

Entonces, L(𝑡

𝑝)

𝑥

=

𝑑𝑥

, 𝑑𝑡 =

𝑆 ∞ 𝑥 𝑝 𝑑𝑥 ∫0 𝑒 −𝑥 (𝑆 ) 𝑆

Si 𝑝 > −1, entonces

𝑆

, 𝑠𝑖 𝑡 = 0 ⟹ 𝑥 = 0 , 𝑠𝑖 𝑡 → ∞ ⟹ 𝑥 → ∞.

∞ 1 ∫ 𝑒 −𝑥 𝑥 𝑝 𝑑𝑥 . Además: 𝑆 𝑝+1 0 Γ(𝑝+1) L(𝑡 𝑝 ) = 𝑝+1 ; 𝑆 > 0. 𝑆 𝑝! 𝑝

=

Si 𝑝 ∈ ℕ, entonces L(𝑡 ) =

𝑆 𝑝+1

; 𝑆 > 0.

Transformada inversa de Laplace La función 𝑓(𝑡) es la transformada inversa de 𝐹(𝑆) y se denota 𝑓(𝑡) = 𝐿−1 [𝐹(𝑆)] si y solo si 𝐿[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑆). Sean 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 entonces: 𝐿−1 [𝑎𝐹(𝑆) + 𝑏𝐺(𝑆)] = 𝑎𝐿−1 [𝐹(𝑆)] + 𝑏𝐿−1 [𝐺(𝑆)] = 𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡). La transformada de Laplace de la derivada Sea 𝑓(𝑡) una función SC y de OE, entonces: 𝐿[𝑓 ′ (𝑡)] = 𝑆𝐿[𝑓(𝑡)] − 𝑓(0) ; 𝑆 > 0. Demo: ∞ 𝑏 𝐿[𝑓 ′ (𝑡)] = ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓′(𝑡)𝑑𝑡 = lim (∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓′(𝑡)𝑑𝑡 ). Realizando integración por partes: 𝑏→∞

𝑢 = 𝑒 −𝑆𝑡 → 𝑑𝑢 = −𝑆𝑒 −𝑆𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑣 = 𝑓′(𝑡)𝑑𝑡 → 𝑣 = ∫ 𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡), 𝑏 Entonces 𝐿[𝑓 ′ (𝑡)] = lim ([𝑓(𝑡)𝑒 −𝑆𝑡 − ∫ −𝑆𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡]𝑏0 ) = lim ([𝑓(𝑡)𝑒 −𝑆𝑡 ]𝑏0 + ∫0 𝑆𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡) 𝑏→∞

;

𝑏→∞

𝑏

∞

𝐿[𝑓 ′ (𝑡)] = lim ([𝑓(𝑏)𝑒 −𝑆𝑏 − 𝑓(0)] + 𝑆 ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡) = [𝑓(∞)𝑒 −𝑆(∞) − 𝑓(0)] + 𝑆 ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑏→∞

Puesto que 𝑓(𝑡) es una función SC, entonces 𝑓(∞) es un valor finito; y si 𝑆 > 0, entonces 𝑒 −𝑆(∞) tiende a 0. Así se obtiene que: 𝐿[𝑓 ′ (𝑡)] = 𝑆𝐿[𝑓(𝑡)] − 𝑓(0) ; 𝑆 > 0. Por recursividad se puede demostrar que: a) 𝐿[𝑓 ′′ (𝑡)] = 𝑆 2 𝐿[𝑓(𝑡)] − 𝑆𝑓(0) − 𝑓′(0). b) 𝐿[𝑓 (𝑛) (𝑡)] = 𝑆 𝑛 𝐿[𝑓(𝑡)] − 𝑆 𝑛−1 𝑓(0) − 𝑆 𝑛−2 𝑓 ′ (0) − ⋯ − 𝑆𝑓 (𝑛−2) (0) − 𝑓 (𝑛−1) (0). La transformada de Laplace de la integral 𝑡

1

Sea 𝑓(𝑡) una función SC y de OE, 𝐿 [∫0 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 ] = 𝐿[𝑓(𝑡)] ; 𝑆 > 0. 𝑆 Demo: 𝑡

∞

𝑡

𝐿 [∫0 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 ] = ∫0 𝑒−𝑆𝑡 (∫0 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 ) 𝑑𝑡. Realizando integración por partes: 𝑡

𝑑𝑢

𝑢 = ∫0 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 →

𝑑𝑡

=

𝑑

𝑑𝑡 ∞

𝑡

(∫0 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 ) = 𝑓(𝑡)

;

𝑡 𝑡 ∞ 1 1 Entonces 𝐿 [∫0 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 ] = [− 𝑒−𝑆𝑡 ∫0 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 ] − ∫0 − 𝑒−𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑆 𝑆 0 𝑡 ∞ 1 1 0 1 ∞ 𝐿 [∫0 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 ] = [(− 𝑒−𝑆(∞) ∫0 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 ) − (− ∫0 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 )] + ∫0 𝑒−𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑆 𝑆 𝑆 ∞ Debido a que 𝑓(𝑡) es de OE, entonces ∫0 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 es convergente; y si 𝑆 > 0, entonces 𝑒 −𝑆(∞) 𝑡 1 ∞ 1 Así se obtiene que: 𝐿 [∫0 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 ] = ∫0 𝑒−𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐿[𝑓(𝑡)] ; 𝑆 > 0. 𝑆 𝑆

La derivada de la transformada de Laplace Sea 𝑓(𝑡) una función SC y de OE tal que 𝐿[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑆) para 𝑆 > 𝑎 , Demo: 𝑑𝑛 (𝐿[𝑓(𝑡)]) = 𝑛

𝑑𝑛

𝑑𝑛 𝑑𝑆 𝑛

𝑒 −𝑆𝑡

𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑆𝑡 𝑑𝑡 → 𝑣 = ∫ 𝑒 −𝑆𝑡 𝑑𝑡 → 𝑣 =

−𝑆

tiende a 0.

(𝐿[𝑓(𝑡)]) = (−1)𝑛 𝐿[𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)] , 𝑆 > 𝑎.

∞ 𝑑𝑛 𝑑𝑛 [𝑒−𝑆𝑡 𝑓(𝑡)]) 𝑑𝑡 = ∫0 (𝑓(𝑡) 𝑛 [𝑒−𝑆𝑡 ]) 𝑑𝑡 , hallando la derivada n-ésima: 𝑑𝑆 𝑛 𝑑𝑆 𝑑 2 (𝑒 −𝑆𝑡 ) 𝑑 3 (𝑒 −𝑆𝑡 ) 𝑑 𝑛 (𝑒 −𝑆𝑡 ) = −𝑡𝑒 −𝑆𝑡 → = 𝑡 2 𝑒 −𝑆𝑡 → = −𝑡 3 𝑒 −𝑆𝑡 → = (−1)𝑛 𝑡 𝑛 𝑒 −𝑆𝑡 𝑑𝑆 𝑑𝑆 2 𝑑𝑆 3 𝑑𝑆 𝑛 𝑛 ∞ ∞ 𝑑 (𝐿[𝑓(𝑡)]) = ∫0 𝑓(𝑡)(−1)𝑛 𝑡 𝑛 𝑒−𝑆𝑡 𝑑𝑡 = (−1)𝑛 ∫0 𝑒−𝑆𝑡 𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = (−1)𝑛 𝐿[𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)]. 𝑑𝑆 𝑛 𝑑𝑛 1: La TL de funciones de la forma 𝑡 𝑛 𝑓(𝑡) tal que 𝑛 ∈ ℕ está dada por: 𝐿[𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)] = (−1)𝑛 𝑛 (𝐿[𝑓(𝑡)]). 𝑑𝑆 𝑑𝑆 𝑛 𝑑(𝑒 −𝑆𝑡 )

𝑑𝑆

Entonces Corolario

∞

∞

(∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡) = ∫0 (

A partir del corolario se puede deducir que: 𝐿[𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)] =

2𝑎𝑠 (𝑆 2 +𝑎2 )2

𝑆 2 −𝑎2

, 𝑆 > 0 ; 𝐿[𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)] = (𝑆 2 𝐿−1 [𝐹(𝑆)]

+𝑎2 )2

, 𝑆 > 0. 𝑑𝑛

1

Corolario 2: La TL inversa a partir de la derivada n-ésima de la transformada está dada por: = 𝑛 (−1)𝑛 𝐿−1 [ 𝑛 (𝐹(𝑆))]. 𝑡 𝑑𝑆 Deducción: 𝑑𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑛 (𝐿[𝑓(𝑡)]) = (−1)𝑛 𝐿[𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)] → 𝐿−1 [ 𝑛 (𝐹(𝑆))] = 𝐿−1 [(−1)𝑛 𝐿(𝑡 𝑛 𝑓(𝑡))] → 𝐿−1 [ 𝑛 (𝐹(𝑆))] = (−1)𝑛 𝐿−1 [𝐿(𝑡 𝑛 𝑓(𝑡))] 𝑛 𝑑𝑆

𝑑𝑛

𝑑𝑆 1

𝑑𝑆

𝑡𝑛

→ 𝐿−1 [

𝑛 𝑛 𝑛 (𝐹(𝑆))] = (−1) 𝑡 𝑓(𝑡) →

Materia: Ecuaciones Diferenciales

(−1)𝑛 𝐿−1 [

𝑑𝑛 𝑑𝑆

𝑑𝑆

−1 [ 𝐹(𝑆)] = 𝑛 (𝐹(𝑆))] = 𝑓(𝑡) → 𝐿

1 𝑡𝑛

(−1)𝑛 𝐿−1 [

𝑑𝑛 𝑑𝑆𝑛

(𝐹(𝑆))].

Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.

La integral de la transformada de Laplace Si 𝐿[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑆) y lim ( 𝑡→0

𝑓(𝑡) 𝑡

𝑓(𝑡)

) existe y es finito, entonces 𝐿 [

𝑡

∞

] = ∫𝑆 𝐹(𝑉)𝑑𝑉 .

Demo: ∞ 𝐿[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑆) = ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, entonces: ∞ ∫𝑆 𝐹(𝑉)𝑑𝑉

∞ ∞ ∞ ∞ = ∫𝑆 [∫0 𝑒 −𝑉𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ]𝑑𝑉 = ∫0 [∫𝑆 𝑒 −𝑉𝑡 𝑑𝑉]𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ∞ 𝑓(𝑡) 𝑓(𝑡) = ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑑𝑡 = 𝐿 [ ]. 𝑡 𝑡

=

∞ ∞ 1 ∫0 [−𝑡 𝑒 −𝑉𝑡 ] 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑆

Función escalón unitario La función escalón unitario se define como: 0 ; 0≤𝑡 0. ∞

𝑒 −𝑐𝑆

𝑐

𝑆

𝑒 −𝑆𝑡 ] =

siempre que 𝑆 > 0.

Se puede expresar funciones por tramos utilizando la función escalón unitario como se muestra a continuación: 𝑔(𝑡) ; 0 ≤ 𝑡 < 𝑎 Para 𝑓(𝑡) = {ℎ(𝑡) ; 𝑎 ≤ 𝑡 < 𝑏 , se consideran las siguientes funciones en términos de la función escalón unitario: 𝑖(𝑡) ; 𝑡≥𝑏

𝑦(𝑡) = 𝜇0 (𝑡) − 𝜇𝑎 (𝑡) = 1 − 𝜇𝑎 (𝑡) ;

𝑦(𝑡) = 𝜇𝑎 (𝑡) − 𝜇𝑏 (𝑡)

𝑦(𝑡) = 𝜇𝑏 (𝑡)

;

Entonces: 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡)(1 − 𝜇𝑎 (𝑡)) + ℎ(𝑡)(𝜇𝑎 (𝑡) − 𝜇𝑏 (𝑡)) + 𝑖(𝑡)(𝜇𝑏 (𝑡)) , 𝑡 ≥ 0 Primer teorema de traslación de la transformada de Laplace Sea 𝑓(𝑡) una función SC y de OE tal que 𝐿[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑆) para 𝑆 > 𝑎 y sea 𝑐 ∈ ℝ, 𝐿[𝑒 𝑐𝑡 𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑆 − 𝑐) ; 𝑆 > 𝑎 + 𝑐. De forma inversa: 𝐿−1 [𝐹(𝑆 − 𝑐)] = 𝑒 𝑐𝑡 𝑓(𝑡). Demo: ∞ ∞ ∞ 𝐿[𝑒𝑐𝑡 𝑓(𝑡)] = ∫0 𝑒−𝑆𝑡 𝑒𝑐𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫0 𝑒−(𝑆−𝑐)𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑆 − 𝑐), puesto que: 𝐹(𝑆) = ∫ 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡. 0

Además, puesto que 𝐿[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑆) para 𝑆 > 𝑎, se cumple |𝑓(𝑡)| ≤ 𝑘𝑒 𝑎𝑡 para 𝑡 ≥ 𝑀 donde 𝑘, 𝑀 ∈ ℝ+ y 𝑎 ∈ ℝ. De este modo:

𝑒 𝑐𝑡 |𝑓(𝑡)| ≤ 𝑒 𝑐𝑡 𝑘𝑒 𝑎𝑡 → |𝑒 𝑐𝑡 𝑓(𝑡)| ≤ 𝑘𝑒 (𝑎+𝑐)𝑡 → 𝑒 −𝑆𝑡 |𝑒 𝑐𝑡 𝑓(𝑡)| ≤ 𝑒 −𝑆𝑡 𝑘𝑒 (𝑎+𝑐)𝑡 → |𝑒 −(𝑆−𝑐)𝑡 𝑓(𝑡)| ≤ 𝑘𝑒 −(𝑆−𝑎−𝑐)𝑡 ∞ ∞ ∞ → ∫0 |𝑒 −(𝑆−𝑐)𝑡 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 ≤ ∫0 𝑘𝑒 −(𝑆−𝑎−𝑐)𝑡 𝑑𝑡 . Si 𝑆 − 𝑎 − 𝑐 > 0 ≡ 𝑆 > 𝑎 + 𝑐 , entonces ∫0 𝑘𝑒 −(𝑆−𝑎−𝑐)𝑡 𝑑𝑡 es convergente, ∞

∞

con lo cual la integral ∫0 |𝑒 −(𝑆−𝑐)𝑡 𝑓(𝑡)| 𝑑𝑡 es convergente, y por lo tanto ∫0 𝑒 −(𝑆−𝑐)𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 también es convergente. Segundo teorema de traslación de la transformada de Laplace Sea 𝑓(𝑡) una función SC y de OE tal que 𝐿[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑆) para 𝑆 > 𝑎 y sea 𝑐 > 0, 𝐿[𝜇𝑐 (𝑡)𝑓(𝑡 − 𝑐)] = 𝑒 −𝑐𝑆 𝐹(𝑆) ; 𝑆 > 𝑎. De forma inversa: 𝐿−1 [𝑒 −𝑐𝑆 𝐹(𝑆)] = 𝜇𝑐 (𝑡)𝑓(𝑡 − 𝑐). Demo: ∞ 𝑐 ∞ ∞ 𝐿[𝜇𝑐 (𝑡)𝑓(𝑡 − 𝑐)] = ∫0 𝑒−𝑆𝑡 𝜇𝑐 (𝑡)𝑓(𝑡 − 𝑐)𝑑𝑡 = ∫0 𝑒−𝑆𝑡 (0)𝑓(𝑡 − 𝑐)𝑑𝑡 + ∫𝑐 𝑒−𝑆𝑡 (1)𝑓(𝑡 − 𝑐)𝑑𝑡 = ∫𝑐 𝑒−𝑆𝑡 𝑓(𝑡 − 𝑐)𝑑𝑡. Aplicando el cambio de variable: 𝑣 = 𝑡 − 𝑐 , 𝑑𝑣 = 𝑑𝑡 , 𝑠𝑖 𝑡 = 𝑐 ⟹ 𝑣 = 0 , 𝑠𝑖 𝑡 → ∞ ⟹ 𝑣 → ∞. Entonces: ∞ ∞ ∞ ∞ 𝐿[𝜇𝑐 (𝑡)𝑓(𝑡 − 𝑐)] = ∫0 𝑒−𝑆(𝑣+𝑐) 𝑓(𝑣)𝑑𝑣 = ∫0 𝑒−𝑆𝑣 𝑒−𝑆𝑐 𝑓(𝑣)𝑑𝑣 = 𝑒−𝑐𝑆 ∫0 𝑒−𝑆𝑣 𝑓(𝑣)𝑑𝑣 = 𝑒−𝑐𝑆 ∫0 𝑒−𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑒−𝑐𝑆 𝐹(𝑆). Producto de convolución 𝑡 El producto de convolución entre dos funciones, 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡), se define como (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡) = ∫0 𝑓(𝑡 − 𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 Propiedades: 1) Conmutativa: 𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑔 ∗ 𝑓 2) Asociativa: 𝑓 ∗ (𝑔 ∗ ℎ) = (𝑓 ∗ 𝑔) ∗ ℎ 3) Distributiva: 𝑓 ∗ (𝑔 + ℎ) = (𝑓 ∗ 𝑔) + (𝑓 ∗ ℎ) 4) 𝑓 ∗ 0 = 0 Observación: la proposición 𝑓 ∗ 1 = 𝑓 no se cumple para toda función 𝑓. 𝑡

Demo de la propiedad conmutativa: 𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) = ∫0 𝑓(𝑡 − 𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 . Aplicando el cambio de variable:

𝑣 = 𝑡 − 𝑥 , 𝑑𝑣 = −𝑑𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 = 0 ⟹ 𝑣 = 𝑡 , 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑡 ⟹ 𝑣 = 0. 0

0

𝑡

𝑡

𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) = ∫𝑡 𝑓(𝑣)𝑔(𝑡 − 𝑣)(−𝑑𝑣) = − ∫𝑡 𝑓(𝑣)𝑔(𝑡 − 𝑣)𝑑𝑣 = ∫0 𝑔(𝑡 − 𝑣)𝑓(𝑣)𝑑𝑣 = ∫0 𝑔(𝑡 − 𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑡) ∗ 𝑓(𝑡) Transformada de Laplace del producto de convolución Sean 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) funciones SC y de OE, entonces 𝐿[𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡)] = 𝐿[𝑓(𝑡)]𝐿[𝑔(𝑡)] , esto es 𝐿[𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡)] = 𝐹(𝑆)𝐺(𝑆) . De forma inversa: 𝐿−1 [𝐹(𝑆)𝐺(𝑆)] = 𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡). Demo: ∞ ∞ 𝐹(𝑆) = 𝐿[𝑓(𝑡)] = ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 y 𝐺(𝑆) = 𝐿[𝑔(𝑇)] = ∫0 𝑒 −𝑆𝑇 𝑔(𝑇)𝑑𝑇 , entonces: ∞

∞

∞

∞

𝐹(𝑆)𝐺(𝑆) = (∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 )(∫0 𝑒 −𝑆𝑇 𝑔(𝑇)𝑑𝑇 ) = ∫0 ∫0 𝑒 −𝑆(𝑡+𝑇) 𝑓(𝑡)𝑔(𝑇)𝑑𝑡 𝑑𝑇. Materia: Ecuaciones Diferenciales

Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.

El teorema de cambio de variable para integrales dobles establece que: 𝜕𝑥/𝜕𝑢 ∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝑆 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣))|𝐽(𝑢, 𝑣)|𝑑𝑢𝑑𝑣 , donde 𝐽(𝑢, 𝑣) es el Jacobiano dado por: 𝐽(𝑢, 𝑣) = | 𝜕𝑦/𝜕𝑢

𝜕𝑥/𝜕𝑣 |. 𝜕𝑦/𝜕𝑣

Entonces se aplica el siguiente cambio de variable: 𝜃 = 𝑡 + 𝑇 ; 𝑥 = 𝑇, tal que: Variables originales: 𝑡, 𝑇 Nuevas variables: 𝜃, 𝑥 Variables originales en términos de las nuevas variables: 𝑇 = ⏟ 𝑥 ; 𝑡 =𝜃−𝑇 → 𝑡 = ⏟ 𝜃−𝑥. 𝑡(𝜃 , 𝑥)

𝑇(𝜃 , 𝑥)

𝜕𝑡/𝜕𝜃 Jacobiano: 𝐽(𝜃, 𝑥) = | 𝜕𝑇/𝜕𝜃

4

𝜕𝑡/𝜕𝑥 1 −1 |=| |=1 𝜕𝑇/𝜕𝑥 0 1

Región de integración de las variables originales (R): 0 ≤ 𝑇 < ∞ ; 0 ≤ 𝑡 < ∞ Región de integración de las nuevas variables (S): 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞ ; 0 ≤ 𝜃 − 𝑥 < ∞ 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞ ; 𝜃 ≥ 𝑥 ( sobre 𝜃 = 𝑥 ) Entonces, la región de integración S está dada por: 𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2 como se muestra a continuación:

Entonces: ∞ ∞ 𝐹(𝑆)𝐺(𝑆) = ∫0 ∫0 𝑒 −𝑆𝜃 𝑓(𝜃 − 𝑥)𝑔(𝑥)|𝐽(𝜃, 𝑥)|𝑑𝑥𝑑𝜃 Sustituyendo 𝐽(𝜃, 𝑥) = 1 y cambiando 𝜃 por 𝑡, lo cual es válido porque es una variable ficticia, se obtiene: ∞ ∞ ∞ 𝑡 ∞ 𝐹(𝑆)𝐺(𝑆) = ∫0 ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡 − 𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑡 = ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 (∫0 𝑓(𝑡 − 𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ) 𝑑𝑡 = ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 [𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡)]𝑑𝑡 = 𝐿[𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡)]. Función delta de Dirac 𝜹(𝒕)

1/𝑎 0

; ;

Sea la función 𝑤𝑎 (𝑡 − 𝑐) = {

𝑐 ≤𝑡 0.

∞

𝐿[𝛿𝑐 (𝑡)] = ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝛿𝑐 (𝑡)𝑑𝑡 = ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 lim 𝑤𝑎 (𝑡 − 𝑐) 𝑑𝑡 = lim (∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑤𝑎 (𝑡 − 𝑐)𝑑𝑡) = lim(𝐿[𝑤𝑎 (𝑡 − 𝑐)]) = 𝑎→0

∞ ∫0 𝛿(𝑡)𝑑𝑡

𝑎→0 𝑒−𝑐𝑆 (1−𝑒−𝑎𝑆) lim ( ) 𝑎𝑆 𝑎→0

=

𝑎→0 𝑒−𝑐𝑆 (−𝑒−𝑎𝑆 (−𝑆)) lim ( ) 𝑆 𝑎→0

= lim(𝑒−𝑐𝑆 𝑒−𝑎𝑆 ) = 𝑒 −𝑐𝑆 ; 𝑆 > 0. 𝑎→0

Además, = 1 y 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑐) = 𝑓(𝑐)𝛿(𝑡 − 𝑐). La función delta de Dirac se utiliza para representar impulsos unitarios, tales como golpes mecánicos instantáneos o impulsos eléctricos instantáneos. Transformada de Laplace de Funciones Periódicas Una función 𝑓: [0, ∞) → ℝ se dice periódica de periodo 𝑃, si 𝑓(𝑡 + 𝑛𝑃) = 𝑓(𝑡), ∀𝑛 ∈ ℕ, ∀𝑡 ≥ 0. Si 𝑓(𝑡) es una función periódica de periodo P, entonces 𝐿[𝑓(𝑡)] =

𝑃 1 ∫ 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 1−𝑒 −𝑆𝑃 0

; 𝑆 > 0.

Demo: ∞

𝑃

2𝑃

(𝑛+1)𝑃

3𝑃

𝐿[𝑓(𝑡)] = ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫0 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫𝑃 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫2𝑃 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ⋯ = ∑∞ 𝑛=0 (∫𝑛𝑃

Aplicando el cambio de variable:

𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 )

𝑣 = 𝑡 − 𝑛𝑃 , 𝑑𝑣 = 𝑑𝑡 , 𝑠𝑖 𝑡 = 𝑛𝑃 ⟹ 𝑣 = 0 , 𝑠𝑖 𝑡 = (𝑛 + 1)𝑃 ⟹ 𝑣 = 𝑃.

𝑃

𝑃

𝑃

−𝑆(𝑣+𝑛𝑃) 𝑓(𝑣 + 𝑛𝑃)𝑑𝑣) = ∑∞ (∫ 𝑒 −𝑆𝑣 𝑒 −𝑆𝑛𝑃 𝑓(𝑣)𝑑𝑣 ) = ∑∞ (𝑒 −𝑆𝑛𝑃 𝐿[𝑓(𝑡)] = ∑∞ ∫0 𝑒 −𝑆𝑣 𝑓(𝑣)𝑑𝑣) 𝑛=0 (∫0 𝑒 𝑛=0 0 𝑛=0 𝑃

𝑃

−𝑆𝑃 )𝑛 = (∫ 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ) ( 𝐿[𝑓(𝑡)] = (∫0 𝑒 −𝑆𝑣 𝑓(𝑣)𝑑𝑣 ) ∑∞ 𝑛=0(𝑒 0

1 1−𝑒 −𝑆𝑃

)=

𝑃 1 ∫ 𝑒 −𝑆𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 1−𝑒 −𝑆𝑃 0

; 𝑆 > 0.

Resolución de una EDO utilizando la transformada de Laplace Para resolver una EDO utilizando la transformada de Laplace es necesario conocer las condiciones iniciales, es decir, se debe tener un problema de valor inicial. La resolución consiste en aplicar la transformada de Laplace a cada lado de la EDO para así obtener la transformada de su solución. A continuación, se debe aplicar la transformada inversa de Laplace para hallar la solución de la EDO. Para resolver ecuaciones de coeficientes variables se utiliza el corolario 1 de la derivada de la transformada, con el propósito de transformar funciones de la forma 𝑡 𝑛 𝑓(𝑡), esto es: 𝐿[𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)] = (−1)𝑛 Materia: Ecuaciones Diferenciales

𝑑𝑛

𝑑𝑆 𝑛

𝐿[𝑓(𝑡)]. Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.

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Aplicaciones de EDO de 2do orden Un gran número de fenómenos físicos se describen por ecuaciones de la forma 𝑚

𝑑 2 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 2

+𝑐

𝑑𝑢(𝑡) 𝑑𝑡

+ 𝑘𝑢(𝑡) = 𝐹𝐸 (𝑡) donde 𝑚, 𝑐, 𝑘

son constantes, 𝑢(𝑡) es la función incógnita y 𝐹𝐸 (𝑡) es una función conocida. Los principales son las oscilaciones mecánicas y oscilaciones eléctricas, esto es, sistemas masa-resorte-amortiguador y circuitos eléctricos resistor-inductor-capacitor. Sistema masa-resorte-amortiguador (con movimiento unidimensional) POSICION DE EQUILIBRIO DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE 𝐹𝑅 : Fuerza de restitución del resorte en la posición de equilibrio

𝐿

𝐿 + ∆𝐿 𝑤 = 𝑚𝑔 Ley de Hooke: 𝐹𝑅 ≈ ∆𝐿, esto es, 𝐹𝑅 = 𝑘∆𝐿, tal que 𝑘 es una constante de restitución.

𝑚

Entonces, ∑ 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 = 0 → 𝑚𝑔 = 𝐹𝑅 → 𝑚𝑔 = 𝑘∆𝐿 → 𝑘 =

𝑚𝑔 . ∆𝐿

Si se desplaza el bloque de masa 𝑚 desde la posición de equilibrio y se lo suelta o si se aplica una fuerza externa al bloque, entonces el sistema inicia un movimiento oscilatorio mostrado y detallado a continuación. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

𝐹𝑅

𝐹𝑀

𝐿 + ∆𝐿 𝐹𝐸

𝑤 = 𝑚𝑔 Posición de equilibrio

𝑚

𝐹𝐸 : Fuerza externa 𝐹𝑀 : Fuerza de resistencia del medio (proporcional a la velocidad) 𝐹𝑅 : Fuerza de restitución del resorte en movimiento

Posición inicial

𝑢(𝑡0 )

Sea 𝑢(𝑡): Posición del bloque de masa 𝑚 en el instante 𝑡 con respecto a la posición de equilibrio, considerando signo positivo hacia abajo. 𝑑𝑢

𝑚

Entonces, 𝐹𝑅 = 𝑘(∆𝐿 + 𝑢(𝑡)) y 𝐹𝑀 = 𝑐 , 𝑘, 𝑐 son constantes de proporcionalidad. 𝑑𝑡 De acuerdo a la 2da ley de Newton: ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 = 𝑚𝑎 𝑚𝑔 + 𝐹𝐸 − 𝐹𝑀 − 𝐹𝑅 = 𝑚

𝑑2 𝑢 𝑑𝑡2

𝑑𝑢 − 𝑘(∆𝐿 + 𝑢(𝑡)) = 𝑑𝑡 𝑑𝑢 𝑑2 𝑢 + 𝐹𝐸 − 𝑐 − 𝑘∆𝐿 ⏟ − 𝑘𝑢(𝑡) = 𝑚 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑚𝑔 2

𝑚𝑔 + 𝐹𝐸 − 𝑐

𝑚𝑔

𝑚

𝑚

𝑑2 𝑢 𝑑𝑡2

𝑑 𝑢(𝑡) 𝑑𝑢(𝑡) +𝑐 + 𝑘𝑢(𝑡) = 𝐹𝐸 (𝑡) ; 𝑢(𝑡0 ) = 𝑢0 ; 𝑢′(𝑡0 ) = 𝑢0 ′ 𝑑𝑡 𝑑𝑡2

Circuitos eléctricos RLC (Resistor, inductor, capacitor 𝑅

𝐸(𝑡)

𝑖(𝑡)

𝐿

𝑅 : Resistencia [ohmios] 𝐿 : Inductancia [henrios] 𝐶 : Capacitancia [faradios] 𝐸(𝑡): Fuerza electromotriz [voltios] 𝑖(𝑡): Intensidad de corriente [amperios] 𝑞(𝑡): Carga almacenada en el capacitor [coulombs]

𝐶 Ecuación auxiliar: 𝑖(𝑡) =

1) 𝐿

𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

𝑑𝑞 → ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑞 → 𝑞(𝑡) = ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑡

→ 𝑞(𝑡) = ∫0 𝑖(𝑤)𝑑𝑤

1

1 𝐸(𝑡)−𝑅𝑖(𝑡)−𝐶𝑞(𝑡)

𝐶

𝐿

+ 𝑅𝑖(𝑡) + 𝑞(𝑡) = 𝐸(𝑡) por lo tanto: 𝑖 ′ (𝑡) =

→ 𝑖 ′ (𝑡0 ) =

1

𝐸(𝑡0 )−𝑅𝑖(𝑡0 )−𝐶𝑞(𝑡0 ) 𝐿

Las siguientes ecuaciones se deducen de la ecuación 1:

2) 𝐿 3) 𝐿 4) 𝐿

𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡 2 𝑑 2 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 2

𝑡

1

+ 𝑅𝑖(𝑡) + ∫0 𝑖(𝑤)𝑑𝑤 = 𝐸(𝑡) ; 𝑖(𝑡0 ) = 𝑡0 𝐶

𝑑𝑡 𝑑 2 𝑞(𝑡)

+𝑅 +𝑅

𝑑𝑞(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

:

ecuación integro-diferencial

1

+ 𝑞(𝑡) = 𝐸(𝑡) ; 𝑞(𝑡0 ) = 𝑞0 ; 𝑞 ′ (𝑡0 ) = 𝑖0 𝐶

1

1

𝐸(𝑡0 )−𝑅𝑖(𝑡0 )−𝐶𝑞(𝑡0 )

𝐶

𝐿

+ 𝑖(𝑡) = 𝐸 ′ (𝑡) ; 𝑖(𝑡0 ) = 𝑖0 ; 𝑖 ′ (𝑡0 ) =

Materia: Ecuaciones Diferenciales

Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.