LA ELIPSE
UNIVERSIDAD POLITECNIICA “JOSÉ ANTTONIO ANZOÁTTEGUI” INGENIERIA MECÁNIICA P.N.F. TRAYECTO I RA: MATEMÁTTICA CÁTEDR
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L LA ELIPSE
Una elipse es la curva quee se obtiene interceptand do un cono ccircular recto o y un plano:: Si el plan no está inclinado y no ees paralelo aa una de suss generatricees y corta a una sola ram ma del cono. DEFINICIONES: a) Seaan F y F’ dos puntos de u un plano F ≠ F ′ . Se deefine la ELIPSSE de focos F y F’ como el lugar ggeométrico de los punto os del plano tales que laa suma de su us distanciass a los focos es constaante e igual aa 2a (a > 0).
a1
.c o
m
b) Las rectas: La q que pasa po or los focos F y F’ y la rrecta mediattriz del segm mento FF ′ se n EJES DE SIM METRÍA DE LA ELIPSE. llaman
at
ic
c) El p punto de intersección O de los dos ejes de simeetría, se llam ma CENTRO DE LA ELIPSSE. Los pu untos A’, A, B B y B’ se llam man VERTICEES DE LA ELIP PSE.
ww
w.
M
at
em
A ′ es maayor que ell segmento BB ′ , amboos segmenttos se llaman Si el segmento AA respecctivamente EEJE MAYOR y EJE MENO OR de la elipsse.
OBSER RVACIONES:: 1) De hecho, cualquier par dee puntos deel plano pueden servir ccomo focos de una elipsse. Por sim mplicidad, solo s se conssiderarán inicialmente aquellos a caso os en los cu uales los foccos están en el mismo o eje (eje x, eeje y) y son ssimétricos uno del otro ccon respecto o al origen 1 http:///www.damasorojas.com.ve [email protected],[email protected], jo oeldama@yah hoo.com
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O = b = a 2 − b 2 2) Nóttese también n que como FB = F ′B = a , entoncces B′O = BO ECUAC CIONES ANA ALÍTICAS DE LA ELIPSE CASO 1 Elipses con focos. F ′( −c, 0); F ( −c, 0); c > 0 Eje mayor: Longitud d 2a: 2 a > 0 Eje meenor: Longitud d 2b: 2b > 0
TEOREEMA: La ecu uación de laa elipse con focos en lo os puntos F’ (‐c, 0) y F(cc, 0), eje mayor 2a, y eje e
.c om
x2 y2 + =1 a 2 b2
at
em at ic
a1
menorr 2b, viene d dada por:
ww w.
Demo ostración
M
Si p(x, y) es un pun nto que perttenece a la eelipse consid derada, se tieene de acueerdo a la definicción 1) que:
Fp + F′B = 2a ⇒ ( x − c)2 + y2 + ( x + c)2 + y2 = 2a ( x + c)2 + y2 = 2a − ( x − c)2 + y2 ⇒ ( ( x + c)2 + y2 )2 = (2a − ( x − c)2 + y2 )2 x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 − 4a ( x − c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2 2cx = 4a − 4a ( x − c) + y − 2cx ⇒ 4cx = 4a(a − ( x − c) + y ) 2
2
2
2
2
cx = a2 − a ( x − c)2 + y2 ⇒ a ( x − c)2 + y2 = a2 − cx
2 http:///www.damasorojas.com.ve [email protected],[email protected], jo oeldama@yah hoo.com
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(a ( x − c) 2 + y 2 ) 2 = (a 2 − cx) 2 ⇒ a 2 ( x 2 − 2cx + c 2 + y 2 ) = a 4 − 2a 2 + c 2 x 2 (a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ) peroo : b 2 = (a 2 − c 2 ) ⇒ b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 2
2
2
2
2 2
2
2
b x a y ab x y + 2 2 = 2 2 ⇒ 2 + 2 =1 2 2 ab a b ab ab 0, −c ); F (0,, c ); c > 0 Caso 2 2. Elipses con n focos F ′(0 Eje maayor: Longitu ud 2a (a > 0)) Eje meenor: Longitud 2b (b > 0)
a1
ww w.
M
at
em at ic
x2 y2 menorr 2b, viene d dada por: 2 + 2 = 1 b a
.c om
TEOREEMA: La ecu uación de la elipse con fo ocos en los p puntos F’ (0, ‐c) y F (0, c)), eje mayor 2a, y, eje
NOTA: Si en las ecuaciones e anteriores de la elipsee, se hace a = b, las ecuaciones e se transfo orman en la ecuación dee una circun nferencia de centro en el origen y radio a. Caso 3. (Caso Gen neral). Si en vez de conssiderar el centro de la elipse en el p punto (0, 0), como se hizo en los do os casos anteriores, se consideraa el punto C C (h, k), la eccuación de lla elipse corrrespondientte, se tran nsforma utilizando las eccuaciones de traslación en:
(x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1; a2 b2
( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1 b2 a2 3
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NOTAS: 1) Si a > b, la ecuación corresponde a una elipse con centro en C (h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x (sobre la recta y = k ) 2) Si b > a, la ecuación corresponde a una elipse con centro en C (h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y (sobre la recta x = h )
em at ic
a1
.c om
3) Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b es la del semieje menor, c es la distancia del centro a cada foco, y están relacionadas por la ecuación. a 2 = b 2 + c 2 4) El llamado Ancho Focal o Latus Rectum de la elipse es la magnitud del segmento de recta perpendicular al eje mayor que pasa por los focos. 5) Excentricidad Este es un concepto del cual depende la mayor o menor deformación que pueda experimentar una circunferencia para producir una elipse. La excentricidad que se representa con la letra e, se define como el cociente de la semi‐ distancia focal c entre el semi‐eje mayor a a. Precisamente veremos que la excentricidad debe ser cualquier número mayor que cero pero menor que uno. Es decir: 1 > e > 0. En efecto, si e = 0 forzosamente c= 0 y de la fórmula a2 – c2 = b2 se deduce que a=b, en cuyo
ww w.
M
at
caso la curva es una circunferencia, la que puede ser considerada como un caso particular de elipse con excentricidad nula. Ahora, si e =1 es evidente que a = c y de la propia fórmula a2 – c2 = b2 resulta: b = 0, en cuyo caso la deformación ha sido total, de tal manera que la curva se ha convertido en línea recta. ELIPSE DE EJE FOCAL PARALELO AL EJE X
( x – h) 2 ( y – k ) 2 + = 1; (a > b > 0) Ecuación ordinaria: a2 b2 Centro: c ( h, k ) Focos: F1 ( h + c, k ); F2 ( h − c, k ); c = Vértices:
a2 − b2
V1 (h + a, k ); V2 (h − a, k ) 4
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Ecuaciión del eje ffocal:
y=k
Ecuaciión del eje n normal: x = h
a2 Ecuaciión de las diirectrices: x = h ± c Distan ncia focal: F1F2 = 2c Longittud del eje m mayor: A1 A2
= 2a
Longittud del eje m menor: B1B2
= 2b
a1
.c om
2bb 2 Longittud del lado recto: a c < 1 Excenttricidad: e = a
Ax 2 + Cy C 2 + Dx + Ey E +F =0 2 2 2 2 Dondde : A = b ; C = a ; D = −2b h; E = −2a k ; F = b 2 h 2 + a 2 k 2 − a 2b 2 ademáás : A y C deben d ser del d mismo signo s
ww w.
M
at
em at ic
Ecuaciión general::
ELIPSEE DE EJE FOC CAL PARALELO AL EJE Y
( x – h) 2 ( y – k ) 2 + = 1; (b > a > 0) Ecuaciión ordinaria: 2 2 b a Centro o: c ( h, k ) Focos::
F1 (h, k + c); F2 (h, k − c ); c = a 2 − b 2
5
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V1 (h, k + a); V2 (h, k − a) Ecuaciión del eje ffocal: x = h Ecuaciión del eje n normal: y = k Vértices:
a2 Ecuaciión de las diirectrices: y = k ± c Distan ncia focal: F1F2 = 2c Longittud del eje m mayor: A1 A2 Longittud del eje m menor: B1B2
= 2a = 2b
a1
.c om
2b 2 Longittud del lado recto: a c < 1 Excenttricidad: e = a
em at ic
Ecuaciión general:: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Dondde : A = b 2 ; C = a 2 ; D = −2b 2 h; E = −2a 2 k ; F = b 2 h 2 + a 2 k 2 − a 2b 2
ww w.
M
at
ademáás : A y C deben d ser del d mismo signo s
ECUAC CION DE LA TANGENTE 1) DA ADO EL PUNTTO DE CONTTACTO P (X 00, Y 0): a) Dad da la ecuación ordinariaa de la elipse de eje focaal paralelo aal eje X:
( x – h) 2 ( y – k ) 2 + =1 a2 b2 6 http:///www.damasorojas.com.ve [email protected],[email protected], jo oeldama@yah hoo.com
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La ecuación de la tangente a la elipse en el punto P (x 0, y 0) es:
( x0 – h)( x – h) a2
+
( y 0 – k )( y – k ) b2
=1
b) Dada la ecuación ordinaria de la elipse de eje focal paralelo al eje Y:
( x – h) 2 ( y – k ) 2 + = 1 b2 a2 La ecuación de la tangente a la elipse en el punto P (x 0, y 0) es:
.c om
(x0 – h)( x – h) ( y0 – k )( y – k ) + =1 b2 a2
at
D E ( x + x0 ) + ( y + y0 ) + F = 0 2 2
M
Ax0 x + Cy0 y +
em at ic
a1
c) Dada la ecuación general de la elipse: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 La ecuación general de la tangente a la elipse en el punto P (x 0, y 0) es:
ww w.
2) DADA LA PENDIENTE M DE LA TANGENTE: a) Dada la ecuación ordinaria de la elipse de eje focal paralelo al eje X:
( x – h )2 ( y – k ) 2 + =1 a2 b2
Las ecuaciones principales de las tangentes de pendiente m son:
y = m( x − h) + k + a2m2 + b2 ; y = m( x − h) + k − a2m2 + b2 b) Dada la ecuación ordinaria de la elipse de eje focal paralelo al eje Y:
( x – h) 2 ( y – k ) 2 + =1 b2 a2 7 http://www.damasorojas.com.ve [email protected],[email protected], [email protected]
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Las eccuaciones prrincipales de e las tangenttes de pendiente m son:
y = m( x − h) + k + b2m2 + a2 ; y = m( x − h) + k − b2m2 + a2 1) Halle la ecuació ón de la elipsse que tienee su centro een (0,0) y cuyyos focos so on los puntoss F (3,0) yy F´ (‐3,0), ad demás el inteercepto de la gráfica con n el eje x es el punto (5,0 0). Como la elipse co orta el eje x en el punto o (5,0) se sigue que: a = 5 y como c = 3 se tiene
a1
.c om
que, b 2 = 52 − 32 = 16 y por taanto b = ±4 .
em at ic
De estta forma, loss vértices dee la elipse so on los puntoss V1 (5, 0), V2 (−5, 0), V3 (00, 4) y V (0, −4)
at
x2 y 2 x2 y 2 + = 1 Además, su ecuacción viene daada por: 2 + 2 = 1 ⇔ 25 16 5 4
ww w.
M
2) Dettermine la ecuación e dee la elipse sabiendo que su ele maayor mide 16cm 1 y su eje e menorr 10cm.
2a = 16 ⇒ a = 8cm ; 2 b = 10 ⇒ b = 5 cm x2 y2 x2 y2 + =1⇒ + =1 64 25 a2 b2
3) Trazzar la elipse cuya ecuación viene dada por: 25xx + 4 y = 100 2
25 x2 + 4 y 2 = 100 ⇒
2
25 x2 4 y2 100 x2 y2 = ⇒ + + = 1 100 100 100 4 25
La última ecuació ón corresponde a una elipse e centrrada en el origen o cuyo eje mayor es y r es a = 2 . A Además, los ffocos de la eelipse están localizados sobre el ejee y. b = 5 y eje menor
c 2 = 25 2 − 4 = 21 ⇒ c = ± 21 ⇒ FOCOS F1 (0, 21); F2 (0, − 211) Vérticces : V1 (2, 0); V2 (5, 0); V3 (−2, 0); V4 (0, −5)
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una elipse do onde el eje menor midee 4 cm, y la distancia foccal 4) Dettermine la eccuación de u
2b = 4 ⇒ b = 2 cm ;
2c = 2 2 ⇒ c =
(2) 2 + ( 2 ) 2 ⇒ a =
a1
.c om
y2 x2 y2 x2 + =1⇒ + =1 a2 b2 6 4
2⇒ a=
ic
5) Dettermine el ccentro, los vértices, los focos y dibu ujar la elipsee que tiene por ecuació ón:
at
4x 2 + y 2 − 16 x + 2 y + 13 = 0
em
(4x 2 − 16 x) + ( y 2 + 2 y ) = −13
at
4(x 2 − 4 x + 4 − 4) + ( y 2 + 2 y + 1 − 1) = −133 (Completaación de cuaadrado)
ww
4(x − 2) 2 + ( y + 1)) 2 = 4
w.
M
4(x − 2) 2 − 16 + ( y + 1) 2 − 1 = −13 (Factorrización y sim mplificación)) ( x − 2) 2 ( y + 1) 2 = 1 (Dividieendo por 4) + 1 4 ú ecuacción corresp ponde a la elipse e cuyo centro c es el punto C(2, −1) , semiejees; Esta última o a < b , el eeje focal es paralelo al eeje y y tienee por ecuación x = 2 . LLos a = 1 y b = 2 . Como vérticees son los puntos V1 (22,1), V2 (2, −3), V3 (3, −1) y V4 (1, −1) . Co omo c = b 2 − a 2 = 3 , se tiene q que los focos están localizados en lo os puntos F1 (2, −1 + 3) y y F ′(2, −1 − 3) .
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6) En una elipse se conoce la longitud de la distancia focal igual a 20cm, Determine la ଶ
ecuación de la elipse, sabiendo que tiene una excentricidad igual a ଷ
2 c = 20 ⇒ c = 10 cm ; ⇒ como e =
c c 10 ⇒ a = ⇒ a = 2 ⇒ a = 15 cm a e 3
b 2 = a 2 + c 2 ⇒ b 2 = (15) 2 + (10) 2 ⇒ b 2 = 125 2
2
2
2
x y x y + = 1 ⇒ + =1 a2 b2 225 125
em at ic
a1
.c om
7) Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F ′(−3, 0) y F (3, 0) , y su eje mayor mide 10.
at
Semieje mayor 2 a = 10 ⇒ a = 5
ww w.
M
Semi ‐ distancia focal: FF ′ = 2c = 6 ⇒ c = 3 Semieje menor: b 2 = 25 − 9 ⇒ b = 4 Ecuación reducida: Excentricidad: e =
x2 y 2 + = 1 25 16
3 5
8) Dada la ecuación reducida de la elipse
x2 y 2 + = 1 , hallar las coordenadas de los 4 9
vértices de los focos y la excentricidad. a = 9 = 3 ⇒ b = 4 = 2 ⇒ A (0,3); A′ (0, −3); c = 9 − 4 = 5 ⇒ F (0, 5); F ′ (0, − 5); e =
5 3
B (2, 0); B′ (−2, 0)
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9) Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos P ( x, y ) cuya suma de distancias a los puntos fijos (4,2) y (‐2,2) sea igual a 8.
PF + PF ′ = 8
(x + 2)2 + ( y − 2)2 + (x − 4)2 + ( y − 2)2 = 8 ⇒ (x + 2)2 + ( y − 2)2 = 8 − (x − 4)2 + ( y − 2)2 Elevando al cuadrado y reduciendo términos 3 x − 19 = −4 ( x − 4) 2 + ( y − 2) 2
Elevando de nuevo al cuadrado y reduciendo términos, resulta la elipse
7 x 2 + 16 y 2 − 14 x − 64 y − 41 = 0 11) Hallar la ecuación de la elipse de foco F (7, 2) , de vértice A(9, 2) y de centro c (4, 2)
.c om
( x − 4)2 ( y − 2)2 + =1 25 16
a1
b = 25 − 9 = 4; c = 7 − 4 = 3 ⇒
em at ic
a = 9 − 4 = 5;
( x − 6) 2 ( y + 4) 2 + = 1 , hallar su centro, semiejes, vértices 12) Dada la elipse de ecuación 36 16 y focos.
c = 36 − 16 = 20 ⇒ c = 2 5
ww w.
M
at
a 2 = 36 ⇒ a = 6; b 2 = 16 ⇒ b = 4; C (6, −4); A (12, −4); A′ (0, −4) F (6 + 2 5, −4) ⇒ F ′ (6 − 2 5, −4);
B (6, 0) ⇒ B′ (6, −8)
13) Determinar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos A(3, 2 3); B (0, 4)
x2 y 2 9 12 Para el punto A : 2 + 2 = 1 ⇒ 2 + 2 = 1 ⇒ 9b 2 + 12a 2 = a 2b 2 (*) a b a b 2 2 x y 0 16 Para el punto B : 2 + 2 = 1 ⇒ 2 + 2 = 1 ⇒ b 2 = 16 a b a b Sust. en (*) 9(16) + 12a 2 = a 2 (16) ⇒ a 2 = 36 x2 y 2 La ec. buscada es : + =1 36 16
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14) Dada la ecuación general de la elipse 9 x 2 + 25 y 2 − 72 x − 100 y − 656 = 0 determine sus características
( x – 4) 2 ( y – 2) 2 Ec . + = 1; 100 36 focos : F1 (12, 2); F2 ( − 4, 2); Eje focal : y = 2;
centro : c (4, 2) Vértices : V1 (14, 2); V 2 ( − 6, 2)
Eje normal : x = 4
Ec . de las directrices : x1 = 16, 5; x 2 = − 8, 5 :
F2 F1 = 16
longitud del eje mayor = 20; longitud del eje menor = 1 2 longitud del lado recto = 7, 2; excentricidad : e = 0, 8 15) Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.
em at ic
a1
.c om
x2 y2 x2 y2 2 2 1) + =1; 2) x + 4y =16; 3) + =1; 4)3x2 + 2y2 = 6 16 12 9 25
ww w.
M
at
x2 y2 1) + = 1; a 2 = 1 6 ⇒ a = 4 ⇒ A ( 4, 0 ); A ′ ( − 4, 0 ) 16 12 b 2 = 1 2 ⇒ b = 2 3 ⇒ B (0, 2 3 ); B ′ (0, − 2 3 ) 1 c 2 = 1 6 − 1 2 ⇒ c = 2 ⇒ F ( 2, 0 ); F ′ ( − 2, 0 ) e = 2
x2 y2 + =1 2) x + 4 y = 16 ⇒ 16 4 a 2 = 16 ⇒ a = 4 ⇒ A (4, 0); A ′( − 4, 0) 2
2
b 2 = 4 ⇒ b = 2 ⇒ B (0, 2); c2 =
B ′(0, − 2)
16 − 4 ⇒ c = 2 3 ⇒ F (2 3 , 0);
F ′( − 2 3 , 0);
e=
3 2 12
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x2 y2 3) + = 1 ⇒ a 2 = 2 5 ⇒ a = 5 ⇒ A (0 , 5 ); 9 25 2 b = 9 ⇒ b = 3 ⇒ B ( 3 , 0 ) ; B ′( − 3 , 0 )
2 5 − 9 ⇒ c = 4 ⇒ F ( 0 , 4 ) ⇒ F ′( 0 , − 4 ) ; e =
4 5
at
em at ic
a1
.c om
c2 =
A ′( 0 , − 5 )
A ′ (0, − 3 )
b2 = 2 ⇒ b =
2 ⇒ B ( 2 , 0 );
B ′( −
c2 =
ww w.
M
a2 = 3 ⇒ a =
x2 y2 + =1 2 3 3 ⇒ A (0, 3 );
4 )3 x 2 + 2 y 2 = 6 ⇒
2 , 0)
3 − 2 ⇒ c = 1 ⇒ F (0 ,1); F ′ (0, − 1);
e=
1 3 = 3 3
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16) Determine los radios vectores del punto de abscisa 2 en una elipse de 20cm de eje mayor y 16 de eje menor.
2a = 20 ⇒ a = 10; 2b = 16 ⇒ b = 8; c = 100 − 64 ⇒ c = 6 c 6 3 e= ⇒e= ⇒e= a 10 5 3x 3x r = a + ex ⇒ r = 10 + ⇒ r = 11, 2cm; r1 = a − ex ⇒ r = 10 − ⇒ r = 8,8cm 5 5 17) Una elipse tiene su centro en el origen, y su eje mayor coincide con el eje Y. Si uno de los focos ଵ es (0, 3) y la excentricidad es igual a , determine las coordenadas del otro foco, las longitudes de ଶ los ejes mayor y menor, la ecuación de la elipse y la longitud de cada uno de sus lados rectos.
.c om
como : F1 (0, 3) ⇒ c = 3 y F2 (0, −3)
1 3 c ⇒ = ⇒ a = 6 ⇒ b = a 2 − c 2 ⇐ b = 36 − 9 ⇒ b = 3 3 2 a a longitud del eje mayor : 2 a = 12; longitud del eje menor : 2b = 6 3
at
x2 y2 x2 y2 + =1⇒ + =1 27 36 b2 a2
em at ic
a1
además e =
ww w.
M
2b 2 2(27) longitud de cada lado recto : = =9 6 a 18) Los vértices de una elipse tienen por coordenadas (‐3, 7) y (‐3, ‐1), y la longitud de cada lado recto es 2. Hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de su eje mayor y menor, las coordenadas de los focos y su excentricidad.
como : V1(−3,7) yV2 (−3, −1) estánsobre el eje focal ⇒ el eje focal es paralelo al eje y (x − h)2 ( y − k)2 ⇒ 2 + =1; donde el centro es el punto medio del eje mayor :VV 1 2 b a2 ⎛ −3 − 3 7 −1⎞ PVV1 2 ⎜ , ⎟ ⇒ PVV1 2 (−3,3) 2 ⎠ ⎝ 2 la longitud del eje mayor : es 8 ⇒ 2a = 8 ⇒ a = 4 longitud de cada lado recto :
2b2 = 2 ⇒b = a ⇒b = 2 a 14
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longitud del eje menor : 2b = 4 (x + 3)2 ( y − 3)2 + =1 4 16 c = a2 − b2 ⇒ c = 16 − 4 ⇒ c = 2 3 ⇒ F1(−3,3 + 2 3) y F2 (−3,3− 2 3) c 2 3 3 además e = ⇒ = a 4 2
19) Represente gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.
1) x2 + 2 y2 − 2x + 8y + 5 = 0;
2)25x2 + 9 y2 −18y − 216 = 0
3) x2 + 3y2 − 6x + 6 y = 0;
4)3x2 + y2 − 24x + 39 = 0
a1
( x 2 − 2 x + 1) − 1 + 2 ( y 2 + 4 y + 4 ) − 8 + 5 = 0
.c om
1) x 2 + 2 y 2 − 2 x + 8 y + 5 = 0
at
4−2 ⇒ c =
2 ); B ′ (1, − 2 −
2 ⇒ F (1 +
2)
F ′ (1 −
2 , − 2 );
2 , −2)
ww w.
c2 =
2 ⇒ B (1, − 2 +
M
b2 = 2 ⇒ b =
em at ic
( x − 1) 2 ( y + 2 ) 2 + = 1 ⇒ C (1, − 2 ) 4 2 a 2 = 4 ⇒ a = 2 ⇒ A (3, − 2 ); A ′ ( − 1, − 2 )
( x − 1) 2 + 2 ( y + 2 ) 2 = 4 ⇒
2) 25x2 + 9 y2 −18 y − 216 = 0 x2 ( y −1)2 = 1 ⇒ C(0,1) 25x + 9( y − 2 y +1) − 9 − 216 = 0 ⇒ 25x + 9( y −1) = 225 ⇒ + 9 25 a2 = 25 ⇒ a = 5 ⇒ A(0,6); A′(0, −4); b2 = 9 ⇒ b = 3 ⇒ B(3,1); B′(−3,1) 2
2
2
2
c2 = 25 − 9 ⇒ c = 4 ⇒ F (0,5); F ′(0, −3) 15 http://www.damasorojas.com.ve [email protected],[email protected], [email protected]
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3) x2 + 3y2 − 6x + 6 y = 0 (x2 − 6x + 9) − 9 + 3( y2 + 2 y +1) − 3 = 0 ⇒ (x − 3)2 + 3( y +1)2 = 12 ⇒
(x − 3)2 ( y +1)2 + =1 12 4
C(3, −1); a = 12 ⇒ a = 2 3 ⇒ A(3 + 2 3, −1); A′(3 − 2 3, −1) 2
at
em at ic
a1
.c om
b2 = 4 ⇒ b = 2 ⇒ B(3,1); B′(3, −3); c2 = 12 − 4 ⇒ c = 2 2 ⇒ F(3 + 2 2, −1); F′(3 − 2 2, −1)
M
ww w.
4)3x2 + y 2 − 24 x + 39 = 0
( x − 4)2 y 2 + = 1 ⇒ C(4,0) 3 9 2 2 a = 9 ⇒ a = 3 ⇒ A(4,3); A′(4, −3); b = 3 ⇒ b = 3 ⇒ B(4 + 3,0); B′(4 − 3,0)
3( x2 − 8x + 16) − 48 + y 2 + 39 = 0 ⇒ 3( x − 4)2 + y 2 = 9 ⇒
c2 = 9 − 3 ⇒ c = 6 ⇒ F (4, 6); F ′(4, − 6)
16 http://www.damasorojas.com.ve [email protected],[email protected], [email protected]
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20) La ecuación de una elipse es x + 4 y + 2x −12 y + 6 = 0 reducir esta ecuación a la forma ordinaria y determinar las coordenadas del centro, las coordenadas de los focos, de los vértices, las longitudes del eje mayor, del eje menor, longitud de cada lado recto y la excentricidad. 2
2
x 2 + 4 y 2 + 2 x − 12 y + 6 = 0 ( x 2 + 2 x ) + 4( y 2 − 3 y ) = − 6 ⇒ ( x 2 + 2 x + 1) 2 + 4( y 2 − 3 y + 94 ) 2 = − 6 + 1 + 9 ( x − h)2 ( y − k )2 ( x + 1) 2 ( y − 32 ) 2 ( x + 1) + 4( y − ) = 4 ⇒ + =1⇒ + =1 4 1 b2 a2 c ( − 1, 32 ); el eje focal es paralelo al eje X 2
3 2 2
a 2 = 4 ⇒ a = 2 ⇒ V1 ( − 1 + 2, 32 ) ⇒ V1 (1, 32 ); V 2 ( − 1 − 2, 32 ) ⇒ V 2 ( − 3, 32 ) c2 =
4 −1 ⇒ c =
3 ⇒ F1 ( − 1 +
3, 32 ); F2 ( − 1 −
3, 32 )
e=
a1
2 b 2 2(1) = =1 a 2
em at ic
longitud de cada lado recto :
.c om
longitud del eje mayor : 2 a = 4; longitud del eje menor : 2 b = 4
c 3 ⇒e= a 2
21) Halla la ecuación de la elipse conociendo:
at
2) C(0,0); F (0,4); A(0,5) 4) C(−3,2); F(−1,2); A(2,2)
ww w.
M
1) C(0,0); F(2,0); A(3,0) 3) C(1, −1); F (1,2); A(1,4)
1) C (0, 0); F (2, 0); A(3, 0) ⇒ a = 3; c = 2 ⇒ b = 9 − 4 = 5 x2 y2 + =1 9 5 2) C (0, 0); F (0, 4); A(0, 5) ⇒ a = 5; c = 4 ⇒ b = 25 − 16 = 3 x2 y2 + =1 9 5
3) C (1, −1); F (1, 2); A(1, 4) ⇒ a = 5 ⇒ c = 3 ⇒ b = 25 − 9 = 4 ( x − 1) 2 ( y + 1) 2 + =1 16 25 17 http://www.damasorojas.com.ve [email protected],[email protected], [email protected]
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4) C ( −3, 2); F ( −1, 2); A(2, 2) ⇒ a = 5; c = 2 ⇒ b = 25 − 4 = 21 ( x + 3) 2 ( y − 2) 2 + =1 25 21
22) Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que uno de los vértices dista 8 de un foco y 18 del otro.
2a = 18 + 8 = 26 ⇒ a = 13; c = 13 − 8 = 5 ⇒ b = 132 − 52 = 12 x2 y 2 + =1 169 144
.c om
23) Hallar la ecuación reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0,4) y su ଷ excentricidad es 2
a1
ହ
2
2
em at ic
0 4 4 + 2 =1⇒ 2 = 1⇒ b = 4 2 a b b
ww w.
M
at
a2 −16 3 9 a2 −16 = ⇒ = ⇒ 9a2 = 25a2 − 400 2 a a 5 25 x2 y 2 2 2 16a − 400 = 0 ⇒ a − 25 = 0 ⇒ a = 5 ⇒ + = 1 25 16 24) Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por el punto (2,1) y cuyo eje menor mide 4.
22 12 4 3x2 y2 2b = 4 ⇒ b = 2 ⇒ 2 + 2 = 1 ⇒ a = ⇒ + = 1 a 2 16 4 3 25) La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse.
2c = 4 ⇒ c = 2; 2a = 2 + 6 ⇒ a = 4 ⇒ b = 16 − 4 = 12 ⇒ b = 2 3 x2 y2 + =1 16 12
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⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ 26) Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por los puntos: ⎜⎜1, ⎟⎟ y ⎜⎜ 2, ⎟ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝
3 ⎧1 2 2 2 2 + ⎪⎪ a2 4b2 = 1 ⇒ 4b + 3a = 4a b ⎧⎪4b2 + 3a2 = 4a2b2 ⎪⎧−8b2 − 6a2 = −8a2b2 ⇒⎨ 2 ⇒⎨ 2 ⎨ 2 2 2 2 2 2 ⎩⎪8b + 2a = 4a b ⎪ 2 + 2 = 1 ⇒ 8b2 + 2a2 = 4a2b2 ⎩⎪8b + 2a = 4a b ⎪⎩ a2 4b2 x2 2 2 2 2 −4a = −4a b ⇒ 1 = b ⇒ b = 1 ⇒ a = 2 ⇒ + y2 = 1 4 2 2 27) Hallar la ecuación de la tangente a la elipse 3x + 4 y = 16 en el punto (2,‐1)
3x2 4 y2 16 x2 y2 + = ⇒ + = 1 ⇒ c(0,0); p(2, −1) 16 16 16 163 4
(x0 – h)(x – h)
( y 0 – k )( y – k )
2x 16 3
+
(2 – 0)(x –0) 16 3
a1
b2
=1⇒
+
em at ic
a2
+
.c om
3x2 + 4 y2 = 16 ⇒
(−1– 0)( y – 0) =1 4
−y 6x y 6x − 4 y =1⇒ − = 1⇒ = 1 ⇒ 6x − 4 y = 16 ⇒ 3x − 2 y − 8 = 0 4 16 4 16
ww w.
M
at
28) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0), es igual a la mitad de la correspondiente a la recta x −16 = 0
x −16 se tiene que : ( x − 4) + ( y − 0) = ⇒ 2 2
2
(
( x − 4) + ( y − 0) 2
2
)
2
⎛ x −16 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2
4(x2 − 8x +16 + y2 ) = x2 − 32x + 256 ⇒ 3x2 + 4 y2 = 192(elipse) 29) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos p(x, y), cuya suma de distancia a los puntos (4, 2), (‐2, 2) es igual 8.
F1 P + F2 P = 8 ⇒
( x + 2) 2 + ( y − 2) 2 + ( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 = 8
( x + 2) 2 + ( y − 2) 2 = 8 − ( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 ⇒
(
( x + 2) 2 + ( y − 2) 2
) ( 2
= 8 − ( x − 4) 2 + ( y − 2) 2
)
2
( x + 2) 2 + ( y − 2) 2 = 64 − 16 ( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 + ( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 19 http://www.damasorojas.com.ve [email protected],[email protected], [email protected]
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(
3x −19 = − ( x − 4)2 + ( y − 2)2 ⇒ ( 3x −19) = − ( x − 4)2 + ( y − 2)2 2
7x2 +16 y2 −14x − 64 y − 41 = 0(elipse)
) 2
x2 y 2 + = 1 determine la ecuación de las tangentes de pendiente igual 30) Dada la elipse 8 4 a 2.
a = 8; b = 2 c(0,0) ⇒ y = m( x − h) + k ± a2m2 + b2 ⇒ y = mx ± a2m2 + b2
y = 2x ± 8(4) + 4 ⇒ y = 2x ± 6
31) Hallar las coordenadas del punto medio de la curva que intercepta la recta:
em at ic
a1
.c om
x + 2 y −1 = 0 en la elipse: x2 + 2 y2 = 3
ww w.
M
at
⎧x + 2 y −1 = 0 ⇒ x = 1− 2 y ⎨ 2 2 2 2 2 2 2 ⎩x + 2 y = 3 sust. (1− 2 y) + 2 y = 3 ⇒1− 4 y + 4 y + 2 y = 3 ⇒−2 − 4 y + 6 y = 0 1 5 −2 − 4 y + 6 y2 = 0 ⇒ y = 1 ⇒ x = −1; y = ⇒ x = 3 3 ⎛ −1+ 53 1− 13 ⎞ ⎛ 5 1⎞ ⎛ 1 1⎞ , A(−1,1); B ⎜ , − ⎟ ⇒ PAB ⎜ ⇒ PAB ⎜ , ⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝ 2 32) Determinar la ecuación de la elipse cuya directriz es la recta x=‐1, además uno de los ଶ
focos es el punto (4,‐3) y su excentricidad es ଷ
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por definición : e = 2 = 3
PF < 1(elipse) PM
( x − 4) + ( y + 3) 2
2
⇒ 2( x + 1) = 3
x +1
( 2( x + 1) )
2
(
= 3
( x − 4 ) + ( y + 3) 2
2
( x − 4 ) + ( y + 3) 2
2
) ⇒ 5x + 9 y − 80x + 54 y = −221 2
2
2
5( x2 − 16 x + +64) + 9( y 2 + 6 y + 9) = −221 + 320 + 81 ⇒ 5( x − 8)2 + 9( y + 3)2 = 180 ( x − 8)2 ( y + 3)2 + =1 36 20
a1
.c om
33) Determina la ecuación reducida de un elipse cuya distancia focal es 8 6 y el área del 2 rectángulo construidos sobre los ejes 80 u .
em at ic
2c = 8 6 ⇒ c = 4 6
at
⎧a2 = b2 + 96(*) ⎧⎪a2 = b2 + (4 6)2 ⎪ ⇒ ⎨ 20 ⎨ ⎪⎩2a .2b = 80 ⎪b = a ⎩ 2
⎛ 20 ⎞ de (*) : a = ⎜ ⎟ + 96 ⇒ a2 − 96a2 − 400 = 0 ⇒ a = 10; b = 2 ⎝a⎠ 2 2 x y + =1 100 4
ww w.
M
2
34) Determinar las ecuaciones de las tangentes a la elipse x 2 + 4 y 2 = 100 paralelas a la recta 3x + 8 y = 7
x2 y2 + = 1 ⇒ a = 10; b = 5; c(0,0) 100 25 De la recta : 3x + 8 y − 7 = 0 ⇒ mr = −83 ; x2 + 4 y2 = 100 ⇒
y = m(x − h) + k ± a m + b ⇒ y = mx ± a m + b ⇒ y = 2
2
2
2
2
2
−3 8
x ± 100( ) + 25
−3 2 8
y = 3x ± 8 y − 50 = 0 21 http://www.damasorojas.com.ve [email protected],[email protected], [email protected]
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EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Calcular la ecuación reducida de la elipse que tiene por distancia focal 8 cm. y la suma de los radio vectores de un punto es 10 cm. 2) Hallar los elementos de la elipse
x2 y2 + = 1 . 9 16
3) Hallar los elementos de la elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 900
a1
.c om
4) Hallar la ecuación de la elipse cuyo eje mayor es 10 y la distancia focal es 8. Hallar sus elementos.
at
em at ic
5) Calcular los ejes, focos, vértices excentricidad y hacer la representación gráfica de las siguientes hipérbolas: 3 x 2 + 5 y 2 = 15 16 x 2 + 9 y 2 = 576
M
6) Calcular las ecuaciones reducidas de las siguientes elipses: 3
ww w.
a) Distancia focal 16, excentricidad 4 b) Distancia focal 8 6 y eje menor 6. 7) Puntos comunes de la elipse
x2 y2 + = 1 y la recta x + 3 y − 3 = 0 225 25
⎛ 5 6⎞ 8) Comprobar si el punto ⎜⎜ 5, ⎟⎟ pertenece a la elipse de ejes 2 a = 20 y 2b = 10 . 2 ⎝ ⎠
9) Determinar la ecuación reducida de cada una de las siguientes elipses, con los datos que se indica. a) Eje mayor 12 cm. distancia focal 8 cm. 22 http://www.damasorojas.com.ve [email protected],[email protected], [email protected]
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3 b) Distancia focal 12 cm. excentricidad 4 .
c) Distancia focal 8 6 y área del rectángulo construido sobre los ejes 80. d) Distancia focal 10 y pasa por el punto (4,3). e) Eje mayor 18 y pasa por P(6,4). 3 f) Pasa por P(3,4) y excentricidad . 5 10) Hallar el área del rectángulo de vértices los puntos de intersección de la elipse x2 y 2 + = 1 con las bisectrices de los ángulos formados por los ejes coordenados. a 2 b2
a1
.c om
11) Hallar la ecuación de la elipse canónica que pasa por los puntos A( 3, 2 3 ) y B(0,4).
at
em at ic
12) Calcular todos los elementos de las siguientes elipses y dibujarlas: 3 x 2 + 5 y 2 = 15 25 x 2 + 16 y 2 = 460
ww w.
M
13) Hallar todos los elementos de la elipse 5 x 2 + 3 y 2 − 20 x + 6 y + 8 = 0 . Dibujarla. 14) Hallar todos los elementos de la elipse x 2 + 16 y 2 + 8 x + 64 y + 64 = 0 . Dibujarla. 15) Hallar el lugar geométrico de los puntos que cumplen que su distancia al punto (3,0) y 25 3 su distancia a la recta x = están en razón . 3 5 16) Halla la ecuación reducida de una elipse que pasa por el punto P(3,2) y tiene un vértice en el punto A(‐8,0). 17) En cada una de las elipses siguientes: x2 y2 + =1 169 144 225 x 2 + 289 y 2 = 65.025 23 http://www.damasorojas.com.ve [email protected],[email protected], [email protected]
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ic
a1
.c
om
Hallar: a) La longitud del semieje mayor. b) La longitud del semieje menor. c) Las coordenadas de los focos. d) La excentricidad. 18) Hallar las ecuaciones de las elipses siguientes de forma que satisfagan las condiciones que se indican. a) Foco (±4,0), vértice (±5,0) b) Longitud del latus rectum = 5, vértice (±10,0). 5 c) Foco (±5,0), excentricidad = 8
ww w.
M
at
em
at
19) Dada la elipse de ecuación 9 x 2 + 16 y 2 − 36 x + 96 y + 36 = 0 . Hallar: a) Las coordenadas del centro. b) El semieje mayor. c) El semieje menor. d) Los focos. e) La longitud del latus ‐ rectum. 20) Hallar la ecuación de la elipse de centro (3,1), uno de los vértices en (3,‐2) y 1 excentricidad e = 3 21) Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (0,1), (2,2), (4,0) y cuyos ejes son paralelos a los de coordenadas.
DÁMASO ROJAS JULIO 2009
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