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• RamiroGuzmanHurtado

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ELIPSE LA ELIPSE Es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a puntos fijos es constante.

En donde la ecuación de la elipse está dada por

x2 a2

+

y2 b2

=1

o

x 2 b 2+ y 2 a2=a2 b2

. Como

esta ecuación solo contiene potencias pares de x e y, la curva es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas x e y y con respecto al origen. El punto 0 es el centro de la elipse y los ejes se denominan eje mayor y eje menor. Si los focos fueran los puntos de coordenadas (0, c ) y (0, −c) el eje mayor estaría sobre el eje y con lo que la ecuación resulta de la forma

x2 2 b

y2 2 a

+

=1.

La excentricidad denominada anteriormente con la letra e se calcula con la siguiente fórmula:

e=

c a

=

√a 2−b2 a

Como la elipse tiene dos focos, también tendrá dos directrices. Las ecuaciones de las directrices DD1 y DD son respectivamente:

a x+ =0 e

Facilitador: Abdel Cosme

y

a x− =0 e

ELIPSE +a =0 Si los focos estuvieran en el eje y, las ecuaciones de las directrices serían: y e

y

y

−a =0 e

Se llama latus rectum de la elipse a la cuerda perpendicular al eje mayor por uno de los focos, en donde su 2 b2 a

longitud es igual a:

Los puntos en los cuales la elipse corta al eje mayor se llaman vértices. Si el centro de la elipse es el punto (h, k) y el eje mayor tiene la dirección del eje x, la ecuación de la elipse es de la forma:

( y −k )2 b2

( x−h )2 a2

+

=1

En donde la forma general de la ecuación de la elipse es Ax2+ By2 + Dx + Ey + F = 0

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS. 1. Dada la elipse 9x2 + 16y2 = 576 , hallar el semieje mayor y el semieje menor y la excentricidad, las coordenadas de los focos, las ecuaciones de las directrices y la longitud del latus rectum Para darle la forma a este ejercicio dividimos todo por 576, quedando de esta manera. 9 x2 576

e=

16 y 2 576

+

√64−36 8

576 576

=

=

√28 8

entonces

=

√7 4

√7 Coordenadas del foco ( ± 2 √ 7 , 0 ) 2 b 2 2 ( 36 ) Latus rectum = a = 8

Facilitador: Abdel Cosme

=9

excentricidad

x2 64

+

y2 36

e=

=1 c a

=

a = 8, b = 6

√7 4

=

c 8

c=2

ELIPSE 2. Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen, foco en el punto (0, 3) y semieje mayor igual a 5. x2 a2

+

y2 b2

2 2 3 = √ 5 −b

=1

c a

e=

a = 5, c = 3

elevando al cuadrado para encontrar b

=

3 5

9 = 25 – b2

3 5

√52−b2

=

5

entonces −16 = – b2

4= b 2

x 25

2

+

y 16

=1

3. Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen, eje mayor sobre el eje x y que pase por los puntos (4,3) y (6, 2) Llamemos P1 a (4,3) y P2 a (6, 2). Como la elipse tiene el centro en el origen y eje mayor sobre el eje x establecemos que

x2 a2

+

y2 b2

=1

para luego remplazar los puntos P1 a (4,3) yP2 a

(6, 2), y quedar dos ecuaciones con dos incógnitas quedando de esta manera 16 42 32 2 2 Al remplazar P1 a (4,3) + = 1 entonces a2 a b 2

2

6 2 a

Al remplazar P2 a (6,2)

+

2 2 b

=1

entonces

36 2 a

+ +

16 b2 9 2 b

=1 =1

Al resolver el sistema de dos ecuaciones nos da como resultado b2 = 13 y a2 = 52, de este modo la ecuación toma la siguiente forma

x2 52

+

y2 13

=1

4. Dada la elipse de ecuación 4x2 + 9y2 − 48x + 72y + 144 = 0. Hallar su centro , semiejes, vértices y focos.

Facilitador: Abdel Cosme

ELIPSE En esta ocasión nos piden encontrar su centro, de modo que tenemos que llevar la ecuación antes

( x−h )2 a2

descrita a la forma:

( y −k )2 b2

+

En donde toda ecuación escrita de la forma

a

2

b 2

( ) x+

−

b2 4a

=1 de modo que tendremos que completar cuadrados

x 2 + bx + c, al completar el cuadrado queda de la forma

a

en donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática

4x2 − 48x + 72y + 9y2 + 144 = 0, al resolver el cuadrado de 4x2 − 48x nos da como resultado 4 ( x −6 )2 −144 y al resolver al cuadrado de 9y2 + 72y nos da como resultado 9 ( y +4 )2

− 144 que al

remplazarlo en la ecuación original nos queda de la siguiente manera: 4 ( x −6 )2 −144 + 9 ( y +4 )2 4 ( x −6 )

( y −k )2 b2

2

2 + 9 ( y +4 )

− 144 + 144 =0

= 144 ahora dividimos todo por 144 para darle la forma

( x−h )2 a2

+

=1

Quedando así

4 ( x−6 )2 144

+

9 ( y + 4 )2 144

En donde a= 6 es el semieje mayor La excentricidad

e=

√ 36−16 6

y

=

=

( x−6 )2 36

144 144

+

( y + 4 )2 16

=1

b= 4 es el semieje menor √ 20 6

=

√5 3

e=

c a

entonces

c = 2 √5

Y las coordenadas del foco están descritas por los siguientes puntos ( 6 ± 2 √ 5 ,−4 ) 5. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (−8, 1), (2, −4),(−6, 4) y (8, −3) Llamemos P1 a (−8,1) ,P2 (2, −4), P3 (−6, 4) y P4(8, −3). A la ecuación de la elipse la establecemos de la forma x2+ By2 + Cx + Dy + E = 0 para luego remplazar los puntos P1 a (−8,1) ,P2 (2, −4), P3 (−6, 4) y P4(8, −3) y quedar cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas establecidas de esta manera 36 + 16B − 6 C + 4D + E = 0 64 + B

− 8C + D + E = 0

Facilitador: Abdel Cosme

ELIPSE 4 + 16B +2 C − 4D + E = 0 64 +

9B +8 C − 3D + E = 0

Y al resolver este sistema de ecuación de cuatro incógnitas nos resulta que B= 4 C= −4 D =−8, E = −92 Que al remplazarlo en la forma de la ecuación x2+ By2 + Cx + Dy + E = 0

nos queda de esta manera

x 2 + 4 y 2 − 4x − 8y −92 = 0

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En cada una de las siguientes de las elipses siguientes hallar: la longitud del semieje mayor, la longitud del semieje menor, las coordenadas del foco, dibuje la elipse. 2 2 x y a) 169 + 144 = 1 2

b)

x 8

2

+

y 12

=1

c) 81x2 + 25y2 = 2025 2. Hallar las ecuaciones de ls elipses siguientes de forma que satisfagan las siguientes condiciones: a) Focos( ± 4, 0 ), vértices ( ±5, 0 ) b) Focos( 0, ±8 ), vértices ( 0, ±17 ) c) Longitud de latus rectum 5, vértices ( ±10, 0 ) d) Focos( 0, ±6 ), semieje menor 8 e) Focos(

±5, 0

), excentricidad

5 8

3. Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen, focos en el eje x, y que pase por los puntos (−3, 2 √ 3 ) y

(4, 4 3√5 )

4. Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen, semieje mayor de 4 unidades de longitud sobre el eje y y latus rectum

9 2

5. Dada la elipse de ecuación 9x2 + 16y2 −36x + 96y + 36 = 0. Hallar: a) Las coordenada del centro b) El semieje mayor c) El semieje menor d) Los focos e) La longitud del latus rectum Facilitador: Abdel Cosme

ELIPSE 6. Hallar la ecuación de la elipse de centro (4, −1) uno de los focos (1, −1) y que pase poe el punto (8, 0) 7. Hallar la ecuación de la elipse de centro (3, 1) uno de los vértices (3, −2) y excentricidad 1 3

Facilitador: Abdel Cosme