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• Daniela Tarifa

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UNT – FAU

CATEDRA DE MATEMATICA APLICADA

ELIPSE

GEOMETRIA ANALITICA ELIPSE

MATERIAL TEORICO PRÁCTICO MODALIDAD VIRTUAL

UNT- FAU – CATEDRA DE MATEMATICA

Mg. María Amelia Plaza

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ELIPSE

ELIPSE Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. Analíticamente: PF′ + PF = 2a

Gráfica: Elipse de focos F’ (-cc , 0) y F ( c , 0)

Ecuación analítica de la elipse: elipse Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c, 0) y F' (– ( c, 0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, ( y). ). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x.. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que:

Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos esarrollamos los cuadrados queda finalmente: Ecuación Canónica de la Elipse con centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje x

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (h, k) la ecuación debería de ser: (x − h ) 2 a2

+

(y − k)2 b2

=1

Ecuación Canónica de la Elipse con centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje y

TAREA: Siguiendo el mismo razonamiento, busca las ecuaciones de las elipses

r

r

con eje focal eje y y paralelo al eje y y luego Grafica.

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Luego

x2 b2

+

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de

y2 a2

tu

desarrollo

obtendrás

los

ELIPSE

siguientes

resultados:

= 1 , ( x − h ) + ( y − k ) = 1 respectivamente. 2 2 2

2

b

a

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xhb2 – 2yka2 + h2b2 + k2a2 – a2b2 = 0, Si hacemos A = b2;

C = a2 ;

D = – 2hb2;

E = – 2ka2;

F = h2b2 + k2a2 – a2b2 Ecuación General de la Elipse

Tendremos la ecuación: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey+ F = 0 Ejemplo:

Tenemos la ecuación: 4x2 + 9y2 + 24x – 8y + 81 = 0, entonces: A=4 4 = b2

b = 2; C = 9

,

9 = a2 ,

a=3

Los radios de la elipse son: sobre el eje x , a = 3; sobre el eje y , b = 2. Hallemos C(h, k). 24 = – 2hb2

Como D = 24 = – 2ka2

,

h = – 3,

D = – 54

,

54

k=3

El centro es C(h, k) = (– 3, 3). Para verificar que se trate de una elipse calculemos Fque debe tener el valor de 81. F = h2b2 + k2a2 – a2b2 = 81 La ecuación de la elipse queda:

(x + 3)2 + (y − 3)2 9

4

=1

(Realice la

gráfica).

. procedimiento: Otro En la ecuación general del ejemplo anterior puedes, puedes llegar a la ecuación canónica completando cuadrados.

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ECUACION EXPLICITA DE LA ELIPSE Si consideramos la ecuación de la elipse que tiene centro en el origen y ele focal el eje x, su ecuación es

Queremos encontrar la

ecuación

explicita de la semielipse de la gráfica.

Despejando y, de la anterior y considerando la parte superior de la curva, la ecuación queda:

y= √

−

Ecuación Explicita de la Elipse con eje focal sobre el eje x

Ejemplo: Calcula las longitudes de las barras AB y MN de la siguiente estructura de cubierta: Observa que la parte superior de la A M B

4m

N

estructura es una semicircunferencia. Para encontrar los puntos A y Mtendrás que usar 1°, la ecuación explicita de esa

12 m

curva, que es:

y=√r − x , para este

caso r= 6. Para encontrar los puntos B y N tendrás que usar la ecuación explicita de la semielipse: y= √a − x

donde a=

6 y b= 4. Todo esto nos permite calcular la longitud de las barras!

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ECUACIONES DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL A LA CÓNICA EN UN PUNTO P1(x1,y1). Dada la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje horizontal x2 a

2

+

y2 b

2

= 1 , se desdobla

esta ecuación

x.x a

2

+

y.y

= 1 y luego se

b2

reemplaza por el punto P1, obteniendo: x.x1 a

2

+

y.y1 b2

= 1 Despejando y ,resultan las ecuaciones:

a) recta tangentey = mtg x + b1 (y-y1) = mn( x – x1) →

b) recta normal

y = mn x + b2

. Para el caso de tener las ecuaciones canónica y general, de la elipse, se procede igual que en el caso de la circunferencia.

Ejercicios Resueltos 1.- Encontrar los elementos de las siguientes elipses y graficar:

a)

x2 y2 + = 1, 25 9

b)

x2 y2 + = 1, 4 16

c)

(x + 5)2 + (y − 2)2 36

9

Resolución del Ejercicio 1.a)

y

3 B2

x2 y2 + =1 25 9

Centro (0,0) , el eje mayor está sobre el eje x .

a = 5; b = 3 A1 = (− 5,0 ) ; A 2 = (5,0 ) ; B1 = (0,−3) ; B 2 = (0,3) c = a 2 − b 2 = 25 − 9 = 16 ⇒ c = ±4

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=1

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-5 F1 A1

C 0

-3 B1

F2 5

A2

x

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F1 = (− 4,0 ) ; F2 = (4,0 ) e =

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c 4 =