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• Yorz Sergit

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tñptfiwé* é# l,a *Ááps*

En este copítulo esludiorés, en té¡minos geomélricos y

olgebroicos, lo curvo conocida desde lo époco de los ontiguos griegos como elipse y que, ol iguol que lo poróbolo, es un0 cttrtlo con impoüontes oplicociones précticos, que oborcon (0mp0s c0m0 lo ingenierío y lo oslronomí0. De monero lípico esto curvo plono tiene formo ovoide. En

olgunos cosos, su formo es completomente redondo pues

todo circunferencio es en reolidod uno elipse.

la

e

ef

Í

I

LA EL:PSE

coMo

LTJGAR

GEoMÉrruco

lJna elipse es r¡na curva formada por puntos del plano para los cuales es constante la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos.

ftnrrunrd,o Constarite significa un valor fijo que perma-

d1

nece siempre igual.

+ d2: constante

ooyl#í,:;,:: Los focos de la elipse son elementos que sir-

ven de referencia para definir y construir la

En la siguiente figura se muestran puntos, segmentos una elipse :

y rectas asociados con

elipse, pero no forman parte de ésta. B

/rI

@'!ff##ifl**o Observa que para cualquier pr¡nto P sobre el segmento que une los focos:

V'

.F'

c

F

V

B'

F.P La suma de sus distancias a los focos

F' y

F

es consta.nte, es deci¡ siempre da F'F; por tanto, según nuestra definición de elipse, ¡el segmento Para

F'F

sería una eüpse!

excluir tal situación, suele agregarse

a

Los focos y el segmento que los ]Jnie no

forman parte de una

.

elipse.

La suma de las distancias de los focos al es ft7ayor que la d.istancia entre

punto

los focos.

Nosotros dimos por supuesto que una

Segmento Segmento

V'V: B'B :

eje mayor eje menor

la

anterior definición de elipse, una de las condiciones siguientes:

.

F', F son los focos V' , V son los vértices C es el centro de la elipse

elip

se no es un segmento de recta y por tal ra-

La recta que pasa por los focos es el eie focal de la elipse. Los vértices son los

puntos donde el eje corta a la elipse . El centro de la elipse es el punto medio del segmento que une los focos. La normal es la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje. Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la elipse. Las cuerdas perpendiculares al eje que pasan por los focos, reciben el nombre especial de ancho focal o l,ado recto. El eie mayor es el segmento que une los vértices de la elipse. El eie nenor es la cuerda que pasa por el centro y es pefpendicular al eje.

zón obviamos esto en la definición de elipse.

308

Ampliando el conocirniento

';'':",,'Tiazandauno'elipse'co¡':hi]ic^.:y'.ta¡chúe En una mesa se fijan dos tachuelas como focos de una elipse ¿Cómo dibuiarías ésta

mediante

w

ttazo continuo?

1) En jardinería

se

utiliza el método descrito

en el Ejemplol para trazar elipses. En vez de tachuelas se clavan estacas en la tierra y, en vez de lípiz, se emplea otra estaca para dibuiar un surco en el suelo. Por tal razón, este método de ttazado de elipses se conoce

con el nombre de método del

jardinero. 2) Un radio focal es un segmento que une un foco con cualquier punto de la elipse. Una recta que sólo tiene un punto en común con la eüpse es una tangente.

Solución Con un hilo más largo que la distancia entre las tachuelas, atado por sus extremos a éstas, se desliza la punta de un lápiz de un extremo a otro del hilo, man-

teniendo tenso éste. La punta del lipiz describe en cada momento del trazo la trayectoria de un punto de la elipse, ya que la suma de las distancias a los focos es igual siempre al largo del hilo atado.

Modelando un problemo reol Un avión sobrevuela un aeropuerto en una trayectoria elíptica mientras espera instrucciones para atercizar.Al momento de entrar alatrayectoria elíptica le informan de una de las torres de control que se encuentra a 4km de distancia de una de ellas y a 1.3 km de la otra. Para conservar dicha trayectoria ¿cómo debe ubicarse respecto a las torres de control del aeropuerto?

G \__-

n

obseruaciones

'fu

imponanrcs

Ios parámetros a,by c de una elipse son fund¿mentales para identific^tl^ y tr, ;zarla. Es importante por esta razón identificar qué representa cada uío y no confundidos. Geométricamente a es la hipotenusa del triángulo rectángulo con lados a,b y c.

Solución Con ayrda de los instrumentos de navegación, el piloto debe mantener en todo momento sus distancias a las torres, de manera que la suma de ellas sea igual a

4 + I.3 : 5.3 km. Las torres de control del aeropuerto quedan situadas en el lugar de los focos de la elipse.

309

E|ígíendoe,[,t dibujar una elipse utilizando hilo y un par de tachuelas, de modo que quede aiustada a un rectángulo de 12 x 20 cm. Para lograr esto, a) ¿a qué distancia entre ellas, deben colocarse las tachuelas? b) ¿qué longitud debe tener el hilo, rrna vez sujeto a las tachuelas? Se desea En cualquier elipse

PF +

PF':2a

B¡-- a

'

',.-1 " 2a *-------*------t La

/1) \ó t,

longitud del eie mayot es 2a

Solución a) Para situar los focos necesitamos saber qué relación existe entre su distancia, y los ejes de la elipse. Veamos antes una cosa. Si en la figura llamamos:

a : Longitud del semieie mayor (CV) b : Longitud del semieje menor (CB)

Sugerencias a los

eiercicios

c

:

Distancia del centro a cualquier foco (CF ó CF')

10.1

Observamos lo siguiente:

VF+VF':Constante

2, 3. ütiiza la relación entre los parámetros de una elipse:

a2=b2*C Sustituye los valores conocidos y despeja la

variable desconocida (incógnita).

4. Recuerda que la distancia entre los focos es 2c. que el eje mayor mide 2a y el eje menor 2b.

5. Observa que es posible dibujar muchas elipses con esta condición pues tú puedes variar la distancia entre los focos a tu antojo. ¿Qué observas si alejas o acercas las tachuelas, manteniendo el hilo con la

(a

- c) * (a -f c) : 2a :

Por estar Z sobre la elipse

Constante

Calculando cada distancia

Constante

Simplificando términos

Vy V'están sobre la que la la constante mencionada en definición de elipse es la longitud elipse, del eJe flrayor de ésta. La distancia entre los vértices es 2a. Esto significa, como

Ahora, es fácldver la relación entre los parámetros a,b y c de la elipse. ElTeorema de

: \E + C y qte BF' = 1@ ¡ ¿ : BF + BF' 2 t@ ¡ tz: constante : 2ót ,según vi-

Pitágoras nos permite establecer que BF

.

Por definición de elipse, mos arriba. Así, de esta igualdad tenemos

misma medida?

IJna importante propledad d,e la elipse: en toda elipse a2 Para responder

: l2/2:6 lO2:62+C b

:

bz

+

cz

ala primera pregunta del ejemplo, procedemos como sigue

a : 2O/2: lO

t

-

\/-e+

a

:

Longitud del semieje mayor Longitud del semieje menor Reemplazando a por lo,y b por 6 en la relaciór az : bz + c2 Despejando c

Las tachuelas de la elipse deben situarse en el lugar de los focos, a 8 cm de distancia entre sí.

b) La longitud del hilo debe ser igual a 2a, es decir, igual a 2O cm. 310

En los ejercicios 1.

1

a 3, proporciona el valor de cada parámetro. 2-

3.

,.!.azJ 42+,32;' a-t/ñ: zr"l*' :i, * tj"; 6:t/u

,j.*,+

32

+

3;

":\/72

S

:9 : 6\,5,

4.a,Ladistancia entre los focos es 2c.

l: 2c:2(D:6 Eiercicio 2: 2c : 2(I2) : 24 Eiercicio 3: 2c: Z16l/T¡: tz\/T Ejercicio

4. En los ejercicios anteriores, indica para cada elipse:

a)

¿Cuál es la distancia entre los focos?

b)

¿Cuánto mide el eje mayor?

c) ¿Cuánto mide el eje menor?

4.b. El eje mayor es igual a 2a.

: 2(5) : lO Ejercicio 2: 2a : 2(15) : 30 Eiercicio 3: 2a: 2(D: B

Ejercicio'I:'

4.c.El 5. Traza con hilo y tachuelas una elipse donde la suma de las distancias de un punto cualquiera a los focos sea igual a 6 cm.

elíptico Un portal colonial posee en su parte superior un arco semielíptico. Si los focos de la elipse están situados a 3 m del eje central del arco, y éste tiene una altura de 1.5 m hasta su eje focal, ¿cuál es el ancho entre las columnas del portal?

6. Arco

2a.

eje menor es

ignl

a 2b.

l: 2b:2(4):8 Ejercicio 2; 2b:2(9): Ia Ejercicio 3: .2b : 2(3) : 6 Ejercicio

J. Ejemplos:

El ancho entre las columnas del portal es igual al eje mayor de la elipse, es de-

.

cir,es

igvla2a.

ez:t.52+32

: 2.25 * 9: tL25 :ltrzs :3.3j o :. 2a: 6.70 metros : 6 metros 70 centímetros a2

3[

CONSTRUCCION DE LA ELIPSE CON REGLA Y COMPAS posible construir una elipse con regla y compás, a paftit de su definición como lugar geométrico. Para ello se localizan puntos aislados de la elipse y se unen con una línea continua. Es

funrruurd,o

A.

tz -\/\-x----)t/ ,.\.

El segmentoV'Y mide 2a.

A^ \

focos,para cualquierpunto P sobre la elipse, suman 2a, es decir: Las distancias a los

PF' +

PF:2a

v't\

Obseruaciones

ooyt;:,,::,: La forma que adopta la elipse depende de la distancia a la que sitúes los focos de los vértices: Mientras más cerca estén los focos de los vértices, la elipse es más alargada;mientras más alejados están de los vértices, es decir, más cercanos al centro, es más circular. En el caso extremo en que los focos coincidan con el centro de la elipse, ésta adopta su

forma límite, que es una circunferencia.

F -F

. Á cI

\\-r/