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• Carl

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La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es: La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado

Elementos de una elipse

La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas. La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí: El semi eje mayor (el segmento C-a de la figura), y 

el semi eje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Puntos de una elipse Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).

Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación: donde es la medida del semieje mayor de la elipse.

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Una elipse es horizontal o vertical seun que su eje mayor este en alguna de estas posiciones. cuando el centro de una elipse horizontal o vertical se halla en el origen, su ecuacion adopta la forma mas sencilla ; x2/a2 + y2/b2=1 o x2/b2 + y2/b2=1 Elipse Horizontal con centro en el origen Para obtener la ecuación general de la elipse: F'P + PF = 2a Aplicando la fórmula de la distancia Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 - 4a Simplificamos 4a

+ x2 - 2xc + c2 + y2

= 4a2 - 4xc

Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical = a2 - xc Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical a2(x2 - 2xc + c2 + y2) = a4 - 2a2xc + x2c2 Reduciendo términos semejantes a2x2 - x2c2 + a2y2 = a4 - a2c2 Factorizando x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2)

Dividiendo la igualdad entre el producto a2(a2 - c2)

Como a2 > c2 entonces a2 - c2 es positivo, podemos hacer a2 - c2 = b, por consiguiente, la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es:

Elipse vertical con centro en el origen. Para obtener la ecuación general de la elipse: F'P + PF = 2a Aplicando la fórmula de la distancia Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos y2 + 2yc + c2 + x2 = 4a2 - 4a Simplificamos 4a

+ y2 - 2yc + c2 + x2

= 4a2 - 4yc

Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical = a2 - yc Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical a2(y2 - 2yc + c2 + x2) = a4 - 2a2yc + y2c2 Reduciendo términos semejantes a2y2 - y2c2 + a2x2 = a4 - a2c2 Factorizando y2(a2 - c2) + a2x2 = a2(a2 - c2) Dividiendo la igualdad entre el producto a2(a2 - c2)

Como a2 > c2 entonces a2 - c2 es positivo, podemos hacer a2 - c2 = b, por consiguiente, la ecuación de la elipse vertical con centro en el origen es:

La excentricidad es menor a la unidad y queda definida por la relación de la mitad de la distancia focal al semieje mayor.

El Lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos y su longitud la calculamos por:

Mientras que las ecuaciones de las directrices son: Cuando la elipse es horizontal. x=

Cuando la elipse es vertical.

y=

Eje Mayor = 2a Eje Menor = 2b

ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN La ecuacion de uan elipse horizontal o vertical con centro en el punto (h,k) distinto de el origen se obtiene mediante un procedimiento simple: remplazndo X y Y por x-h y y-k en la ecuasion basica de la elipse con centro en el origen Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje x, se obtiene la siguiente ecuación: (x – h)2 /a2 + (y – k)2/b2 = 1

Los elementos de la elipse son: Centro: (h,k) Vértices: V(h+a,k), V'(h-a,k) Focos: F(h+c,k), F'(h-c,k) Vértices del eje menor: B(h,k+b) B'(h,k-b) Excentricidad: c/a LR: 2b2/a

Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje y, se obtiene la siguiente ecuación.

(x – h)2 /b2 + (y – k)2/a2 = 1 Los elementos de la elipse son: Centro: (h,k) Vértices: V(h,k+a), V'(h,k-a) Focos: F(h,k+c) F'(H,k-c) Vértices del eje menor: B(h+b,k) B'(h-b,k) Excentricidad: a/e LR: 2b2/a