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• BERNILLA CARLOS YOVANI

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“AÑO DE LA LUCHA CONTRA LA CORRUPCION E IMPUNIDAD” FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

Curso: Geometría Analítica

Tema: La Elipse

Integrantes:  Arévalo Marrufo Eduardo  Bernilla Carlos Natividad Yovani  Castro Arévalo Juan Diego  Callán Luna Renzo Eutiquio  López Esquivel Tany Isabel  Quispe Fajardo Jean Piero  Torreblanca Ruiz Eduardo

Grupo: N° 03 Docente: Mg. Jorge Walter Chauca Solano

NUEVO CHIMBOTE - PERÚ 2019-I

LA ELIPSE

ÍNDICE I. INTRODUCCIÓN........................................................................................................... 3 II. JUSTIFICACIÓN ........................................................................................................... 3 III. OBJETIVOS.................................................................................................................. 3 - OBJETIVO GENERAL: ................................................................................................... 3 - OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ........................................................................................... 3 IV. MARCO TEÓRICO. .................................................. Error! Bookmark not defined. EL ELIPSE ........................................................................................................................... 4 1. HISTORIA ....................................................................................................................... 4 2. CONCEPTO .................................................................................................................... 5 3. ¿CÓMO SE CONSTRUYE? .......................................................................................... 5 4. ECUACIÓN ................................................................................................................... 11 5. ELEMENTOS ............................................................................................................... 14 V. CONCLUSIONES: ....................................................................................................... 15 VI.REFERENCIAS ........................................................................................................... 16

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I.

INTRODUCCIÓN

En el mundo actual tecnológico las secciones cónicas jugaron un papel importante en cuanto al desarrollo de la sociedad, sobre todo en la astronomía usado por científicos y matemáticos de primera; tales como Menaechmus, Apolonio de Perga, Kepler entre otros que dieron su aporte a la ciencia y el conocimiento. En específico, en el presente trabajo trataremos a detalle sobre “LA ELIPSE”, en el cual daremos a conocer su historia, concepto, la variadísima forma de cómo se construye, su ecuación

de manera genérica y cuando ésta se ubica en el origen, elementos y finalmente

especificaremos nuestras conclusiones. Puesto que su estudio en la geometría analítica se dio de una manera vectorial ya sea en cuanto a sus ecuaciones como la resolución de los ejercicios. En este trabajo de investigación desarrollamos la temática de una manera didáctica aplicando definiciones adquiridas en las clases, como también la recurrencia a los libros y páginas de internet confiables. I.

JUSTIFICACIÓN

El presente trabajo se hace con el fin de ampliar nuestros conocimientos en el campo de las matemáticas, geometría y diferentes ciencias que se nos concede en la universidad. Puesto que sus aplicaciones de “LA ELIPSE” se dan en muchas ciencias sea de nuestra carrera o no, tales como la acústica, óptica, medicina, etc.

II.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL: Mediante la didáctica, estudiar y analizar las diferentes formas de desarrollo de una elipse, logrando su comprensión de distintas formas, ya sea de manera explícita e implícita. OBJETIVOS ESPECIFICOS:    

Conocer los antecedentes históricos de la elipse. Aprender a construir de diferentes maneras la elipse. Desarrollar la ecuación de la elipse. Determinar los diferentes elementos de la elipse. 3

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III.

MARCO TEÓRICO EL ELIPSE

1. HISTORIA Muchos aportaron para el descubrimiento de la elipse, fue estudiada como curva geométrica, por el matemático Menaechmus (375 a.C – 320 a.C), quien fue discípulo de Platón y Eudoxo y tutor de Alejandro Magno. Él demostró que las cónicas se obtienen al cortar un cono por planos no paralelos a la base. La elipse también fue investigada por Euclides. Pero paso a la historia gracias al geómetra griego Apolonio de Figura 1: Elipse resultado de la intersección de un plano y un cono.

Perga, este personaje introdujo el nombre de “elipse”, así como el de “parábola” e “hipérbola”, cuando presentó una serie de volúmenes de la obra “Las cónicas”.

En el tercer volumen de esta obra habla sobre la elipse y la define como: "el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F1, es constante”. Papo de Alejandría (290 d.C – 350 d.C), como epónimo Pappus fue un matemático griego quien estudio el foco y la directriz de la sección cónica de una elipse. Más tarde, en 1602, Johannes Kepler (1571 - 1630), astrónomo y matemático alemán propuso que la órbita de Marte era ovalada, sin embargo, más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y propuso una serie de leyes en las que describe movimiento de los planetas en torno al Sol con respecto a la elipse y sus características, luego publicó su descubrimiento en 1609. Edmund Halley (1656 - 1742); astrónomo, matemático y físico inglés, demostró en 1705 que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol. (Suero Ureña, 2016). 4

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2. CONCEPTO “La elipse es una figura geométrica curva con dos ejes diferentes que forman ángulo recto y que resulta de cortar un cono por un determinado plano oblicuo” (Valderrama, 2013). Además, (Becerra, 2014) afirma que una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos.

3. ¿CÓMO SE CONSTRUYE? Método del jardinero para trazar una elipse: Esta construcción se basa en una técnica sintética mediante la cual se toma un hilo de longitud 2a que queda fijado por sus extremos en ambos focos. Manteniendo el hilo tenso, se dibujará la elipse, ya que todo punto P de la figura verifica que su suma de distancias a los focos es constante y vale 2a (por ser la longitud del hilo). Primero deben dibujarse perpendicularmente los dos ejes de coordenadas en el suelo y situar el eje Y en la dirección N-S, y el eje X en la dirección E-O. Luego hemos de señalar los dos focos que están en el eje X a ambos lados del centro a una distancia c, es decir, en los puntos (c,0) y (-c, 0). Después, con una cuerda que tenga de longitud l = 2a y colocando los extremos en los focos señalados, dibujar la elipse tal como se ve en la figura. (Olivares, 2012)

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Figura 2: Método del jardinero para trazar una elipse

Método de construcción por puntos (INTERSECCIÓN DE RADIOS VECTORES): Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor 1, 2, 3etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos A1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1′, 2′, 3′, etc. de la elipse. Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

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Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales. (Bartolomé, 2015)

Figura 3: Trazado de la elipse mediante radios vectores

Trazado de la elipse por haces proyectivos (INTERSECCIÓN DE HACES PROYECTIVOS). Trazamos paralelas a los ejes por sus extremos y construimos un paralelogramo rectángulo de este modo. Dividimos el eje mayor en un número cualquiera de partes iguales (1, 2, 3, …) y los lados del paralelogramo paralelos al eje menor en ese mismo número de partes. Unimos los extremos C y D del eje menor con todas las divisiones efectuadas sobre el eje mayor y con las divisiones efectuadas sobre los lados contrarios del rectángulo que estén

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entre ellos y el eje mayor. Las intersecciones entre rectas correspondientes (eje: D-3, eje C-1, lado) determinan puntos de la elipse que se delineará. (Bartolomé, 2015)

Figura 4: Trazado de la elipse por haces proyectivos

Trazado de la elipse por envolventes Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse. Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse. (Bartolomé, 2015)

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Figura 5: Trazado de la elipse por envolventes

Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines Comenzaremos trazando las circunferencias de centro O, y diámetros AB y CD. Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse. (Bartolomé, 2015)

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Figura 6: Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines

Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines Partiendo de los ejes conjugados A’B’ y C’D’, comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A’B’. Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A’B’, como la 1-2. Uniendo 2 con C’, y 1 con D’, obtendremos los triángulos O2C’ y O1D’. Solo restará construir el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C’, obteniendo así puntos de la elipse. (Bartolomé, 2015)

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Figura 7: Trazado de la elipse a partir de dos diámetros conjugados por triángulos semejantes afines

4. ECUACIÓN Según (Venero, 2015): Ecuación de la elipse con eje focal paralelo al eje X: 𝑢 ⃗ = (1,0)

𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜

𝑐 = (ℎ, 𝑘)

𝑥′ = (𝑥 − ℎ, 𝑦 − 𝑘)𝑢̅ = 𝑥 − ℎ 𝑦′ = (𝑥 − ℎ, 𝑦 − 𝑘)𝑢̅′ = 𝑦 − ℎ

𝑢 ⃗ = (0,1)

𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜

𝑐 = (ℎ, 𝑘)

𝑥′ = (𝑥 − ℎ, 𝑦 − 𝑘)𝑢̅ = 𝑦 − 𝑘 11

𝑦′ = (𝑥 − ℎ, 𝑦 − 𝑘)𝑢̅′ = −(𝑥 − ℎ)

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Deducción de la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor sobre las abscisas:

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Deducción de la ecuación de la elipse con centro en (h, k) y eje mayor paralelo a las ordenadas:

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5. ELEMENTOS 5.1 Focos: Son los puntos fijos F y F’. 5.2 Eje focal: Es la recta X que pasa por los focos. 5.3 Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF’. 5.4 Centro: Es el punto C de intersección de los ejes. 5.5 Radios vectores: Son los segmentos que van desde cualquier punto de la elipse hacia los focos: MF y MF’. 5.6 Distancia Focal: Es el segmento FF’. 5.7 Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes. 5.8 Eje mayor: Es el segmento AA’ 5.9 Eje menor: Es el segmento BB’ 5.10 Lado recto: Son los segmentos LL’ y JJ’ 5.11 Rectas directrices: Son las rectas L1L1’ y L2L2’ paralelas al semieje menor L1

Y B

L2

M

L

J

X A’

F’

C

A

F

J’

L’ B’ L1’

L2 ’ Figura 8: Elementos de la elipse

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IV. CONCLUSIONES:  La ecuación canónica de la elipse se da cuando el centro es el origen.  La ecuación de la elipse es =

(𝑥−ℎ)2 𝑏2

+

(𝑦−𝑘)2 𝑎2

=1

 2c es la distancia entre los focos.  La excentricidad de una elipse siempre en menor a la unidad.

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V.

REFERENCIAS

1.

Bartolomé (2015) Curvas cónicas – La Elipse. Dibujo técnico[Línea]. Anónimo: http://www.dibujotecnico.com/curvas-conicas-la-elipse/

2.

De

José

Becerra

(2014).

Matemáticas

Básicas.

Recuperado

de

http://132.248.164.227/publicaciones/docs/apuntes_matematicas/23.%2 0Elipse.pdf 3.

Olivares, N. (2012). Método del jardinero para trazar una elipse [Mensaje

en

un

blog].

Recuperado

de

http://elipci.blogspot.com/2012/11/metodo -del-jardinero-para-la.html 4.

Suero,

H.

(2016)

Historia

de

la

Elipse.

Recuperado

de

https://es.scribd.com/document/333012574/Historia -de-La-Elipse 5.

Valderrama Barbara. (22 de ago. de 2013) Conceptos y elementos de la elipse.

[Mensaje

en

un

blog].

Recuperado

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https://es.slideshare.net/americacontreras/concepto -y-elementos-de-laelipse 6.

Venero J.A (2015) Introducción al análisis matemático. Tercera Edición. Recuperado

de

https://www.academia.edu/12359660/Deducci%C3%B3n_de_la_ecuaci %C3%B3n_de_la_Elipse

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