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• Claudia Lopez

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1. Cinemática de rotación de un cuerpo rígido. La cinemática del sólido rígido es una aplicación de la cinemática al movimiento de un objeto tridimensional rígido en el espacio. El movimiento más general del sólido rígido puede considerarse como la superposición de dos tipos de movimiento básicos: de traslación y de rotación. El resto esta en el tlf

2. Dinámica de rotación de un cuerpo rígido. Descargue 3. Cinemática de traslación (Movimiento Uniformemente Acelerado). En física, todo movimiento uniformemente acelerado (MUA) es aquel movimiento en el que la aceleración que experimenta un cuerpo, permanece constante (en magnitud vectores y dirección) en el transcurso del tiempo manteniéndose firme. 1. El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, en el que la trayectoria es rectilínea, que se presenta cuando la aceleración y la velocidad inicial tienen la misma dirección. 2. El movimiento parabólico, en el que la trayectoria descrita es una parábola, se presenta cuando la aceleración y la velocidad inicial no tienen la misma dirección. 3. En el movimiento circular uniforme, la aceleración tan solo es constante en módulo, pero no lo es en dirección, por ser cada instante perpendicular a la velocidad, estando dirigida hacia el centro de la trayectoria circular (aceleración centrípeta). Por ello, no puede considerárselo un movimiento uniformemente acelerado, a menos que nos refiramos a su aceleración angular.

4. Dinámica de traslación de una partícula.

Dinámica de un sistema de partículas Sea un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21. Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes. Para cada unas de las partículas se cumple que la razón de la variación del momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actúan

sobre la partícula considerada, es decir, el movimiento de cada partícula viene determinado por las fuerzas interiores y exteriores que actúan sobre dicha partícula.

Sumando miembro a miembro y teniendo en cuenta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que

Donde P es el momento lineal total del sistema y Fext es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas. El movimiento del sistema de partículas viene determinado solamente por las fuerzas exteriores. La dinámica es la parte de la Mecánica que estudia las relaciones entre las causas que originan los movimientos y las propiedades de los movimientos originados. Las Leyes de Newton constituyen los tres principios básicos que explican el movimiento de los cuerpos, según la mecánica clásica. Fueron formuladas por primera vez por Newton en 1687, aunque la primera de ellas ya fue enunciada por Galileo. Tal y como las vamos a ver aquí sólo son válidas para un Sistema de Referencia Inercial. En la siguiente animación puedes variar el módulo y la dirección (pinchando sobre las flechas) de la velocidad inicial y de la fuerza que actúan sobre el astronauta. ¿Sabes explicar la trayectoria que realiza? 5. Inercia Rotacional.

La inercia rotacional es una propiedad de cualquier objeto que puede girar. Es un valor escalar que nos indica qué tan difícil es

cambiar la velocidad de rotación del objeto alrededor de un eje de rotación determinado. En mecánica rotacional, la inercia rotacional desempeña un papel similar al de la masa en la mecánica lineal. De hecho, la inercia rotacional de un objeto depende de su masa. También depende de la distribución de esa masa respecto al eje de rotación. Cuando una masa se aleja del eje de rotación se hace cada vez más más difícil cambiar la velocidad de rotación del sistema. Intuitivamente, esto es porque la masa lleva consigo más momento alrededor del círculo (debido a la velocidad más alta) y porque el vector de momento cambia más rápidamente. Estos dos efectos dependen de la distancia desde el eje. La inercia rotacional se denota con el símbolo II. Para un solo cuerpo como el de una pelota de tenis de masa mm que gira en un radio rr desde el eje de rotación (ver la Figura 1), la inercia rotacional es I = mr^2I=mr2 y, en consecuencia, la inercia rotacional en el SI tiene unidades de \mathrm{kg\cdot m ^ 2}kg⋅m2. A la inercia rotacional comúnmente se le conoce como el momento de inercia. También a veces se le llama el segundo momento de la masa; aquí 'segundo' se refiere al hecho de que depende de la longitud del brazo del momento al cuadrado. 6. Toque Torque o Momento de Fuerza Para comprender lo que es TORQUE, se debe considerar:

1. CUERPO RIGIDO: es aquel en que las posiciones relativas de sus partículas no cambian. aunque éste sea sometido a la acción de fuerzas externas, mantiene invariable su forma y

volumen. El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de movimiento de traslación y de rotación. Para hacer su descripción es conveniente estudiar en forma separada esos dos movimientos.

ACCIÓN DE UNA FUERZA EN UN CUERPO RÍGIDO

Una fuerza aplicada a un cuerpo rígido puede producir una

1 traslación 1 rotación

Ahora podemos comenzar a hablar de “TORQUE”

TORQUE O MOMENTO DE FUERZA: “Torque” ( t) es la palabra que viene del latín torquere, torcer. Es cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La aplicación de una fuerza perpendicular a una distancia (brazo) del eje de rotación fijo produce un torque. Se manifiesta en la rotación del objeto. El torque de una fuerza depende de la magnitud y dirección de F y de su punto de aplicación respecto de un origen O. Torque es el producto de la magnitud de la fuerza perpendicular a la línea que une el eje de rotación con el punto de aplicación de la fuerza por la distancia (d) entre el eje de rotación y el punto de aplicación de la fuerza. Esto es:

Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, dicho cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. Ahora bien, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Entonces, se llama torque o momento de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza para producir un giro o rotación alrededor de un punto.

La puerta gira cuando se aplica una fuerza

sobre ella; es una fuerza de torque o momento. En el caso específico de una fuerza que produce un giro o una rotación, muchos prefieren usar el nombre torque y no momento , porque este último lo emplean para referirse al momento lineal de una fuerza. Para explicar gráficamente el concepto de torque , cuando se gira algo, tal como una puerta, se está aplicando una fuerza rotacional. Esa fuerza rotacional es la que se denomina torque o momento . Cuando empujas una puerta, ésta gira alrededor de las bisagras. Pero en el giro de la puerta vemos que intervienen tanto la intensidad de la fuerza como su distancia de aplicación respecto a la línea de las bisagras. Entonces, considerando estos dos elementos, intensidad de la fuerza y distancia de aplicación desde su eje, el momento de una fuerza es, matemáticamente, igual al producto de la intensidad de la fuerza (módulo) por la distancia desde el punto de aplicación de la fuerza hasta el eje de giro . Expresada como ecuación, la fórmula es

M=F•d

Cuando se ejerce una fuerza F en el punto B de la barra, la barra gira alrededor del punto A. El momento de la fuerza F vale M = F • d donde M es momento o torque F = fuerza aplicada d = distancia al eje de giro El torque se expresa en unidades de fuerza-distancia , se mide comúnmente en Newton metro (Nm). Si en la figura de arriba la fuerza F vale 15 N y la distancia d mide 8 m, el momento de la fuerza vale:

M = F • d = 15 N • 8 m = 120 Nm La distancia d recibe el nombre de “ brazo de la fuerza ”. Una aplicación práctica del momento de una fuerza es la llave mecánica (ya sea inglesa o francesa) que se utiliza para apretar tuercas y elementos similares. Cuanto más largo sea el mango (brazo) de la llave, más fácil es apretar o aflojar las tuercas.

Con este ejemplo vemos que el torque y la fuerza están unidos directamente. Para apretar una tuerca se requiere cierta cantidad de torque sin importar el punto en el cual se ejerce la fuerza. Si aplicamos la fuerza con un radio pequeño, se necesita más fuerza para ejercer el torque. Si el radio es grande, entonces se requiere menos fuerza para ejercer la misma cantidad de torque.

7. Momento de inercia de un cuerpo rígido.

Se denomina cuerpo rígido a aquel cuerpo que mantiene su forma a lo largo del tiempo. Por ejemplo una bola de acero mantendrá su forma esférica, una barra mantendrá su geometría, etc. El momento de inercia mide como está estructurado un cuerpo rigido respecto a un punto de observación o eje de observación. Se mide en kg m2 y siempre es positivo. Es decir, mide como esta distribuída la materia del cuerpo respecto al punto o al eje. El momento de inercia se calcula mediante: I=

∫

r2 dm

donde I es el momento de inercia, dm el diferencia de masa del cuerpo y r es la distancia perpendicular al punto de observación o al eje.

8. Aceleración Angular Se define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa . Al igual que la velocidad tangencial , la aceleración angular tiene carácter vectorial. Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es adimensional.

9. Teorema de ejes paralelos. El Teorema de los Ejes Paralelos o de Steiner, es un teorema de geometría elemental, formulado por C. L. Lehmus y probado posteriormente por Jakob Steiner. Para un objeto plano, el momento de inercia sobre un eje perpendicular al plano es la suma de los momentos de inercia sobre dos ejes paralelos, a través del mismo de

cruce entre el objeto y su plano perpendicular. La utilidad de este teorema va más allá del cálculo de los momentos de los objetos estrictamente planos. Es una herramienta valiosa en la construcción de los momentos de inercia de objetos tridimensionales tales como cilindros troceándolos en discos planos y sumando los momentos de inercia de todos los discos. En física, el teorema de Huygens-Steiner, teorema de los ejes paralelos o simplemente el teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular r entre ejes. También puede usarse para calcular el segundo momento de área de una sección respecto a un eje paralelo a otro cuyo momento sea conocido. Debe su nombre al geómetra suizo del siglo XIX Jakob Steiner. PREGUNTAS

1. Defina el momento de inercia y el radio de giro de un objeto. el radio de giro describe la forma en la cual el área transversal o una distribución de masa se distribuye alrededor de su eje centroidal. Concretamente es el valor medio cuadrático de distancia de los puntos de la sección o la distribución de masa respecto a un eje que p Defina el momento de inercia y el radio de giro de un objeto. Se define el radio de giro como la distancia desde el eje de giro a un punto donde podríamos suponer concentrada toda la masa del cuerpo de modo que el momento de inercia respecto a dicho eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro.

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

2. Defina el momento de fuerza o “torque” y su expresión matemática. Esta en el punto anterior del marco teorico 3. Defina la aceleración angular y su expresión matemática en función del radio y de la aceleración lineal.

Definimos aceleración angular como los cambios que experimenta la velocidad en las unidades de tiempo. Hacemos referencia a ella con la letra griega alfa α. Igual que la velocidad angular, la aceleración es de una corriente vectorial. Se define aceleración angular como el canje que sufre la velocidad en las unidades de tiempo. Se la denomina como alfa α. Así como la velocidad angular, la aceleración angular presenta carácter vectorial.

Magnitudes lineales y angulares

De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio

Derivando s=r respecto del tiempo, obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial Aceleración tangencial Derivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular.

Un móvil tiene aceleración tangencial, siempre que el módulo de su velocidad cambie con el tiempo.

Aceleración normal El cálculo de la componente normal de la aceleración es algo más complicado. La aceleración normal está relacionada con el cambio de la dirección de la velocidad con el tiempo. En un movimiento circular uniforme no existe aceleración tangencial ya que le módulo de la velocidad no cambia con el tiempo, solamente cambia su dirección y por tanto, tiene aceleración normal.

Supongamos un móvil que describe un movimiento circular uniforme.  

En el instante t la velocidad del móvil es v, cuyo módulo es v, y cuya dirección es tangente a la circunferencia. En el instante t' la velocidad del móvil v', que tiene el mismo módulo v, pero su dirección ha cambiado.

Calculemos el cambio de velocidad v=v’-v que experimenta el móvil entre los instantes t y t', tal como se ve en la figura. El vector v tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia. Los triángulos de color rojo y de color azul de la figura son isósceles y semejantes por lo que podemos establecer la siguiente relación

Donde la cuerda Δs es el módulo del vector desplazamiento entre los instantes t y t' Dividiendo ambos miembros entre el intervalo de tiempo t=t'-t

Cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero, la cuerda s se aproxima al arco, y el cociente ds/dt nos da el módulo de la velocidad v del móvil,

La aceleración normal an tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil y su módulo viene dado por una u otra de las expresiones siguientes:

Esta es la deducción más elemental de la fórmula de la aceleración normal que se basa en la identificación de la longitud del arco entre dos puntos de la circunferencia con la cuerda que pasa por dichos puntos, cuando ambos puntos están muy próximos entre sí. Una deducción alternativa se proporciona en la página titulada "Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal" Resumiendo La dirección de la velocidad de un móvil en movimiento circular es tangente a la circunferencia que describe. Un móvil tiene aceleración tangencial at siempre que cambie el módulo de la velocidad con el tiempo. El sentido de la aceleración tangencial es el mismo que el de la velocidad si el móvil acelera y es de sentido contrario, si se frena. Un móvil que describe un movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial. Un móvil que describe un movimiento circular siempre tiene aceleración normal, an ya que cambia la dirección de la velocidad con el tiempo. La aceleración normal tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe.

La aceleración del móvil se obtiene sumando vectorialmente ambas componentes de la aceleración.

4. Escriba la expresión matemática del momento de inercia de un cilindro macizo, de densidad uniforme, con respecto a un eje que pasa por su centro de masa y que coincide con el eje del cilindro. Incluya un gráfico.

El momento de inercia de un sólido es una magnitud escalar que viene dada por:

De su definición se deduce que el momento de inercia de un sólido depende del eje de giro (puesto que el radio de giro de cada partícula depende del eje). Como un sólido está constituido por un número muy grande de partículas, en vez de tratarlo como un sistema discreto puede ser analizado como un sistema continuo. Por tanto, el sumatorio de la ecuación anterior puede ser sustituido por la siguiente integral:

Donde dm es un elemento de masa del sólido y R2 su distancia al aje de giro del mismo. El elemento de masa dm está relacionado con la densidad ρ del sólido y, si éste es homogéneo, al sustituir dm en la expresión del momento de inercia podemos sacar la densidad de la integral:

dV es un elemento de volumen del sólido y, para calcular el momento de inercia de un sólido homogéneo es preciso resolver la integral recuadrada en rojo. Cálculo de momentos de inercia

Como ejemplo, calcularemos el momento de inercia de un cilindro homogéneo con respecto a uno de sus ejes de simetría, el eje longitudinal z que pasa por su centro de masas. El elemento de volumen en este caso es el volumen de la corteza cilíndrica (representada en azul en la figura) de espesor dR que se encuentra a una distancia R del eje de giro, y viene dado por:

Sustituyendo en la expresión del momento de inercia:

Integrando:

Finalmente, sustituyendo la densidad en la expresión anterior, el momento de inercia del cilindro con respecto al eje z es:

El momento de inercia de un cilindro hueco (con un radio interior R2, como se muestra en la siguiente figura), se calcula de la misma manera que el del cilindro macizo desarrollado en el ejemplo anterior, pero integrando entre R2 y R1).

El momento de inercia de un cilindro hueco viene dado por:

Por tanto, a igual masa, un cilindro hueco tiene mayor momento de inercia que uno macizo. Si pinchas en la sección "Sabías que..." de esta página verás una aplicación práctica de este hecho.

5. Escriba la expresión matemática del momento de inercia de un cilindro hueco de pared gruesa, con respecto a un eje que pasa por su centro de masa. Incluya un gráfico.

La respuesta esta en la anterior

6. Un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo, ¿debe ser perfectamente rígido para que todos los puntos tengan la misma velocidad y aceleración angulares? Explique su respuesta.

7. ¿Qué diferencia hay entre la aceleración tangencial y la aceleración radial para un punto de un cuerpo que gira? Explique su respuesta. TANGENCIAL: es TANGENTE a la trayectoria en el punto analizado. Por ende tiene la misma dirección que la velocidad tangencial, pero puede tener sentido igual o contrario;

RADIAL: tiene la dirección del radio de giro, de modo que es perpendicular o normal a la trayectoria. De hecho en la forma más general, cuando la trayectoria no es necesariamente circular, es más usada la denominación de ACELERACIÓN NORMAL. La aceleración radial es exclusivamente CENTRÍPETA porque apunta hacia el centro instantáneo de giro. No puede apuntar hacia afuera.

Ambas aceleraciones constituyen las COMPONENTES INTRÍNSECAS de la aceleración. Es decir siempre cualquier cuerpo desplazándose sobre una trayectoria curva cualquiera, no sólo las circulares, como así cualquier punto de un cuerpo que gira, tiene una componente radial que es centrípeta y una componente tangencial que puede tener el mismo sentido que la velocidad (si ésta va en aumento) o contrario a la misma (si ésta va dismuyendo en módulo). La aceleración tangencial es SIEMPRE PERPENDICULAR a la aceleración centrípeta. No existe la aceleración centrífuga. Esta debería ser una componente en la dirección radial que acelere al cuerpo o al punto material de un cuerpo giratorio alejándolo radialmente del centro, y sería un contrasentido, porque dejaría de rotar en torno de ese centro de giro. No puede existir, entonces, porque todo cuerpo en una trayectoria curva, o como se pregunta, todo punto de un cuerpo que está girando (sobre un eje de rotación) se curva por la componente tangencial de la aceleración. Como se curva hacia el lado del centro (esto nos damos cuenta porque si la trayectoria es cerrada CONTIENE a dicho centro en su interior) quiere decir que la aceleración apunta hacia él, NUNCA hacia afuera en la dirección radial. 8. ¿Puede imaginar un cuerpo que tenga el mismo momento de inercia para todos los ejes posibles? Si es así, dé un ejemplo; si no, explique por qué no es posible.

Una esfera presenta el mismo momento de inercia para cualquier eje que pase por su centro. Son infinitos.

La esfera puede ser hueca. ¿Puede imaginar un cuerpo que tenga el mismo momento de inercia para todos los ejes, que pasan por cierto punto? Si es así, dé un ejemplo e indique donde está el punto. Un cubo. Para los tres ejes de simetría que pasan por el centro perpendiculares a las bases presenta el mismo momento de inercia. 2) Una esfera. Para todos los ejes que pasen por el centro presenta el mismo momento de inercia. 9. Para maximizar el momento de inercia e un volante mientras minimizamos su peso, ¿Qué forma y distribución de masa debe tener? Explique, su respuesta. El momento de inercia es masa por distancia al cuadrado, luego para aumentar el momento de inercia se deba aumentar la masa (todo lo que se pueda) y aumentar el radio.

Debido a que el radio está al cuadrado el aumento del mismo produce un aumento mayor en el momento de inercia, por lo tanto lo que tu pides se lograría aumentando todo lo posible el radio. Um aro com eixo de rotação passando pelo seu centro de massa possui a maior Inércia rotacional (= MR^2). O ideal é fazer um volante com forma de aro se voce quiser maximizar o momento de inércia, isso fará com que o volante seja mais dificil de ser girado traducir 10. ¿Cómo podría usted determinar experimentalmente el momento de inercia de un cuerpo irregular alrededor de un eje dado? EXPERIMENTO 

Determinar la constante de recuperación angular (K). Para ello, hay que insertar la barrera en el eje. Mediante el dinamómetro hacer girar la barra 1800 alrededor del eje, medir la fuerza. En este caso, el brazo de la palanca y el dinamómetro forman un ángulo de 900. También hay que medir previamente la distancia d entre el punto de medición de la fuerza y el eje de giro. Hallar el momento, ,en valor absoluto, conocida la fuerza que actúa, F y el brazo de la palanca, d ( = F d). Repetir la medida para 3 valores de ángulo de desviación diferentes ( 90o,270o y 360o ).

ð (radianes)

ððð

ð

d (cm)

F (N)

ð (N cm)

23

0,3

6,9

14

0,4

5,6

25 20

0,28 0,48

7 9,6

ðð ð ð

ðð 

12

0,7

8,4

25 26

0,4 0,5

10 13

17

0,8

13,6

11 15

1,2 1,1

13,2 16,5

26

0,7

18,2

11

0,5

5,5

Construir una gráfica con los valores de ð en ordenadas y de ð en abscisas. Para obtener la recta que mejor se acomode a estos valores, ajustar por mínimos cuadrados las funciones ð y ð .Trazar la recta de acuerdo con este ajuste y, a partir del valor obtenido de la pendiente, calcular el valor correspondiente de la constante de torsión, K, de acuerdo con la ecuación ð ð ð ð ð ð

De la ecuación: Y = 0.9027x + 3.4885 sale el valor de K = 0.9027 N cm / rad 

Instalar sucesivamente sobre el péndulo de torsión los diferentes cuerpos. Medir el período de oscilación de cada uno de ellos, para ello adherir un diagrama. Colocar la barrera fotoeléctrica frente al diagrama, estando los cuerpos en reposo. En el contador de 4 décadas poner en puente los bornes Start-Stop (amarillo-amarillo y blanco-blanco). Medir cada vez un semiperíodo, tomar la media entre los valores de medición de los giros iniciados primero a la izquierda y luego a la derecha(para minimizar los errores experimentales, repetir cada medida 3 veces, promediando para encontrar el período).

OBJETO Varilla

T(s)

Tmedio(s)

2.416 L = 0.59 m 2.43

2.42

m = 0.1647 Kg 2.414 I = 1/12 m L2 = 4.778 * 10-3 A Cilindro Macizo 0.752 r = 0.045 m 0.76 m = 0.3652 Kg 0.692 I = ½ m r2 = 3.698 * 10-4 A

0.735

Cilindro Hueco ra =

1.108

rb =

1.114

m = 0.3775 Kg

1.12

1.105

I = 1/2 m (ra2 + rb2) = Dos Masas Puntuales 5.758 a = 0.17 m 5.252

5.506

m = 0.5865 Kg 5.51 I = 2 m a2 = 0.1021 A Disco 1.472 r = 0.105 m 1.476

1.481

m = 0.2565 Kg 1.494 I = 1/2 m r2 = 1.414 * 10-3 A 

Comparar los valores obtenidos experimentalmente con los momentos de inercia teóricos obtenidos de las expresiones anteriores. ¿Encuentras alguna discrepancia? En caso afirmativo, explicar cual puede ser la razón.

A partir de la ecuación: T = 2 " (I / K) se despeja I: I = T2 K / 2 Para la varilla, Tmedio = 2.42 s, por lo que I = 0.8414 A. Para el cilindro macizo, Tmedio = 0.735 s, por lo que I = 0.0776 A. Para el cilindro hueco, Tmedio = 1.105 s, por lo que I = 0.1480 A. Para las dos masas puntuales, Tmedio = 5.506 s, por lo que I = 4.355 A. Para el disco, Tmedio = 1.481 s, por lo que I = 0.3151 A. -3-

11. Un cuerpo cilíndrico de masa M y radio R ¿la masa puede estar distribuida dentro el cuerpo de modo que el momento de inercia alrededor de su eje de simetría sea mayor que MR2? Explique, su respuesta.

12. Al calcular el momento de inercia de un objeto ¿Podemos tratar toda su masa como si estuviera concentrada en el centro de la masa del objeto? Justifique, su respuesta.

No

se

puede

hacer

esta

simplificación

en

este

caso.

Una forma de justificarlo que se me ocurre es la siguiente (por reducción a lo absurdo): Supongamos que si que se puede, y que podemos considerar toda la masa de un objeto en su centro de masas para calcular su momento de inercia. (En esa suposición estamos considerando al cuerpo como una partícula) Entonces el momento de inercia de cualquier eje que pase por su centro de masas debería ser nulo. Ya que la distancia del centro de masas a ese eje sería también cero. Como sabemos que el momento de inercia de un cuerpo sobre un eje que pasa por su centro de masas no es cero. Sabemos que la premisa de la que partimos es falsa (tenemos un absurdo). Y por tanto se demuestra que: para calcular el momento de inercia de un objeto no podemos considerar su masa como si estuviera concentrada en el centro de masa. (Hay mas formas de demostrarlo, pero esto debería valer) Ejercicios Resolver los siguientes problemas: 1. Se unen cuatro partículas de masa m mediante varillas sin masa, formando un rectángulo de lados 2a y 2b. El sistema gira alrededor de un eje en el plano de la figura que pasa por su centro. a) Hallar el momento de inercia respecto de este eje. b) Hallar el I respecto de un eje paralelo al anterior que pase por las masas. c) Hallar el I respecto a un eje perpendicular al anterior y que pase por una masa.

2. Calcular el momento de inercia respecto de un eje que pase por su centro de un disco de radio R y masa M al cual se le practica un agujero circular de radio R/4 centrado a una distancia R/2 del centro del disco.

a) Determínese el momento de inercia de un cono circular recto respecto a: Su eje longitudinal, un eje que pasa por el vértice del cono y es perpendicular a su eje longitudinal, un eje que pasa por el centro de gravedad del cono y es perpendicular a su eje longitudinal.

3. Dada la semiesfera x2 + y2 + z2 = R2, z ≥ 0. Calcular sus momentos de inercia Ix, Iy e Iz.

4. Calcular los momentos de inercia respecto a su eje de simetría de los siguientes cuerpos: a) b) c) d)

Esfera homogénea. Cilindro hueco de paredes delgadas Cilindro homogéneo hueco de radio interior a y exterior b Sistema formado por una barra cilíndrica de radio r y longitud l unida a dos esferas de radio 2r.

asa por el centro de la misma.