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SCG- XI Congreso Colombiano de Geotecnia, ISBN 958-33-9676-1

Introducción al método de los elementos de frontera, aplicaciones en geomecánica Introduction to the Boundary Element Method and its applications to geomechanics Carlos Eduardo Rodríguez Pineda Wilmer Ferney Morales Peñuela Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia Resumen El presente trabajo constituye el producto de la investigación de una técnica numérica para la solución de problemas de valor en la frontera y su aplicación para el análisis estático y dinámico de problemas de elasticidad en geomecánica. Si bien éste método conocido como Método de Elementos de Frontera (BEM) fue desarrollado contemporáneamente con el método de los elementos finitos, su uso en el país no ha tenido gran auge debido probablemente a su complicada formulación matemática e implementación numérica. Éste artículo tiene como fin realizar una presentación conceptual del método de los elementos de frontera, es decir, se presentará parte de las teorías sobre las que se fundamenta el método, sus características y procedimientos con base en los cuales se puede efectuar su desarrollo matemático y matricial formal, finalmente se presenta algunos ejemplos de su uso en problemas geotécnicos. Éste documento fue concebido con el fin de permitirle a la comunidad geotécnica colombiana comenzar a familiarizarse con el método, qué ecuaciones básicas se utilizan, cómo se resuelven y posibles aplicaciones, todo esto encaminado a que las partes involucradas puedan tener un punto de partida para el estudio detallado de ésta técnica.

Abstract This work constitutes the product of the investigation of a numerical method to solve boundary value problems and its application to static and dynamic slope stability analysis. Although this method known as Boundary Elements Method (BEM) was developed contemporarily with the Finite Element Method, Its use in this country hasn’t had a big boom due probably to its complicated mathematical formulation and its numerical implementation. This work has as principals results to make a caonceptual presentation of the Boundary Elements Method, i.e it will be presented some part of the theories on which it is founded, its characteristics and procedures to make its mathematical and matricidal formulation, Finally there is presented some of its applications to problems in geomechanics. This document was conceived as a tool to make that the Colombian geotechnical community start to familiarize with the method, which are its basic equations, how those are resolved and how to apply them. procedimientos con base en los cuales se puede efectuar su desarrollo matemático y matricial formal. Solo es una introducción al método y sus características. Fue concebido con el fin de permitirle al lector que desde el comienzo se familiarice con el método, qué ecuaciones básicas se utilizan y cómo se resuelven.

1 FUNDAMENTO CONCEPTUAL DE LOS ELEMENTOS DE FRONTERA En éste apartado se realizará una presentación conceptual del Método de los Elementos de Frontera (BEM), esto quiere decir que se presentarán parte de las teorías sobre las que se fundamenta el método, sus características y 217

físicas reales (e.g. desplazamientos y esfuerzos), por lo que se le denominó formulación directa. Finalmente en 1978 Brebbia presentó un desarrollo directo del método de las ecuaciones de frontera por medio de la técnica de los residuos ponderados, y es a partir de allí que esta metodología se denominó “Método de los Elementos de Frontera (BEM)”. A partir de ese instante y hasta el presente los desarrollos del método y sus aplicaciones se han diversificado a lo largo de la ingeniería, ampliándose a campos cada vez más complejos tales como comportamiento no lineal de los materiales, materiales no homogéneos, problemas dinámicos, etc.

1.1 Revisión Histórica A lo largo de la historia se han desarrollado diversas metodologías y técnicas que permiten solucionar problemas relacionados con la mecánica del medio continuo. Problemas que de manera analítica serian muy difíciles o dispendiosos. Entre las primeras técnicas desarrolladas para resolver estos problemas se encuentran: -

Aproximaciones por series de Fourier Método de las Diferencias Finitas (FDM) Método de los Elemento Finitos (FEM)

La primera corresponde a un grupo denominado como Técnicas aproximadas, mientras que las últimas pertenecen a un grupo denominado Métodos Numéricos. Dentro de este grupo, ambas se clasifican dentro del subgrupo de los métodos de dominio, llamado así debido a que para su solución requieren de la utilización de valores tanto de la frontera como del dominio. El hecho que estas técnicas utilicen valores del dominio y del contorno tiene como consecuencia que los sistemas de ecuaciones sean bastante extensos, generando así un gran costo computacional. Como respuesta a ese inconveniente, se comenzó a trabajar con métodos que clasificaran dentro del subgrupo de las técnicas de frontera, es decir, que solo requieren valores provenientes de la frontera para su solución y tienen como punto de partida una formulación basada en ecuaciones integrales. Según Bitencourt [1], el más antiguo de los problemas resuelto por esta forma (del que se tenga conocimiento) data de 1823 y resuelto por Niels Abel. Después de él existieron varios matemáticos que utilizaron esta técnica para resolver varios problemas físicos, lo cual tuvo como resultado la formulación de la primera teoría clásica de las ecuaciones integrales desarrollada por Fredholm (1903). El método de los elementos de frontera es una de esas técnicas. Su desarrollo ha transcurrido por varias etapas: inicialmente su desarrollo comenzó en los años cincuentas, en donde su base matemática era una formulación indirecta. Formulación que consiste en encontrar soluciones físicas partiendo de variables conceptuales como por ejemplo el gradiente de deformación; luego sigue una etapa hacia finales de los años sesentas cuando el profesor Frank Rizzo presentó en un artículo de 1967 por primera vez la formulación de una ecuación integral de frontera para elasticidad lineal basada totalmente en cantidades

1.2

Aspectos Generales Del Método

El BEM puede definirse como una técnica numérica basada en una formulación de ecuaciones integrales que tiene como fin la solución de problemas de valor en la frontera. Esto es muy apropiado en problemas de ingeniería donde con frecuencia se presentan problemas en los cuales existe dificultad en la definición de sus fronteras, un ejemplo claro de ello es el estudio del comportamiento del suelo bajo la acción de cargas suponiendo un campo semi-infinito. Como cualquier metodología numérica, sus resultados están supeditados a la susceptibilidad que se pueda presentar en la aplicación de las diferentes variables involucradas en la metodología. Por mencionar un ejemplo se puede tomar la densidad de la malla de discretización realizada en el problema; en la mayoría de los casos no se puede esperar la misma precisión en los resultados de un problema en el cual se ha realizado una discretización con 10 elementos, que los resultados obtenidos para el mismo problema con una discretización de 25 elementos 1 . El BEM tiene como uno de sus caracterizados méritos, el hecho que para problemas sencillos, la división de elementos solo tiene lugar en la frontera con una alta precisión de las soluciones, teniendo como consecuencias directas la reducción en la preparación de datos y ahorro en el tiempo de computación. Hay que tener en cuenta que para algunos problemas específicos Este comentario es solo en el ámbito de ejemplo, puesto que no en todos los casos se puede afirmar que sea cierto, para ello debe realizarse un análisis de convergencia del método, análisis que está fuera del alcance del presente documento.

1

218

como problemas de materiales con comportamiento no lineal o problemas dinámicos, el uso de celdas internas dentro del dominio son usualmente indispensables, tal como se menciona más adelante en este documento. A lo largo de la investigación del método ha habido muchos intentos y desarrollos con el fin de vencer esta limitación, entre ellos se encuentran: -

El método de la reciprocidad dual

-

El método de la reciprocidad múltiple

se debe realizar una transformación para obtener los valores de las cantidades físicas requeridas. El segundo tipo de BEM es aquel que está basado en una aproximación directa, es decir que es formulada en términos de cantidades físicas tales como desplazamientos y esfuerzos, y al estar formulada en términos de las cantidades solicitadas no es necesario hacer transformación alguna a los resultados. Los primeros trabajos en elastoestática fueron realizados con la primera aproximación, mientras que Rizzo fue quien popularizó la segunda, la cual es la predominante ahora[1]. Las formulaciones clásicas del método se basan en la relación recíproca existente entre dos estados elásticos, ya sean estáticos o dinámicos, además se basan también en una función de Green 2 que satisfaga las condiciones específicas del problema. Por lo general la relación recíproca utilizada es el conocido como teorema recíproco de Betti, del cual existe una versión para estática y otra para dinámica, para las funciones de Green generalmente se utilizan soluciones generales de problemas muy amplios tales como la solución de Kelvin, la cual permite hallar el desplazamiento y el esfuerzo de un punto en una dirección cualquiera debido a una carga aplicada en otro punto y en determinada dirección. Luego de realizar algunos procesos matemáticos 3 a las ecuaciones de equilibrio, Ecuación 1, se obtiene la siguiente expresión 2, la cual cumple con el principio de reciprocidad.

-

El método del cálculo puntual (computing point method) En los dos primeros se intenta realizar una transformación de las integrales de dominio en integrales de frontera por medio de soluciones fundamentales de orden superior, en el tercero los términos de las integrales son representadas por expansiones polinomiales y las integrales del dominio son transformadas en integrales de frontera, por lo cual el problema puede ser resuelto sin ninguna discretización del dominio. En la Figura 1 se puede observar la discretización de un talud natural por medio de dos técnicas, en la parte a se indica el talud original, en la parte b se observa la discretización realizada con BEM mientras que en la parte c se observa la discretización del mismo por medio de FEM (Finite Element Method). Es clara la diferencia que se marca entre las técnicas que utilizan una discretización completa de la región (FEM) y aquella como el BEM que solo discretizan la frontera

∂σ xx ∂σ xy ∂σ xz + bx = 0 + + ∂z ∂y ∂x ∂σ yx ∂σ yy ∂σ yz + by = 0 + + ∂z ∂y ∂x ∂σ zx ∂σ zy ∂σ zz + bz = 0 + + ∂z ∂y ∂x

(1)

Procesos entre los que se cuentan: - Planteamiento de una ecuación residual por el método de los residuos ponderados. Como función de ponderación se utiliza la misma solución fundamental. - Aplicación de una integración por partes a la ecuación residual.

Figura 1 Discretización de un talud natural por BEM y por FEM Actualmente el BEM puede ser dividido en dos clases según su tipo de formulación, la primera clase es aquel BEM cuya aproximación puede denominarse aproximación indirecta, denominado así debido a que utiliza cantidades ‘ficticias’ tales como densidades fuente (e.g. gradientes de deformación) para la solución del problema. El uso de este tipo de cantidades implica que al final

Soluciones analíticas en espacio libre, de la ecuación diferencial gobernante bajo la acción de una fuente puntual 3 En la referencia [2] se presenta la deducción formal de la ecuación 2

219

-

Aplicación de una ley de comportamiento esfuerzo-deformación, generalmente se utiliza la ley de Hooke. - Aplicación del segundo teorema recíproco de Maxwell-Betti. - Aplicación de una carga virtual en diferentes direcciones, calculando las soluciones fundamentales. Una vez realizados estos procesos se obtiene una ecuación integral conocida como la identidad de Somigliana para desplazamientos: ui (ζ ) = +

∫

∂Ω

∫

Ω

Aquí:

uij* (ζ , x) ⋅ t j ( x) dΓ( x) −

∫

∂Ω

expresión tiene un significado similar solo que en lugar de desplazamientos calcula la componente del vector de esfuerzos de Cauchy Después de una manipulación matemática a la identidad de Somigliana que incluye: - Ampliación ficticia de la frontera por medio de un círculo de radio ε - Calculo de las integrales cuando ε→0 Se obtiene la ecuación integral de frontera que es la base para el desarrollo del método, Ecuación (3)

tij* (ζ , x) ⋅ u j ( x) dΓ( x) +

∫

∫

cij (ζ)ui (ζ) + tij*(ζ, x)⋅ uj (x) dΓ(x) = uij*(ζ, x)⋅ t j (x) dΓ(x) Γ

uij* (ζ , x) ⋅ b j ( x) dΩ( x)

Γ

(3) Como se puede observar en esta ecuación aparece el término cij, el cual surge debido a una singularidad de la integral del lado izquierdo. Este coeficiente denominado ‘ libre’ es en algunos casos difícil de evaluar. En el Anexo B se explica el concepto de movimiento de cuerpo rígido que permite calcular este coeficiente junto con la integral del lado izquierdo, la cual debe ser evaluada en términos del Valor Principal de Cauchy 5 (VPC). En aras de presentar una ecuación más práctica, a continuación se escribe la Ecuación (3) en forma matricial:

(2)

ζ= Punto fuente (punto de colocación de la carga). x= Punto donde se evalúa el desplazamiento. ui(ζ)= Componente de desplazamiento del nodo fuente por carga en la dirección i. uij*(ζ)= Componente de desplazamiento de un nodo en la dirección j por una carga en dirección i * tij (ζ)= Componente de vector de esfuerzo de Cauchy 4 de un nodo en la dirección j por una carga en dirección i uj(x)= Componente, en la dirección j, del desplazamiento del punto de evaluación tj(x)= Componente, en la dirección j, del vector de esfuerzo de Cauchy en el punto de evaluación bj = Componente de fuerza de campo en la dirección j

cu +

∫tu *

Γ

∫

dΓ = u * t dΓ Γ

Para dos dimensiones se tiene: ⎡u ⎤ u = ⎢ 1⎥ ⎣u2 ⎦

⎡t ⎤ t = ⎢ 1⎥ ⎣t 2 ⎦

* ⎡t * t12 ⎤ t * = ⎢ 11 * * ⎥ ⎣t 21 t 22 ⎦

En esta ecuación se cumple el principio de reciprocidad, pero esta ecuación solo es válida para puntos que se encuentran dentro del dominio; más adelante se mostrará como utilizarla con el fin que también sirva para los puntos en la frontera. En este trabajo, la solución fundamental a utilizar es la de Kelvin, solución que presenta dos expresiones que permiten calcular los tensores uij* y tij*. La primera expresión, correspondiente a uij*, permite calcular el desplazamiento en la dirección j de un punto, cuando se aplica una carga en otro punto en la dirección i. La segunda

(4)

* ⎡u* u12 ⎤ u* = ⎢ 11 * * ⎥ ⎣u21 u22 ⎦ ⎡c c12 ⎤ c = ⎢ 11 ⎥ (5) ⎢⎣c 21 c 22 ⎥⎦

Si la frontera se aproxima a una malla de m nodos se tiene que en la anterior ecuación, u es un vector de dimensiones (2m,1) y contiene la información de los desplazamientos en ambas direcciones de cada uno de los nodos que constituyen la malla, t es un vector de dimensiones (2m,1) y reúne la información de los esfuerzos en ambas direcciones de cada uno de los nodos que constituyen la malla, la información que se encuentra en estos vectores está mezclada entre valores conocidos e incógnitas, dependiendo del problema a resolver. u* y t* son matrices que

El vector de esfuerzo de Cauchy es un vector que contiene los esfuerzos en las direcciones normales y tangenciales a una superficie.

4

El VPC es un proceso que permite la integración de funciones singulares sin mayor dificultad.

5

220

colectan los coeficientes resultado de la evaluación de las soluciones fundamentales y sus distintas contribuciones, y c es la matriz que comprende la evaluación del coeficiente libre. 1.3

Estas ecuaciones se mantienen para cualquier punto en la superficie. b) Generación de las ecuaciones Una vez que se tienen las Ecuación (7) se procede a generar un sistema de ecuaciones simultáneas, para resolverse por algún método convencional. Debe anotarse que en cada uno de los nodos se tienen 4 valores como se indica en la parte a de la Figura 3: el desplazamiento y la componente del vector de esfuerzo en cada una de las direcciones de evaluación, estos valores son ux,uy,tx,ty. Al ser un problema de valor en la frontera se deben conocer dos de estos valores, así que al final sólo se desconocen dos valores por nodo, esto conlleva a que al final el número de incógnitas del problema sea 2*m (m es el número de nodos), en la parte b de la Figura 3 se muestra un ejemplo en el cual se conocen los desplazamientos y se desconocen las componentes del vector de esfuerzos, así mismo en la parte c se muestra la situación contraria, anotando que en un problema real puede existir combinación de ambas condiciones, es decir, conocer uno de los desplazamientos y una de los esfuerzos en el nodo.

Metodología De Solución

Para poder explicar como realizar la aplicación del método, se retoma el ejemplo de la Figura 1. a) Planteamiento de la ecuación integral de forma discretizada Para poder escribir una ecuación discretizada, se debe primero dividir la frontera Γ en N segmentos lineales y con m nodos (cabe anotar que en este ejemplo N=m, pero en casos en los que se utilicen elementos con más nodos se tiene que N ≠ m), con el fin de representar adecuadamente la geometría del problema.

Î

Figura 2 Discretización de una frontera con elementos lineales Con el fin de conocer la variación de los desplazamientos y los esfuerzos a lo largo del elemento, se emplean funciones de interpolación que para este ejemplo serán lineales: uj =

2

∑

ϕ α ⋅ u jα

tj =

α =1

2

∑ϕ

α

(6)

⋅ t jα

α =1

Donde ϕα es el valor de la función de interpolación (función nodal) para el nodo α, .Los valores ujα y tjα son los valores de desplazamiento y vector de esfuerzos en el nodo α; j es la dirección en la cual se evalúa, es decir en la dirección 1 ó 2 (X ó Y). Con ello se pueden obtener las expresiones para los valores en un nodo i como: N

i c xx ⋅ u xi +

2

∑∑ ∫ ϕα u α t α x

j =1

N

c iyy ⋅ u iy +

N

dΓ +

Γj

2

∑∑ ∫ α j =1

* xx

Γj

ϕα u xα t *yx dΓ +

2

∑∑ ∫ ϕα u α t α y

j =1

N

N

dΓ =

Γj

2

∑∑ ∫ α j =1

* xy

Γj

Figura 3 Valores en un nodo y restricciones

ϕα u yα t *yy dΓ =

2

∑∑ ∫ ϕα t α u α x

j =1

N

221

N

dΓ +

Γj

2

∑∑ ∫ α j =1

* xx

Γj

ϕα t xα u *yx dΓ +

2

∑∑ ∫ ϕα t α u α y

j =1

N

* xy

Γj

2

∑∑ ∫ ϕα t α u α y

j =1

dΓ

Γj

* yy

dΓ

(7)

Con el fin de generar el sistema final, se aplica el método de la colocación puntual que consiste en evaluar las Ecuación (7) en cada nodo i.e. se coloca una carga unitaria en el primer nodo y se evalúan las Ecuación (7). Debe anotarse que al calcular la Ecuación (7) en el nodo 1, se deben evaluar intrínsecamente los efectos que tiene esta carga en todos los nodos que constituyen la frontera Γ, esto se tiene como consecuencia de la sumatoria externa que se encuentra en las Ecuación (7).

Ĥu= Gt

(10)

c) Reordenamiento del sistema Debido a que en los vectores u y t, se encuentran tanto valores conocidos como incógnitas, el sistema se debe ordenar de tal forma que a un lado de la Ecuación (8) queden las incógnitas y al otro los valores conocidos, esto se hace por medio de un intercambio de las columnas de las matrices Ĥ y G, obteniendo: Ax=Ry

(11)

Donde A es una matriz que corresponde a las columnas referenciadas a las incógnitas, x es el vector de incógnitas, R es la matriz que corresponde a las columnas referenciadas a los valores conocidos, y es el vector de valores conocidos. Finalmente el sistema queda: Ax=f

(12)

El cual se resuelve por cualquiera de los métodos numéricos conocidos para sistemas lineales. 2 APLICACIONES A GEOMECÁNICA

Luego de evaluar ese nodo, la carga unitaria se mueve al segundo nodo (el nuevo punto fuente), y se determinan las Ecuación (7), haciendo hincapié en la necesidad de establecer sus efectos en todos los nodos de nuevo. Este procedimiento se repite con los nodos 3,4,….,m, al terminar de evaluar las Ecuación (7) para cada nodo i, (i.e. el punto fuente se coloca en todos los nodos de la frontera), se obtienen 2*m ecuaciones, valor que es igual al número de incógnitas, por lo tanto el problema se puede resolver. El sistema final es de la forma: (8)

(C+H)u=Gt

(9)

DE

El método de los elementos de frontera ha sido utilizado en la resolución de diversos tipos de problemas geotécnicos entre los que se destacan: fundaciones, presas, túneles. A continuación se presentan algunos ejemplos en los que se ha usado éste método.

Figura 4 Evaluación de las ecuaciones discretizadas en a) dirección 1(X) y b) dirección 2 (Y)

Cu+Hu=Gt

PROBLEMAS

2.1 Presas En el caso de las presas se puede utilizar el BEM para resolver problemas de flujo o de esfuerzos y deformaciones, en el primero es necesario resolver la ecuación de LaPlace (13) para generar la red de flujo. En el segundo caso se resuelve la ecuación de equilibrio (1). ∇ 2u = 0

(13)

El procedimiento para solucionar ésta ecuación es similar al presentado arriba unicamente que la solución fundamental utilizada es: u* = 222

1 ⎛1⎞ ln(⎜ ⎟ 2π ⎝ r ⎠

(14)

En las figuras 5 y 6 se presentan los resultados de modelaciones de flujo debajo de una presa.

Figura 5. Comparación en mallas de BEM y FEM y presentación de resultados del BEM [2]

Figura 6. Red de flujo en dos suelos ortotrópicos

Figura 7. Modelo para análisis dinámico de presa (a) discretización FEM, (b) discretización con BEM, (c) resultado [2]

Como puede verse en éstas gráficas las respuestas obtenidas son adecuadas (véase la comparación en la presión en la base con el analítico y con FEM), además que el costo computacional es menor debido a la menor cantidad de elementos de discretización requerido. Adicionalmente se puede realizar un estudio de dinámico de deformaciones como el que presenta la Figura 7. Aquí se puede ver nuevamente la diferencia computacional que acarrea el generar el FEM vs el BEM, la figura 8 presenta una comparación de los resultados obtenidos para la frecuencia fundamental de vibración obtenida con el FEM ,BEM y la teoría de la cuña de corte.

Figura 8. comparación de frecuencia fundamental obtenida con FEM, BEM y teoría de cuña de corte. 223

2.2 Túneles El BEM ha sido usado por diversos investigadores con el fin de analizar el comportamiento tanto estático como dinámico de túneles, para ello se han valido de modelos constitutivos elásticos y elastoplásticos.

Figura 9. Modelación de una túnel con BEM, (a) convergencia, (b) relación de esfuerzos [2]. En la figura 9 se muestra el resultado obtenido por Brebbia et.al. [2] con la implementación de un modelo BEM elasto-estático, como se puede observar los datos obtenidos concuerdan muy bien con relación a lo teórico. Éste es un modelo simple, a partir de él se puede comenzar a generar modelos más complejos y que simulen más adecuadamente el comportamiento real de los materiales, por ejemplo la figura 10 presenta un modelo de túnel utilizando un BEM elastoplástico (nótese que para realizar BEM plástico o dinámico es necesario generar una discretización del dominio, esto se evita con otras formulaciones del BEM como el Dual Reciprocity que se hayan fuera del alcance propuesto por éste documento). De allí se puede observar nuevamente una comparación con el FEM en la que se observan diferencias entre uno y otro resultado, según Telles, la discrepancia se puede deber a las condiciones de frontera de la periferia dadas a ambos análisis, sin embargo el comportamiento presentado es estable y convergente. Además se pueden realizar análisis trascientes como el mostrado en la Figura 12 y realizado por Telles y Carrer [4].

Figura 10. Modelo BEM elastoplástico de un túnel. [4] Con estos modelos es posible identificar posibles zonas de plastificación del material lo que permite prever acciones correctivas desde etapas iniciales del proceso de diseño de los túneles, ejemplos de ello son los puntos presentados en la Figura 10 y las zonas de la

Figura 11. Zonas plásticas de un túnel [2] 224

3.CONCLUSIONES En el presente documento se ha presentado una breve descripción del Método de los Elementos de Frontera (BEM) y algunas de sus posibles aplicaciones en problemas geotécnicos, dentro de esa descripción se presenta de forma abreviada las ecuaciones básicas en la que se fundamenta el método y su desarrollo matricial. Igualmente se muestra los resultados obtenidos por algunos investigadores al aplicar el BEM a casos de flujo y deformaciones en presas así como de análisis de túneles. Dado el gran potencial que éste método ofrece para la solución de problemas en la mecánica del continuo, se considera conveniente la continuación de su estudio en nuestro país. 4. REFERENCIAS Bitencourt, V., (2002). “Algoritmos de integração eficientes para o método dos elementos de contorno tridimensiona”l; tesis de Maestría, Universidade de São Paulo. Brebbia, C.A., Telles, J.C.F., Wrobel, L.C., (1984). “Boundary element techniques, theory and applications in engineering”; SpringerVerlag, Berlin. Chaves, A., (2003). “Estudo e implementação das equações integrais de contorno para problemas tridimensionais de elasticidade”; tesis de Maestría, Universidade Federal de Minas Gerais. MANOLIS, G.D. , editor (2000) “Boundary Techniques in Geomechanics”, Elsevier., Morales, W., F. (2004) “Análisis estático y dinámico de estabilidad de taludes por medio de elementos de frontera”, Tesis de Ingeniero Civil, Universidad Nacional de Colombia.

Figura 12. Análisis dinámico elastoplástico de un túnel [4]

225