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Elkin Teran Gomez, Jesus Eiber Velazco, Jose Alejandro Vargas, Sebastian David Ossa

CALCULO 3 INTEGRACION MULTIPLE

ELKIN TERAN GOMEZ código: 100612010615 JESUS EIBER VELASCO código: 100613010173 SEBASTIAN DAVID OSSA código: 100612010678 JOSE ALEJANDRO VARGAS código: 100613010660

TRABAJO: INTEGRALES MULTIPLES PRESENTADO A: ANDRES FELIPE ESCALLON PORTILLA INGENIERO ELECTRONICO Y EN TELECOMUNICACIONES

UNIVERSIDAD DEL CAUCA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES POPAYAN, CAUCA 12-JUNIO-2015

Elkin Teran Gomez, Jesus Eiber Velazco, Jose Alejandro Vargas, Sebastian David Ossa

CONTENIDO . 1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................... 2. OBJETIVOS ................................................................................................. 2.1 OBJETIVO GENERAL ............................................................................ 2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................................................. 3. MATERIALES Y MÉTODOS ........................................................................ 3.1 MATERIALES ......................................................................................... 3.2 METODOLOGÍA ...................................................................................... 4. DESARROLLO DEL PROYECTO ............................................................... 4.1 INTEGRALES INTERADAS Y ÁREA EN EL PLANO ............................ 4.2 INTEGRALES DOBLES Y VOLUMEN ................................................... 4.3 CAMBIO DE VARAIBLES: COORDENADAS POLARES ..................... 4.4 ÁREA DE UNA SUPERFICIE ................................................................. 4.5 INTEGRALES TRIPLES Y APLICACIONES .......................................... 4.6 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS .................................................................................................. 4.7 CAMBIO DE VARIABLE: JACOBIANO ................................................. 4.8 INTEGRALES DE LINEA ........................................................................ RECOMENDACIONES BIBLIOGRAFÍA

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1. INTRODUCCIÓN De la misma manera en que la integral de una función positiva de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores. La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen

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2. OBJETIVOS 2.1 OBJETIVO GENERAL  Aplicar los conceptos aprendidos en clases para el desarrollo adecuado de cada uno de los problemas que se presenten en el capítulo 14. 2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Como usar una integral doble para encontrar el volumen de una región sólida. Como escribir y evaluar integrales dobles en coordenadas polares ya que para ciertos problemas su solución es más sencilla mediante un cambio de coordenadas rectangulares a polares.  Usar una integral doble para encontrar el área de una superficie. Saber usar una integral triple para encontrar el volumen.  Escribir y evaluar integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Entender y usar el jacobiano para cambiar variables en una integral doble.

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4. MATERIALES Y MÉTODOS

4.1 MATERIALES En el presente trabajo se usaron diversas herramientas como el software Matlab que sin lugar a duda fue de mucha utilidad para la verificación de algunas integrales y también para graficar cierto tipo de funciones esto para lograr los mejores resultados y exactos posibles.

4.2 METODOLOGÍA Para el desarrollo de los ejercicios propuestos se usaron los conceptos de integrales iteradas, Cambio de variables, coordenadas polares, Integrales dobles, Integrales triples, Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas para el desarrollo de problemas como lo fueron área en el plano, área de una superficie, volúmenes, etc.

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4. DESARROLLO DEL PROYECTO 4.1 INTEGRALES INTERADAS Y ÁREA EN EL PLANO  Evaluar la integral iterada en los siguientes ejercicios: 1. ∫ (

)

∫

∫

3. ∫

∫ ( ) ( )

( )

5. √

∫

, (

√

-

)

7. ∫

6

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∫

∫

4

√

5 (

) 9.

∫

(

) Evaluando en

∫ (

.

)/

(

y 0

( ))

( )

11. ∫ ∫ (

)

∫(

) √

13. ∫ ∫ (

(

∫ 4

)

*

(

5

*

7

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15.

∫ ∫

∫

( *

( )

17. ∫ ∫

(

∫

)

∫ (

( (

)

∫

19. ∫ ∫ √

∫

√

8

) )

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∫

∫

√ 4 . .

(

5 )

/ /

9

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4.2 INTEGRALES DOBLES Y VOLUMEN  En los siguientes ejercicios aproximar la integral dividiendo el rectángulo R con vértices (0,0), (4,0), (4,2) y (0,2) en ocho cuadrados iguales y hallando la suma donde (𝒙𝒊,𝒊) es el centro del cuadrado i-ésimo. Evaluar la integral iterada y compararla con la aproximación. 1. Aproximación por sumas de Riemman. ∫ ∫(

)

∫ (

)

Como se puede observar por la distribución de los vértices nos damos cuenta que los centros de cada uno de los 8 cuadros son: (1/2,1/2), (3/2,1/2), (5/2,1/2), (7/2,1/2), (1/2,3/2), (3/2,3/2), (5/2,3/2), (7/2,3/2). ∑ (

)

∑(

)( )( )

3. ∫ ∫ (

∑(

)

∫ (

*

)( )( )

10

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 En el siguiente ejercicio dibujar la región R y evaluar la integral iterada 5.

∫ ∫ (

)

Si usamos el cuadro i-ésimo de la esquina más alejada obtenemos 272. ∑ (

) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )-

∑ (

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

)

=272

 En el siguiente ejercicio dibujar la región R y evaluar la integral iterada 11

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7. ∫ ∫(

)

∫ (

)

Para realizar la gráfica observamos los límites de integración y los ubicamos en el plano cartesiano así:

9. ∫ ∫ (

)

∫ (

*

11.

12

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√

(

∫ ∫

)

√

∫

√

(

[

)

]

 En los siguientes ejercicios dar integral para cada orden de integración y utilizar el orden más conveniente para evaluar la integral en la región R. 13. Para la siguiente integral delimitada por el rectángulo de vértices (0,0), (0,5), (3,5), (3,0). ∬ De los vértices dados podemos observar que los límites de integración son ∫ ∫

∫

[

]

15. Integral acotada por y=x, y=2x, x=1, x=2 13

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∬ De las cotas vemos que los límites para la integral son los siguientes. ∫ ∫

∫ (

∫

)

(

(

)

)

( * 17. Integral acotada por y=4-

, y=4-x

∬ Para poder conocer los límites de integración debemos de recurrir a la gráfica de la integral.

La recta es la función y=4-x y la curva es la función y=4-

.

De ahí vemos que la solución al problema está dada por: √

∫ ∫

14

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∫ ∫

∫

((

)

(

) )

19. El sector circular en el primer cuadrante acotado por

√

∬ Igual que en el caso anterior debemos recurrir a la gráfica de la integral para ver sus límites de integración.

Así pues tenemos: √

∫ ∫

∫ ∫

√

∫ ∫

15

∫

(

)

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4.3 CAMBIO DE VARAIBLES: COORDENADAS POLARES  En los siguientes ejercicios se muestra la región R para la integral. Decir si serían más convenientes usar coordenadas rectangulares o polares para evaluar la integral 1. En este caso es mejor trabajar con coordenadas rectangulares puesto que no se tratan de regiones circulares, cardiodes y pétalos de una curva rosa. Respuesta: Es más conveniente usar coordenadas rectangulares. 3. En este caso es mejor trabajar con coordenadas polares puesto que se trata de una región circular. Respuesta: Es más conveniente usar coordenadas polares. 5. La región R es un medio círculo de radio 8. Y la figura la podemos describir ) + en coordenadas polares como: R=*( 7. La región R es una cardioide con a=b=3 .Se puede describir en coordenadas polares como: ) + R=*( ( ) 9. ( )

∫ ∫

∫

( )

∫

(

)

(

∫

Gráficamente:

16

)

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11. ∫

∫

∫

( )

( )

∫

( )

Gráficamente:

13. ∫

∫ √

-Resolvemos por separado la integral más interna: ∫ √ -Hacemos u=

, derivando a ambos lados du=-2r dr

17

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∫√ -Regresando a la variable original ( )⁄ ∫

√

√ √

Gráficamente:

15. ( )

∫

∫

∫ (

( ))

( )

∫

( )

Obtenemos los resultados trabajando la integral dividiéndola en tres integrales más sencillas ∫

∫

( )

18

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( )

∫

Sumando Resultados ( )

∫

( )

Gráficamente:

 En los siguientes ejercicios evaluar la integral iterada pasando a coordenadas polares. 17. √

∫ ∫ Sabemos que x=r cosx y que y=r senx Convirtiendo a condenadas polares: ∫ ∫

( )

∫

( )

19

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19. √

∫ ∫

√

Pasamos a coordenadas polares: √

Por lo tanto sabemos que r esta entre: Ahora:

(

)

( ) Ahora resolvemos la nueva integral: ∫ ∫(

∫ ∫

∫ ∫

∫ 0 1

∫

(

, -

20

)

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4.5 ÁREA DE UNA SUPERFICIE  En los siguientes ejercicios hallar el área de la superficie dada por 𝒛=(𝒙,𝒚) sobre la región R. 1. f(x,y)=2x+2y en R=Triangulo cuyos vértices son: (0,0),(4,0),(0,4) Derivadas parciales = 2, = 2 √

, -

√

, √

∫ ∫ ∫ ∫

∫

(

3. f(x,y)=7+2x+2y en R=*(

)

)

+

Derivadas parciales = 2, = 2 √

, -

√

, √

∫

∫

∫

21

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5. f(x,y)= 9 en R= Cuadrado cuyos vértices son : (0,0),(2,0),(0,2),(2,2) Derivadas parciales = -2x, = 0 , -

√

, -

√

√ ∫ ∫ √ (√

∫

(√

)

)

√

√

7. f(x,y)= R= Rectángulo cuyos vértices son : (0,0),(0,4),(3,4),(3,0). = √

,

=0

, -

, -

√

√

∫ ∫ √

∫

√

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√

9. f(x,y)=ln(secx) y R=2(

)

3

Derivadas parciales tan(x), = 0 , -

√ √

, √

( ) ( )

( )

( )

( )

∫ ∫ ∫

( )

( )

√ R=*(

11. f(x,y)= √

)

(

)

+

Derivadas parciales , = √

√

√

, -

√

(

∫

, -

)

√

(

√

)

√

∫√

23

√

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√

∫ √

R=*(

13. f(x,y) = √ Derivadas parciales , √

√

, -

√

(

)

+

√

, -

)

√

(

)

√

√

x=rcos(x) y=rsen(y) √ ∫

∫

√

.√

∫ (√

/ )

 En los siguientes ejercicios hallar el área de una superficie. 15. Porción del plano z=24-3x-2y en el primer octante. Derivadas parciales 24

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-3, , -

√ √

=-2 , √

Nota: Para saber los límites de integración tanto en x y en y hacemos z=0 y la función despejándola en términos de x seria: . Si y=0 entonces x=8.

∫ ∫

∫

√

√

(

)

=48√ 17. Porción de la esfera

,

√

√

, -

√

(

en el interior del cilindro

√

, -

)

√

(

√

)

√

√

Sabemos que x=r cosx y que y= rsenx:

25

√

(

( ))

(

( ))

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∫

∫

√

∫ = 20 19. f(x,y) = 2y +

, √

R: triángulo cuyos vértices son (0, 0), (1, 0), (1, 1).

=2

, -

√

, √

∫ ∫ √ ∫

S=

√ √

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5.5 INTEGRALES TRIPLES Y APLICACIONES  En los siguientes ejercicios evaluar la integral iterada. 1. ∫ ∫ ∫(

)

∫ ∫ (

*

∫ ∫,

-

-

∫ [

,

-

3. ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ,

∫ ∫

∫ 6

7

-

∫

6

7

5. ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ (

∫ ,

) -

∫ (

-

27

)

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,(

) (

-

) 7.

∫ ∫

( )

∫

(

∫ ∫

6

)

∫ ∫

( )

,

∫ , (

)

( ) -

( )-

∫ (

)

7

 En el siguiente ejercicio utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral 9. √

√

∫ ∫

∫

∫ ∫

√

∫

∫

√

∫ ∫

, √

, -

. √

√

∫

√

/

∫

√

√

(√

)

√

Para resolver esta última integral procedemos de la siguiente manera: *

28

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Remplazando queda: ∫

√

∫√

11. √

∫ ∫

∫

.√

0

∫

.√

0

( ),

∫ ∫

( )-√

,

∫

√

( )

∫

0

( )

.√

-

/1

/1

/1

 En los siguientes ejercicios dar una integral triple para el volumen del solido 13. El sólido en el primer octante acotado por los planos coordenados y el plano =5− − . Si z =0

{

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∭

∭

∭

∫ ∫

∫ 15. El sólido acotado por el paraboloide

Remplazando:

6 √ Entonces Tenemos: √

∫

√

√

∫

∫ √

17. El sólido que es el interior común bajo la esfera y sobre el paraboloide ( ) (

√

30

)

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Se reemplaza y tenemos:

(

)(

)

2

Si z=8 entonces

Ahora: √ Por lo tanto la integral nos queda: √

∫ ∫

√

∫ √

(

)

19. En el siguiente ejercicio utilizar una integral triple para hallar el volumen del solido mostrado en la figura.

Por la figura tenemos:

Así se tiene que el volumen:

31

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∭

∫ ∫

∫ ∫

∫ (

∫

, -

)

∫ ∫

∫ 6

[

]

32

7

∫ (

)

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5.6 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS  En los siguientes ejercicios evaluar la integral iterada 1. ∫ ∫

( )

∫

∫ ,

∫ ∫

∫

( )-

6

(

, -

( )

∫ ∫

( )7

)

3. ( )

∫

∫

( )

( )

∫

∫

∫

(

)

( )

( )

∫

6

64

5

( )

( )7

( )

∫ ,

7

33

( )

( ) -

( )

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 En el siguiente ejercicio utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral iterada 5. ( )

∫

∫

∫

∫

∫ ( )

( )

( )

∫

∫

6

( )

7

( )

Hacemos un cambio de variable: ( ) ( ) Por lo tanto tenemos:

∫

∫

∫

( )

6

∫

7

[

]

∫

En el siguiente ejercicio utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral iterada 7. ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

, -

Por tablas de integración podemos resolver la integral más interna por tanto:

∫ ,

(

)-

∫ ,

(

)-

34

,

(

)-

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∫ ,

(

)

-

∫ ,

-

Por tablas de integración podemos resolver la integral más interna por tanto:

∫ ,

-

-

,(, (

,

,

(

)

-)-

,

-

-

)

 En los siguientes ejercicios dibujar la región solida cuyo volumen está dado por la integral iterada, y evaluar la integral iterada: 9.

∫

∫ ∫

∫

∫

Por tablas de integración podemos resolver la integral más interna por tanto:

∫

[

]

∫

(

)

Por tablas de integración podemos resolver la integral más interna por tanto:

(

)

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11. ∫

∫

∫

∫

∫

√ ∫

( )

∫

( )

∫

∫ ,

6

7

( )

( )-

√

√

 En los siguientes ejercicios convertir la integral de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y a coordenadas esféricas, y evaluar la integral iterada más sencilla: 13. √

∫ ∫

∫ √

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COORDENADAS CILINDRICAS Pasamos a coordenadas cilíndricas y por lo tanto hallamos los límites de integración:

√

√

Por lo tanto r esta entre: 0 ≤

≤2

Entonces se tiene que =2cos ; =2sin ; = , luego se calculó los límites de integración para : ( ) ( )

( ) ( )

Así se obtiene que 0≤ ≤ , por lo tanto la integral queda de la siguiente manera: ( )

∫ ∫ ∫

( )(

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )

( )

( ), -

∫ ∫

( )

∫ ∫

∫

)

∫

( )

37

( )6 7

∫

( )6 7

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15. √

√

∫ ∫

∫ √

COORDENADAS CILINDRICAS

Pasamos a coordenadas cilíndricas y por lo tanto hallamos los límites de integración: √ √

√

De donde se obtiene que 0≤ ≤ Entonces se tiene que = cos ; = sin ; = , luego se calculó los límites de integración: ( ) ( )

( ) ( )

Así se obtiene que 0≤ ≤ , por lo tanto la integral queda de la siguiente manera: √

√

( )

∫ ∫ ∫

( )

∫ ∫ ∫

Al resolver esta integral se tiene que: √

∫ ∫ ∫

∫

( )√

( )

6 7

∫ ∫

( )( √

∫

38

( )(√

)

)

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.√

/,

( )-

.√

/( )

COORDENADAS ESFERICAS

Para expresar la integral original en coordenadas esféricas se tienen que cambiar los límites de integración así: √

(

)

4√

5

Pero se sabe que:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Reemplazando se tiene que: Cuando

Con lo anterior se puede decir que: Haciendo el mismo procedimiento que en coordenadas cilíndricas obtenemos los valores de .

Reemplazando se tiene que la integral en coordenadas esféricas queda:

39

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( )

∫

∫

∫

(

)

( )

Ojo: Resolver esta integral es muy complicado.

 En los siguientes ejercicios usar las coordenadas cilíndricas para hallar el volumen del solido: (

17. Solido interior a

)

( )

Tenemos: ( (

)

)

( )

Ahora encontramos los límites de integración: √ √

√

Lo pasamos a coordenadas cilíndricas y por lo tanto tenemos:

√

√ ( )

Ahora remplazando en la integral estos nuevos límites de integración procedemos a resolver la integral: √

( )

∫

∫

∫

√

( )

∫ ∫

∫

√

∫ ∫

( )

( )

√

∫ 6 (

40

)

7

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∫ (

( ))

(

6

( ) 7

( )

)

19. Solido limitado arriba por ∭

y abajo por

∭ (

)

Entonces la integral que ( )

∭

Y además la curva de intersección

( )

( )

( )

( )

∫ ∫

( )

∫

Ahora resolvemos la integral: ( )

∫ ∫

( )

∫ ( )

∫ ∫

( )

(

∫ ∫

(

( )

) ( )

( )

)

∫ [

41

( )6 7

6 7]

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∫ 4

∫

( )

( )

( )

[

5

( )

∫

(

)

(

42

)]

[

(

)

(

)]

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5.7 CAMBIO DE VARIABLE: JACOBIANO  En los siguientes ejercicios hallar el jacobiano (𝒙,𝒚)𝝏(𝒖,𝒗)⁄ para el cambio de variables indicado. 1. (

)

(

)

Las derivadas parciales de (x) y (y) son:

El jacobiano es: ( (

) )

(

)

(

)

3.

Las derivadas parciales de (x) y (y) son:

El jacobiano es:

43

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( (

) )

(

(

)

.

/

)

5.

Las derivadas parciales de (x) y (y) son:

El jacobiano es: ( (

) )

( )

(

)

.

/

( )

7. ( )

( )

Las derivadas parciales de (x) y (y) son: ( )

( )

( )

( )

44

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El jacobiano es: ( (

(

) )

(

( ))( ( ( )

)

(

( )) ( ( ))

( ) ( )

( ) * ( )

( ))(

( ))

 En los siguientes ejercicios dibujar la imagen S en el plano uv de la región R en el plano xy utilizando las transformaciones dadas 9.

Despejo v de la segunda función

( )

Tabulamos unos valores para poder dibujar: (x,y) (u,v) 0,0 0,0 3,0 1,0 2,3 0,1

45

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11. (

)

(

)

Despejo v de la segunda función

Tabulamos unos valores para poder dibujar: (x,y) (u,v) ½, ½ 1,0 3/2, 3/2 3,0 0,1 1,-1 1,2 3,-1

46

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 En el siguiente ejercicio verificar el resultado del ejemplo indicado por establecer la integral usando dydx o dxdy para dA. Después, usar el sistema algebraico por computadora para evaluar la integral

13. La región R está acotada por las rectas 1 Evaluar la integral ∫ ∫ ∫∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Hallamos el primer término: (

∫ ∫

)

∫ ∫

∫

6

(

)(

7

Hallamos el segundo término: (

∫ ∫

6

∫ ∫

)

∫

7

47

(

)

)

Elkin Teran Gomez, Jesus Eiber Velazco, Jose Alejandro Vargas, Sebastian David Ossa

Hallamos el último término: ∫ ∫

∫ ∫

[

∫

]

Ahora para terminar tenemos que sumar el resultado de cada término:

 En los siguientes ejercicios utilizar el cambio de variable indicado para hallar la integral 15. (

)

(

)

Las derivadas parciales de (x) y (y) son:

( (

) )

( *(

∫∫ (

(

*

)

(

)

( *( *

)

∫ ∫

[ (

)

48

(

) ]( *

Elkin Teran Gomez, Jesus Eiber Velazco, Jose Alejandro Vargas, Sebastian David Ossa

∫ ∫ (

)

∫

(

*

Evaluando entre 1 y -1 tenemos el resultado final:

17. ( ) Las derivadas parciales de (x) y (y) son:

( (

) )

(

)

( )( )

( )( )

∫∫ (

)

∫ ∫

.

/

( )

∫

19. ∫∫

49

Elkin Teran Gomez, Jesus Eiber Velazco, Jose Alejandro Vargas, Sebastian David Ossa

√

( (

) )

√

(

)

( (

)

50

)

Elkin Teran Gomez, Jesus Eiber Velazco, Jose Alejandro Vargas, Sebastian David Ossa

5.8 INTEGRALES DE LINEA 1.  En los siguientes ejercicios hallar una parametrización suave a trozos de la trayectoria C. ( ) ( )

( ) ( )

(

( ) ( )

)

Por lo tanto C está dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) 3. ( ( ( (

) ) ) )

( ) ( )

( ( ( (

( ) ( )

) ) ) )

Por lo tanto C está dado por: ( ( ( (

) ) ) )

( ( (

) ) )

5. . ( )

( ) ( )

( ) ( )

Ahora parame trizamos geométricamente para obtener: ( ) ( ) ( )

( )

,

51

-

Elkin Teran Gomez, Jesus Eiber Velazco, Jose Alejandro Vargas, Sebastian David Ossa

 En los siguientes ejercicios evaluar la integral de lineal a lo largo de la trayectoria dada 7. ( )

∫

( )

La integral se evalúa entre:

( ) 0