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M´ etodos de Integraci´ on L. F. Res´endis O.

Lino Feliciano Resendis Ocampo Digitally signed by Lino Feliciano Resendis Ocampo DN: cn=Lino Feliciano Resendis Ocampo, o=UAMAZC, ou=Ciencias Basicas, [email protected], c=MX Date: 2008.09.04 15:25:06 -05'00'

2

´Indice general 1. M´ etodos de integraci´ on L.F. Res´endis O. 1.1. Formulario de derivadas e integrales . . . . . . . . 1.2. Integrales inmediatas L.F. Res´endis O. . . . . . . . . . . . 1.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Completaci´on del Trinomio L.F. Res´endis O. . . . . . . . 1.3.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Integrales trigonom´etricas L.F. Res´endis O. . . . . . . . . 1.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Sustituci´on trigonom´etrica L.F. Res´endis O. . . . . . . . . 1.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Integraci´on por partes con funciones trascendentes 1.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Integraci´on por fracciones parciales L.F. Res´endis O. . . . 1.7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Formulario L.F. Res´endis O. . . . . . . . . . . . . . . . .

3

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L.F. Res´ endis O.

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5 6 11 14 16 19 20 26 28 34 35 39 40 44 46

4

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1 M´ etodos de integraci´ on

L.F. Res´ endis O.

En esta secci´on se estudian t´ecnicas de integraci´on donde se trata de aplicar diversos m´etodos, junto con un f´ormulario b´asico de integraci´on. El formulario presenta primero una tabla de derivadas b´asicas escritas en t´erminos de la regla de la cadena. A saber si f = f (u) y u = u(x) entonces d d du f (u) = f (u) u(x) = f (u) . dx dx dx Gran parte de los ejercicios de integraci´on se fundamentan en el teorema de cambio de variable, de manera que memorizar la tabla de derivadas ser´a de gran utilidad, pues es la base para detectar r´apidamente el cambio de variable necesario para resolver la integral y de hecho con la pr´actica esto se hace de forma inmediata. Asimismo el lector debe tratar de memorizar el formulario de integraci´on y entonces el uso del formulario se reducir´a a consultar alguna duda sobre determinada f´ormula. Esto es sumamente u ´til porque, finalmente, las t´ecnicas de integraci´on aqu´ı descritas, tan s´olo tratan de reducir la integral propuesta a una o varios de los patrones que aparecen en el formulario y por ende es necesario tener familiaridad con los mencionados patrones de las f´ormulas. A continuaci´on se presentan los formularios que ser´an usados. Se resuelven en detalles los ejemplos de cada secci´on, sin embargo al abordar una nueva secci´on se considera conocido y asimilado lo visto en las secciones anteriores y en la soluci´on escrita los detalles correspondientes a t´ecnicas anteriores se presentan muy resumidamente. En la medida de lo posible se trata de distinguir en el m´etodo la parte de la manipulaci´on algebraica y el c´alculo de las integrales resultantes. 5

6

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

´ L.F. RESENDIS O.

Al final de cada m´etodo se presentan 4 o 5 grupos de ejercicios. El primer grupo tiene las soluciones y al consultarlas pueden dar una idea del procedimiento para resolver las integrales; as´ı con todo prop´osito los grupos restantes no tienen las soluciones y se espera que un lector dedicado del texto las pueda resolver sin problemas.

1.1.

Formulario de derivadas e integrales

El primer bloque de f´ormulas de derivaci´on se refiere a las derivadas de las funciones exponenciales y sus inversas.

(1)

d n u dx

= nun−1

du dx

(2)

d ln u dx

=

(3)

d u e dx

= eu

(4)

d 1 du loga u = dx u ln a d x

(5)

d u a dx

1 du udx du dx

= au ln a

du dx

El segundo bloque corresponde a las de rivadas de las funciones trigonom´etricas directas

1.1. FORMULARIO DE DERIVADAS E INTEGRALES

(6)

d du sen u = cos u dx dx

(7)

d du cos u = − sen u dx dx

(8)

d du tan u = sec2 u dx dx

(9)

d du cot u = − csc2 u dx dx

(10)

d du sec u = sec u tan u dx dx

(11)

d du csc u = − csc u cot u dx dx

7

8

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

´ L.F. RESENDIS O.

El tercer bloque corresponde a las funciones trigonom´etricas inversas. Se observa que las derivadas son funciones algebraicas.

(12)

1 d du arc sen u = √ dx 1 − u2 d x

(13)

d 1 du arctan u = dx 1 + u2 d x

(14)

d arcsec u dx

(15)

d 1 du arc cos u = − √ dx 1 − u2 d x

(13)

d arccot u dx

= −

(14)

d arccsc u dx

1 du = − √ 2 u u − 1dx

=

1 du √ 2 u u − 1dx

1 du 1 + u2 d x

El primer bloque de f´ormulas de integraci´on para exponenciales es el siguiente.

(I)

(II)

(III) (IV)

8

8

8 8

un du = du u

un+1 + C, n+1

= ln |u| + C

eu du = eu + C au du =

au +C ln a

n = −1.

1.1. FORMULARIO DE DERIVADAS E INTEGRALES

9

El segundo bloque lo forman las f´ormulas de integrales trigonom´etricas y algunos productos entre ellas.

(V) (VI)

(VII) (VIII)

(IX) (X)

(XI) (XII)

(XIII) (XIV)

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

sen u du

= − cos u + C

cos u du

= sen u + C

tan u du

= ln | sec u| + C

cot u du

= ln | sen u| + C

sec u du

= ln | sec u + tan u| + C

csc u du

= ln | csc u − cot u| + C

sec2 u du

= tan u + C

csc2 u du

= − cot u + C

sec u tan u du = sec u + C csc u cot u du = − csc u + C

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

10

´ L.F. RESENDIS O.

El tercer bloque son las f´ormulas de integraci´on para funciones racionales de orden 2. e e 8 eu + ae du 1 e+C (XV) = ln e a2 − u2 2a e u − a e e e 8 eu − ae du 1 e e+C . (XVI) = ln u2 − a2 2a e u + a e El cuarto bloque son las f´ormulas de integraci´on b´asicas para radicales. (XVII)

(XVIII)

(XIX)

(XX)

(XXI)

(XXII)

(XXIII)

(XXIV)

(XXV)

8

8

8

du √ 2 a − u2

= arc sen

u +C a

du a2 + u2

=

1 u arctan + C a a

du √ u u2 − a2

=

1 u arcsec + C a a

8 √ √ u√ 2 a2 2 2 2 a + u du = a + u + ln(u + a2 + u2 ) + C 2 2 8 √ u√ 2 a2 u a2 − u2 du = a − u2 + arc sen + C 2 2 a 8 √ √ u√ 2 a2 u2 − a2 du = u − a2 − ln |u + u2 − a2 | + C 2 2 8 e e √ du eu + u2 − a2 e + C. √ = ln u2 − a2 8 √ du √ = ln(u + a2 + u2 ) + C a2 + u2 e√ e 8 du 1 ee a2 + u2 + a ee √ = − ln e e + C. e a e u u a2 + u2

1.2. INTEGRALES INMEDIATAS

1.2.

´ L.F. RESENDIS O.

Integrales inmediatas

11

L.F. Res´ endis O.

Se llaman integrales inmediatas aquellas que se pueden resolver directamente por aplicaci´on de una f´ormula de integraci´on y un sencillo cambio de variable que se puede deducir de la propia expresi´on integral. Para poder aplicar el cambio de variable se necesita familiaridad con la tabla de derivadas y con la tabla de integrales. Ejemplo 1.2.1 Con ayuda de formulario calcular las siguientes integrales 8 8 2x + cos x x2 − 2 i) dx ii) dx (x2 + sen x)3 2 − 6x + x3 8

iii)

v)

8

vii)

√

e

√ dx x

x cot( + 3) dx 2 8

iv)

8

4tan 5x sec2 5x dx

vi)

8

sec2 (e2x + 3) e2x dx

x+3

dt √ 25t2 + 3

viii)

8 0

sen 2 (3x + 1) + 4 cos(3x + 1) dx

Soluci´ on i) Sea u = x2 + sen x, entonces por (1) y (6), du = (2x + cos x) dx. En este caso el du est´a completo, luego al aplicar (I) se tiene 8 8 8 du u−2 2x + cos x −3 +C dx = = u du = − (x2 + sen x)3 u3 2 1 = − +C . 2 2(x + sen x)2 ii) Sea u = 2 − 6x + x3 . Se calcula du = (−6 + 3x2 ) dx usando (1) y se observa que es necesario multiplicar por 3 el numerador de la integral para obtener du, por ´esto es necesario tambi´en dividir por 3 para no alterar la integral. As´ı por linealidad de la integral y (II) 8 8 8 x2 − 2 x2 − 2 3x2 − 6 3 1 · dx = dx = dx 2 − 6x + x3 3 2 − 6x + x3 3 2 − 6x + x3 8 du 1 1 1 = ln u + C = ln(2 − 6x + x3 ) + C . = 3 u 3 3

12

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION √

´ L.F. RESENDIS O.

dx √ y por tanto es 2 x necesario multiplicar y dividir por 2 para completar du y usar (III) para obtener √ 8 √x+3 8 8 √x+3 e 2 e x+3 e √ dx = √ dx · √ dx = 2 2 x x 2 x 8 √ = 2 eu du = 2eu + C = 2e x+3 + C .

iii) Sea u =

x + 3 entonces por (1) se tiene du =

iv) Sea u = tan 5x entonces por (8) se tiene du = 5 sec2 5x dx por tanto es necesario multiplicar y dividir por 5 para completar du y al aplicar (IV) se obtiene 8 8 8 5 tan 5x 2 1 tan 5x 2 4 ·4 4tan 5x 5 sec2 5x dx sec 5x dx = sec 5x dx = 5 5 8 1 1 4u 1 4tan 5x 4u du = +C = +C . = 5 5 ln 4 5 ln 4 x dx entonces du = por tanto es necesario dividir y multiplicar 2 2 por 2 para completar du y aplicar (VIII) para obtener 8 8 8 x 2 x x dx · cot dx = 2 cot cot dx = 2 2 2 2 2 8 e xe = 2 cot u du = 2 ln | sen u| + C = 2 lne sen e + C . 2

v) Sea u =

vi) Sea u = e2x + 3 entonces por (3), du = 2e2x dx y por tanto es necesario multiplicar y dividir por 2 para completar du y al aplicar (XI) se obtiene 8 8 2 2 2x 2x · sec2 (e2x + 3) e2x dx sec (e + 3) e dx = 2 8 8 1 1 2 2x 2x sec (e + 3) 2e dx = sec2 u du = 2 2 1 1 = tan u + C = tan(e2x + 3) + C . 2 2 √ vii) Sea u2 = 25t2 y a2 = 3 entonces u = 5t, du = 5 dt y a = 3. Por tanto es necesario multiplicar y dividir por 5 para completar du y usar (XXIV) para

1.2. INTEGRALES INMEDIATAS

´ L.F. RESENDIS O.

13

obtener

8

dt √ = 25t2 + 3

8

5 dt ·√ 5 25t2 + 3 8 8 1 1 5 dt du √ √ = = 2 2 5 5 25t + 3 u + a2 √ √ 1 1 = ln(u + u2 + a2 ) + C = ln(5t + 25t2 + 3) + C . 5 5

viii) Sea u2 = sen 2 (3x + 1) y a2 = 4 entonces u = sen (3x + 1) y por (6), du = 3 cos(3x + 1) dx y a = 2. Por tanto es necesario multiplicar y dividir por 3 para completar du y aplicar (XX) para conseguir

8 0

sen 2 (3x + 1) + 4 cos(3x + 1) dx = 8 3 0 · sen 2 (3x + 1) + 4 cos(3x + 1) dx = 3 8 1 0 = sen 2 (3x + 1) + 4 · 3 cos(3x + 1) dx 3 8 1 √ 2 = u + a2 du 3 w W √ 1 u√ 2 a2 2 2 2 = u + a + ln(u + u + a ) + C 3 2 2 0 sen (3x + 1) sen 2 (3x + 1) + 4 = 6 0 i 2 D + ln sen (3x + 1) + sen 2 (3x + 1) + 4 + C . 3

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

14

1.2.1.

´ L.F. RESENDIS O.

Ejercicios

Ejercicio 1.2.1 Con ayuda de formulario calcular las siguientes integrales

i)

8

iii)

v)

8

vii)

ix)

8

x2 + ex − 2 dx 3ex − 6x + x3

8

x3 − csc2 2x dx x4 + 2 cot 2x

iv)

8

4cos 4x sen 4x dx

vi)

8

csc2 (e3x − 3) e3x dx

√ 3

e x−3 √ dx 3 x2 5x tan( + 4) dx 2

8

ii)

8

dt √ 16t2 − 3

8 0 viii) cos2 (5x + 1) + 4 sen (5x + 1) dx

e3x dx 2 + e3x

x)

8

ex

1 dx +6

√ √ √ 3 Soluci´ on i) ln 3 3ex − 6x + x3 + C; ii) ln 4 x4 + 2 cot 2x + C; iii) 3e x−3 + C; cos 4x iv) − 4ln 256 + C; v) 25 ln sec( 5x + 4) + C; vi) − 13 cot(33x − 3) + C; vii) 14 ln(4 + 2 0 √ 1 16t2 − 3)+C; viii) − 10 cos(5x−1)− 25 ln(cos(5x−1)+ cos2 (5x − 1) + 4)+ C; ix) 13 ln(2 + 3ex ) + C; x) x6 − 16 ln(ex + 6) + C.

1.2. INTEGRALES INMEDIATAS

´ L.F. RESENDIS O.

15

Ejercicio 1.2.2 Con ayuda de formulario calcular las siguientes integrales i)

8

8

iii)

v)

x2 + cos x − 2 dx 3 sen x − 6x + x3

ix)

ii)

5x sec( + 4) dx 2

iv)

4tan 4x sec2 4x dx

vi)

8

cot(e2x − 3) e2x dx

dt √ 5 − 9t2

8 0 viii) 9 − 4 cos2 (2x + 1) sen (2x + 1) dx

e3t − 2et dt e3t − 6et + 2

x)

8

8

x2 − csc x cot x dx x3 + 3 csc x

8

√ 4

e x−4 √ dx 4 x3

8

vii)

8

8

ex + x dx 2ex + x2 − 6

Ejercicio 1.2.3 Con ayuda de formulario calcular las siguientes integrales i)

8 8

iii)

v)

8

vii)

ix)

dx √ 1 − x2 arcsen x

x3 + sec x tan x dx x4 + 4 sec x

iv)

8

6sec 4x sec 4x tan 4x dx

vi)

8

csc(e2x − 3) cot(e2x − 3) e2x dx

1

e x +1 dx x2 5x sec ( + 4) dx 2 2

8

8

ii)

8

dt 5 − 36t2

8  viii) 16 − tan2 (3x + 1) sec2 (3x + 1) dx

4x dx 2 + 4x

x)

8

23x dx 5 − 23x

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

16

´ L.F. RESENDIS O.

Ejercicio 1.2.4 Con ayuda de formulario calcular las siguientes integrales 8 3 8 x − csc x cot x dx √ ii) dx i) 2 x4 + 4 csc x 1 − x arc cos x 8

iii)

v)

1.3.

8

iv)

8

7sec 3x sec 3x tan 3x dx

vi)

8

tan(e2x − 3) e2x dx

1

e x2 −2 dx x3 5x csc( + 4) dx 2

vii)

8

ix)

8

dt 25t2 + 7 x2 −x+1

5

viii)

(2x − 1) dx

x)

8

8

sec2 (3x + 1) dx 0 16 − tan2 (3x + 1)

3ln x dx x

Completaci´ on del Trinomio

L.F. Res´ endis O.

Este procedimiento se aplica cuando el integrando presenta expresiones de la forma √ av 2 + bv + c ,

1 √ , 2 av + bv + c

o

av 2

1 . + bv + c

Como su nombre lo indica se trata de completar el trinomio y esto se hace mediante la siguiente f´ormula. Para a > 0 la completaci´on del trinomio ax2 + bx + c es de la forma: w W2 √ b b2 ax + bx + c = ax + √ +c− . 4a 2 a 2

En el caso que a < 0 se tiene W2 w √ b2 b ax + bx + c = c − − −ax − √ . 4a 2 −a 2

´ DEL TRINOMIO 1.3. COMPLETACION

´ L.F. RESENDIS O.

17

Ejemplo 1.3.1 Calcular las siguientes integrales 8 8 5t − 2 dt √ dt . i) ii) 2 5 − 2t − 3t 4t2 − 3t + 7 Soluci´ on i) Se completa el trinomio para 5 − 2t − 3t2 donde se observa que a = −3, b = −2 y c = 5. As´ı X ~2 2 0 (−2) −2 5 − 2t − 3t2 = 5 − −(−3)t − 0 − 4(−3) 2 −(−3) w W2 w W2 √ √ 1 1 16 1 = 5+ − 3t + √ = − 3t + √ . 3 3 3 3 Luego para la integral se tiene exactamente la igualdad 8 8 dt dt = w W2 . √ 5 − 2t − 3t2 1 16 − 3t + √ 3 3 √ √ Sea u = 3t + √13 , a2 = 16 , entonces du = 3 dt, a = √43 y es necesario 3 √ multiplicar y dividir por 3 para completar du. Se aplica (XV) para obtener √ 8 8 dt 1 3dt = √ w W2 2 √ 5 − 2t − 3t 3 1 16 − 3t + √ 3 3 √ √ 3t + √13 + √43 1 3 ln √ = √ +C 3 2(4) 3t + √13 − √43 =

1 3t + 5 ln +C . 8 3t − 3

ii) Sea u = 4t2 − 3t + 7 entonces du = (8t − 3) dt por lo tanto para obtener la diferencial du en el numerador es necesario primero multiplicar y dividir 8 por , as´ı 5 8

5t − 2 5 √ dt = 2 8 4t − 3t + 7

8

8 16 8 (5t − 2) 8t − 5 5 √5 √ dt = dt 8 4t2 − 3t + 7 4t2 − 3t + 7

18

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

´ L.F. RESENDIS O.

Ahora se resta y suma 3 para completar du y se separan las integrales 8 8t − 3 + 3 − 16 8 8t − 3 − 1 8 5t − 2 5 5 5 dt = 5 dt √ √ √ dt = 8 8 4t2 − 3t + 7 4t2 − 3t + 7 4t2 − 3t + 7 1 8 8 − 5 5 8t − 3 5 √ √ dt + dt = 2 − 3t + 7 2 − 3t + 7 8 8 4t 4t 8 8 5 8t − 3 1 1 √ √ = dt − dt 2 2 8 4t − 3t + 7 8 8 4t − 3t + 7 5√ 2 1 dt √ = 4t − 3t + 7 − , 2 4 8 4t − 3t + 7

donde la primera integral se resolvi´o usando (I). Para resolver la segunda integral se completa el trinomio para 4t2 − 3t + 7 donde se observa que a = 4, b = −3 y c = 7. As´ı w W2 −3 (−3)2 2 4t − 3t + 7 = 2t + +7− 2·2 4(4) w W2 3 93 = 2t − . + 4 16 Luego para la integral mencionada se tiene 8 8 dt dt √ D = i2 4t2 − 3t + 7 2t − 34 +

. 93 16

√

, entonces du = 2 dt, a = 493 y es necesario multiplicar Sea u = 2t− 34 , a2 = 93 16 y dividir por 2 para completar du. Se aplica (XXIV) para conseguir 8 8 dt 1 2 dt √ D = i2 2 2 4t − 3t + 7 2t − 34 + 93 16 i 3 √ 1 D ln 2t − + 4t2 − 3t + 7 + C . 2 4 El resultado de la integral propuesta es entonces 8 5t − 2 5√ 2 √ 4t − 3t + 7 dt = 4 4t2 − 3t + 7 i 1 D 3 √ − ln 2t − + 4t2 − 3t + 7 + C . 16 4 =

´ DEL TRINOMIO 1.3. COMPLETACION

1.3.1.

´ L.F. RESENDIS O.

19

Ejercicios.

Ejercicio 1.3.1 Calcular las siguientes integrales 8 8 √ dx ii) 4 − 4x − 4x2 dx i) x2 − x − 74 iii)

8

2t + 1 √ dt 5t2 + t − 4

iv)

8

3x − 2 √ dx . 9x2 + 7 − 6x

√ √ 1+2 √2−2x 1 √ +C; ii) (x + ) 1 − x − x2 − 54 arc sen −1−2x + C; Soluci´ on i) 2√1 2 ln −1+2 2 2+2x 5 √ √ √ √ D i 2 4 1 2 2 2 iii) 5 5t + t − 4+ 5√5 ln 1+10x+2 5 5t + t − 4 +C; iv) 3 9x + 7 − 6x− √ D i 1 ln 3x − 1 + 9x2 + 7 − 6x + C. 3

Ejercicio 1.3.2 Calcular las siguientes integrales 8 8 dt dt i) ii) 3 2 2 2t + 3t + 5 + 2t − 4t 4 iii)

8

3x − 2 √ dx 2x2 − 6x − 4

iv)

8

√ (2x − 1) 3x + 6 − 4x2 dx .

Ejercicio 1.3.3 Calcular las siguientes integrales 8 √ 8 dt √ ii) x2 + 4x − 1 dx i) 4 − 2t2 + t 8 8 √ 3t − 4 dt iv) (x − 1) 4 + 3x2 + x dx . iii) 2 2t − t + 1 Ejercicio 1.3.4 Calcular las siguientes integrales 8 8 √ dt i) ii) 3x2 − 12x − 7 dx 4t2 + 2t + 34 iii)

8

1 − 3t √ dt 5 − 9t2 − 12t

iv)

8

√ (x − 1) 6x + 1 − 9x2 dx

20

1.4.

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

Integrales trigonom´ etricas

´ L.F. RESENDIS O.

L.F. Res´ endis O.

Para la resoluci´on de integrales trigonom´etricas hay una serie de casos que se abordan de acuerdo al exponente y en general la idea es una sola: se trata de reducir estas integrales a la forma 8 v n dv + integral inmediata. Caso 1. Integrales de la forma 8

sen m u cosn u du

donde m o n es un n´ umero impar positivo. Se aplica la identidad pitag´orica sen 2 u + cos2 u = 1 . Por ejemplo si m = 2k + 1 es impar, se puede reescribir sen m u cosn u = cosn u( sen 2k u) sen u = cosn u(1 − cos2 u)k sen u y al observar que d cos u = − sen u du, la integral reduce a 8 ± (potencias de cos u) sen u du . Ejemplo 1.4.1 Calcular 8

sen 3/7 2x cos3 2x dx .

Soluci´ on Se observa que la potencia impar es la de la funci´on coseno, as´ı esa es la potencia que se separa y se aplica (I) 8 8 3/7 3 sen 2x cos 2x dx = sen 3/7 2x cos2 2x cos 2x dx 8 = sen 3/7 2x(1 − sen2 2x) cos 2x dx 8 8 3/7 = sen 2x cos 2x dx − sen17/7 2x cos 2x dx =

7 7 sen 10/7 2x − sen 24/7 2x + C . 20 48

´ 1.4. INTEGRALES TRIGONOMETRICAS Caso 2. Integrales de la forma 8

´ L.F. RESENDIS O.

21

sen m u cosn u du

donde m y n son n´ umeros pares positivos. Se aplican las identidades sen 2 u =

1 1 − cos 2u 2 2

cos2 u =

1 1 + cos 2u . 2 2

Se observa que se reduce a integrales del coseno de a´ngulos m´ ultiples. Para escribir el resultado en los a´ngulos originales son necesarias las identidades cos 2u = 2 cos2 u − 1 = 1 − 2 sen2 u ,

sen 2u = 2 sen u cos u .

Ejemplo 1.4.2 Calcular 8

sen2

3x 3x cos2 dx . 2 2

Soluci´ on Se observa que ambas potencias en el integrando son n´ umeros pares positivos. Entonces por (VI) 8 8 1 1 1 1 2 3x 2 3x sen cos dx = ( − cos 3x)( + cos 3x) dx 2 2 2 2 2 2 8 1 1 = ( − cos2 3x) dx 4 4 8 1 1 x 1 − ( + cos 6x) dx = 4 4 2 2 x x 1 = − − sen 6x + C . 4 8 48 3x Para convertir sen 6x en expresiones con el ´angulo se usan las identidades 2 trigonom´etricas mencionadas, por ejemplo sen 6x = 2 sen 3x cos 3x D 3x i 3x 3x iD = 2 2 sen cos 1 − 2 sen 2 2 2 2 3x 3x 3x 3x cos − 8 sen 3 cos = 4 sen 2 2 2 2 y as´ı el resultado puede reescribirse como

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

22

8

sen2

´ L.F. RESENDIS O.

3x 3x 3x x 1 3x 3x 1 3x cos2 dx = − sen cos − sen 3 cos +C 2 2 8 12 2 2 6 2 2

Caso 3. Integrales de la forma 8 tanm u du

o

8

cotm u du

donde m es un n´ umero entero. Se aplican las identidades pitag´oricas csc2 u = 1 + cot2 u . (1.4.1) sec2 u = 1 + tan2 u $ Por ejemplo, cuando se aborda tanm u, se observa que se reduce a una suma de integrales de la forma 8 8 8 8 n 2 2 tan u sec u dx, sec u du, tan u du, c du . Ejemplo 1.4.3 a) Calcular 8 b) Calcular

8

Soluci´ on a) Como tan3 2x =

1 dx . cot3 2x

cot4 x dx .

1 se aplica la primera identidad. Entonces cot3 2x

por (I) y (VII) se tiene 8 8 8 1 3 dx = tan 2x dx = tan 2x tan2 2x dx 3 cot 2x 8 = tan 2x(sec2 2x − 1) dx 8 8 2 = tan 2x sec 2x dx − tan 2x dx =

1 1 tan2 2x − ln | sec 2x| + C . 4 2

´ 1.4. INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

´ L.F. RESENDIS O.

23

b) Se aplica la segunda identidad. Entonces 8 8 4 cot x dx = cot2 x(csc2 x − 1) dx 8 8 2 2 = cot x csc x dx − cot2 x dx 8 1 3 = − cot x − (csc2 x − 1) dx 3 1 = − cot3 x + cot x + x + C . 3 Caso 4. Integrales de la forma 8 8 m sec u du o cscm u du

donde m = 2k es un n´ umero par positivo. Se aplican las identidades 1.4.1 para reescribir sec2k u du = sec2k−2 u sec2 u = (tan2 u + 1)k−1 sec2 u y

csc2k u du = csc2k−2 u csc2 u = (cot2 u + 1)k−1 csc2 u $ Por ejemplo, cuando se aborda secm u, se observa que se reduce a integrales de la forma 8 (potencias de tan u) sec2 u dx . Ejemplo 1.4.4 Calcular 8

csc4

5x dx . 3

Soluci´ on Como la potencia es par y positiva 8 8 5x 5x 4 5x csc dx = csc2 csc2 dx 3 3 3 8 5x 5x = (cot2 + 1) csc2 dx 3 3 8 8 5x 2 5x 2 5x = cot csc dx − csc2 dx 3 3 3 5x 3 1 5x = − cot3 + cot +C , 5 3 5 3

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

24

´ L.F. RESENDIS O.

donde se aplicaron (I) y (XII) para calcular las integrales. Caso 5. Integrales de la forma 8 8 m n o cotm u cscn u du . tan u sec u du Si n = 2k se procede como en el caso anterior, es decir se aplican las identidades 1.4.1 para reescribir, por ejemplo, tanm u sec2k+2 u = tanm u sec2k u sec2 u = tanm u(1 + tan2 u)k u sec2 u y se reduce a

8

(potencias de tan u) sec2 u du .

Si m = 2k + 1, n = 2l + 1 se usa 1.4.1 para reescribir, por ejemplo, cot2k+1 u csc2l+1 u = cot2k u csc2l u csc u cot u = (csc2 −1)k csc2l u csc u cot u y se reduce a

8

(potencias de csc u) csc u cot u du .

Ejemplo 1.4.5 a) Calcular 8

cot7/2 3x csc4 3x dx .

b) Calcular tan5 2x sec3 2x dx Soluci´ on i) Como la potencia de csc x es par y positiva se tiene por (I) 8 8 7/2 4 cot 3x csc 3x dx = cot7/2 3x csc2 3x csc2 3x dx 8 = cot7/2 3x(1 + cot2 3x) csc2 3x dx 8 8 7/2 2 = cot 3x csc 3x dx + cot11/2 3x csc2 3x dx = −

2 2 cot9/2 3x − cot13/2 3x + C . 27 26

´ 1.4. INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

´ L.F. RESENDIS O.

25

b) Como ambas potencias son impares se tiene por (I) 8 8 5 3 tan 2x sec 2x dx = tan4 2x sec2 2x sec 2x tan 2x dx 8 = (sec2 2x − 1)2 sec2 2x sec 2x tan 2x dx 8 = (sec4 2x − 2 sec2 2x + 1) sec2 2x sec 2x tan 2x dx 8 8 6 = sec 2x sec 2x tan 2x dx − 2 sec4 2x sec 2x tan 2x dx 8 + sec2 2x sec 2x tan 2x dx

1 1 1 sec7 2x − sec5 2x + sec3 2x + C . 14 5 6 Caso 6. Integrales de la forma 8 8 8 sen mx cos nx dx , sen mx sen nx dx , cos mx cos nx dx , =

para m = n. Se usa por ejemplo

1 1 sen (a + b)u + sen (a − b)u . 2 2 Se aplican directamente las f´ormulas 8 cos(m + n)x cos(m − n)x − +C , sen mx cos nx dx = − 2(m + n) 2(m − n) 8 sen (m + n)x sen (m − n)x + +C , sen mx sen nx dx = − 2(m + n) 2(m − n) 8 sen (m − n)x sen (m + n)x + +C . cos mx cos nx dx = 2(m + n) 2(m − n) sen au cos bu =

Ejemplo 1.4.6 Calcular 8

sen 3x cos 4x dx .

Soluci´ on Es inmediata aplicando la primera f´ormula con m = 3, n = 4. As´ı 8 cos 2x cos 6x − +C . sen 3x cos 4x dx = 4 12

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

26

1.4.1.

´ L.F. RESENDIS O.

Ejercicios

Ejercicio 1.4.1 Calcular las siguientes integrales 8 8 sen 3 2z 2/3 x 5 x i) sen cos dx ii) dz 2 2 cos8 2z 8 8 x 4 iii) tan 6t dt iv) csc6 dx 3 8 8 5 4 x 3 2 x sec dx vi) cot5 2z csc3/2 2z dz v) tan 2 2 8 8 4 vii) cos 3t dt viii) sen 2 2x cos4 2x dx ix)

8

sen 3t cos 5t dt

x)

8

sen 2x sen

x dx . 3

4 1 1 Soluci´ on i) 45 sen 5/2 x2 − 89 sen 9/2 x2 + 13 sen 13/2 x2 +C; ii) − 10 sec5 2z+ 14 sec7 2z+ 1 C; iii) t− 29 tan 6t+ 18 sec2 6t tan 6t+C; iv) − 85 cot x3 − 45 cot x3 csc2 x3 − 35 cot x3 csc4 x3 + 6 C; v) 55 (6 + 5 sec2 x2 ) tan5/3 x2 ; vi) − 19 csc11/2 2z + 27 csc7/2 2z + 13 csc3/2 2z; vii) 3t 1 1 x 1 1 1 + 12 sen 6t + 96 sen 12t + c; viii) 16 + 128 sen 4x − 128 sen 8x − 384 sen 12x + c; 8 cos2 2x 1 3 5x 3 7x ix) 2 − 16 cos 8x + c; x) 10 sen 3 − 14 sen 3 + c.

Ejercicio 1.4.2 Calcular las siguientes integrales 8 8 cos5 x3 sen 3 3z dz i) 0 dx ii) 3 cos7 3z sen 2 x3 8

2t iii) cot dt 3 8 5 3x 3x 5 cot2 csc4 dx v) 2 2 8 vii) sen 4 (3t − 2) dt

ix)

8

4

cos 5t cos 3t dt

iv)

vi)

8 8

viii) x)

8

sec6 (2t + 1) dt

tan5 3z sec3/2 3z dz 8

cos2 2x sen 4 2x dx

cos 3x sen

x dx . 4

´ 1.4. INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

´ L.F. RESENDIS O.

Ejercicio 1.4.3 Calcular las siguientes integrales

8

cot θ i) √ dθ 3 sen θ 8 2t iii) (1 + tan2 )2 dt 3 8

sen 3/2 x v) dx cos11/2 x 8 vii) [1 + sen 2 (2t − 3)]2 dt ix)

8

sen

3t sen 2t dt 2

8

ii)

8

iv)

sen 5 2z dz cos4 2z csc4 (3t + 1) dt

5 3z 3z vi) cot csc dz 2 2 8 x x viii) sen 4 cos4 dx 2 2 8 2x x) cos 4x cos dx . 5 8

5

Ejercicio 1.4.4 Calcular las siguientes integrales

8

tan 2θ i) √ dθ 3 cos 2θ 8 3t iii) (1 + cot2 )2 dt 5 8

cos3/2 x v) dx sen 11/2 x 8 vii) [1 + cos2 (t + 1)]2 dt

ii)

iv)

8

8

cos5 3z dz sen 4/3 3z sec4 (2t + 1) dt

5 2z 2z vi) tan sec dz 3 3 8 x x viii) cos4 sen 4 dx 4 4 8

5

27

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

28

´ L.F. RESENDIS O.

Ejercicio 1.4.5 Calcular las siguientes integrales i)

8

iii)

v)

8

tan 6t dt

5

ix)

8

8

ii)

6

8 5

vii)

1.5.

sen 2/3 x2 dx sec5 x2

iv)

x x tan sec4 dx 2 2 3

vi)

6

8

8

sen 3 2z sec8 2z dz csc4

x dx 3

cot5 2z dz sen 5/2 2z 8

viii) (1 + sen 2 x)(1 + cos2 x) dx 8 x x) sen 2x sen dx . 3

cos 3t dt sen 4t cos

8

3t dt 2

Sustituci´ on trigonom´ etrica

L.F. Res´ endis O.

Este m´etodo se usa cuando aparecen expresiones que involucran potencias de ±u2 ± a2 que no aparecen en el formulario b´asico y se procede v´ıa un cambio de variable trigonom´etrico, lo cual reduce la integral a una integral trigonom´etrica. Caso 1. Para expresiones donde aparecen potencias de √ se usa u = a sen z. a2 − u2 ´o a2 − u2 Se tiene as´ı a2 − u2 = a2 cos2 z

y

√ a2 − u2 = a cos z

con du = a cos z dz.

El tri´angulo asociado es el de la figura 1.1 Para reescribir la variable original de integraci´on son de utilidad las identidades sen 2x = 2 sen x cos x

cos 2x = cos2 x − sen 2 x .

Ejemplo 1.5.1 Calcular 8

dx . x(2 − 3x2 )3/2

´ TRIGONOMETRICA ´ 1.5. SUSTITUCION

29

´ L.F. RESENDIS O.

a u

z   a2  u2

0

Figura 1.1: El tri´angulo asociado al cambio u = a sen z Soluci´ on i) Se identifica primero a2 = 2 , a = 2,

u2 =

3x2 ,

u

√ 3x ,

=

u = √ 3 √ du = 3 dx . x

Entonces 8

√ 8 8 du dx 1 3 dx 1 = √ = √ u 2 3/2 2 3/2 x(2 − 3x ) x(2 − 3x ) 3 3 √ (a2 − u2 )3/2 3 8 du = . u(a2 − u2 )3/2

Para resolver la u ´ltima integral se aplica la substituci´on trigonom´etrica u = a sen z , du = a cos z dz ,

(a2 − u2 )1/2 = a cos z , (a2 − u2 )3/2 = a3 cos3 z .

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

30

´ L.F. RESENDIS O.

Entonces por (X) y (I) se tiene 8 8 8 a cos z dz 1 dz du = = u(a2 − u2 )3/2 a sen za3 cos3 z a3 sen z cos2 z 8 8 1 1 = 3 csc z sec2 z dz = 3 csc z(1 + tan2 z) dz a a 8 8 1 1 sen 2 z 1 = 3 csc z dz + 3 dz a a sen z cos2 z 8 1 1 = 3 ln(csc z − cot z) + 3 cos−2 z sen z dz a a 1 1 = 3 ln(csc z − cot z) + 3 sec z + C . a a Al observar el tri´angulo asociado a la substituci´on trigonom´etrica empleada se tiene √ a 2 = √ , csc z = u 3x

cot z =

√ √ a2 − u2 2 − 3x2 √ = u 3x

√ a 2 sec z = √ 2 = √ . 2 a −u 2 − 3x2

.

Se substituye la variable original para obtener finalmente X√ ~ √ √ 8 1 1 dx 2 2 − 3x2 2 √ √ √ √ √ = ln · +C − + x(2 − 3x2 )3/2 2 − 3x2 3x 3x 23 23 X√ ~ √ 1 1 2 − 2 − 3x2 1 √ = √ ln +C . + √ 2 2 − 3x2 3x 23 Caso 2. Expresiones donde aparecen potencias de √ a2 + u2 ´o a2 + u2 se usa u = a tan z. Se tiene as´ı a2 + u2 = a2 sec2 z

y

√ a2 + u2 = a sec z

El tri´angulo asociado es el de la figura 1.2

con du = a sec2 z dz.

´ TRIGONOMETRICA ´ 1.5. SUSTITUCION

31

´ L.F. RESENDIS O.

  u2  a2 u

z 0

a

Figura 1.2: El tri´angulo asociado al cambio u = a tan z Ejemplo 1.5.2 Calcular 8 √ 2 4x + 9 dx . x6 Soluci´ on i) Se identifica primero a2 = 9 , a = 3,

u = √ 2

u2 = 4x2 ,

x

u

du = 2 dx .

=

2x ,

Entonces 8 √ 2 8 √ 2 8 √ 2 4x + 9 1 4x + 9 1 u + a2 dx = 2 dx = du u6 x6 2 x6 2 23 8 √ 2 2 u +a = 22 du . u6 Para resolver la u ´ltima integral se aplica la substituci´on trigonom´etrica u = a tan z , du = a sec2 z dz .

(u2 + a2 )1/2 = a sec z , .

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

32

´ L.F. RESENDIS O.

Entonces 8 8 8 √ 2 a sec z 1 cos6 dz u + a2 2 du = z dz = a sec u6 a6 tan6 z a4 cos3 z sen 6 z 8 1 = 4 sen−6 cos3 z dz a 8 1 = 4 sen−6 (1 − sen 2 z) cos z dz a 8 8 1 1 −6 = 4 sen cos z dz − 4 sen−4 cos z dz a a 1 1 = − 4 csc5 z + 4 csc3 z + C . 5a 3a Al observar el tri´angulo asociado a la substituci´on trigonom´etrica empleada se tiene √ √ u2 + a2 4x2 + 9 = . csc z = u 2x Se substituye para obtener finalmente 8 √ 2 8 √ 2 4x + 9 u + a2 dx = 4 du x6 u6 4 (4x2 + 9)5/2 4 (4x2 + 9)3 = − + +C 5 · 34 25 x5 35 23 x3 1 (4x2 + 9)3/2 1 (4x2 + 9)5/2 + +C . = − 40 · 34 x5 2 · 35 x3 Caso 3. Expresiones donde aparecen potencias de √ u2 − a2 ´o u2 − a2 se usa u = a sec z. Se tiene as´ı u2 − a2 = a2 tan2 z

y

√ u2 − a2 = a tan z

El tri´angulo asociado es el de la figura 1.3 Ejemplo 1.5.3 Calcular 8

dx √ dx . x3 x2 − 5

con du = a sec z tan z dz.

´ TRIGONOMETRICA ´ 1.5. SUSTITUCION

´ L.F. RESENDIS O.

33

u  u2  a2 z 0

a

Figura 1.3: El tri´angulo asociado al cambio u = a sec z Soluci´ on i) Se identifica primero a2 = 5√, a = 5, Entonces

8

u2 = x2 , u = x,

dx √ dx 3 x x2 − 5

=

8

x = u du = dx .

u3

du √ . u2 − a2

Para resolver la u ´ltima integral se aplica la substituci´on trigonom´etrica u = a sec z , du = a sec z tan z dz . Entonces 8

(u2 − a2 )1/2 = a tan z , .

8 dz a sec z tan z 1 dz = 3 3 3 a sec za tan z a sec2 za W 8 8 w 1 1 1 1 2 + cos 2z dz = 3 cos z dz = 3 a a 2 2 1 1 = z + 3 sen 2z + C 3 2a 4a 1 1 = z + 3 sen z cos z + C . 3 2a 2a Al observar el tri´angulo asociado a la substituci´on trigonom´etrica empleada se tiene du √ = u3 u2 − a2

8

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

34

a cos z = = u

´ L.F. RESENDIS O.

√ √ √ 5 u2 − a2 x2 − 5 , sen z = = x u x

u x u = √ , z = arcsec √ . a 5 5 Se substituye para obtener finalmente √ √ 8 x 1 5 x2 − 5 dx 1 √ √ arcsec dx = + +C 2 · 53/2 x x3 x2 − 5 5 2 · 53/2 x √ 1 x 1 x2 − 5 = arcsec √ + + C. 2 · 53/2 5 10 x2 sec z =

1.5.1.

Ejercicios

Ejercicio 1.5.1 Calcular las siguientes integrales 8 8 2z 2 dz dx √ ii) i) (x2 + 3)3/2 z2 + 5 iii)

8

t5 dt √ 4 − t2

iv)

8

dy 0 y 2 3y 2 − 7

8 √ 2 8 dz x − 16 dx √ v) vi) 5 3 x z 4 − z2 √ √ 1 Soluci´ on i) 3√xx2 +3 + c; ii) x x2 + 5 − 5 arcsenh √x5 + c; iii) − 15 4 − x2 (128 + √ 2 √ 3y −7 1 1 1 √ 4 ; 16x2 + 3x4 ) + c; iv) 7y + c; v) x2 − 16( 128x 2 − 4x4 ) − 512 arctan x2 −16

vi)

√ 1 2 4−x2 (− 16 x2

+ ln 2+√x4−x2 ).

Ejercicio 1.5.2 Calcular las siguientes integrales 8 8 dx z 2 dz √ i) ii) (3x2 + 5)3/2 3z 2 + 7 iii)

8

t4 dt √ 9 − t2

8 √ 2 4x − 25 dx v) x2

iv)

8

vi)

8

y2

dy 0 2y 2 − 9

dz √ z3 9 − z2

´ POR PARTES CON FUNCIONES TRASCENDENTES L.F. RESENDIS ´ 1.6. INTEGRACION O. 35 Ejercicio 1.5.3 Calcular las siguientes integrales i)

8

dx (5 + x2 )2

8 √ 16 − t2 dt iii) t2 v)

1.6.

8

(r2 − 1)5/2 dr r8

ii)

8

iv)

8

vi)

8

z 2 dz √ 2 + 3z 2

y2

z3

dy

0

2y 2 − 9

dz √ 4 − z2

Integraci´ on por partes con funciones trascendentes L.F. Res´ endis O.

Se aplica la f´ormula de integraci´on por partes 8 8 u dv = uv − v du para obtener diversas integrales que involucran funciones trascendentes. Estas integrales se pueden distinguir por involucrar funciones inversas, multiplicaci´on de funciones trascendentes de diferente clase o polinomiales. Un criterio que es u ´til para la elecci´on de u y dv es elegir u como la funci´on cuya primitiva no es conocida y si la elecci´on es acertada la integral resultante no debe aumentar el grado de dificultad que la integral propuesta. Ejemplo 1.6.1 Calcular las siguientes integrales 8

i) iii)

v)

8

8

arc sen z dz t arctan t dt

ln x dx (x + 1)2

ii)

8

iv)

vi)

x2 sen 3x dx 8

8

e2θ cos θ dθ ln2 z dz

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

36

´ L.F. RESENDIS O.

Soluci´ on i) Se eligen u y dv como u = arcsen z , dz , du = √ 1 − z2

dv = dz , v

=

z.

Entonces 8

8

z dz √ 1 − z2 √ = z arcsen z + 1 − z 2 + C .

arcsen z dz = z arcsen z −

ii) Se eligen u y dv como u = x2 , du = 2x dx ,

dv = v

sen 3x dx , 1 = − cos 3x . 3

Entonces 8

1 2 x sen 3x dx = − x2 cos 3x + 3 3 2

8

x cos 3x dx .

Se observa que la nueva integral a reducido en una unidad el exponente de la x y al menos parece m´as f´acil de resolver que la primera. Ahora nuevamente por partes se resuelve la segunda integral eligiendo u y dv como u = x, du = dx ,

dv = cos 3x dx , 1 sen 3x . v = 3

Entonces 8

Por tanto 8

1 x sen 3x − x cos 3x dx = 3 1 = x sen 3x + 3

8 1 sen 3x dx 3 1 cos 3x. 9

1 2 2 x2 sen 3x dx = − x2 cos 3x + x sen 3x + cos 3x + C . 3 9 27

´ POR PARTES CON FUNCIONES TRASCENDENTES L.F. RESENDIS ´ 1.6. INTEGRACION O. 37 iii) Se eligen u y dv como u = arctan t , dt du = , 1 + t2

dv = t dt , t2 . v = 2

Entonces 8

1 2 t arctan t dt = t arctan t − 2 1 2 = t arctan t − 2 1 2 = t arctan t + 2

8 2 t dt 1 2 1 + t2 W 8 w 1 1 dt 1− 2 1 + t2 1 t arctan t − + C . 2 2

iv) Se eligen u y dv como u = e2θ , du = 2e2θ dθ ,

dv = cos θ dθ , v = sen θ .

Entonces 8

2θ

2θ

e cos θ dθ = e sen θ − 2

8

e2θ sen θ dθ .

En apariencia la nueva integral es del mismo grado de dificultad que la integral original. Se vuelve a integrar por partes la integral del segundo sumando y se eligen u y dv como u = e2θ , du = 2e2θ dθ ,

dv = sen θ dθ , v = − cos θ .

As´ı 8

2θ

2θ

e sen θ dθ = −e cos θ + 2

8

e2θ cos θ dθ .

Se observa que en el segundo sumando aparece la integral original. Se sustituye primero en el c´alculo de la primera integral 8 8 2θ 2θ 2θ e cos θ dθ = e sen θ + 2e cos θ − 4 e2θ cos θ dθ ,

38

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

´ L.F. RESENDIS O.

y se pasa sumando la integral del lado derecho al izquierdo, luego 8 5 e2θ cos θ dθ = e2θ sen θ + 2e2θ cos θ . Se concluye despejando para obtener 8 1 2θ 2 e sen θ + e2θ cos θ + C . e2θ cos θ dθ = 5 5 v) Se eligen u y dv como u = ln x , dx , du = x

dv = (x + 1)−2 dx , 1 v = − . x+1

Entonces 8

8 ln x 1 dx ln x + dx = − 2 2 (x + 1) x+1 x +x 8 ln x dx = − + x+1 (x + 12 )2 − 14 ln x x = − + ln +C . x+1 x+1

vi) Se eligen u y dv como u = ln2 z , 2 ln z dz , du = z

dv = dz , v

=

z.

Entonces 8

2

2

ln z dz = z ln z − 2

8

ln z dz .

Se observa que la nueva integral es en apariencia m´as f´acil que la original. Se vuelve a integrar por partes la integral del segundo sumando y se eligen u y dv como u = ln z , dv = dz , dz du = , v = z. z

´ POR PARTES CON FUNCIONES TRASCENDENTES L.F. RESENDIS ´ 1.6. INTEGRACION O. 39 As´ı

8

ln z dz = z ln z − z .

el resultado final es 8 ln2 z dz = z ln2 z − 2z ln z + 2z + C .

1.6.1.

Ejercicios

Ejercicio 1.6.1 Calcular las siguientes integrales 8 8 2 ii) arc cos z dz i) x cos x dx 8

iii)

v)

8

vii)

t arccot t dt

xex dx (x + 1)2 8

iv)

vi)

8 8

eθ sen θ dθ ln(z + 1) √ dz z+1

sec3 x dx .

√ Soluci´ on i) 2x cos x + (x2 − 2) sen x + c; ii) x arc cos x − 1 − x2 + c; iii) 2t + √ t2 ex arc cos t − 12 arctan t + c; iv) 12 eθ ( sen θ − cos θ) + c; v) 1+x ; vi) 2 1 + z(−2 + 2 ln(1 + x)); vii) 12 sec x tan x 12 ln(sec z + tan z). Ejercicio 1.6.2 Calcular las siguientes integrales 8 8 1 2 i) x sec x dx ii) arc cos dz z 8 8 iii) t arccot 2t dt iv) eθ sen 3θ dθ v)

8

vii)

2

x arc sen x dx 8

csc3 x dx .

vi)

8

ln(2z + 1) √ dz 2z + 1

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

40

´ L.F. RESENDIS O.

Ejercicio 1.6.3 Calcular las siguientes integrales 8 8 1 2 ii) arc sen dz i) x csc x dx z 8 8 iii) t arctan 2t dt iv) eθ cos 3θ dθ v)

8

2

x arc cos x dx

vi)

8

ln(3z) dz (z + 1)2

Ejercicio 1.6.4 Calcular las siguientes integrales 8 8 3 ii) arc sen 3x dz i) sec 4x dx iii) v)

1.7.

8

8

6

t ln t dt

iv) 2

(x + sen x) dx

vi)

8 8

e2θ cos 3θ dθ z arc sen z √ dz 1 − z2

Integraci´ on por fracciones parciales

L.F. Res´ endis

O.

Este m´etodo se aplica para integrar funciones racionales p(x) q(x) donde p(x) y q(x) son funciones polinomiales y se basa en expandir una funci´on racional como suma de funciones racionales propias de grado uno o dos. El primer paso siempre es tener expresada la funci´on racional en forma propia, es decir grado p(x) < grado q(x); de no estar as´ı es necesario primero dividir los polinomios involucrados. Se estudian los diferentes casos posibles. Como se ver´a el m´etodo es preponderantemente algebraico y se usa tambi´en en las transformadas de Laplace.

´ POR FRACCIONES PARCIALES 1.7. INTEGRACION

´ L.F. RESENDIS O.

41

Caso 1. El denominador se puede factorizar en t´erminos de primer grado distintos, por ejemplo, q(x) = (x − a1 )(x − a2 ) · · · (x − an ) . Entonces la funci´on racional se puede escribir como la suma parcial p(x) A1 A2 An = + + ··· + q(x) x − a1 x − a2 x − an donde es necesario calcular las constantes A1 , A2 , . . . , An . Ejemplo 1.7.1 Calcular la siguiente integral 8

(−14x2 + 18x − 9) dx 4x3 − 15x2 + 9x

Soluci´ on Se factoriza primero el denominador 3 4x3 −15x2 +9x = x(4x2 −15x+9) = 4x(x− )(x−3) = x(4x−3)(x−3) . 4 Los tres son factores lineales distintos, luego la descomposici´on es de la forma −14x2 + 18x − 9 = 4x3 − 15x2 + 9x

A B C + + x 4x − 3 x − 3 A(4x − 3)(x − 3) + Bx(x − 3) + Cx(4x − 3) . = x(4x − 3)(x − 3)

Al igualar numeradores se obtiene −14x2 + 18x − 9 = A(4x − 3)(x − 3) + Bx(x − 3) + Cx(4x − 3) . En este caso la determinaci´on de las constantes se hace dando los valores que anulan t´erminos del lado derecho los cuales son las ra´ıces del denominador. x = 0,

−9 = A(−3)(−3) ;

A = 1,

3 , x = 4

w W 27 3 9 − = B − ; 8 4 4

B = 1,

x = 3,

−81 = C(3)(9) ;

C = −3 .

42

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

´ L.F. RESENDIS O.

Por tanto la integral se calcula con esta descomposici´on 8 8 8 8 (−14x2 + 18x − 9) dx dx dx dx = − + − 3 4x3 − 15x2 + 9x x+2 4x − 3 x−3 1 = − ln x + ln(4x − 3) − 3 ln(x − 3) + C 2 √ 4x − 3 = ln +C . (x − 3)3 Caso 2. El denominador se puede factorizar en t´erminos de primer grado, que se repiten, por ejemplo, q(x) = (x − a1 )α1 (x − a2 )α2 · · · (x − an )αn . Entonces la descomposici´on en fracciones parciales asociada a cada factor (x − ai )αi est´a dada por A1 A2 Aαi + + ··· + 2 x − ai (x − ai ) (x − ai )αi donde es necesario calcular las constantes A1 , A2 , . . . , Aαi . Ejemplo 1.7.2 Calcular la siguiente integral 8

(x2 + 2x + 3) dx (x + 2)3

Soluci´ on El denominador ya est´a factorizado, luego la descomposici´on es de la forma x2 + 2x + 3 A B C = + + (x + 2)3 x + 2 (x + 2)2 (x + 2)3 A(x + 2)2 + B(x + 2) + C = . (x + 2)3 Al igualar numeradores se obtiene x2 + 2x + 3 = A(x + 2)2 + B(x + 2) + C . En este caso la determinaci´on de las constantes se hace dando el valor x = −2 y derivando, as´ı

´ POR FRACCIONES PARCIALES 1.7. INTEGRACION

x2 + 2x + 3 = A(x + 2)2 + B(x + 2) + C , 2x + 2 = 2A(x + 2) + B , 2 = 2A ,

´ L.F. RESENDIS O.

x = −2 , x = −2 , 1 = A.

43

3 = C, −2 = B ,

Por tanto la integral se calcula con esta descomposici´on 8 8 8 8 (x2 + 2x + 3) dx dx dx dx = − 2 + 3 (x + 2)3 x+2 (x + 2)2 (x + 2)3 2 3 = ln(x + 2) + +C . − x + 2 2(x + 2)2 Un polinomio de segundo orden ax2 + bx + c se dice irreducible si no tiene ra´ıces reales, es decir si b2 − 4ac < 0. Caso 3. El denominador se puede factorizar en t´erminos que involucran polinomios irreducibles de orden 2 y que se pueden repetir. Por ejemplo si el factor irreducible ax2 + bx + c aparece i veces le corresponde una descomposici´on en fracciones parciales de la forma Ai x + Bi A1 x + B1 A2 x + B2 + + ··· + 2 2 2 ax + bx + c (ax + bx + c) (ax2 + bx + c)i donde es necesario calcular las constantes A1 , B1 , A2 , B2 , . . . , Ai , Bi . Ejemplo 1.7.3 Calcular la siguiente integral 8 −3x2 − 5x + 4 dx (x − 1)(2x2 + 1)

Soluci´ on El denominador ya est´a factorizado, luego la descomposici´on es de la forma A Bx + C −3x2 − 5x + 4 = + 2 . 2 (x − 1)(2x + 1) x − 1 2x + 1 al realizar la suma del lado derecho e igualar numeradores se obtiene −3x2 − 5x + 4 = A(2x2 + 1) + (Bx + C)(x − 1) . En este caso la determinaci´on de las constantes se hace dando el valor x = 1 4 y se obtiene A = − . Para calcular las otras constantes se desarrolla la 3 igualaci´on de los numeradores. −3x2 − 5x + 4 = 2Ax2 + A + Bx2 + Cx − Bx − C = (2A + B)x2 − (B + C)x + A + C .

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

44

´ L.F. RESENDIS O.

Igualando coeficientes se tiene el sistema 2A + B = −3 − B −C = −5 A + C = 4 Como ya se conoce el valor de A el sistema reduce a B = −3 +

8 1 = − 3 3

C =

16 4 = 3 3

4+

cuyos valores claramente satisfacen la segunda ecuaci´on del sistema. Por tanto la integral se calcula con esta descomposici´on 8

8 8 − x3 + 16 −3x2 − 5x + 4 4 dx 3 dx = − + dx (x − 1)(2x2 + 1) 3 x−1 2x2 + 1 8 8 8 4 dx 1 4x 16 dx = − − dx − 2 3 x − 1 12 2x + 1 3 2x2 + 1 √ 16 4 1 = − ln(x − 1) − ln(2x2 + 1) − √ arctan 2x + C . 3 12 3 2

1.7.1.

Ejercicios

Ejercicio 1.7.1 Calcular las siguientes integrales 8 8 (4x2 + 11x − 24) dx (x2 + 3x − 1) dx ii) i) 3x3 − 13x2 + 12x (x + 2)2 (3 + x) iii)

iv)

8

8

(−6x2 − 4x + 14) dx , 2x3 + x2 − 22x + 24 (5x2 + x + 10) dx (2 + x)(2 + 3x2 ) √ 3 3

x = −2 es ra´ız del denominador. v)

8

(−6x3 − 2x2 − 2x + 1) dx (2x2 + 1)2 2

3 2x−3 Soluci´ on i) ln (x−3) x2 3x−4 + c; ii) 2+x + ln (2+x) + c; iii) ln (x−2) 3 (x+4) ; iv) 3+x   (2+x)2 3 4x−1 3 2 arctan 32 x + ln √ + c; v) 4(1+2x 6 2 ) − 4 ln(1 + 2x ). 2 2+3x2

´ POR FRACCIONES PARCIALES 1.7. INTEGRACION

´ L.F. RESENDIS O.

Ejercicio 1.7.2 Calcular las siguientes integrales 8 8 (4x − 2) dx (−8x2 + 6x + 15) dx i) ii) x3 − x2 − 2x (1 + 2x)2 (3 + x) 8

iii)

x3

(x + 3) dx , + 7x2 + 16x + 12

x = −2 es ra´ız del denominador.

8 (x2 + x + 1) dx 4 dx vi) v) x3 + 6x (x2 + 2)2 Ejercicio 1.7.3 Calcular las siguientes integrales 8 8 (6x2 + x − 9) dx (3 − 8x − 12x2 ) dx ii) i) x3 − 2x2 − 3x (1 + 2x)3 8

8

iii)

(58 − x2 − 15x) dx , 2x3 + 4x2 − 10x − 12

x = 3 es ra´ız del denominador.

8 (−2x2 + 2x − 5) dx (x2 + 5x − 8) dx vi) v) (x2 + 3)(2 + x) (x2 + 3)2 Ejercicio 1.7.4 Calcular las siguientes integrales 8 8 (3x2 − 9x + 12) dx (7x2 − 46x + 36) dx ii) i) 2x3 − 13x2 + 6x (x − 4)2 (2x + 1) 8

iii)

8

(16 + 58x − 15x2 ) dx , 3x3 − x2 − 20x − 12

x = 3 es ra´ız del denominador.

8

(17x2 + 54x + 12) dx , 2x3 + 3x2 − 5x − 6

x = −1 es ra´ız del denominador.

8 (2 + 3x + 2x2 − 4x3 ) dx (7x + 7) dx vi) v) (x2 + x + 1)(3 + x) (1 + 2x2 )2 Ejercicio 1.7.5 Calcular las siguientes integrales 8 8 (17x2 − 47x + 20) dx (8x2 + 49x + 71) dx i) ii) 3x3 − 16x2 + 5x (3 + x)2 (x + 4) 8

iii)

v)

8

(3x3 + 2x2 + 13x + 4) dx (x2 + 1)(x2 + 3)

vi)

8

(2 + 4x − x2 − 2x3 ) dx (x2 + x + 1)2

45

´ ´ CAP´ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

46

1.8.

Formulario

L.F. Res´ endis O.

d n du u = nun−1 dx dx 1 du d ln u = dx udx d u du e = eu dx dx d u du u a = a ln a dx dx d du sen u = cos u dx dx d du cos u = − sen u dx dx

du d tan u = sec2 u dx dx d 2 du cot u = − csc u dx dx d du sec u = sec u tan u dx dx d du csc u = − csc u cot u dx dx 8 8

tan u du = ln | sec u| + C sec u du = ln | sec u + tan u| + C

1 d du arc sen u = √ dx 1 − u2 d x d 1 du arctan u = dx 1 + u2 d x d 1 du arcsec u = √ 2 dx u u − 1dx

´ L.F. RESENDIS O.

8

8

un du =

un+1 + C, n+1

du = ln |u| + C 8 u eu du = eu + C 8 au au du = +C ln a 8 8

n = −1.

sen u du = − cos u + C

cos u du = sen u + C

8

sec2 u du = tan u + C

8

sec u tan u du = sec u + C

8

csc2 u du = − cot u + C

8

csc u cot u du = − csc u + C

8

cot u du = ln | sen u| + C

8 8

csc u du = ln | csc u − cot u| + C

du √ = arc sen u + C 1 − u2 8 du = arctan u + C 8 1 + u2 du √ = arcsec u + C u u2 − 1

1.8. FORMULARIO

´ L.F. RESENDIS O.

8

8

8

du u √ = arc sen + C 2 2 a a −u a2

du 1 u = arctan + C 2 +u a a

u 1 du √ arcsec + C = a a u u2 − a2

8 √ √ u√ 2 a2 a2 + u2 du = a + u2 + ln(u + a2 + u2 ) + C 2 2 8 √ u√ 2 a2 u a2 − u2 du = a − u2 + arc sen + C 2 2 a 8 √ √ u√ 2 a2 u2 − a2 du = u − a2 − ln |u + u2 − a2 | + C 2 2 8 e e √ du e e 2 2 √ = ln eu + u − a e + C. 2 2 u −a 8 √ du √ = ln(u + a2 + u2 ) + C a2 + u2 e√ e 8 e 2 2 1 e a + u + a ee du √ = − ln e e + C. e a e u u a2 + u2 e e du 1 ee u + a ee = ln +C a2 − u2 2a e u − a e e e 8 du 1 ee u − a ee = ln +C . u2 − a2 2a e u + a e 8

47