• Author / Uploaded
• Antonio Solans

Citation preview

Integrales múltiples Integral doble y triple

Miguel Sánchez Navarro Alberto San Miguel Tello Juan Simón Muzás Antonio Solans de la Vega

10/01/2014

Matemáticas I. Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales. Curso 2013/2014. Universidad de Zaragoza

INTRODUCCIÓN

La integración es una herramienta muy potente de la matemática y además muy útil que tiene gran aplicación en el campo de la ingeniería, por ejemplo para el cálculo de volúmenes o áreas de cuerpos con superficies irregulares y curvas asignando una función que defina la superficie por ejemplo, pero además va más allá como su utilidad en el cálculo de centros de masa o momentos de cuerpos. En este trabajo tutelado se pretende mostrar el concepto de integral doble y triple, sus propiedades mediante ejemplos y finalmente aplicaciones en la ingeniería.

1

ÍNDICE

1. Fundamentos de la integración. ................................................................................... 3 1.1. El concepto de integral. La integral de Riemann................................................................ 3 1.2. Teorema Fundamental del cálculo integral. ...................................................................... 7 1.3. Tipos de integrales. ............................................................................................................ 7 1.3.1. Integrales indefinidas. ................................................................................................. 8 1.3.2. Integrales definidas. .................................................................................................... 8 1.3.3. Integrales impropias.................................................................................................... 9 1.3.4. Integrales múltiples. .................................................................................................... 9

2. La integral doble. .......................................................................................................... 9 2.1. El concepto de integral doble............................................................................................. 9 2.2. El Teorema de Fubini. ....................................................................................................... 12 2.3. Propiedades de las integrales dobles. .............................................................................. 13 2.4. Cambios de variables en integrales dobles. ..................................................................... 20 2.5. Uso de simetrías ........................................................................................................... 22

3. La integral triple. ......................................................................................................... 23 3.1. Concepto de integral triple. ............................................................................................. 23 3.2. Funciones integrables. ..................................................................................................... 27 3.3. Cálculo de integrales triples. ............................................................................................ 28 3.4. Integrales triples en regiones más generales................................................................... 30 3.5. Propiedades de la integral triple. ..................................................................................... 32 3.6. Cambio de variables en una integral triple. ..................................................................... 34 3.6.1. Integral triple en coordenadas cilíndricas. ................................................................ 34 3.6.2. Integral triple en coordenadas esféricas. .................................................................. 35

4. Aplicaciones de las integrales a la ingeniería. ............................................................ 37 4.1 Aplicaciones de la integrales dobles. ................................................................................ 37 4.2 Aplicaciones de las integrales triples. ............................................................................... 41

Conclusión ...................................................................................................................... 44 Bibliografía ...................................................................................................................... 45

2

INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES

1. Fundamentos de la integración. El cálculo integral, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración, que se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Su estudio es muy importante en ciencias como la ingeniería y la matemática. A lo largo de la historia se han dado numerosos y sucesivos conceptos de integral, en el afán por buscar una definición general y útil para cualquier función. A. Cauchy (1789 – 1857) planteó la integración dentro de las funciones continuas; seguido de B. Riemann (1826 – 1866), que amplió el campo de las funciones integrables; tras él T.J. Stieltjes (1856 – 1894), que la generalizó aún, de manera que lo propuesto por Riemann se convertía en un caso particular de su definición, y finalmente a H. Lebesgue (1875 – 1941) que complemento a Stieltjes, dando lugar a un enfoque nuevo de integral. De aquí en adelante trabajaremos con el concepto de integral de Riemann, que es la que tiene vigencia por sus múltiples aplicaciones.

1.1. El concepto de integral. La integral de Riemann. Primero introduciremos algunos conceptos básicos en la definición de integral, para poder manejarlos con posterioridad: I. Particiones de un intervalo. Dado un intervalo compacto 𝐼 = [𝑎, 𝑏] ⊂

llamamos

partición de 𝐼 a todo conjunto finito 𝑃 = {𝑥0 , 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 } ∀ 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ; donde 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 0 , ∃ 𝛿 > 0, tal que para toda partición 𝑃 con |𝑃| < 𝛿 , se cumple que: 𝑏 ̅̅̅̅̅̅ 𝑆(𝑓, 𝑃) − ∫ 𝑓 < 𝜀

𝑏

∫ 𝑓 − 𝑠(𝑓, 𝑃) < 𝜀 𝑎

𝑎

De esta proposición también podemos obtener la igualdad siguiente, la cual nos permitirá establecer el criterio general de integrabilidad, que dice que para que una función 𝑓 acotada en [𝑎, 𝑏] sea integrable en dicho intervalo, es condición necesaria y suficiente que, para cada 𝜀 > 0 , exista una partición 𝑃 del intervalo tal que 𝑆(𝑓, 𝑃) − 𝑠(𝑓, 𝑃) < 𝜀 : 𝑏

∫ 𝑓 − 𝑠(𝑓, 𝑃) < 𝑎

𝑏 ̅̅̅̅̅̅ 𝜀 𝜀 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ; 𝑆(𝑓, 𝑃) − ∫ 𝑓 < ⇒ 2 2 𝑎

𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

⇒

𝑏 𝑏 ̅̅̅̅̅̅ ∫ 𝑓 − ∫ 𝑓 ≤ 𝑆(𝑓, 𝑃) − 𝑠(𝑓, 𝑃) < 𝜀 𝑎

𝑎

Ahora considerando una sucesión de particiones 𝑃𝑛

cuya norma converge a 0

( lim |𝑃𝑛 | = 0 ), entonces: 𝑛→∞

𝑏 ̅̅̅̅̅̅ lim 𝑆(𝑓, 𝑃𝑛 ) = ∫ 𝑓

𝑏

lim 𝑠(𝑓, 𝑃𝑛 ) = ∫ 𝑓

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑎

𝑎

De esta forma conseguimos dar una definición clara de una función integrable, de manera que una función 𝑓 será integrable en [𝑎, 𝑏] si tanto la integral superior como la inferior son iguales, y a dicho valor se le dará el nombre de integral 𝐼 de la función 𝑓: 5

𝑏 𝑏 ̅̅̅̅̅̅ ∫ 𝑓 = ∫ 𝑓 = ∫ 𝑓 = 𝐼 ; 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑜 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 (∗) 𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑎

(*) 𝑑𝑥 en la definición anterior no debe considerarse como un diferencial, se utiliza para referirse a esa 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], a fin de facilitar la notación y la aplicación práctica.

Con esta definición (y lo expuesto justamente anterior a ésta) también podemos realizar la caracterización de integral como límite de las sumas para una sucesión de 𝑏 𝑏 ̅̅̅̅̅ particiones 𝑃𝑛 tal que lim |𝑃𝑛 | = 0, puesto que 𝐼 = ∫𝑎 𝑓 = ∫𝑎 𝑓 ⇒ 𝐼 = lim 𝑠(𝑓, 𝑃𝑛 ) = 𝑛→∞

𝑛→∞

lim 𝑆(𝑓, 𝑃𝑛 ).

𝑛→∞

IV. Integral de Riemann. Riemann en su concepto de integral toma arbitrariamente en una función 𝑓: [𝑎, 𝑏] → acotada en [𝑎, 𝑏], siendo 𝑃 = {𝑥0 , 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 } ∀ 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 una partición del intervalo, y 𝑚𝑖 = í𝑛𝑓 𝑓(𝐼𝑖 ) y 𝑀𝑖 = 𝑠𝑢𝑝 𝑓(𝐼𝑖 ), con 𝐼𝑖 = [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]; un 𝑐𝑖 ∈ [𝑚𝑖 , 𝑀𝑖 ] que toma un conjunto de valores 𝐶 = {𝑐1 , . . . , 𝑐𝑛 }. La suma de Riemann de 𝑓 relativa a 𝑃 y a 𝐶: 𝑛

𝑛

𝜎(𝑓, 𝑃, 𝐶) = ∑ 𝑐𝑖 ( 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) = ∑ 𝑐𝑖 ∆𝑥𝑖 𝑖=1

𝑖=1

Respecto a ésta suma de Riemann , se determina una relación el orden que comparte respecto a las sumas superior e inferior relativas de 𝑓 respecto a 𝑃, puesto que {𝜎(𝑓, 𝑃, 𝐶)} y 𝑆(𝑓, 𝑃) = 𝑠𝑢𝑝 {𝜎(𝑓, 𝑃, 𝐶)}: 𝑠(𝑓, 𝑃) ≤ 𝜎(𝑓, 𝑃, 𝐶) ≤ 𝑆(𝑓, 𝑃) 𝑠(𝑓, 𝑃) = í𝑛𝑓 𝑐 𝑐 La caracterización de la integral consiste en que para 𝑓, función acotada en [𝑎, 𝑏], sea integrable en dicho intervalo, siendo I su integral, es condición necesaria y suficiente que para cada 𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 tal que |𝐼 − 𝜎(𝑓, 𝑃, 𝐶)| < 𝜀, siempre que |𝑃| < 𝛿, para cualquier 𝐶. Para expresarla como límite de sumas, para toda sucesión de particiones (𝑃𝑛 ) de [𝑎, 𝑏] , donde está definida y acotada 𝑓, tal que lim |𝑃𝑛 | = 0 y para cualquier 𝐶𝑛 𝑛→∞

(𝑛 ∈

) se verifica que:

6

𝑏

∫ 𝑓 = lim 𝜎(𝑓, 𝑃𝑛 , 𝐶𝑛 ) 𝑛→∞

𝑎

1.2. Teorema Fundamental del cálculo integral. El teorema fundamental del cálculo integral plantea la relación existente entre derivada e integral, siendo ambas inversas. Se verifica que mediante la derivación de la integral de una función se obtiene ésta misma (cumpliendo la función las condiciones de derivabilidad e integrabilidad). Por intuición geométrica, el área que se encuentra en una cierta región del espacio limitada por una función tiene una expresión matemática que obtenemos mediante la integración de dicha función. En términos matemáticos, para

2

; si 𝑓: [𝑎, 𝑏] →

es una función continua (y por tanto derivable, en este caso)

en [𝑎, 𝑏], entonces 𝜑: [𝑎, 𝑏] →

𝑥

, 𝑥 ↦ 𝜑(𝑥) = ∫𝑎 𝑓, es derivable en [𝑎, 𝑏] y se verifica

que 𝜑´ = 𝑓 (𝑓 es una primitiva de 𝜑).

Figura 1.2. 1.3. Tipos de integrales. Las integrales podemos clasificarlas según los límites de integración que establezcamos, lo que a nivel gráfico, son las funciones de tipo 𝑥 = 𝑘, ∀𝑘 ∈

∪

(−∞, +∞) que delimitan la función 𝑓 sometida a estudio. En el caso de que se estudio el área delimitada por varias funciones se pasará a dividir éstas en regiones delimitadas por las rectas x=k (éstas también se ven delimitadas por el sistema de ejes de referencia del espacio en el que trabajamos). Con este criterio distinguimos:

7

1.3.1. Integrales indefinidas. Las integrales indefinidas son aquellas que no tiene un límite final de integración determinado, de manera que la integral se da en función de x y se le suma una constante 𝑐, que le aporta ese carácter de "indefinición". Formulado de forma matemática; si la función 𝑓: [𝑎, 𝑏] →

continua en el intervalo [𝑎, 𝑏] admite primitivas en éste intervalo,

siendo 𝜓: [𝑎, 𝑏] →

una de sus primitivas, existe 𝑐 ∈

tal que 𝜓(𝑥) =

𝑥

∫𝑎 𝑓 + 𝑐 , ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. La resolución de integrales indefinidas pueden llevarse a cabo mediante numerosos métodos, aunque los principales son: el cambio de variable, que consiste en redefinir parte de la función como una variable, y resolver la ecuación respecto a la nueva variable, a fin de facilitar la operación; la integración por partes, que consiste en aplicar 𝑏

𝑏

el teorema ∫𝑎 𝑓𝑔´ = 𝑓𝑔]𝑏𝑎 − ∫𝑎 𝑓´𝑔; siendo 𝑓 y 𝑔 continuamente derivables (de clase 𝒞 1 ); la expresión integral de la fórmula de Taylor, es decir, aplicar la fórmula de Taylor al integrando, y dividirla en suma de integrales (para el término complementario o resto se aplica una fórmula determinada); y las integrales inmediatas, que son en las que se basa el cálculo de integrales, ya que son relaciones establecidas y demostradas de aplicación directa, y son a las que se busca llegar por los diferentes métodos.

1.3.2. Integrales definidas. La integral definida es la más empleada a nivel práctico, ya que tiene unos límites de integración claros entre los que determinar la región. Para resolverlas se emplean los mismo métodos que para resolver las integrales indefinidas, pero cuando se resuelven, se expresan en función de los límites de integración, aplicando la Regla de Barrrow: teniendo 𝑓: [𝑎, 𝑏] →

, continua en su intervalo de definición, y 𝜓: [𝑎, 𝑏] →

primitiva de 𝑓 se verifica: 𝑏 𝑥=𝑏 ∫ 𝑓 = 𝜓(𝑏) − 𝜓(𝑎) = 𝜓(𝑥)]𝑥=𝑎 𝑎

8

como

1.3.3. Integrales impropias. Son aquellas integrales tal que uno de sus límites se define en el infinito, o ambos. Su resolución consiste en operar de forma normal la integral, aplicando los diversos métodos de integración y la regla de Barrow, y después resolver la expresión hallada como límite cuando la incógnita tienda a ±∞.

1.3.4. Integrales múltiples. Las integrales múltiples consisten en un tipo muy particular de integración, que surgen de la necesidad de estudiar aplicaciones lineales que relacionaran varias variables diferentes, es decir, de un espacio

n

a

[ 𝑓:

n

→

; (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ↦ 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ].

Desde un punto de vista geométrico, consiste en la obtención de volúmenes de un espacio geométrico definido por la aplicación a estudio, y ésta es la principal y más interesante utilidad de este tipo de integrales. Por este último hecho, dentro de la integración múltiple son destacables la doble y la triple.

2. La integral doble. 2.1. El concepto de integral doble. Como ya sabemos, las funciones no se limitan a una única variable, dependen del espacio

ℝ𝑛

en

el

que

se

encuentre

la

función.

Pasemos al estudio por tanto de funciones de dos variables, funciones del tipo 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝ.

9

Figura 1.3

Figura 1.4

La integral de una función positiva definida 𝑓(𝑥) en un intervalo cerrado y acotado [𝑎, 𝑏] puede interpretarse cómo: el área entre la gráfica de la función y el eje 𝑂𝑋 en ese intervalo. Sin embargo, la integral doble de una función positiva de dos variables 𝑓(𝑥, 𝑦) en una región del plano (𝑥, 𝑦) se puede interpretar como: el volumen entre la superficie definida por la función y el plano (𝑥, 𝑦) en ese intervalo.

La definición de integración doble, sobre rectángulos es: Sea 𝑓: ℝ2 → ℝ una función definida sobre un rectángulo D, delimitado por:

Una partición del rectángulo D son dos conjuntos de puntos 𝑃𝑥 𝑦 𝑃𝑦 de los intervalos [𝑎, 𝑏] y [𝑐, 𝑑], con un número finito de elementos:

Entonces: P = 𝑃𝑥 𝑦 𝑃𝑦 .

10

Si la partición 𝑃𝑥 tiene n subintervalos [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] y 𝑃𝑦 tiene m subintervalos [𝑦𝑗−1 , 𝑦𝑗 ] entonces D queda dividida por P en n * m rectángulos 𝐷𝑖𝑗 .

Figura 1.5 El área del rectángulo 𝐷𝑖𝑗 queda definida como: ∆𝐴𝑖𝑗 = ∆𝑥𝑖 · ∆𝑦𝑗 . La doble suma de Riemann, que se obtiene al efectuar la suma del producto de la imagen de la función f en cada punto arbitrario y el área de 𝐷𝑖𝑗 , viene dada por: 𝑛

𝑚

𝑆𝐷 = ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ) ∗ ∆𝐴𝑖𝑗 𝑖=1 𝑗=1

Si ‖𝑃‖ de P se hace que sea como la longitud de la diagonal más grande de todos los rectángulos 𝐷𝑖𝑗 y se hace que ‖𝑃‖ → 0, entonces la P se hace más fina.

𝑛

𝑚

lim 𝑆𝐷 = lim ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ) ∗ ∆𝐴𝑖𝑗

‖𝑃‖→0

‖𝑃‖→0

𝑖=1 𝑗=1

La integral doble de 𝑓 (𝑥, 𝑦) sobre un rectángulo 𝐷, se define como: 11

𝑛

𝑚

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = lim ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗ , 𝑦𝑗∗ ) ∗ ∆𝐴𝑖𝑗 ‖𝑃‖→0

𝐷

Si

el

límite

existe,

se

dice

𝑖=1 𝑗=1

que

𝑓(𝑥, 𝑦)

es

integrable

sobre

D.

Recordando la definición del límite, esto significa que para todo 𝜀 > 0 existe un número 𝛿 > 0, tal que:

𝑛

𝑚

|∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ) ∗ ∆𝐴𝑖𝑗 − 𝐿| < ε 𝑖=1 𝑗=1

Siempre que: ‖𝑃‖ < δ.

Para calcular integrales dobles sobre dominios rectangulares, es mucho más sencillo seguir el Teorema de Fubini y no la definición.

2.2. El Teorema de Fubini. Consiste en expresar una integral doble como una integral iterada, lo que consiste en expresar la integral doble en forma de dos integrales simples sucesivas. Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] 𝑥 [𝑐, 𝑑] → ℝ una función integrable en 𝑅 = [𝑎, 𝑏] 𝑥 [𝑐, 𝑑]. Entonces:

𝑏

𝑑

𝑑

𝑏

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦) 𝑑𝑥 = ∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥) 𝑑𝑦 𝑅

𝑎

𝑐

𝑐

12

𝑎

Como podemos apreciar, en las integrales iteradas, primero se integra respecto de una variable manteniendo constante la otra. Después, se integra con respecto de la que habíamos

mantenido

constante,

dejando

invariable

la

otra

variable.

No importa cual integremos primero ya que el resultado será el mismo.

Ejemplo 1. a). de integrales dobles extraído de los ejercicios del Temario de Matemáticas I: 4

2

∫1 ∫0 (𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦. Comenzaremos por realizar la integral iterada con respecto a la variable x, manteniendo constante la variable “y”, y luego integraremos la “y” manteniendo constante la “x”. 4

2

4

4 𝑥2

2

∫1 ∫0 (𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫1 (∫0 (𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑥)𝑑𝑦 = ∫1 ( 4

∫1 (2 + 2𝑦 2 ) 𝑑𝑦 = 2𝑦 +

2𝑦 3 3

2

2

+ 𝑥𝑦 2 )| 𝑑𝑦 = 0

4

| = 48 1

Realizando la otra integral iterada, comprobaremos que obtenemos el mismo resultado: 2

4

2

4

2

∫0 ∫1 (𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫0 (∫1 (𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑦)𝑑𝑥 = ∫0 ( 𝑦𝑥 + 2

∫0 (3𝑥 +

63

) 𝑑𝑥= 3

3𝑥 2 2

+

63 3

𝑦3

4

)| 𝑑𝑥= 3 1

2

𝑥| = 48 0

*Más ejercicios resueltos y útiles en: http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntDobles.pdf

2.3. Propiedades de las integrales dobles. Cabe hacer especial hincapié en las propiedades de las integrales dobles: 1. Si f(x, y) es continua en R = [a, b] × [c, d], entonces f(x, y) es integrable en R. 2. Si f(x,y) y g(x,y) son dos funciones integrables en R, también lo es (f+g)(x,y) y además se verifica:

13

∬ (𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦))𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑅

𝑅

𝑅

3. Si k ∈ R y f(x,y) es integrable en R, también lo es kf(x,y) y además se verifica:

∬ 𝑘 ∗ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑘 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑅

𝑅

4. Si R = 𝑅1 ∪ 𝑅2 y 𝑅1 ∩ 𝑅2 = ∅, entonces: ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑅

𝑅1

𝑅2

5. Si f(x, y) ≥ g(x, y) para todo (x, y) ∈ R y f y g son integrables en R, entonces:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ≥ ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑅

𝑅

6. Si f(x, y) es integrable en R también lo es |f(x, y)| y además se verifica la desigualdad:

|∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 | ≤ ∬ |𝑓(𝑥, 𝑦)| 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅

𝑅

El concepto de integral doble de una función de dos variables en regiones más generales que rectángulos requiere un proceso distinto al visto hasta ahora.

Sea f(x, y) una función continua definida sobre un conjunto cerrado D de ℝ2 tal que su frontera

∂D

es

una

curva

cerrada

continua

en

ℝ2 .

Podemos entonces definir la integral doble de la función f(x, y) sobre el conjunto D de la siguiente manera: Consideremos un rectángulo R en ℝ2 tal que el conjunto D esté completamente contenido en el rectángulo, y definamos en R una nueva función 𝑓 ∗ (x, y) de la forma:

14

Se define entonces la integral doble sobre D como: ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓 ∗ (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝐷

𝑅

Conviene tener en cuenta que al ser f(x, y) continua en D, las posibles discontinuidades de 𝑓 ∗ (x, y) estarán únicamente en la frontera ∂D, que hemos asumido como continua, garantizando así la integrabilidad de la función. Cabe destacar los tipos más frecuentes de recintos que suelen presentarse.

I. Recintos de tipo I: El conjunto D puede ser definido mediante la desigualdad: a ≤ x ≤ b en la coordenada x, y para cada valor concreto de x ∈ [a, b], la variación de la coordenada “y” puede expresarse como: ψ1(x) ≤ y ≤ ψ2(x).

Otros tipos de funciones de Tipo I:

15

Figura 1.7. Entonces:

𝑏

ψ2(x)

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (∫ 𝐷

𝑎

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦) 𝑑𝑥

ψ1(x)

*Este ejercicio extraído de http://bb.unizar.es/bbcswebdav/pid-556377-dt-content-rid1667527_1/courses/MIGITI/Tema13.pdf y expuesto debido a su utilidad ejemplificativa.

II. Recintos de Tipo 2: 16

El conjunto D está definido mediante la desigualdad: c ≤ y ≤ d en la coordenada “y”, y la coordenada “x” puede expresarse como: ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y).

Figura 1.8. Otras funciones de Tipo 2:

Figura 1.9. Entonces: 𝑑

ψ2(y)

∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫𝑐 (∫ψ1(y) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥) 𝑑𝑦.

17

*Ejercicio

extraído

de

http://bb.unizar.es/bbcswebdav/pid-556377-dt-content-rid-

1667527_1/courses/MIGITI/Tema13.pdf debido a su utilidad ejemplificativa.

Supongamos que el conjunto o recinto D puede ser definido a la vez como el conjunto de puntos (x, y) tales que: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; ψ1(x) ≤ y ≤ ψ2(x). Y también como los puntos (x, y) tales que: 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 , ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y).

En este caso tenemos entonces:

𝑏

ψ2(x)

𝑑

ψ2(y)

∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫𝑎 (∫ψ1(x) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦) 𝑑𝑥 = ∫𝑐 (∫ψ1(y) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥) 𝑑𝑦.

Este tipo de integrales dobles son de gran utilidad ya que al poder hacer cualquiera de las dos integrales iteradas podemos elegir cuál utilizar, y esto, en algunas funciones, es muy práctico ya que una integral iterada es más compleja que la otra.

18

*Ejercicio

extraído

de

http://bb.unizar.es/bbcswebdav/pid-556377-dt-content-rid-

1667527_1/courses/MIGITI/Tema13.pdf debido a su utilidad ejemplificativa.

19

2.4. Cambios de variables en integrales dobles. Consideremos una transformación de una función integrable 𝑓(𝑥, 𝑦) en un recinto D en ℝ2 de modo que sea biyectiva y D’ al nuevo recinto descrito en las nuevas coordenadas (u, v): T: ℝ2 → ℝ2 , 𝑇(𝑢, 𝑣) = (𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)). Supondremos también que T es de clase 𝐶 1 y consideraremos el Jacobiano de T como el determinante de la matriz de las derivadas parciales de T, J (T):

Entonces se verifica el siguiente resultado:

Siendo

el valor absoluto del Jacobiano de la transformación.

El objetivo del cambio de variables en las integrales dobles es simplificar el proceso de integración de algunas integrales dobles, ya que en algunos casos, la región D es muy complicada o integrar f(x, y) es muy laborioso.

20

*Ejercicio

extraído

de

http://bb.unizar.es/bbcswebdav/pid-556377-dt-content-rid-

1667527_1/courses/MIGITI/Tema13.pdf debido a su utilidad ejemplificativa

21

2.5. Uso de simetrías Si existe simetría en el dominio al menos con respecto a uno de los ejes, y la función a integrar contiene una función impar, la integral se vuelve nula (la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero). Por ejemplo: Dada

y que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3𝑦 3 + 5 y 𝑇 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1 es el dominio de

integración del disco de radio 1 centrado en el origen. Usando la propiedad lineal de las integrales, la integral se descompone en tres partes: ∬(2 sin(𝑥) − 3𝑦 3 + 5)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬2 sin(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬3𝑦 3 𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∬5 𝑑𝑥𝑑𝑦 . 𝑇

𝑇

𝑇

𝑇

2 sin(x) y 3y3 son funciones impares, y existe simetría tanto con respecto al eje x como con respecto al eje y. Es decir, las primeras dos integrales se nulifican. La integral original es igual únicamente a la tercera integral: ∬(2 sin(𝑥) − 3𝑦 3 + 5)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬5 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 5𝜋. 𝑇

𝑇

Cierto es que, en dominios de integración del espacio ℝ2 con simetría circular, puede ser transformado de coordenadas rectangulares a polares. Es decir, cada punto P(x, y) tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente operación 𝑓(𝑥, 𝑦) → 𝑓(𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜃). Por ejemplo: Si la función es: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦. La transformación a coordenadas polares sería: 𝑓(𝜌, 𝜃) = 2 ∗ 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃. Una aún más sencilla sería: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 , obteniendo: 𝑓(𝜌, 𝜃) = 𝜌2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) = 𝜌2

22

3. La integral triple. 3.1. Concepto de integral triple. Para desarrollar el concepto de integral triple, haremos uso de un ejemplo sencillo aplicando la integral triple a una caja rectangular. Sea f: P ≤ ℝ3 → ℝ una función f(x, y, 𝑧) definida sobre la caja rectangular, que es lo que se denomina formalmente como prisma o paralelepípedo que la denominaremos P, dicho ente geométrico pertenece ℝ3 y se define en el espacio ordinario como: P = [a, b] × [c, d] × [r, s] = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ⃒ a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ r ≤ z ≤ s} Las dimensiones del paralelepípedo quedan definidas entre dos valores respecto un sistema de referencia y sus ejes de coordenadas x, y, z tal como se puede apreciar en la figura 1.10.

Figura 1.10 Se define también como el producto cartesiano de los intervalos donde está definido el paralelepípedo. El producto cartesiano definido son las ternas ordenadas (x, y, z) que podemos formar tomando como primer elemento uno del intervalo [a, b], como segundo elemento uno del intervalo [c, d] y como tercer elemento otro del intervalo [r, s]. De modo que lo que hacemos es definir el conjunto de puntos del paralelepípedo.

23

Igual como se hace con la integral doble, podemos proceder a la partición del paralelepípedo mediante planos coordenados en los siguientes puntos: P’x = {x0, x1, x2,…,xi-1, xi,… xn} P’y = {y0, y1, y2,… yj-1, yj,… ym} P’z = {z0, z1, z2,… zk-1, zk,…zl}

Figura 1.11. La partición 𝑃𝑥 tiene n subintervalos cuyas longitudes son ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 – 𝑥𝑖−1 . La partición 𝑃y tiene m subintervalos cuyo valor es ∆yj = yj – 𝑦𝑗−1 y la partición 𝑃𝑧 tiene l subintervalos de longitud ∆𝑧𝑘 = 𝑧𝑘 – 𝑧𝑘−1. Observar que hemos realizado las particiones como si trabajáramos en una sola dimensión. Si reunimos estas particiones aparecerán un conjunto de paralelepípedos más pequeños que conformarán el inicial P. El número de paralelepípedos aumentará a medida que las particiones sean más finas que las anteriores. En nuestro caso el paralelepípedo P estará conformado por 𝑛 · 𝑙 · 𝑚 paralelepípedos más pequeños que los denotaremos como 𝑃’𝑖𝑗𝑘 . El volumen de los paralelepípedos P’ijk valdrá ∆𝑉𝑖𝑗𝑘 = ∆𝑥𝑖 · ∆𝑦𝑗 · ∆𝑧𝑘 El volumen total del cubo también se puede representar mediante la triple suma de Riemann para la función f en la partición P’. 𝑛

𝑚

𝑙

𝑆𝑡 = ∑ ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ′, 𝑦𝑗 ′, 𝑧𝑘 ′)∆𝑉𝑖𝑗𝑘 𝑖=1 𝑗=1 𝑘=0

24

Figura 1.12. En la figura 1.12 se observa que uno de los bloques en que hemos dividido el cubo, en este caso el bloque 𝐵𝑖𝑗𝑘 respecto el punto (𝑥𝑖 ∗, 𝑦𝑗 ∗, 𝑧𝑘 ∗) tal que 𝑥𝑖−1 ≤ 𝑥𝑖 ∗ ≤ 𝑥𝑖 ; 𝑦𝑗−1 ≤ 𝑦𝑗 ∗ ≤ 𝑦𝑗 y 𝑧𝑘−1 ≤ 𝑧𝑘 ∗ ≤ 𝑧𝑘 y cuyo volumen vale: ∆𝑉𝑖𝑗𝑘 = ∆𝑥𝑖 · ∆𝑦𝑗 · ∆𝑧𝑘 = (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) · (𝑦𝑗 – 𝑦𝑗−1 ) · (𝑧𝑘 – 𝑧𝑘−1 ) Si sumamos todos los cubos situados bajo la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) significa que sumamos los subintervalos de la siguiente manera y llegamos a la triple suma de Riemann. 𝑛

𝑗

𝑚

𝑉𝑡 = ∑(xi − xi−1 ) · ∑(yj − yj−1 ) · ∑(xk − xk−1 ) = 𝑖=1

𝑗=1 𝑛

𝑚

𝑘=1 𝑙

= ∑ ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ′, 𝑦𝑗 ′, 𝑧𝑘 ′)∆𝑉𝑖𝑗𝑘 𝑖=1 𝑗=1 𝑘=0

Pero si vamos un poco más lejos y precisamos podemos deducir que no todos los recintos son tan sencillos como un cubo, es decir el ejemplo que hemos tratado del paralelepípedo es un caso particular muy sencillo de manera que con solo una triple suma de Riemann podemos calcular de forma exacta el volumen del paralelepípedo o

25

incluso prescindiendo de ella y multiplicando la diferencia de los extremos de los intervalos de cada eje. Si nos proponemos calcular el volumen del recinto de la figura 1.13. veremos que mediante planos coordenados no podemos calcular el volumen de forma exacta tal y como habíamos hecho con el cubo si la partición que utilizamos es poco fina, es decir los cubos más pequeños que definimos con los subintervalos de dicha partición son relativamente grandes respecto el volumen del recinto tal y como se muestra en la figura 1.14.

Figura 1.13.

Figura 1.14.

La manera de ajustar la suma de los volúmenes de los cubos definidos con los subintervalos de la partición con el volumen del recinto definido con la función f es hacer estos subintervalos más pequeños.

Figura 1.15.

Figura 1.16.

26

Finalmente coincidirá la suma de volúmenes de los paralelepípedos con el volumen del recinto cuando la división en subintervalos de la partición tienda a infinito. Matemáticamente dicho concepto lo denotamos con el concepto norma de la partición ⃦ P ⃦. La norma de una partición P’ es la diferencia máxima entre dos puntos consecutivos cualesquiera de la partición. ⃦ 𝑃 ⃦ = 𝑚á𝑥 {𝑥𝑖 – 𝑥𝑖−1 , 𝑖 = 1, 2, … 𝑛} Por lo razonado anteriormente lo que buscamos es que ⃦ P ⃦ → 0. Entonces definimos el límite de la triple suma de Riemann: 𝑛

lim 𝑆𝑡 =

⃦P ⃦→0

𝑚

𝑙

lim ∑ ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ′, 𝑦𝑗 ′, 𝑧𝑘 ′)∆𝑉𝑖𝑗𝑘

⃦P ⃦→0

𝑖=1 𝑗=1 𝑘=0

A partir de aquí podemos introducir la definición de la integral triple de una función f en un recinto P. DEFINICIÓN. Sea f: ℝ3 → ℝ una función definida sobre un recinto P del espacio ℝ3. La integral triple de f sobre P se denota y define como: 𝑛

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = 𝑃

lim 𝑆𝑡 =

⃦P ⃦→0

𝑚

𝑙

lim ∑ ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ′, 𝑦𝑗 ′, 𝑧𝑘 ′)∆𝑉𝑖𝑗𝑘

⃦P ⃦→0

𝑖=1 𝑗=1 𝑘=0

Si el límite existe. Se puede apreciar que cuando ⃦ P ⃦ → 0, entonces n → ∞.

3.2. Funciones integrables. Una función f(x, y, z) continua en el recinto P cerrado y acotado se dice que es integrable sobre P si solo si existe el límite anterior y su valor es finito. Su valor es la integral triple de la función f sobre P. 27

La condición suficiente de integrabilidad es si la función f es continua en el recinto P cerrado y acotado entonces es integrable sobre P.

3.3. Cálculo de integrales triples. El cálculo de integrales triples se realiza de forma muy práctica mediante el uso del Teorema de Fubini. Tal método permite evaluar integrales triples mediante integrales iteradas. TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES TRIPLES EN RECTÁNGULOS. Sea f una función continua en el paralelepípedo P = [a, b] × [c, d] × [r, s], entonces: 𝑠

𝑑

𝑏

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑃

𝑟

𝑐

𝑎

Antes de dar un ejemplo para ver realmente como se opera con ella, matizaremos que se calculan como una integral simple de Riemann y en el siguiente orden tal como se muestra en la figura 1.8. 𝑠

𝑑

𝑏

∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = ∫ [∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥) 𝑑𝑦] 𝑑𝑧 𝑃

𝑟

𝑐

𝑎

Primero calculamos la integral de la variable x (entre paréntesis), luego la integral de la variable y (entre corchetes) y finalmente la integral de la variable z. A cada integral se les denomina por orden primer, segundo y tercer orden de integración. También cabe indicar que el orden en que estén las integrales no afecta al resultado final, así tomando la integral triple de antes tenemos que: 𝑠

𝑑

𝑏

𝑠

𝑏

𝑑

∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = 𝑟

𝑐

𝑎

𝑟 𝑏

𝑠

𝑑

𝑎

𝑐 𝑠

𝑑

𝑏

= ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑠

𝑟

𝑐

𝑏

𝑟 𝑑

= ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑟

𝑎

𝑐

28

𝑐

𝑎

Ejemplo 1. Calcule la integral triple siguiente donde f(x, y, z) = x z3 (1-y) y

P = [2, 3] ×

[-2, 1] × [0,√2]

𝐼 = ∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 𝑃

Observamos que dada la definición responde al cálculo del volumen de un paralelepípedo cuyo recinto está limitado por la función f(x, y, z) en los intervalos indicados para cada eje. Sustituimos los extremos en la integral: 1

3

1

√2

3

3

𝐼 = ∫ ∫ ∫ x z (1 − y) 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ ∫ −2 2

0

−2 2 1

3

1 2 3 √2 [𝑥 𝑧 (1 − 𝑦)] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 4 0

1

1 2 3 5 1 [𝑥 (1 − 𝑦)] 𝑑𝑦 = ∫ (1 − 𝑦)𝑑𝑦 2 2 −2 −2 2

= ∫ ∫ 𝑥(1 − 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ −2 2

=

−5 1 45 [(1 − 𝑦)2 ] = 4 −2 4

Observamos que para cada eje hay un valor de entrada y otro de salida. Los de entrada se sitúan en la parte inferior del símbolo integral y los de salida en la parte superior del mismo. Gráficamente se suele representar con flechas de la siguiente manera:

Figura 1.17

29

3.4. Integrales triples en regiones más generales. Ahora trataremos el cálculo de integrales triples en regiones P más generales. Queremos calcular la integral triple de la función f: ℝ3 → ℝ sobre la región general P usando la integral iterada como en el caso anterior. La superficie cerrada S que limita el recinto P posee las siguientes propiedades: 1. Toda recta paralela al eje Oz trazada por un punto interior del dominio de P (no pertenece a la frontera de P) corta la superficie S en dos puntos. 2. Todo el dominio de P se proyecta en el plano Oxy, en forma de dominio regular de dos dimensiones D. De forma idéntica cumplirán las proyecciones de P sobre los planos Oyz y Oxz. Llamamos dominio regular a la proyección de P de forma que toda recta paralela a los ejes y que pasa por un punto interior de P no corta en más de dos puntos la superficie S que lo delimita. Por ejemplo son regulares un elipsoide, paralelepípedo o tetraedro. Un dominio no regular es como el de la figura 1.19.

Figura 1.18

Figura 1.19

30

Suponiendo que la superficie que lo delimita cumple dichas propiedades, primero definimos las superficies que acotan el recinto P. Para obtener el primer orden de integración, definimos las dos superficies que acotan la región superior e inferiormente cuyas ecuaciones son z = γ1(x, y) y z = γ2(x, y) respectivamente. Cualquier recta paralela al eje z corta las superficies γ1, γ2 en un punto cada una (x, y). γ1(x,y)

𝐼 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = ∬ ∫ 𝑃

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧

𝐷 γ2(x,y)

Figura 1.20

Figura 1.21

Para obtener el segundo orden de integración debemos proyectar la región P sobre el plano xy obteniendo la región bidimensional D. Figura 1.20. Dada una recta paralela al eje Oy también corta en dos puntos las funciones que delimitan dicha región en dos puntos y = δ1(x) y y = δ2(x) y con una recta paralela al eje Ox corta las rectas que delimitan la misma región D en los puntos x = a y x = b. Figura 1.21. 𝑏

δ2(x)

𝐼 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = ∫ ∫ 𝑃

𝑎

δ1(x)

γ1(x,y)

∫

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

γ2(x,y)

Obviamente el apartado anterior es un caso particular del general ya que en el anterior los extremos de las tres integrales eran rectas.

31

Pongamos otro ejemplo, queremos calcular el volumen de dicho recinto D.

Figura 1.22 Las ecuaciones que delimitan la región superior e inferiormente el recinto D son z = Ψ1(x, y) y z = Ψ2(x, y). La proyección del dominio P sobre el plano Oxy es el dominio bidimensional delimitado por las curvas y = φ1(x, y) y y = φ2(x, y) y además por x = a1 y x = a2. En este caso la integral triple queda definida como: a1

φ2(x,y)

𝐼 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = ∫ ∫ 𝑃

a2

Ψ2(x,y)

∫

φ1(x,y)

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Ψ1(x,y)

3.5. Propiedades de la integral triple. Estas propiedades son similares a las de la integral doble. Consideramos la función f: ℝ3 → ℝ real de tres variables sobre el recinto P. 1. Si el recinto P es dividido en dos recintos R y S mediante un plano paralelo a cualquiera de los planos de coordenadas la integral triple del recinto P es igual a la suma de las integrales triples de los recintos R y S. 𝐼𝑃 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 + ∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 𝑃

𝑅

𝑆

2. Teorema relativo a la acotación de una integral triple. Si m y M son los valores mínimos y máximos, respectivamente de la función f(x, y, z) en el dominio P se verifica la desigualdad. 32

𝑚𝑉 ≤ 𝐼 ≤ 𝑀𝑉

3. Teorema de la media. La integral triple IV de una función continua f(x, y, z) extendida en el dominio P, es igual al producto de su volumen V por el valor de la función en cierto punto A del dominio P. 𝑏

δ2(x)

𝐼 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = ∫ ∫ 𝑃

𝑎

δ1(x)

γ1(x,y)

∫

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑓(𝐴) · 𝑉

γ2(x,y)

4. Propiedad de orden. Sean f: ℝ3 → ℝ y g: ℝ3 → ℝ dos funciones continuas y definidas en una región P tales que f(x, y, z) ≥ g(x, y, z), ∀(x, y, z)⋲ P entonces:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 ≥ ∭ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 𝑃

𝑃

5. Propiedad de linealidad. Sean f: ℝ3 → ℝ y g: ℝ3 → ℝ dos funciones continuas y definidas en una región P y t1 y t2 dos números reales cualesquiera.

∭ [t1 · 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑡2 · 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)] 𝑑𝑉 = 𝑃

= ∭ t1 · 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 + ∭ 𝑡2 · 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 𝑃

𝑃

33

3.6. Cambio de variables en una integral triple. 3.6.1. Integral triple en coordenadas cilíndricas. La posición de un punto P viene determinado por (θ, ρ, z) donde θ y ρ son las coordenadas polares de la proyección del punto P sobre el plano Oxy y z la cota del punto (distancia que le separa del plano Oxy) que será positiva si se encuentra por encima de dicho plano o negativa si se encuentra por debajo. (Figura 1.13).

Figura 1.13.

Figura 1.14

Consiste en dividir el dominio P en superficies más pequeños (θi, ρi, zi) que son cilindros circulares perpendiculares al eje Oz. El área del prisma lo podemos expresar como A = ρ Δθ Δρ. Si su altura es Δz entonces su volumen será V = ρ Δθ Δρ Δz. (Figura 1.14).

La integral triple de F (θ, ρ, z) será: 𝐼 = ∭ 𝐹(𝜃, 𝜌, 𝑧)𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜌 𝑑𝑧 𝑃

¿Cómo relacionamos las coordenadas rectangulares a cilíndricas? Si la función f(x, y, z) está dada en coordenadas rectangulares (x, y, z) las coordenadas cilíndricas serán: 𝑥 = 𝜌 cos 𝜃 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑧=𝑧 34

Entonces: 𝐼 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∭ 𝐹(𝜃, 𝜌, 𝑧)𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜌 𝑑𝑧 𝑃

𝑃

3.6.2. Integral triple en coordenadas esféricas.

Figura 1.14

Figura 1.15

En coordenadas esféricas la posición de un punto P viene dado por tres elementos θ, r, φ; donde r es la distancia del punto al origen de coordenadas y se denomina radio vector del punto; φ es el ángulo entre el radio vector r y el eje Oz y θ es el ángulo entre la proyección del radio vector r sobre el plano Oxy y el semieje positivo Ox, tal como se muestra en la figura 1.14. Entonces r, φ, θ están acotados tal que: 0 ≤𝑟

0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

El volumen de la figura 1.15 lo podemos considerar como V = r2 sen φ Δr Δθ Δφ ya que las aristas son Δr, r Δφ, r sen φΔθ. Igual que en el apartado anterior, podemos expresar las coordenadas cuadráticas en función de las esféricas, apreciamos que en el caso de las coordenadas x e y, se realizan dos proyecciones. Primero la proyección de r sobre el plano Oxy y después la proyección sobre el eje x o y respectivamente. 𝑥 = 𝑟 sen φ cos 𝜃 35

𝑦 = 𝑟 sen 𝜑 sen 𝜃 𝑧 = 𝑟 cos 𝜑 Entonces: 𝐼 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∭ 𝐹(𝜃, 𝜌, 𝑧)𝑟 2 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜑 = 𝑃

𝑃

= ∭ 𝑓(𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑 cos 𝜃 , 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑 sen 𝜃 , 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑)𝑟 2 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜑 𝑃

36

4. Aplicaciones de las integrales a la ingeniería. En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles y para las integrales triples.

4.1 Aplicaciones de la integrales dobles. Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional. Nos centraremos en las aplicaciones físicas.

Masa de una figura plana. A continuación, se explica cómo determinar la masa de una figura plana no homogénea, de área D, como la región mostrada en la figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en cada punto (𝑥, 𝑦 𝐷 ) ∈ . Si se escoge un punto arbitrario (𝑥𝑖 ∗, 𝑦𝑗 ∗) ∈ 𝐷𝑖𝑗, entonces la masa de este subrectángulo, denotada como 𝑚𝑖𝑗 , se obtiene como:

Por lo tanto la masa de la placa plana de área A, se puede estimar mediante la doble suma de Riemann:

Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la norma de la partición P tienda a cero, se tiene:

37

Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene mediante: Considere una lámina plana de densidad variable ρ (x, y), que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa, denotada m, se obtiene como:

-

Momentos estáticos de figuras planas

El momento estático de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y la distancia que la separa de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes coordenados. Considere una lámina o placa plana D, dividida en subrectángulos 𝐷𝑖𝑗 , tal como se muestra en la siguiente figura: Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada subrectángulo 𝐷𝑖𝑗 , denotado como 𝑀 𝑥𝑖𝑗 , viene dado por:

Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada subrectángulo, se tiene que:

Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta en la expresión anterior:

38

Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se denota M, se obtiene como:

Por lo tanto, Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función ρ ∶ ℝ2 → ℝ , la cual es continua ∀(x, y)∈ D , entonces el momento estático alrededor del eje x, denotado Mx , se obtiene como:

Mientras que el momento estático alrededor del eje y, denotado M y, se calcula como:

-

Centro de masa

El centro de gravedad de una figura plana 𝐷, es un punto 𝑃 de coordenadas (𝑥 , 𝑦 ) ∈ 𝐷 , en el cual la región se equilibra horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones:

Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos estáticos se calculan por medio de integrales dobles.

Por lo tanto, Sea 𝐷 una región del plano 𝑥𝑦, tal que su densidad viene dada por la función 𝜌 ∶ ℝ2 → ℝ , la cual es continua ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, entonces el centro de gravedad viene dado por:

39

Donde m es la masa de la placa D, que se obtiene como

-

Momento de inercia

El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia que la separa de ese eje y se considera como una medida de la oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de rotación. Los segundos momentos más importantes son los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y del origen. El procedimiento para obtener estos momentos como integrales dobles es similar al que se ilustró para los momentos estáticos, por lo tanto, el momento de inercia de una placa D, respecto al eje x, denotado 𝐼𝑋 , se calcula como:

Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje y se denota como Iy y se obtiene como: 𝑛

𝑚

𝐼0 = lim ∑ ∑[(𝑥𝑖∗ )2 + (𝑦𝑗∗ )2 ]Δ𝐴𝑖𝑗 = ∫ ∫ (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ‖𝑃‖→0

𝐷

𝑖=1 𝑗=1

La suma de estos dos momentos se conoce como momento de inercia alrededor del origen, 𝐼0 , donde: 𝑛

𝑚

𝐼0 = lim ∑ ∑[(𝑥𝑖∗ )2 + (𝑦𝑗∗ )2 ]Δ𝐴𝑖𝑗 = ∫ ∫ (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 ‖𝑃‖→0

𝐷

𝑖=1 𝑗=1

Por lo tanto, Sea D una región del plano 𝑥𝑦, tal que su densidad viene dada por la función ρ ∶ ℝ2 → ℝ , la cual es continua ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes 𝑥 𝑦 y, denotados 𝐼𝑋 e 𝐼𝑦 , se obtienen como: 𝐼𝑥 = ∫ ∫ (𝑦 2 )𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝐷

40

𝐼𝑦 = ∫ ∫ (𝑥 2 )𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝐷

El momento polar de inercia, 𝐼0 , es: 𝐼0 = ∫ ∫ (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝐷

4.2 Aplicaciones de las integrales triples. Las aplicaciones de las integrales triples, son similares a las aplicaciones de las dobles. Sus definiciones se obtienen a partir de la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación se presentan de una vez con la integral triple correspondiente para cada una de ellas. Las aplicaciones que se mencionan a continuación son: volúmenes de sólidos en el espacio, masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia de cuerpos en el espacio. -

Volumen de un sólido en el espacio

En el capítulo 3 se definió la integral triple de una función f sobre una región tridimensional B,∫ ∫ ∫𝐵 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉, como el límite de una triple suma de Riemann, 𝑚 𝑙 ∗ ∗ ∗ lim ∑𝑛 𝑖=1 ∑𝑗=1 ∑𝑘=1 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 , 𝑧𝑘 )Δ𝑉𝑖𝑗𝑘 .

‖𝑃‖→0

Si la función f es igual a la unidad; es decir, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1, entonces, la integral triple representa el volumen V del sólido B, resultando la siguiente integral: 𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑉 𝐵

Por lo tanto, sea 𝐵 una región tridimensional, entonces su volumen, denotado como 𝑉, se obtiene como: 𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑉 𝐵

-

Masa de un sólido en el espacio

Considere una región tridimensional B , no homogénea, esto es que su densidad ρ varía en cada punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐵, donde la función densidad está expresada en unidades de masa por unidad de volumen, entonces la masa se obtiene como la integral triple de la 41

función densidad sobre la región B, tal como se define a continuación: 𝑚 = ∫ ∫ ∫ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝐵

-

Momentos estáticos.

El momento estático de una región B tridimensional respecto a los planos coordenados 𝑥𝑦, 𝑦𝑧 y 𝑥𝑧, se definen tal que, Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función ρ: ℝ3 → ℝ, la cual es continua ∀ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐵, entonces los momentos estáticos alrededor de los planos 𝑥𝑦, 𝑦𝑧 y 𝑥𝑧, denotados 𝑀𝑥𝑦 , 𝑀𝑦𝑧 y 𝑀𝑥𝑧 , respectivamente, se obtienen a partir de las siguientes expresiones: 𝑀𝑥𝑦 = ∫ ∫ ∫ 𝑧𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝐵

𝑀𝑦𝑧 = ∫ ∫ ∫ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝐵

𝑀𝑥𝑧 = ∫ ∫ ∫ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝐵

-

Centro de masa.

A continuación se define el centro de masa para un sólido tridimensional como un punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), donde las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones: 𝑥̅ =

𝑀𝑦𝑧 𝑚

𝑦̅ =

𝑀𝑥𝑧 𝑚

𝑧̅ =

𝑀𝑥𝑦 𝑚

Por lo tanto, Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función ρ: ℝ3 → ℝ, la cual es continua ∀ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐵, entonces el centro de masa es un punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), donde sus coordenadas son: 𝑥̅ = ∫ ∫ ∫ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝐵

42

𝑦̅ = ∫ ∫ ∫ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝐵

𝑧̅ = ∫ ∫ ∫ 𝑧𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝐵

Donde m es la masa del sólido B, que se obtiene como: 𝑚 = ∫ ∫ ∫ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝐵

-

Momentos de inercia.

Los momentos de inercia del sólido B respecto a los planos coordenados, se obtienen tal que, Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función ρ: ℝ3 → ℝ, la cual es continua ∀ (x,y,z) ∈B, entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados, denotados Ix , Iy e Iz se obtienen a partir de: 𝐼𝑥 = ∫ ∫ ∫ (𝑦 2 + 𝑧 2 )𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝐵

𝐼𝑦 = ∫ ∫ ∫ (𝑥 2 + 𝑧 2 )𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝐵

𝐼𝑧 = ∫ ∫ ∫ (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝐵

El momento polar de inercia, I0 , es: 𝐼0 = ∫ ∫ ∫ (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 𝐵

43

CONCLUSIÓN El presente trabajo nos ha brindado la oportunidad de aplicar y afianzar nuestros conocimientos en los ámbitos el cálculo integral de varias variables tanto simple, como doble y triple; así como refrescar las reglas formales de presentación, de citación de fuentes y el uso de ecuaciones de Microsoft Word. Ha sido un reto coordinar a todos los miembros del grupo para llevarlo a cabo. Igualmente ha sido arduo administrar el tiempo necesario para la investigación y realización del trabajo. Destacamos que es nuestro primer trabajo universitario y estamos expectantes de comprobar el nivel de exigencia que se pide para los mismos.

44

BIBLIOGRAFÍA - Libros. N. PISKONOV. Cálculo diferencial e integral. Traducido por el departamento técnico Montaner y Simón, S.A. 1-е издание. Mezhkniga, Moscú, 1966. Reimpresión: Barcelona, 1983 JUAN DE BURGOS. Cálculo infinitesimal. Teoría y problemas. Editorial Alhambra. Madrid, 1992. -

Páginas web.

CISNEROS, Geraldina. Universidad de Carabobo. Facultad de Ingeniería. Integrales múltiples y sus aplicaciones. http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/inicio.htm CATSIGERAS, Eleonora. Integrales paramétricas e integrales dobles y triples. Julio, 2006. http://www.fing.edu.uy/~eleonora/Recopilacion/Archivos/NotasEnsenanza/Integrales Dobles/IntegralesDobles3.pdf COMAS, Alberto José. La integral triple y sus aplicaciones. Diciembre, 2011.

http://es.scribd.com/doc/75169766/Definicion-de-Integral-Triple Universidad de San Nicolás de Hidalgo. Partición y norma. Diciembre, 2002.

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/Integral/defparticion.htm WIKIPEDIA. Integral múltiple. Junio, 2013. http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_m%C3%BAltiple#Uso_de_simetr.C3.ADas Universidad de Zaragoza. Departamento de Matemática Aplicada. Integración de funciones de varias variables. http://bb.unizar.es/bbcswebdav/pid-556377-dt-contentrid-1667527_1/courses/MIGITI/Tema13.pdf

45