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UNIDAD 5 INTEGRACION MULTIPLE CALCULO VECTORIAL

PROF. AMERICO MARTINEZ OVALLE ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES CARLOS JOSIEL HERNANDEZ SANCHEZ JUAN DOMIGUEZ GUTIERREZ

5.1 CALCULO DE AREAS E INTEGRALES DOBLES 5.1.1 Integrales dobles sobre rectángulos Sea f(x, y) una función acotada sobre un rectángulo R = [a, b] × [c, d]. Una partición del rectángulo R son dos conjuntos de puntos {xj}nj =0 e {yj}mj =0, satisfaciendo a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b c = y0 < y1 < y2 < . . . < ym = d es decir, P = P1 × P2, donde P1 y P2 son particiones de [a, b] y [c, d], respectivamente. Se llama área de R a v(R) = (d−c)(b−a). Toda partición divide al rectángulo R en n ・ m subrectángulos Rjk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], j = 1, . . . , n, k =1, . . . ,m Se llama norma de la partición P a kPk = m´ax{v(Rjk) : j = 1, . . . , n; k = 1, . . . ,m}

Considérese cualquier punto cjk del rectángulo Rjk y fórmese la suma

llamada suma de Riemann para f En la siguiente gráfica hemos representado las sumas de Riemann para la función f(x, y) = x2 + y2 tomando como punto cjk el punto medio del rectángulo y el punto inferior del rectángulo.

5.1.1 Cálculo de integrales dobles El cálculo de una integral doble se realiza mediante el cálculo de dos integrales iteradas, de acuerdo al siguiente teorema: Teorema 10.6 (Teorema de Fubini) Sea f una función integrable sobre un rectángulo R = [a, b] × [c, d]. 1. Si para cada x ∈ [a, b], la sección transversal fx(y) := f(x, y), y ∈ [c, d], es integrable sobre [c, d], entonces la función.

2. Si para cada y ∈ [c, d], la sección transversal fy(x) := f(x, y), x ∈ [a, b], es integrable sobre [a, b], entonces la función.

5.1.2 Integrales dobles sobre recintos acotados Para generalizar el concepto de integral doble a recintos acotados se hace uso de la función característica

Si el conjunto A es acotado y verifica que su frontera tiene medida nula, entonces la función característica es integrable sobre cualquier rectángulo R que contiene a A y, en este caso, existe

que se llama la medida o ´área de A. El conjunto A se dice, entonces, medible. Entonces, dada una función integrable sobre un rectángulo R ⊃ A, se define

En la figura siguiente puede verse gráficamente este proceso, donde F(x, y) =1A(x, y)f(x, y):

5.2 Integrales iteradas Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluada con respecto a diferentes variables). Es importante tomar en cuenta en qué posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial Dx o el diferencial Dy o viceversa. Ahora veremos cómo se pueden presentar este tipo e integrales:

5.3 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES Hasta el momento hemos tratado integrales dobles en las cuales la región de integración es una región rectangular de la forma

o es una región que se encuentra entre dos funciones definida por

Ahora, trataremos integrales dobles las cuales se van a evaluar sobre una región circular o sobre una región comprendida entre dos círculos o parte de los círculos.

Se desea encontrar la integral doble Donde R es una región polar. Lo primero que se debe hacer es encontrar los límites de integración en el sistema de coordenadas polares, así, por ejemplo. Para la región circular Para simplificar este problema, se expresa la región como una región polar y se determinan los límites de integración en ese sistema.

Para ello se tiene en cuenta que la región circular se obtiene al hacer rotar el un segmento de recta en torno al origen del sistema.

5.4 Integral doble en coordenadas polares Consideremos la región A determinada por las semirrectas=, = y las curvas r=f1 (),r=f2 (), como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida por completo en el sector R: " r " a "" Sean m y n dos enteros positivos y hagamos

Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro O y radios r, 2r,....mr y trazamos rectas desde O tales que el ángulo formado por dos rectas consecutivas cualesquiera sea siempre el mismo e igual a ∆ , R queda dividido en tres tipos de subregiones: a) exteriores de A; b) interiores de A , y c) atravesadas por el contorno de A. Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero podemos, incluir algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden por 1, 2, 3,...,N, eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk, k) por el área de la correspondiente subregión,

y se suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma

El radio del arco interior que limita Ak es rk-½r;el del exterior, rk-½r; por consiguiente

Consideremos el límite de las sumas cuando tienden a 0 las diagonales de todas las subregiones. Si la función F es continúa y la región A esta limitada por curvas continuas rectificables, las sumas tienen como límite la integral doble de F extendida a A:

5.5 Integral doble: áreas y volúmenes

Se debe enfatizar que las condiciones de esta definición son suficientes pero no necesarias para la existencia de la integral doble. El cálculo del valor de una integral doble directamente de la definición es muy tedioso, por lo que existe un teorema para integrales dobles.

5.6 Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas Cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricas A continuación, deseamos calcular una integral triple dada en coordenadas rectangulares

en coordenadas cilíndricas.

Para ello, si f(x, y, z) es una función continua y si definimos

tenemos la siguiente relación entre las integrales:

Donde la integral triple se calcula mediante integrales iteradas según convenga el orden de integración.

Ejemplo:

Cálculo de integrales triples en coordenadas esféricas A continuación, deseamos calcular una integral triple dada en coordenadas rectangulares

en coordenadas esféricas

Para ellos, si f(x, y, z) es una función continua y si definimos

tenemos la siguiente relación entre las integrales:

Donde la integral triple se calcula mediante integrales iteradas.

5.7 Campos vectoriales Las funciones, ampliamente empleadas en la ingeniería, para modelar matemáticamente y caracterizar magnitudes físicas, y cuyo dominio podría ser multidimensional, pueden tener un rango unidimensional o multidimensional. El primer tipo de funciones (rango unidimensional) se define como campo escalar, y esta se corresponde a una magnitud física que requiere sólo de un número para su caracterización. Un campo escalar, por tanto, es una función, escalar, cuyo valor depende del punto que se estudie. Un ejemplo de este tipo de funciones puede ser la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, la presión ejercida sobre un cuerpo por un fluido, o un potencial eléctrico. Por otro lado, un campo vectorial se corresponde con el segundo tipo de funciones (rango multidimensional) en donde una magnitud física requiere de un vector para su descripción, como puede ser, por ejemplo, el flujo de un fluido o un campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas.

En la Figura 1 se muestra una forma esquemática de representar un campo vectorial, de

𝑅 𝑛 →𝑅 𝑛

5.8 Integral de línea de un campo escalar

5.9 Divergente, rotacional, interpretación geométrica y física Definición

Rotacional Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.

Aquí, S es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su

componente según la dirección normal a S y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares. El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus puntos. El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la siguiente ecuación:

Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son: • Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (

f) =0

• Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0 • Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.

5.10 TEOREMAS DE INTEGRALES (APLICACIONES) Teoremas de Stokes y Gauss Enunciado del Teorema de Stokes A continuación, enunciamos la versión tridimensional de la fórmula de Green, conocida como Teorema de Stokes, que nos permite calcular una integral de línea de un campo vectorial en el espacio mediante una integral de superficie del rotacional del campo.

Como ocurría con la Fórmula de Green, la igualdad anterior, al menos en los casos que más interesan en la práctica, puede escribirse con una notación que ayuda a entender su significado al tiempo que nos permite recordar con más facilidad las hipótesis del teorema. Para explicarlo con detalle, trabajaremos por separado con los dos miembros de la igualdad.

La fórmula de Green como caso particular El Teorema de Stokes no sólo nos da la versión tridimensional de la Fórmula de Green, sino que de hecho generaliza el Teorema de Green. Para ponerlo de manifiesto basta en realidad pensar que un recinto en el plano es un tipo muy particular de superficie. Veámoslo con detalle, pues se trata de la aplicación más sencilla del Teorema de Stokes.

Caso de una superficie cerrada Frecuentemente la integral de línea que aparece en el Teorema de Stokes se anula, cualquiera que sea el campo vectorial que estemos considerando, simplemente porque el camino de inte-gración es una suma de caminos triviales (constantes) y caminos que se recorren en ambos sentidos, cancelándose las integrales. Por tanto, al aplicar el teorema concluimos que la integral de superficie del rotacional de una amplia gama de campos se anula. En lugar de enunciar un resultado general de este tipo, vamos a analizar un ejemplo concreto.

EJEMPLO DEL TEOREMA DE GAUSS